JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS

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1 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS PIERRE PUISEUX LMA Université de Pau 1. Introduction Citons Yulij Ilyashenko dans la revue Images des Maths du CNRS En première approche, l'étude des systèmes dynamiques peut être divisée en trois périodes : celle de Newton : une équation diérentielle est donnée. Résolvez la. celle de Poincaré : une équation diérentielle est donnée. Décrivez le comportement qualitatif des solutions, sans la résoudre. celle d'andronov : aucune équation diérentielle n'est donnée. Décrivez les propriétés qualitatives des solutions. La dernière armation peut paraître paradoxale. Pourtant, elle fait référence à une branche des systèmes dynamiques très développée aujourd'hui, qui étudie non pas un système dynamique particulier, mais cherche plutôt à décrire le comportement d'un système typique. Par exemple, les équations différentielles planes ont génériquement d'importantes propriétés communes. Ces propriétés décrivent le comportement asymptotique de toutes les solutions. Dans ce cours, nous évoluons dans l'optique de Poincaré, et d'un point de vue plutôt numérique, en éludant les problèmes mathématiques les plus délicats Quelques dénitions de base. Un système dynamique est 1) soit un système d'équations diérentielles de la forme 1.1) Ẋ = F X, t; µ) où t I R + est le temps X : t I X t) U R n, sont les degrés de liberté du système, R n est l'espace des phases, et µ V R p est un ensemble de paramètres et F une application de classe C 1 sur R n R R p. 2) soit un système d'équations aux diérences système dynamique discret) X k+1 = G X k ; µ) où k N représente le temps discrétisé, X k U R n sont les degrés de liberté du système, R n est l'espace des phases, et µ V R p est un ensemble de paramètres. L'application F étant de classe C 1 l'équation diérentielle admet une solution maximale unique théorème de Cauchy- Lipschitz). Une conséquence fondamentale de ce résultat est qu'il ne peut passer qu'une trajectoire par un point donné X 0 de l'espace des phases. Lorsque F ne dépend pas explicitement du temps : F X, t; µ) = F X; µ), le système est dit autonome, il est non autonome si F dépend explicitement du temps. La solution X t) de l'équadi 1.1), satisfaisant la condition initiale X t 0 ) = X 0 donné, sera notée X X 0, t) et même éventuellement X X 0, t; µ) s'il faut faire apparaître les paramètres µ). Dans l'espace des phases, une solution de 1.1) et appelée une trajectoire ou une orbite Portrait de phase. Le portrait de phase d'un système dynamique est une représentation graphique de plusieurs trajectoires représentatives dans l'espace des phases. Étant donné un système dynamique, Ẋ = F X, t), sans résoudre les équations, on peut toujours, à un instant t donné, représenter graphiquement à l'aide de èches) le champ des Ẋ le champ des vitesses si X sont des coordonnées). La lecture de cette représentation graphique sera très utile pour se faire une idée du comportement du système. Example 1.1. Considérons le système 1.2) { ẋ ẏ = rx + y + xy = x 2 y et traçons le champ F x, y) = f x, y), g x, y)). Scilab propose pour cela une fonction appelée champ. Par utilisation de la fonction ode), on peut superposer une solution en rouge). 1

2 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 2 Fig Système dynamique 1.2), avec r = 3 16, représentation du champ et une trajectoire. Voici le code scilab correspondant : //Manneville function Y=Mannet,X) Y=[r*X1)+X2)+X1)*X2) ;-X2)-X1)*X1)] endfunction r=3./16 ; n=30 ; x=linspace-1,1,n) ; y=linspace-1,1,n) ; rect=[-1,-1,1,1] ; fx=zerosn,n) ; fy=zerosn,n) ; xbasc) ; fchampmanne,2,x,y,rect=rect) W=ode[-1+2*rand) ;-1+2*rand)],0,0 :0.1 :120,Manne) ; W=W' ; plotw :,1),W :,2),'r-') ; 1.3. Du dynamique au discret. Étant donné un système dynamique continu, on peut obtenir un système à temps discret de diérentes manières : une famille d'instants strictement croissante t 0 < t 1 < < t k <... est donnée 1) X t k+1 ) = X t k ) + t k+1 t k F X t)) dt est de la forme X k+1 = G X k ) 2) Ẋ t k ) Xt k+1) Xt k ) t k+1 t k = F X t k )) donc X k+1 est de la forme X k+1 = X k + t k+1 t k ) F X k ) 3) L'application de premier retour de Poincaré consiste l'espace des phases est supposé, par exemple en trois dimensions) à bien choisir un plan P dans R 3 et à noter X 0, X 1,... les intersections successives de la trajectoire avec P. 4) Les X t k ) sont simplement obtenus en résolvant le système dynamique Ẋ = F X), et en prenant les valeurs de la solution aux instants t k. Numériquement, c'est cette option qu'on utilisera le plus souvent car scilab propose, avec la fonction ode...), un solveur d'équations diérentielles très performant.) Ces exemples montrent que les systèmes dynamiques à temps discret ou à temps continu sont essentiellement de même nature. Les systèmes discrets sont de manière générale plus simple à étudier Oscillateur libre, solution périodique. 2. Oscillateur Les équations du mouvement. Les équations du pendule simple sans frottement peuvent s'établir de la manière suivante. Une masse m est soumise au champ de la pesanteur g, suspendue en un point O à un l rigide, de masse négligeable et de longueur l. Ce pendule oscille dans un plan vertical. Si θ t) est l'angle formé par le l et la verticale, à l'instant t, alors les forces agissant sur le pendule sont : le poids, mg dirigé vers le bas, que l'on décompose en mg sin θ dirigé dans le sens de la trajectoire et mg cos θ, composante portée par le l

