Baccalauréat ES. Index des exercices avec des fonctions de 2013 à 2016 Tapuscrit : GUILLAUME SEGUIN

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1 Baccalauréat ES Index des exercices avec des fonctions de 2013 à 2016 Tapuscrit : GUILLAUME SEGUIN N o Lieu et date «Xcas» lect graph. exp ln TVI convexe integrale val moy divers 1 2 Antilles juin Asie 2016 qcm 4 Pondichery avril 2016 fct annexe 5 Liban 2016 applic eco 6 Polynésie juin 2016 pb ouvert 7 Métropole juin Centres etrangers 2016 apllicat 9 Amerique du nord 2016 applic éco 10 Amérique du sud nov Nouvelle Calédonie nov Antilles sept 2015 aires 13 Métropole sept 2015 ex4 tangente 14 Métropole sept Polynésie sept 2015 ex4 16 Polynésie sept 2015 Gini + % 17 Asie 2015 ex4 18 Asie Métropole 2015 ex4 position tgte 20 Métropole 2015 système 21 Nouvelle Calédonie mars Nouvelle Calédonie mars 2015 algo 23 Nouvelle Calédonie nov 2014 ex4 algo 24 Nouvelle Calédonie nov Amérique du sud nov Métropole sept 2014 ex4 27 Métropole sept 2014 graphe de f 28 Antilles sept 2014 confiance, deg4 29 Pondichery Polynésie juin Polynésie juin 2014 coût marg 32 Métropole juin Liban Centres Etrangers 2014 Gini 35 Asie Antilles juin 2014 inéq 2nd deg 37 Amérique du Nord Nouvelle Calédonie mars 2014 algo 39 Amérique du sud nov 2013 aire 2 courbes 40 Antilles sept Calédonie nov Métropole sept Polynésie sept 2013 % + loi normale 44 Amerique du Nord mai 2013 système 45 Asie juin Liban mai Métropole dévoilé juin Métropole juin 2013 fonct poly 49 Métropole juin Pondichery avril 2013 loi normale 51 Centres Etrangers juin 2013

2 1. Antilles juin 2016 Commun à tous les candidats La courbe ci-dessous est la courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [0 ; 6]. ABCD est un rectangle, le point D a pour coordonnées (2 ; 0) et le point C a pour coordonnées (4 ; 0). 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 0,5 A D 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 B C 1,0 Partie A Dans cette partie A, les réponses seront données à partir d une lecture graphique. 1. Résoudre graphiquement l inéquation f (x)>0. 2. Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée du maximum de la fonction f sur l intervalle [0 ; 6]. 3. Quel semble être le signe de f (x) sur l intervalle [2 ; 6]? Justifier. 4. Pour quelle(s) raison(s) peut-on penser que la courbe admet un point d inflexion? 5. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de Partie B La fonction f est la fonction définie sur l intervalle [0 ; 6] par 4 f (x)=(10x 5)e x. 1 f (x) dx. Un logiciel de calcul formel a donné les résultats suivants (on ne demande pas de les justifier) : f (x)=( 10x+ 15)e x et f (x)=(10x 25)e x. 1. Dresser le tableau de variation de f en précisant la valeur de l extremum et les valeurs aux bornes de l ensemble de définition. 2. Étudier la convexité de f sur l intervalle [0 ; 6]. 3. Montrer que la fonction F définie sur l intervalle [0 ; 6] par F (x)=( 10x 5)e x est une primitive de f sur l intervalle [0 ; 6]. 4. En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de 4 2 f (x) dx. 5. On souhaiterait que l aire du rectangle ABCD soit égale à l aire du domaine grisé sur la figure. Déterminer, à 0,01 près, la hauteur AD de ce rectangle. bac-fonctions-es-obl 2 Guillaume Seguin

3 Baccalauréat ES obligatoire Asie Asie 2016 Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative C f d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 1 ; 5]. On note f la fonction dérivée de f. La courbe C f passe par le point A (0; 1) et par le point B d abscisse 1. La tangente T 0 à la courbe au point A passe par le point C (2; 3) et la tangente T 1 au point B est parallèle à l axe des abscisses. 3,0 C 2,5 2,0 T 0 1,5 B T 1 1,0 0,5 A C f PARTIE A Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n est demandée. Pour chacune des question, une seule des réponses proposées est correcte. Une bonne réponse rapporte 0,75 point. Une mauvaise réponse ou l absence de réponse n enlève ni ne rapporte aucun point. Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. 1. La valeur exacte de f (1) est : a. 0 b. 1 c. 1,6 d. autre réponse 2. La valeur exacte de f (0) est : a. 0 b. 1 c. 1,6 d. autre réponse 3. La valeur exacte de f (1) est : a. 0 b. 1 c. 1,6 d. autre réponse 4. Un encadrement de 2 0 f (x) dx par des entiers naturels successifs est : a f (x) dx 4 b f (x) dx 3 c f (x) dx 2 d. autre réponse bac-fonctions-es-obl 3 Guillaume Seguin

4 PARTIE B 1. On admet que la fonction F définie sur [ 1 ; 5] par F (x)= (x 2 + 4x+ 5)e x est une primitive de la fonction f. (a) En déduire l expression de f (x) sur [ 1 ; 5]. (b) Calculer, en unités d aire, la valeur exacte de l aire du domaine du plan limité par la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équations x = 0 et x = Montrer que sur l intervalle [ 1 ; 5], l équation f (x)=1 admet au moins une solution. bac-fonctions-es-obl 4 Guillaume Seguin

