Exercices: suites numériques

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1 Exercices: suites numériques Exercice1:Trèsbasique La suite (d n )est définie par d 0 =0,05 et d n+1 =2d n. 1. La suite (d n ) est-elle géométrique? Si oui, préciser sa raison et le cas échéant, le taux d évolution entre deux termes consécutifs de cette suite. 2. Donner l expression de d n en fonction de n. Calculer d Déterminer le premier rang p tel que d p 1. t 4. Reprendre cet exercice avec la suite (t n ) définie par 0 =0,05. t n+1 =3t n Exercice2:Bestiaire On donne, pour tout n N, α 0 =3 β 0 =3 γ n =2+3n δ 0 =3 α n+1 =nα n β n+1 =3+β n δ n+1 =δ n δ n 1. Calculer les trois premiers termes de chaque suite définie ci-dessus. 2. Identifier les éventuels suites arithmétiques, géométriques. Justifier que les autres ne le sont pas. Exercice 3: Dynamique de population, version géométrique Uneville compte habitantsen2008 et personnes en2016. On suppose que l évolution annuelle relative du nombre d habitants est contant, i.e. le pourcentage annuel d évolution est constant. 1. En suivant le modèle induit par cette hypothèse, déterminer le nombre d habitants en Déterminer au bout de combien d années la population dépassera le milliard d habitant. Analyser. Exercice 4: Modélisation géométrique 1 D après l Association Française pour le Développement et la Promotion de l Agriculture Biologique, la superficie certifiée de production biologique en hectares en France en 2014 de légumes frais est de ha. En2013, elle était de ha. 1. Déterminer le taux d évolution de la surface certifiée entre 2013 et 2014, en arrondissant à0,1 %près. On fait l hypothèse que ce taux reste constant dans les cinq années suivantes. On note s n la superficie certifiée biologique pour les légumes fraisl année 2014+n. 2. Quereprésente la valeur s 0? Calculer et interpréter s 1 et s Estimer la superficie certifiée en P. Flambard Page 1 sur 6 Année scolaire

2 Exercice 5: Suite logistique x 0 =0,01 Représenter la suite définie par ( x n+1 =1,6x n x ) pour n 0;16. n En supposant que la suite (x n ) est croissante, déterminer à partir de quel valeur de rang r on a pour tout n r, x n 0,55. Exercice 6: Modélisation géométrique 2 Dans une île du Pacifique, l Océan avance sur les terres et une dune se réduit d autant. On estime que la largeur de cette dune est de 12,25 m lors de la première année d étude. On note l n la largeur de la dune, en mètres, lors de la n-ème année; ainsi, l 1 =12, Exprimer pour tout n, l n+1 en fonction de l n. En déduire la nature de la suite (l n ) et ses éléments caractéristiques. 2. En déduire l expression del n en fonction den. 3. La situation dela dune sera «critique» lorsque sa largeur serainférieure à 8m. (a) Montrer que ce serale cas dès que n vérifiera 0,98 n (b) Déterminer à l aide de la calculatrice au bout de combien d années la situation pourrait devenir «critique». Exercice 7: Comparaison de types d intérêts 1. Onplace1000eautauxannuelde1,75 %àintérêtssimples. Chaqueannée,unintérêt fixe correspondant au pourcentage du taux du capital initial est ajouté au capital. On note S n le capital détenu au bout de n années. Donner une relation entre S n+1 et S n. En déduire une relation entre S n et n. 2. On place 1 000eau taux annuel de 1,75 % à intérêts composés. Chaque année, un intérêt correspondant au pourcentage du taux du capital de l année en cours est ajouté au capital de l année suivante. On note C n le capital détenu au bout de n années. Donner unerelation entre C n+1 et C n. En déduire unerelation entre C n et n. 3. Compléter l algorithme suivant afin qu il calcule les termes de rang n de chacune des situations. 4. Au bout de combien d années n, la différence entre S n et C n dépasse-t-elle 500e? 2000e? 5. Modifier l algorithme pour qu il affiche cette valeur. Entrée R un entier naturel Traitement Affecter à N la valeur 0 Affecter à Cla valeur Affecter à S la valeur 1000 Pour N allant de 1 à R Affecter à Cla valeur... Affecter à S la valeur... Fin Pour Sortie Afficher C Afficher S Exercice8:Sommation Calculer les sommes suivantes. S 1 = S 2 =0, ,4 15 S 3 = P. Flambard Page 2 sur 6 Année scolaire