3 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 3 Fig Application de premier retour Fig Le pendule simple la réaction du l, mg cos θ, dirigée vers le point O, qui s'oppose à la composante du poids portée par le l La vitesse de la masse est v = l θ, et l'accélération l θ. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit alors : soit encore : 2.1) F = ml θ = mg sin θ θ + g l sin θ = 0 Si on suppose que l'angle θ reste faible, alors sin θ θ et l'équation 2.1) devient où ω = g l θ + ω 2 θ = 0 est la pulsation. Cette dernière équation a pour solution générique θ t) = θ 0 cos ωt + φ) φ est la phase et θ 0 l'angle maximum. Le mouvement est périodique, de période T = 2π. ω Dans certains cas plus complexes, il peut être dicile, voire impossible de résoudre eectivement l'équation diérentielle proposée. Cependant, sans la résoudre, on peut en tirer de nombreux renseignements sur le phénomène qu'elle décrit, et ses caractéristiques. Ainsi pour tout connaître du mouvement décrit par le pendule, on a besoin de deux grandeurs, par exemple angle θ t) et vitesse angulaire θ t) = dθ. dt Plutôt que d'intégrer l'équation 2.1), on peut en représenter la solution dans un référentiel θ) θ,. On obtient une orbite, qui est parfois une courbe fermée comme ici, mais pas toujours. Ce mode de représentation est capital, et on y a recours très souvent. On appelle espace des phases l'espace R 2 dans lequel évolue le couple θ, θ). L'équation 2.1) se reformule dans cet espace, après avoir posé X = x, y) = { ẋ t) = y 2.2) ẏ t) = ω 2 x θ, θ) :

4 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 4 1 qui est de la forme ẋ, ẏ) = F x, y) où f est à valeurs dans R 2. Les coordonnées dans l'espace des phases sont les degrés de liberté du mouvement. De manière analogue, un ensemble de N corps planètes par exemple) qui se déplacent dans un espace à trois dimensions possède 3N degrés de liberté. Un système dynamique 2.3) Ẋ = F X), X R n étant donné, on note U R n l'ensemble des X 0 tels qu'il existe une solution unique X X 0, t), t > 0 de 2.3) passant par X 0. Denition 2.1. On appelle alors ot du système dynamique la famille d'applications {φ t : X 0 U X X 0, t), t > 0}. Autrement dit, étant donné un point matériel) en X de l'espace des phases, le ot du système permet de préciser la position φ t X) du point x après un déplacement d'une durée t. Le ot d'un système dynamique est un point de vue global et géométrique sur les équations diérentielles. Pour t xé, le ot est représentatif de la manière dont l'application X t, X 0 ) fait évoluer un ensemble donné de points X 0 dans l'espace des phases. L'analogie avec un ot qui s'écoule est bien sûr à l'origine de la dénomination. On pourrait noter le ot X t, ) mais la notation est un peu lourde Le mouvement dans l'espace des phases. Pour toute solution θ t) de l'équation diérentielle, la courbe paramétrée x t), y t)) = θ t), t)) est appellée trajectoire ou orbite de θ dans l'espace des phases. Un point θ) x, y) = θ, de l'espace des phases étant donné, on a le moyen, du moins en principe) de déterminer la trajectoire passant par ce point, puisque l'on connaît la tangente à ce point ẋ, ẏ) = F x, y) = y, ωx 2). Dans l'exemple traité ici, une simplication importante est permise, car la quantité : E θ, θ ) = 1 2 θ 2 + ω 2 1 cosθ) est une constante du mouvement. En eet : Ė = θ + ω 2 sin θ = 0 Cette quantité représente, au facteur ml 2 près, l'énergie du pendule cinétique + potentielle). Example 2.2. Rassemblez vos souvenirs de physique pour calculer l'énergie cinétique et l'énergie potentielle du pendule à la position θ, θ) dans l'espace des phases. Energie cinétique E c = 1 2 mv2 = 1 2 m lθ)2 Energie potentielle E p = mgh = mgl 1 cos θ) = m lω) 2 On en déduit θ) que les trajectoires dans l'espace des phases sont les courbes d'isoénergie. En passant en coordonnées x, y) = θ,, la trajectoire d'énergie α a donc pour équation : y 2.4) ω2 1 cos x) α = 0 Cette équation cartésienne de la trajectoire a été obtenue sans résoudre l'équation 2.1). On est donc capable, sans résoudre d'équation diérentielle, de calculer et tracer les trajectoires dans l'espace des phases. Ce faisant, on y perd la notion de temps car étant donné un point de la trajectoire, on ne sait pas à quel instant il est associé. Example 2.3. Quelle est l'énergie E 1 = E π, 0) de la trajectoire correspondant à une vitesse nulle, et un angle de π? Ecrire un script scilab qui trace environ une dizaine de trajectoires dont celle d'énergie E 1, correspondantes à des énergies inférieures ou égales à 4ω 2. On pourra pour cela utiliser la fonction contour. On observera la forme presque circulaire des trajectoires d'énergie E < E 1. Voir la gure 2.2) Forme canonique des équations du mouvement. En introduisant le moment angulaire p θ = l θ, l'équation 2.1) du pendule peut se reformuler avec deux équations diérentielles du premier ordre : 2.5) 2.6) θ = H p θ p θ = H θ 1 Plus généralement pour une équation diérentielle qui dépend d'un ensemble de paramètres µ Ẋ t) = F X, t; µ) X U R n, t I R et µ V R p. L'espace des phases est R n, tandis que R p est l'espace des paramètres où évolue la famille de paramètres µ