5 3. Pondichery 2016 La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C. L entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités. L entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour. Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction C définie sur l intervalle [1 ; 15] par : C (x)=0,3x 2 x+ e x+5 où x désigne la quantité de granulés en tonnes et C (x) le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d euros. Dans l entreprise BBE le prix de vente d une tonne de granulés de bois est de 300 euros. La recette quotidienne de l entreprise est donc donnée par la fonction R définie sur l intervalle [1 ; 15] par : R(x)=3x où x désigne la quantité de granulés en tonnes et R(x) la recette quotidienne correspondante en centaines d euros. On définit par D(x) le résultat net quotidien de l entreprise en centaines d euros, c est-à-dire la différence entre la recette R(x) et le coût C (x), où x désigne la quantité de granulés en tonnes. Partie A : Étude graphique Sur le graphique situé en annexe (page??), on donne C et les représentations graphiques respectives des fonctions C et R dans un repère d origine O. Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n est demandée. 1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l entreprise est minimal. 2. (a) Déterminer les valeurs C (6) et R(6) puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus. (b) Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c est-à-dire un bénéfice. Partie B : Étude d une fonction On considère la fonction g définie sur l intervalle [1 ; 15] par : g (x)= 0,6x+ 4+e x+5 On admet que la fonction g est dérivable sur l intervalle [1 ; 15] et on note g sa fonction dérivée. 1. (a) Calculer g (x) pour tout réel x de l intervalle [1 ; 15]. (b) En déduire que la fonction g est décroissante sur l intervalle [1 ; 15]. 2. (a) Dresser le tableau de variation de la fonction g sur l intervalle [1 ; 15], en précisant les valeurs g (1) et g (15) arrondies à l unité. (b) Le tableau de variation permet d affirmer que l équation g (x) = 0 admet une unique solution α sur l intervalle [1 ; 15]. Donner une valeur approchée de α à 0,1 près. bac-fonctions-es-obl 5 Guillaume Seguin

6 (c) Déduire des questions précédentes le tableau de signe de g (x) sur l intervalle [1 ; 15]. Partie C : Application économique 1. Démontrer que pour tout réel x de l intervalle [1 ; 15], on a : D(x)= 0,3x 2 + 4x e x+5 2. On admet que la fonction D est dérivable sur l intervalle [1 ; 15] et on note D sa fonction dérivée. Démontrer que pour tout réel x de l intervalle [1 ; 15], on a D (x)= g (x), où g est la fonction étudiée dans la partie B. 3. En déduire les variations de la fonction D sur l intervalle [1 ; 15]. 4. (a) Pour quelle quantité de granulés l entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal? On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près. (b) Calculer alors le bénéfice maximal à l euro près. ANNEXE N est pas à rendre avec la copie C bac-fonctions-es-obl 6 Guillaume Seguin

7 4. Liban mai 2016 Soit f la fonction définie sur l intervalle [3 ; 13] par : Partie A : Étude de la fonction f f (x)= 2x+ 20 e 2x Montrer que la fonction dérivée f, de la fonction f, définie pour tout x de l intervalle [3 ; 13], a pour expression : f (x)=2 ( 1+e 2x+10). 2. (a) Résoudre dans l intervalle [3 ; 13] l inéquation : f (x) 0. (b) En déduire le signe de f (x) sur l intervalle [3 ; 13] et dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à (c) Calculer l intégrale 13 3 f (x) dx. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 3 près. Partie B : Application Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et On suppose que toute la production est commercialisée. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d euros, réalisé pour la production et la vente de x centaines de toboggans est modélisé sur l intervalle [3 ; 13] par la fonction f. En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes : 1. Déterminer le nombre de toboggans que l usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l euro. 2. Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et toboggans. Arrondir le résultat à l euro. Partie C : Rentabilité Pour être rentable, l usine doit avoir un bénéfice positif. Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l usine doit fabriquer en un mois pour qu elle soit rentable. Justifier la réponse. bac-fonctions-es-obl 7 Guillaume Seguin

8 5. Polynésie juin 2016 Un publicitaire envisage la pose d un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 10] par : f (x)=4e 0,4x. Cette courbe C f est tracée ci-dessous dans un repère d origine O : 5 y (en mètres) D C 1 x (en mètres) A B C f Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point A est situé à l origine du repère, le point B est sur l axe des abscisses, le point D est sur l axe des ordonnées et le point C est sur la courbe C f. 1. On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse x= 2. Montrer qu une valeur approchée de l aire du panneau publicitaire est 3,6 m Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l aire est la plus grande possible? On donnera les dimensions d un tel panneau au centimètre près. bac-fonctions-es-obl 8 Guillaume Seguin

9 Baccalauréat ES obligatoire 6. Métropole juin 2016 La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur [0, 5 ; 6]. Les points A (1 ;v3) et B d abscisse 1,5 sont sur la courbe (C). Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale. On note f la fonction dérivée de f A B (C) 2 Les parties A et B sont indépendantes. PARTIE A : ÉTUDE GRAPHIQUE 1. Déterminer f (1,5). 2. La tangente à la courbe (C) passant par A passe par le point de coordonnées (0 ; 2). Déterminer une équation de cette tangente. 3. Donner un encadrement de l aire, en unités d aire et à l unité près, du domaine compris entre la courbe (C), l axe des abscisses et les droites d équations x = 1 et x = Déterminer la convexité de la fonction f sur [0,5 ; 6]. Argumenter la réponse. PARTIE B : ÉTUDE ANALYTIQUE On admet que la fonction f est définie sur [0,5 ; 6] par f (x)= 2x+ 5+3ln(x). 1. Pour tout réel x de [0,5 ; 6], calculer f (x) et montrer que f (x)= 2x+ 3. x 2. Étudier le signe de f sur [0,5 ; 6] puis dresser le tableau de variation de f sur [0,5 ; 6]. 3. Montrer que l équation f (x) = 0 admet exactement une solution α sur [0,5 ; 6]. Donner une valeur approchée de α à 10 2 près. 4. En déduire le tableau de signe de f sur [0,5 ; 6]. 5. On considère la fonction F définie sur [0,5 ; 6] par F (x)= x 2 + 2x+ 3x ln(x). (a) Montrer que F est une primitive de f sur [0,5 ; 6]. (b) En déduire l aire exacte, en unités d aire, du domaine compris entre la courbe (C), l axe des abscisses et les droites d équation x = 1 et x = 2. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième. bac-fonctions-es-obl 9 Guillaume Seguin

