Cours n 2. Outils mathématiques Définitions et rappels. December 19, 2016

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1 Cours n 2 Outils mathématiques Définitions et rappels vincent.mahout@insa-toulouse.fr December 19, 2016 vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

2 Les équations différentielles (1) C est la "base" de l automatique linéaire continue Un système un ensemble d équations différentielles ordinaires interconnectées. Le premier schéma de base de l automatique : u(t) y(t) Ce schéma se traduit en l équation comme: a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 ẏ + a 0 y = b m u (m) + + b 1 u + b 0 u avec y (n) = dn y dt n ẏ = dy dt u (m) = dm u dt m u = du dt vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

3 Les équations différentielles (2) L équation différentielle n est pas libre. un second membre dépendant de u et de ses dérivées successives : on parle de système commandé. n : ordre du système. On a toujours n m (système propre). y(t) = u(t) + u(t)... pratiquement si u est discontinue => y explose? Notion de causalité - Dans l équation y(t) = u(t) u(t+h) u(t) Par définition de la dérivée y = lim h 0 h Si u est la cause y à l instant t dépend de ce qui se passera à l instant t + h sur u! vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

4 Les équations différentielles (2) a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 2 ÿ + a 1 ẏ + a 0 y = b m u (m) + + b 2 ü + b 1 u + b 0 u Trouver une solution à cette équation différentielle, c est trouver la réponse temporelle y(t) pour un u(t) donné (impulsion de Dirac, échelon, rampe,..). Analyse : on cherche à connaître la sortie y(t) lorsque l entrée u(t) varie. Commande : on cherche à calculer l entrée u(t) varie pour avoir une sortie y(t) fixée. vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

5 Les équations différentielles (3) Exemple : un circuit électrique (passif) RC Schéma électrique : u i C R y Ce système est modélisé par l équation différentielle ẏ + 1 RC y = u vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

6 Linéarité et invariance Les équations différentielles sont linéaires principe de superposition Si l entrée est la somme pondérée de deux signaux, la sortie est la même somme pondérée des deux réponses correspondantes. si (u 1, y 1 ) et (u 2, y 2 ) sont deux solutions, toute combinaison (au 1 + bu 2, ay 1 + by 2 ) est également une solution, a et b. Un système est dit invariant (dans le temps) la réponse à une entrée donnée sera la même aujourd hui ou demain. Si (u( ), y( )) est une solution la paire décalée (u( + T ), y( + T )) est aussi une solution du système, T propriété de commutation entre l opérateur définissant le système et l opérateur de décalage vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

7 Représentation convolutionnelle Représentation entrée/sortie : on considère le système comme un "opérateur" G : y ( ) = G (u ( )) Propriété de linéarité et d invariance le système se caractérise par sa réponse impulsionnelle Cas discret : l impulsion unité δ [k] = 1 si k = 0 = 0 si k 0 l extraction de la valeur d un signal u [ ] à l instant 0 1 x{ u 0 u u 5 u 6 4 u u k 3 u 2 u 1 u 1 u [ ] δ [ ] = u [0] δ [ ] = u 0 vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

8 Représentation convolutionnelle (2) On peut extraire la valeur du signal à n importe quel autre instant n = k en le multipliant par l impulsion décalée δ [ k] Ainsi u [ ].δ [ ] + u [ ].δ [ 3] est un signal qui vaut u 0 à l instant 0, u 3 à l instant 3 et qui est nul partout ailleurs. un signal discret quelconque u [ ] peut s écrire : u [ ] = k=+ k=0 u [ ] δ [ k] Le signal échelon unité défini par I [n] = 1, somme d impulsions comme : I [ ] = k=+ k=0 δ [ k] n > 0, se définit en vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

9 Décomposition en suite d impulsions pondérées u 0 + u u 5 u 6 u 7 u8 4 u9 u u 10 3 u 2 u u 1 0 u(t) = u u 10 vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

10 Représentation convolutionnelle (3) Notons la réponse impulsionnelle par h [ ]. Le système est invariant sa réponse à l entrée décalée δ [ k] sera la réponse impulsionnelle décalée h [ k]. Le système est linéaire la réponse à une combinaison d entrées sera (principe de superposition) la même combinaison des sorties correspondantes. Comme u [ ] = k=+ k=0 u [ ] δ [ k] on détermine la réponse à un signal quelconque u comme : y [ ] = k=+ k=0 u [ ] h [ k] vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

11 Représentation convolutionnelle (4) La sommation dans le membre de droite est appelée produit de convolution des signaux u [ ] et h [ ] et se note : y [ ] = u [ ] h [ ] En utilisant le produit de convolution, la simple connaissance de la réponse impulsionnelle h [ ] suffit à déterminer toutes les réponses....le produit de convolution ne se manie pas facilement! vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

12 Réponse impulsionnelle discrète 1 h 1 -k h -k invariance u 0 uk. k u. h k + linéarité vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26 k

13 Passage au cas continu Par analogie c est direct...mathématiquement parlant c est plus complexe! Problème : l analogue continu δ (t) du signal impulsionnel δ [ ] permet de "construire" n importe quel signal, comme l échelon unité avec : I (t) = + 0 δ (τ k) dτ Cela suppose que δ (t) est la dérivée de I (t) mais ce signal n est pas dérivable en 0... fait appel à la théorie des distributions et δ (t) est appelé impulsion de Dirac. vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

14 L impulsion de Dirac L impulsion de Dirac δ (t) = la limite pour ɛ 0 d une fonction rectangulaire d amplitude 1 ɛ et de largeur ɛ. (t) La limite pour ɛ 0 n existe pas (au sens des fonctions) mais on vérifie les propriétés suivantes : 2 2 δ(t) = 0, t 0 + δ (τ) dτ = 1 vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

