Rappel sur les concepts de base de statistiques et statistiques descriptives
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- Richard Trudeau
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1 Rappel sur les concepts de base de statistiques et statistiques descriptives Atelier de formation à l'analyse des données pour l'estimation des stocks de carbone forestier, 30 juin4 juillet 2014, Yaoundé Nicolas Picard Projet de renforcement des capacités institutionnelles en matière de REDD+ pour la gestion durable des forêts dans le bassin du Congo PREREDD (COMIFAC) Rappel sur les concepts de base de statistiques et statistiques descriptives I 1 / 9
2 Panorama des statistiques et rappels 1 Panorama 2 Rappels de probabilités 3 Lois usuelles 4 Statistiques descriptives : cas unidimensionnel 5 Statistiques descriptives : cas multidimensionnel 6 Conclusion Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
3 Utilité des statistiques en foresterie Quelques exemples Inventorier une ressource forestière (stock de bois... ) on ne peut pas tout mesurer Z quelle règle d échantillonnage pour estimer la ressource avec une précision donnée? Mesurer des arbres (dendrométrie) tarifs de cubage : prédire le volume en fonction du diamètre et/ou de la hauteur relation hauteur / diamètre Z comment établir une relation alors qu il y a naturellement de la variabilité? Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
4 Utilité des statistiques en foresterie Quelques exemples Inventorier une ressource forestière (stock de bois... ) on ne peut pas tout mesurer Z quelle règle d échantillonnage pour estimer la ressource avec une précision donnée? échantillonnage Mesurer des arbres (dendrométrie) tarifs de cubage : prédire le volume en fonction du diamètre et/ou de la hauteur relation hauteur / diamètre Z comment établir une relation alors qu il y a naturellement de la variabilité? modélisation Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
5 Utilité des statistiques en foresterie Quelques exemples (suite) Comprendre l écologie des espèces relation sol / espèce Z comment tester une relation qui n est pas univoque? Analyser des données d inventaire d aménagement décrire la structuration des données définir des types de formations végétales comment extraire l information d une masse de données? Z comment classer des observations? Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
6 Utilité des statistiques en foresterie Quelques exemples (suite) Comprendre l écologie des espèces relation sol / espèce Z comment tester une relation qui n est pas univoque? test statistique Analyser des données d inventaire d aménagement décrire la structuration des données définir des types de formations végétales Z comment extraire l information d une masse de données? Z comment classer des observations? statistiques descriptives (analyses multivariées) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
7 Statistiques et probabilités Probabilité : théorie mathématique traitant des événements aléatoires Statistique : dès que l on a affaire à des observations, des données Z les statistiques s appuient sur les probabilités... mais une partie des statistiques (en particulier les statistiques descriptives) ne font pas référence aux probabilités Ce cours n est pas un cours de mathématiques : approche intuitive savoir quand utiliser les méthodes adéquates savoir interpréter les résultats savoir chercher de l aide pour les analyses plus poussées! Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
8 Panorama : probabilités Probabilités Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
9 Panorama : probabilités Probabilités Variable aléatoire fonction de répartition densité moments lois continues lois discrètes fonction caractéristique Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
10 Panorama : probabilités Probabilités Variable aléatoire Couple de VA fonction de loi jointe répartition loi marginale densité loi condition- moments -nelle lois continues lois discrètes fonction caractéristique Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
11 Panorama : probabilités Probabilités Variable aléatoire Couple de VA fonction de loi jointe répartition loi marginale densité loi condition- moments -nelle lois continues lois discrètes fonction caractéristique Vecteur aléatoire Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
