GEOMETRIE ANALYTIQUE

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1 1 Session du brevet 1996 GEMETRE ANALYTQUE Afrique 96 La liste suivante contient les équations de dix droites : y = 1 2 x + 4 y = 1 2 x 4 y = 1 2 x + 4 y = 1 2 x 4 y = x + 4 y = x 4 y = 2x + 4 y = 2x 4 y = 2x + 4 y = 2x 4 n a choisi quatre équations dans cette liste, puis on a représenté les droites correspondantes dans le repère orthonormal (,, ). y (d 3 ) (d 4 ) x x (d 2 ) (d 1 ) y 1) Recopier le tableau suivant, puis le compléter en retrouvant les équations correspondantes dans la liste. Nom de la droite (d 1 ) (d 2 ) (d 3 ) (d 4 ) Equation de la droite 2) En choisissant dans la liste donnée, citer les équations de deux droites parallèles, puis celles de deux droites perpendiculaires. Clermont 96 Dans le plan muni d un repère orthonormal (,, ), l unité étant le centimètre, on considère les points : A(2; 3); B(5; 6); C(7; 4); D(4; 1). 1) Faire la figure sur papier millimétré. 2) Calculer les coordonnées du vecteur AB et celles du vecteur DC ; en déduire la nature du quadrilatère ABCD. 3) Calculer AC et BD. 4) Démontrer que ABCD est un rectangle. (n pourra utiliser les résultats obtenus en 3.) D. Le FUR 1/ septembre 2003

2 GEMETRE ANALYTQUE Creteil 96 Le plan est rapporté à un repère orthonormé (,, ). 1) Représenter les deux points A( 3; 4) et B(2; 7). 2) Calculer les coordonnées du vecteur AB. 3) Calculer la distance AB. 4) Déterminer une équation de la droite (AB). 5) Déterminer une équation de la droite (d), parallèle à l axe des ordonnées, et passant par le point B. La tracer. Grenoble 96 Dans un repère orthonormal, le point A a pour coordonnées ( 2; 3) et le point B a pour coordonnées (4; 5). A partir des coordonnées des points A et B on propose les calculs suivants : ( ; 3 5 ) (4 + 2; 5 3) (4 + 2)2 + ( 5 3) Dans chaque cas, quelle est la notion géométrique ainsi mise en évidence? (La figure n est pas demandée.) Nantes 96 (d 1 ) Sur la figure ci-après, le plan est muni d un repère orthonormal (,, ). L unité de longueur est le centimètre. 1) Donner sans justification une équation de la droite (d 1 ) représentée sur cette figure. 2) Représenter sur cette même figure la droite (d 2 ) d équation y = 2 3 x 2. 3) Donner sans justification une équation de la droite (d 3 ) passant par et parallèle à (d 2 ). D. Le FUR 2/ septembre 2003

3 2 Session du brevet 1997 Aix 97 GEMETRE ANALYTQUE Le plan est rapporté à un repère orthonormal (unité : 1 cm). n donne la droite (d) d équation y = 2x 1 ; le point A de coordonnées (2; 3) et le point B de coordonnées (0; 5). 1) Placer les points A et B. 2) Montrer que le point A est sur la droite (d). 3) Construire la droite (d). 4) Calculer : les coordonnées du milieu de [AB] ; la distance AB ; les coordonnées du vecteur AB. 5) ( ) est une droite perpendiculaire à (d). Quel est son coefficient directeur? 6) ( ) est la droite perpendiculaire à (d) qui passe par le point B. Tracer la droite ( ) et, sans calcul, donner une équation de ( ). Amerique 97 Le plan est muni d un repère orthonormal (,, ) (unité : 1 cm). 1) Placer les points E(6; 3); F(2; 5) et G( 2; 3) et tracer le cercle (C) de diamètre [EG]. 2) a) Calculer les coordonnées du centre H de (C). b) Calculer le rayon du cercle (C). 3) a) Déterminer la longueur HF. b) En déduire la nature du triangle EFG. 4) a) Construire le point K image de G par la translation de vecteur FE. b) Quelle est la nature du quadrilatère EFGK? ustifier. Bordeaux 97 Le plan est rapporté au repère orthonormal (,, ). L unité de longueur est le centimètre. 1) Placer les points A(3; 5); B( 1; 2); C(1; 1). Calculer les coordonnées du point K, milieu du segment [AB]. 2) Quelle est la nature du triangle ABC? 3) Construire le point E, image du point B par la translation de vecteur CA. a) Quelle est la nature du quadrilatère CAEB? b) Calculer les coordonnées du point E. 4) a) Déterminer une équation de la droite (AB). b) La droite (AB) coupe l axe des abscisses en H ; quelle est la mesure, arrondie au degré, de l angle KH? D. Le FUR 3/ septembre 2003