15 Réponse impulsionnelle continue Théorie des distributions on peut manipuler les impulsions comme s il s agissait de fonctions. un signal u( ) = une "composition impulsionnelle": u( ) = u(τ)δ( τ)dτ Si h(t) définit la réponse impulsionnelle d un LTI, la réponse à un signal quelconque s écrit : y(t) = u(τ)h(t τ)dτ Cette intégrale définit le produit de convolution en continu qui se note : y(t) = u(t) h(t) vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

16 Produit de convolution continu Le produit de convolution est commutatif, distributif, et associatif. La mise en parallèle de 2 systèmes de réponses impulsionnelles respectives h 1 et h 2 a comme réponse impulsionnelle la somme h 1 + h 2 La mise en série de 2 systèmes de réponses impulsionnelles respectives h 1 et h 2 a comme réponse impulsionnelle le produit h 1 h 2 Remarque... t h t 1 h1 t h2 t Importace de la réponse impulsionnelle (signature d un LTI) mais manque de commodité du produit de convolution... Transformée de Laplace vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

17 La transformée de Laplace Intérêt : exploiter les propriétés de linéarité de l équation différentielle. Passage du domaine temporel au domaine fréquentiel. En automatique linéaire il existe 2 approches différentes... l approche fréquentielle la fonction de transfert l approche d état la représentation d état...qui se rejoignent et se complètent. La transformée de Laplace est l outil mathématique principal de l approche fréquentielle. vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

18 Définition de la transformée de Laplace Definition On définit la transformée de Laplace X (s) de x(t) comme : L (x (t)) = X (s) = + 0 x(t)e st dt où s est une variable complexe s = σ + jω. Cette transformée est inversible : L 1 (X (s)) = x (t) = 1 γ+i. X (s)e st dω 2πi Remarque γ i. En toute rigueur l intégrale de définition devrait se faire sur [, + ] mais en pratique on ne considère que le temps positif. vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

19 Propriétés de la transformée de Laplace (1) proprieté : linéarité propriete : convolution L (x (t)) = X (s) L (y (t)) = Y (s) alors L (αx (t) + βy (t)) = αx (s) + βy (s) Le produit de convolution est défini comme : On montre que : z(t) = x(t) y(t) = + Z(s) = X (s).y (s) x(τ)y(t τ)dτ La L remplace le produit de convolution par un simple produit. vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

20 Propriétés de la transformée de Laplace (2) propriété : dérivation Soit : L (x (t)) = X (s) alors L ( x (n) (t) ) = s n X (s) s (n 1) x(0) s (n 2) ẋ(0) x (n 1) (0) }{{} Conditions initiales propriété : intégration Soit : z(t) = t x(τ)dτ alors Z(s) = X (s) s vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

21 Propriétés de la transformée de Laplace (3) Théorème (Théorème de la valeur finale) Soit : L (x (t)) = X (s) alors lim x(t) = x = lim sx (s) t s 0 Théorème (Théorème de la valeur initiale) Soit : L (x (t)) = X (s) alors lim sx (s) = s x(0+ ) de même la valeur de la dérivée à l instant t = 0 est lim s s2 X (s) = ẋ(0 + ) vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

22 Propriétés de la transformée de Laplace (4) Théorème (Théorème du retard) Soit Soit : L (x (t)) = X (s) alors L (x (t τ)) = X (s)e sτ vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

23 Exemple de calcul Calcul de la transformée de l échelon L (x (t)) = L(A) = 0 Ae sτ dτ = A 0 e sτ dτ = [ A ] s e sτ 0 = A s Dans l utilisation courante de la transformée de Laplace on utilise des tables. vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

24 Application aux équations différentielles (1) On exploite la propriété sur le dérivée (prop 20) L équation différentielle peut se réécrire comme : [ an s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 ] Y (s) [ a n s n 1 + a n 1 s n a 2 s + a 1 ] y(o) [ a n s n 2 + a n 1 s n a 3 s + a 2 ] ẏ(o). [a n ] y(o) (n 1) = [ b m s m + b m 1 s m b 1 s + b 0 ] U(s) [ b m s m 1 + b m 1 s m b 2 s + b 1 ] u(o) [ b m s m 2 + b m s m b 3 s + b 2 ] u(o). [b m ] u(o) (n 1) vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

25 Application aux équations différentielles (2) Le transfert entre l entrée et la sortie s écrit alors : Y (s) U(s) = b ms m + b m 1 s m b 1 s + b 0 a n s n + a n 1 s n 1 + I (s) + + a 1 s + a 0 I (s) contient tous les termes issus des conditions initiales. On peut réécrire l équation précédente comme : G(s) = Y (s) m U(s) = K i=1 (s z i) n j=1 (s p j) + I (s) p j sont les racines du polynôme dénominateur et sont appelés les pôles de la fonction de transfert G(s) z i sont les racines du polynôme numérateur et sont appelés les zéros de la fonction de transfert G(s) vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26

26 Exemple d application Soit l équation différentielle ÿ(t) + y(t) = 0 On a y(0) = α et ẏ(0) = β. Le passage à la transformée de Laplace donne : s 2 Y (s) + Y (s) αs β = 0 Soit encore : Y (s) = αs s β s Par identification dans la table des fonctions de transfert on obtient : y(t) = [α cos(t) + β sin(t)] vincent.mahout@insa-toulouse.fr Cours n 2 December 19, / 26