Cours de mathématiques ECS 1 ère année. BÉGYN Arnaud

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1 Cours de mathématiques ECS 1 ère année BÉGYN Arnaud 12/11/2012

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3 Introduction Ce manuscrit regroupe des notes de cours de mathématiques pour une classe d ECS première année. J ai écris ces notes lors de mes enseignements au lycée Fermat pendant les années 2010-?. Ce document n est absolument pas figé et va beaucoup évoluer. N hésitez pas à m envoyer toutes vos remarques et critiques ou à me signaler d éventuelles erreurs à l adresse "[email protected]". Vous pouvez utiliser ce cours à toutes fins utiles, à condition de signaler son origine. Je vous demande seulement de ne pas trop le diffuser pour le moment, car ce n est qu un premier jet qui comporte encore trop d erreurs et d imprécisions. Les mises à jour sont disponibles tout au long de l année sur le site http ://arnaud.begyn.free.fr/. 3

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5 Table des matières 1 Logique - Théorie des ensembles Notation Logique Ensembles Définitions Opérations sur les ensembles Applications Définitions Loi de composition Injection, surjection, bijection Fonctions caractéristiques Images directe et réciproque Exercices Dénombrement et calculs de sommes Ensemble de nombres usuels Ensembles finis - Dénombrement Ensembles finis Dénombrement des ensembles finis Dénombrement des applications entre ensembles finis Coefficients binômiaux Techniques de dénombrement Calculs de sommes et de produits Sommes Sommes usuelles à connaître Formule du binôme de Newton Sommes doubles Généralisation des formules de dénombrement Produits Exercices Nombres complexes Propriétés des nombres complexes Construction rapide de C Notions de base Rappels de trigonométrie Forme trigonométrique d un nombre complexe Applications des formules de De Moivre et d Euler Équations polynômiales complexes Racines n ièmes d un nombre complexe

6 6 TABLE DES MATIÈRES Racines n ièmes de l unité Racines n ièmes d un nombre complexe Cas particulier des racines carrées Équations du second degré à coefficients complexes Cas général Cas où a, b et c sont réels Factorisation du trinôme et théorème de Viet Exercices Suites réelles Propriétés générales de suites réelles Rappels sur les propriétés de R Relation d ordre Valeur absolue Intervalles Partie entière Les suites réelles Propriétés des suites réelles Limite d une suite Suites convergentes - Suites divergentes Propriétés des suites convergentes L ensemble R Théorèmes généraux sur les limites Suites d indices pairs et impairs Bornes supérieure et inférieure dans R Propriétés des suites monotones Limites usuelles Suites géométriques Croissances comparées Exercices Systèmes linéaires Définitions Le pivot de Gauss Rang et résolution d un système linéaire Résolution des systèmes linéaires Rang d un système linéaire Rang et systèmes linéaires échelonnés Exercices Compléments sur les suites réelles Suites récurrentes Définition Étude des suites vérifiant u n+1 = f (u n ) La suite est-elle bien définie? Recherche des points fixes de f Détermination d intervalles stables par f Étude de la monotonie de (u n ) Détermination des valeurs possibles de limu n Représentation graphique

7 TABLE DES MATIÈRES Suites arithmétiques Suites géométriques Suites arithmético-géométriques Suites récurrentes linéaires d ordre Comparaison des suites Notations de Landau Suites équivalentes Comparaison des suites usuelles Exercices Espaces vectoriels et applications linéaires Généralités sur les espace vectoriels Espace vectoriel sur K Sous-espaces vectoriels Familles de vecteurs Combinaisons linéaires Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs Familles génératrices Familles libres Bases Sommes de sous-espaces vectoriels Sommes de sous-espaces vectoriels de E Sommes directes de sous-espaces vectoriels Applications linéaires Définitions et première propriétés Opérations sur les applications linéaires Somme et multiplication par un scalaire Composition Bijection réciproque Noyau et image d une application linéaire Image d une famille de vecteurs Projections et symétries Projections Symétries Exercices Généralités sur les fonctions numériques Étude d une fonction réelle d une variable réelle Fonction réelle d une variable réelle Ensemble de définition Représentation graphique de f Monotonie Extremums d une fonction Fonctions usuelles Fonction racine n-ième Fonctions trigonométriques Fonctions logarithmes et exponentielles Fonctions puissances réelles Fonctions logarithmes et exponentielles en base a Croissances comparées

8 8 TABLE DES MATIÈRES 8.3 Exercices Limites et comparaison des fonctions numériques Limite en un point de R Voisinages d un point de R Limite finie en un point x 0 R Limite infinie en un point Limite finie/infinie en± Extensions dans le cas d une limite finie Unicité de la limite Théorèmes généraux sur les limites Opérations algébriques sur les limites Composition de limites Fonction composée de deux fonctions Suite composée d une suite et d une fonction Limites et inégalités Limite et inégalités locales Calculs de limites par inégalité Limites des fonctions monotones Étude des branches infinies Comparaison de fonctions Fonctions équivalentes Équivalents usuels Notations de Landau Croissances comparées Développements limités Développement limité d ordre n en un point x 0 R Développements limités usuels en Opérations sur les développements limités Développements limités et recherche de fonction équivalente Exercices Séries numériques Généralités Définitions Propriétés des séries Séries à termes positifs Règles de comparaison Convergence absolue Séries de référence Séries de Riemann Séries géométriques et leurs dérivées Séries exponentielles Exercices Polynômes Généralités Définitions Opérations sur les polynômes Parité

9 TABLE DES MATIÈRES Racines d un polynôme Arithmétique dans K[X ] Racines d un polynôme Théorème de d Alembert-Gauss Formule de Taylor Dérivée d un polynôme Calculs de polynômes dérivés Formule de Taylor et application Exercices Espaces probabilisés Vocabulaire et axiomatique des probabilités L univers Évènements Opérations sur les évènements La tribu des évènements Système complet d évènements Probabilité sur un espace probabilisable Probabilités Construction de probabilités Cas d un univers fini Cas d un univers infini dénombrable Propriétés de continuité monotone pour une probabilité Évènements négligeables Probabilités conditionnelles Définition Formule des probabilités composées Formule des probabilités totales Formule de Bayes Indépendance Indépendance de deux évènements Indépendance mutuelle Cas de n évènements Cas d une famille infinie d évènements Propriétés de l indépendance Compléments sur la formule des probabilités totales : propriété de Markov Exercices Continuité des fonctions numériques Continuité d une fonction numérique Continuité en un point Continuité à droite ou à gauche en un point Continuité sur un intervalle - Prolongement par continuité Continuité des fonctions usuelles Opérations arithmétiques sur les fonctions continues Continuité sur un intervalle Théorème des valeurs intermédiaire Théorème de continuité sur un segment Fonctions continues et bijectives Théorème de la bijection monotone

10 10 TABLE DES MATIÈRES La fonction arctangente Exercices Espaces vectoriels de dimension finie Espaces vectoriels de dimension finie Bases et dimension Familles de vecteurs en dimension finie Espaces vectoriels isomorphes Sous-espaces vectoriels en dimension finie Inclusion et dimension Sommes de sev en dimension finie Rangs Rang d une famille de vecteurs Rang d une application linéaire Exercices Dérivabilité des fonctions numériques Dérivabilité d une fonction numérique Dérivabilité en un point Dérivabilité à droite ou à gauche en un point Interprétations graphiques Dérivabilité sur une partie de R Opérations sur les dérivées Opérations arithmétiques Dérivée d une composée, d un quotient Dérivée d une bijection réciproque Tableaux récapitulatifs des dérivées des fonctions usuelles Dérivabilité sur un intervalle d une fonction à valeurs réelles Lien entre extremum et dérivée Théorème de Rolle Théorème des accroissements finis Lien entre dérivée et monotonie Prolongement de la dérivabilité Dérivées d ordre supérieur Dérivées successives Fonctions de classe C n, de classe C Classe de régularité des fonction usuelles Opérations arithmétiques sur les fonctions de classe C n /C Composition de fonctions de classe C n /C Bijection réciproque d une fonction de classe C n /C Théorème de prolongement du caractère C Formules de Taylor Formule de Taylor-Lagrange Inégalité de Taylor-Lagrange Formule de Taylor-Young Fonctions convexes Exercices

11 TABLE DES MATIÈRES Matrices L espace vectoriel M np (K) Définitions Matrice d une famille finie de vecteurs Matrice d une application linéaire dans des bases Matrices associés à un système linéaire L espace vectoriel M np (K) Produit matriciel Produit d une matrice par un vecteur colonne Cas général : produit de deux matrices Produit matriciel et matrices carrées Matrices carrées inversibles Méthode du miroir Rang d une matrice Premières propriétés Rang et algorithme du pivot de Gauss Transposition Premières propriétés Matrices symétriques et antisymétriques Rang de la transposée Exercices Variables aléatoires discrètes Variables aléatoires discrètes Définitions Variables aléatoires discrètes finies Variables aléatoires discrètes infinies Évènements associés à une VARD Loi de probabilité d une VARD L expérience a-t-elle une fin? Fonction de répartition d une VARD Transfert de loi Espérance mathématique d une VARD Définition Théorème de transfert Moments d une VARD Variance d une VARD Lois usuelles Loi certaine Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi hypergéométrique Loi géométrique Loi de Poisson Couples discrets Couple discret Évènements associés à un couple discret Loi conjointe d une couple discret

12 12 TABLE DES MATIÈRES Lois marginales Lois conditionnelles Sommes de VARD Indépendance de VARD Sommes de VARD mutuellement indépendantes Covariance d un couple discret Théorème de transfert pour les couples discrets de VARD finies Covariance de deux VARD finies Variance d une somme de VARD Convergences et approximations Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Approximations Exercices Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Changements de bases Matrices de passage Formules de changement de bases Matrices carrées semblables Réduction des endomorphismes et des matrices carées Éléments propres d un endomorphisme Endomorphismes diagonalisables Éléments propres d une matrice carrée Matrices carrées diagonalisables Méthodes pratiques de réduction Méthode brutale Méthode du polynôme annulateur Réduction partielle grâce des sev supplémentaires stables Applications de la diagonalisabilité Puissances d une matrice carrée Suites récurrentes couplées Suites récurrentes linéaires Exercices

13 Chapitre 1 Notions élémentaires de logique et de théorie des ensembles 1.1 Notation Traditionnellement, les objets mathématiques (nombres, fonctions...) sont notés avec une lettre de l alphabet pouvant être minuscule, majuscule, capitale etc... Lorsqu on se donne une liste de n objets on utilise un indice : x 1, x 2,..., x n. On peut aussi utiliser un indice supérieur, placé entre parenthèses pour ne pas le confondre avec la puissance : x (1), x (2),..., x (n). Lorsque l on considère un tableau de nombres, on a recourt au double-indiçage : x i j désigne l élément situé à l intersection de la ligne i et de la colonne j. Pour varier les notations, on utilise aussi l aplhabet grec, dont nous rappelons ci-dessous les minuscules et majuscules. Il est vivement recommander de bien le connaitre (sous peine de faire sourire son examinateur à l oral). Minuscule Majuscule Nom α A Alpha β B Bêta γ Γ Gamma δ Delta ǫ E Epsilon ζ Z Dzéta η H Êta θ Θ Thêta ι I Iota κ K Kappa λ Λ Lambda µ M Mu Minuscule Majuscule Nom ν N Nu ξ Ξ Xi o O Omicron π Π Pi ρ P Rhô σ Σ Sigma τ T Tau υ Υ Upsilon ϕ Φ Phi χ X Chi ψ Ψ Psi ω Ω Omega On utilisera aussi les abréviations suivantes : - cqfd = ce qu il fallait démontrer : - ie = id est = c est-à-dire ; - p/r = par rapport à ; 13

14 14 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES - resp. = respectivement. Ce cours de mathématiques est organisé selon une série de définitions, signalées par un cadre vert, par une série de théorèmes signalés par un cadre rouge, le tout illustré par des exemples et des exercices, ces derniers étant signalés par un cadre gris. Certains chapitres comportent des explications sur la manière de rédiger. Celles-ci sont signalés par un cadre jaune. Le mot théorème est réservé à des résultats mathématiques jugés importants. Dans le cas d un théorème facile, on utilise le mot proposition. Parfois, on reformule certains théorèmes dans des cas simples, directement utilisables en pratiques : on parle alors de corollaires. Enfin certaines démonstrations plus ardues que les autres nécessiteront de démontrer des petites propositions intermédiares appelées lemmes. 1.2 Logique Un prédicat est un énoncé mathématique qui est soit juste, soit faux. On dit qu un prédicat ne peut prendre que deux valeurs logiques : V ou F (i.e. Vrai ou Faux). Par convention, lorsqu on énonce une prédicat, on sous-entend toujours qu il est vrai. Exemple : «La fonction f est croissante sur l intervalle I.» Soient A et B deux prédicats. On définit les opérations suivantes. Négation : La négation de A est notée non(a) ou A. Elle est définie par la table de vérité suivante : A V F non(a) F V On a bien évidemment non(non(a)) = A = A (l égalité signifie que les deux prédicats ont même table de vérité). «Et» : Le prédicat A et B est défini par : On a bien évidemment A et B = B et A. A B A et B V V V F V F V F F F F F «Ou» : Le prédicat A ou B est défini par : A B A ou B V V V F V V V F V F F F

15 1.2. LOGIQUE 15 On a bien évidemment A ou B = B ou A. Remarquons qu il s agit d un «ou» inclusif, c est-à-dire que les deux prédicats peuvent être vrais en même temps (contrairement au «ou» exclusif). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½ Lois de Morgan Les prédicats suivants ont même table de vérité. «non(a et B)» et «non(a)ou non(b)» «non(a ou B)» et «non(a)et non(b)» Implication : Le prédicat A = B est défini par : A B A= B V V V F V V V F F F F V En pratique, on ne considère que les première et troisième lignes de cette table de vérité, c est-à-dire que l on traduit le prédicat A = B par : si A est vrai alors B est vrai, ou encore pour que A soit vrai il faut que B soit vrai, pour que B soit vrai il suffit que A soit vrai. On dit que A est une condition suffisante pour B et que B est une condition nécessaire pour A. Exemple : On pose A = «Le chien court sous la pluie» et B = «Le chien est mouillé». Il est clair que A= B. Par contre on a pas B = A (le chien est peut-être tombé dans la piscine!). Dans ce cas, on dit que la réciproque de l implication A = B est fausse. On peut donc dire que «pour que le chien court sous la pluie, il faut qu il soit mouillé», «pour que le chien soit mouillé, il suffit qu il court sous la pluie». Rédaction : Pour montrer que A = B, on procède de la façon suivante. On suppose que la prédicat A est vrai ; on doit alors montrer que B est vrai. Pour montrer qu une implication est vraie on utilise parfois le raisonnement par contraposée. Pour prouver que A = B est vrai, on montre que non(b)= non(a) est vrai, c està-dire : si B est fausse alors A est fausse. En effet, on peut vérifier que ces deux prédicats ont la même table de vérité. Ü Ö ½º½ Montrer que les prédicats A = B et non(a)ou B ont même table de vérité. En déduire que les prédicats A = B et non(b) = non(a) ont même table de vérité (raisonnement par contraposée). Équivalence : Le prédicat A B est défini par : A B A B V V V F V F V F F F F V