12 Panorama : probabilités Probabilités Variable aléatoire Couple de VA fonction de loi jointe répartition loi marginale densité loi condition- moments -nelle lois continues lois discrètes fonction caractéristique Vecteur aléatoire Processus aléatoire processus temporel processus ponctuel Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
13 Panorama : probabilités Probabilités Variable aléatoire Couple de VA fonction de loi jointe répartition loi marginale densité loi condition- moments -nelle lois continues lois discrètes fonction caractéristique Vecteur aléatoire Processus aléatoire processus temporel processus ponctuel Journée 1 Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
14 Panorama : statistique exploratoire Statistique exploratoire Statistiques descriptives Analyses multivariées Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
15 Panorama : statistique exploratoire Statistique exploratoire Statistiques descriptives Analyses multivariées Description d une variable moyenne médiane quantiles écart-type graphiques Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
16 Panorama : statistique exploratoire Statistique exploratoire Statistiques descriptives Analyses multivariées Description d une variable moyenne médiane quantiles écart-type graphiques Liaison entre deux variables graphiques numériques ordinales qualitatives quantitative et qualitative Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
17 Panorama : statistique exploratoire Statistique exploratoire Statistiques descriptives Analyses multivariées Description d une variable moyenne médiane quantiles écart-type graphiques Liaison entre deux variables graphiques numériques ordinales qualitatives quantitative et qualitative Journée 1 Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
18 Panorama : statistique exploratoire Statistique exploratoire Statistiques descriptives Analyses multivariées Analyse d un tableau ACP AFC AFCM Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
19 Panorama : statistique exploratoire Statistique exploratoire Statistiques descriptives Analyses multivariées Analyse d un tableau ACP AFC AFCM Couplage de 2 tableaux variables instrumentales co-inertie canonique Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
20 Panorama : statistique exploratoire Statistique exploratoire Statistiques descriptives Analyses multivariées Analyse d un tableau ACP AFC AFCM Couplage de 2 tableaux variables instrumentales co-inertie canonique Classification automatique hiérarchique non hiérarchique Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
21 Panorama : statistique exploratoire Statistique exploratoire Statistiques descriptives Analyses multivariées Analyse d un tableau ACP AFC AFCM Couplage de 2 tableaux variables instrumentales co-inertie canonique Journées 5 & 6 Classification automatique hiérarchique non hiérarchique Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
22 Panorama : statistique inférentielle Statistique inférentielle (1) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
23 Panorama : statistique inférentielle Statistique inférentielle (1) Distribution d un échantillon fonction de répartition empirique moyenne empirique variance empirique échantillon gaussien Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
24 Panorama : statistique inférentielle Statistique inférentielle (1) Distribution d un échantillon fonction de répartition empirique moyenne empirique variance empirique échantillon gaussien Estimation maximum de vraisemblance moments intervalle de confiance taille de population Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
25 Panorama : statistique inférentielle Statistique inférentielle (1) Distribution d un échantillon fonction de répartition empirique moyenne empirique variance empirique échantillon gaussien Estimation maximum de vraisemblance moments intervalle de confiance taille de population Échantillonnage Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
26 Panorama : statistique inférentielle Statistique inférentielle (1) Distribution d un échantillon fonction de répartition empirique moyenne empirique variance empirique échantillon gaussien Estimation maximum de vraisemblance moments intervalle de confiance taille de population Tests ajustement comparaison de 2 moyennes comparaison multiple de moyennes comparaison de variance du χ 2 Échantillonnage Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