4 GEMETRE ANALYTQUE Caen 97 Le plan est muni d un repère orthonormal (,, ). Les coordonnées des points A et B sont des nombres entiers. A 1) Trouver une équation de la droite (AB). ustifier la réponse. 2) Tracer la droite (d) d équation y = 1 2 x + 1. B 3) Montrer que C( 4; 1) est sur la droite (d). 4) n appelle D le point d intersection des droites (d) et (AB). Montrer que le triangle BCD est rectangle en D. Creteil 97 Le plan est muni du repère orthonormal (,, ). Parmi les huit équations de droites suivantes, figurent celles de chacune des cinq droites tracées sur la figure : y = 6 y = 2x 3 y = 6x y = 2x + 3 y = 3x + 1 y = 1 3 x + 3 y = 3x + 3 x = 6 (d 1 ) (d 5 ) (d 2 ) (d 4 ) (d 3 ) 1) Associer à chacune des droites de la figure l équation qui lui convient; on indiquera les réponses dans le tableau ci-dessous : Droite Equation de la droite (d 1 ) (d 2 ) (d 3 ) (d 4 ) (d 5 ) 2) ustifier votre choix uniquement pour la droite (d 1 ). n ne demande pas d autre justification ; aucun calcul n est nécessaire, l observation attentive de la figure suffit. D. Le FUR 4/ septembre 2003

5 GEMETRE ANALYTQUE Dijon 97 n prend le centimètre pour unité de longueur. Le plan est muni d un repère orthonormal (,, ). 1) Placer dans ce repère les points A( 1; 4); B(4; 2); C(2; 3). 2) a) Calculer les coordonnées du vecteur AB. b) Calculer la distance AB. 3) a) Déterminer une équation de la droite ( ) qui passe par B et qui a pour coefficient directeur 5 2. b) Vérifier par le calcul que le point C est sur la droite ( ). 4) Une équation de la droite (AB) est y = 2 5 x Montrer que les droites (AB) et ( ) sont perpendiculaires. Nantes 97 Le plan est muni d un repère orthonormal (,, ), l unité est le centimètre. 1) a) Placer les points A et B dont les coordonnées sont A( 2; 3), B(1; 6). b) Donner une équation de la droite (AB) ; aucune justification n est demandée. 2) Tracer la droite (d) d équation y = 2x + 1; aucune justification n est demandée. 3) n considère le point C( 14; 29) que l on ne cherchera pas à placer sur le dessin. Le point C appartient-il à la droite (d)? ustifier la réponse. D. Le FUR 5/ septembre 2003