16 16 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES En pratique, on ne considère que la première ligne de cette table de vérité, c est-à-dire que l on traduit la proposition A B par : A est vrai si et seulement si = (ssi) B est vrai, ou encore pour que A soit vrai il faut et il suffit que B soit vrai. On dit que A (resp. B) est une condition nécessaire et suffisante pour B (resp. pour A). Pour montrer qu une équivalence est vraie on raisonne très souvent par double-implication : on montre que A= B est vrai puis que B = A l est aussi. En effet, on peut vérifier que les prédicats A B et «A= B et B = A» ont la même table de vérité. Ü Ö ½º¾ Montrer que le prédicat A B, et le prédicat ( A = B ) et ( B = A ) ont même table de vérité. Rédaction : Pour montrer que A B, on procède donc par double-implication. On suppose que la prédicat A est vrai ; on doit alors montrer que B est vrai. On en déduit que A= B est vrai. On suppose que la prédicat B est vrai ; on doit alors montrer que A est vrai. On en déduit que B = A est vrai. On peut alors conclure que A B est vrai. Raisonnement par l absurde : Pour montrer qu un prédicat A est vraie, on peut choisir de raisonner par l absurde : on suppose que A est faux, et on essaye d aboutir à une contradiction évidente du type 2<1 ou 0<x < 0 etc... Ü Ö ½º Soit x > 0. Démontrer par l absurde que 2x> x. Raisonnement par récurrence : Soit P(n) un prédicat qui dépend d un entier n N. On veut démontrer qu il existe un entier n 0 fixé tel que P(n) est vraie pour tout n n 0. On dispose pour cela de différents résultats. Ì ÓÖ Ñ ½º¾ Récurrence simple On suppose que : (i) Initialisation : il existe n 0 N tel que P(n 0 ) est vrai ; (ii) Hérédité : pour n n 0 fixé quelconque, P(n) vrai= P(n+ 1) vrai. Alors on sait que P(n) est vrai pour tout n n 0. n(n+ 1) Ü Ö ½º Pour n 1, n=. 2 Ì ÓÖ Ñ ½º Récurrence à deux pas On suppose que : (i) Initialisation à deux pas : il existe n 0 N tel que P(n 0 ) et P(n 0 + 1) sont vrais ; (ii) Hérédité à deux pas : pour n n 0 fixé quelconque, P(n) et P(n+1) vrais= P(n+2) vrai. Alors on sait que P(n) est vrai pour tout n n 0.

17 1.3. ENSEMBLES 17 Ü Ö ½º On pose F 0 = F 1 = 1 et pour n 0, F n+2 = F n + F n+1. Montrer que pour n 0, F n 0. Ì ÓÖ Ñ ½º Récurrence forte On suppose que : (i) Initialisation : il existe n 0 N tel que P(n 0 ) est vrai ; (ii) Hérédité forte : pour n n 0 fixé quelconque, P(n 0 ), P(n 0 + 1), P(n 0 + 2),..., P(n) vrais = P(n+ 1) vrai. Alors on sait que P(n) est vrai pour tout n n 0. Ü Ö ½º On pose u 1 = 3 et pour n 1, u n+1 = 2 n( u1 + u u n ). Montrer que pour n 1, u n = 3n. 1.3 Ensembles Définitions Ò Ø ÓÒ ½º Ensembles Un ensemble E est une collection d objets appelés éléments. On note x E lorsque x est élément de E, et x E dans le cas contraire. Exemple : Un ensemble peut donc être défini en énumérant la liste de ses éléments (entre accolades) : - {a} = ensemble formé d un unique élément a = singleton - E = ensemble des couleurs d un jeu de 32 cartes = {coeur, carreau, trèfle, pique} (4 éléments) - N = ensemble des entiers naturels = {0, 1, 2, 3,...} (infinité d éléments) Soit P(x) une prédicat dépendant de x élément de E. Ò Ø ÓÒ ½º Quantificateurs 1. Lorsque P(x) est vrai pour tous les éléments x de E, on le note : x E, P(x) Le symbole est appelé quantificateur «quel que soit». 2. Lorsque P(x) est vrai pour au moins un élément x de E, on le note : x E /P(x) ou x E ; P(x) Le symbole est appelé quantificateur «il existe».

18 18 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES 3. Lorsque P(x) est vrai pour un unique élément x de E, on le note :!x E /P(x) ou!x E ; P(x) Le symbole! est appelé quantificateur «il existe un unique». Rédaction : 1. Pour montrer que «x E, P(x)», on procède de la manière suivante : on se donne x E fixé quelconque et le but est laors de montrer que P(x) est vrai pour ce x. 2. Pour montrer que «x E / P(x)», on procède de la manière suivante : on doit trouver x E tel que P(x) soit vrai, par exemple en résolvant une équation d inconnue x et en prouvant que cette équation a au moins une solution. 3. Pour montrer que «!x E / P(x)», on procède de la manière suivante : on doit trouver un unique x E tel que P(x) soit vrai, par exemple en résolvant une équation d inconnue x et en prouvant que cette équation a une unique solution. Il faut connaître la négation de ces quantificateurs. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º L égalité signifiant que les prédicats ont même table de vérité : 1. non ( x E, P(x) ) = x E ; non ( P(x) ). 2. non ( x E ; P(x) ) = x E, non ( P(x) ). Nous allons maintenant voir comment comparer deux ensembles. Ò Ø ÓÒ ½º Inclusion Soient E et F deux ensembles. On dit que E est inclus dans F et on le note E F ou E F, lorsque tout élément de E est aussi élément de F, i.e. lorsque : x E, x F ou encore : x E = x F On dit aussi que E est un sous-ensemble de F, ou que E est une partie de F. Dans le cas contraire, on note E F et on a : x E / x F. ATTENTION : dans l ensemble R des nombres réels, on peut toujours comparer deux nombres x et y : on a x y et x y. On dit que la relation d ordre est totale. Mais ce n est pas le cas pour les ensembles : si A et B sont deux ensemble quelconques, on peut ne pas avoir ni A B, ni B A. Exemple : Sur l exemple suivant, on a : A B et B A.

19 1.3. ENSEMBLES 19 A B Rédaction : Pour montrer que E F on se donne x E fixé quelconque, et on démontre que x F. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Si E, F, G sont trois ensembles : (i) on a E E ; (ii) si E F et F G alors E G. Ò Ø ÓÒ ½º½¼ Egalité Soient E et F deux ensembles. On dit que E = F lorsque E F et F E, i.e. lorsque : x E x F. Si E F mais F E alors on dit que E est strictement inclus dans F, et on le note E F. Rédaction : Pour montrer que E = F on procède donc par double-inclusion. On se donne x E fixé quelconque ; on doit alors montrer que x F. On en déduit que E F. On se donne x F fixé quelconque ; on doit alors montrer que x E. On en déduit que F E. On peut alors conclure que E = F. On définit un ensemble particulier qui ne possède pas d élément. Ò Ø ÓÒ ½º½½ Ensemble vide On appelle ensemble vide, noté, l ensemble qui ne posséde pas d élément. Il est inclus dans tout autre ensemble ; il ne possède qu un sous-ensemble : lui-même. Très souvent on définit un sous-ensemble en imposant que ses éléments vérifient une certaine propriété. Ò Ø ÓÒ ½º½¾ Sous-ensemble défini par une propriété Soient E un ensemble et P(x) une propriété dépendant de x élément de E. L ensemble des éléments de E vérifiant la propriété P(x) est noté : C est un sous-ensemble de E. {x E / P(x)} ou encore {x E ; P(x)} Exemple : A= {x R/ x 2 3x+ 2 1} est une partie de R.

20 20 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES Ò Ø ÓÒ ½º½ Ensemble des parties Si E est un ensemble, on note P (E ) l ensemble par les parties de E. On a donc pour F un autre ensemble : F E F P (E ) On a toujours P (E ) et E P (E ). Exemple : Si E est un singleton : E = {a}, alors P (E )= {,E } Opérations sur les ensembles Ò Ø ÓÒ ½º½ Soient A et B deux parties d un ensemble E. On définit : (i) l intersection de A et B, notée A B, par : x A B x A et x B (ii) l union de A et B, notée A B, par : x A B x A ou x B ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½ Règles de calcul. Si A, B et C sont trois parties d un ensemble E : 1) A B A a B ; 2) Associativité : ( A B ) C = A ( B C ) et ( A B ) C = A ( B C ) ; 3) A A= A A= A, A = et A = A ; 4) Commutativité : A B = B A et A B = B A; 5) Distributivité de par rapport à : ( A B ) C = ( A C ) ( B C ), Distributivité de par rapport à : ( A B ) C = ( A C ) ( B C ). Ò Ø ÓÒ ½º½ On dit que A et B sont disjointes ou incompatibles lorsque A B =. ATTENTION! Ne pas confondre A et B disjoints : A B =, et A et B distincts : A B. Deux ensembles disjoints sont distincts (ou vides), mais deux ensembles distincts ne sont en général pas disjoints. Ò Ø ÓÒ ½º½ Complémentaire. Soit A une partie de E. Le complémentaire de A dans E, noté E A, est défini par : E A= { x E / x A } Lorsqu il n y a pas d ambiguïté sur E, E A est noté plus simplement A.

21 1.3. ENSEMBLES 21 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½ Règles de calcul. Si A est une partie de E : 1) A= A ; 2) =E et E = ; 3) A A= E et A A=. Ü Ö ½º Si A et B parties de E : A B = A B. Ì ÓÖ Ñ ½º½ Lois de Morgan Si A, B parties de E : 1) A B = A B ; 2) A B = A B. Ò Ø ÓÒ ½º¾¼ Différence Si A, B parties de E : A B = A B = { x A/ x B }. On le note aussi A/B. Ò Ø ÓÒ ½º¾½ Produit cartésien Soient E et F deux ensembles. On note E F l ensemble des couples (x, y) tel que x E et y F : E F = { (x, y)/ x E et y F } E F est appelé produit cartésien de E et de F. Plus généralement, si E 1, E 2,..., E n sont n ensembles, on note E 1 E 2 E n l ensemble des n-uplets (x 1,..., x n ) tels que x 1 E 1, x 2 E 2,..., x n E n. Si E 1 = E 2 = =E n = E, alors E 1 E 2 E n est noté E n. Exemple : R 3 = R R R= { (x, y, z)/ x R, y R et z R }. Ò Ø ÓÒ ½º¾¾ Famille d éléments Soient I un ensemble d indice, et E un ensemble. On dit que (x i ) i I est une famille d éléments de E indexée par I lorsque, pour chaque i I, x i est un élément de E. Par exemple pour I = 1,n, (x i ) i I = (x 1,..., x n ) est un n-uplet, et pour I = N, (x i ) i I = (x n ) n N est une suite. Exemple : ( x) x 0 est une famille d éléments de R, indexée par R +. Ò Ø ÓÒ ½º¾ Famille de parties de E On dit que (A i ) i I est une famille de parties de E, lorsque pour i I, A i est une partie de E. Dans ce cas (A i ) i I est une famille d éléments de P (E ).

22 22 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES Exemple : ([ 1,1+ 1 ]) est une famille de parties de [1,+ [, indexée par N. n n N Ò Ø ÓÒ ½º¾ Si (A i ) i I est une famille de parties de E, on définit l union des A i pour i I, notée i I A i, par : De même on définit leur intersection i I A i : x i I A i i I / x A i x i I A i i I, x A i [ Exemple : 1,1+ 1 [ = [1,+ [ et [ 1,1+ 1 [ = {1}. n n n N n N ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾ Règles de calcul. Si B est une partie de E et (A i ) i I est une ( famille ) de parties de E, alors : 1) Distributivité de par rapport à : A i B = ( Ai B ), ( ) i I i I et de par rapport à : A i B = ( Ai B ). i I i I 2) Lois de Morgan : A i = A i et A i = A i. i I i I i I i I Ò Ø ÓÒ ½º¾ Si (A i ) i I famille de parties de E, on dit que les A i sont deux à deux disjoints lorsque : i, j I, i j = A i A j = ATTENTION : les accolades définissent des ensembles et les parenthèses des familles. Pour les ensembles, les répétitions ne sont pas prises en compte, contrairement aux familles : {a, a,b}={a,b} mais (a, a,b) (a,b). Pour les ensembles l ordre n est pas pris en compte, contrairement aux familles : {a,b} = {b, a} mais (a,b) (b, a).

23 1.4. APPLICATIONS Applications Définitions Ò Ø ÓÒ ½º¾ Application. Soient E et F deux ensembles. Une application définie sur E à valeur dans F : f : E F x f (x) fait correspondre à chaque x E un unique élément y F, noté f (x). On le note f : E F. f (x) est appelé image de x, et si y = f (x) alors x est appelé antécédent de y. Le graphe de f est le sous-ensemble de E F donné par : G = { (x, f (x)) E F / x E } On note F (E,F ) ou F E l ensemble de toutes les applications définies sur E à valeurs dans F. Ò Ø ÓÒ ½º¾ Égalité de deux applications. Soient f : E F et g : E F sont deux applications. On dit que f et g sont égales, et on le note f g, lorsque E = E, F = F et : x E, f (x)=g (x) Inversement si E = E et F = F alors f g lorsque : x E ; f (x) g (x). Ò Ø ÓÒ ½º¾ Applications constantes. Soient E et F deux ensembles. Une application f : E F est dite constante lorsqu il existe a F tel que : x E, f (x)=a On dit alors que f est constante égale à a. Ò Ø ÓÒ ½º ¼ Application identité. Si E est un ensemble on définit l application : id E : E E x id E (x)=x Nous verrons plus loin qu elle joue le rôle d élément neutre pour la loi de composition.

