MECA MÉCANIQUE RATIONNELLE

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1 L G L G Août 011 MECA MÉCANIQUE RATIONNELLE Prof. Éric J.M.DELHEZ Durée de l épreuve : 4h. Répondez aux différentes questions sur des feuilles séparées. Indiquez sur chacune de vos feuilles vos nom, prénom et numéro d ordre. Question I Le jeu de tennis-piquet permet à un enfant de jouer au tennis tout seul. Dans ce jeu, une balle de tennis est attachée à un piquet vertical par le biais d une corde élastique. Le joueur met la balle en jeu en frappant celle-ci en coup droit. Grâce à l action de la corde élastique, la balle tourne autour du piquet et lui revient de sorte qu il peut la reprendre en revers... Lorsque la corde est tendue, elle exerce une force de rappel proportionnelle au carré de son élongation, F(r)= α(r r 0 ), r r 0 où r est la longueur de la corde, r 0 est la longueur naturelle et α est une constante strictement positive. Initialement, la corde est horizontale et à sa longueur naturelle. Le joueur communique à la balle une vitesse u 0 horizontale perpendiculaire à la corde. On étudie le mouvement de la balle de tennis en assimilant celle-ci à un point matériel de masse m et en supposant que la corde est tendue à tout instant. Compte tenu des vitesses atteintes, la force de pesanteur est négligée. i. Déterminez les dimensions de la constante α. ii. Montrez que le mouvement de la balle est plan. iii. Déterminez deux intégrales premières scalaires et précisez-en la signification physique. iv. Montrez que si u 0 = αr 3 0 3m, la balle ne risque pas de frapper un obstacle situé à une distance du piquet égale à deux fois la longueur naturelle de la corde. v. Montrez que la corde reste effectivement tendue au cours du mouvement si elle est frappée comme annoncé. vi. Écrivez l équation différentielle de la trajectoire. Tournez la page.

2 Question II On considère une plaque homogène carrée de côté a et de masse m pouvant pivoter librement dans son plan autour d un axe horizontal, perpendiculaire à la plaque et passant par son coin A. Un mouvement horizontal dans le plan de la plaque est imposé au point A selon une loi x A = x(t) donnée. Le mouvement est plan. O A x(t) C i. Calculez le moment central d inertie de la plaque par rapport à un axe perpendiculaire à son plan. ii. Déterminez le nombre de degrés de liberté de la plaque et introduisez la(les) coordonnée(s) généralisée(s) permettant d en décrire le mouvement. iii. Déterminez les forces agissant sur la plaque et précisez-en les caractéristiques principales (point d application, direction, force appliquée/réaction, force conservative). Cas I. - Point A fixe. On considère tout d abord le cas où le point A est fixe. iv. Par application des théorèmes généraux, écrivez la(les) équation(s) différentielle(s) permettant de décrire complètement le mouvement de la plaque. v. Calculez la période T des petites oscillations de la plaque autour de sa position d équilibre stable. Cas II. - Point A en mouvement. On considère ensuite le cas où x(t)=xsinωt avec ω π/t. vi. Par application des théorèmes généraux, écrivez la(les) équation(s) différentielle(s) permettant de décrire complètement le mouvement de la plaque. vii. Initialement, la plaque est abandonnée sans vitesse avec son centre d inertie C situé à la verticale du point A, en-dessous de celui-ci. Déterminez la loi du mouvement sous l hypothèse de petites oscillations. Le mouvement est-il périodique?

3 SOLUTION Question I i. L expression de la force F(r) nous apprend que [α]= [F(r)] [(r r 0 ) ] = MLT L = ML 1 T ii. L équation différentielle vectorielle du mouvement s écrit m s=f(r)e r où e r est le vecteur unitaire dans la direction de la corde. Multipliant cette équation vectoriellement par s=re r, on obtient s s= d dt (s ṡ)=0 s ṡ=h=s 0 ṡ 0 dont on conclut que le mouvement a lieu dans le plan de normale h formé par le vecteur position s 0 et la vitesse initiale ṡ 0. iii. L équation de Newton en coordonnées polaires dans le plan du mouvement s écrit (en supposant r r 0 ) m( r r θ )e r + m d r dt (r θ)e θ = α(r r 0 ) e r Projetant cette équation dans les directions radiale et tangentielle, on obtient m( r r θ )= α(r r 0 ) m d r dt (r θ)=0 On en tire directement une première intégrale première qui exprime la conservation de la norme du moment cinétique par unité de masse Les conditions initiales r θ=h (1) r= r 0 et ṡ=ṙe r + r θe θ = u 0 e θ permettent de déterminer la constante, h=r 0 u 0. Éliminant θ de la première équation, on obtient ( ) m r r 0 u 0 r 3 + α(r r 0 ) = 0 et, après intégration temporelle, mṙ + mr 0 u 0 r + α 3 (r r 0) 3 = constante= mu 0 où la constante a aussi été déterminée en considérant les conditions initiales. Cette seconde intégrale première exprime la conservation de l énergie de la balle. 3 ()

