Changement de référentiels

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1 1 MP*1-2015/2016 Changement de référentiels Une horloge est constituée d un pendule de longueur L, le fil étant sans masse, attaché en O au bout duquel est attachée en M une masse ponctuelle m. Il oscille dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On note θ(t) l angle que le fil fait avec la verticale à l instant t. Initialement on a θ(t = 0) = θ o et θ (t = 0) = 0 avec θ o [0, π 2 ]. 1) Quelle est la période T o des petites oscillations? Pour la suite on prend T o = 1 s. 2) Le pendule est maintenant dans un ascenseur qui monte avec une accélération constante a o = 2m. s 2. On suppose que les oscillations du pendule sont petites. L horloge retarde-t-elle ou avance-t-elle par rapport à une horloge restée dans un référentiel galiléen de l escalier? 3) Le mouvement de l ascenseur se décompose maintenant en trois phases : Pendant δt = 5s une accélération constante vers le haut ; Pendant τ, un mouvement à vitesse constante ; Pendant δt = 5s une accélération constante vers le bas. A la fin, l horloge placée dans l ascenseur retarde-t-elle ou avance-t-elle par rapport à une horloge placée dans un référentiel galiléen de l escalier? Une voiture prend une accélération constante a = a o u x. La portière AB est restée ouverte, l angle initial est θ o = π/2. Elle est modélisée par une plaque de hauteur h, de largeur 2a, de masse m uniformément répartie et de moment d inertie par rapport à son axe de rotation J = 4/3ma 2. La liaison Az est supposée parfaite. 2,6. 1) Déterminer l équation différentielle en θ(t). 2) En déduire le temps nécessaire à la fermeture de la portière. On donne Faut-il courir sous la pluie si on veut se mouiller le moins possible? π/2 dθ 0 cosθ Un objet de masse m est lancé vers le haut selon la verticale ascendante u z d'un lieu de latitude λ avec une vitesse initiale v o u. z Le vecteur Ω T représente le vecteur vitesse angulaire de rotation instantanée de la Terre. Ω T est contenu dans le plan (O, y, z), l'axe (O, x) pointant vers l'est. 1) Dans un premier temps on suppose le référentiel (Oxyz) galiléen. Donner les lois du mouvement définissant v(t) et z(t). 2) On cherche à déterminer la variation Δx observée selon l'axe (Ox). On abandonne l'hypothèse de référentiel galiléen pour (Oxyz) et on tient compte de la rotation de la Terre sur elle-même. En considérant =

2 2 la force de Coriolis, et en utilisant la loi de vitesse selon (Oz) établie à la question précédente, donner une évaluation de cette déviation. 3) Calculer Δx pour λ = 51, g = 9,81 m. s 2 et une altitude maximale atteinte de h = 100 m. 5) Anneau sur une barre en rotation : Une barre Ox est animée, par rapport à un axe vertical faisant avec lui un angle, d'un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire. Un petit anneau M, de masse m, coulisse sans frottement sur Ox. 1) Déterminer la position d'équilibre M o de Mdans le référentiel lié à la barre. On pose = sinα Etudier sa stabilité. 2) M étant abandonné sans vitesse initiale relativement à Ox à une distance a de M o, donner l'expression de x en fonction du temps. 3) Calculer, à l'instant t, la composante de la réaction de Ox sur M dans le plan perpendiculaire à (, Ox). Le régulateur à boules de James Watt est un système permettant de réguler la vitesse O α M x z m a m x l o, k M H de rotation d'une machine à vapeur. On le modélise par le système suivant : on considère un losange dont les bras sont articulés sans frottements. Ce losange tourne avec une vitesse angulaire autour de l axe z. Le ressort a une longueur à vide l o et une constante de raideur k. Les deux boules, modélisées par des points matériels de masse m, sont contraintes de se déplacer sur l axe des x. Discuter l existence de positions d équilibre et leurs stabilités. Une station spatiale S est en orbite circulaire autour de la Terre de centre O. Le rayon de l orbite est r o = 7000 km et la vitesse angulaire de la station est notée. On introduit le référentiel R s (S, I, J, k ) centré sur la station et en rotation par rapport au référentiel R g ( O, i, j, k ) supposé galiléen. A un instant pris comme instant initial, un cosmonaute C de masse m se trouve séparé du vaisseau avec une vitesse relative v o. On se propose d étudier le mouvement de C dans le référentiel R s de la station sous l influence du champ de gravitation de la Terre. La position instantanée de C est donnée par SC = r (X, Y, Z = z). 1) On considère r << r o. Montrer que les équations du mouvement du cosmonaute dans le référentiel R s sont, au premier ordre, : X (t) = 3 2 X(t) + 2Y (t) ; Y (t) = 2X (t) ; Z (t) = 2 Z(t)