24 24 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES Ò Ø ÓÒ ½º ½ Restriction et prolongement. Soit f : E F une application. 1) Si E 1 E alors on appelle de restriction de f à E 1, notée f E1, l application : f E1 : E 1 F x f E1 (x)= f (x) On a donc : x E 1, f E1 (x)= f (x). 2) Si E E 2, alors on appelle prolongement de f à E 2 toute application g : E 2 F telle que g E f. On a donc : x E, g (x)= f (x) Loi de composition Ò Ø ÓÒ ½º ¾ Composée d applications. Soient deux applications f : E F et g : F G telle que F F. On définit l application composée g f : E G par : x E, (g f )(x)=g ( f (x) ) On a le diagramme : g F G f 8 g f E ATTENTION : ne pas confondre g f (x) et g (x) f (x)!! (cette dernière notation n ayant absolument aucun sens!!!) ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Soit f : E F une application. On a f id E f et id F f = f. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º On se donne trois applications E F On a la propriété d associativité : h (g f ) (h g ) f. f g G h H.

25 1.4. APPLICATIONS Injection, surjection, bijection Ò Ø ÓÒ ½º Soit f : E F une application. On dit que f est injective sur E (ou que f est une injection) lorsque : ou encore par contraposée : (x 1, x 2 ) E 2, f (x 1 )= f (x 2 ) = x 1 = x 2 (x 1, x 2 ) E 2, x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) Deux points distincts ont donc toujours des images distinctes. Les points de F ont au plus un antécédent par f. Rédaction : Pour monter que f est injective sur E on fixe x et x 2 éléments de E tels que f (x 1 )= f (x 2 ). On doit alors montrer que x 1 = x 2. Ò Ø ÓÒ ½º Soit f : E F une application. On dit que f est surjective de E sur F (ou que f est une surjection) lorsque : y F, x E / y = f (x) Un point de F a donc toujours au moins un antécédent dans E. Rédaction : Pour monter que f est surjective de E sur F on fixe y élément de F. On doit alors trouver au moins un x élément de E tel que f (x)= y. Ò Ø ÓÒ ½º Soit f : E F une application. On dit que f est bijective de E sur F (ou que f est une bijection) lorsque f est à la fois injective et surjective : y F,!x E / y = f (x) Un point de F a donc toujours un unique antécédent dans E. Rédaction : 1. Pour monter que f est bijective de E sur F on fixe y élément de F. On doit alors trouver un unique x élément de E tel que f (x) = y. 2. On peut aussi procéder en deux temps en montrant que f est injective, puis surjective. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Soient deux applications E f F g G. (i) Si f est injective sur E et g injective sur F, alors g f est injective sur E. (ii) Si f est surjective de E sur F et g surjective de F sur G, alors g f est surjective de E sur G. (iii) Si f est bijective de E sur F et g bijective de F sur G, alors g f est bijective de E sur G.

26 26 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES Ò Ø ÓÒ ½º Inversibilité pour la loi de composition. Soit f : E F une application. On dit qu elle est inversible pour la loi de composition lorsqu il existe une application g : F E telle que g f id E et f g id F. Dans ce cas g est unique ; elle est appelée application réciproque de f et on la note f 1. On a donc f 1 : F E, f 1 f id E et f f 1 id F. De plus pour x E et y F : f (x)= y x= f 1 (y) Ì ÓÖ Ñ ½º ¼ Théorème de la bijection réciproque. Soit f : E F une application. On a équivalence de : (i) f est bijective de E sur F ; (ii) f est inversible pour la loi de composition. L application f 1 est donc bijective de F sur E, on l appelle aussi la bijection réciproque de f. De plus, ( f 1) 1 f. On dispose donc de trois méthodes pour montrer qu une application f est bijective : 1. Montrer que f est injective et surjective. 2. Pour y F, résoudre l équation y = f (x) d inconnue x E. Si on obtient une unique solution, on montre que f est bijective. De plus, l expression obtenue donne la fonction f 1 : x = f 1 (y). 3. On cherche une fonction g : F E telle que : f g id F et g f id E. Si on trouve une telle fonction, on montre que f est bijective. De plus f 1 = g. Remarquez que les deux dernières méthodes donne aussi la fonction réciproque de f, en plus de la bijectivité. Exemple : f : x R + e x2 [1,+ [ est bijective de réciproque f 1 : y [1,+ [ ln(y) R + (utiliser 2.). Exemple : id E est bijective et id 1 E = id E (utiliser 3.). Dans le cas d une fonction définie sur un intervalle de R et à valeurs dans R, on a aussi une quatrième méthode qui repose sur le théorème suivant. Ì ÓÖ Ñ ½º ½ Théorème de la bijection monotone Soit f : I R. On suppose que : (i) I est un intervalle de R ; (ii) f est continue sur I ; (iii) f est strictement monotone sur I. Alors f induit une bijection de I sur un intervalle J, à déterminer avec le tableau de variations. Exemple : Pour n N, la fonction f : x R + xn R induit une bijection de R + sur R +.

27 1.4. APPLICATIONS 27 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º ¾ Bijection réciproque d une composée. Soient E f F g G bijectives. Alors g f est bijective et ( g f ) 1 f 1 g Fonctions caractéristiques Ò Ø ÓÒ ½º Soit A une partie d un ensemble E. On appelle fonction caractéristique de A l application : 1 A : E {0,1} { 1 si x A x 1 A (x)= 0 si x A Exemple : La fonction1 est constante égale à 0, et la fonction1 E est constante égale à 1. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Règles de calcul. Soient A, B parties de E. 1. On a : A B x E,1 A (x) 1 B (x), et : A= B x E,1 A (x)=1 B (x) ; 2. x E,1 A (x)=1 1 A (x) ; 3. x E,1 A B (x)=1 A (x) 1 B (x) ; 4. x E,1 A B (x)=1 A (x)+1 B (x) 1 A (x) 1 B (x) Images directe et réciproque Ò Ø ÓÒ ½º Soit f : E F une application. 1. Si A E, on appelle image directe de A par f l ensemble : f (A)= { f (x)/ x A } = ensemble des y F qui ont un antécédent par f dans A On a f (A) F. De plus, si y F : y f (A) x A/ y = f (x) 2. Si B F, on appelle image réciproque de B par f l ensemble : f 1 (B)= { x E / f (x) B } = ensemble des x E qui ont leur image dans B On a f 1 (B) E. De plus, si x E : x f 1 (B) f (x) B. Ü Ö ½º Vérifier que A f 1( f (A) ) et que f ( f 1 (B) ) B.

28 28 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Si f : E F est une application, alors f induit une surjection de E sur f (E ). De plus, f est surjective de E sur F si et seulement si f (E )=F. Ò Ø ÓÒ ½º Partie stable Soient f : E E une application et A E. On dit que A est stable par f lorsque f (A) A, ie x A, f (x) A. Ü Ö ½º Rechercher les intervalles stables par la fonction x x 2.

29 1.5. EXERCICES Exercices Ü Ö ½º½¼ Écrire avec les quantificateurs et les connecteurs appropriés les propositions mathématiques suivantes : 1. Il existe un rationnel compris entre 3 et Il n existe pas d entier naturel supérieur ou égal à tous les autres. 3. Si la somme de deux entiers naturels est nulle, alors ces deux entiers naturels sont nuls. Ü Ö ½º½½ Montrer que pour tout n N, si n 2 est pair, alors n est pair. Ü Ö ½º½¾ Les propositions suivantes sont-elles vraies? Sinon donner leur négation : 1. A R/ n N, n A 2. x R +, n N / 1 n x 3. x R, n N / 1 n x Ü Ö ½º½ Soit E un ensemble. Pour toutes parties A et B de E, on pose : 1. Montrer que : A B = (A\B) (B\A). A B = (A B)\(A B). 2. Soient A, B et C trois parties de E vérifiant : A B = A C. Montrer que : B = C. Ü Ö ½º½ 1. Déterminer P (E ) pour E = {a,b,c,d} ; a, b, c, d étant distincts deux à deux. 2. Déterminer P (E ) et P (P (E )) pour un ensemble à deux éléments. Ü Ö ½º½ Soient E un ensemble et A, B et C trois parties de E. 1. Montrer que : A B A B = E. { A B = A C 2. Démontrer que : B = C. A B = A C { A B = A C 3. Démontrer que : A= B = C. A B = A C Ü Ö ½º½ 1. Montrer que pour tout entier n N, on a : n! 2 n On définit une suite réelle (u n ) n N par : u 0 = u 1 = 3 et n N, u n+2 = u n+1 +2u n. Établir que : n N, u n = 2 n+1 + ( 1) n Ü Ö ½º½ On considère l application f définie par : f : R R x sin(x)+2x 1. Est-ce que l application f est injective? surjective? bijective? 2. Montrer que l équation f (x) = 2 admet une unique solution réelle, et que cette solution est strictement positive.

30 30 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES Ü Ö ½º½ On considère l application : f : R R + x x 2 1. Est-elle injective sur R? surjective de R sur R +? 2. Montrer que f R + est bijective de R + sur R + et déterminer son application réciproque f 1 R De même montrer que f R est bijective de R sur R + et déterminer son application réciproque f 1 R. 4. f est-elle injective sur N? bijective de N sur N? de Z sur N? Ü Ö ½º½ Soient E, F deux ensembles et f : E F et g : F E deux applications. 1. Montrer que si g f I d E, alors g est surjective et f est injective. 2. On suppose que g f I d E, et que l une des deux applications f ou g est bijective. Montrer que l autre est aussi bijective. 3. Monter que si g f et f g sont bijectives, alors f et g sont bijectives. Ü Ö ½º¾¼ Soient f : E F et g : E G deux applications. On considère l application suivante : h : E F G x ( f (x), g (x) ) 1. Montrer que si f ou g est injective alors h l est aussi. La réciproque est-elle vraie? 2. On suppose que f et g sont surjectives. Qu en est-il de h? Dans la recherche de contre-exemples, on pourra considérer les fonctions f : x R x 2 R + et g : x R (x 1) 2 R +. Ü Ö ½º¾½ Soient E, F deux ensembles et f : E F une application. On considère A 1 et A 2 deux parties de E et B 1 et B 2 deux parties de F. 1. Montrer que : f (A 1 A 2 )= f (A 1 ) f (A 2 ) et f (A 1 A 2 ) f (A 1 ) f (A 2 ). 2. Montrer que : f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) et f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). Ü Ö ½º¾¾ Soient E un ensemble non vide et f : P (E ) R + telle que (A,B) P (E ) 2, A B = = f (A B)= f (A)+ f (B) Démontrer les propriétés suivantes : 1. f ( )=0 2. (A,B) P(E ) 2, f (A B)= f (A)+ f (B) f (A B) 3. (A,B) P(E ) 2, A B = f (A) f (B)

31 1.5. EXERCICES 31 Ü Ö ½º¾ Soient E, F deux ensembles et f : E F une application. On considère A une partie de E et B une partie de F. a) Montrer que f ( f 1 (B) ) B et que f 1( f (A) ) A. b) On suppose f surjective. Montrer que f ( f 1 (B) ) = B. c) On suppose f injective. Montrer que f 1( f (A) ) = A. d) On suppose f bijective. Vérifier que l image réciproque de B par f est égale à l image de B par l application réciproque f 1. [C est heureux car les deux ensembles sont notés de la même manière!] Ü Ö ½º¾ Soit E un ensemble non vide. Soit F une partie non vide de P (E ).On dit que (a) (X,Y ) F 2, X Y F F est un filtre sur E si : (b) X F, Y P (E ) : X Y = Y F (c) F 1. Que peut-on dire d une famille non vide F de P (E ) ne vérifiant que les axiomes (a) et (b)? 2. P (E ) est-il un filtre sur E? A quelle condition P (E ) { } est-il un filtre sur E? 3. Montrer que si F est un filtre sur E, alors E F. 4. Soit A une partie non vide de E. Montrer que F A = {X P (E ); A X } est un filtre sur E.

32 32 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES

33 Chapitre 2 Dénombrement et calculs de sommes 2.1 Ensemble de nombres usuels Ensemble des entiers naturels : N= {0,1,2,...}. On définit des intervalles d entiers : si (n, p) N 2 tel que n p, on note n, p ={k N/n k p}. Ensemble des entiers relatifs : Z={..., 2, 1,0,1,2,...}. { p / } Ensemble des nombres rationnels : Q = p Z, q N. q Ensemble des nombres réels : R (contient strictement l ensemble D des décimaux). Les intervalles sont noté avec des crochets simples [a, b[ etc... Ensemble des nombres complexes : C={a+ ib/(a,b) R 2 }. Ils vérifient la chaîne d inclusions : N Z Q R C. La propriété d intégrité de la multiplication est fondamentale dans la résolution d équation : si a et b sont deux nombres alors ab= 0 a= 0 ou b= Ensembles finis - Dénombrement Ensembles finis Ò Ø ÓÒ ¾º½ Soit E un ensemble non vide. On dit qu il est fini lorsqu il existe un entier naturel n et une bijection ϕ : E 1,n. Le choix de n est alors unique : on l appelle le cardinal de E, noté Card(E ), #E ou encore E. On adopte aussi la convention suivante : est un ensemble fini de cardinal égal à 0. Si E est fini de cardinal n alors on peut numéroter ses éléments de 1 à n : E = {x 1, x 2,..., x n }. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾ Un exemple important Si (n, p) N 2 tel que n p, alors n, p est un ensemble fini et # n, p = p n+ 1. En particulier \lc0,n =n+ 1 et # 1,n = n. 33

34 34 CHAPITRE 2. DÉNOMBREMENT ET CALCULS DE SOMMES Ì ÓÖ Ñ ¾º Ensembles finis en bijection Soient E et F deux ensembles. On suppose que : (i) E est fini ; (ii) il existe une bijection ψ : E F. Alors F est fini et #E = #F. Ì ÓÖ Ñ ¾º Parties d un ensemble fini Soit E un ensemble fini. 1. Toute partie A de E est finie et vérifie #A #E. 2. Si A E : A= E #A= #E. ATTENTION : en général si #A #E, on ne peut pas dire que A B. Et bien sur si #A= #E, on ne peut pas dire que A= E. Ì ÓÖ Ñ ¾º Propriétés des applications entre ensembles finis Soient E et F deux ensembles finis et f : E F une application. 1. Si f est injective alors #E #F. 2. Si f est surjective alors #E #F. 3. Si #E = #F alors : f est injective f est surjective f est bijective Ò Ø ÓÒ ¾º Ensembles infinis Si E n est pas fini, on dit qu il est infini. Son cardinal est dit transfini. Les cardinaux transfinis ne sont pas tous égaux! Par exemple on peut montrer que #N<#R. Ò Ø ÓÒ ¾º Ensembles dénombrables On dit que E est dénombrable lorsqu il est en bijection avec N (dans ce cas E est infini). On dit que est au plus dénombrable lorsque E est fini ou dénombrable. Exemple : N,Z et Q sont dénombrables. R et C ne le sont pas Dénombrement des ensembles finis Ì ÓÖ Ñ ¾º Dénombrement des parties d un ensemble fini Si E est fini alors P (E ) l est aussi et #P (E )=2 #E.