5 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 5 Fig Portrait de phases du pendule simple l = 1.0, g = 9.81) Le graphe est 2π périodique. Pour des petites valeurs de l'énergie, les trajectoires sont des cercles, et sont bien approchées par l'approximation linéaire des petites oscillations. Pour des valeurs plus grandes, les cercles deviennent ellipses, et l'approximation linéaire n'est plus valide. Lorsque l'énergie dépasse le seuil de 2 g l, le pendule fait des tours complets dans un sens ou dans l'autre suivant que la vitesse angulaire θ est positive ou négative, ne s'annule plus. où H est la fonction de Hamilton du pendule : H θ, p θ ) = 1 p 2 θ 2 l 2 + g 1 cos θ) l On note que H θ, p θ ) n'est autre que l'énergie θ) E θ, du pendule. Les deux variables θ et pθ sont dites canoniquement conjuguées au sens de Hamilton-Jacobi. Comme dh = H dt θ θ + H p θ p θ = 0 On voit que l'énergie reste constante au cours du mouvement Oscillateur amorti, points attracteurs Dissipation d'énergie par frottement. Pour tenir compte du frottement visqueux frottement de l'air, ou du uide dans lequel baigne le pendule), on suppose qu'il apparaît une force γ θ, opposée à la vitesse, et d'intensité proportionnelle à la vitesse, où γ > 0 est appelé coecient d'amortissement. Le coecient ω 2 = g l est le carré de la pulsation 2.7) θ + γ θ + ω 2 sin θ = 0 On peut se ramener à une équation du premier degré dans R 2 en posant x, y) = { ẋ = y 2.8) ẏ = γy ω 2 sin x θ, θ) : Si l'on suppose θ petit, sin θ θ, alors on obtient l'équation linéarisée du pendule amorti : 2.9) θ + γ θ + ω 2 θ = 0 Qui s'écrit également, en posant X = x, y) t = θ, θ ) ) t 0 1 et A = ω 2 γ 2.10) L'énergie d'un tel pendule est donc Ẋ = AX E θ, θ ) = 1 2 θ2 + ω 2 θ 2) où l'on a tenu compte de 1 cos θ θ2 2 pour évaluer l'énergie potentielle.

6 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 6 Fig Une trajectoire qui spirale vers le point xe 0, 0), pour γ = 0.5 comparée avec des trajectoires pour γ = 0 Tenant compte de 2.7) on calcule la dérivée de E par rapport au temps : Ė = γ θ 2 ainsi, il y a conservation de l'énergie si γ = 0, diminution de l'énergie si γ > 0 et production d'énergie si γ < 0. 2 Sans résoudre l'équation diérentielle, on remarque toutefois que si γ < 0, le point d'équilibre θ = θ = 0 pour lequel l'énergie est nulle, est un équilibre instable puisque si l'on écarte légèrement le pendule de cette position, son énergie se met à croître, donc le mouvement s'amplie. Dans le cas présent, le principe de conservation des aires, pour les systèmes hamiltoniens, ne s'applique pas. Le calcul de la divergence.f = γ avec la remarque 4.7), montre qu'il y a contraction exponentielle) des aires dans l'espace des phases, l'énergie diminue Portrait de phase. Example ) En posant θ) X = x, y) = θ,, mettre 2.7) sous forme Ẋ = F X; t) puis utiliser scilab pour résoudre cette équation diérentielle fonction ode)), pour g = 9.81 ms 2, l = 1.0 m, angle initial θ 0 = π 2, vitesse angulaire initiale θ 0 = 0.0 s 1, et coecient de viscosité γ = 0. Notez les caractéristiques du pendule. essentiellement la vitesse angulaire maximale) 2) Tracer les trajectoires correspondant à γ > 0, γ = 0 puis γ < 0 dans l'espace des phases. Combien de types de trajectoires voyez-vous? on pourra tracer les trajectoires en superposition du graphique obtenu à l'exercice 2.3) Point xe, stabilité, une première approche. Sous la forme 2.10), le système se prète à une analyse poussée. Plus généralement, on considère le système autonome : Ẋ = F X), X U R n, F C r U) Denition 2.5. On appelle point xe, ou point stationnaire, ou point critique, ou point d'arret ou point singulier, tout point X de l'espace des phases tel que F X ) = 0 Example 2.6. L'équation du pendule simple amorti : θ + γ θ + ω 2 sin θ = 0 s'écrit sous forme de système dynamique en posant θ) x, y) = θ, : { ẋ t) = y 2.11) ẏ t) = γy ω 2 sin x dont les points xes sont x, y) {nπ, 0), n Z} correspondant aux deux points d'équilibre θ = kπ, θ = 0 dont l'un est stable θ = 0), l'autre instable θ = π). Si l'on écarte légèrement la masse de son point d'équilibre stable : en l'absence de frottement γ = 0, la masse va continuer à osciller indéniment, autour de la position d'équilibre, l'équilibre est dit stable, mais asymptotiquement instable 2 Si vous parvenez à fabriquer un pendule à γ négatif, votre fortune est faite!

