Approfondissement algébrique

Transcription

1 2 nde, novembre 2010 Approfondissement algébrique Ce petit livret d exercices vous sera utile pour approfondir et améliorer vos méthodes de calcul. Certaines des exercices sont corrigés, d autres ont juste la réponse et certains n ont aucune indication. Vous pouvez à tout moment me demander conseil et me donner vos écrits afin que je les corrige. Développement L objectif de cette série d exercices est d inciter à faire certains calculs mentalement. Ces exercices sont à faire sans calculatrice ni brouillon, directement sur cette feuille. Exercice 1 : Calculer : A 1 = =... A 2 = =... A 3 = 5 (1 2) =... A 4 = 3+(2 4) =... A 5 = 7 (8+3)+2 =... A 6 = a 3a =... A 7 = 2b+6b =... A 8 = 2x (x 3x) =... A 9 = 2a 3b+a 5b =... A 10 = 6a+2b+b 3a 5b =... A 11 = 2(a b)+3b =... Exercice 2 : Dans les expressions suivantes, regrouper uniquement les termes en x. Les calculs seront effectués de tête, sans étape intermédiaire. Expression Terme en x Expression Terme en x 2(x 3) (x 4) 3(x+4) 2(4) 7(3 2x)+4x 2(x+1) 5(x+2)+(3 x) x 2(4x+1)+3(2x 4) 6(2x 3)+2x (1+3x) Exercice 3 : Dans les expressions suivantes, regrouper uniquement les termes en x 2. Expression Terme en x 2 Expression Terme en x 2 (2x+1)(1 5x) (1 x)(2+x) (x+3)(x 4) 2x(x+2) (2x+3) 2 2(x+1)(3) (2x+3)(1 4x)+3x 2 Exercice 4 : Dans les expressions suivantes, donner la constante. Expression Constante Expression Constante (2x+3)(5 3x) (2x+1) 2 (2x+1)(x 3)+4 (1 2x)(2x+1) 3(1 x)(2+x) (x+2) 2 +(x 2)(x+3)

2 Exercice 5 : Dans les expressions suivantes, regrouper uniquement les termes en x. Expression Terme en x Expression Terme en x (x+2)(2) (1 3x)(5x+2) (4)(1+x) (2x+3) 2 2(3)(x+4) (x+1) 2 +(2x+1)(1 x) Exercice 6 : Développer directement, en regroupant mentalement les termes de même degré, les expressions suivantes Expression Développement (2x+1)(x 3) (x+2)(3x 4) 3x(x+1) 4(x+2) (x+3) 2 (2) 2 (x+2)(2)+2(x 2 +3) 2(x 2 3x+2)+3(x 2 5) (5x 2 +2)(2+x) Exercice 7 : [Somme et produit] 1. Les expressions suivantes se présentent-elles sous forme de sommes ou de produits? Pour chaque somme, préciser le nombre de termes et les citer. Pour chaque produit, préciser le nombre de facteurs et les citer. Exemples : 2x+3 est une somme de deux termes : 2x et 3. ()x est un produit de deux facteurs : x et. (a) 2x 5 (b) x(2 x) (c) 3 x +2 (d) x 2 (e) 9x 3 (f) ()(x+1)+x(x+3) (g) () 2 (h) 3(x 2 +x+4) (i) (x 4)(x+3) 6 (j) x Écrire (a) une somme de deux termes dont le premier est un produit. (b) un produit de deux facteurs dont le premier est une somme. (c) un quotient dont le numérateur est un produit de deux facteurs et le dénominateur une différence. (d) une somme de deux carrés. (e) le carré d une somme. Exercice 8 : [Expressions égales ou opposées] 1. On donne une expression A. Sans aucun calcul, préciser si les expressions B, C et D sont égales à A ou à l opposé de A.

3 (a) A = 5() B = 5() C = 5(1 x) D = 5(1 x) (b) A = x(2x 7) B = x(2x 7) C = x( 2x+7) D = x( 2x+7) (c) A = (3x 2)(x+5) B = (3x 2)(x+5) C = (2 3x)(x+5) D = (3x 2)( x 5) 2. Soit A = 10(1 5x). Sans chercher à développer A, Écrire A autrement. Écrire de deux façons différentes l opposé de A. Exercice 9 : [Facteur commun ] Pour factoriser une expression algébrique, on peut rechercher comme facteur commun : un nombre réel une puissance de x une expression du type ax+b. 1. Trouver un facteur commun. On considère les expressions algébriques suivantes : A(x) = x(x+2) 3x B(x) = 8x 3 +4 C(x) = 8x 3 +4x D(x) = (5x 2)()+3() E(x) = 5(2) 2 +(2)(x+2) F(x) = 3x+3 G(x) = x 2 (x 2)+3x 3 H(x) = (x 3) 2 (x+1) 5x(x 3) Classer chacune de ces expressions dans un des trois tableaux suivants puis compléter les tableaux. Je peux mettre en facteur un nombre réel dans... Quel est ce nombre réel? Je peux mettre en facteur une puissance de x dans... Quel est cette puissance de x? Je peux mettre en facteur une expression du type ax+b dans... Quel est cette expression? 2. Le facteur commun est caché. On peut parfois faire apparaitre un facteur commun par une transformation d écriture simple. Exemples :

