Annales Calcul intégral

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1 Annales Calcul intégral Polynésie - Juin 2012 (5 points) Commun à tous les candidats Le plan est rapporté à un repère orthonormal On considère les points et et la droite d équation. On note la fonction définie sur dont la courbe est donnée en annexe. On suppose, de plus, qu il existe deux réels et tels que : Pour tout réels Les points et appartiennent à la courbe. 1) a) Montrer que le couple est solution du système b) En déduire que, pour tout réel,. 2) Déterminer la limite de en. 3) a) Montrer que pour tout réel,. b) En déduire la limite de en. 4) Étudier les variations de la fonction. On donnera le tableau de variation complet. 5) Étudier la position relative de la courbe et de la droite. 6) On définit sur la fonction. a) Dériver et exprimer la dérivée en fonction de. b) En déduire la valeur de puis la valeur de. c) On désigne par l aire, en unité d aire, du domaine du plan délimité par les droites d équation,, la droite et la courbe. Calculer N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1

2 Centres Étrangers Juin 2012 Commun à tous les candidats On considère la suite définie pour entier naturel non nul par :. 1) Soit la fonction définie sur par. a) Démontrer que la fonction définie sur par est une primitive de la fonction. b) En déduire la valeur de. c) Dériver la fonction définie sur par. Calculer En déduire que d) Calculer et. 2) On considère l algorithme suivant : Initialisation Affecter à n la valeur 1 Affecter à u la valeur Traitement Tant que n 21 Début Tant que Affecter à u la valeur u Sortie Affecter à n la valeur n+2 Fin Tant que Afficher u Quel terme de la suite obtient-on en sortie de cet algorithme? 3) a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul,. b) Montrer que est décroissante. c) En déduire que la suite est convergente. On note sa limite. 4) Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Déterminer. Métropole La Réunion Juin 2012 (6 points) Commun à tous les candidats Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B. Partie A On désigne par la fonction définie sur l intervalle par 1. Déterminer la limite de la fonction en. 2. Démontrer que pour tout réel de l intervalle N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2

3 Dresser le tableau de variation de la fonction. En déduire le signe de la fonction sur l intervalle. Partie B Soit la suite définie pour tout entier strictement positif par 1) On considère l algorithme suivant : Variables : et sont des entiers naturels. est un réel. Entrée : Demander à l utilisateur la valeur de. Initialisation : Affecter à la valeur 0. Traitement : Pour variant de 1 à. Affecter à Sortie : Afficher. la valeur Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur. 2) Recopier et compléter l algorithme précédent afin qu il affiche la valeur de lorsque l utilisateur entre la valeur de. 3) Voici les résultats fournis par l algorithme modifié, arrondis à ,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0,578 0,577 À l aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite éventuelle convergence. et son Partie C Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B. Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite entier strictement positif, 1. Démontrer que pour tout entier strictement positif, où est la fonction définie dans la partie A. En déduire le sens de variation de la suite. telle que pour tout 2. a. Soit un entier strictement positif. Justifier l inégalité b. En déduire que Métropole Juin 2012 (6 points) Commun à tous les candidats Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B. Partie A On désigne par la fonction définie sur l intervalle par N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3

4 1. Déterminer la limite de la fonction en. 2. Démontrer que pour tout réel de l intervalle Dresser le tableau de variation de la fonction. En déduire le signe de la fonction sur l intervalle. Partie B Soit la suite définie pour tout entier strictement positif par 1. On considère l algorithme suivant : Variables : et sont des entiers naturels. est un réel. Entrée : Demander à l utilisateur la valeur de. Initialisation : Affecter à la valeur 0. Traitement : Pour variant de 1 à. Affecter à la valeur Sortie : Afficher. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur. 2. Recopier et compléter l algorithme précédent afin qu il affiche la valeur de lorsque l utilisateur entre la valeur de. 3. Voici les résultats fournis par l algorithme modifié, arrondis à ,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0,578 0,577 À l aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite éventuelle convergence. et son Partie C Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B. Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite telle que pour tout entier strictement positif, 1. Démontrer que pour tout entier strictement positif, où est la fonction définie dans la partie A. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4

5 En déduire le sens de variation de la suite. 2. a. Soit un entier strictement positif. Justifier l inégalité En déduire que Démontrer l inégalité b. Écrire l inégalité en remplaçant successivement par et démontrer que pour tout entier strictement positif, c. En déduire que pour tout entier strictement positif, 3. Prouver que la suite est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite. Pondichéry Avril 2012 (5 points) Commun à tous les candidats 1) On considère les suites et définies pour tout entier naturel par et. Sont représentées ci-dessous les fonctions définies sur l intervalle par pour différentes valeurs de : a) Former une conjecture sur le sens de convergence de la suite en expliquant la démarche. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5

6 b) Démontrer cette conjecture 2) a) Montrer que pour tout entier et pour tout nombre réel de l intervalle : c) Montrer que les suites et sont convergentes et déterminer leur limite. 3) a) Montrer que l on peut écrire sous la forme avec et deux fonctions à identifier. En déduire que puis en fonction de et b) En déduire la limite de quand tend vers. Asie Juin 2011 (5 points) Le plan est rapporté à un repère orthonormal. 1) Étude d une fonction. On considère la définie sur l intervalle par. On note la fonction dérivée de la fonction sur l intervalle. On note la courbe représentative de la fonction dans le repère orthonormal. La courbe est représentée en annexe à rendre avec la copie. a) Déterminer les limites de la fonction en 0 et en. b) Calculer la dérivée de la fonction. c) En déduire les variations de la fonction. 2) Étude d une fonction. On considère la définie sur l intervalle par. On note la courbe représentative de la fonction dans le repère orthonormal. a) Déterminer la limite de en 0, puis en. Après l avoir justifié, on utilisera la relation : b) Calculer la dérivée de la fonction. c) Dresser le tableau de variation de la fonction. 3) a) Démontrer que les courbes et possèdent deux points en commun dont on précisera les coordonnées. b) Étudier les positions relatives des courbes et. c) Tracer sur le graphique de l annexe 1 (à rendre avec la copie) la courbe. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6