7 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 7 en présence de frottement, γ > 0, les forces visqueuses vont amortir le mouvement et la masse va à la longue, retrouver sa position d'équilibre. L'équilibre est dit asymptotiquement stable Denition 2.7. Un point xe X R n est dit : 1) stable si pour tout ɛ > 0, il existe un δ > 0 tel que X X 0) < δ = supt X X t) < ɛ, 2) asymptotiquement stable, ou attractif, s'il existe un δ > 0 tel que X X 0) < δ = limt X t) = X, 3) instable ou répulsif s'il n'est pas stable. On voit immédiatement que si un point est asymptotiquement stable, alors il est stable. Denition 2.8. Si X est attractif, le bassin d'attraction de X est l'ensemble de X 0 R n tels que X X 0, t) converge vers X lorsque t. Étudions les points xes de l'équation 2.10).γ > 0. On suppose ici que le coecient d'amortissement γ est positif. Les valeurs propres de la matrice A sont les racines du polynôme 2.12) p λ) = λ 2 + γλ + ω 2 ) ) ) 2 ) 2 1) Si > 0 3, on l'écrit sous la forme = γ 1 2 2ω γ > 0, et les valeurs propres λ = γ 2ω 2 1 ± 1 γ sont toutes deux du signe ) de γ. La matrice A est diagonalisable, et il existe une base propre. On a A = P 1 DP λ1 0 où D = est diagonale et P est la matrice de passage de la base canonique à la base propre. 0 λ 2 L'équation 2.10) devient Ẋ = P 1 DP X et le changement de variable Y = P X montre qu'elle est équivalente à : Ẏ = DY c'est à dire ẏ 1 = λ 1 y 1 et ẏ 2 = λ 2 y 2 dont la solution générique est bien connue : y 1 t) = y 1 0) e λ1t y 2 t) = y 2 0) e λ2t comme λ 1 et λ 2 sont négatives, on a lim t Y t) = 0, 0) donc le point xe 0, 0) est attractif, et son bassin d'attraction est R 2, c'est à dire que pour toute condition initiale Y t = 0) R 2 la trajectoire solution de 2.10) converge vers le point xe. 2) si = 0, la valeur propre λ = γ 2 = ω < 0 est double et un calcul simple montre qu'il n'existe qu'une seule direction propre : e 1 ) = 1, ω), on lui associe un vecteur e 2 indépendant et dans la base e 1, e 2 ) la matrice A ω 1 devient. Par suite les équations diérentielles sont ẏ 0 ω 1 = ωy 1 + y 2 et ẏ 2 = ωy 2 dont la solution générale est : y 1 t) = y 1 0) + y 2 0) t) e ωt y 2 t) = y 2 0) e ωt Dans ce cas, on voit que le point xe 0, 0) est également attractif, le bassin d'attraction est R 2. 3) Si < 0, c'est à dire 0 γ < 2ω les valeurs propres sont complexes et conjuguées λ = γ 2 + iω 1 avec ) 2 2ω ω 1 = γ γ 1. On se plonge dans C2 où l'on sait que la matrice A admet deux vecteurs propres complexes conjugués e et e formant une base et que sur cette base, la matrice A s'exprime comme B = le système d'équations diérentielles s'écrit alors sur cette base : et la solution générale est ẏ 1 = γ 2 y 1 ω 1 y 2 ẏ 2 = ω 1 y 1 γ 2 y 2 y 1 t) = y 1 0) cos ω 1 t y 2 0) sin ω 1 t) e γ 2 t y 2 t) = y 1 0) sin ω 1 t + y 2 0) cos ω 1 t) e γ 2 t γ 2 ω 1 ω 1 γ 2 Là encore, le point xe 0, 0) est attractif, avec R 2 comme bassin d'attraction. On notera que si γ est nul, alors les trajectoires sont des ellipses. Dans ce cas le point singulier 0, 0) n'est ni attractif ni répulsif. ), 3 est positif si le coecient d'amortissement est grand devant la pulsation : γ > 2ω