27 Panorama : statistique inférentielle Statistique inférentielle (1) Distribution d un échantillon fonction de répartition empirique moyenne empirique variance empirique échantillon gaussien Estimation maximum de vraisemblance moments intervalle de confiance taille de population Échantillonnage Tests ajustement comparaison de 2 moyennes comparaison multiple de moyennes comparaison de variance du χ 2 Journée 2 Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
28 Panorama : statistique inférentielle (suite) Statistique inférentielle (2) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
29 Panorama : statistique inférentielle (suite) Statistique inférentielle (2) Modèle linéaire analyse de variance à un facteur analyse de variance à n facteurs régression simple régression multiple analyse de covariance cas général Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
30 Panorama : statistique inférentielle (suite) Statistique inférentielle (2) Modèle linéaire analyse de variance à un facteur analyse de variance à n facteurs régression simple régression multiple analyse de covariance cas général Dispositifs expérimentaux Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
31 Panorama : statistique inférentielle (suite) Statistique inférentielle (2) Modèle linéaire analyse de variance à un facteur analyse de variance à n facteurs régression simple régression multiple analyse de covariance cas général Modèle non linéaire Dispositifs expérimentaux Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
32 Panorama : statistique inférentielle (suite) Statistique inférentielle (2) Modèle linéaire analyse de variance à un facteur analyse de variance à n facteurs régression simple régression multiple analyse de covariance cas général Modèle non linéaire Analyse discriminante Dispositifs expérimentaux Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
33 Panorama : statistique inférentielle (suite) Statistique inférentielle (2) Modèle linéaire analyse de variance à un facteur analyse de variance à n facteurs régression simple régression multiple analyse de covariance cas général Modèle non linéaire Analyse discriminante Journées 3 & 4 Dispositifs expérimentaux Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
34 Et encore : Statistique bayésienne Séries chronologiques Statistiques spatiales : géostatistique processus ponctuels lattices Etc, etc. Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
35 Panorama des statistiques et rappels 1 Panorama 2 Rappels de probabilités 3 Lois usuelles 4 Statistiques descriptives : cas unidimensionnel 5 Statistiques descriptives : cas multidimensionnel 6 Conclusion Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
36 Probabilités : les bases Approche fréquentiste Événement aléatoire défini par : ses réalisations possibles la probabilité associée à chaque réalisation Exemple : dé à 6 faces Si on note A 1,..., A n les réalisations possibles et Pr la mesure de probabilité : Pr(A i A j ) = Pr(A i ) + Pr(A j ) (i j) n Pr(A i ) = 1 i=1 Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
37 Probabilité conditionnelle et indépendance Soient A et B deux événements aléatoires Probabilité conditionnelle de A sachant B : Pr(A B) = Pr(A B) Pr(B) Indépendance de A par rapport à B : Pr(A B) = Pr(A) A indépendant de B :B indépendant de A Pour des événements indépendants : Pr(A B) = Pr(A) Pr(B) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
38 Variable aléatoire Définition Application qui associe à chaque réalisation d un événement aléatoire une valeur numérique (réelle) Exemple : dé à 6 faces ; on y associe X {1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemple : statut d un arbre pris au hasard en forêt dominant 1 co-dominant 2 dominé 3 Exemple : diamètre d un arbre pris au hasard en forêt D [d min ; + [ Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
39 Variable aléatoire Définition Application qui associe à chaque réalisation d un événement aléatoire une valeur numérique (réelle) Exemple : dé à 6 faces ; on y associe X {1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemple : statut d un arbre pris au hasard en forêt dominant 1 co-dominant 2 dominé 3 Exemple : diamètre d un arbre pris au hasard en forêt D [d min ; + [ Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
40 Variable aléatoire Définition Application qui associe à chaque réalisation d un événement aléatoire une valeur numérique (réelle) Exemple : dé à 6 faces ; on y associe X {1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemple : statut d un arbre pris au hasard en forêt dominant 1 co-dominant 2 dominé 3 Exemple : diamètre d un arbre pris au hasard en forêt D [d min ; + [ Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