4 iv. Si la vitesse initiale est donnée par l intégrale première () devient u 0 = αr 3 0 3m m ṙ + αr5 0 3r + α 3 (r r 0) 3 = αr3 0 3 Si la balle pouvait atteindre un obstacle situé en r = r 0, elle le ferait avec une vitesse radiale vérifiant mṙ = αr3 0 3 αr3 0 1 αr3 0 3 = αr3 0 1 < 0 ce qui est impossible. v. Considérons le diagramme de potentiel basé sur (). Le pseudo-potentiel à prendre en compte est V = mr 0 u 0 r + α 3 (r r 0) 3 et présente un point de réflexion en r=r 0 puisque la vitesse radiale initiale est nulle. Pour que la corde reste tendue au cours du jeu, il suffit que r r 0 à chaque instant et donc, qu une barrière de potentiel empêche la balle de se rapprocher plus de l origine comme esquissé ci-dessous. V(r) 1 mu 0 r 0 r Il suffit donc que ce qui est toujours vrai. [ ] dv < 0 dr r=r 0 [ mr 0 u 0 r 3 + α(r r 0 ) ] r=r 0 = mu 0 r 0 < 0 vi. On a dr dt = dr dθ dθ dt = h dr r dθ = r 0u 0 dr r dθ que l on introduit dans () pour obtenir l équation différentielle vérifiée par la trajectoire en coordonnées polaires mr0 ( ) u 0 dr r 4 + mr 0 u 0 dθ r + α 3 (r r 0) 3 = mu 0 4

5 Question II i. Plaçant des axes cartésiens e 1, e en C, parallèlement aux côtés de la plaque, et désignant par ρ=m/a la masse par unité de surface de la plaque, on a a a a ( J C = ρ (x 1+ x a 3 ) ) dx 1 dx = ρ a a a 1 + ax dx = ρ a4 6 = ma 6 ii. La plaque est un solide en mouvement plan dont le mouvement d un point est fixé. Elle ne peut donc que pivoter autour de ce point A et possède un seul degré de liberté repéré par l angle θ (voir figure). R e y e θ e z O A x(t) θ e x e r C mg iii. Les forces agissant sur la plaque sont mg : la résultante des forces de pesanteur, force appliquée conservative agissant au centre d inertie C de la plaque et dirigée verticalement vers le bas ; R : la force de liaison exercée sur la plaque en A. Elle est de direction inconnue dans le plan du mouvement. Cas I. - Point A fixe. iv. Le théorème du moment cinétique écrit au point fixe A s écrit avec dh A dt où, par le théorème de transport, = a e r ( mge y )= mg a sinθe z H A = J A ω=j A θ e z = J A θ e z On a donc J A = J C + m a = 3 ma 3 ma θ= mg a sinθ θ+ 3 g sinθ=0 (3) a 5

6 v. Les positions d équilibre de la plaque sont obtenues en annulant θ dans (3). Il s agit de θ=0 et θ = π. La position stable est évidemment θ = 0. Linéarisant (3) autour de cette position d équilibre, on obtient θ+ 3 g a θ=0 Posant ω0 = 3 g a la loi du mouvement s écrit θ(t)= C 1 cosω 0 t+c sinω 0 t où C 1 et C sont des constantes. La période T des petites oscillations de la plaque autour de sa position d équilibre stable vaut donc T = π a = π ω 0 3 g Cas II. - Point A en mouvement. vi. Le point A n étant plus fixe, on ne peut pas y écrire le théorème du moment cinétique sous sa forme classique. Le théorème de la quantité de mouvement pour la plaque, rapporté à des axes inertiaux centrés en O, s écrit dn O = mg+r dt m s C = mge y + R où s C = x(t)e x + a e r et On obtient donc s C = ẍ(t)e x + a θ e θ a θ e r ( R=mge y + m ω X sinωt e x + a θe θ a ) θ e r Le théorème du moment cinétique rapporté à des axes parallèles aux axes inertiaux centrés en C, s écrit dh C = M C dt où et M C = a e r R = a e r H C = J C ω=j C θ e z = ma 6 θ e z [ mge y + m ( ω X sinωt e x + a θe θ a θ e r )] = a mgsinθe z + m a ω X sinωt cosθe z m a θ e z Finalement, l équation différentielle permettant de décrire le mouvement de la plaque s écrit a 3 θ= g sinθ+ X ω sinωt cosθ (4) 6

7 vii. Sous l hypothèse de petites oscillations autour de la position θ = 0, (4) devient c est-à-dire si on pose comme ci-dessus a 3 θ= g θ+ X ω sinωt θ+ω 0 θ=ω ω0 X g sinωt ω0 = 3 g a Il s agit d une équation différentielle linéaire dont la solution générale est la somme de la solution générale de l équation homogène associée (θ h ) et d une solution particulière de l équation complète (θ p ). D une part, on a θ h (t)= C 1 cosω 0 t+c sinω 0 t D autre part, vu la forme particulière de l équation, en notant que ω ω 0, on peut rechercher une solution particulière du type C 3 sinωt. Introduisant cette solution dans l équation, on obtient La solution générale est donc C 3 = X g ω ω 0 ω 0 ω θ(t)= C 1 cosω 0 t+c sinω 0 t+ X ω ω0 g ω0 sinωt ω Les constantes peuvent être déterminées en utilisant les conditions initiales (θ 0 = 0, θ 0 = 0), ce qui donne C 1 = 0 et C = X ω ω0 ω g ω0 ω ω 0 et, finalement, θ(t)= X g ω ω0 ( ω0 sinωt ω ) sinω 0 t ω ω 0 Le mouvement est périodique si ω/ω 0 est un nombre rationnel. 7