10 7. Centres etrangers 2016 Partie A Soit f la fonction définie sur [0 ; 8] par 8e x f (x)= 0,4 20e x ,4. 1. Montrer que f (x)= (20e x + 1) 2 où f désigne la fonction dérivée de la fonction f. 2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : 1 f (x) := 8 eˆ( x)/(20 eˆ( x)+1) 2 f 8 e x (x) : 400(e x ) e x g (x) := Dérivée [f (x)] 160(e x ) 2 8e x g (x) := 8000(e x ) (e x ) e x Factoriser [g (x)] 8e x 20e x 1 (20e x + 1) 3 En s appuyant sur ces résultats, déterminer l intervalle sur lequel la fonction f est convexe. Partie B Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B situés à deux altitudes différentes. La fonction f, définie dans la partie A, modélise le profil de ce projet routier. La variable x représente la distance horizontale, en kilomètres, depuis le village A et f (x) représente l altitude associée, en kilomètres. La représentation graphique C f de la fonction f est donnée ci-dessous. f (x) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 + A Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente à C f en un point M est appelé «pente en M». On précise aussi qu une pente en M de 5 % correspond à un coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en M égal à 0,05. Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu en aucun point de C f la pente ne dépasse 12 %. Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Proposition 1 L altitude du village B est 0,6 km. Proposition 2 L écart d altitude entre les villages A et B est 378 mètres, valeur arrondie au mètre. bac-fonctions-es-obl 10 Guillaume Seguin C f + x B

11 Proposition 3 La pente en A vaut environ 1,8 %. Proposition 4 Le projet de route ne sera pas accepté. bac-fonctions-es-obl 11 Guillaume Seguin

12 8. Amerique du Nord 2016 Partie A : Étude d une fonction On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; 1,5] par f (x)=9x 2 (1 2ln x)+10. La courbe représentative de f est donnée ci-dessous : ,5 1,0 1,5 1. (a) Montrer que f (x)= 36x ln x où f désigne la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle ]0 ; 1,5]. (b) Étudier le signe de f (x) sur l intervalle ]0 ; 1,5]. (c) Déduire de la question précédente les variations de la fonction f sur l intervalle ]0 ; 1,5]. 2. On admet que f (x)= 36ln x 36 où f désigne la dérivée seconde de la fonction f sur l intervalle ]0 ; 1,5]. Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet un point d inflexion dont l abscisse est e Soit F la fonction définie sur l intervalle ]0 ; 1,5] par F (x)=10x+ 5x 3 6x 3 ln x. (a) Montrer que F est une primitive de la fonction f sur ]0 ; 1,5]. (b) Calculer 1,5 1 f (x) dx. On donnera le résultat arrondi au centième. Partie B : Application économique Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Une société est cotée en bourse depuis un an et demi. Le prix de l action depuis un an et demi est modélisé par la fonction f définie dans la partie A, où x représente le nombre d années écoulées depuis l introduction en bourse et f (x) représente le prix de l action, exprimé en euros. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Proposition 1 : «Sur la période des six derniers mois, l action a perdu plus d un quart de sa valeur.» Proposition 2 : «Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l action a été inférieure à 17e.» bac-fonctions-es-obl 12 Guillaume Seguin

13 9. Amérique du sud nov 2015 Les deux parties de l exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Partie A La fonction f est définie pour tout réel x élément de l intervalle [1 ; 7] par : f (x)=1,5x 3 9x x+ 48. On note f la fonction dérivée de la fonction f et f sa dérivée seconde sur [1 ; 7]. 1. Pour tout réel x de l intervalle [1 ; 7] : (a) Calculer f (x). (b) Calculer f (x). 2. Déterminer sur quel intervalle la fonction f est convexe. Partie B Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise entre et articles par semaine. On modélise le coût de fabrication, exprimé en milliers d euros, par la fonction f définie dans la partie A où x désigne le nombre de milliers d articles fabriqués. On note c la fonction définie sur [1 ; 7] représentant le coût moyen par article fabriqué, exprimé en euros. On a, par conséquent, pour tout x de [1 ; 7] : c(x)= f (x) x = 1,5x 2 9x x. On admet que la fonction c est dérivable sur [1 ; 7]. On note c sa fonction dérivée. 1. Montrer que, pour tout x de l intervalle [1 ; 7], on a : c (x)= 3(x 4)( x 2 + x+ 4 ) x (a) Étudier les variations de la fonction c sur l intervalle [1 ; 7]. (b) Déterminer, en milliers, le nombre d articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit minimal. 3. On considère la fonction Γ définie sur l intervalle [1 ; 7] par : Γ(x)=0,5x 3 4,5x x+ 1+48ln x. (a) Montrer que Γ est une primitive de c sur l intervalle [1 ; 7]. (b) Calculer la valeur moyenne µ de c sur l intervalle [1 ; 7]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à bac-fonctions-es-obl 13 Guillaume Seguin

14 10. Nouvelle Calédonie nov 15 Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; 10] par Partie A f (x)=(2x 5)e x Montrer que, pour tout x de l intervalle [0 ; 10], f (x)=( 2x+ 7)e x En déduire le sens de variation de f et dresser le tableau de variation de f sur l intervalle [0 ; 10]. Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation. 3. Justifier que l équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur [0 ; 10] et déterminer un encadrement d amplitude 0,01 de α. 4. On admet que la fonction F définie sur [0 ; 10] par est une primitive de f sur [0 ; 10]. F (x)=( 2x+ 3)e x x Calculer la valeur moyenne de f sur l intervalle [0 ; 10]. Arrondir le résultat au millième. Partie B Une entreprise fabrique entre 0 et objets par semaine. Le bénéfice, en milliers d euros, que réalise cette entreprise lorsqu elle fabrique et vend x centaines d objets est modélisé par la fonction f définie sur [0 ; 10] par : f (x)=(2x 5)e x Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l unité. 1. Quel est le nombre d objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum? Quel est ce bénéfice maximal en euros? 2. À partir de combien d objets fabriqués et vendus l entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif? 3. Interpréter le résultat de la question 4 de la partie A. bac-fonctions-es-obl 14 Guillaume Seguin