41 Fonction de répartition Définition : F (x) = Pr(X < x) Fonction à valeurs dans [0, 1] monotone croissante Propriété : Pr(a X < b) = F (b) F (a) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
42 Différents types de variable Variable discrète Variable ordinale Exemple : statut de l arbre dominant > co-dominant > dominé Variable nominale Exemple : couleur du feuillage vert clair 1 vert clair 4 vert foncé 2 ou bien vert foncé 8 jaune 3 jaune 5 Variable continue Exemple : diamètre Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
43 Variable aléatoire discrète Loi de probabilité On indexe les modalités de la variable par des entiers 1, 2, 3,..., m Loi de probabilité : définie par Pr(X = i) pour tout i = 1,..., m Exemple : somme du lancer de deux dés à 6 faces 6/36 Probabilité /36 4/36 3/36 2/36 1/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/ Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
44 Variable aléatoire discrète Fonction de répartition Exemple : somme du lancer de deux dés à 6 faces Probabilité /36 1/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 35/36 33/ Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
45 Variable aléatoire continue Loi de probabilité Densité de probabilité : Pr(x < X < x + dx) = f(x) dx Fonction de répartition : F (b) = b f(x) dx En d autres termes : f(x) = F (x) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
46 Variable aléatoire continue Exemple X défini par : { exp( λx) Pr(X > x) = 1 λ f(x) = 1 { λ exp( λx) (x 0) 0 (x < 0) f(x) Pr(a < X < b) F(x) 0 0 a x b 0 0 x Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
47 Changement de variable Nouvelle variable aléatoire Y = ϕ(x) avec ϕ bijective Fonction de répartition de Y : { F (ϕ G(y) = 1 (y)) (ϕ croissante) 1 F (ϕ 1 (y)) (ϕ décroissante) Densité de Y : g(y) = f[ϕ 1 (y)] ϕ [ϕ 1 (y)] Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
48 Indépendance de deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si et seulement si : Fonction de répartition du couple (X, Y ) : H(x, y) = Pr(X < x et Y < y) = F (x) G(y) Densité du couple (X, Y ) : h(x, y) = f(x) g(y) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
49 Moments d une variable aléatoire Moment non centré d ordre p : m p = Moment centré d ordre p : µ p = x p f(x) dx (x m 1 ) p f(x) dx Par définition, le moment non centré d ordre 1 s appelle l espérance Notation : E(X) Par définition, le moment centré d ordre 2 s appelle la variance Notation : Var(X) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
50 Espérance Interprétation : tirons n valeurs de X de façon indépendante : x 1, x 2,..., x n Z la moyenne empirique (x 1 + x x n )/n converge vers E(X) Espérance d une somme de deux variables aléatoires : E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Espérance d un produit de deux variables aléatoires : X et Y indépendantes : E(XY ) = E(X) E(Y ) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
51 Espérance d une fonction d une variable aléatoire Changement de variable Y = ϕ(x) (pas forcément bijective) Espérance : E[ϕ(X)] = ϕ(x) f(x) dx Exemple : moment non centré d ordre p = E(X p ) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
52 Variance Variance : Var(X) = E[(X E(X)) 2 ] Z mesure la dispersion autour de l espérance Autre expression équivalente : Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 «espérance du carré moins le carré de l espérance» Écart-type : σ = Var(X) Variance d une somme de variables aléatoires : X et Y indépendantes : Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) Unités : si X en m, Var(X) en m 2 (mais σ en m) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
53 Quantiles et médiane quantile d ordre q = F 1 (q) c est la probabilité p telle que Pr(X < p) = q médiane = quantile 50% F(x) er quartile médiane 3e quartile x Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
54 Mode(s) Mode = maximum (local) de la densité de distribution f(x) x Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
55 Couple de variables aléatoires fonction de répartition : H(x, y) = Pr(X < x et Y < y) densité de distribution (variables continues) : densités marginales : f(x) = g(y) = R R h(x, y) = 2 H x y h(x, y) dy F (x) = H(x, ) h(x, y) dx G(y) = H(, y) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
