Préparation à l épreuve orale du CAPES interne (2 h de préparation : 30mn d exposé et 45mn d entretien)
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- Jean-Louis Fleury
- il y a 6 ans
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1 Préparation à l épreuve orale du PS interne (2 h de préparation : 30mn d exposé et 45mn d entretien) Sans utilisation des TI TYP TIVITÉ PÉGOGIQU : Synthèse d une notion. THÈM : Triangles isométriques et triangles semblables. NIVU : lasse de Seconde. OSSIR OMPRN : une annexe de quatre pages d exercices. TRVIL MNÉ : 1. Présenter une activité permettant de mobiliser de façon essentielle certaines des connaissances qui doivent être acquises sur le thème donné par des élèves de Seconde ; 2. Énoncer les différents cas d isométrie et de similitude des triangles. Proposer pour l un des cas, une démonstration de l énoncé donné - on précisera les pré-requis utilisés ; 3. Résoudre l exercice suivant. On considère le triangle dont les sommets ont pour affixes dans le plan complexe : z 1 = 2, z 2 = 1 + i 3, z 3 = 1 i 3 et le triangle dont les sommets ont pour affixes : z 1 = 2i, z 2 = 3 i et z 3 = 3 i. Que peut-on dire de ces deux triangles? SUR L IH XPOSÉ, ON INIQUR : 1. La rédaction précise d au moins l un des exercices proposés dans l annexe ; 2. La rédaction d un exercice, destinés à des élèves de Seconde, illustrant un contreexemple à l énoncé : Si deux triangles du plan et ont deux angles et un côté respectivement égaux, alors ils sont isométriques. 1
2 NNX xercice I. est un triangle isocèle de sommet principal. Le point est le pied de la hauteur issue de ; est le point d intersection de () et de la perpendiculaire à () passant par. émontrer que 2 =. xercice II. est un triangle isocèle rectangle inscrit dans le demi-cercle de diamtre []. Soit le milieu de [] ; la droite () recoupe le demi-cercle en un point noté. Soit le projeté orthogonal de sur (). 1) émontrer que les triangles, et sont semblables. 2) n déduire que : = 2, = 2. xercice III. est un trianegle quelconque, est le milieu de []. Soit P un point de []. La parallèle à () passant par P coupe () en M et () en N. 2
3 N P 1) émontrer que les triangles et NP sont semblables. n déduire que P N = P. 2) émontrer de même que MP et sont semblables. n déduire que P M = P. 3) éduire des questions précédentes que : P M + P N = 2. xercice IV. est un parallélogramme. On construit, comme dans la figure ci-dessous, le triangle I isocèle rectangle en I, et le carré. I 3
4 1) émontrer que les traingles I et I sont isométriques. 2) émontrer que le triangle I est isocèle rectangle. xercice V. Soit un triangle et I le milieu de []. Les points G et sont les projetés orthogonaux respectivement de et de sur (I). G I 1) émontrer que G =. 2) Retrouver ce résultat en utilisant ue transformation. 3) Énoncer ce résultat sous la forme d un théorème. xercice VI. Soit le cercle de centre O, de rayon R et P un point n appartenant pas à. On pose P O = d. 1) Par le point P, on mène deux sécantes au cercle, l une co+upe en et, l autre en et, comme dans la figure ci-dessous. P O a) onstruire un autre cas de figure conforme aux hypothèse de l énoncé. b) émontrer que les triangles P et P sont semblables. n déduire que P P = P P. Le nombre P P, indépendant de la sécante choisie, s appelle la puissance du point P par rapport au cercle. 2) Pour préciser cette valeur on considère la sécante qui passe par O et qui coupe en et. xprimer le produit P P en fonction de d et de R. On étudiera les deux cas possibles pour la position du point P par rapport au cercle. n déduire la valeur de la puissance de P par rapport à. 4
5 3) Lorsque p est extérieur à, soit T le point de contact d une tangente issue de P à. onstruire la tangente (P T ) à la règle et au compas, et monter que T P 2 = P P. 4) pplication : construire à la règle et au compas un segment de longueur x vérifiant ab = cx, où a, b et c sont des nombres strictement positifs donnés. xercice VII. Soit γ un demi-cercle de diamètre [] et un point de ce demi-cercle. Sur la demi droite [) on considère le point tel que =, et sur la demi-droite perpendiculaire en à () qui appartient au demi-plan déterminé par () contenant γ, on considère le point tel que =. 1) aire la figure correspondante. 2) Montrer que les triangles et sont isométriques. 3) Quel est le lieu du point lorsque le point parcourt γ? 5
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