15 11. Antilles sept 2015 L évolution de la population d une station balnéaire pour l été 2015 a été modélisée par une fonction f, définie sur l intervalle [0 ; 70], dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. 10 milliers d habitants Lorsque x est le nombre de jours écoulés après le 1 er juillet, f (x) désigne la population en milliers d habitants. Ainsi x = 30 correspond au 31 juillet et f (30) représente la population qu il est prévu d accueillir le 31 juillet On estime qu un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55 litres d eau par jour. 2 nombre de jours Partie A Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique 1. (a) Estimer le nombre maximal d habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint. (b) La commune est en capacité de fournir litres d eau par jour, est-ce suffisant? 2. Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80 % du nombre maximal prévu. Partie B On admet que la fonction f est définie sur l intervalle [0 ; 70] par f (x)=2+0,2xe 0,025x Calculer f (9) puis vérifier que la consommation d eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de litres. 2. (a) Démontrer que f (x)=(0,2 0,005x)e 0,025x+1 où f est la fonction dérivée de f. (b) Étudier le signe de f (x) sur l intervalle [0 ; 70]. (c) En déduire la date de la consommation d eau maximale. Partie C On note g la fonction définie sur l intervalle [0 ; 70] par g (x)=55f (x)=110+11xe 0,025x+1. Lorsque x est le nombre de jours écoulés après le 1 er juillet, g (x) représente alors la consommation maximale d eau prévue ce jour là et exprimée en m 3. Soit la fonction G définie sur l intervalle [0 ; 70] par G(x)= 110x (440x )e 0,025x+1. On admet que la fonction G est une primitive de la fonction g. La somme S = g (10)+ g (11)+ g (12)+ + g (20) représente la consommation maximale d eau du 10 e au 20 e jour exprimée en m 3. bac-fonctions-es-obl 15 Guillaume Seguin

16 1. En l illustrant sur la courbe C g de l annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d aires de la somme S. 2. En déduire une valeur approximative de cette quantité d eau consommée du 10 e au 20 e jour. ANNEXE Annexe à l exercice 4 à rendre avec la copie consommation ( m 3) C g nombre de jours bac-fonctions-es-obl 16 Guillaume Seguin

17 12. Métropole sept 2015 ex4 On considère la fonction f définie par f (x)=2x 2 ln(x) sur [0,2 ; 10] et on note ( C f ) sa courbe représentative dans un repère du plan. Le but de cet exercice est de prouver que la courbe ( C f ) admet sur [0,2 ; 10] une seule tangente passant par l origine du repère. On note f la fonction dérivée de la fonction f. 1. Montrer que pour x [0,2 ; 10], f (x)=2x(2ln(x)+1). 2. Soit a un réel de [0,2 ; 10], montrer que la tangente à la courbe ( C f ) au point d abscisse a a pour équation y = 2a(2ln(a)+1)x 2a 2 (ln(a)+1). 3. Répondre alors au problème posé. bac-fonctions-es-obl 17 Guillaume Seguin

18 13. Métropole sept 2015 On considère une fonction f définie sur l intervalle [0 ; 5]. Partie A - À l aide d un graphique On a représenté ci-dessous la courbe ( C f ) de la fonction dérivée f ainsi que la courbe ( C f ) de la fonction dérivée seconde f sur l intervalle [0 ; 5]. Le point A de coordonnées (1 ; 0) appartient à ( C f ) et le point B de coordonnées (2 ; 0) appartient à la courbe ( C f ). 4 2 ( C f ) O A B 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 2 4 ( C f ) 1. Déterminer le sens de variation de la fonction f. Justifier. 2. Déterminer sur quel(s) intervalle(s), la fonction f est convexe. Justifier. 3. La courbe de f admet-elle des points d inflexion? Justifier. Si oui, préciser leur(s) abscisse(s). Partie B - Étude de la fonction La fonction f est définie sur [0 ; 5] par f (x)=5xe x. 1. Justifier que la fonction f est positive sur l intervalle [0 ; 5]. bac-fonctions-es-obl 18 Guillaume Seguin

19 2. Montrer que la fonction F définie sur [0 ; 5] par F (x)=( 5x 5)e x est une primitive de f sur [0 ; 5]. 3. Déterminer alors la valeur exacte de l aire, en unités d aire, du domaine délimité par la courbe de f, l axe des abscisses, et les droites d équation x = 0 et x = 1. bac-fonctions-es-obl 19 Guillaume Seguin

20 14. Polynésie sept 2015 ex4 On considère une fonction P définie et dérivable sur l intervalle [0 ; 60]. On donne, ci-dessous, la courbe représentative C de la fonction P C Partie A À partir d une lecture graphique répondre aux questions qui suivent : 1. En argumentant la réponse, donner le signe de P (54), où P est la fonction dérivée de P. 2. Donner un intervalle sur lequel la fonction P est convexe. 3. Donner, à l unité près, les solutions de l équation P(x)= On note A le nombre Partie B 10 0 P(x) dx ; choisir l encadrement qui convient pour A. 0< A< 60 60< A< 70 6< A< 7 10< A< 11 La fonction P est définie sur l intervalle [0 ; 60] par : P(x)=6+(60 x)e 0,1x 5. À l aide d un logiciel de calcul formel on a obtenu les résultats suivants : Actions definir(p(x)=6+(60-x)*exp(0,1*x-5)) deriver(p(x),x) deriver(deriver(p(x),x),x) Résultats x 6+(60-x)*exp(0.1*x-5) (-0.1*x+5)exp(0.1*x-5) (-0.01*x+0.4)*exp(0.1*x-5) 1. (a) Étudier le signe de P (x) sur l intervalle [0 ; 60] où P est la fonction dérivée de P. (b) En déduire les variations de la fonction P sur l intervalle [0 ; 60] et vérifier que la fonction P admet, sur cet intervalle, un maximum valant Montrer que l équation P(x)=10 a une solution unique x 0 sur l intervalle [0 ; 40]. Donner une valeur approchée de x 0 à 0,1 près. 3. En exploitant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, étudier la convexité de la fonction P. bac-fonctions-es-obl 20 Guillaume Seguin