35 2.2. ENSEMBLES FINIS - DÉNOMBREMENT 35 Démonstration : On note n= E. On donne trois pistes de démonstrations. Pour toute partie A de E, chaque x E vérifie x A ou x A. Donc au total 2 n choix. On peut raisonner par récurrence sur n. On peut mettre P (E ) en bijection avec {0,1} E via les fonctions indicatrices. CQFD Ä ÑÑ ¾º Lemme des bergers 1. Si A et B sont deux ensembles finis et disjoints alors A B est fini et #(A B)=#A+#B. 2. Si A 1,..., A n sont des ensembles finis et deux à deux disjoints : #(A 1 A 2 A n )= #A 1 + #A 2 + +#A n. Ì ÓÖ Ñ ¾º½¼ Cas général Si A et B sont deux ensembles finis et disjoints alors A B et A B sont finis et : #(A B)=#A+ #B #(A B) ÓÖÓÐÐ Ö ¾º½½ Cardinal du complémentaire Si E est fini et A est une partie de E alors : #A= #E #A. Ì ÓÖ Ñ ¾º½¾ Cardinal d un produit cartésien Si E et F sont finis alors E F est fini et #(E F )=(#E ).(#F ) (le point désigne la multiplication des nombres) Dénombrement des applications entre ensembles finis Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Si E et F sont deux ensembles finis alors F E est fini et #F E = (#F ) #E. Exemple : Si n= #E alors # ( {0,1} E) = 2 n. Ò Ø ÓÒ ¾º½ Si #E = p on appelle p-liste d éléments de F toute application de E dans F. Si E = 1, p, une p-liste est un p-uplet. Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Dénombrement des p-listes Le nombre de p-listes d éléments de F est égal à (#F ) p.

36 36 CHAPITRE 2. DÉNOMBREMENT ET CALCULS DE SOMMES Ce résultat est donc aussi valable pour les p-uplets d éléments de F. On va maintenant dénombrer les applications injectives. Pour cela, commençons par redéfinir la notion de factorielle d un entier naturel. Ò Ø ÓÒ ¾º½ Factorielle Si n N, on pose n!=1 2 3 n. On adopte aussi la convention 0!=1. Ainsi n! est définie pour tout n N. Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Dénombrement des applications injectives Soient E et F deux ensembles finis. (#F )! 1. Si #E #F, il y a au total applications injectives sur E à valeurs dans F. (#F #E )! 2. Si #E > #F, il y n a aucune application injective sur E à valeurs dans F. Ò Ø ÓÒ ¾º½ Arrangements Si E et F sont deux ensembles finis tels que #E = p et #F = n, avec p n, on appelle arrangement de E dans F toute application injective sur E à valeurs dans F. Si E = 1, p, un arrangements de E dans F est un p-uplet d éléments de F dont les composantes sont deux à deux distinctes. Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Dénombrement des arrangements Le nombre d arrangements de E dans F est égal à : A p n = { avec n= #F et p = #E. n (n 1) (n 2) (n p+ 1)= n! si n p (n p)! 0 si n< p ÓÖÓÐÐ Ö ¾º¾¼ Dénombrement des bijections Si #E = #F alors le nombre de bijections de E sur F est égal à (#E )!. Si #E #F alors il n existe pas de bijection de #E sur #F. Ò Ø ÓÒ ¾º¾½ Permutations On appelle permutation de E toute bijection de E sur E. Ì ÓÖ Ñ ¾º¾¾ Dénombrement des permutations Si E est fini de cardinal n, le nombre de permutations de E est égal à n!.

37 2.2. ENSEMBLES FINIS - DÉNOMBREMENT Coefficients binômiaux Ò Ø ÓÒ ¾º¾ Coefficients binômiaux ( ) Soient (n, p) N 2 n n! tel que p 0,n. On pose = p p!(n p)! = A p n p!. ( ) n se lit «p parmi n». La notation C p n n est plus utilisée aujourd hui. p Si (n, p) Z 2 et( que ) l une des deux conditions n 0 ou p 0,n n est pas vérifiée on adopte n la convention = 0. p Nous allons voir que ces nombres interviennent dans de très nombreuses formules. Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ Nombre de parties à p éléments Soit E un ensemble fini de cardinal n. Pour tout p 0,n, le nombre de parties de E à p éléments est égal à ( n p). Ò Ø ÓÒ ¾º¾ Combinaisons Si E est un ensemble fini et p N, on appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E dont le cardinal est égal à p. Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ Dénombrement des combinaisons ( Si E) est fini de cardinal n et p N, le nombre de combinaisons à p éléments de E est égal à n (la formule est vraie même si n< p). p ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾ Règles de calcul Soient n N et p 0,n. ( ) ( ) n 1. Factorisation : si p 0, = n n 1. p p p 1 ( ) ( ) ( ) n n n Addition ou formule de Pascal : + =. p p+ 1 p+ 1 ( ) ( ) n n 3. Symétrie : =. p n p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n(n 1) n 4. = 1=, = n= et = =. 0 n 1 n n 2

38 38 CHAPITRE 2. DÉNOMBREMENT ET CALCULS DE SOMMES En pratique on peut calculer les ( n p) à l aide de leur définition avec des factorielles : ( ) 20 Exemple : 3 = ( ) n n! = p p!(n p)! = n (n 1) (n p+ 1) p! = =1140. Pour de petites valeurs de n la formule de factorisation permet de construite le triangle de Pascal. Dans un tableau ( ) dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0, n on place la valeur de à l intersection de la ligne n et la colonne p. La formule de Pascal p donne que la somme de deux coefficients consécutifs sur la même ligne (colonnes p et p+1), donne le coefficient situé sur la ligne suivante,colonne p+ 1. Au départ on part d un tableau avec des 1 sur la colonne 0 et sur la diagonale Exemple : ( ) 6 et on en déduit = donne ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾ Les coefficients binômiaux sont des nombres entiers naturels Pour tout (n, p) Z 2, ( n p) N Techniques de dénombrement Pour bien dénombrer les éléments d un ensemble fini E il faut : - ne compter que les éléments de E ; - ne pas en oublier ; - ne pas compter plusieurs fois le même élément, ou penser à rectifier le résultat final. Si on dénombre des objets en les décrivant par étapes successives (pour une carte : on choisit sa couleur puis sa hauteur), il faut à la fin multiplier les résultats. Si on dénombre par disjonction des cas, il faut à la fin additionner les résultats (c est le lemme des bergers). p-listes : si on choisit p éléments dans un ensemble à n éléments, avec répétition autorisée, l ordre des tirages étant pris en compte, alors on a n p possibilités au total. Exemple : Nombre de coloriages possibles d une carte des 27 pays de l UE, avec 4 couleurs = 4 27.

39 2.2. ENSEMBLES FINIS - DÉNOMBREMENT 39 Exemple : Nombre de tirages successifs avec remise de p boules dans une urne de n boules = n p. Arrangements : si on choisit p éléments dans un ensemble à n éléments, sans répétition, l ordre des tirages étant pris en compte, alors on a A p n possibilités au total. Exemple : Nombre de coloriages possibles d une carte des 27 pays de l UE, avec 40 couleurs, de telle sorte que chaque pays ait une couleur différente de celle des autres = A Exemple : Nombre de tirages successifs sans remise de p boules dans une urne de n boules = A p n. Combinaisons : si on choisit p éléments dans un ensemble ( ) à n éléments, sans répétition, n l ordre des tirages n étant pas pris en compte, alors on a possibilités au total. p ( ) Exemple : Nombre d équipes de football possibles dans une classe de 45 élèves = ( ) n Exemple : Nombre de tirages simultanées de p boules dans une urne de n boules =. p Le cas du choix de p éléments dans un ensemble à n éléments, avec répétition, l ordre des tirages n étant pas pris en compte, n est pas au programme. Permutations : si on permute n éléments, alors on a n! possibilités au total. Exemple : Nombre de façons de ranger 10 manteaux dans une penderie = 10!. Situations plus complexes : On dispose d une urne de n boules dont n 1 sont noires et n 2 sont blanches. On tire p boules dans cette urne. Le nombre de tirages différents donnant p 1 blanches et p 2 noires (p( 1 + )( p 2 = ) p) qu on peut obtenir est : n 1 p 1 n 2 p 2 si les boules sont tirées simultanément ; } {{ } Choix des boules ( ) A p 1 n 1 A p 2 p n } {{ } 2 si les boules sont tirées successivement et sans p 1 Choix des boules }{{} Choix des tirages remise ; ( ) n p p 1 1 np 2 2 si les boules sont tirées successivement et avec } {{ } p 1 Choix des boules }{{} Choix des tirages remise. On dispose d une urne de n boules dont n 1 sont noires, n 2 sont blanches et n 3 sont rouges. On tire p boules dans cette urne. Le nombre de tirages différents donnant p 1 noire, p 2 blanches et p 3 rouges (p 1 + p 2 + p 3 = p) qu on peut obtenir est :

40 40 CHAPITRE 2. DÉNOMBREMENT ET CALCULS DE SOMMES ( n 1 p 1 )( n 2 p 2 )( n 3 p 3 ) } {{ } Choix des boules A p 1 n 1 A p 2 n 2 A p 3 n } {{ } 3 Choix des boules remise ; n p 1 1 np 2 2 np 3 3 } {{ } Choix des boules si les boules sont tirées simultanément ; ( p p 1 )( ) p p 1 p 2 } {{ } Choix des tirages ( p p 1 )( ) p p 1 p 2 } {{ } Choix des tirages remise. Etc... Ces formules se généralisent facilement. si les boules sont tirées successivement et sans si les boules sont tirées successivement et avec 2.3 Calculs de sommes et de produits Sommes Ò Ø ÓÒ ¾º¾ Symbole Σ Soient a 0, a 1,..., a n des nombres complexes. On pose : Si p 0,n, on pose aussi : n a k = a p + a p a n. k=p n a k = a 0 + a 1 + +a n. Plus généralement si (a i ) i I est une famille finie de nombres complexes (ie I est fini), on pose : i I a i = somme de tous les nombres de la famille (a i ) i I. Dans le cas où I =, on adopte la convention : i I a i = 0. k=0 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º ¼ Règles de calcul Soient (a i ) i I et (b i ) i I deux familles finies de nombres complexes. 1. Factorisation. Si λ C : (λ a i )=λ a i. i I i I 2. Linéarité. (a i + b i )= a i + b i. i I i I i I 3. Sommation par paquet. Si I = I 1 I 2 avec I 1 I 2 = alors a i = a i + a i. i I i I 1 i I 2 4. Relation de Chasles. Si I = p,n et q I : n a k = k=p q a k + k=p n k=q+1 a k = 5. Changements d indice. L indice de la somme est une variable muette : a i = a i = n n n a k ou encore a k = a j = a i. i I j I k I k=p j=p i=p q 1 k=p a k + n a k. k=q

41 2.3. CALCULS DE SOMMES ET DE PRODUITS 41 De plus on peut décaler les indices. Si on fixe q Z, et si on pose j = k+ q : n a k = k=p n+q a j q j=p+q Sommes usuelles à connaître Sommes télescopiques. Pour toute famille (a k ) p k n+1 de nombres complexes : n (a k+1 a k )= a n+1 a 0. k=p Sommes à terme général constant. Pour tout a C : a. Sommes arithmétiques. On a : n k = k=0 n a= (n p+1)a= (nb de termes) k=p n n(n+ 1) k = n=. 2 n n Sommes d Euler. On a : k 2 = k 2 = n 2 n(n+ 1)(2n+ 1) = k=0 k=1 6 ( ) n n n(n+ 1) 2 et k 3 = k 3 = n 3 =. 2 k=0 k=1 Sommes géométriques. On a : k=1 { n n+ 1 si q = 1 q k = 1+ q+ q q n = 1 q n+1 si q 1. 1 q k= Formule du binôme de Newton C est la formule la plus importante! Commençons par rappeler la convention suivante : si z C on pose z 0 = 1. En particulier 0 0 = 1. Ì ÓÖ Ñ ¾º ½ Formule du binôme Si a et b sont deux nombres complexes : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n N, (a+ b) n n n = a k b n k n = b k a n k n = a 0 b n n + a 1 b n 1 n + + a n b 0 k k 0 1 n k=0 k=0 Exemple : Grâce au triangle de Pascal on calcule les donne : ( ) n k

42 42 CHAPITRE 2. DÉNOMBREMENT ET CALCULS DE SOMMES (a+ b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2, (a+ b) 3 = a 3 + 3a 2 b+ 3ab 2 + b 3, et (a+ b) 4 = a 4 + 4a 3 b+ 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4. ÓÖÓÐÐ Ö ¾º ¾ Cas ( particuliers ) à ( connaître ) { n n n Pour tout n N : = 2 n n 1 si n= 0 et ( 1) k = 0 n = k k 0 si n 1 k=0 k=0 n [ Ü Ö ¾º½ Soit n N. Calculer (k+1) 3 k 3] n et en déduire que k 2 n(n+ 1)(2n+ 1) =. 6 k=0 k= Sommes doubles Si (x i j ) 1 i n 1 j p est un «tableau» de nombres à n lignes et p colonnes on note : 1 i n 1 j p Visualisons le tableau : x i j = somme de tous les nombres du tableau x 11 x x 1j... x 1p x 21 x x 2j... x 2p x i 1 x i 2... x i j... x i p x n1 x n2... x n j... x np Nous avons encadré la ligne i et la colonne j. Notons S i la somme partielle des nombres de p n la ligne i : S i = x i j ; et notons T j la somme des nombres de la colonne T j : T j = x i j. j=1 Il est clair que la somme des sommes partielles obtenues pour chaque ligne (resp. chaque colonne) donne la somme de tous les nombres du tableau. On en déduit le théorème suivant sur les sommes doubles. i=1 Ì ÓÖ Ñ ¾º Théorème de Fubini On a : 1 i n 1 j p x i j = = ( n n p S i = i=1 p T j = j=1 i=1 p j=1 ) x i j j=1 ( ) n x i j i=1

43 2.3. CALCULS DE SOMMES ET DE PRODUITS 43 et plus généralement : i I j J x i j = S i = i I i I = T j = j J j J ( ) x i j j J ( ) x i j i I Dans un calcul, on peut donc permuter deux signes Σ consécutifs. Examinons maintenant le cas plus complexe d un tableau triangulaire (x i j ) 1 j n à n lignes j i n et n colonnes. On note : x i j = somme de tous les nombres de ce tableau Visualisons le : 1 j i n x 11 x 21 x x j 1 x j 2... x j j x i 1 x i 2... x i j... x i i x n1 x n2... x n j... x ni... x nn Encore une fois, nous avons encadré la ligne i et la colonne j. Si S i est la somme partielle des nombres de la ligne i : S i = T j = n i= j i j=1 x i j ; si T j est la somme des nombres de la colonne j : x i j. Avec même raisonnement que ci-dessus on obtient le théorème suivant. Ì ÓÖ Ñ ¾º Théorème de Fubini On a : 1 j i n x i j = = n n i S i = x i j i=1 i=1 j=1 p T j = j=1 n j=1 n i= j x i j