3 Exercice9:Lalégende dujeud échec Après avoir créé le jeu d échec, Sissa aurait demandé à son roi la récompense suivante : un grain de blé sur la première case, deux grains sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant jusqu à la soixante-quatrième case. 1. Combien faudra-t-il de grains de blé? 2. Un grain de blé pèse en moyenne 0, 06 gramme. Comparer la récompense demandée àla production annuelle de blé mondiale en2015/2016, de 734 Mt. Exercice10:Escalade Une station touristique de montagne décide de faire équiper une falaise afin de créer un site d escalade. La falaise a une hauteur de 50 mètres. L équipement doit se faire depuis le haut de la falaise. Une entreprise propose le devis suivant : le premier mètre coûte 40eet chaque mètre supplémentaire coûte 5 % de plus que le précédent. On note u n le prix du n-ème mètre. 1. Montrer que la suite (u n ) est géométrique et préciser ses éléments caractéristiques. Exprimer u n en fonction de n. 2. Déterminer, à un euro près, le coût pour équiper cette falaise. Exercice 11 Pour chaque expression, déterminer la limite de la suite associée. a n =5 9 n b n = 2 13 n. ( 10 c n =5 9 d n = 14 9 n ) n e n = 1 f n =2 2 2n ( 3 10 ) n Exercice12:Seuild unesuitetendantvers0 ( ) 3 n On pose z n = Étudier cette suite : nature, sens de variation, limite. 2. Déterminer le plus petit petit entier r tel que pour n r, z n Compléter l algorithme suivant pour qu il donne la réponse de la question précédente. Traitement Affecter à N la valeur 0 Affecter à Zla valeur 2 Tantque... Affecter à N la valeur... Affecter à Z la valeur... FinTantque Sortie Afficher... P. Flambard Page 3 sur 6 Année scolaire

4 Exercice13:Seuild unesuitetendantvers+ ( ) 3 n On pose m n = Étudier cette suite : nature, sens de variation, limite. 2. Déterminer le plus petit petit entier r tel que pour n r, m n Compléter l algorithme suivant pour qu il donne la réponse de la question précédente. Traitement Affecter à N la valeur 0 Affecter à M la valeur 5 Tantque... Affecter à N la valeur... Affecter à M la valeur... FinTantque Sortie Afficher... Exercice 14: Processus d élimination À l instant t = 0, on injecte à un patient une dose de 2 mg d un médicament. On suppose que le corps élimine 25 % de ce médicament chaque heure. Pour tout entier naturel n, on note R n la masse en mg de médicament présent dans le sang au bout denheures. 1. Montrer que la suite (R n ) est géométrique. Exprimer R n en fonction de n. 2. Quel est le sens de variation de cette suite? Interpréter. 3. Déterminer à partir de combien d heures la quantité de médicament est inférieure à 10 2 mg. 4. Quelle est la limite de cette suite? Interpréter. Exercice15:Seuilsurunesommepartielle ( ) 4 n La suite (u n ) est définie paru n =. 5 On note S n =u 0 +u 1 + +u n la somme des n premiers termes de la suite (u n ). 1. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à10 9 près. 2. On donne un algorithme cicontre. (a) À quoi correspondent les valeurs de A? les valeurs de S? (b) À quoi correspond la sortie? 3. Déterminer la sortie. Traitement Affecter à A la valeur 1 Affecter à S la valeur 1 Affecter à K la valeur 1 Tantque S< Affecter à K la valeur K+1 Affecter à Ala valeur 0,8 A Affecter à S la valeur S+A FinTantque Sortie Afficher K P. Flambard Page 4 sur 6 Année scolaire