21 Baccalauréat ES obligatoire 15. Polynésie sept 2015 Étude de la répartition des salaires dans deux entreprises Un cabinet d audit a été chargé d étudier la répartition des salaires dans deux filiales d une entreprise, appelées A et B. Pour l étude, les salaires sont classés par ordre croissant. Le cabinet d audit a modélisé la répartition de salaires par la fonction u pour la filiale A et par la fonction v pour la filiale B. Les fonctions u et v sont définies sur l intervalle [0 ; 1] par : u(x)=0,6x 2 + 0,4x et v(x)=0,7x 3 + 0,1x 2 + 0,2x. On a tracé ci-contre les courbes représentatives C et C des fonctions u et v. 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 C E D : y = x C 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1. Déterminer la courbe représentative de la fonction u en justifiant la réponse. 2. Lorsque x représente un pourcentage de salariés, u(x) et v(x) représentent le pourcentage de la masse salariale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives. Exemple : pour la courbe C, le point E(0,60 ; 0,3072) signifie que 60 % des salariés ayant les plus bas salaires se partagent 30,72 % de la masse salariale. (a) Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50 % des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires. (b) Pour les 50 % des salariés ayant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B, distribue la plus grande part de la masse salariale? (c) Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire? 3. Pour mesurer ces inégalités de salaires, on définit le coefficient de Gini associé à une fonction f modélisant la répartition des salaires, rangés en ordre croissant, par la formule : (a) Montrer que c u = 0,2. (b) En observant que c v 2 = aires. 1 0 x dx 1 (c) En déduire que c v est compris entre 0 et 1. (d) Justifier l inégalité c u c v. 0 ( 1 1 ) c f = 2 2 f (x) dx. 0 v(x) dx, donner une interprétation graphique de c v 2 en termes d bac-fonctions-es-obl 21 Guillaume Seguin

22 16. Asie 2015 ex4 Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par : f (x)=2 2x. On a tracé ci-dessous la droite D f, représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan. Le point C a pour coordonnées (0 ; 2). est la partie du plan intérieure au triangle OIC. Soit a un nombre réel compris entre 0 et 1 ; on note A le point de coordonnées (a ; 0) et B le point de D f de coordonnées (a ; f (a)). Le but de cet exercice est de trouver la valeur de a, telle que le segment [AB] partage en deux parties de même aire. Déterminer la valeur exacte de a, puis une valeur approchée au centième. 2 C B J 1 D f O a 1 I bac-fonctions-es-obl 22 Guillaume Seguin

23 17. Asie 2015 Partie A Soit f la fonction définie sur [0 ; 10] par f (x)=x+ e x+1. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : 1 f (x) := x+ exp( x+ 1) // Interprète f // Succès lors de la compilation f 2 derive (f (x)) 3 solve ( exp( x+ 1)+1> 0) 4 derive ( exp( x + 1) + 1) x x+ exp( x+ 1) exp( x+ 1)+1 [x> 1] exp( x+ 1) 1. Étude des variations de la fonction f (a) En s appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction f puis dresser son tableau de variation. (b) En déduire que la fonction f admet un minimum dont on précisera la valeur. 2. Étudier la convexité de la fonction f sur l intervalle [0 ; 10]. Partie B Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l outil de production utilisé, à mille objets par semaine. Le coût de revient est modélisé par la fonction f où x est le nombre d objets fabriqués exprimé en centaines d objets et f (x) le coût de revient exprimé en milliers d euros. 1. Quel nombre d objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum? 2. Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12e. On appelle marge brute pour x centaines d objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur coût de revient. (a) Justifier que le montant obtenu par la vente de x centaines d objets est 1,2x milliers d euros. (b) Montrer que la marge brute pour x centaines d objets, notée g (x), en milliers d euros, est donnée par : g (x)= 0,2x e x+1. (c) Montrer que la fonction g est strictement croissante sur l intervalle [0 ; 10]. 3. (a) Montrer que l équation g (x)= 0 possède une unique solution α sur l intervalle [0 ; 10]. (b) Déterminer un encadrement de α d amplitude 0, En déduire la quantité minimale d objets à produire afin que cette entreprise réalise une marge brute positive sur la vente de ces objets. bac-fonctions-es-obl 23 Guillaume Seguin

24 18. Métropole 2015 ex4 On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par f (x)=3x 3x ln(x). On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé et T la tangente à C f au point d abscisse 1. Quelle est la position relative de C f par rapport à T? bac-fonctions-es-obl 24 Guillaume Seguin

25 19. Métropole 2015 La courbe (C ) ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 4 ; 3]. Les points A d abscisse 3 et B(0 ; 2) sont sur la courbe (C ). Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe (C ) respectivement aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale. On note f la fonction dérivée de f. A (C ) 4 2 B Les parties A et B sont indépendantes PARTIE A 1. Par lecture graphique, déterminer : (a) f ( 3) ; (b) f (0) et f (0). 2. La fonction f est définie sur [ 4 ; 3] par f (x)= a+ (x+ b)e x où a et b sont deux réels que l on va déterminer dans cette partie. (a) Calculer f (x) pour tout réel x de [ 4 ; 3]. (b) À l aide des questions 1. b. et 2. a., montrer que les nombres a et b vérifient le système suivant : { a+ b = 2 1 b = 3 (c) Déterminer alors les valeurs des nombres a et b. bac-fonctions-es-obl 25 Guillaume Seguin