6 3 Session du brevet 1998 Aix 1998 GEMETRE ANALYTQUE (,, ) est un repère orthonormal du plan tel que = 1 cm et = 1 cm. 1) Tracer le repère et ses axes ainsi que les points A(3; 12); B(11; 6); P(7; 3). Démontrer que A et B sont symétriques par rapport à P. 2) Tracer la droite (d) d équation y = 4 9 x. Démontrer que le point P n est pas sur la droite (d). 3) Calculer le coefficient directeur de la droite (AB). Les droites (d) et (AB) sont-elles perpendiculaires? ustifier. 4) Les points A et B sont-ils symétriques par rapport à la droite (d)? ustifier. Amiens 98 B C Dans le repère orthonormal (,, ) ci-dessus, on a placé les points A, B et C : A(2; 1); B(0; 3); C(4; 3). n ne demande pas de refaire la figure. 1) n considère les droites (C), (BC) et (AB). Leurs équations figurent dans la liste suivante : A y = 2x+3 y = 2x+3 y = 3 y = 3 4 x x = 3 Recopier et compléter les phrases suivantes : la droite (C) a pour équation.... la droite (BC) a pour équation.... la droite (AB) a pour équation... 2) Calculer les coordonnées du vecteur AC. 3) Calculer la longueur AC. Bordeaux 1998 Le plan est rapporté au repère orthonormal (,, ) ; l unité graphique est le centimètre. 1) Placer les points A(2; 1), B(5; 6) et C( 3; 2). 2) Démontrer que le triangle ABC est isocèle en A. 3) a) Déterminer une équation de la droite ( ) passant par A et de coefficient directeur ( 1). b) Démontrer que le point D(0; 3) appartient à la droite ( ). 4) Démontrer que D est l image de C par la translation de vecteur AB. 5) Quelle est la nature du quadrilatère ACDB? D. Le FUR 6/ septembre 2003

7 4 Session du brevet 1999 Bordeaux 1999 GEMETRE ANALYTQUE Le plan est rapporté au repère orthonormal (,, ); l unité graphique est le centimètre. 1) a) Placer les points P(4; 0), Q(0; 8) et M(2; 4). b) Vérifier que M est le milieu du segment [PQ]. 2) (C) désigne le cercle circonscrit au triangle P Q. Quel est le centre du cercle (C)? Tracer le cercle (C). Calculer son rayon. 3) Soit (d) la droite passant par Q et perpendiculaire à la droite (M). K désigne le point d intersection des droites (M) et (d). Caen 1999 a) Déterminer l équation de la droite (M). b) Déterminer l équation de la droite (d). c) Calculer les coordonnées du point K. Sur du papier millimétré, dessiner un repère orthonormal (0,, ). L unité est le centimètre. 1) Placer les points A( 2; 3), B(8; 1), C( 4; 2). 2) Calculer la longueur AB, en donnant sa valeur exacte. 3) Sachant que AC = 29 et BC = 145, prouver que le triangle ABC est rectangle. nde 1999 L unité de longueur est le centimètre et le plan est muni d un repère orthonormal (;, ). 1) Placer les points A( 1; 2) et B(3; 1). 2) Déterminer une équation de la droite (AB). 3) Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AB] et placer le point M dans le repère. 4) Tracer la droite (d) perpendiculaire en M à la droite (AB). Quel est le coefficient directeur de la droite (d)? Que représente la droite (d) pour le segment [AB]? Poitiers 1999 Le plan est rapporté à un repère orthonormal. L unité graphique est le centimètre. n considère les points A(2; 4) et B( 2; 8). Faire une figure que l on complétera au fur et à mesure de l exercice. 1) Démontrer que la droite (AB) a pour équation y = 3x ) n considère la droite (d) d équation y = 1 x + 2. Construire la droite (d). 3 Les droites (d) et (AB) sont-elles perpendiculaires? ustifier la réponse. 3) Calculer les coordonnées du point R, point d intersection des droites (d) et (AB) et démontrer que R est le milieu du segment [AB]. 4) Que représente la droite (d) pour le segment [AB]? ustifier la réponse. D. Le FUR 7/ septembre 2003