5 Exercice16:Datation aucarbone14 Les rayons cosmiques transforment des atomes d azote 14 présents dans l atmosphère en carbone 14; ces derniers sont radioactifs et se désintègrent naturellement. Durant leur vie, tout tissu animal ou végétal contient la même proportion de carbone 14 que dans l atmosphère. À leur mort, cette proportion décroît de1,24 % en 100 après la mort du tissu. 1. Déterminer les pourcentages de la proportion initiale de carbone 14 au bout de 1000 ans; 5000 anspuis ans. 2. Un squelette d homme contient 5 % du carbone 14 initial. Estimer son âge. 3. On lit souvent «le temps de demi-vie du carbone14 est d environ ans». Expliquer. Exercice17:Unehistoiredecompostage Depuis qu elle est à la retraite, une personne tond sa pelouse tous les samedis. Elle recueille chaquefois120ldegazonqu ellestockedansunbacàcompost de200l.chaquesemaine, les matières stockées perdent, par décomposition, les trois-quarts de leur volume. On note v 1 le volume exprimé en litres stocké le premier jour et v n le volume total des matières stockées le n-ème samedi. 1. Montrer que pour tout entiernaturel n non nul, v n+1 =0,25v n Onconsidère la suite (t n ) définie pour tout entier naturel non nulnpart n =160 v n. (a) Montrer que la suite (t n ) est géométrique et déterminer saraison. (b) En déduire l expression de t n en fonction de n. (c) En déduire l expression de v n en fonction de n. 3. Le bac à compost débordera-t-il un jour? Exercice 18 Pyramide de Ponzi Toute ressemblance avec des personnes existant ou ayant existées serait purement fortuite. Monsieur Madopphepropose àun client au mois dejanvier2017 : «Tume confies1000e; tous les mois à partir du mois suivant, je te verse 10 % d intérêts, soit 100e.». Le taux de rémunération du livret A étant à 0,75 %, c est un taux très intéressant, le bruit se répand : chaque mois, monsieur Madopphe recrute un nouveau client selon les mêmes critères. 1. (a) Pour les quatre premiers mois, déterminer le nombre de clients et le capital restant à la fin du mois. (b) Au bout de combien demois les intérêts versés dépassent 150e? (c) Que se passe-t-il au bout dequelques mois? 2. Déterminer une relation entre C n+1 et C n. 3. En sachant que n= n(n+1) 2, déterminer une relation explicite de C n. 4. Quelle est la limite de la suite (C n )? Conclure quant au système de monsieur Madopphe. P. Flambard Page 5 sur 6 Année scolaire

6 Exercice 19 Bipartisme A. Étude d une suite u On considère la suite (u n ) définie par 0 =900 u n+1 =0,6u n +200,n N. 1. Calculer u 1 et u Onconsidère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n =u n 500. (a) Démontrer que la suite (v n ) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. (b) Exprimer v n en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, u n =400 0,6 n (c) Déterminer la limite de la suite (u n ). B. Application économique Dans un pays imaginaire, deux sociétés F et D se partagent le marché des fournisseurs d accès à l Internet. Les clients souscrivent le1 er janvier, soit auprès de F soit auprès de D, un contrat d un an au bout duquel ils sont libres à nouveau de choisir entre F et D. Cetteannée2016, lasociété Fdétient90%dumarché etlasociétéd, quivient deselancer, 10 %. On estime que, chaque année, 20 % de la clientèle F change pour D, et de même 20%de laclientèle dedchangepour F.On s intéresse àun échantillon de1000 personnes représentatives. 1. Vérifier que 740 personnes seront clientes à la société F en Onnote f n le nombre de clients de F l année2016+n. Établir quef n+1 =0,8f n +0,2(1 000 f n ). En déduire que f n+1 =0,6f n En utilisant les résultats de la partie A., que peut-on prévoir pour l évolution du marché des fournisseurs d accès à l Internet? P. Flambard Page 6 sur 6 Année scolaire