56 Couple de VA : covariance Covariance : Cov(X, Y ) = E[(X E(X)) (Y E(Y ))] Autre expression équivalente : Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X) E(Y ) Si X et Y sont indépendants, alors Cov(X, Y ) = 0 Cov(X, X) = Var(X) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
57 Vecteur aléatoire généralise le couple de variables aléatoires à p variables aléatoires X = (X 1, X 2,..., X p ) fonction de répartition : F (x 1, x 2,..., x p ) = Pr(X 1 < x 1 et X 2 < x 2 et... et X p < x p ) densité de distribution : f(x 1, x 2,..., x p ) = p F x 1 x 2... x p Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
58 Vecteur aléatoire : moments d ordre 1 et 2 espérance : vecteur de longueur p E(X 1, X 2,..., X p ) = (E(X 1 ), E(X 2 ),..., E(X p )) = m matrice de variance-covariance : matrice p p σ1 2 Cov(X 1, X 2 )... Cov(X 1, X p ) Cov(X) = Cov(X 2, X 1 ) σ Cov(X p, X 1 )... σp 2 = E(X t X) m t m Z matrice symétrique Z matrice diagonale si X 1,..., X m mutuellement indépendants Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
59 Panorama des statistiques et rappels 1 Panorama 2 Rappels de probabilités 3 Lois usuelles 4 Statistiques descriptives : cas unidimensionnel 5 Statistiques descriptives : cas multidimensionnel 6 Conclusion Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
60 Loi uniforme (U) Lois discrètes Ex.: dé à n faces paramètre : n X {1, 2, 3,..., n} Pr(X = k) = 1 pour tout k n E(X) = n Var(X) = n2 1 2 Pr(X = x) x Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
61 Loi de Bernoulli Lois discrètes Ex.: lancer d une pièce (pile ou face) Ex.: survie d un arbre paramètre : p X {0, 1} Pr(X = 1) = p (0 < p < 1) E(X) = p Var(X) = p(1 p) Pr(X = x) x Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
62 Loi binomiale (B) Lois discrètes Ex.: nombre d arbres morts paramètres : n et p somme de n variables indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d) Bernoulli(p) X {0, 1,..., n} Pr(X = k) = C k np k (1 p) n k E(X) = np Var(X) = np(1 p) propriété d additivité : X B(n, p) Y B(m, p) X et Y indépendantes : X + Y B(n + m, p) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
63 Loi binomiale (B) (suite) Pr(X = x) n = 10 p = 0.05 Pr(X = x) n = 10 p = 0.1 Pr(X = x) x n = 10 p = x Pr(X = x) x n = 10 p = x Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
64 Loi de Poisson (P) Lois discrètes paramètre : µ X N Pr(X = k) = exp( µ) µk k! E(X) = Var(X) = µ Loi de référence pour les variables de comptage Si E(X) < Var(X), sous-dispersion Si E(X) > Var(X), sur-dispersion propriété d additivité : X P(µ) Y P(λ) X et Y indépendantes : X + Y P(λ + µ) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
65 Loi de Poisson (P) (suite) Pr(X = x) µ = 0.5 Pr(X = x) µ = x x Pr(X = x) µ = x Pr(X = x) µ = x Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
66 Origines de la loi de Poisson 1 Limite d une loi binomiale : soit un événement A de probabilité p très faible (< 0.1) que l on essaie d obtenir quelques fois en répétant l expérience un grande nombre de fois (n > 50). Le nombre de réalisations de A suit une loi binomiale B(n, p) avec : B(n, p) P(np) 2 Processus temporel de Poisson : temps d attente indépendants la loi du nombre d événements arrivant dans l intervalle {t; t + T } ne dépend que de T deux événements ne peuvent pas arriver simultanément Alors le nombre d événements suit une loi de Poisson 3 Processus spatial de Poisson Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
67 Autres loi discrètes loi géométrique loi hypergéométrique loi de Pascal loi binomiale négative etc. (N.ML. Johnson, A.W. Kemp & S. Kotz, 2005, Univariate Discrete Distributions, 3 e édition, John Wiley & Sons, New York, 646 p.) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
68 Loi uniforme Lois continues paramètre : a et b X [a, b] f(x) = 1/(b a) pour x [a, b], 0 sinon F (x) = (x a)/(b a) pour x [a, b] E(X) = (a + b)/2 Var(X) = (b a) 2 /12 1 b a f(x) a b x Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
69 Loi exponentielle Lois continues µ paramètre : µ X > 0 f(x) = µ exp( µx) pour x > 0, 0 sinon F (x) = 1 exp( µx) pour x > 0 E(X) = 1/λ Var(X) = 1/λ 2 f(x) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106 x
70 Loi de Laplace-Gauss (N ) Lois continues aussi appelée «loi normale» paramètre : m et σ X R f(x) [ x) = 1 σ 2π exp 1 2 ( ) ] x m 2 σ E(X) = m Var(X) = σ 2 m 3σ m 2σ m σ m x m + σ m + 2σ m + 3σ Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