8 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS Oscillateur entretenu, solutions périodiques. Voir aussi sur http ://www.cax.free.fr/vdp/vdp.html L'entretien d'un oscillateur consiste essentiellement à lui apporter continuellement de l'énergie an de compenser les pertes énergétiques dues au frottement. Un moyen de modéliser cet apport est de faire dépendre la valeur du coecient de frottement γ, de l'amplitude θ des oscillations. On choisit une amplitude de référence θ 0 > 0 et un coecient de référence γ 0 > 0. ) ) 2 θ γ θ) = γ 0 1 θ 0 Notons que lorsque θ > θ 0 le coecient de viscosité γ θ) est positif, le mouvement s'amortit si θ < θ 0 alors γ θ) < 0, le mouvement est amplié. On peut donc s'attendre à un comportement de nature diérente des oscillateurs précédents Equation de VanDerPol. On obtient ainsi l'équation de Van Der Pol : ) ) 2 θ θ γ 0 1 θ + ω 2 θ = 0 Prendre θ 0 ω γ 0 comme unité d'amplitude et 1 ω t = s ω, θ = θ 0x ω γ ) γ0 et en posant ε = ω, cette équation devient : θ 0 comme unité de temps, revient à faire le changement de variables : ẍ ε x 2) ẋ + x = 0 Que l'on transforme en posant X = x, y) = x, ẋ) : { ẋ = y 2.14) ẏ = ε x 2) y x Qui est de la forme Ẋ = F X) Points xes et portrait de phases. Le seul point xe est 0, 0) t. Pour étudier sa stabilité, on est tenté de procéder comme pour le pendule amorti. Malheureusement, l'application F n'est pas linéaire. La solution consiste à linéariser l'application F au voisinage du point xe. Soit X une perturbation autour du point xe. Le développement de F au premier ordre au voisinage du point xe s'écrit, compte tenu de F 0) = 0, 0) t : F X) = F 0) X + O X 2) ) 0 1 où F 0) = est la matrice jacobienne de F en 0, 0) t. Le système dynamique, au voisinage de 0, 0) t 1 ε peut donc être approché par 2.15) Ẋ F 0) X qui se prète bien à l'analyse déjà pratiquée ci-dessus. Le polynôme caractéristique est p λ) = λ 2 λε + 1 Si ε < 2 on pose 1 ε2 4 = α > 0 : les valeurs propres sont complexes conjuguées λ 1 = ε 2 + iα et λ 2 = ε 2 iα ce qui montre que les solutions sont de la forme y 1 t) = y 1 0) cos αt y 2 0) sin αt) e ε 2 t y 2 t) = y 1 0) sin αt + y 2 0) cos αt) e ε 2 t Donc le point xe est stable attractif) ) si ε < 0 et instable répulsif) ) si ε > 0. Si ε > 2 : λ 1 = ε ε et 2 λ2 = ε ε. Les valeurs propres sont réelles, et du signe de ε. 2 Donc le point xe est stable attractif) si ε < 0 et instable répulsif) si ε > 0. Les conclusions que l'on a obtenu lors de l'analyse du pendule amorti, concernant le bassin d'attraction, sont ici invalide puisque la linéarisation de la fonction F rend l'analyse essentiellement locale au voisinage de 0, 0). Example 2.9. Tracer les trajectoires θ, θ) dans l'espace des phases ainsi que les solutions t, θ t)) pour toutes les valeurs de ε {0, 1, 2, 3} Example On se place dans le cas où le point xe est répulsif ε > 0). Tracer les solutions dans l'espace t, θ t)) et les trajectoires dans l'espace des phases θ, θ), et et interpréter les résultats : pour ε = 0.4, X 0 = 1, 3) puis X 0 = 1, 0)

9 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 9 Fig Equation de Van der Pol, ε = 0 Le point xe ne semble pas attractif mais si l'on pousse le temps de la simulation à t = 1000, les solutions semblent s'amortir de plus en plus pour converger vers 0, 0). Il est possible que ça ne soit qu'un eet numérique. Pour le conrmer, on teste ε = ±0.01, en partant au voisinage du point xe 0.1, 0.1) et en poussant le temps de simulation à t = 1000 par exemple. On a conrmation que pour ε = 0.01 > 0 le point xe est répulsif, pour ε = 0.01 < 0, il est attractif. Cependant, voit poindre ici un nouveau mode d'attraction : ça n'est plus un point qui est attractif, mais une trajectoire. Fig Equation de Van der Pol, ε = 1 Le point xe est attractif Fig Equation de Van der Pol, ε = 2 Le point xe 0, 0) est attractif

10 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 10 Fig Equation de Van der Pol, ε = 3 Le point xe 0, 0) est attractif Fig Equation de Van der Pol, ε = 4 Le point xe 0, 0) est répulsif, mais une trajectoire semble attractive. Fig Equation de Van der Pol, ε = 0.4 Le point xe 0, 0) est répulsif, mais une trajectoire semble attractive. pour ε = 4.0 et les mêmes valeurs de X 0

11 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 11 Lorsque ε > 0, on a vu que le point xe est répulsif. On voit apparaître une nouvelle forme de convergence, vers une solution périodique 4, qui est une variété d'attracteur. L'analyse mathématique en est ardue. Nous ne l'abordons pas ici. Par contre, on dispose de quelques théorèmes utiles : Theorem Poincaré-Bendixson). Soit Ẋ = F X) un système dynamique dans R 2. Soit X X 0, t) une trajectoire bornée de ce système. Alors une des alternatives suivantes est réalisée : 1) X est une solution périodique 2) X tend vers une solution périodique 3) X tend vers un point xe Theorem critère de Bendixson). Soit Ẋ = F X) un système dynamique dans R 2. Si D R 2 est un ouvert simplement connexe sans trou), si.f n'est pas identiquement nul et ne change pas de signe, alors le système dynamique n'a pas de solution périodique dans D. Démonstration. voir [Wiggins], chap 4. Example L'oscillateur de Dung : n'a pas de solution périodique dans R 2. { ẋ ẏ 3.1. Oscillateur forcé, attracteur étrange. = y vérie = x x 3.F = δ donc le système dynamique + δy, δ > 0 3. Apparition du chaos Denition 3.1. On appelle cycle limite du système dynamique Ẋ = F X), X Rn un ensemble de points limites formant un lacet 5 dans R n. Un point A R n est appelé point limite d'une trajectoire X t) s'il existe une suite croissante d'instants t n telle que lim n X t n ) = A La dénition d'un attracteur est plus délicate. Denition 3.2. Soit un système dynamique Ẋ = F X) et φ = {φ t, t > 0} le ot associé 6. Un sous ensemble A R n de l'espace des phases est un attracteur si : A est compact A est invariant par le ot φ A est de volume nul A est inclus dans un domaine B de l'espace des phases, de volume non nul, appelé bassin d'attraction de A. Le bassin B est tel que pour X 0 B, la trajectoire passant par X 0 converge vers A au sens où la distance de A à X X 0, t) tend vers 0 lorsque t tend vers l'inni. Un attracteur est un ensemble compact qui attire les trajectoires. Le bassin d'attraction d'un attracteur peut être de forme très complexe, même si l'attracteur est simple un point par exemple) Les cycles limite, les points limites, les points singuliers attractifs, sont des attracteurs. Il existe d'autre type d'attracteurs surprenants, baptisés attracteurs étranges par Ruelle et Takens. En voici un exemple : Example 3.3. Attracteur étrange : un oscillateur forcé et amorti. À l'oscillateur de Van Der Pol, on rajoute une force extérieure d'intensité variable et périodique. On obtient l'équation θ + γ θ + sin θ = A cos ωt qui peut se mettre sous forme de système dynamique autonome 7 en posant x, y, z) = θ, θ, ωt) : ẋ = y 3.1) ẏ = sin x γy + A cos z ż = ω Traçons les trajectoires projetées dans le plan x, y), pour γ = 0.5, ω = 2 3 X 0 = 1, 1, 3) 2. Example 3.4. Attracteur de Lorenz et A {0.9, 1.07, 1.15}, passant par 4 Une trajectoire t X t) de l'espace des phases est dite périodique si il existe T > 0 tel que t > 0, X t + T ) = X t). Il est équivalent de dire que X est une trajectoire fermée, ou qu'elle passe deux fois par le même point X 0 de l'espace des phases. 5 Un lacet de R n est une application continue γ : [a, b] R R n telle que γ a) = γ b) 6 On rappelle que le ot est la famille d'applications φt : X 0 X X 0, t) où X X 0, t) est la solution du système dynamique passant par X 0 à l'intant t = 0 7 Un système dynamique Ẋ = F X; t) est dit autonome si la fonction F X; t) = F X) ne fait pas intervenir explicitement le temps.