3 3 2) On suppose que : v v 0 et v ox oy oz vo 15m. s. Quelle est la trajectoire de C? Quelle est la distance maximale L 1 de C à la station au cours de son mouvement? Retournerat-il à la navette? Si oui en combien de temps? 3) On suppose que : v v 0 et vox vo 5m. s. Mêmes questions qu au 2). oz oy c) On suppose que : v oz v ox 0 et voy vo 15m. s. Mêmes questions qu au 2). Dans quelle direction préfériez-vous quitter le vaisseau? Indications : 1) Appliquer la loi de la quantité de mouvement projetée sur la direction perpendiculaire à OM ; 2) Même principe mais en ajoutant la force d inertie d entrainement ; 3) il faut compter combien de période fait le balancier de l horloge de l ascenseur en 10 s ; dans le référentiel de l escalier le balancier fait 10 périodes. 1) Appliquer le théorème du moment cinétique dans le référentiel lié à la voiture ; 2) Multiplier l expression obtenue pour faire apparaitre une intégrale première en θ 2 (t) ; attention au signe de θ (t). Le plus simple est de modéliser la personne par un parallélépipède animé d une vitesse v o. On introduit également l angle que fait la pluie avec la verticale θ. Il faut se placer dans le référentiel lié à la personne et dénombre combien il reçoit de gouttes entre t et t + dt en introduisant une densité des gouttes n. En déduire le nombre de gouttes reçues sur une distance D et chercher le minimum de ce nombre de gouttes reçyes par rapport à la vitesse v o. Il faut distinguer deux cas : les gouttes arrivent dans le dos dans le référentiel où le personnage est immobile et les gouttes arrivent de face. 2) Supposer que le mouvement suivant Oz est le même que dans la question 1) et que dans la projection de la force d inertie de Coriolis sur Ox le terme en z est bien plus important que le terme en x. 5) Particule sur une barre en rotation : Appliquer la loi de la quantité de mouvement dans le référentiel lié à la tige Ox ; ne pas oublier la force d inertie de Coriolis pour le calcul de la réaction.

4 4 Comme il s agit uniquement d une recherche de positions d équilibre, il faut raisonner sur l énergie potentielle du système ; pour cela introduire une énergie potentielle de la force d inertie d entrainement et tenir compte également de l énergie potentielle de pesanteur et l énergie potentielle du ressort ; paramétrer à partir d un des angles entre les diagonales du losange et un côté ; la position d équilibre stable correspond à un minimum de l énergie potentielle totale. 1) Etudier tout d abord le mouvement de la station spatiale dans le réf géocentrique et en déduire sa vitesse angulaire. Il faut appliquer la loi de la quantité de mouvement en tenant compte de l attraction de la Terre, de la force d inertie d entrainement et de la force d inertie de Coriolis; puis faire un DL de la force d inertie d entrainement ; 2) intégrer en tenant compte à chaque fois des conditions initiales. Solutions : 1) T o = 2π L g ; 2) T + = 2π L g+a o ; 3) le nombre de périodes que fait le balancier est N = 5( 1 + g a o + 1 g a o ) ; par exemple pour a o = 2 m. s 2 N = 1,98 5 ; l horloge de l ascenseur a un balancier qui est plus lent, elle retarde. 1) θ (t) + a o3sin (θ(t)) 4a = 0 ; 2) t f = 2,6 2a 3a o. Si v personne < v pluie sinθ, il faut aller à la vitesse v pluie sinθ ; si v personne > v pluie sinθ le résultat dépend de l angle que fait la pluie : en posant θ o = arctan ( L ) avec L largeur de la h personne et h sa hauteur, si θ < θ o il faut courir le plus vite possible et si θ > θ o il faut aller à v pluie sinθ. 1) z (t) = gt + v o ; z (t) = 1 2 gt2 + v o t ; 2) x(t) = Ωcosλ( 1 3 gt3 + v o t 2 ) ; 3) Δx = 2,7 cm. 5) Particule sur une barre en rotation : 1) x éq = gcosα ; c est une position d équilibre instable ; 2) x(t) = ach t + x 2 sin 2 α éq ; 3) R z (t) = 2ma 2 sinαsh t. E p,inertie = m2 x 2 pour chaque masse m ; en introduisant l angle α entre un côté et la 2 verticale, E p,inertie = m2 sin 2 αa 2 2 ; E p,ressort = 1 2 k(h acosα l o) 2 ; E p,pesanteur = Mg(H acosα) ; soit E p = m 2 sin 2 αa k(h acosα l o) 2 +Mg(H acosα) ; Les positions d équilibre sont α = 0 et cosα = kh kl o+mg 2m 2 a+ka si kh + Mg > kl o et kh kl o+mg < 1 ; dans ce cas elle est stable. 2m 2 a+ka ; cette position d équilibre existe 1) Dans le référentiel (R s ) : ma = F g + f ic + f ie = 2me z v + m 2 (3X(t)I Z(t)K ) (après DL) soit X (t) = 2 3X(t) + 2Y (t) ; Y (t) = 2X (t) ; Z (t) = 2 Z(t) ;

5 5 2) Dans ce cas le mouvement est uniquement sur l axe des Z : Z (t) + 2 Z(t) = 0 ce qui donne Z(t) = v o sint ; la trajectoire est rectiligne sur l axe des z et la distance maximale à la navette est L 1 = v o x(t) = v o 2 = 14 km ; 3) le mouvement est dans le plan (XSY). sint et y(t) = + 2v o (1 cost) ; la trajectoire est une ellipse d équation : v2 x 2 + (1 2 y) 2 = 1 ; L o v 2 = 4v o = 56 km ;3) Le mouvement est dans le plan (XSY). o x(t) = + 2v o (1 cost) et y(t) = 3v ot + 4 v o sint ; Le cosmonaute ne reviendra plus jamais ; La première situation est celle qui permet un retour la plus rapide à la navette.