71 Quelques propriétés de la loi normale quantiles à 95 % : Pr(m 1.96σ < X < m σ) = 0.95 propriété d additivité : X N (m, σ) Y N (p, τ) X et Y indépendantes : X + Y N (m + p, σ + τ) convergence de la loi de Poisson vers la loi normale : X P(µ) X µ µ N (0, 1) µ Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
72 Théorème central-limite il justifie le rôle central de la loi normale (X n ) suite de variables aléatoires i.i.d d espérance µ et d écart-type σ ( ) 1 X1 + X X n nµ N (0, 1) n σ n Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
73 Loi du chi-deux (χ 2 ) Lois continues Définition : U 1, U 2,..., U p i.i.d N (0, 1) p i=1 U 2 i χ 2 p paramètre : p N X > 0 E(X) = p Var(X) = 2p f(x) x Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
74 Loi de Fisher-Snedecor (F ) Lois continues Définition : X χ 2 n Y χ 2 p X et Y indépendants paramètre : n et p X/n Y/p F (n, p) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
75 Loi de Student (T ) Lois continues Définition : U N (0, 1) X χ 2 n X et U indépendants U X/n T (n) paramètre : n E(X) = 0 (n > 1) f(x) Var(X) = n/(n 2) (n > 2) x n = 1 n = 2 n = 5 n = 10 n = 50 Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
76 Autres lois continues loi gamma loi bêta (type I, type II) loi de l arc sinus loi log-normale loi de Weibull loi Cauchy loi de Gumbel loi du T 2 de Hotelling loi du Λ de Wilks Etc. (N.L. Johnson & S. Kotz, 1970, Distributions in Statistics: Continuous Univariate Distributions, vol.1, John Wiley & Sons, New York, 300 p.) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
77 Loi multinomiale (M) Loi multivariée discrète Généralise la loi binomiale à k modalités Définition : soit X variable modale à k modalités soit p i la probabilité de tirer la modalité i on fait n tirages indépendants de X soit Ni le nombre de fois où l on a tiré la i e modalité (N 1, N 2,..., N k ) M(n, p 1, p 2,..., p k ) Loi : Pr(N 1 = n 1,..., N k = n k ) = n! n 1!n 2!... n k! pn 1 1 pn pn k k Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
78 Loi multinomiale (suite) Espérance : E(N 1, N 2,..., N k ) = (np 1, np 2,..., np k ) Résultat à la base du test du χ 2 : k (N i np i ) 2 χ 2 np i n k 1 i=1 Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
79 Loi multinormale Loi multivariée continue Définition : X est un vecteur gaussien à p dimensions si toute combinaison linéaire de ses composantes suit une loi de Laplace-Gauss densité de probabilité : ( 1 f(x 1, x 2,..., x p ) = (2π) p/2 detσ exp 1 ) t (x m)σ 1 (x m) 2 avec m = espérance du vecteur et Σ = matrice de variance-covariance Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
80 f(x,y) f(x,y) Loi multinormale (suite) y y x x y y x x Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
81 Autres lois multivariées loi de Wishart Etc. (N.L. Johnson & S. Kotz (1972) Distributions in Statistics: Continuous Multivariate Distributions, vol.2, John Wiley & Sons, New York) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
82 Panorama des statistiques et rappels 1 Panorama 2 Rappels de probabilités 3 Lois usuelles 4 Statistiques descriptives : cas unidimensionnel 5 Statistiques descriptives : cas multidimensionnel 6 Conclusion Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
83 Présentation des données : variable numérique discrète Variable prenant des valeurs entières (plus rarement décimales) Nombre de valeurs distinctes assez faibles ( 20) Exemple : nombre de semis d une essence dans 48 placeaux Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
84 Présentation des données : tableau statistique Variable numérique discrète 1 ère colonne : observations distinctes rangées par ordre croissant 2 e colonne : effectif 3 e colonne : effectif cumulé 4 e colonne : fréquence 5 e colonne : fréquence cumulée x n N f F Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
85 Présentation des données : «stem-and-leaf» Variable numérique discrète «tige» : chiffre des dizaines «feuille» : chiffre des unités Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
86 Présentation des données : variable qualitative Tableau statistique Exemple : répartition de la population active selon la catégorie socioprofessionnelle (France, 1988) CSP effectif fréquence agriculteurs artisans, commerçants cadres professions intermédiaires employés ouvriers Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
87 Présentation des données : variable quantitative continue Découpage en classes Tableau statistique sur les classes Exemple : diamètres de 255 sapelli (Entandrophragma cylindricum) avec D 10 cm classe effectif fréquence [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, ) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
