Trigonométrie. 360 =...rad 180 =...rad 90 =...rad 45 =...rad. Placer le point M correspondant aux angles précédents dans chaque cercle.

Transcription

1 Trigonométrie I) Le cercle trigonométrique ) Le radian n considère une piste d athlétisme circulaire de rayon km et un personnage parcourant à partir du repère I cette piste. La longueur ou le périmètre de la piste est égal à...km utrement dit tour correspond à...km ½ tour correspond à...km ¼ de tour correspond à...km /8 de tour correspond à...km Sachant que le rayon R de la piste est égal à on peut associé à la distance parcourue c est à dire à la longueur de l arc, l angle α. ette mesure de l angle qui équivaut à la longueur de l arc de cercle lorsque le cercle a pour rayon a comme unité le radian. insi 60 =...rad 80 =...rad 90 =...rad 5 =...rad Placer le point M correspondant aux angles précédents dans chaque cercle. ) Sens de parcours Il est évident que nous pouvons envisager un personnage démarrant du même point et parcourant le cercle dans le sens contraire. Pour une même longueur d arc on aura alors deux valeurs opposées qui correspondront aux deux sens de parcours Sur les cercles précédents placer le point M correspondant aux valeurs,,, ) Mesure principale, le cercle ci-contre a pour rayon l unité. D autre part on choisit sur un sens de parcours : le sens positif est le sens contraire des aiguilles d une montre. Un tel cercle est dit trigonométrique. Un point M parcourant est repéré par le réel x égal à l arc orienté IM. Remarque : il est évident qu un point sur le cercle repéré par le réel x représentera une infinité de parcours x + k où k est un entier relatif qui désigne un nombre de tours Exemple : le point M ci-dessus est repéré par la valeur. Mais cette position peut aussi représenter 7 6 la valeur = + = + soit tours et... u encore par = + =... + soit... tours et... n dit que tous les réels de la forme + k, k Z sont représentés par le réel.

2 Il est clair qu en envisageant l intervalle ;, on désigne tous les points du cercle et donc tous les réels x peuvent être représentés par une valeur et une seule de cette intervalle. ette valeur est la mesure principale de x ) Exercices a) Placer les points,,, D, E, et F repérés par les angles suivants après avoir calculer les mesures principales : = + soit 6 tours dans le sens négatif et. I - = 5 = - = 7 7 = = = b) Indiquer deux valeurs possibles de x permettant de repérer les points du cercle : : x =.... ou x =.... : x =.... ou x =.... : x =.... ou x =.... D : x =.... ou x =.... E : x =.... ou x =.... F : x =.... ou x =.... F D I - E - c) n suppose que le personnage parcourant la piste décrite précédemment enroule autour de celle-ci une ficelle accrochée en un piquet situé en I, et on veut représenter son parcours sur une droite. insi une fois le parcours terminé, on déroule la ficelle pour obtenir la droite graduée et orientée ci-dessous. Placer sur la droite les points,, et D correspondants respectivement aux parcours 7 5 7,,,

3 Valeurs remarquables du sinus et cosinus Exercice Le cosinus d un angle est égal au sinus de l angle complémentaire est un triangle rectangle en et on note x l angle aigue. Exprimer en fonction de x la valeur exacte de l angle Ecrire deux quotients exprimant cos( ) et sin ( ). onclure Exercice Valeurs exactes de cos cos et cos 6 ) Montrons que est un triangle rectangle en tel que = =. c) Déterminer la valeur exacte de. d) Exprimer en radians la valeur exacte de l angle e) onclure II) Montrons que est un triangle équilatéral tel que =, H est le pied de la hauteur issue de ) Déterminer la valeur exacte de H. ) Exprimer en radians la valeur exacte de l angle ) onclure H III) Montrons que 6 En utilisant la figure précédente montrer ce résultat Exercice Tableau En utilisant les résultats précédents compléter le tableau ci-dessous x 0 cos( x) sin( x)

4 Exercice alculer avec des angles remarquables I) En utilisant le sinus et cosinus placer sur le cercle les points,,, D, E, F et G d abscisses curvilignes respectives :,, 6 ) Donner les valeurs exactes des réels suivants en s aidant du cercle ci-contre 5 5 a) cos ; cos ; sin 6 7 sin 9 b) cos ; cos Exercice 5 sin 7 ; sin 6 ; ; Exercice l aide du cercle trigonométrique, donner toutes les valeurs possibles de x vérifiant ) cos x = sin x = x [ 0 ; ) cos x = sin x = x [ 0 ; ) cos x = sin x = x [ ; cos x = 0 sin x = x ; Exercice ) [ Exercice En vous servant des cercles ci-contre résoudre les équations trigonométriques ) cos x = x [0 ; ) sin x = x [ ; - - ) cos x = x [0 ; ) sin x = x [ ; - - 5) sin x = x [0 ; ) sin x = x [0 ; - -

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