12 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 12 Fig Des trajectoires dans l'espace des phases pour l'oscillateur forcé, γ = 0.5, ω = 2 3 et A {0.9, 1.07, 1.15}. 3.2) Le système de Lorenz est ẋ = σ y x) ẏ = xz + rx y ż = xy bz avec σ = 10, b = 8 3 et r > 0 varie de 10 à 200. Lorsque r = 30 les trajectoires convergent sur un attracteur étrange. Voir gure 3.2) Sensibilité aux conditions initiales, exposant de Lyapunov. Considérons à nouveau le système de Lorenz, σ = 10, b = 8 3 et r = 30 Example 3.5. Soient X 0 = 1, 1, 0) et Y 0 = X 0 +ɛ 1, ɛ 2, 0) deux conditions initiales voisines. Calculons les trajectoires X t) et Y t) passant par X 0 et Y 0. Représentons graphiquement le portrait de phases ainsi que la diérence e t) = X t) Y t) en fonction du temps t. On obtient la gure.

13 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 13 Fig Attracteur de Lorenz, r = 30 Le vecteur e représentant la distance euclidienne entre les deux trajectoires au cours du temps. La gure met en évidence, une loi du type log e t) λt par morceaux. Le coecient λ est appelé exposant de lyapunov et caractérise la vitesse à laquelle s'éloignent deux trajectoires initialement proches. L'exposant de Lyapunov, dans le cas d'un système dynamique discret de dimension 1 et dénit de la façon suivante : si x 0 et x 0 + ε sont deux valeurs initiales alors les n-ièmes termes des deux suites correspondantes sont f n x 0 ) et f n x 0 + ε) et l'écart relatif entre ces deux termes est f n x 0+ε) f n x 0) ε et si on suppose cet écart croît exponentiellement par rapport au temps donc par rapport à n), on écrit e λx0)n f n x 0+ε) f n x 0). On pose donc la dénition suivante : Denition 3.6. Soit x n+1 = f x n ) un système dynamique discret de dimension 1 c'est à dire que f et une application de I R dans I). On appelle exposant de Lyapunov de x 0 I le nombre s'il existe) λ x 0 ) = lim lim 1 n ε 0 n log f n x 0 + ε) f n x 0 ) 3.3) ε Proposition 3.7. Si l'exposant de Lyapunov λ x 0 ) existe, alors il vérie : 1 3.4) λ x 0 ) = lim log f x i ) n n 1 Démonstration. Dans la formule 3.3), on a λ x 0 ) = lim n n log df n dx x 0). Or df n dx x 0) = f x n 1 ) f x n 2 )... f x 0 ) d'où le résultat. Example 3.8. Calculons l'exposant de Lyapunov λ k x), pour x [0, 1] et pour l'application f k : x kx 1 x) et diverses valeurs de k. La valeur de x 0 n'est pas très importante, on prend comme valeur λ k = 1 0 λ k x) dx 1 m 1 l m x l. Avec n = 200 valeurs pour la somme 3.4) et avec une dizaine de valeurs de x pour calculer la moyenne k des λ k x), on obtient. Voici le code de la fonction qui calcule l'exposant de Lyapunov pour λ k un x donné en utilisant la formule 3.4) 0 i<n function l=lyapunovx0,f,df,n) //calcul exposant lyapunovx0) connaissant f et f'=df x=x0 ; l=0 ; for i=1 :n do, x=fx) ; l=l+logabsdfx))) ; end ε