88 Représentation graphique : diagramme en bâtons Variable quantitative discrète Exemple du nombre de semis dans 48 placeaux Effectif Nombre de semis Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
89 Représentation graphique : diagramme cumulatif Variable quantitative discrète Exemple du nombre de semis dans 48 placeaux Effectif cumulé Nombre de semis Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
90 Représentation graphique : diagramme en colonnes Variable qualitative Exemple des catégories socioprofessionnelles Effectif agriculteurs artisans... cadres profs. interm. employés ouvriers Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
91 Représentation graphique : diagramme en barre Variable qualitative Exemple des catégories socioprofessionnelles Effectif cumulé agriculteurs artisans... cadres profs. interm. employés ouvriers Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
92 Représentation graphique : diagramme en secteurs Variable qualitative Exemple des catégories socioprofessionnelles profs. interm. cadres artisans... agriculteurs employés ouvriers Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
93 Représentation graphique : courbe cumulative Variable quantitative continue Exemple des diamètres de sapelli Fréquence cumulée Diamètre (cm) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
94 Représentation graphique : histogramme Variable quantitative continue Exemple des diamètres de sapelli Effectif Diamètre (cm) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
95 Représentation graphique : histogramme (suite) Variable quantitative continue Exemple des diamètres de sapelli Densité de fréquence Diamètre (cm) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
96 Représentation graphique : courbe de densité Variable quantitative continue Exemple des diamètres de sapelli Densité N = 255 Bandwidth = Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
97 Représentation graphique : boîte à moustaches Variable quantitative continue Exemple des diamètres de sapelli Diamètre (cm) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
98 Résumés numériques Variable quantitative continue une variable : moyenne écart-type coefficient de variation quartiles et médiane deux variables : corrélation... n variables : matrice des corrélations... Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
99 La moyenne empirique Moyenne arithmétique : x = 1 n (x 1 + x x n ) Il existe d autres moyennes : moyenne géométrique : n x 1... x n certains indices économiques moyenne quadratique : (x x2 n)/n diamètre équivalent 1 moyenne harmonique : ( ) 1 1 n x x n Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
100 La médiane empirique x 1 < x 2 <... < x n m = x (n+1)/2 ou x n/2 + x n/2+1 2 Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
101 Le quantile empirique α x 1 < x 2 <... < x n Exemple : quantile à 95 % x m tel que m n = α Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
102 L écart-type empirique Variance empirique : s 2 = 1 n Écart-type empirique : s = s 2 n (x i x) 2 i=1 Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
103 Cas de la loi normale Relation entre moyenne (m), écart-type (σ) et quantiles : 95 % des observations sont comprises entre m 1.96σ et m σ Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
104 Limites de l écart-type Valeur relative et absolue Un écart-type de 500 g pour la masse n a pas la même signification selon la taille de l animal : Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
105 Le coefficient de variation CV = s x Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
106 Panorama des statistiques et rappels 1 Panorama 2 Rappels de probabilités 3 Lois usuelles 4 Statistiques descriptives : cas unidimensionnel 5 Statistiques descriptives : cas multidimensionnel 6 Conclusion Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
107 Liaison entre deux variables quantitatives Méthode graphique Nuage de points : une des variables sur l axe des x l autre sur l axe des y Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
108 Coefficient de corrélation linéaire Définition : Estimation : Ĉov(X, Y ) = 1 n ρ = Cov(X, Y ) σ X σ Y n (X i X)(Y i Ȳ ) i=1 Remarque : Cov(X, X) = 1 n n (X i X) 2 = Var(X) = SX 2 i=1 donc ρ(x, X) = 1 Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
