TFJM 2 Problème 10. Orsay Équipe 2

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1 TFJM 2 Problème 10 Orsay Équipe 2 Résumé Dans cet exercice, nous cherchons les découpages d une grille carré qui, une fois les pièces découpées, ne permettent de reformer le carré que d une seule manière à une rotation près. Nous avons donc cherché les pièces inamovibles, c est-à-dire celles qu on ne peut déplacer autrement qu en faisant faire une rotation au carré. Nous avons étudié le même problème pour une grille triangulaire, pour une grille hexagonale et pour le cube. 1

2 Table des matières Orsay Équipe 2 Problème 10 Table des matières 1 Dans le cas d un carré Certaines pièces ont la même forme et les échanger ne donne pas un nouvel assemblage Les pièces sont deux à deux distinctes Dans le cas d un triangle Certaines pièces ont la même forme et les échanger ne donne pas un nouvel assemblage Les pièces sont deux à deux distinctes Dans le cas d un hexagone Certaines pièces ont la même forme et les échanger ne donne pas un nouvel assemblage Les pièces sont deux à deux distinctes Dans le cas d un cube Certaines pièces ont la même forme et les échanger ne donne pas un nouvel assemblage Les pièces sont deux à deux distinctes

3 Question 1 Orsay Équipe 2 Problème 10 1 Dans le cas d un carré Définition 1 Précisons le vocabulaire que nous allons utiliser. On considère qu une valeur de k marche s il est possible de trouver un découpage de k pièces tel qu il existe une unique manière de reformer le carré à une rotation près. Une valeur de k ne marche pas si il est impossible de trouver un tel découpage. Théorème 2 Il est évident que le cas k = 1 marche pour tout n et toutes les questions. 1.1 Certaines pièces ont la même forme et les échanger ne donne pas un nouvel assemblage Théorème 3 Toutes les valeurs de k [1, (n 1) 2 + 1] {n 2 } marchent. De plus, si n = 2, alors k = 3 marche également. Démonstration : Considérons tout d abord le cas n = 2. Pour k = 2, il suffit de découper le carré en deux parties égales. Pour k = 3, on peut le découper en un domino et deux petits carrés 1 1. Pour k = 4, on découpe tout en petits carrés. Ainsi, pour n = 2, k {1, 2, 3, 4}. Pour n 3, la valeur k = n 2 marche toujours, en découpant tous les petits carrés. On prouve que tous les k [1, (n 1) 2 + 1] marchent. En effet, il suffit de découper des petits carrés 1 1 dans un même coin, en gardant une unique grosse pièce à côté (voir Figure 1.). On peut agrandir la zone de petits carrés jusqu à couvrir tout le carré (n 1) (n 1), et laisser une pièce qui forme un coin (voir Figure 2.). Toutes ces configurations marchent car la grosse pièce touchera alors les quatre côtés du grand carré, ce qui fait qu il est impossible de la déplacer autrement qu en la tournant. Figure 1: Grille carrée de taille 4 3

4 Question 1 Orsay Équipe 2 Problème 10 Figure 2: Grille carrée avec (n 1) pièces Cette configuration contient bien (n 1) pièces et marche. Conjecture 4 On conjecture que, si n 3, seules les valeurs de k [1, (n 1) 2 + 1] {n 2 } marchent. La configuration ci-dessus semble optimale car elle permet de garder une pièce qu on ne peut déplacer (celle qui touche les quatre côtés) et que le reste est découpé en un maximum de carrés. Des situations avec plus de pièces auront des grandes pièces qu on pourra échanger avec des petits carrés. Par exemple, le cas k = n 2 1 ne marche pas car il n y aurait que un domino et les reste serait composé de petits carrés, et on pourra déplacer le domino. Cependant, même si ce résultat est vrai nous ne sommes pas arrivés à prouver qu il n existera pas de situations avec strictement plus de pièces (n 1) qui ne pourront pas être remplacées par des petits carrés. Finalement on conjecture donc que pour n 3, seuls les k [1, (n 1) 2 + 1] {n 2 } marchent. 4

