DEVOIR DE MATHEMATIQUES 4 ème R Juin Durée : 2 heures

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1 DEVOIR DE MATHEMATIQUES 4 ème R Juin Durée : 2 heures Nom : Prénom : L usage de la calculatrice est autorisé Aucun échange de matériel, quel qu il soit, n est accepté entre les élèves. Il sera tenu compte du soin, de la présentation des résultats, de la qualité de rédaction et de l orthographe. Note sur 20 Algèbre Géométrie Présentation / 19 points / 19 points / 2 points Exercice 1-4 points - ACTIVITES NUMERIQUES Calculer en détaillant les étapes. Vous donnerez chaque résultat sous la forme la plus simplifiée. A = ( ) C = D = 142 (50 3 6) Exercice 2-5,5 points - (sur le poly) a) Ecrire les nombres suivants sous la forme a n en détaillant les étapes : E = = F = = b) Donner l écriture scientifique de : G = 0, =.. H = = c) Donner l écriture scientifique de : I = = = = = Page 1 sur 4

2 Exercice 3-3 points - Développer et réduire les expressions suivantes : J = (8x + 4) (7x 2) K = (2x + 3)(3x 5 ) Exercice 4-3 points - L abonnement dans une bibliothèque est de 20 euros par an. Il faut payer en plus 0,50 euro par livre emprunté. Soit x le nombre de livres empruntés par Lola en a) Calculer en fonction de x le prix payé par Lola. b) A la fin de l année 2014, Lola fait ses comptes. Elle a dépensé 32 euros pour la bibliothèque. Combien a-t-elle emprunté de livres? Exercice 5-3,5 points (sur le poly) L histogramme ci-contre donne les âges des adhérents d un club de natation. 1. Combien d adhérents compte ce club? Compléter le tableau ci-après (sans justifier) : Age 12 Effectif 2 Fréquence (en %) 8 3. Quel est l âge moyen des adhérents de ce club? Page 2 sur 4

3 ACTIVITES GEOMETRIQUES Exercice 6-5 points - On considère le triangle ABC rectangle en A tel que AC = 5, BC = 9, l'unité étant le cm. 1) Construire le triangle ABC en vraie grandeur. 2) Calculer la valeur exacte de AB. 3) Calculer un arrondi à 0,1 près de la mesure de l'angle ABC. Exercice 7-4 points - Le point R est sur le cercle de diamètre [BM] et de centre I et BMR = 37. Calculer la mesure de l angle MBR. Exercice 8-4 points - On a représenté ci-contre le champ de Lola. Elle souhaite parquer ses chevaux dans l enclos DEBC (partie grisée). Lola a acheté 250 m de clôture. 1) Calculer DE à l aide d une démonstration. 2) Lola a-t-elle acheté suffisamment de clôture pour l enclos DEBC? (justifier) AC = 120 m BC = 90 m BE = 30 m Page 3 sur 4

4 Exercice 9-6 points - Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur une surface plane. On admet qu un tas de sel a toujours la forme d un cône de révolution. 1. a) Tom souhaite déterminer la hauteur d un cône de sel de diamètre 5 mètres. Il possède un bâton de longueur 1 mètre. Il effectue des mesures et réalise les deux schémas ci-dessous : b) Déterminer en m 3 le volume de sel contenu dans ce cône. Arrondir le résultat à 10-2 près. 2. A la boutique de souvenir, Tom décide d acheter une miniature de coefficient de 0,04 par rapport à l original. Quel est le volume de cette reproduction en cm 3? Page 4 sur 4

5 DEVOIR DE MATHEMATIQUES 4 ème R Juin Durée : 2 heures Nom : Prénom : L usage de la calculatrice est autorisé Aucun échange de matériel, quel qu il soit, n est accepté entre les élèves. Il sera tenu compte du soin, de la présentation des résultats, de la qualité de rédaction et de l orthographe. Note sur 20 Algèbre Géométrie Présentation / 19 points / 19 points / 2 points Exercice 1-4 points - ACTIVITES NUMERIQUES Calculer en détaillant les étapes. Vous donnerez chaque résultat sous la forme la plus simplifiée. A = A = A = A = A = A = 20 5 A = 4 18 ( ) C = C = ( 3 12) 4 5 C = C = C = 3 4 C = 12 D = 142 (50 3 6) D = 142 (50 18) D = D = 110 Exercice 2-5,5 points - a) Ecrire les nombres suivants sous la forme a n en détaillant les étapes : b) Donner l écriture scientifique de E = et F = G = 0, et de H = c) Donner l écriture scientifique de I = E = = = 7 18 F = = 23 7 = 2 4 G = 0, = 5, H = = 2, I = = = ( 1) = = Page 5 sur 4