26 PARTIE B On admet que la fonction f est définie sur [ 4 ; 3] par f (x)= 2+(x+ 4)e x. 1. Justifier que, pour tout réel x de [ 4 ; 3], f (x)=( x 3)e x et en déduire le tableau de variation de f sur [ 4 ; 3]. 2. Montrer que l équation f (x)=0admet une unique solution α sur [ 3 ; 3], puis donner une valeur approchée de α à 0,01 près par défaut. 3. On souhaite calculer l aire S, en unité d aire, du domaine délimité par la courbe (C ), l axe des abscisses et les droites d équation x= 3 et x= 0. (a) Exprimer, en justifiant, cette aire à l aide d une intégrale. (b) Un logiciel de calcul formel dorme les résultats ci-dessous : 1 F(x) := 2x+ ( x 5) exp( x) //Interprète F // Succès lors de la compilation F 2 derive (F (x)) 3 simplifier( exp( x) exp( x) ( x 5) 2) x 2 x+ ( x 5) exp( x) exp( x) exp( x) ( x 5) 2 x exp( x)+4 exp( x) 2 À l aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l aire S puis sa valeur arrondie au centième. bac-fonctions-es-obl 26 Guillaume Seguin

27 Baccalauréat ES obligatoire 20. Nouvelle Calédonie mars 2015 exo3 On considère la fonction g, définie et dérivable sur l intervalle [0,5 ; 5], et telle que pour tout nombre réel x, on a : g (x)= 2ln(x)+1. x On note g sa fonction dérivée et Γ sa courbe représentative dans le repère ci-dessous. Soit B le point de Γ d abscisse 1 ; la droite (OB) est tangente en B à la courbe Γ. 2 1 B Γ D A Déterminer les coordonnées exactes du point A, point d intersection de la courbe Γ avec l axe des abscisses. 2. (a) Montrer que pour tout réel x de l intervalle [0,5 ; 5], on a g (x)= 1 2ln(x) x 2. (b) Étudier le signe de g (x) sur l intervalle [0,5 ; 5]. (c) En déduire les variations de g sur l intervalle [0,5 ; 5]. 3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ au point B d abscisse (a) On note D le domaine défini par l axe des abscisses, la courbe Γ et les droites d équation x = 1 et x = 3. Par lecture graphique, encadrer par deux entiers l aire de D, exprimée en unités d aire. (b) On définit la fonction G sur l intervalle [0,5 ; 5] par G(x)= ln(x)[ln(x)+1]. Montrer que G est une primitive de g sur l intervalle [0,5 ; 5]. (c) Déterminer l aire de D exprimée en unités d aire. bac-fonctions-es-obl 27 Guillaume Seguin

28 21. Nouvelle Calédonie mars 2015 On considère la fonction f définie pour tout réel x de l intervalle [1,5 ; 6] par : f (x)=(25x 32)e x. On a utilisé un logiciel pour déterminer, sur l intervalle [1,5 ; 6], sa fonction dérivée f et sa fonction dérivée seconde f. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. On a obtenu les résultats suivants qui pourront être utilisés sans justification dans tout l exercice. f (x)=(57 25x)e x f (x)=(25x 82)e x 1. (a) Étudier le signe de f (x) sur l intervalle [1,5 ; 6]. (b) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [1,5 ; 6] (Les valeurs seront, si nécessaire, arrondies au centième). 2. Montrer que, sur l intervalle [1,5 ; 6], la courbe C admet un unique point d inflexion dont on précisera l abscisse. 3. Dans cette question, on s intéresse à l équation f (x)=1. (a) Justifier que l équation f (x)=1 admet une unique solution α sur l intervalle [4 ; 5]. (b) On a écrit l algorithme suivant permettant de déterminer une valeur approchée de la solution de l équation f (x) = 1 sur l intervalle [4 ; 5]. Initialisation a prend la valeur 4 b prend la valeur 5 Traitement Tant que b a> 0,1 faire y prend la valeur f Si y > 1 alors ( ) a+b 2 a prend la valeur a+b 2 Sinon b prend la valeur a+b 2 Fin de Tant que Sortie Afficher a+b 2 Exécuter l algorithme précédent en complétant le tableau donné en annexe. (c) Donner une valeur approchée de α au dixième. a+ b 2 Annexe (à rendre avec la copie) y à 10 3 près a b b a Sortie Initialisation re boucle «Tant que» 4,5 0, ,5 0,5 2 e boucle «Tant que» 3 e boucle «Tant que» 4 e boucle «Tant que» bac-fonctions-es-obl 28 Guillaume Seguin

29 22. Nouvelle Calédonie nov2014 exo4 On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants : ) 1 dériver ( ln(x) x 2 dériver ( 1 x 2 ) ( ) 3 dériver ln(x) x 2 1 ln(x) x 2 2 x ln(x) x 3 On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à certaines questions de l exercice. On considère la fonction f définie sur [1 ; 10] par f (x)= ln(x) x et on note C sa courbe représentative dans un repère. La fonction f est deux fois dérivable sur [1 ; 10], on note f sa fonction dérivée et f sa fonction dérivée seconde. 1. (a) Déterminer f (x) sur [1 ; 10]. (b) Construire le tableau de variation de la fonction f sur [1 ; 10]. 2. (a) Justifier que f (x)= 2ln(x) 3 x 3 sur [1 ; 10]. (b) Étudier le signe de f sur [1 ; 10]. (c) En déduire que la courbe C possède un point d inflexion dont on précisera l abscisse. 3. On considère l algorithme suivant : INITIALISATION TRAITEMENT SORTIE X PREND LA VALEUR 2 Y PREND LA VALEUR ln(2) 2 Z PREND LA VALEUR ln(2,1) 2,1 TANT QUE (Y < Z ) FAIRE X PREND LA VALEUR X + 0,1 Y PREND LA VALEUR ln(x ) X Z PREND LA VALEUR ln(x+0,1) X+0,1 FIN TANT QUE AFFICHER X (a) Recopier et compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième : X Y Z Test : Y < Z 2 0, ,353 3 vrai 2,1 0, ,358 4 vrai 2,2... bac-fonctions-es-obl 29 Guillaume Seguin

30 (b) Quelle est la valeur affichée en sortie? Que représente-t-elle pour la fonction f? bac-fonctions-es-obl 30 Guillaume Seguin