5 Question 1 Orsay Équipe 2 Problème Les pièces sont deux à deux distinctes Cherchons une borne supérieure de k dans ce cas. La borne supérieure s atteint lorsqu on découpe le carré en des polyominos différents les plus petits possibles. Ainsi, pour déterminer la borne supérieure il suffit de savoir combien il existe de polyominos différents constitués du même nombre de carrés. Nous pouvons le faire pour les petites valeurs. Il existe 1 polyomino à 1 carré. Il existe 1 polyomino à 2 carrés. Il existe 2 polyominos à 3 carrés. Il existe 7 polyominos à 4 carrés (en effet, on peut tourner les polyominos mais pas les retourner : on peut alors différencier, par exemple, le polyomino S du polyomino Z). Il existe 18 polyominos à 5 carrés. En continuant à dénomber les polyominos à k carrés, on en déduit des bornes supérieures sur le nombre maximal de pièces deux à deux distinctes avec lesquelles on peut paver un carré n n. Par exemple, ces 29 polyominos représentent un total de 124 petits carrés, avec lesquels on peut recouvrir un carré de maximum. Ainsi, pour tout n 11, k 29. Cependant, une borne supérieure obtenue par cette manière n est pas forcément une valeur maximale atteinte. Ainsi, pour n = 3, on pourrait à priori mettre un maximum de 4 pièces. Étudions les cas : Figure 3: Grille carrée de taille 3 avec k = 2 5

6 Question 1 Orsay Équipe 2 Problème 10 Figure 4: Grille carrée de taille 3 avec k = 3 Mais il n est pas possible de créer une grille de taille 3 avec k = 4 pièces. En effet, la seule manière de faire un tel découpage serait d utiliser tous les polyominos à 1, 2 et 3 carrés (et ce serait bien la seule solution : si on utilise une pièce à plus de carrés, on devrait utiliser plusieurs petits carrés, ce qui est interdit). Or, en utilisant toutes ces pièces, on peut faire plusieurs découpages : Figure 5: Deux découpages possibles pour k = 4 Ainsi, la borne supérieure obtenue par énumération du nombre de n-ominos n est pas toujours atteinte. 6

7 Question 2 Orsay Équipe 2 Problème 10 2 Dans le cas d un triangle 2.1 Certaines pièces ont la même forme et les échanger ne donne pas un nouvel assemblage Théorème 5 Toutes les valeurs de k [1, (n 1) 2 + 2] {n 2 } marchent. Démonstration : De même que pour le carré, faisons à part le cas n = 2. En faisant le même découpage que pour le carré, on trouve que les valeurs de k qui marchent sont 1, 2, 3, 4. Pour n 3 on utilise la même méthode que pour le carré, c est-a-dire tout découper en petits triangle sauf une pièce qui touche les trois côtés (Figure 6.). Figure 6: Grille triangulaire à (n 1) pièces Conjecture 6 Pour les mêmes raisons que dans le cas du carré, on conjecture que cette situation est optimale. Ainsi, on conjecture que, pour n 3, les k [1, (n 1) 2 + 2] {n 2 } marchent tous, et seuls ceux-là. 2.2 Les pièces sont deux à deux distinctes On pourrait faire de la même manière que dans la cas d un carré, en dénombrant toutes les pièces constituées de petits triangles. 7