8 5 Session du brevet 2000 Caen 2000 GEMETRE ANALYTQUE Le plan est muni d un repère orthonormal (;, ). L unité est le cm. 1) Placer les points A( 2; 5), B(3; 1) et C( 1; 4). 2) Calculer la longueur AC. En donner la valeur exacte. Sachant, de plus, que AB = BC = 41, déterminer la nature du triangle ABC. 3) Construire le point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. Par lecture graphique, déterminer les coordonnées de D. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme particulier. Lequel? ustifier. Clermont-Ferrand 2000 Dans le plan rapporté au repère orthonormal (;, ), placer les points A( 7; 1) et B(1; 7). 1) a) Quelles sont les coordonnées des vecteurs A, B et AB? Démontrer que AB est un triangle rectangle isocèle. b) Soit (C) le cercle circonscrit au triangle AB. Calculer les coordonnées de son centre S et son rayon. 2) n note f la fonction affine définie par f( 7) = 1 et f(1) = 7. a) Déterminer f. b) Quelle est la représentation graphique de la fonction f? Grenoble 2000 Dans un repère orthonormal (;, ) du plan, on considère les points suivants : A( 2; 2); B(3; 1) et C(0; 1). 1) Faire une figure et placer ces points. 2) Calculer la distance AC. 3) n admet que AB = 26 et BC = 13. Démontrer que le triangle ABC est rectangle isocèle. 4) Construire le point E image du point A par la translation qui transforme C en B. 5) Déduire des résultats précédents la nature du quadrilatère ACBE. nde 2000 n utilisera une feuille de papier millimétré. 1) Tracer un repère orthonormé (;, ) tel que = = 1cm. Placer les points suivants : A(2; 4); B(8; 2); C(0; 5); E(5; 1) F(4; 3, 5). 2) Déterminer les coordonnées des vecteurs AE et EB. En déduire que E est le milieu de [AB]. 3) Calculer les coordonnées du point M milieu de [BC]. Que peut-on dire des points M et F? 4) Le triangle ABC est-il isocèle en B? Asie 2000 Dans un plan muni d un repère orthonormal (;, ), on considère les points suivants : A(1; 1); B(3; 1) et C( 1; 3). La figure sera complétée au fur et à mesure des questions. n prendra = = 1cm. 1) Placer les points A, B et C. 2) Déterminer la nature du triangle ABC. D. Le FUR 8/ septembre 2003

9 GEMETRE ANALYTQUE 3) Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AC]. 4) Calculer les coordonnées du point D symétrique de B par rapport à M. 5) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD. 6) Construire A B C, symétrique de ABC par rapport à A. Europe de l est 2000 Dans un repère orthonormé (,, ), placer les points A( 1; 3), B(3; 0) et C(2; 1) sur la figure ci-dessous. 1) Donner les coordonnées du vecteur AB et calculer AB. 2) Construire le point D, image du point C dans la translation de vecteur AB. 3) Déterminer la longueur AC par le calcul. 4) Déduire des questions précédentes la nature du quaadrilatère ABDC. Besançon septembre 1999 Le dessin sera fait sur une feuille de papier millimétré (l unité étant le cm). 1) Dans un repère orthonormal (;, ), placer les points suivants : A( 2; 1); B(2; 3) et C(3; 4). 2) Montrer que AC = 5 2 et calculer la valeur exacte de la distance BC. En déduire la nature du triangle ABC. 3) Placer le point M, milieu du segment [AB]. Calculer ses coordonnées. 4) Calculer les coordonnées du vectuer AB. 5) a) Construire le point D, image du point C dans la translation de vecteur AB. b) Donner la nature du quadrilatère ABDC. ustifier. Groupement septembre 1999 Le plan est muni d un repère orthonormal [,, ); l unité est le centimètre (utiliser une feuille de papier millimétré). 1) Tracer la droite (d 1 ) d équation y = 1 2 x n indiquera la méthode utilisée. 2) Déterminer par le calcul les coordonnées du point K, intersection de la droite (d 1 ) avec l axe des abscisses. Placer le point K sur le graphique. 3) Donner l équation de la droite (d 2 ) parallèle à la droite (d 1 ) et passant par. 4) La droite (d 2 ) passe-telle par le point A(4; 2)? ustifier la réponse par un calcul. 5) n considère la droite (d 3 ) perpendiculaire à la droite (d 1 ) et passant par le point A. Déterminer son équation. D. Le FUR 9/ septembre 2003