44 44 CHAPITRE 2. DÉNOMBREMENT ET CALCULS DE SOMMES Nous allons maintenant ( voir( une formule ) pour calculer le produit de deux sommes. Malheureusement a i ) b i a i b i! i I i I i I Le théorème suivant donne la bonne formule. Remarquons que le résultat est une somme double. Ì ÓÖ Ñ ¾º Produit de deux sommes Si (a i ) i I et (b j ) j J sont deux familles finies de nombres complexes, on a : ( ( ) a i ) b j = ( ) a i b j = ( ) a i b j i I j J i I j J j J i I Généralisation des formules de dénombrement Certaines formules de dénombrement se généralisent grâce aux symboles Σ. Ì ÓÖ Ñ ¾º Lemme des bergers Si E est un ensemble fini et (A i ) i I est une famille finie de parties de E, deux à deux disjointes, alors : ( ) # A i = #A i i I i I Dans le cas de parties qui ne sont pas deux à deux disjointes on a le résultat suivant. Ì ÓÖ Ñ ¾º Formule du crible de Poincaré Si A 1,..., A n sont des parties d un ensemble fini E : ( ( n n # A k )= ( 1) k 1 k=1 k=1 1 i 1 <i 2 < <i k n # ( A i1 A i2 A ik ) ) Exemple : Pour n= 2 on retrouve la formule : #(A B)=#A+ #B #(A B). Pour n= 3 on a : #(A B B)=#A+ #B+ #C #(A B) #(A C ) #(B C )+#(A B C ). Pour n= 4 : #(A B C D)=#A+ #B+ #C+ #D #(A B) #(A C ) #(A D) #(B C ) #(B D) #(C D)+#(A B C )+#(A B D)+#(A C D)+#(B C D) #(A B C D). Etc... Remarquez l alternance de signe entre les groupements de termes. Il y a un cas particulier «simple» où l on sait calculer la somme de droite dans la formule du crible : si # ( ) A i1 A i2 A ik est une constante αk qui ne dépend que de k (et pas ( du ) n choix des valeurs de (i 1,i 2,...,i k ). En remarquant que la somme comporte 1 i 1 <i 2 < <i k n k termes on obtient : # ( ( ) ) n A i1 A i2 A ik = nombre de termes αk = α k k 1 i 1 <i 2 < <i k n

45 2.3. CALCULS DE SOMMES ET DE PRODUITS 45 et donc : ( n # A k )= k=1 k=1 ( ) n ( 1) k 1 n k α k Exemple : On appelle dérangement de 1,n toute permutation qui ne laisse fixe aucun élément. On note d n le nombre de ces dérangements. Alors : n ( 1) k d n = n! k! k= Produits Ò Ø ÓÒ ¾º Symbole Π Soient a 0, a 1,..., a n des nombres complexes. On pose : n a k = a 0 a 1 a n. Plus généralement si (a i ) i I est une famille finie de nombres complexes (ie I est fini), on pose : i I a i = produit de tous les nombres de la famille (a i ) i I. Dans le cas où I =, on adopte la convention : i I a i = 1. k=0 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º Règles de calcul Soient (a i ) i I et (b i ) i I deux familles finies de nombres complexes. 1. Factorisation. Si λ C : (λ a i )=λ #I a i. i I i I ( ( 2. i I 3. Etc... (a i b i )= a i ) i I b i ). i I La seule formule à connaître est la suivante. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º ¼ Π et factorielle n Si n N, on a : k = n!. k=1 Les symboles Σ et Π sont liés l un à l autre par les fonctions ln et exp. On a en effet les formule suivantes.

46 46 CHAPITRE 2. DÉNOMBREMENT ET CALCULS DE SOMMES Ì ÓÖ Ñ ¾º ½ Liens entre Σ et Π 1. Si a,b> 0, on a ln(a b)= ln(a)+ln(b), et si (a,b) R 2, on a e a+b = e a e b. ( ) 2. Plus généralement, si (a i ) i I famille finie de nombre réels : exp a i = e a i, ( ) i I i I et si les (a i ) i I sont strictement positifs : ln a i = ln(a i ). i I i I

47 2.4. EXERCICES Exercices Ü Ö ¾º¾ Combien de numéros de téléphone peut-on attribuer en France, sachant que : L indicatif de région est 01, 02, 03, 04 ou 05. Les deux chiffres suivant doivent être distincts. De nouveaux numéros "internet" sont disponibles, commençant tous par 08. Ü Ö ¾º Un étudiant en ECS veut colorier ses notes de cours en attribuant la même couleur pour chaque matière : histoire, géographie, culture générale, mathématiques, informatique, LV1 et LV2. Il dispose de 10 couleurs différentes. 1. Combien y a-t-il de coloriages possibles? 2. Combien y a-t-il de coloriages, de sorte que chaque matière ait une couleur différente des autres? 3. On choisit autant de couleurs différentes qu il y a de matières. Combien y a t-il de coloriages possibles en utilisant seulement ces couleurs? De sorte que chaque matière ait une couleur différente des autres? 4. Combien y a-t-il de coloriages, de sorte qu au moins deux matières aient la même couleur? 5. Combien y a-t-il de coloriages, de sorte qu exactement deux matières aient la même couleur? Ü Ö ¾º Dans une urne, on place n boules blanches et une noire. On tire simultanément k boules. 1. Combien y-a-t-il de tirages sans boule noire. 2. Combien y-a-t-il de tirages avec au moins une boule noire? 3. Combien y-a-t-il de tirages possibles en tout? Quelle propriété du cours venez-vous de démontrer? Ü Ö ¾º On dispose d une urne avec 8 boules blanches, 7 boules noires et 5 boules vertes. 1. Quel est le nombre de tirages simultanés de 5 boules donnant 2 blanches, 1 noire et 2 vertes? 2. Quel nombre de tirages successifs et sans remise de 5 boules donnant 2 blanches, 1 noire et 2 vertes? 2 blanches, 1 noire et 2 vertes dans cet ordre? 3. Mêmes questions avec des tirages successifs et avec remise de 5 boules dans l urne. Ü Ö ¾º Soit E un ensemble de cardinal n. 1. Combien y-a-t-il de parties de E formées de k éléments? 2. Combien y-a-t-il de k-uplets d éléments de E? 3. Combien y-a-t-il de k-uplets d éléments deux à deux distincts de E? 4. Combien y-a-t-il de k-uplets d éléments deux à deux distincts de E, tel que le premier élément est le plus petit et le dernier élément est le plus grand? 5. Combien y-a-t-il de k-uplets d éléments de E ordonnés dans l ordre strictement croissant? Ü Ö ¾º

48 48 CHAPITRE 2. DÉNOMBREMENT ET CALCULS DE SOMMES 1. Combien d anagrammes peut-on former avec les lettres du mot ECS? du mot FINANCE? du mot ANAGRAMME? 2. Combien y a-t-il de mots composés de 5 lettres? de 5 lettres distinctes? de 5 lettres distinctes dans l ordre alphabétique? de 5 lettres et de sorte qu il soit un palindrome? Ü Ö ¾º Soit (n, p) N. On note S p n le nombre de surjections d un ensemble à p éléments sur un ensemble à n éléments. 1. Calculer S 4 1, S1 4 et S Plus généralement calculer S p 1, S1 n et Sn n. Ü Ö ¾º Dans une classe il y a autant de filles que de garçons. Tous les éléves étudient au moins une langue. Parmi eux : 10 étudient l espagnol, 15 étudient l allemand, 20 étudient l anglais, 7 étudient l espagnol et l allemand, 8 étudient l allemand et l anglais, 9 étudient l anglais et l espagnol. Quel est l effectif de la classe? Ü Ö ¾º½¼ Un joueur de poker reçoit une "main" de 5 cartes d un jeu de 32 cartes (sans joker). Donner le nombre total de mains différentes que le joueur peut obtenir. Quel est le nombre de mains contenant : 1. une seule paire? 2. deux paires? 3. un brelan? 4. un carré? 5. un full? 6. une couleur? 7. une paire de roi? 8. au moins un coeur? Ü Ö ¾º½½ Calculer les sommes suivantes, pour tout entier n N (éventuellement non nul) : ( ) ( ) n n n n n n n n i n n n k 1, 1, +, (i+j ), 1, k, (2k+ 1), k+ 1. k=1 i=1 j=1 i i=1 j j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 Ü Ö ¾º½¾ Calculer les sommes et produits suivant, pour tout entier n N (éventuellement non nul) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n 1 ( 1 n n n n 1 n n,, k,, k 2 n n, ln 1+ 1 ) n 1, k k k k+ 1 k k k k(k+ 1). k=1 k=0 3 k k=0 k=0 Ü Ö ¾º½ Soient n et p deux entiers naturels tels que n p. Calculer la somme : ( )( ) p n n i i=0 i p i Ü Ö ¾º½ Soit n N. Calculer les sommes : k=0 k=1 k=1 k=0 k=1 k=1 1. n n j j=1i=j i 2. 1 j <i n i j Ü Ö ¾º½ Soit n N. On considère les sommes ( ) ( ) n n n A n =, B n = ( 1) k n, S n = k k k=0 k=0 1. Calculer A n et B n en fonction de n. 0 2k n ( ) n 2k, T n = ( n 0 2k+1 n 2k+ 1 ).

49 2.4. EXERCICES En déduire S n et T n en fonction de n. ( ) n 2n 3. Déterminer. 2k k=0 Ü Ö ¾º½ Soit (n, p) N. On note S p n le nombre de surjections d un ensemble à p éléments sur un ensemble à n éléments. 1. On pose E = 1, p et F = 1,n. On note S(E,F ) l ensemble des surjections de E dans F. Donner une relation simple entre S(E, F ) et les ensembles A k = {f : E F / k n a pas d antécédent par f }, où k F. 2. En déduire, en utilisant la formule du crible de Poincaré que : ( ) n S p n = ( 1) n k n k p k Ü Ö ¾º½ k=0 1. On( considère ) deux suites de nombres réels (f n ) n N et (g n ) n N vérifiant : n N, f n = n n g k. k=0 k Montrer par récurrence la relation réciproque suivante : ( ) n n N, g n = ( 1) n k n f k k 2. On appelle dérangement de n éléments une permutation où les n éléments changent de place, et on note d(n) le nombre de dérangements de n éléments. Vérifier que : n!= k=0 ( ) n n d(n k). En déduire la valeur de d n en fonction de n. k k=0 Ü Ö ¾º½ Soit E un ensemble de cardinal n. 1. Combien y-a-t-il de couples (A,B) de parties de E tels que A B =? tels que A B = E? 2. Combien y-a-t-il de triplets (A, B,C ) de parties de E tels que A B C = E?

50 50 CHAPITRE 2. DÉNOMBREMENT ET CALCULS DE SOMMES

51 Chapitre 3 Nombres complexes 3.1 Propriétés des nombres complexes Construction rapide de C Dans R, l équation x 2 = 1 n a pas de solution. On va donc construire un ensemble C, contenant R, et dans lequel cette équation a des solutions. On se place dans R 2 munit des opérations : (a 1,b 1 )+(a 2,b 2 )=(a 1 + a 2,b 1 + b 1 + b 2 ) et (a 1,b 1 ) (a 2,b 2 )=(a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + a 2 b 1 ) De plus on identifie a R avec (a,0) R 2 : a = (a,0). Alors si i = (0,1), on a i 2 = ( 1,0)= 1. On a donc donné une solution à l équation x 2 = 1 et on peut poser : C= { z = (a,b)/(a,b) R 2} De plus on remarque que si (a,b) R 2, a+ib= (a,0)+(0,1) (b,0)=(a,0)+(0,b)=(a,b), donc : C= { z = a+ ib/(a,b) R 2} On a R C et on peut démontrer que les règles de calcul sont les mêmes que dans R. Les éléments de C sont appelés nombres complexes, ceux de C\R sont appelés nombres complexes purs, et ceux de ir= { ib/b R } nombres complexes imaginaires purs. On a les identités remarquables, pour z 1, z 2 C : (z 1 + z 2 ) 2 = z1 2+ z z 1z 2 et (z 1 z 2 ) 2 = z1 2+ z2 2 2z 1z 2 ; z1 2 z2 2 = (z 1+ z ( 2 ) (z ) 1 z 2 ) et z1 2 + z2 2 = (z 1+ i z 2 ) (z 1 i z 2 ) ; (z 1 + z 2 ) n = n k=0 n k z k 1 zn k 2 ; z n 1 zn 2 = (z 1 z 2 ) ( z n z n 2 1 z 2 + z n 3 1 z z 1z n z n 1 2 ) n 1 = (z1 z 2 ) k=0 z k 1 zn 1 k Notions de base Ò Ø ÓÒ º½ Parties réelles et imaginaires Si z = a+ ib C avec (a,b) R 2, alors le choix des réels a et b est unique. a est appelé partie réelle de z, notée Re(z), et b est appelée partie imaginaire de z, notée I m(z). On a donc Re(z) R, I m(z) R et z = Re(z)+i I m(z) 51

52 52 CHAPITRE 3. NOMBRES COMPLEXES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Règles de calcul Soient z 1, z 2,..., z n C. 1. Re(z 1 + z 2 )=Re(z 1 )+Re(z ( 2 ) et I m(z 1 + z 2 )=I( m(z 1 )+I m(z 2 ) n n n n Plus généralement : Re z k )= Re(z k ) et I m z k )= I m(z k ). 2. z 1 = z 2 k=1 { Re(z1 )=Re(z 2 ) I m(z 1 )=I m(z 2 ) 3. Si λ R : Re(λ z 1 )=λ Re(z 1 ) et I m(λ z 1 )=λ I m(z 1 ). k=1 4. Re(z 1 z 2 )=Re(z 1 )Re(z 2 ) I m(z 1 )I m(z 2 ) et I m(z 1 z 2 )=Re(z 1 )I m(z 2 )+Re(z 2 )I m(z 1 ). 5. z R I m(z)=0 et z ir Re(z)=0. ( ) ( 1 Re(z) 1 6. Si z 0 : Re = z Re(z) 2 +I m(z) 2 et I m z k=1 ) = k=1 I m(z) Re(z) 2 +I m(z) 2. Par contre Re(z 1 z 2 ) Re(z 1 ) Re(z 2 ), I m(z 1 z 2 ) I m(z 1 ) I m(z 2 ) et si λ C\R, Re(λ z) λ Re(z), I m(λ z) λ I m(z). Ò Ø ÓÒ º Conjugué Si z C, on définit le conjugué de z : z = Re(z) i I m(z). On a donc : Re(z)=Re(z) et I m(z)= I m(z). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Règles de calcul Soient z 1, z 2,..., z n C. 1. z 1 = z Re(z 1 )= 1 2 (z 1+ z 1 ) et I m(z 1 )= 1 2i (z 1 z 1 ). 3. z 1 R z 1 = z 1 et z 1 ir z 1 = z 1. ( ) z1 4. z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 et = z 1. z 2 z 2 n n n n Plus généralement z k = et z k = z k. k=1 z k k=1 k=1 De plus : si λ R, λz 1 = λz 1 et si n N, z n 1 = z 1 n. 5. z z 1 = Re(z 1 ) 2 +I m(z 1 ) 2 R +. k=1 Ò Ø ÓÒ º Module Pour z C, on pose z = Re(z) 2 +I m(z) 2 = zz.