6 Exercice 3-3 points - Développer et réduire les expressions suivantes : J = (8x + 4) (7x 2) K = (2x + 3)(3x 5 ) J = 8x + 4 7x + 2 K = 2x 3x + 2x ( 5) + 3 3x + 3 ( 5) J = x + 6 K = 6x 2 10x + 9x 15 K = 6x 2 x 15 Exercice 4-3 points - L abonnement dans une bibliothèque est de 20 euros par an. Il faut payer en plus 0,50 euro par livre emprunté. Soit x le nombre de livres empruntés par Lola en a) Calculer en fonction de x le prix payé par Lola. On sait l abonnement dans une bibliothèque est de 20 euros par an et il faut payer en plus 0,50 euro par x livres empruntés. Donc elle dépense : ,5 x euro b) A la fin de l année 2014, Lola fait ses comptes. Elle a dépensé 32 euros pour la bibliothèque. Combien a-t-elle emprunté de livres? On a ,5 x = 32 0,5x = ,5x = 12 x = 12 0,5 x = 24 Donc Lola a emprunté 24 livres en Exercice 5-3,5 points L histogramme ci-contre donne les âges des adhérents d un club de natation. 1. Combien d adhérents compte ce club? Ajoutons les différents effectifs : = 25 Ce club de natation comporte 25 adhérents. 2. Compléter le tableau ci-après (sans justifier) : Age Total Effectif Fréquence (en %) Quel est l âge moyen des adhérents de ce club? m = = = 14,7 L âge moyen d un adhérent est environ 14,7 ans. Page 6 sur 4

7 ACTIVITES GEOMETRIQUES Exercice 6-5 points - On considère le triangle ABC rectangle en A tel que AC = 5, BC = 9, l'unité étant le cm. 1) Construire le triangle ABC en vraie grandeur. 2) Calculer la valeur exacte de AB. 3) Calculer un arrondi à 0,1 près de la mesure de l'angle ABC. On sait que le triangle ABC rectangle en A côté adjacent de ABC Alors cos ABC = hypothénuse cos ABC = 56 9 Donc ABC 33,7 Exercice 7-4 points - = AB BC Le point R est sur le cercle de diamètre [BM] et de centre I et BMR = 37. Calculer la mesure de l angle MBR. On sait que le triangle BRM est inscrit dans le cercle de diamètre [BM] Or si un triangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre un côté, alors c est un triangle rectangle. Donc BRM est rectangle en R. ou On sait que le triangle ABC rectangle en A D après le théorème de Pythagore AB 2 + AC 2 = BC² AB = 9 2 AB = 81 AB 2 = AB 2 = 56 Donc AB = 56 cos ABC = ,83 Donc ABC 33,9 De plus Dans un triangle la somme des angles est de 180 Donc MBR = 180 ( ) = = 53 D où MBR = 53 Exercice 8-4 points - On a représenté ci-contre le champ de Lola. Elle souhaite parquer ses chevaux dans l enclos DEBC (partie grisée). Lola a acheté 250 m de clôture. 1) Calculer DE à l aide d une démonstration. Dans le triangle ABC, On sait que : - D est le milieu de [AC] - E est le milieu de [AB]. Or d après le théorème de la droite des milieux On obtient que DE = BC 2 DE = 90 2 = 45 Donc DE = 40 m AC = 120 m BC = 90 m BE = 30 m Page 7 sur 4

8 2) Lola a-t-elle acheté suffisamment de clôture pour l enclos DEBC? (justifier) Il faut donc calculer du périmètre de l enclos On sait que D est le milieu du segment [AC] de longueur 100 m donc [DC] mesure 60 m Alors PBEDC = DE + EB + BC + CD = = 225 Comme le périmètre de l enclos de Lola mesure 225 m Donc 250 m de clôture suffise. Exercice 9-6 points - (Brevet juin 2013) Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur une surface plane. On admet qu un tas de sel a toujours la forme d un cône de révolution. 1. a) Tom souhaite déterminer la hauteur d un cône de sel de diamètre 5 mètres. Il possède un bâton de longueur 1 mètre. Il effectue des mesures et réalise les deux schémas ci-dessous : Dans le triangle AOS, On sait que : (OS) est parallèle à (CB) (car elles sont toutes les deux perpendiculaires à (AL) ) A, B et O sont alignés A, C et S sont alignés D'après le théorème de Thalès On obtient : AO D où = AS = SO AB AC CB 3,2+2,3+2,5 8 3,2 3,2 = SO 1 Alors SO = 2,5 Donc SO = 2,5 m = AS AC = SO 1 b) Déterminer en m 3 le volume de sel contenu dans ce cône. Arrondir le résultat à 10-2 près. V cône = 1 3 A base h = 1 3 πr2 h = 1 3 π 2,52 2,5 = 1 π 15,625 16, Donc le volume de sel contenu dans ce cône est d environ 16,36 m 3 2. A la boutique de souvenir, Tom décide d acheter une miniature de coefficient de 0,04 par rapport à l original. Quel est le volume de cette reproduction en cm 3? On sait que V cône = 16,36 m 3 Et le coefficient de réduction est de 0,04 Donc V mini = V cône 0, ,36 0,04 3 0, Alors V mini 0, m 3 = 1,04704 dm 3 = 1047,04 cm 3 D où le volume de la miniature est de 1 047,04 cm 3 Page 8 sur 4