7 4) On désigne par l aire, exprimée en unité d aire, de la partie du plan délimitée, d une part par les courbes et, et d autre part par les droites d équations respectives et. En exprimant l aire, comme différence de deux aires que l on précisera, calculer. Nouvelle Calédonie Nov 2008 (5 points) Partie A On considère la fonction définie sur l intervalle par. 1) Déterminer les limites de la fonction en 0 et en. 2) Étudier le sens de variation de la fonction puis dresser son tableau de variations. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 7

8 3) Montrer que l équation admet une solution unique dans l intervalle. Donner un encadrement du nombre à près. Partie B Le plan est muni d un repère orthonormal. On considère sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction, ainsi que la droite d équation. On note le point d intersection de la courbe et de la droite. On considère l aire, en unités d aire, notée, de la partie du plan située au dessus de l axe des abscisses et au dessous de la courbe et de la droite. 1) Déterminer les coordonnées du point. 2) Soit. a) Donner une interprétation géométrique de. b) Vérifier que la fonction définie sur par est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire la valeur de en fonction de α. c) Montrer que peut aussi s écrire sachant que. 3) Calculer l aire en fonction de. Liban Juin 2007 (6 points) Soient et les fonctions définies sur l intervalle par et On note C et C les courbes représentatives respectives des fonctions f et g dans un repère orthogonal. Les courbes C et C sont données en annexe. 1) a) Étudier le signe de sur. b) En déduire la position relative des deux courbes C et C sur N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 8

9 2) Pour appartenant à, M est le point de C d abscisse et N est le point de C de même abscisse. a) Soit la fonction définie sur par. Étudier les variations de la fonction sur. b) En déduire que sur l intervalle, la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour. c) Résoudre dans, l équation d) En déduire que sur, il existe deux réels et pour lesquels la distance MN est égale à 1. 3) a) Vérifier que la fonction définie sur par est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire. b) Vérifier que la fonction G définie sur par est une primitive de la fonction sur. c) On considère la partie du plan délimitée par les courbes C et C et les droites d équations et. Déterminer l aire A, en unité d aire, de cette partie du plan. Pondichéry Avril 2007 (5 points) On considère la fonction définie sur par. 1) Montrer que la fonction est dérivable sur. Étudier le signe de sa fonction dérivée, sa limite éventuelle en, et dresser le tableau de ses variations. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 9

10 2) On définit la suite par son terme général. a) Justifier que, si, alors. b) Montrer, sans chercher à calculer, que pour tout entier naturel, c) En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite. 3) Soit la fonction définie sur par ; a) Justifier que est dérivable et déterminer, pour tout réel positif, le nombre. b) On pose pour tout entier naturel,. Calculer 4) On pose pour tout entier naturel,. Calculer. La suite est-elle convergente? Métropole Juin 2006 (6 points) 1) Soit la fonction définie sur par. On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé d unité graphique 2cm. a) Déterminer la limite de en. b) Justifier que est dérivable sur et déterminer sa dérivée. c) Dresser le tableau de variation de et tracer la courbe. 2) Soit un entier naturel non nul. On considère l intégrale définie par. Soit la fonction définie sur pour tout entier naturel non nul par. a) Montrer que. En déduire. b) Montrer que pour tout entier naturel non nul,. En déduire que pour tout entier naturel non nul,. c) Calculer. Donner une interprétation graphique du nombre. On la fera apparaître sur le graphique de la question 1) c). 3) a) Démontrer que pour tout nombre réel de et pour tout entier naturel non nul, on a l inégalité suivante :. d) En déduire un encadrement de puis la limite de quand tend vers. 4) On considère l'algorithme suivant : Variables est du type nombre est du type nombre N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 10

11 est du type nombre Début algorithme lire n prend la valeur 1 I prend la valeur tant que I début tant que I prend la valeur prend la valeur fin tant que afficher Fin algorithme a) Quel est l'affichage en fin d'algorithme pour? b) Quel est l'intérêt de cet algorithme? Amérique du Nord Mai 2006 (5 points) 1) On considère la fonction définie sur par. On donne ci-dessous le tableau de variations de. 0 2,3 2,4 0 Démontrer toutes les propriétés de la fonction regroupées dans ce tableau. 2) Soit la fonction définie sur par. a) Montrer que où est le réel apparaissant dans le tableau de variations ci-dessus. b) Soit un réel. Pour, exprimer en fonction de. 3) On a tracé dans un repère orthonormal ci-dessous les courbes représentatives des fonctions et notées respectivement et. On appelle le point de coordonnées, le point d intersection de et de l axe des abscisses, le point de ayant même abscisse que et le projeté orthogonal de sur l axe des ordonnées. On nomme le domaine du plan délimité par la courbe et les segments et. On nomme le domaine du plan délimité par le rectangle du plan construit à partir de et. Démontrer que les deux domaines et ont même aire, puis donner un encadrement d amplitude 0,2 de cette aire. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 11

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