Complexité en physique classique

Transcription

1 Complexité en physique classique La physique classique regorge d'exemples simples de systèmes présentant un comportement complexe. Grâces à des exemples simples, illustrés par des animations ou des expériences, il est possible de dégager certaines caractéristiques universelles du comportement complexe. "Simple" <=> "complexe" Q : Antinomie? R : Non "Compliqué" est l'opposé de "simple" qui n'est pas antinomique de "complexe" Conclusion : "complexe" et "compliqué" ont des sens différents

2 Complexité D'après le "Trésor de la langue française" Complexe : (Adj.) Composé d'éléments qui entretiennent des rapports nombreux, diversifiés, difficiles à saisir par l'esprit, et présentant souvent des aspects différents. Définition holistique Complexité : qui ne peut pas se décomposer en une superposition de parties ou de processus élémentaires et indépendants.

3 Complexe et compliqué Un pendule double est un système complexe : son mouvement ne peut pas être décrit par la superposition de deux pendules simples. Les deux pendules sont en effet fortement couplés par l'action et la réaction qu'ils exercent l'un sur l'autre. 1 Boeing 747 : 2 millions de pièces qui volent en formation serrée. C'est un système compliqué, mais pas complexe, même si certaines de ses composantes peuvent être complexes. 1.

4 Mouvement chaotique d'un pendule forcé 1 Pendule soumis à une force extérieure périodique et à un amortissement Paramètres utilisés A = 1.5, ω D = 0.667, γ = 0.5 show_pendulum ml d 2 dt 2 d 2 dt 2 = mg sin d dt d dt C cos t sin = Acos D t 1. G.L. Baker and J.P. Gollub, Chaotic dynamics, an introduction (Cambridge Univ. Press, 1990).

5 Effet papillon Un système complexe présente une grande sensibilité aux conditions initiales ("effet papillon") show_oscillations γ = 0.05, A = 7.5 x 1 (0) = 0, v 1 (0) = x 2 (0) = 0, v 2 (0) = Oscillateur de Duffing ma = kx 3 v F cos t d 2 x dt dx 2 dt x3 = A cos t m

6 Doublement de période, cycle limite, attracteur, chaos Oscillateur de Duffing avec γ = 0.05 (t est donné en unité de période 2π) Espace de phase A = 2.0 : période simple A = 5.0 : période double A = 7.5 : mouvement chaotique v (x(t),v(t)) x

7 Section de Poincare de l'oscillateur de Duffing Définition : (ici) points de la trajectoire dans l'espace de phase pour des temps en progression arithmétique de raison égale à la période de la force extérieure (stroboscope). Paramètres : γ = 0.05, A = 7.5 show_poincare section comportant points

8 Diagramme d'état de l'oscillateur de Duffing Projection de la section de Poincaré (ici sur l'axe des vitesses) et inverse du nombre de boucles de l'attracteur en fonction de l'amplitude A de la force extérieure. Une légère variation de A peut changer le sens de parcours (direct -- rétrograde) sans affecter beaucoup l'attracteur.

9 Bifurcation (1) : le flambement d'une poutre Poutre comprimée par des forces axiales (F positif en compression) u x x d 2 u dx 2 [1 du dx 2 ] 3/ 2 F EI y u = 0 u = 0 est toujours une solution u 0 existe pour F > F cr show_flambement W barre droite F barre fléchie F cr

10 Remarque : flambement (1) Dispositif anti-flambement : raidisseurs et structure en treillis

11 Remarque : flambement (2) Effondrement des tours 1 et 2 du World Trade Center à New York le 11/09/2001 South tower North tower

12 Bifurcation (2) : turbulence Equation de Navier-Stokes pour un fluide incompressible Conditions aux limites : v = 0 sur la surface d'un obstacle fixe et v u distance infinie de l'obstacle. à v t v. v p = v. v = 0 écoulement turbulent Apparition de tourbillons, instables, qui interagissent. Les grosses structures se transforment en plus petites et ainsi de suite àsur plusieurs générations.

13 Remarque : turbulence et Cx Le Cx (drag coefficient C D ) dépend du nombre de Reynolds Re = ud/ν Pour une sphère, écoulement laminaire pour Re < 0.5. Au-delà, développement d'un sillage derrière la sphère, avec des tourbillons d'abord stationnaires. Pour 10 3 < Re < 10 5, les tourbillons se forment et se déplacent dans le sillage, le Cx est constant 0,4 Pour Re > 2x10 5 : le sillage est étroit, siège de turbulences. La turbulence apparaît dans la couche limite devant la sphère pour Re = 4x10 5, avec brusque diminution du Cx air à 300 K : ν = 15,7x10-6 m²/s D = 4 cm, u = 10 m/s => Re = 2,5x10 4

14 Bistabilité, hystérésis, "effet mémoire" Certains systèmes complexes présentent plusieurs états stables endessous d'une température critique. Un paramètre d'ordre M apparaît à basse température, la courbe d'énergie libre F présente plusieurs minima. courbe F vs M Exemple: courbe d'aimantation d'un matériau ferromagnétique H.D. Young, University Physics, 8th Ed (Addison-Wesley, 1992).

15 Remarque : enregistrement de données sur disque dur Aimantation de petits domaines de Weiss dans une couche magnétique (alliage NiCo), dans un sens (bit 1) ou dans l'autre (bit 0). Lecture par un dispositif à magnétorésistance géante (prix Nobel de physique 2007). Tête de lecture GMR Sens de rotation du plateau

16 Caractéristiques d'un système complexe non-linéarité des interactions instabilité irréversibilité imprévisibilité