Optimisation de plans de financement immobiliers

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1 Optimisation e plans e financement immobiliers De la recherche opérationnelle en actuariat bancaire Frééric GARDI & Alain DAVID EXPERIAN PROLOGIA, Parc Scientifique et Technologique e Luminy, case 919, bâtiment CCIMP, Marseille, France {freeric.gari,alain.avi}@experian-prologia.fr Résumé Bien que le champ application traitionnel e la recherche opérationnelle emeure autour es métiers e l inustrie, e nombreux problèmes émergent ans les secteurs e la finance, e la banque et e l'assurance, faisant apparaître un besoin aie à la écision. Dans le omaine financier, plusieurs problèmes ont été étuiés ont l optimisation e portefeuille evenu un classique u genre. Les applications e la recherche opérationnelle ans les omaines e la banque ou e l assurance sont plus rares. Dans cette note, nous aborons un problème actualité ans le secteur bancaire français: l optimisation e plans e financement immobiliers. Le travail que nous présentons a été effectué ans le care u éveloppement par la société EXPERIAN PROLOGIA une nouvelle application instruction e prêts immobiliers pour une grane banque française. Le moule optimisation e plans e financement, au cœur e cette application, est auour hui en prouction ans le réseau es 2000 agences e cette grane banque. Abstract Although the traitional fiel of application of operations research remains aroun the traes of inustry, many problems rise in the sectors of finance, bank an insurance, revealing a nee for ecision-making ai. In the financial fiel, several problems were stuie like portfolio optimization which became a classic. The applications of operations research in the fiels of bank or insurance are rarer. In this note, a topical problem in the French banking sector is approache: the optimization of real-estate financial plans. The present work was one in the context of the evelopment by the firm EXPERIAN PROLOGIA of a new application for mortgages processing for an important French bank. The moule for financial plans optimization, in the heart of this application, is now in prouction in the network of the 2000 agencies of this important bank. 1

2 1 Introuction La recherche opérationnelle, iscipline éiée à l analyse es phénomènes organisationnels pour l élaboration e meilleures écisions, est auour hui consiérée comme une branche à part entière es mathématiques appliquées. La RO, comme on la surnomme, se situe en fait au carrefour e plusieurs sciences comme l économie, la gestion, les mathématiques et l informatique. Bien que le champ application traitionnel e la recherche opérationnelle emeure autour es métiers e l inustrie, e nombreux problèmes émergent ans les secteurs e la finance, e la banque et e l assurance, faisant apparaître un besoin aie à la écision. Dans le omaine financier, plusieurs problèmes ont été étuiés ont l optimisation e portefeuille (Zenios, 1993), evenu un classique u genre, ou encore l oronnancement es mouvements e trésorerie (Cramer et Ponssar, 1977 ; Carlier, 1984). Les applications e la recherche opérationnelle ans les omaines e la banque ou e l assurance sont plus rares : les livres consacrées à leurs fonements mathématiques ne mentionnent rien à ce suet (Bonneau et Wiszniak, 1992 ; Girar, 1992) et il est ifficile e trouver es articles traitant e ces suets ans la littérature scientifique ou spécialisée. Pourtant, les métiers e la banque et e l assurance, en particulier l actuariat, sont es métiers complexes, souvent très techniques, ans lesquels la recherche opérationnelle encore absente est amenée à ouer un rôle important. En effet, la complexité croissante es prouits ainsi que es réglementations qui les régissent, obligent les ifférents acteurs u omaine à s équiper outils informatiques avancés aie à la écision, voire optimisation, pour faire face à la concurrence. Dans cette note, nous aborons une problématique actualité ans le secteur bancaire français : l optimisation e plans e financement immobiliers. Le financement une opération immobilière requiert importantes sommes argent, généralement prêtées par une banque ou un organisme e créit. Si certaines banques peuvent proposer es financements aossés à es assemblages e prêts, ceux-ci emeurent limités tant par la technicité e ces prêts que par les outils e calculs classiques qui aient à les composer. Maoritairement, les plans e financement se contentent en fait un seul prêt ont l échéance est constante sur la urée e celui-ci. Une grane banque française, qui a préalablement fait évoluer sa gamme e prouits immobiliers vers es technicités permettant plus e souplesse ans le remboursement, souhaite pratiquer es assemblages e prêts afin e proposer es plans e financement les plus compétitifs possibles. Pour aier les chargés e clientèle ans ce travail et être certain e proposer les meilleures solutions à ses clients, cette banque a écié intégrer à son nouvel outil informatique instruction e prêts immobiliers entièrement éveloppé par EXPERIAN PROLOGIA un moule optimisation e plans e financement immobiliers. Ce moule, qui a emané près e eux ans e recherche et éveloppement, est entré en prouction ans le réseau es 2000 agences e cette grane banque au ébut e l année