53 3.1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES COMPLEXES 53 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Règles de calcul Soient z 1, z 2,..., z n C. 1. Dans R, valeur absolue et module coïncident. 2. I m(z1 ) z1 ) et Re(z1 ) z1. 3. z1 = z1 = z z 1 0 et z 1 =0 z 1 = 0. De plus : z 1 = z 1 z 1 R z 1 z 2 = z 1 z 2 donc si λ R +, λz 1 =λ z 1. Pour tout n N : z n = z n. 6. Si z 2 0 : z 1 = z 1 z 2. z 2 Attention : en général z 1 +z 2 z 1 + z 2. Par contre il faut connaître le calcul suivant : z 1 + z 2 2 = (z 1 + z 2 ) (z 1 + z 2 )= z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 1 z 2 + z 2 z 2 = z z Re ( z 1 z 2 ) On aussi l encadrement suivant. Ì ÓÖ Ñ º Inégalité triangulaire Si z 1, z 2 C, on a : z1 z 2 z1 + z 2 z 1 + z 2 n n Plus généralement si z 1, z 2,..., z n C : z k z k. k=1 k= Rappels de trigonométrie ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Propriétés de symétrie 1. x R, 2. x R, sin(x+ 2π)=sin(x) et cos(x+ 2π)=cos(x) k Z, sin(x+ 2kπ)=sin(x) et cos(x+ 2kπ)=cos(x) sin( x)= sin(x) et cos( x)=cos(x) ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Valeurs remarquables x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 sin(x) 0 1/2 2/2 3/2 1 cos(x) 1 3/2 2/2 1/2 0

54 54 CHAPITRE 3. NOMBRES COMPLEXES Pour retrouver ces valeurs ont peut se rappeler que : 0 0= 4, = 4, 2 = 4, 2 = et 1= 4 4. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½¼ Formules de bases 1. x R, sin 2 (x)+cos 2 (x)=1 ( 2. x R, sin x+ π ) ( = cos(x) et cos x+ π ) = sin(x) x R, sin(x+ π)= sin(x) et cos(x+ π)= cos(x) sin(π x)=sin(x) et cos(π x)= cos(x) 4. sin(x)=0 x = 0 [π] k Z/ x = kπ cos(x)=0 x = π 2 [π] k Z/ x = π 2 + kπ Toutes ces formules se retrouvent aisément à l aide du cercle trigonométrique! ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½½ Formules fondamentales 1. x R, 2. x R, cos(a+ b)=cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) cos(a b)=cos(a) cos(b)+sin(a) sin(b) sin(a+ b)=sin(a) cos(b)+sin(b) cos(a) sin(a b)=sin(a) cos(b) sin(b) cos(a) cos(2x)=cos 2 (x) sin 2 (x)=2 cos 2 (x) 1=1 2 sin 2 (x) sin(2x)=2 sin(x) cos(x) donc cos 2 (x)= 1+cos(2x) 2 et sin 2 (x)= 1 cos(2x) 2 Ces formule se retrouvent à l aide de l exponentielle complexe.

55 3.1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES COMPLEXES 55 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½¾ Formules de transformation (cos(a+ b)+cos(a b) ) 1. (a,b) R 2, cos(a) cos(b)= 1 2 sin(a) sin(b)= 1 (cos(a b) cos(a+ b) ) 2 sin(a) cos(b)= 1 (sin(a+ b)+sin(a b) ) 2 ( p+ q ) ( p q ) 2. (p, q) R 2, cos(p)+cos(q)=2 cos cos 2 2 ( p+ q ) ( p q ) cos(p) cos(q)= 2 sin sin 2 2 ( p+ q ) ( p q ) sin(p)+sin(q)=2 sin cos 2 2 ( p+ q ) ( p q ) sin(p) sin(q)=2 cos sin 2 2 { p = a+ b On passe de 1. à 2. à l aide des formules q = a b { p+q a= 2 b= p q 2. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ Fonctions tangentes et cotangentes { π / 1. D tan = R\ 2 + kπ { / D cotan = R\ kπ } k Z } k Z = { = { x R / x R x π } 2 [π] / } x 0 [π] 2. x D tan, tan(x)= sin(x) et x D cotan, cotan(x)= cos(x) cos(x) sin(x) [ π ] si x 0, cotan(x)= 1 (x+ 2 tan(x) = tan π ) 2 3. x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 tan(x) 0 1/ x R, k Z, tan(x+ kπ)=tan(x) et tan( x)= tan(x) 5. Si a,b, a+ b D tan : tan(a+ b)= tan(a)+tan(b) 1 tan(a) tan(b) ; si a,b, a b D tan : tan(a b)= tan(a) tan(b) 1+tan(a) tan(b) ; si a,2a D tan : tan(2a)= 2 tan(a) 1 tan 2 (a) ( ) θ 6. Si θ π [2π] et si t = tan, on a les formules de l angle moitié : 2 sin(θ)= 2t 2 1 t, cos(θ)= 1+ t 2 1+ t 2 et tan(θ)= 2t 1 t 2

56 56 CHAPITRE 3. NOMBRES COMPLEXES Forme trigonométrique d un nombre complexe Ò Ø ÓÒ º½ Argument Soit z C. On munit le plan d un repère orthonormé direct (0; i, j ). On appelle argument de z tout mesure (définie modulo 2π) de l angle ( i, OM) où M est le point d affixe z (ie de coordonnées (Re(z),I m(z))). On le note Arg(z). Ò Ø ÓÒ º½ Exponentielle complexe Pour tout θ R, on pose e iθ = cos(θ)+i sin(θ). On définit ainsi la fonction exponentielle sur ir. Ò Ø ÓÒ º½ Forme ( trigonométrique ) Si z C, on a z = z cos(arg(z))+i sin(arg(z)) = z e iarg(z). On dit qu on a mis le nombre complexe z sous forme trigonométrique. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ Règles de calcul pour l argument Soient z 1, z 2 C. 1. Forme trigonométrique Forme algébrique. z 1 = z 1 cos(arg(z 1 )) + i z } {{ } 1 sin(arg(z 1 )) } {{ } =Re(z 1 ) =I m(z 1 ) 2. Forme trigonométrique Forme algébrique. cos(arg(z 1 ))= Re(z 1) et sin(arg(z 1 ))= I m(z 1) z 1 z 1 { z 1 = z 2 3. z 1 = z 2 Arg(z 1 )=Arg(z 2 ) [2π] 4. Arg ( z 1 ) = Arg(z1 ) [2π] 5. Arg(z 1 z 2 )=Arg(z 1 )+Arg(z 2 ) [2π] 6. Arg( z1 z 2 )=Arg(z 1 ) Arg(z 2 ) [2π] 7. n Z, Arg(z n )=n Arg(z) [2π]

57 3.1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES COMPLEXES 57 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ Règles de calcul pour l exponentielle complexe Si θ 1, θ 2 R e iθ1 0 et e iθ = e iθ 1 = e iθ 1 = cos(θ 1 ) i sin(θ 1 ) 1 ( ) 2. e iθ 1 =1 et Arg e iθ 1 = θ1 [2π] 3. e i (θ 1+θ 2 ) = e iθ 1 e iθ 2 et e i (θ 1 θ 2 ) = eiθ 1 e iθ 2 4. n Z, e i nθ 1 = ( e iθ 1 ) n 5. x e i x est 2π-périodique, ie x R, k Z, e i (x+2kπ) = e i x 6. e iθ 1 = e iθ 2 eq θ 1 = θ 2 [2π] et en particulier e iθ 1 = 1 θ 1 = 0 [2π] 7. Formules d Euler. cos(θ 1 )= eiθ 1 + e iθ 1 et sin(θ 1 )= eiθ 1 e iθ 1 2 2i 8. Formule de ( De Moivre. ) n ( n Z, cos(θ)+i sin(θ) = e iθ ) n = e i nθ = cos(nθ)+i sin(nθ) 9. Factorisation de l angle ( moyen. e i x + e i y = 2e i x+y x y ) 2 cos et 2 ( e i x e i y = 2ie i x+y x y 2 sin 2 ) Exemple : Pour x R et n Z, simplifier cos(x+ nπ) et sin(x+ nπ) Applications des formules de De Moivre et d Euler Les formules de De Moivre et du binôme de Newton donnent : n N, θ R, cos(nθ)+i sin(nθ)= ( cos(θ)+i sin(θ) ) ( ) n n n = cos n k (θ)i k sin k (θ) k d où en séparant parties réelles et imaginaires : ( ) cos(nθ) = ( 1) p n cos n 2p (θ)sin 2p (θ) 0 2p n 2p ( ) ( ) = cos n n (θ) cos n 2 (θ)sin 2 n (θ)+ cos n 4 (θ)sin 4 (θ) ( ) sin(nθ) = ( 1) p n cos n 2p 1 (θ)sin 2p+1 (θ) 0 2p+1 n 2p+ 1 ( ) ( ) n = cos n 1 n (θ)sin(θ) cos n 3 (θ)sin 3 (θ) Exemple : cos(2θ)=cos 2 (θ) sin 2 (θ)=2 cos 2 (θ) 1, cos(3θ)=4 cos 3 (θ) cos(θ) Etc... Inversement on peut «linéariser» des expressions polynômiales en cos(θ) et sin(θ). En effet partant de cos(θ 1 )= eiθ 1 + e iθ 1 et sin(θ 1 )= eiθ 1 e iθ 1, on peut développer cos n (θ) et 2 2i sin n (θ) grâce à la formule du binôme de Newton, et obtenir des expressions en cos(pθ) et sin(pθ). k=0

58 58 CHAPITRE 3. NOMBRES COMPLEXES Ces calculs sont à la base de la définition des polynômes de Tchebychev. Exemple : Linéarisation de sin 3 (x) cos 2 (x) : sin 3 (x) cos 2 (x) = ( e i x e i x = i )3 ( e i x + e i x 2i 2 (e i 5x e i 3x 2e i x + 2e i x + e i 3x i e 5x) )2 = 1 ) (sin(5x) sin(3x) sin(x) Ce genre de calcul prendra toute son importance en calcul intégral. 3.2 Équations polynômiales complexes Racines n ièmes d un nombre complexe Rappel. Pour n N, la fonction x x n est une bijection de R + sur R +. Elle admet donc une bijection réciproque de R + sur R + notée x x 1 n = n x. Ainsi si x R +, a R + : x n = a x= n a. Exemple : 3 8= Racines n ièmes de l unité Soit n N. On va résoudre l équation z n = 1 d inconnue z C. Dans R, les solutions sont z = 1 si n impair, et z =±1 si n pair. Dans C, on a le résultat suivant. Ì ÓÖ Ñ º½ Racines n ièmes de l unité L équation z n = 1 a exactement n solutions : e i 2kπ n pour k 0,n 1. Ces nombres complexes sont appelés racines n ièmes de l unité. On note U n l ensemble de ces nombres. On pose ω n = e i 2π n. Ce complexe est appelé racine primitive n ième de l unité. Les racines n ièmes de l unité sont alors : U n = { 1,ω n,ω 2 } n,...,ωn 1 n. Démonstration : Comme 0 n est pas solution, on peut supposer z 0 et utiliser la forme trigonométrique de z : z = r e iθ avec r > 0, θ [0,2π[ (détermination principale de Arg(z)). Alors : z n = 1 ( r e iθ) n = 1 r n e i nθ = 1=e { i 0 r>0 r n = 1 même module nθ = 0 [2π] même argument { r = 1 θ= 0 [ ] 2π n { r = 1 k Z/θ= 2kπ n

59 3.2. ÉQUATIONS POLYNÔMIALES COMPLEXES Mais on cherche θ [0,2π[. Il faut donc prendre k Z tel que 0 2kπ n < 2π, ie k 0,n On a donc : z n = 1 k 0,n 1/, z = e i 2kπ n. L ensemble des solutions est donc : S = { e i 2kπ n /k 0,n 1 } À priori on a donc au plus n solutions. Mais si (k,k ) 0,n 1 2 : e i 2kπ n = e i 2k π n 2kπ n = 2k π n [2π] p Z/k = k + pn or (n 1) k k n 1 donne p = 0. Ainsi k = k. On vient de prouver que l équation a exactement n solutions. CQFD Exemple : Pour n= 1, U 1 = {1} et ω 1 = 1 ; pour n= 2, U 2 = { 1,1} et ω 2 = 1. Pour n= 3, U 3 = {1, j, j } avec j = ω 3 = e i 2π = 2 + i 2. Pour n= 4, U 4 = {1, 1,i, i} et ω 4 = i. Ì ÓÖ Ñ º¾¼ Somme des racines n ièmes de l unité La somme des racines n ièmes de l unité est égale à 0. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾½ Interprétation géométrique Les racines n ièmes de l unité forment les sommets d un polygone régulier à n côtés Racines n ièmes d un nombre complexe Soient n N et a C. On va résoudre l équation z n = a d inconnue z C. Si a= 0, on a une unique solution : z = 0. Si a 0, on a le résultat suivant. Ì ÓÖ Ñ º¾¾ Racines n ièmes d un nombre complexe Pour tout nombre complexe a = ρe iα non nul, l équation z n = a admet exactement n solutions appelées racines n ièmes de a. Elles sont de la forme n ρe i n (α+2kπ) = z 0 ω k n, k 0,n 1, où z 0 = n ρe i α n est la racine «évidente» de z n = a. Démonstration : On met a sous forme trigonométrique : a= ρe iα avec ρ> 0 et α [0,2π[.