10 GEMETRE ANALYTQUE La Réunion septembre 1999 Voici les équations de huit droites : y = 1 3 x + 2 y = 1 3 x 2 y = 1 3 x + 2 y = 1 2 x 1 y = 2x + 4 y = 3x 1 y = 3x + 1 y = 1 2 x 1 D 1 Quatre de ces huit droites sont représentées dans la figure ci-après. ((;, j) est un repère orthonormal.) 1) Reproduire et compléter le tableau suivant : D 4 Equation de la droite D 1 D 2 D 3 D 4 y = y = y = y = D 3 D 2 2) En utilisant les réponses de la question précédente : a) Expliquer pourquoi les droites D 1 et D 4 sont parallèles. b) Expliquer pourquoi les droites D 2 et D 3 sont perpendiculaires. Polynésie septembre 1999 Dans un repère orthonormal (;, ) d unité graphique 1cm : 1) Placer les points : A( 4; 2); B(4; 8) et C(7; 4). 2) Tracer la droite (AB). 3) Vérifier que la droite d équation y = 3 x + 5 est la droite (AB). 4 4) Tracer la droite (D 1 ) qui passe par le point C et qui est parallèle à la droite (AB). 5) Déterminer un eéquation de la droite (D 1 ). 6) Tracer la droite (D 2 ) qui passe par le point B et qui est perpendiculaire à la droite (AB). 7) Déterminer une équation de la droite (D 2 ). D. Le FUR 10/ septembre 2003

11 6 Session du brevet 2001 Groupe est 2001 GEMETRE ANALYTQUE Les tracés demandés dans cet exercice sont à réaliser sur une figure semblable à celle ci-dessous. y sens de la rotation x 1) Dans le repère orthonormé (,, ) représenté cidessus, placer les points : A(2; 3), B(5; 6) et C(7; 4). 2) n admettra que AB = 3 2 et que BC = 2 2. Calculer la distance AC et prouver que le triangle ABC est rectangle en B. 3) Représenter le point D, image du point A par la rotation de centre B et d angle 90 (dans le sens qui est indiqué ci-dessus et qui est le sens contraire des aiguilles d une montre). 4) Représenter le point M tel que BM = BA + BC. Quelle est la nature du quadrilatère BCMA? 5) a) Représenter le point N image de D dans la translation de vecteur BA. b) Expliquer pourquoi les points B, C et D sont alignés. c) Démontrer que les points A, M et N sont alignés. Groupe ouest 2001 Le plan est muni d un repère orthonormal (,, ). L unité de longueur est le centimètre. 1) Placer les points A(2; 1), B(5; 5) et C(6; 2). 2) Donner les coordonnées du vecteur AB. 3) Calculer la distance AB. 4) Placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme. 5) Donner, sans justifier,les coordonnées du point D. 6) Calculer les coordonnées du centre de symétrie W du parallélogramme ABCD. Afrique 2001 Soit (,, ) un repère orthonormé du plan. L unité est le centimètre. n considère les points suivants : A(2; 3), B(6; 1) et C( 1; 3). 1) Faire une figure et placer les points. 2) Calculer les coordonnées du milieu M du segment [BC]. 3) a) Calculer les coordonnées du vecteur AC. b) Construire le point D image du point B par la translation de vecteur AC. Calculer les coordonnées de D. 4) Calculer les valeurs exactes des longueurs AD et BC. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? ustifier. Amérique du nord 2001 Dans un repère orthonormé (,, ) tel que = = 1cm, placer les points M( 2; 4) et N(2; 2). 1) Montrer que le triangle M N est isocèle en M. 2) Construire le point P image de N par la translation de vecteur M. 3) Quelle est la nature du quadrilatère MNP? ustifier. 4) Calculer les coordonnées de K, point d intersection de [N] et de [MP]. D. Le FUR 11/ septembre 2003