3 2 Présentation u problème Un prêt possèe, e manière générale, les caractéristiques suivantes : un montant minimum montant maximum amortissement mensuel minimum M max, une urée minimum D min, une urée maximum D max M min, un, un montant C min et pour chaque urée possible, le taux proportionnel mensuel T associé à cette urée. Précisons que les montants sont exprimés en centimes, les urées en mois et les taux en %. Lorsqu un prêt est inclus ans un plan e financement, son montant m, sa urée et ses échéances mensuelles e remboursement l entier le plus proche e x : e, K,e oivent satisfaire les contraintes suivantes, où [x] énote 1 (1) M min m M max D D (2) min max (3) c = e [ T ] 1 1 m 1 k=1 k (4) c = e [ T ( m c )] pour tout = 2, K, (5) m = = c 1 (6) c1, K, c Cmin Les inégalités (1) et (2) forcent le montant et la urée à varier entre les minimum et maximum autorisés. Les équations (3) et (4) écrivent l amortissement u capital emprunté m sur une urée. Les variables c, K, représentent la part u capital remboursé chaque mois par l emprunteur, les intérêts mensuels 1 c 1 k =1 k versés par ce ernier étant onnés par l expression [ T ( m c )]. L égalité (5) garantit que la totalité u capital emprunté a bien été amortie après le paiement e la ernière échéance. Enfin, les inégalités (6) imposent un remboursement mensuel minimum e capital. Les arronis effectués ici le sont pour es raisons à la fois réglementaires et commerciales : il est impératif que le client puisse connaître la composition exacte es mensualités qu il paye (en particulier la part es intérêts versés et la part u capital amorti), et ce au centime près. Une autre caractéristique fonamentale un prêt est le profil e ses échéances. Deux types e profil sont généralement consiérés : constant ou libre. Les échéances un prêt à profil constant oivent toutes être égales sur la urée e celui-ci, tanis que celles un prêt à profil libre peuvent varier librement au cours e sa urée. Toutefois, pour es raisons commerciales, il n est pas souhaitable que l évolution es échéances un prêt à profil libre soit trop chaotique. Un prêt à profil libre evrait iéalement comporter un nombre e paliers se limitant aux variations e la capacité e remboursement u client (on appelle palier une succession échéances e même montant). Par la suite, nous verrons qu il est inutile intégrer explicitement cette contrainte «métier» au moèle. 3