4 (a) 2x+4 3x(x+2) = 2(x+2) 3x(x+2) = (x+2)(2 3x) (b) 2x()+(1 x)(x+2) = 2x() ()(x+2) = ()(2x (x+2)) = ()(2x x 2) = ()(x 2) Dans chacune des expressions ci-dessous, faire apparaitre dans chaque terme de la somme un facteur commun puis factoriser. A(x) = (2x+6) (x+3)(4x+10) B(x) = (x 2 +x) x(x 3) C(x) = (x+1)(x 3)+2(3 x) D(x) = (2x 3) 2 +5x(3 2x) E(x) = 5(x 3) 2(x+4)(3 x) Exercice 10 : [Avec des identités remarquables] 1. Compléter les égalités suivantes : Identité n o 1 : a 2 +2ab+b 2 = Identité n o 2 : a 2 2ab+b 2 = Identité n o 3 : a 2 b 2 = 2. Compléter le tableau suivant : Expression à factoriser 16x 2 9 9x 2 +24x+16 4x 2 12x+9 49x 2 +28x+4 x 2 3 (x 2) x 2 (x+1) 2 (3x 2) 2 (x+1) 2 4(x+2) 2 (3x+2) 2 Identité n o a =... b =... 2ab = Expression factorisée 3. Inventer 6 expressions que l on pourra factoriser en utilisant les identités remarquables n o 1, n o 2 ou n o 3. Exercice 11 : [Construction d une expression à factoriser] 1. Préparer une somme de trois termes à factoriser de la façon suivante : Choisir un facteur commun du type ax+b Déguiser ce facteur commun de plusieurs façons différentes : en le multipliant par 2, par 1, par x 2, en l élevant au carré... Construire la somme demandée avec trois des termes précédents. Exemple : On choisit comme facteur commun x 5.

5 (a) 3(x 5) = 3x+15 (b) x(x 5) = x 2 5x (c) (x 5)(x+5) = x 2 25 On construit alors la somme : A(x) = ( 3x+15)+(x 2 5x)+(x 2 25) 2. Factoriser l expression construite à la question précédente. 3. Reprendre deux ou trois fois les questions précédentes. techniques permettant de factoriser une expression algébrique. Equations Exercice 12 : Résoudre, en choisissant la méthode appropriée, les équations suivantes : (E 1 ) : (x 5)(2x+3)+4(x 5) = 0 (E 2 ) : (x 5)(2x+3) 2x(x+1) = 0 (E 3 ) : x 2 +3x = 5x (E 4 ) : x 2 +3x = 3x+9 (E 5 ) : x 2 (2x+1) = 4(2x+1) (E 6 ) : ()(2x+3)+()(3x 4) = 0 (E 7 ) : ()(2x+3)+()(3x 4) = 1 (E 8 ) : (4x+1)(x+2) 2x(2x+3) = 0 (E 9 ) : (x 2 9)(x+1)+(x+3)(x 2 1) = 0 Exercice 13 : Résoudre (E 1 ) : (E 2 ) : 2x 5 x+4 = x (6 7 x+2 27 ) x = x; (E 3 ) : 4 4+3x 6 = 2x 3 x+4 2 Exercice 14 : Les équations suivantes sont particulières. Les résoudre sans calcul. (E 1 ) : x+2 = 2+x (E 2 ) : 0x = 5 (E 3 ) : 3x = 0 (E 4 ) : x 2 = 3 (E 5 ) : x = 7 (E 6 ) : 0x = 0 Exercice 15 : On pose a = Vérifier que a est une solution de l équation 9x 2 6x 2 = 0. 3 Exercice 16 : Résoudre dans R les équations suivantes : (E 1 ) : 4x 2 9 = 0 (E 2 ) : (x 3)(x+2)+(x 2 6x+9) = 0 (E 3 ) : () 2 +3 = 0 (E 4 ) : (E 5 ) : 4x+3 4x 7 = x+1 = 2x x 2 1 Exercice 17 : Utiliser une identité remarquable puis résoudre l équation proposée. (E 1 ) : x 2 4x+4 = 0 (E 2 ) : 25x 2 10x+1 = 0 (E 3 ) : 4 12x+9x 2 = 0 (E 4 ) : 6x+9+x 2 = 0 (E 5 ) : 9x 2 4 = 0 (E 6 ) : x 2 3 = 0 (E 7 ) : 4+5x 2 = 0 (E 8 ) : 49x 2 25 = 0