12 Amérique du sud novembre 2000 GEMETRE ANALYTQUE 1) Dans un repère orthonormé (,, ) d unité 1cm, placer les points : 2) a) Calculer les longueurs AB et AC. A( 1; 6) B( 2; 3) C(5; 4) b) n admet que BC = 50. Montrer que le triangle ABC est rectangle. 3) a) Construire le point E image du point C par la translation de vecteur AB. b) Quelle est la nature du quadrilatère ABEC? ustifier. Espagne portugal 2001 Le plan est muni d un repère orthonormal (,, ). L unité de longueur est le centimètre. 1) Placer les points A(5; 2) et B( 1; 4). 2) Calculer les coordonnées du milieu M de [AB]. 3) Montrer, au moyen d un calcul, que AB = 72. 4) Construire le cercle (C) de diamètre [AB]. 5) Placer un point E sur le cercle (C) tel que : AE = 3cm. 6) Montrer que ABE est un triangle rectangle. 7) Calculer les angles ÊAB et ÊBA, donner une valeur approchée au dixième près. Groupe est septembre 2000 n prend le centimètre pour unité de longueur. Le plan est muni d un repère orthonormal (,, ). 1) Placer les points : A(2; 2), B( 3; 1) et C(1; 2). n complètera la figure au fur et à mesure de l exercice. 2) a) Calculer les distances AB, AC et BC. b) Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle. 3) Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AC]. 4) a) Construire le point D, image du point A par la translation de vecteur BC. b) Que représente le point M pour le segment [BD]? ustifier. 5) La droite parallèle à (BC) passant par M coupe la droite (AB) en un point N. Calculer les coordonnées du point N. Antilles-Guyane septembre 2000 Le plan est rapporté à un repère orthonormal (,, ). L unité est 1cm. 1) Représenter les points A(1; 4), B(3; 2) et C(6; 1). 2) Calculer les coordonnées du vecteur AB. 3) Calculer la distance AB (valeur exacte). 4) Montrer que le triangle ABC est rectangle. 5) Calculer la tangente de l angle BAC, puis en déduire la mesure de l angle BAC (valeur arrondie au degré près). D. Le FUR 12/ septembre 2003

13 7 Session du brevet 2002 Groupe est (Grenoble) 2002 GEMETRE ANALYTQUE Dans un repère orthonormé (,, ), on considère les points suivants : A( 3; 2) B( 1; 9) C(9; 4) 1) Faire une figure en prenant 1cm pour unité de longueur. 2) n note M le mileu du segment [AC]. Calculer les coordonnées du point M. 3) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC. 4) Calculer la longueur BC. n donnera la valeur arrondie à 0, 1 près. Groupe ouest 2002 Le plan est muni d un repère orthonormé (;,). L unité de longueur est le centimètre. 1) a) Placer les points : A(3; 5) et B( 2; 5). b) Donner les coordonnées du vecteur AB. (Aucune justification n est demandée). c) Calculer la valeur exacte de la longueur AB. 2) a) Placer le point C( 2; 4) et le point D, image du point C par la translation de vecteur AB. b) Quelles sont les coordonnées du point D? (aucune justification n est demandée). c) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD et quelles sont les coordonnées du point M, intersection des droites (AD) et (BC)? (ustifier ces deux réponses). Centres étrangers (Grenoble) 2002 y sens de la rotation L unité de longueur est le centimètre. Le plan est muni d un repère orthonormé ( ;,). Dans le repère, représenté ci-après, on a placé les points : A(0; 2), B( 3; 2) et C. Toutes les lectures sur le repère seront justifiées par des tracés en pointillé. B A C x 1) Lire les coordonnées du point C. 2) Lire les coordonnées du vecteur AB. 3) Calculer la distance AB. 4) a) Placer le point D, image du point C par la translation qui transforme A en B. b) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? 5) Placer le point E, image de B par la symétrie de centre. 6) Placer le point F, image de C par la symétrie d axe (x). 7) Placer le point G, image de A par la rotation de centre et d angle 90 dans le sens des aiguilles d une montre. D. Le FUR 13/ septembre 2003