4 Certains prêts, subventionnés ou garantis par l État français, ont es caractéristiques réglementaires plus complexes. Les prêts «épargne logement» (PEL, CEL) ont es montants minimum et maximum qui épenent e la urée. De plus, le taux u prêt résultant e la composition e plusieurs plans ou comptes épargne logement est fonction es taux et es montants emprunt sur chacun es plans ou comptes. Les prêts «à taux zéro» (PTZ, PPL) ne peuvent intégrer un plan e financement qu à certaines conitions. Lorsqu un PTZ comportent eux paliers, la urée u premier palier oit être inférieure à la urée u prêt complémentaire le plus long u plan e financement ; si ce n est pas le cas, celle-ci oit être raccourcie, ans la limite e 72 mois. Un PPL ne peut appartenir au plan e financement que si la moitié u besoin total e financement est couvert par es prêts e plus e quinze ans. À présent, voyons les contraintes et obectifs qu un chargé e clientèle peut poser afin e construire la solution e financement la plus aapté à son client. Il y a eux façons e éfinir ce que l on enten par «optimiser un plan e financement». La première est la suivante : le client a une capacité maximum e remboursement (qui peut être variable au cours u temps) et l on souhaite construire un plan e financement e coût minimum (c est-à-ire qui minimise la somme es intérêts mensuels payés par le client) ont les mensualités sont inférieures à cette capacité maximum e remboursement. Nous insistons sur le fait que les mensualités e remboursement souhaitées par le client peuvent variées une année à l autre, voire même un mois à l autre, le but étant e proposer au client un plan e financement parfaitement aapté à l évolution ans le temps e sa capacité e remboursement (à conition, bien sûr, que celle-ci soit connue). La secone peut être formulée comme suit : le client souhaite que son remboursement s étale sur une certaine urée. Le but est alors e trouver un plan e financement qui, ne épassant pas cette urée, minimise le pic atteint par une échéance sur celle-ci (on cherche en quelque sorte à lisser les échéances payées par le client sur la urée u plan e financement). Ce moe optimisation, qui est le complémentaire u précéent, permet en outre e éterminer la capacité minimum e remboursement nécessaire à l amortissement e l emprunt u client sur la urée souhaitée. Nous offrons également au chargé e clientèle la possibilité e forcer l inclusion un prêt ans le plan e financement en fixant un montant minimum emprunt sur celui-ci. Cela permet notamment e proposer au client es plans e financement mêlant prêts à taux variables, moins coûteux, et prêts à taux fixes, plus sûrs. Un autre cas e figure où ce type e contraintes s avère utile est le suivant : le client souhaite utiliser les roits qu il a acquis sur son PEL, même si son taux emprunt est moins avantageux que ceux es prêts proposés par la banque. Enfin, notons que le chargé e clientèle peut éfinir manuellement certains prêts u plan e financement, ou encore y inclure iverses charges externes (prêts immobiliers éà contractés, créits consommation, etc.). Pour terminer cette présentation, mentionnons la possibilité qu a le chargé e clientèle associer à chaque prêt u plan e financement une ou plusieurs assurances. Celles-ci sont pour la plupart es assurances 4

5 sur capital initial (CI), bien qu apparaissent auour hui es assurances sur capital restant û (CRD). Dans le cas une assurance unique sur CI et e taux mensuel A, les équations (3) et (4) amortissement eviennent : c1 = e1 [ T m] [ A m] 1 c = e [ T ( m c )] [ A m] k 1 k = pour tout = 2, K, Dans le cas une assurance unique sur CRD et e taux mensuel A, nous avons les équations suivantes : c1 = e1 [( T + A) m] 1 k=1 k c = e [( T + A) ( m c )] pour tout = 2, K, De plus, es contraintes supplémentaires oivent être posées empêchant que le taux effectif global e chaque prêt u plan e financement épasse le taux usure fixé par la loi. De fait, la prise en compte es assurances (ont une au moins est généralement obligatoire) complexifie encore le problème et sa résolution, en particulier lorsque celles-ci sont sur capital initial. Mais avant aborer les ifficultés liées à la résolution u problème, voici un aperçu e ce qu est l optimisation au sens mathématique u terme, et plus particulièrement la programmation mathématique. 3 Quelques notions optimisation et e programmation mathématique Voici une éfinition que nous livre Minoux (1983) : «la programmation mathématique se propose pour obet l étue théorique es problèmes optimisation ainsi que la conception et la mise en œuvre es algorithmes e résolution». Un programme mathématique comporte une fonction, appelée obectif, qu il faut minimiser ou maximiser sous certaines contraintes. Voici un petit programme mathématique : Minimiser 2.3 x x2 Suet à x +.2 x x + x x x Ce programme comporte eux variables x 1, x 2 et quatre contraintes ; les eux ernières contraintes u programme sont particulières, en ce sens qu elles éfinissent les bornes es variables x 1 et x 2. Une solution optimale e ce programme, unique ici, est ( =.5833, x 3.4) x = ; la valeur e la fonction obectif 5