8 Question 3 Orsay Équipe 2 Problème 10 3 Dans le cas d un hexagone Définition 7 Considérons une grille constituée d hexagones. On appelle un grille de taille n, celle qui a n hexagones de côté (voir Figure 7.) Figure 7: Grille hexagonale de taille 3 Théorème 8 Soit U n le nombre d hexagones dans une grille de taille n. Alors U n = 3n(n 1) + 1 Démonstration : Par récurrence : Initialisation : pour n = 1, il y a 1 hexagone. Hérédité : Supposons la formule vraie au rang n, on regarde à n + 1 : U n+1 = 6n 6 + U n = 6 n(n 1) = 3n(n 1) Certaines pièces ont la même forme et les échanger ne donne pas un nouvel assemblage Théorème 9 Toutes les valeurs de k [1, 3n 2 5n + 3] {U n } marchent. Démonstration : Il suffit de découper des petits hexagones soit à droite, soit à gauche d une des plus grande diagonale, tout en gardant celle-ci intacte (voir Figure 8. et Figure 9.). 8

9 Question 3 Orsay Équipe 2 Problème 10 Figure 8: Grille hexagonale de taille 3 Figure 9: Grille avec 3n 2 5n + 3 pièces Cette configuration contient U n 2n = 3n 2 5n + 3 pièces. Conjecture 10 Pour les mêmes raisons que dans le cas du carré, on conjecture que cette situation est optimale. On conjecture donc que seuls les k [1, 3n 2 5n + 3] {3n(n 1) + 1} marchent. 9

10 Question 3 Orsay Équipe 2 Problème Les pièces sont deux à deux distinctes On pourrait procéder de la même manière qu avec le carré ou le triangle. 10

11 Question 4 Orsay Équipe 2 Problème 10 4 Dans le cas d un cube En dimension 3, on considère un cube de taille n n n. On appelle polycubes des pièces constituées de cubes accrochés par les faces. On considère qu il est possible de découper un cube de taille n n n en k polycubes de la manière que l on veut. On cherche pour quelles valeurs de k il existe un découpage qui ne permet de reformer le cube que d une unique façon, à une rotation près. On a le droit de retourner les pièces dans tous les sens que l on veut. Trouver la valeur maximale de k ou une borne supérieure. Déterminons l ensemble des valeurs que peut prendre k, en distinguant les cas suivants : a Certaines pièces ont la même forme et les échanger ne donne pas un nouvel assemblage. b Les pièces sont deux à deux distinctes. 4.1 Certaines pièces ont la même forme et les échanger ne donne pas un nouvel assemblage Théorème 11 Toutes les valeurs de k [1, n 3 3n + 3] {n 2 } marchent. De plus, si n = 2, alors k = 6 et k = 7 marchent également. Démonstration : Considérons tout d abord le cas n = 2. Pour k = 2, il suffit de découper le cube en deux parties égales. Pour k = 3, on peut le découper en une pièce et deux pièces Pour k = 4, on découpe une pièce une pièce et le reste en petits cubes. Pour k = 5, on découpe une pièce et le reste en petits cubes. Pour k = 6, 7, 8 on rajoute un petit cube à chaque fois en découpant la grande pièce. Ainsi, pour n = 2, k {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Pour n 3, la valeur k = n 3 marche toujours, en découpant tous les petits cubes. On prouve que tous les k [1, n 3 3n + 3] marchent. En effet, il suffit de découper des petits cubes dans un même coin, en gardant une unique grosse pièce à côté. On peut agrandir la zone de petits carrés jusqu à couvrir tout sauf la pièce contenant trois arêtes deux à deux perpendiculaires du cube et quatre sommets. Toutes ces configurations marchent car la grosse pièce touchera alors les six faces du grand cube, ce qui fait qu elle est inamovible autrement qu en la tournant. Cette configuration contient bien n 3 3n + 3 pièces. Conjecture 12 Pour les mêmes raisons que dans le cas du carré, on conjecture que cette situation est optimale. On conjecture donc que, pour n 3, seuls les k [1, n 3 3n + 3] {n 3 } marchent. 11

12 Question 4 Orsay Équipe 2 Problème Les pièces sont deux à deux distinctes Il faudrait raisonner de la même manière qu avec le carré pour trouver une borne supérieure. 12