14 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 14 Fig Attracteur de Lorenz, σ = 10, b = 8 3 et r = 30, illustration de la SCI : a) les deux trajectoires initialement proches X 0 Y au bout d'un temps t = 25s et b) le log de la distance entre ces trajectoires en fonction du temps log X t) Y t) ) sur la durée 50s. l=l/n endfunction 3.3. Bassins d'attraction. Les valeurs d'adhérence de la suite x n+1 = x n 1 π tan πx n sont les points xes de l'application F x) = x 1 π tan πx, c'est à dire les zéros de la fonction x tan πx, c'est à dire Z, ensemble des entiers relatifs. On s'intéresse au bassin d'attraction de la solution k Z, autrement dit : quel est l'ensemble des x 0 tels que la suite x n ) n>0 converge vers k? En retournant le problème, on scrute l'intervalle x 0 [0, 1] et on étudie la fonction Ou encore limite ponctuelle) ϕ x 0 ) = lim n x n) Z ϕ = lim F n n Example 3.9. Dans scilab tracer la fonction ϕ, et mettez en évidence un comportement étrange. Quel est le bassin d'attraction de 0? 3.4. L'application logistique, bifurcation. Pour simplier l'étude de l'apparition du chaos précédemment entrevu, on étudie plutôt des système dynamiques discret, c'est à dire du type : x 0 I, x n+1 = G x n ) I

15 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 15 Fig Les applications logistiques et leur point xe pour k {1, 2, 3, 4} Fig Application logistique et SCI, diérentes valeurs de k {1, 2, 3}. Sur chaque sous gure, on représente deux suites x n et y n telles que x 0 y 0 < ε, où ε est précisé sur les gures, et la diérence log x n y n en fonction de n. Pour ces valeurs de k, les suites x n et y n se rapprochent rapidement. Dans un premier temps, on se concentre sur la famille des applications logistiques : 3.5) f k x) = kx 1 x) qui dépend du paramètre k. Les points xes de f k sont donnés par f k x) = x, soit x { 0, 1 1 k }. Une étude sommaire de ces applications montre qu'elle sont toutes de [0, 1] à valeurs dans [0, 1] c'est à dire que leur graphe est inclus dans [0, 1] 2, voir gure 3.4)). Pour cette famille d'applications, on trace les itérés gures 3.5) et 3.6)) Exposant de Lyapunov. On peut calculer de manière assez précise l'exposant de Lyapunov pour l'application logistique : pour x 0 l'exposant de Lyapunov λ x 0 ) est déni par f n x 0 ) f n x 0 + ε) εe nλx0) autrement dit : e nλx0) f lim n x 0) f n x 0+ε) ε 0 ε = d dx f n x 0 ) et em passant au log, et en faisant tendre n vers l'inni : λ x 0 ) =

16 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 16 Fig Application logistique et SCI, diérentes valeurs de k {3.6, 3.8, 3.9, 4}. La sensibilité aux conditions initiales apparaît à k 3.6 avec x 0 y 0 < La fonction φ n) = log x n y n ) λn devient approximativement linéaire dans les premières itérations. 1 lim n n ln d dx f n x 0 ). On montre simplement que d dx f n x 0 ) = 0 i<n f x i ) ce qui donne nalement 3.6) 1 λ x 0 ) = lim n n 0 i<n f x i ) L'exposant de Lyapunov λ x 0, k) dépend également de k pour l'application logistique, pour tout x 0 xé, et on trouve une courbe dont l'allure est la même, celle de la gure 3.7) Analyse des itérations. Proposition Soit I R un intervalle ouvert stable par la fonction f : I I et soit x I un point xe de f, c'est à dire vériant f x ) = x. On suppose en outre f C 2 I) et on considère la suite x 0 I, x n+1 = f x n ). Alors le point xe x est stable ou attractif si f x ) < 1, super attractif si f x) = 0 instable ou répulsif si f x ) > 1 neutre si f x ) = 1 Démonstration. f x + h) = f x ) + hf x ) + hε h) avec lim ε 0 ε h) = 0. Pour h = x x n, compte tenu de x n+1 = f x n ), cette égalité devient : ce qui montre le résultat. x x n+1 = f x ) + ε x x n )) x x n ) Denition Une suite nie de points distincts x 0, x 1,..., x n 1 ) forme un cycle de longueur n pour la fonction f si : f x i ) = x i+1 pour i {1, 2,..., n 2} et f x n 1 ) = x 0 Chaque point d'un cycle est dit n-périodique, car il est point xe de f n = f f f. Un cycle est dit attractif ou répulsif) si chaque point du cycle est un point xe attractif ou répulsif). Example f x) = x a pour cycle 0.5, 1.5, 0.5)

17 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 17 Fig Exposant de Lyapunov en fonction de k pour l'application logistique. Lorsque l'exposant est positif, la sensibilité aux conditions initiales s'installe, plus l'exposant est petit négatif, voir k 2), plus les trajectoires de deux suites initialement distintces se rapprochent rapidement. On peut se demander si l'exposant de Lyapunov n'est pas un indicateur de la vitesse de convergence d'une suite. Proposition Un cycle x 0, x 1,..., x n 1 ) est attractif si le produit m n = f x 0 ) f x 1 )... f x n 1 ) vérie m n < 1. Démonstration. comme x 0 est point xe de f n, il sut de calculer df n dx x 0), ce qui fournit directement le résultat. Example Pour f x) = x , on a f x 0 ) = 2x 0 et f f) x 0 ) = 4x 0 x 1 = ) = 3 donc le cycle est répulsif. Trouver tous les 2-cycles de f x) = x 2 + c. Ce sont les points xes de f f) x) = x 2 + c ) 2 + c. Or les points xes de f sont également points xes de f f donc f x) x est en facteur de f f x) x. On trouve donc f f x) x = x 2 x + c ) x 2 + x + c + 1 ) dont les racines sont Un peu de théorie 4.1. Points limites et cycles limites. Pour dénir correctement les cycles limites, on a besoin de quelques dénitions préalables : Denition 4.1. On considère un système dynamique Ẋ = F X) et X un point de l'espace des phases. L'ensemble limite de X est ω X) = {Y R n, t n, Y = lim φ tn X)}. Un cycle limite est une trajectoire périodique γ qui est l'ensemble limite d'au moins un point n'appartenant pas à γ Stabilité d'un point xe, linéarisation. soit X un point xe du système autonome 4.1) Ẋ = F X) pour déterminer la stabilité de X, soit Y une perturbation de X et X = X + Y alors Ẋ = X + Ẏ = F X + Y ) = F X ) + F X ) Y + O Y 2)