6 corresponante, appelée coût e la solution optimale, est Nous remarquons que la fonction obectif e même que toutes les contraintes e ce programme s expriment comme es inéquations linéaires : ce type e programme mathématique sera onc appelé programme linéaire. De nombreux problèmes optimisation se moélisent sous la forme e programmes linéaires où certaines variables ne prennent que es valeurs entières, voire booléennes (0,1). Par exemple, imaginons que les eux ernières contraintes u programme eviennent x { 6,,22} et x { 4,,12} 1 K 2 K. Ce type e programme est alors appelé programme linéaire en nombres entiers, ou mixtes lorsque variables réelles et variables entières se côtoient. Enfin, le terme générique e programme non linéaire est employé pour ésigner un programme où la fonction obectif ou les contraintes ne sont pas linéaires (bien que certains entre eux se singularisent : programmes quaratiques, programmes convexes). Naturellement, certains programmes sont plus ifficiles à résoure que autres. Un es résultats forts e la iscipline est l existence algorithmes efficaces pour la résolution es programmes linéaires. Citons à ce propos l algorithme u «simplexe», élaboré par G. Dantzig ès la fin es années 40, qui reste à ce our l algorithme le plus utilisé en programmation linéaire ; ce ernier est apprécié es praticiens tant pour son efficacité en temps e calcul que pour sa stabilité numérique. Notons tout e même qu une nouvelle lignée algorithmes its «e points intérieurs» est apparue au ébut es années 80, permettant la résolution efficace e grans programmes linéaires mais aussi e certains programmes non linéaires. D un autre côté, la théorie e la complexité (Garey et Johnson, 1979) nous a malheureusement appris que la résolution e programmes linéaires evient en général très ifficile ès lors qu apparaissent es variables entières ; en fait, l aspect combinatoire un problème inuit bien souvent une ifficulté intrinsèque quant à sa résolution. Toutefois, es méthoes arborescentes combinant énumération et programmation linéaire (plus connus sous leur énomination anglaise e branch-an-boun, branch-an-cut ou encore branch-an-price) permettent la résolution exacte e programmes linéaires en nombres entiers comportant plusieurs centaines, voire milliers, e variables et e contraintes en es temps raisonnables (e l orre e la minute). Au-elà u millier e variables, les temps e calcul exponentiels obligent à recourir à es heuristiques (généralement aaptées à la nature u problème) pour espérer trouver rapiement e bonnes solutions. En conclusion, évoquons un ensemble e techniques issues u omaine e l intelligence artificielle et regroupées sous le nom e programmation par contraintes, permettant une moélisation compacte ainsi qu une résolution efficace es programmes fortement non linéaires e petite taille (le logiciel PROLOG IV, éité par EXPERIAN PROLOGIA, en est un exemple). Pour plus e étails sur la programmation mathématique, ses fonements théoriques ainsi que les algorithmes e résolution, nous recommanons au lecteur la lecture e l ouvrage e Minoux (1983). 6

7 4 Résolution u problème Les principaux obstacles La ifficulté maeure est que le problème optimisation e plans e financement, même ans sa forme la plus réuite, est complètement combinatoire (contrairement aux problèmes généralement rencontrés ans le omaine e la finance). En effet, toutes les variables e écision u problème sont iscrètes, exprimées en centimes lorsqu il s agit e montants et en mois lorsqu il s agit e urées. De plus, certaines contraintes liées aux prêts réglementés s expriment e façon non linéaires. De fait, le problème evient très ifficile à résoure e manière exacte ès lors que quelques prêts sont susceptibles intégrer le plan e financement. À cela viennent s aouter eux ifficultés opérationnelles. Le chargé e clientèle oit pouvoir présenter ans l imméiat une ou plusieurs solutions au client, ce qui ne laisse qu un temps e calcul très court à l optimisation (moins une secone). Ensuite, les plans e financement optimisés sont voués à être commercialisés en l état, sans retouche e la part u chargé e clientèle ; par conséquent, aucune erreur numérique n est tolérée, autant moins que les résultats oivent être compatibles avec ceux attenus par la chaîne e gestion es prêts. Les actuaires e la banque en question ont éveloppé il y a quelques années un outil qui permet l assemblage un nombre limité e prêts posséant es caractéristiques précises, en procéant à une énumération orientée «métier» es solutions. Ici, la éfinition très générique u problème empêche toute tentative e résolution en temps réel par force brute. L iée maîtresse sur laquelle repose notre schéma e résolution est la moélisation u problème sous la forme un programme linéaire mixte, qui bien que complexe, nous a permis e évelopper une heuristique à la fois efficace et robuste basé sur la programmation linéaire mixte pour résoure le problème posé. Moélisation par programme linéaire mixte L iée maeure est e relâcher la contrainte intégrité e toutes les variables associées à es montants (i.e., exprimées en centimes), chose assez naturelle, et e représenter les urées par es ensembles e variables booléennes, ce qui l est moins. Une remarque clé est qu à urée fixée, le taux l étant lui aussi, les équations liant échéances et montant eviennent linéaires une fois supprimées les règles arroni. Après avoir expliqué comment est moélisé un prêt au sein u programme linéaire mixte, nous aborerons la éfinition e la fonction obectif et es contraintes aitionnelles lorsque le but est e minimiser le coût u plan e financement pour le client. Afin éviter e trop lours étails techniques, nous ne consiérons ici que le cas un prêt stanar hors assurance. Nous commençons par la escription un prêt à profil constant ; nous ériverons ensuite le moèle pour les prêts à profil libre. À chaque prêt est associé une variable booléenne { 0,1} p e manière à ce que p = 1 7