14 GEMETRE ANALYTQUE Guadeloupe 2002 Le plan est muni d un repère orthonormé (;, ). L unité de longueur est le centimètre. 1) Placer les points : A( 1; 0); B(1; 2) et C(3; 4). 2) Montrer que AB = 8 ; AC = 32 et BC = 40. 3) En déduire que le triangle ABC est rectangle et préciser l angle droit. 4) Placer le point D tel que CD = AB. 5) Quelle est la nature du quadrilatère CDBA? ustifier la réponse. Amérique du sud novembre 2001 Dans un repère orthonormé (;, ) tel que = = 1cm, on considère les points A( 6; 2) et B( 5, 5; 3, 5). 1) Calculer A, B et AB ; on donnera les valeurs exactes puis les valeurs approchées à 1mm près. En déduire la nature du triangle AB. Calculer, à un degré près, la mesure de l angle ÂB. 2) n considère la rotation de centre et d angle 90 ; le sens de cette rotation est le sens des aiguilles d une montre. Construire A B image de AB par cette rotation. 3) Calculer la mesure de l angle BA ; on donnera une valeur arrondie au degré près. Polynésie septembre 2001 Le plan est rapporté à un repère orthonormé (;, ) d unité graphique le centimètre. 1) Placer les points A( 2; 1), B(1; 4) et C(6; 1). n complétera la figure au fur et à mesure de l exercice. 2) Calculer les longueurs AB,AC et BC ; on donnera les valeurs exactes. 3) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. 4) Soit M le milieu de [AC]. Calculer les coordonnées du point M. D. Le FUR 14/ septembre 2003

15 8 Session du brevet 2003 Groupe nord 2003 GEMETRE ANALYTQUE Le plan est muni d un repère orthonormal (,, ). L unité de longueur est le centimètre. 1) Placer les points A( 3; 1), B(0; 2), C(2; 3) dans le repère de la figure ci-dessous. 2) a) Calculer les distances AC et BC. b) Qu en déduire pour le triangle ABC? ustifier. 3) Construire l image A B C du triangle ABC par la translation de vecteur AB dans le repère ci-dessous. uest2003 Dans un repère orthonormé (,, ) on considère les points : 1) Placer ces points dans le repère (,, ). 2) Démontrer que la valeur exacte de AB est 5. 3) n admet dans la suite de l exercice que : AC = 5 2 et BC = 3 5. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B. A( 2; 1) B( 1; 3) C(5; 0) 4) n appelle K le milieu de [AC]. Calculer les coordonnées de K. 5) n appelle D le point tel que le quadrilatère ABCD est un rectangle. Placer D dans le repère, puis calculer ses coordonnées. D. Le FUR 15/ septembre 2003

16 GEMETRE ANALYTQUE Asie 2003 y A C D x Le plan est muni d un repère orthonormé (,, ). 1) Lire les coordonnées des points A, B et C. 2) Calculer les coordonnées des vecteurs AC et BD. 3) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? ustifier. B Centres étrangers (Lyon 2003 La figure sera tracée sur la copie. 1) Placer dans un repère orthonormé, en prenant comme unité le centimètre, les points A( 2; 2), B(2; 5), C(5; 1) et D(1; 2). 2) Calculer les distances AB, BC et AC. Montrer, en le justifiant, que le triangle ABC est rectangle et isocèle. 3) Calculer les coordonnées des vecteurs AD et BC. Que peut-on en conclure? 4) Déduire des questions précédentes que ABCD est un carré. Groupe est septembre 2002 Le plan est muni d un repère orthonormé (,, ). L unité de longueur est le centimètre. 1) Placer les points A(1; 2); B(3; 0); C( 1; 2). 2) n note D, milieu du segment [AB]. Calculer les coordonnées du point D. 3) a) Placer le point D sur la figure. Construire le point E symétrique du point C par rapport au point D. b) Montrer que AEBC est un parallélogramme. c) Calculer les coordonnées du point E. d) Calculer AE et EB. e) En déduire que AEBC est un losange. Amérique du sud novembre 2002 L unité de longueur est le centimètre. Le plan est muni d un repère orthonormé (,, ). 1) Placer les points E( 4; 1), F(4; 4) et G(2; 1). 2) Calculer les coordonnées du milieu K du segment [EG]. 3) Soit le point H(4; 1). n admet que [FH] est la hauteur issue de F du triangle EFG et que FH = 5cm. Calculer EG puis en déduire l aire du triangle EFG. 4) Sachant que EF = 89cm, en déduire la longueur h de la hauteur issue de G dans le triangle EFG. n donnera la valeur exacte de h. D. Le FUR 16/ septembre 2003