31 Baccalauréat ES obligatoire 23. Nouvelle Calédonie nov2014 La courbe (C ) ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 1 ;2]. 3,0 H 2,5 S G 2,0 1,5 (C ) 1,0 0,5 1,0 0,5 O 0,5 1,0 1,5 2,0 On note f la fonction dérivée de la fonction f. Le point G a pour coordonnées (0 ; 2). Le point H a pour coordonnées (1 ; 3). La droite (GH) est la tangente à la courbe (C ) au point G. La courbe (C ) admet une tangente horizontale au point S d abscisse ln2. Le domaine hachuré est délimité par l axe des abscisses, l axe des ordonnées, la droite d équation x = 1 et la courbe (C ). Partie A Dans cette partie aucune justification n est demandée. Par lecture graphique : 1. Donner les valeurs de f (0) et f (0). 2. Résoudre sur [ 1 ; 2] l inéquation f (x) Encadrer par deux entiers consécutifs l aire, exprimée en unités d aire, du domaine hachuré sur le graphique. Partie B On admet que la fonction f est définie sur [ 1 ; 2] par où a et b sont deux réels. 1. Calculer f (x). f (x)=ax+ b e x bac-fonctions-es-obl 31 Guillaume Seguin

32 2. Justifier que a= 2 et b= Déterminer, sur [ 1 ; 2], une primitive F de la fonction f. 4. En déduire la valeur exacte, en unités d aire, de l aire du domaine hachuré sur le graphique. bac-fonctions-es-obl 32 Guillaume Seguin

33 24. Amérique du sud nov2014 On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 4] par 1. On désigne par f la dérivée de la fonction f. f (x)=(3x 4)e x + 2. Montrer que l on a, pour tout x appartenant à l intervalle [0 ; 4], f (x)=(7 3x)e x. 2. Étudier les variations de f sur l intervalle [0 ; 4] puis dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte. 3. (a) Montrer que l équation f (x)=0 admet une unique solution α sur l intervalle [0 ; 4]. (b) Donner à l aide de la calculatrice, une valeur approchée de α à 0,01 près. 4. On considère la fonction F définie sur l intervalle [0 ; 4] par (a) Montrer que F est une primitive de f sur [0 ; 4]. (b) Calculer la valeur moyenne de f sur [0 ; 4] F (x)=(1 3x)e x + 2x. 5. On admet que la dérivée seconde de la fonction f est la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 4] par f (x)= (3x 10)e x. (a) Déterminer l intervalle sur lequel la fonction f est convexe. (b) Montrer que la courbe représentative C de la fonction f possède un point d inflexion dont on précisera l abscisse. bac-fonctions-es-obl 33 Guillaume Seguin

34 25. Métropole sept 2014 ex4 On considère la fonction f définie sur [0,5 ; 10] par : f (x)= x 2 4x+ 15+6ln(x). On note f la fonction dérivée de la fonction f. 1. Vérifier que f (x)= 2x2 4x+ 6. x 2. Étudier le signe de la fonction f sur [0,5 ; 10], en déduire le tableau de variations de f sur [0,5 ; 10]. 3. Montrer que l équation f (x)=0 admet une unique solution α sur l intervalle [0,5 ; 10]. Donner une valeur approchée de α à 10 2 par défaut. 4. On considère la fonction F définie et dérivable sur [0,5 ; 10] telle que : Montrer que F est une primitive de f sur [0,5 ; 10]. 5. Calculer I = 3 1 F (x)= 1 3 x3 2x 2 + 9x+ 6x ln(x). f (x) dx. En donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième. 6. En déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l intervalle [1 ; 3] : en donner une valeur approchée au millième. bac-fonctions-es-obl 34 Guillaume Seguin

35 26. Métropole sept 2014 ex3 On considère une fonction f définie sur R et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f, dérivée seconde de la fonction f, dans un repère orthonormé. Les points suivants appartiennent à la courbe : A( 2 ; 0) ; B(0 ; 6) et C(3 ; 0) A 1 O 1 1 C B Courbe représentative de la fonction f Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d arguments graphiques. 1. La courbe représentative de f admet-elle des points d inflexion? 2. Sur [ 2 ; 3], la fonction est-elle convexe? Est-elle concave? 3. Parmi les deux courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la fonction f : laquelle? Justifier la réponse. Courbe 1 Courbe bac-fonctions-es-obl 35 Guillaume Seguin

36 27. Antilles sept 2014 EXERCICE 3 Commun à tous les candidats 6 points Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément. Un producteur de légumes souhaite s implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés «bio». Partie A Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de 2500 foyers de la commune ; 80 foyers se déclarent intéressés par l achat d un panier par mois. Déterminer l intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d un panier mensuel. Quelle aurait dû être la taille de l échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d amplitude 0,02? La commune compte foyers. La condition pour démarrer l entreprise est de réaliser une recette minimale de euros par mois. Sachant que les paniers seront vendus 20 euros l un, le producteur peut-il envisager de se lancer? Justifier la réponse. Partie B La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum paniers par mois. Le coût total de production est modélisé par la fonction C définie sur l intervalle [0 ; 10] par C (x)= 1 48 x x3 + 5x+ 10. Lorsque x est exprimé en centaines de paniers, C (x) est égal au coût total exprimé en centaines d euros. On admet que, pour tout nombre x de l intervalle [0 ; 10], le coût marginal est donné par la fonction C m = C où C est la fonction dérivée de C. 1. Calculer C m (6), le coût marginal pour six cents paniers vendus. 2. On note C la fonction dérivée seconde de C et on a C "(x)= 1 4 x x. (a) Déterminer le plus grand intervalle de la forme [0 ; a] inclus dans [0 ; 10] sur lequel la fonction C est convexe. (b) Que peut-on dire du point d abscisse a de la courbe de la fonction C? Interpréter cette valeur de a en termes de coût. Partie C On admet que l entreprise produit entre 0 et paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20 euros le panier. La recette mensuelle R, exprimée en centaines d euros, ainsi que la fonction C sont représentées par les courbes C R et C C sur le graphique donné en annexe. Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent. 1. Indiquer le nombre minimal de paniers que le producteur doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice. Donner une valeur approchée à la dizaine. 2. Indiquer le bénéfice réalisé par le producteur s il produit et vend 500 paniers dans le mois. Donner une valeur approchée à la centaine d euros. 3. Le producteur peut-il espérer réaliser un bénéfice de euros dans un mois? Argumenter la réponse. bac-fonctions-es-obl 36 Guillaume Seguin