8 si le prêt est inclus ans le plan e financement, et p = 0 ans le cas contraire. La urée u prêt est «éclatée» en autant e variables booléennes,, { 0,1} D K D que ce qu il y a e mois entre min min max D et D max : la variable prenra la valeur 1 si le prêt a une urée e mois, et la valeur 0 sinon. Afin qu une et une seule variable ne soit égale à 1, et ce lorsque le prêt en question appartient à la solution e financement, nous posons la contrainte les variables réelles m et + L + D p. À chaque variable sont ensuite associées D = min max e corresponant respectivement au montant emprunté sur le prêt et à l échéance mensuelle permettant le remboursement sur la urée. Pour tout = D, K D, nous posons alors les contraintes min, max m M = e m min M max VAN( 1,, T ) où l expression VAN( 1,, T ) = = 1 (1 + T ) correspon à la valeur actuelle un euro versé k 1 mensuellement sur une urée e mois au taux linéaires puisque k T. Notons que ces eux ernières contraintes sont bien M min, M max et VAN ( 1,, T ) sont es constantes. En outre, le lecteur vérifiera que lorsque la variable associée à la urée est active ( = 1), alors toutes les contraintes associées aux autres urées sont inactives ( m ' = 0 et e ' = 0 pour toute urée ' ). Pour les prêts à profil libre, c est-à-ire ont l échéance est susceptible e varier chaque mois, le moèle se écline en introuisant les variables c, k et k i, corresponant respectivement à la part e l emprunt remboursé au mois k et au montant es intérêts versés ce même mois, pour une urée e prêt e mois. Seules les équations écrivant l amortissement u capital changent pour evenir i, 1 = T m i pour tout k = 2, K,, k = i, k 1 T c, k 1 auxquelles il faut aouter la contrainte m = k = c 1, k assurant le remboursement total e l emprunt ainsi que les contraintes amortissement mensuel minimum c, K c C., 1,, min Lorsqu un plan e financement e coût minimum est recherché, la fonction obectif se éfinit comme minimiser la somme es termes e m pour tout Dmin, K, Dmax = ans le cas un prêt à profil constant et es termes k = i 1, k pour tout = Dmin, K, Dmax ans le cas un prêt à profil libre. Le 8