6 Exercice 18 : Résoudre dans R si possible (E 1 ) : 2x 5 3 x+4 4 = x 6 (E 2 ) : 2(x 3)+5() = 3(x 2)+1 (E 3 ) : 5 (6 7 x+2 27 ) x = x (E 4 ) : 4 4+3x 6 = 2x 3 x+4 2 Exercice 19 : Résoudre les équations proposées. (E 1 ) : (x+2) 2 = x 2 4 (E 2 ) : 4(x+3) 2 = x 2 9 (E 3 ) : 9x 2 1 = 3x+1 (E 4 ) : x(3x 2) = 4 9x 2 (E 5 ) : (2) 2 (3x+2) 2 = 0 (E 6 ) : 81x 2 +1 = 0 Exercice 20 : Résoudre les équations proposées. (E 1 ) : (E 2 ) : (E 3 ) : (E 4 ) : 3 x = 5 x 2 4 = 3 6x 5 2x 1+4x = 0 x 2 4x+3 x 3 = 2 (E 5 ) : (E 6 ) : (E 7 ) : (E 8 ) : 9 x 2 = x 2 1 x+5 = x (x 3) 2 9 x 3 = 1 x 3 x 2 5x+4 = 3 Démontrer une égalité, des x au dénominateur Exercice 21 : Démontrer les affirmations suivantes : (E 1 ) : 1+ 1 = x (E 2 ) : 1+x+ 2 3 = x (E 3 ) : 2 2x 3x+4 2 = x (E 4 ) : 5 2x 1 3x+2 = x (E 5 ) : = x Solutions Mise en garde : Vous trouverez ici les solutions ou des aides aux exercices. Il peut y avoir des erreurs et merci de les signaler. Solution de l exercice 1 A 1 = = 2 A 2 = = 6 A 3 = 5 (1 2) = 6 A 4 = 3+(2 4) = 1 A 5 = 7 (8+3)+2 = 2 A 6 = a 3a = 2a A 7 = 2b+6b = +4b A 8 = 2x (x 3x) = +4x A 9 = 2a 3b+a 5b = 3a 8b A 10 = 6a+2b+b 3a 5b = a 2b A 11 = 2(a b)+3b = 2a+b

7 Solution de l exercice 2 1. x 2. 5x 3. 12x 4. 3x 5. 2x 6. 11x Solution de l exercice x 2 2. x x 2 4. x x x 2 Solution de l exercice Solution de l exercice x 2. 3x 3. 22x 4. x 5. 12x 6. 3x Solution de l exercice x 2 5x x 2 +2x x 2 x 8 4. x 2 +6x x 2 4x x 2 +3x x 2 21x x 3 +12x 2 +3x 2 Solution de l exercice 8 1. (a) A = B, A = C, A = D. (b) A = B, A = C, A = D. (c) A = B, A = C, A = D. 2. (a) A = 10(5). (b) A = 10(5); A = 10(1 5x) Solution de l exercice 9 1. Je peux mettre en facteur un nombre réel dans... Quel est ce nombre réel? B(x) 4 4(2x 3 +1) F(x) 3 3(x+1) Je peux mettre en facteur Quel est cette puissance une puissance de x dans... de x? A(x) x x(x 1) C(x) 4x 4x(2x 2 +1) G(x) x 2 x 2 (4x 2)

8 Je peux mettre en facteur une expression du type ax+b dans... Quel est cette expression? D(x) ()(5x+1) E(x) 2 (2)(11x 3) H(x) x 3 x(x 3)(x 7) 2. A(x) = 4(x+3)(x+2) B(x) = 4x C(x) = (x 3)() D(x) = 3(2x 3)(x+1) E(x) = (x 3)(2x+13) Solution de l exercice 12 (E 1 ) : S = {5; 7 2 } (E 2 ) : S = { 5 3 } (E 3 ) : S = {0;2} (E 4 ) : S = { 3;+3} (E 5 ) : S = {2; 1 2 ; 2} (E 6 ) : S = {1; 1 5 } (E 7 ) : S = {0; 6 5 } (E 8 ) : S = { 2 3 } (E 9 ) : S = {2; 3; 1} Solution de l exercice 14 (E 1 ) : S = R (E 2 ) : S = (E 3 ) : S = {0} (E 4 ) : S = (E 5 ) : S = {7} (E 6 ) : S = R Solution de l exercice 15 On calcule 9a 2 6a 2 et on s aperçoit que ça fait 0. Solution de l exercice 16 (E 1 ) : S = { 3 2 ; 3 2 } (E 2 ) : S = { 1 2 ;3} (E 3 ) : S = (E 4 ) : S = (E 5 ) : S = Solution de l exercice 17 (E 1 ) : S = {2} (E 2 ) : S = { 1 5 } (E 3 ) : S = { 3 2 } (E 4 ) : S = { 3} (E 5 ) : S = { 4 3 ; 4 3 } (E 6 ) : S = { 3; 3} 5 5 (E 7 ) : S = { 2 ; 2 } (E 8 ) : S = { 5 7 ; 5 7 } Solution de l exercice 19 (E 1 ) : S = { 1 2 } (E 2 ) : S = { 3; 5} (E 3 ) : S = { 2 3 ; 1 3 } (E 4 ) : S = { 2 3 ; 1 2 } (E 5 ) : S = { 3; 1 5 } (E 6 ) : S =