18 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 18 Fig Spectre de l'opérateur linéarisé F X ) autour de l'état de base stationnaire X. Image tirée de [Manneville]) d'où Ẏ = F X ) Y + O Y 2). On est donc amené à associer à 4.1) le système linéarisé au voisinage du point xe : 4.2) Ẏ = F X ).Y Deux questions se posent alors : la solution Y = 0 est-elle stable instable)? la stabilité instabilité) de la perturbation Y implique-t-elle celle de X? Une réponse à ces deux questions tient dans le théorème suivant : Theorem 4.2. Si les valeurs propres de la matrice F X ) ont une partie réelle négative, alors la solution Y = 0 est asymptotiquement stable pour 4.2), et cette stabilité entraîne celle de X pour 4.1). Démonstration. Pour la stabilité de Y = 0, on suppose que F X ) = P 1 DP, est diagonalisable, avec D = Diag λ m ) et on se place dans une base propre, ce qui revient à faire le changement de variable : Y Z = P 1 Y. Dans cette base propre, l'équation 4.2) se reformule : Ż = DZ qui a pour ensemble de solutions { Z : t Z t) = e Dt Z 0) où Z 0) R n}, avec et e Dt = Diag e λmt). Les valeurs propres sont λ m = σ m iω m supposées non dégénérées chaque valeur propre d'ordre o admet un sous espace propre de dimension o car la matrice F X ) est diagonalisable) Lorsque t tend vers l'inni, Y t) = P Z t) converge vers 0 si et seulement si la partie réelle des λ i est strictement négative. Plus précisément la m-ième composante de Z est Z m = Z m 0) expσ m iω m ) t, donc si σ m < 0 alors Z m tend vers 0, la perturbation est amortie dans cette direction, le m-ième mode propre est stable, si σ m > 0 alors Z m tend vers, la perturbation est ampliée dans cette direction, le m-ième mode propre est instable si σ m = 0, alors Z m = Z m 0) e iωmt ne croît ni ne décroît, le mode est neutre ou marginal La partie imaginaire ω m décrit le comportement temporel des amplitudes des modes abstraction faite de la tendance déterminée par σ m ω m 0 : on parle de mode oscillant, ω m = 0 : on a aaire à un mode stationnaire. Les modes propres s'ordonnent par valeur décroissante de leur taux de croissance : σ 1 > σ 2 >... L'état de base considéré est instable dès qu'un mode au moins) est instable. En toute généralité, les valeurs propres sont fonctions des paramètres µ de contrôle Bifurcation. Une bifurcation se produit dans l'espace des paramètres lorsque les propriétés de stabilité d'un point xe changent. Les cas les plus simples correspondent au franchissement de l'axe imaginaire par un mode réel ou une paire de modes complexes conjugués, correspondant respectivement aux cas 1) et 2,2*) illustrés sur la partie gauche de la gure Prenons l'exemple du système de Rössler avec a = 0.15, b = 0.20, et c > 0, variable : ẋ = y z 4.3) ẏ = x + ay ż = b cz + xz 1) Les points xes sont les solutions de F X) = 0 appartenant à R 3, les solutions de C 3 sont rejetées. Pour 0 < c < 2 ab , il n'y a pas de point xe,

19 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 19 pour c 2 ab on a les deux points xes : X c) = c + c 2 4ab 2a X 2 c) = c c 2 4ab 2a a, 1, 1) a, 1, 1) 2) Les valeurs propres de la jacobienne aux points xes sont données par : Le point xe X 2 c) est donc répulsif pour toute valeur de c, n'en parlons plus. Le point xe X c) est répulsif pour c < c et attractif pour c [0.3464, ] environ. On note M c) la plus grande la partie réelle du spectre de la jacobienne au point X c) 8, et c 1 désigne la valeur de c pour laquelle M c 1 ) = 0. Le spectre de la jacobienne est Λ c 1 ) { 1.1i, 1.1i, 0.51}. Le point xe X c) devient donc répulsif à partir de c = c 1 et un cycle limite attracteur apparaît en même temps. Les caractéristiques du cycle limite sont gouvernées par les parties imaginaires des valeurs propres, c'est à dire ± , le cycle limite est d'équation dans une base propre x t), y t), z t)) = e 1.1it, e 1.1it, 0 ) Lorsque c, il semble que la partie imaginaire des valeurs propres tend vers 1. Ce qui pourrait signier que pour tout c > c 1 on a un cycle limite de pulsation ω 1 donc de période T 2π. 8 alors = M ) < 0 < M ) =

20 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS 20 a) c=0.2, point xe répulsif b) c=0.4, point xe attractif c) c=0.6, point xe faiblement attractif d) c=0.7, point xe très faiblement attractif. Le cycle limite commence à se dessiner e) c=0.75, le point xe est devenu répulsif. Naissance d'un cycle limite. On voit deux trajectoires qui convergent vers le cycle limite. Fig Evolution du point xe X c)

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