37 ANNEXE Exercice 3 Partie C En centaines d euros En centaines de paniers bac-fonctions-es-obl 37 Guillaume Seguin

38 28. Pondichery avril 2014 Commun à tous les candidats Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment Un artisan glacier commercialise des «sorbets bio». Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité. Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction f définie pour tout nombre réel x de l intervalle I = ]0 ; 3] par f (x)=10x 2 20x ln x. Lorsque x représente le nombre de centaines de litres de sorbet, f (x) est le coût total de fabrication en centaines d euros. La recette, en centaines d euros, est donnée par une fonction r définie sur le même intervalle I. Partie A La courbe C représentative de la fonction f et la droite D représentative de la fonction linéaire r sont données en annexe. 1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification. (a) Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet. (b) Donner l expression de r (x) en fonction de x. (c) Combien l artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l entreprise dégage un bénéfice? 2. On admet que 3 (a) En déduire la valeur de 1 20x ln x dx= 90ln f (x) dx. (b) En déduire, pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l euro) du coût total de production. Partie B On note B(x) le bénéfice réalisé par l artisan pour la vente de x centaines de litres de sorbet produits. D après les données précédentes, pour tout x de l intervalle [1 ; 3], on a : où B(x) est exprimé en centaines d euros. B(x)= 10x x+ 20x ln x 1. On note B la fonction dérivée de la fonction B. Montrer que, pour tout nombre x de l intervalle [1 ; 3], on a : B (x)= 20x+ 20ln x On donne le tableau de variation de la fonction dérivée B sur l intervalle [1 ; 3]. x 1 3 B (x) B (1) B (3) bac-fonctions-es-obl 38 Guillaume Seguin

39 (a) Montrer que l équation B (x) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [1 ; 3]. Donner une valeur approchée de α à (b) En déduire le signe de B (x) sur l intervalle [1 ; 3] puis dresser le tableau de variation de la fonction B sur ce même intervalle. 3. L artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s il peut atteindre un bénéfice d au moins 850 euros. Est-ce envisageable? ANNEXE Annexe à l exercice O centaines d euros centaines de litres 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 D C bac-fonctions-es-obl 39 Guillaume Seguin

40 29. Polynésie juin 2014 Commun à tous les candidats Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d en limiter la propagation. Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d un antibiotique injecté en une seule prise à un patient. Temps en heure 0,5 1 1, Concentration en mg/l 1,6 2 1,9 1,6 1,2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4 Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction g définie sur l intervalle [0 ; 10] par g (t )= 4t t Lorsque t représente le temps écoulé, en heures, depuis l injection de l antibiotique, g (t ) représente la concentration en mg/l de l antibiotique. Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction g. 1. Par lecture graphique donner sans justification : (a) les variations de la fonction g sur [0 ; 10] ; (b) la concentration maximale d antibiotique lors des 10 premières heures ; (c) l intervalle de temps pendant lequel la concentration de l antibiotique dans le sang est supérieure à 1,2 mg/l. 2. (a) La fonction g est dérivable sur l intervalle [0 ; 10] et sa dérivée est g. Montrer que : g (t )= 4( 1 t 2) ( t ) 2. 2,0 1,5 1,0 0, (b) En utilisant l expression de g (t ), montrer que la concentration maximale serait, avec cette modélisation, atteinte exactement 1 heure après l injection t 3. On admet que G définie sur [0 ; 10] par G(t )=2ln ( t ) est une primitive de g sur cet intervalle. Quelle est la concentration moyenne de l antibiotique pendant les 10 premières heures? Donner la valeur exacte et la valeur arrondie au millième. 1 b Rappel : la valeur moyenne d une fonction f sur [a ; b] est donnée par f (x) dx. b a a 4. On définit la CMI (Concentration Minimale Inhibitrice) d un antibiotique comme étant la concentration au dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier. La CMI de l antibiotique injecté est 1,2 mg/l. Déterminer, par le calcul, le temps d antibiotique utile c est-à-dire la durée pendant laquelle la concentration de l antibiotique étudié est supérieure à sa CMI. bac-fonctions-es-obl 40 Guillaume Seguin

41 30. Polynésie juin 2014 Candidats ES n ayant pas suivi l enseignement de spécialité et candidats L Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser 700 objets par jour. On modélise le coût total de production par une fonction C. Lorsque x désigne le nombre d objets fabriqués, exprimé en centaines, C (x), le coût total correspondant, est exprimé en centaines d euros. La courbe représentative de la fonction C est donnée en annexe. Partie A Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux. On laissera apparents les traits de construction sur la figure donnée en annexe. 1. Quel est le coût total de production pour 450 objets? 2. Combien d objets sont produits pour un coût total de euros? On considère que le coût marginal est donné par la fonction C dérivée de la fonction C. (a) Estimer le coût marginal pour une production de 450 objets puis de 600 objets. (b) Que pensez-vous de l affirmation : «le coût marginal est croissant sur l intervalle [0 ; 7]»? Partie B Le prix de vente de chacun de ces objets est de 75 euros. 1. On note r la fonction «recette». Pour tout nombre réel x dans l intervalle [0 ; 7], r (x) est le prix de vente, en centaines d euros, de x centaines d objets. Représenter la fonction r dans le repère donné en annexe. 2. En utilisant les représentations graphiques portées sur l annexe, répondre aux questions qui suivent. (a) En supposant que tous les objets produits sont vendus, quelle est, pour l entreprise, la fourchette maximale de rentabilité? Justifier la réponse. (b) Que penser de l affirmation : «il est préférable pour l entreprise de fabriquer 500 objets plutôt que 600 objets»? ANNEXE Exercice 2 enseignement obligatoire et spécialité L bac-fonctions-es-obl 41 Guillaume Seguin