60 60 CHAPITRE 3. NOMBRES COMPLEXES On remarque que l équation z n = a a une racine «évidente» : z 0 = n ρe i α n. Alors : z n = 1 z n = z0 n ( ) z n = 1 z 0 z z 0 est une racine n ième de l unité k 0,n 1 / z z 0 = ω k n k 0,n 1 / z = n ρe i n (α+2kπ) On obtient donc au plus n solutions. Comme précédemment, on peut facilement vérifier qu il y en a exactement n. On a donc exactement n solutions. Exemple : Les racines 4 ièmes de 1 i sont : e i π 16, e i π 16, e i 7π 16 et e i 9π 16. CQFD Cas particulier des racines carrées Dans le cas n= 2, l équation z 2 = a avec a C + a donc deux solutions distinctes, appelées racines carrées de a : z 0 et z 0. Pour mémoire, ce résultat est connu lorsque a R + : les racines carrées sont a et a, et lorsque a R : i a et i a. Le problème du résultat général obtenu précédemment est qu on obtient les solutions sous forme trigonométrique, sans savoir simplifier les formules. On va donc donner une nouvelle méthode dans le cas n = 2 permettant d obtenir les solutions directement sous forme algébrique. Nous verrons ensuite une application aux équations de second degré à coefficients complexes. On veut donc résoudre l équation z 2 = a avec a C. Cette fois on met z et a sous forme trigonométrique : z = x+ i y et a=x + iy avec (x, y, X,Y ) R 4. Alors : { z 2 = a (x+ i y) 2 = X + iy x 2 y 2 x 2 y 2 = X + 2i x y = X + iy 2x y = Y Ce dernier système d équation n étant pas simple à résoudre, on utilise l astuce suivante : { z 2 z 2 = a = a z 2 = a On a donc : { z 2 z 2 = a = a z 2 = a (1) x 2 y 2 = X (2) 2x y = Y (3) x 2 + y 2 = X 2 + Y 2 (1) et (3) permettent de déterminer x 2 et y 2, et donc x et y au signe près (puisque ce sont des réels). On utilise alors (2) pour déterminer leur signe. Exemple : Sous forme algébrique, les racines carrées de 8 6i sont : 1 3i et 1 + 3i.

61 3.2. ÉQUATIONS POLYNÔMIALES COMPLEXES Équations du second degré à coefficients complexes Cas général On veut résoudre dans C l équation (E ) d inconnue z : az 2 + bz+ c = 0, (a,b,c) C 3 et a 0. Pour cela on introduit le discriminant de l équation : =b 2 4ac C. On alors le résultat suivant. Ì ÓÖ Ñ º¾ Résolution des équations du second degré à coefficients complexes 1. Si =0, (E ) a une unique solution z = b 2a. 2. Si 0, (E ) a deux solutions complexes distinctes : z = b± δ 2a carrée de. où δ est une racine Exemple : (E ) : 2z 2 (1+5i)z 2(1 i)=0 a pour solutions 2i et 1+i Cas où a, b et c sont réels On s intéresse au cas où les coefficients a, b et c sont réels. On a aussi R. Ì ÓÖ Ñ º¾ Résolution des équations du second degré à coefficients réels 1. Si =0, (E ) a une unique solution réelle z = b 2a. 2. Si >0, (E ) a deux solutions réelles distinctes : z = b±. 2a 3. Si <0, (E ) a deux solutions complexes pures conjuguées : z = b± i. 2a Factorisation du trinôme et théorème de Viet Ì ÓÖ Ñ º¾ de Viet On note z 1 et z 2 les solutions de (E ) (z 1 = z 2 si =0). 1. On a : z C, az 2 + bz+ c = a (z z 1 ) (z z 2 ) et donc : { z1 + z 2 = b a z 1 z 2 = c a 2. Réciproquement si x et y sont solutions du système racines de l équation : z 2 sz+ p = 0. { x+y = s x y = p alors x et y sont les

62 62 CHAPITRE 3. NOMBRES COMPLEXES { x+y = 2 Exemple : Résoudre x y = 2 ÓÖÓÐÐ Ö º¾ Signe d un trinôme du second degré à coefficients réels Si (a,b,c) R Si >0 alors ax 2 + bx+ c est «du signe de a en dehors des racines». 2. Si 0 alors ax 2 + bx+ c est du signe de a sur R (donc de signe constant).

63 3.3. EXERCICES Exercices Ü Ö º½ Résoudre dans R les équations ou inéquations trigonométriques suivantes : 2 cos ( 2x+ π ) 3 = 3 ; sin x 1 2 ; cos(2x) 0; tanx 1 ; tan( x+ π 4) > 1 ; 2 cos 2 x+ 3 cos x+ 1=0; sin 2 x+ 3 cos x 1<0; cos(2x) 3 sin(2x)=1; sin 2( 2x+ π 6) = cos 2 ( x+ π 3). Ü Ö º¾ Déterminer les nombres complexes z tels que z = z 6+5i, z+ i =2, z(2z+ 1)=1, z 2 = z, z+4i 5z 3 R, Re ( ) ( z 1 z+1 = 0 et Arg z+i ) z i = π 4 [π]. Ü Ö º Soit θ [0,2π]. Déterminer module et argument de 1+e iθ, 1 e iθ et 1 eiθ 1+e iθ. Faire de même avec : (1+i) 3. Donner la forme algébrique de 1 4i 1+5i. Ü Ö º Á ÒØ Ø Ù Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ µ Montrer que : Interpréter géométriquement. (z 1, z 2 ) C 2, z 1 + z z 1 z 2 2 = 2 ( z z 2 2). Ü Ö º Soient (n, p) N tel que p n. Calculer n k puis k=p n z k pour tout z C. Ü Ö º Résoudre dans R : cosθ 1 = cosθ 2, sinθ 1 = sinθ 2, tanθ 1 = tanθ 2. Ü Ö º Soit n N. Résoudre dans ]0,π[ l équation : cos(nθ)=0. Donner le nombre exact de solutions. Ü Ö º Linéariser les expressions : cos 6 x ; cos 2 x sin 4 x ; sin 5 x ; cos 3 (2x)sin 3 x ; cos(2x)cos 3 x. Ü Ö º Calculer les sommes : n cos(kx) et k=0 k=p n sin(kx) pour x R et n N. k=0 Ü Ö º½¼ Calculer la somme pour tout entier n N : ( ) n ( 1) k n sin(kb+ a), k où a et b sont deux réels donnés. k=0 Ü Ö º½½ Calculer cos(5α) et sin(5α) en fonction respectivement de cos(α) et sin(α). En déduire la valeur de cos π 10. Ü Ö º½¾ Simplifier les expressions (1+ j ) 5, Ü Ö º½ Déterminer les racines carrées de 9+40i. 1 (1+j ) 4, (1+ j ) n et ( 1+ j 2) n (n N). Ü Ö º½ Résoudre dans C : z 6 2z 3 + 2=0 et z 6 (3 2i)z 3 + (2 2i)=0. Ü Ö º½ Résoudre les équations suivantes : z 4 i = 0 et z 3 = (2+i) 3.

64 64 CHAPITRE 3. NOMBRES COMPLEXES Ü Ö º½ 1. Résoudre dans C : (S) { x+y = 2 x y = On pose : ω=e i 2π 7, u= ω+ω 2 + ω 4 et v = ω 3 + ω 5 + ω 6. Calculer u+ v, uv et en déduire la valeur de u et v. Ü Ö º½ Soit n N. Résoudre dans C : (z+ 1) n = i(1 z) n. Ü Ö º½ Soit n N. On pose : ω=e i 2π n 1 n. Calculer : (1+ω k ) n. Ü Ö º½ On note E = {z C/I m(z)>0} et F = {z C/ z <1}. 1. Montrer que : z C, z E z i z+i F. 2. On définit alors l application : f : E z F z i z+ i Établir que f est bijective de E sur F. Déterminer l application f 1. k=0 3. On considère le plan muni d un repère orthonormé direct. (a) On note E 1 = {z E ; Re(z)=0}. Déterminer l ensemble f (E 1 ) et le représenter graphiquement. (b) On note E 2 = {z E ; z =1}. Déterminer l ensemble f (E 2 ) et le représenter graphiquement. Ü Ö º¾¼ Soit f : C C définie par f (z)= 1 ( ) 2 z+ 1 z. On identifie z C et le point Mz d affixe z. 1. Quels sont les points z invariants par f? 2. Quelle est l image par f du cercle trigonométrique T? 3. Quelle est l image réciproque par f de la droite réelle? Ü Ö º¾½ Il s agit de montrer que, pour n 2, on a : ( (z 1,..., z n ) (C ) n n ) n, z k = z k tous les z k ont le même argument k=1 1. Montrer que : n tous les z k ont le même argument = z k = 2. Montrer que, pour n 2, on a : k=1 (z 1,..., z n ) C n, 3. Vérifier que, pour z 1 et z 2 non nuls : n z k k=1 k=1 n z k k=1 n z k k=1 z 1 + z 2 = z 1 + z 1 = z 1 et z 2 ont le même argument 4. En déduire par récurrence que, pour n 2 : ( (z 1,..., z n ) (C ) n n ) n, z k = z k = tous les z k ont le même argument k=1 k=1

65 Chapitre 4 Suites réelles 4.1 Propriétés générales de suites réelles Rappels sur les propriétés de R Relation d ordre Si (x, y) R 2, on note x < y lorsque x y et x y. On a donc : x<y = x y. Exemple : 2<3 donc 2 3. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ Règles de calcul Soient x 1, x 2, y 1, y 2 R. 1. Pour l addition. x 1 y 1 = z R, x 1 + z y 1 + z x } 1 y 1 = x x 2 y 1 + x 2 y 1 + y 2 2 x 1 y 1 y 1 x 1 2. Pour la multiplication. x 1 y 1 = z 0, x z y z 0 x } 1 y 1 = 0 x 0 x 2 y 1 x 2 y 1 y 2 2 0<x 1 y 1 0< 1 y 1 1 x 1 Attention : on ne peut pas soustraire ou diviser deux inégalités! Valeur absolue Ò Ø ÓÒ º¾ Valeur absolue Pour toutx R, on pose x = max(x, x) = { x si x 0 x si x < 0. 65

66 66 CHAPITRE 4. SUITES RÉELLES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Règles de calcul Soient x, y R. 1. x x x. 2. Si α 0 : x α α x α. 3. x = x. 4. x y = x y donc n N, x n = x n. 5. Inégalité triangulaire. x y x+y x + y avec égalité à droite si et seulement si x et y de même signe. n n Plus généralement si x 1, x 2,..., x n R, on a : x k x k. k=1 k= Intervalles Soient a, b R. [a,b]={x R/ a x b} intervalle fermé borné = segment ; [a,b[= {x R/ a x < b} intervalle borné ; ]a,b]={x R/ a< x b} intervalle borné ; ]a,b[= {x R/ a< x < b} intervalle ouvert borné ; [a,+ [= {x R/ a x} intervalle fermé ; ]a,+ [= {x R/ a< x} intervalle ouvert ; ],b]={x R/ x b} intervalle fermé ; ],b[= {x R/ x< b} intervalle ouvert ; ],+ [= R intervalle ouvert et fermé ; Ì ÓÖ Ñ º Caractérisation des intervalles Soit I R. Alors : I est un intervalle (x, y) I 2, x y = [x, y] I Ò Ø ÓÒ º Intérieur et extérieur d un intervalle Soit I un intervalle. On pose : I = I privé de ses bornes = intérieur de I. C est un intervalle ouvert. I = I union ses bornes = adhérence de I. C est un intervalle fermé.

67 4.1. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE SUITES RÉELLES 67 On a bien évidemment I I I. Attention : ne pas confondre la notation de l adhérence avec celle du complémentaire Partie entière Ò Ø ÓÒ º Partie entière Si x R, on admet qu il existe un unique n Z tel que n x < n+ 1. On le note n= x ou E (x), et on l appelle la partie entière de x. Elle est donc caractérisée par : x Z et x x< x +1. On a aussi : x 1< x x Les suites réelles Ò Ø ÓÒ º Suite réelle Une suite réelle est une application u : N R. L ensemble des suites réelles est donc F (N,R), ou R N, ou encore S (R). Notations : pour n N, le réel u(n) est noté u n. La suite u est alors notée (u n ) n N, ou (u n ), ou encore (u 0,u 1,...,u n,...) (comme une famille de réels indexée par N). Attention : il ne faut pas confondre le réel u n et la suite (u n ). On peut aussi définir les suites complexes u : N C mais leur étude n est pas au programme. Ò Ø ÓÒ º Opérations sur les suites Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles. 1. Addition. (u n )+(v n )=(u n + v n ). 2. Multiplication par un réel. Si λ R, λ (u n )=(λ u n ). 3. Multiplication. (u n ) (v n )=(u n v n ). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Règles de calcul Les règles de calcul sont les mêmes que dans R. Ò Ø ÓÒ º½¼ Suite définie à partir d un certain rang Soient n 0 N. On appelle suite réelle définie à partir du rang n 0 toute application u : n 0,+ [ R. Cette suite est notée (u n ) n n0. Exemple : ( ( 1) n) n N, ( 2 n) n N et ( 1 n ). n 1

68 68 CHAPITRE 4. SUITES RÉELLES Ò Ø ÓÒ º½½ Propriété vraie à partir d un certain rang Soit P(n) un prédicat qui dépend de n N. On dit que P(n) est vraie à partir d un certain rang (a.p.c.r.) lorsqu il existe n 0 N tel que, pour tout n n 0, P(n) est vraie Propriétés des suites réelles Ò Ø ÓÒ º½¾ Suites majorée, minorées, bornées 1. On dit que (u n ) est majorée lorsqu il existe un réel M tel que : n N, u n M. 2. On dit que (u n ) est minorée lorsqu il existe un réel m tel que : n N, u n m. 3. On dit que (u n ) est bornée lorsqu il existe deux réels m et M tel que : n N, m u n M. Ces notions peuvent être définies à partir d un certain rang. Ì ÓÖ Ñ º½ On a : (u n ) bornée ( u n ) majorée Ò Ø ÓÒ º½ Suites monotones 1. On dit que la suite (u n ) est croissante lorsque : n N, u n u n On dit que la suite (u n ) est décroissante lorsque : n N, u n u n On dit que la suite (u n ) est monotone lorsqu elle est croissante ou décroissante On dit que la suite (u n ) est stationnaire lorsque : n N, u n = u n+1. Ceci équivaut à ce qu elle soit à la fois croissante et décroissante. Ces notions peuvent être définies à partir d un certain rang. Attention : en général une suite n est pas monotone, c est-à-dire ni croissante et ni décroissante (on verra un exemple plus loin). Ò Ø ÓÒ º½ Suites strictement monotones 1. On dit que la suite (u n ) est strictement croissante lorsque : n N, u n < u n On dit que la suite (u n ) est strictement décroissante lorsque : n N, u n > u n On dit que la suite (u n ) est strictement monotone lorsqu elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