109 Coefficient de corrélation linéaire (suite) Le coefficient de corrélation linéaire est aussi : la racine carrée du coefficient de détermination de la régression linéaire de Y par rapport à X le pourcentage de variance expliquée par cette régression linéaire Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
110 Il quantifie la «force» de la relation linéaire et varie entre 1 et 1 Y R = 0 Y R = 0.3 Y R = X X X Y R = 0.7 Y R = 0.9 Y R = Nicolas Picard (CIRAD X / IRET) X December 1, 2011 X 83 / 106
111 Les pièges du coefficient de corrélation linéaire ρ = 0.77 ρ = 0.66 ρ = 0.8 ρ = 0.76 Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
112 Réchauffement climatique Corrélation positive... Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
113 Réchauffement climatique... ou corrélation négative? Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
114 Liaison entre deux variables ordinales Coefficient de corrélation des rangs τ de Kendall : k = 1 si X i < X j et Y i < Y j, ou si X i > X j et Y i > Y j k = 1 sinon S = k sur les n(n 1)/2 couples 2S τ = n(n 1) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
115 Liaison entre une variable quantitative et une variable qualitative Rapport de corrélation : η 2 = Var[E(Y X)] Var(Y ) C est aussi : la racine carrée du coefficient de détermination de l analyse de variance de Y par rapport à X le coefficient de corrélation multiple de Y par rapport aux variables indicatrices des modalités de X la racine carrée du coefficient de détermination de la régression multiple de Y par rapport à ces variables indicatrices Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
116 Liaison entre une variable quantitative et une variable qualitative Représentation graphique Boîtes parallèles : une boîte à moustache de la variable quantitative par modalité de la variable qualitative Valeurs a b c d e f Modalités Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
117 Liaison entre deux variables qualitatives Coefficient de corrélation canonique : c est la valeur maximale (autre que 1) du coefficient de corrélation linéaire entre une combinaison linéaire des variables indicatrices des modalités de X et une combinaison linéaire des variables indicatrices des modalités de Y C est aussi la première valeur propre (autre que 1) de l analyse canonique des tableaux disjonctifs complets formés à partir de X et Y Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
118 Liaison entre deux variables qualitatives Statistique du χ 2 sur table de contingence Y j. X i n ij n i. X 2 = i. n.j n ( n ij n i.n.j n n i. n.j j n ) 2 Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
119 Liaison entre deux variables qualitatives Représentation graphique Diagramme en barres : un diagramme pour l une des variables par modalité de l autre variable Exemple : durée d obtention du DEUG en fonction de l âge d obtention du bac Effectif Fréquence Durée d obtention du DEUG 2 ans 3 ans 4 ans < >19 Âge d obtention du bac (ans) moy >19 Âge d obtention du bac (ans) Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
120 Liaison entre n variables Liaison deux à deux : matrice des corrélations graphiques j L absence de liaisons 2 à 2 ne signifie pas qu il n y a pas de liaisons entre 3, 4... variables j Contre-exemple : (X, Y, Z) avec X loi uniforme dans { 1, 1} Y loi uniforme dans { 1, 1} indépendamment de X Z = X Y Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
121 Exemple : les iris de Fisher Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
122 Relation entre n variables : tableau des nuages de points Exemple des iris : Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
123 Panorama des statistiques et rappels 1 Panorama 2 Rappels de probabilités 3 Lois usuelles 4 Statistiques descriptives : cas unidimensionnel 5 Statistiques descriptives : cas multidimensionnel 6 Conclusion Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
124 Démarche Question scientifique Quelle méthode? Quel dispositif de mesure? Acquisition, puis structuration des données Analyses exploratoires Analyse pour répondre à la question Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
125 Quelle méthode? Quel dispositif de mesure? Estimer Exemple de la moyenne d une population gaussienne quelle taille d échantillon? Tester Exemple de la comparaison des moyennes de deux populations gaussiennes Liaisons Nicolas Picard (CIRAD / IRET) December 1, / 106
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