9 programme est complet une fois aoutées les contraintes assurant le non épassement e la capacité mensuelle e remboursement u client : pour chaque mois k, la somme es variables i k c, k e ou es termes, + tels que k oit être inférieure ou égale à la capacité e remboursement ce même mois. En fait, lorsque le but est e lisser les échéances u plan sur la urée souhaitée par le client, seules la fonction obectif et ces contraintes aitionnelles changent. Les granes lignes e l heuristique L'iée générale est e construire e façon itérative, en quelques étapes rapiement exécutées, un plan e financement amissible (ou presque puisque l'on s autorise à épasser légèrement la mensualité souhaitée par le client ans certains cas à la limite), viable u point e vue commercial, et proche un plan optimal en terme e coût. La résolution s opère en trois phases. Tout abor, lorsque cela est possible, une première solution amissible est rapiement calculée à l aie un seul prêt e façon à obtenir une borne supérieure u coût e la solution optimale. Ensuite, une solution non amissible, mais ont le profil est très proche e celui e la solution optimale, est calculée par programmation linéaire mixte à l aie u moèle présenté précéemment. Afin e permettre une résolution en temps réel, cette secone étape est effectuée en eux temps : un premier programme est résolu ans lequel les contraintes les plus complexes (parce que non linéaires ou bien introuisant une trop forte combinatoire) sont approximées par es contraintes linéaires, voire omises, puis un secon programme est résolu ans lequel e nombreuses variables sont fixées et les contraintes complexes réintégrées. La résolution es programmes linéaires mixtes se fait par un algorithme classique e branch-an-boun à l'aie u solveur GLPK (Makhorin 2004). Enfin, la solution obtenue est retouchée à l aie une heuristique e manière à respecter les règles arroni et être plus esthétique un point e vue marketing et commercial. Ce ernier point est û au fait que les solutions retournées par le moule optimisation sont parfois ifficiles à appréhener pour les chargés e clientèle qui n ont généralement qu'une formation scientifique e base, et onc à expliquer à leurs clients. En fait, le premier programme linéaire mixte qui est résolu rassemble les contraintes maîtresses u problème; c est pourquoi une solution e ce programme fournit une excellente approximation e la solution optimale globale. La ifficulté est ensuite e construire une solution amissible s appuyant sur le profil e cette première solution. Celle-ci fournit également une borne inférieure en terme e coût permettant apprécier la qualité e la solution finale. Ainsi, nous avons pu vérifier que le coût e la solution présentée au client se situe au pire à quelques izaines 'euros 'une solution optimale. Ce schéma e résolution nous permet onc obtenir en temps réel es plans e financement quasi optimaux, que es experts ne pourraient calculer manuellement. Les solutions obtenues, parfois surprenantes, font apparaître es gains significatifs en faveur u client par rapport à une solution «naïve» (par exemple ne 9

10 comportant qu un seul prêt). Ce travail a ailleurs permis un certain retour expérience, en émontrant que certaines pratiques éveloppées au sein e la banque pour la construction e plans e financement conuisaient ou non à e bonnes solutions (il est à noter que la mise en place u nouvel outil 'optimisation a nécessité un effort important e formation es chargés e clientèle ans la banque). Voici quelques exemples e plans e financement calculés par notre moule 'optimisation et visualisés à l'aie e notre outil e simulation graphique. Quelques exemples La Figure 1 ci-essous montre l assemblage un prêt A à taux fixe et un prêt B à taux révisable pour un emprunt e euros et une mensualité souhaitée e 800 euros. L obectif est e minimiser le coût u plan e financement, tout en imposant un emprunt au moins 30 % u besoin e financement sur le prêt à taux fixe. Le prêt A possèe la grille e taux suivante : 3.55 % sur 84 mois, 3.70 % sur 120 mois, 3.80 % sur 144 mois, 3.90 % sur 180 mois ; le prêt B, à taux révisable, possèe une grille e taux plus avantageuse : 3.05 % sur 84 mois, 3.20 % sur 120 mois, 3.30 % sur 120 mois et 3.40 % sur 180 mois. Le lecteur notera que le profil e la solution obtenue, bien que ne comportant que eux prêts, n est pas intuitif. Il s avère pourtant être le profil typique que l on obtient lorsque l on optimise un plan composé e prêts à profil libre stanars. Figure 1 De 0 à 24 mois, les échéances u prêt A corresponent exactement au montant es intérêts (plus un euro amortissement minimum) penant que le prêt B est amorti, puis e 24 à 36 mois, un basculement s opère entraînant une «inversion es rôles», e 36 à 84 mois, le prêt A est amorti et le prêt B voient ses échéances réuites au remboursement es intérêts (plus un euro obligatoire). En fait, la façon ont se combinent les prêts à profil libre respecte certaines propriétés combinatoires : quelque soit leurs taux, les variations e leurs échéances ne sont amais chaotiques ès lors que ces taux ne sont pas égaux (et ce même si l écart n est que un millionième e %). Ces variations se prouisent en es points bien éterminés e l axe u temps. Nous n avons pas encore réussi à émontrer formellement cette propriété, qui a été vérifiée expérimentalement ; la preuve semble complexe et mérite une étue approfonie. 10

11 Figure 2 La Figure 2 représente un plan e financement beaucoup plus complexe corresponant à un emprunt e euros, où l obectif est e lisser au mieux l échéance sur 25 ans. De plus, le client emane à ce qu un minimum e 20 % u besoin e financement soit emprunté sur un prêt à taux fixe, appelé ici PIE. L échéance obtenue après optimisation est onc la plus basse possible au vu es contraintes posées et es caractéristiques es prêts pouvant appartenir au plan e financement. La ifficulté est ici e parvenir à composer un plan e financement optimal à l aie es trois prêts règlementés (CEL, PTZ, PPL). Figure 3 La Figure 3 est un exemple e plan e financement où une augmentation e la capacité e remboursement u client est simulée (2100 euros entre 0 et 24 mois, 2300 euros entre 24 et 84 mois et 2400 euros à partir e 84 mois). Dans cet exemple, la urée u premier palier u PTZ est raccourcie e façon à rester inférieure ou égale à la urée u prêt complémentaire le plus long e la solution, comme la réglementation l exige. 11

12 5 Conclusion et perspectives Deux pistes e travail sont auour hui envisagées afin affiner et enrichir le moèle sur lequel les plans e financement sont optimisés, le but étant obtenir un moèle corresponant au plus près aux attentes e la banque, et par la même, e son client. Tout abor, il semble opportun intégrer les coûts es garanties que le client oit supporter ainsi que les ifférents frais liés à l opération (en particulier, les frais e ossier). En effet, certains plans e financement calculés auour hui s avèrent ne plus être optimaux lorsque y sont aoutés les coûts liés aux garanties et aux frais e ossier. L intégration ans le moèle e ces coûts, qui ne varient pas linéairement en fonction u capital emprunté, permettrait une optimisation globale es plans e financement immobilier. Ensuite, la question u refinancement e la banque, et onc e ses profits, se pose face au besoin e fiéliser un client. Il semble uicieux intégrer au moèle les contraintes et obectifs e la banque, e façon à réaliser une optimisation ite bi-obectif. En effet, es solutions pourraient être trouvées qui satisfassent à la fois le client et la banque. Par exemple, l obectif un client présentant es risques pourrait être atténué par rapport à celui e la banque, à conition que ceux-ci soient quantifiables économiquement (par exemple au travers e scores). Cette réflexion nous amène alors à une nouvelle question : ne pourrait-on pas envisager un moèle tenant compte e certains aspects probabilistes u problème, comme par exemple la probabilité e non remboursement un client, ou encore la probabilité qu un client a e contracter autres prouits financiers au sein e la banque? L extension u présent moèle, en particulier en vue une intégration es contraintes et obectifs e la banque, n est toutefois envisageable qu à eux conitions : un profon travail e moélisation en concertation avec les actuaires e la banque (la recherche e solutions ites optimales n aura e sens que si la moélisation mathématique u problème réel est suffisamment fine et pertinente), et en parallèle, un travail aaptation et amélioration u schéma actuel e résolution (afin notamment e conserver l aspect temps réel). Mais après tout, compte tenu e la masse es emanes e créits immobiliers que traitent chaque année les granes banques françaises, le eu n en vaut-il pas la chanelle? Références P. BONNEAU et M. WISZNIAK (1992). Mathématiques financières approfonies. Duno, Paris, France. (5 ème éition) J. CARLIER (1984). Oronnancement es paiements e ettes. RAIRO Operations Research/Recherche Opérationnelle 18(1), pp

13 M. CRAMER et J.-P. PONSSARD (1977). Oronnancement es mouvements e trésorerie. RAIRO Operations Research/Recherche Opérationnelle 11(4), pp M.R. GAREY et D.S. JONHSON (1979). Computer an intractability : a guie to the theory of NPcompleteness. W.H. Freeman & Co., San Francisco. M. GIRARD (1992). Pratique es mathématiques financières. Collection Institut Technique e Banque, Economica, Paris. M. MINOUX (1983). Programmation mathématique : théorie et algorithmes. Collection Technique et Scientifique es Télécommunication, Duno, Paris. (2 volumes) A. MAKHORIN (2004). Librairie GLPK (GNU Linear Programming Kit, version 4.8). S.A. ZENIOS (1993). Financial optimization (sous la irection e S.A. Zenios). Cambrige University Press, Cambrige. 13