69 4.2. LIMITE D UNE SUITE 69 Ces notions peuvent être définies à partir d un certain rang. Pour les suites on ne s intéresse généralement pas à la monotonie stricte, mais seulement à la monotonie au sens large. Rédaction : 1. On fixe n N, et on détermine le signe de u n+1 u n. S il ne dépend pas de n à partir d un rang n 0 alors (u n ) est monotone a.p.c.r.. Plus précisément si u n+1 u n 0 pour n n 0, alors (u n ) est croissante à partir du rang n 0 ; si u n+1 u n 0 pour n n 0, alors (u n ) est décroissante à partir du rang n Si u n > 0 a.p.c.r. alors on compare u n+1 u n avec 1 : si u n+1 u n 1 à partir d un rang n 0, alors (u n ) est croissante à partir du rang n 0 ; si u n+1 u n 1 à partir d un rang n 0, alors (u n ) est décroissante à partir du rang n Si u n < 0 a.p.c.r. alors on compare u n+1 u n avec 1 : si u n+1 u n 1 à partir d un rang n 0, alors (u n ) est décroissante à partir du rang n 0 ; si u n+1 u n 1 à partir d un rang n 0, alors (u n ) est croissante à partir du rang n 0. ( ) 1 Exemple : Étudier la monotonie de n n 1 et ( ( 1) n) n N. 4.2 Limite d une suite Suites convergentes - Suites divergentes Ò Ø ÓÒ º½ Suite convergente On dit que la suite (u n ) converge vers l R lorsque : ε>0, n 0 N/ n n 0, u n l ε On le note lim u n = l ou limu n = l, ou encore u n l. n + n + Dans cette définition on peut remplacer u n l ε par u n l <ε. De plus u n l ε u n [l ε,l+ε] : donc a.p.c.r. u n est «aussi proche que l on veut» de l. Remarquez que le n 0 qui apparaît dans la définition dépend de ε. Parfois on le note n 0 (ε) pour ne pas perdre de vue cette dépendance. Exemple : 1 lim n + n = 0. Attention : la limite ne doit pas dépendre de n. Par exemple on ne peut pas dire que lim u n = 1, cela n a aucun sens! n + n

70 70 CHAPITRE 4. SUITES RÉELLES Ì ÓÖ Ñ º½ Unicité de la limite Si une suite converge, alors sa limite est unique. Ò Ø ÓÒ º½ Suite divergente Lorsqu une suite n est pas convergente, on dit qu elle est divergente. Ò Ø ÓÒ º½ Limite infinie 1. On dit que la suite (u n ) diverge vers+ lorsque : A R, n 0 N/ n n 0, u n A On le note lim u n =+ ou limu n =+, ou encore u n +. n + n + 2. On dit que la suite (u n ) diverge vers lorsque : A R, n 0 N/ n n 0, u n A On le note lim u n = ou limu n =, ou encore u n. n + n + Dans cette définition on peut remplacer u n A (resp. u n A) par u n > A (resp. u n < A). Remarquez que le n 0 qui apparaît dans la définition dépend de A. Parfois on le note n 0 (A) pour ne pas perdre de vue cette dépendance. Exemple : lim n + n2 =+. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾¼ Lien entre convergence et divergence Une suite qui diverge vers± ne converge pas. Ò Ø ÓÒ º¾½ Divergence de première ou seconde espèce Une suite qui diverge vers± est dite divergente de première espèce. Une suite qui n a pas de limite est dite divergente de seconde espèce. Attention : la plupart des suites sont divergentes de seconde espèce. Exemple : La suite ( ( 1) n) n N est divergente de seconde espèce (nous en verrons la preuve plus tard).

71 4.2. LIMITE D UNE SUITE 71 Ì ÓÖ Ñ º¾¾ Premiers termes et nature d une suite En modifiant un nombre fini de termes d une suite (u n ), on ne change pas sa nature (ie le fait qu elle soit convergente ou divergente de première ou seconde espèce). Dans le cas où la suite est convergente, on ne modifie pas non plus la valeur de sa limite Propriétés des suites convergentes Ä ÑÑ º¾ Une suite bornée a.p.c.r. est bornée à partir du rang 0. Ì ÓÖ Ñ º¾ Convergence et bornitude Une suite convergente est bornée. ATTENTION! La réciproque est fausse : une suite bornée n est en général pas convergente, comme le montre l exemple de la suite ( ( 1) n) n N. Par contre, on verra qu une suite monotone et bornée converge. Ì ÓÖ Ñ º¾ Limite et signe Si une suite (u n ) converge vers un réel l > 0 (resp. l<0), alors u n > 0 a.p.c.r. (resp. u n < 0 a.p.c.r.). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Quelques résultats techniques 1. (u n ) converge vers l (u n l) converge vers 0 ; 2. (u n ) converge vers 0 ( u n ) converge vers 0 donc (u n ) converge vers l ( u n l ) converge vers 0 Ì ÓÖ Ñ º¾ Passage à la limite dans une inégalité Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles telles que u n v n a.p.c.r.. On suppose que (u n ) converge vers l et (v n ) converge vers L. Alors l L. Attention : n n 0, u n < v n ne donne pas limu n < lim v n. Contre-exemple : u n = 1 n et v n = 2 n.

72 72 CHAPITRE 4. SUITES RÉELLES ÓÖÓÐÐ Ö º¾ Localisation de la limite Si (u n ) est à valeurs dans un intervalle I d extrémités a et b a.p.c.r., et si (u n ) converge vers l, alors l I = [a,b] L ensemble R On pose R=R {,+ }=[,+ ]. On dit que limu n existe dans R lorsque (u n ) a une limite (finie ou infinie), ie lorsque (u n ) est convergente ou divergente de première espèce. Ò Ø ÓÒ º¾ Règles de calcul 1. x R {+ }, x+ (+ )=(+ )+ x =+ ( )+(+ ) n est pas défini ; x R { }, x+ ( )=( )+ x = x 2. x R, + = x 0 = 0 et donc ± = 0 ± n est pas défini. ± 3. x R, ± x =± ± n est pas défini ; 0 { x R x + si x > 0, 0 + = si x < 0 { x R x si x > 0, 0 = + si x < ± et 0 ne sont pas définis. 0 { 4. x R + si x> 0, x (+ )=(+ ) x = si x< 0 { x R si x> 0, x ( )=( ) x = + si x< 0 0 ± n est pas défini Théorèmes généraux sur les limites Dans le théorème suivant, on utilise les propriétés de R définie précédemment.

73 4.2. LIMITE D UNE SUITE 73 Ì ÓÖ Ñ º ¼ Limites et opérations algébriques Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles telles que limu n existe = l R et lim v n existe = L R. 1. Valeur absolue. lim u n existe = l 2. Addition. lim(u n + v n ) existe = l+l, sauf la forme indéterminée (+ )+( ). 3. Multiplication par un réel. α R, limα u n = α limu n, sauf la forme indéterminée 0 ±. 4. Multiplication. lim(u n v n )=l L, sauf la forme indéterminée 0 ±. ( ) un 5. Quotient. Si L 0, alors est définie a.p.c.r. et lim u n = l v n v n L sauf les formes indéterminées ± ±, 0 0 ± et 0. ATTENTION : en général lim(u n v n ) = 0 ne donne pas limu n = lim v n... Il faut en effet que limu n et lim v n existent! ATTENTION : ce théorème ne dit pas que lim ( on verra que lim 1+ 1 ) = e 1. n + n n + ab n ( n = lim n + a n ) lim n + b n. Par exemple, Ì ÓÖ Ñ º ½ Théorème d existence de la limite par encadrement 1. Version limite finie. Si (u n ), (v n ) et (w n ) sont trois suites réelles telles que u n v n w n a.p.c.r., et (u n ) et (w n ) convergent vers la limite l. Alors (v n ) converge vers l. 2. Version limite infinie. Si (u n ) et (v n ) sont deux suites réelles telles que u n v n a.p.c.r., et (u n ) et (u n ) diverge vers+ (resp. (v n ) diverge vers ). Alors (v n ) diverge vers+ (resp. (u n ) diverge vers ). Attention : ne pas confondre avec le théorème de passage à la limite dans une inégalité. Dans le théorème d existence de la limite par encadrement on montre l existence de la limite de (v n ), alors que dans l autre théorème c est une des hypothèses de départ. Exemple : On peut montrer que lim n + ( 1) n n cosn = 0 ou que lim = 0. n + n ÓÖÓÐÐ Ö º ¾ Preuve d une convergence par encadrement Si on a deux suites réelles (u n ) et (α n ) telles que u n l α n a.p.c.r., et limα n = 0 alors existe limu n = = l.

74 74 CHAPITRE 4. SUITES RÉELLES Ì ÓÖ Ñ º Composition d une suite par une fonction Soit (u n ) une suite réelle de limite l R. Soit f : I R telle que lim f (x) existe a R. x l Alors lim f (u n) existe = n + a. = Ü Ö º½ lim sin(x) n existe pas. x Suites d indices pairs et impairs Ò Ø ÓÒ º Suite extraite Soit (u n ) une suite réelle. On appelle suite extraite de (u n ) toute suite de la forme (u ϕ(n) ) où ϕ : N N application strictement croissante. Exemple : (u n 1 ), (u n+1 ), (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont des suites extraites de (u n ). Mais (u n 2 ) et (u 1 cos(n) ) n en sont pas. Ì ÓÖ Ñ º Limite des suites extraites existe Si limu n = l R, alors pour toute application ϕ : N N strictement croissante, on a existe limu ϕ(n) = l. On a une réciproque dans le cas de suites extraites recouvrantes, ie que l union des suites extraites redonnent toute la suite de départ. Le seul cas au programme est celui des suites extraites d indices pairs et impairs. Ì ÓÖ Ñ º Théorème des suites extraites recouvrantes Si (u n ) est une suite réelle et l R, on a : lim u n = l lim u 2n = l et n + n + lim u 2n+1 = l n + On peut aussi montrer aisément (par simple décalage d indice) que : limu n = l limu n 1 = l limu n+1 = l. Ü Ö º¾ Montrer que la suite ( ( 1) n) n N est divergente de seconde espèce (ie n a pas de limite).

75 4.2. LIMITE D UNE SUITE Bornes supérieure et inférieure dans R Ò Ø ÓÒ º Partie majorée, minorée, bornée On se donne une partie A de R, non vide. 1. Un réel M est un majorant de A lorsque : x A, x M. Si A admet au moins un majorant, on dit que A est une partie majorée. 2. Un réel m est un minorant de A lorsque : x A, m x. Si A admet au moins un minorant, on dit que A est une partie minorée. 3. On dit que A est bornée lorsqu elle est à la fois majorée et minorée, c est-à-dire qu il existe (m, M) R 2 tel que : x A, m x M. Il est clair qu un partie majorée (resp. minorée) admet une infinité de majorants (resp. de minorants). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Partie bornée et valeur absolue Si A est une partie de R, non vide : A est bornée M R/ x A, x M. On peut reformuler ce résultat ainsi : A est bornée si et seulement si A est majorée. Ò Ø ÓÒ º Maximum et minimum Soit A est une partie de R, non vide. 1. Un réel b est un maximum de A lorsque b A et b est un majorant de A : x A, x b. S il existe, le maximum est unique et est noté : b = max A. On l appelle aussi le plus grand élément de A. 2. Un réel a est un minimum de A lorsque a A et b est un minorant de A : x A, a x. S il existe, le minimum est unique et est noté : a = min A.On l appelle aussi le plus petit élément de A. Ò Ø ÓÒ º ¼ Bornes supérieure et inférieure Soit A est une partie de R, non vide. 1. Si l ensemble des majorants de A, noté E A = {M R/ x A, x M}, est non vide et admet un plus petit élément b, alors b est appelé borne supérieure de A, notée sup A. sup A est donc le plus petit majorant de A, et en particulier A est majorée par sup A : x A, x sup A. 2. Si l ensemble des minorants de A, noté F A = {m R/ x A, m x}, est non vide et admet un plus grand élément a, alors a est appelé borne inférieure de A, notée inf A. inf A est donc le plus grand minorant de A, et en particulier A est minorée par inf A : x A, inf A x.

76 76 CHAPITRE 4. SUITES RÉELLES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ½ Lien entre maximum et borne supérieure 1. Si A est une partie non vide de R et si A admet un maximum, alors A admet une borne supérieure et sup A = max A. Si A est une partie non vide de R et si A admet un minimum, alors A admet une borne inférieure et inf A= min A. Attention : par contre une partie A peut avoir une borne supérieure sans avoir de maximum! Ì ÓÖ Ñ º ¾ Caractérisation de la borne supérieure Soient A une partie non vide de R. 1. Soit b R. Alors { : b est un majorant de A; b= sup A il existe une suite (x n ) à valeurs dans A et convergente vers b. 2. Soit a R. Alors a= inf A { b est un minorant de A; il existe une suite (x n ) à valeurs dans A et convergente vers a. Ü Ö º Étudier max A et sup A pour A= [0,1] et A= [0,1[. Ì ÓÖ Ñ º Théorème fondamental de la borne supérieure 1. Si A est une partie de R non vide et majorée, alors A admet une borne supérieure. 2. Si A est une partie de R non vide et minorée, alors A admet une borne inférieure. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º 1. Si A et B sont deux parties non vides de R telles que A B et B est majorée, alors A est majorée et sup A supb. 2. Si A et B sont deux parties non vides de R telles que A B et B est minorée, alors A est minorée et infb inf A Propriétés des suites monotones Nous allons donner deux théorèmes sur les suites monotones qui permettent de prouver la convergence d une suite sans savoir calculer sa limite

77 4.3. LIMITES USUELLES 77 Ì ÓÖ Ñ º Théorème de la limite monotone Soit (u n ) une suite réelle. 1. On suppose (u n ) croissante : si (u n ) est majorée, alors (u n ) est convergente et n N, u n limu n ; si (u n ) n est pas majorée, alors (u n ) diverge vers+. 2. On suppose (u n ) décroissante : si (u n ) est minorée, alors (u n ) est convergente et n N, limu n u n ; si (u n ) n est pas minorée, alors (u n ) diverge vers. Retenons qu une suite monotone a toujours une limite (finie ou infinie). Ò Ø ÓÒ º Suites adjacentes Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles. On dit qu elles sont adjacentes lorsque : (i) (u n ) est croissante et (v n ) est décroissante a.p.c.r. ; (ii) lim (u n v n )=0. n + Sous les conditions (i) et (ii), on a u n v n a.p.c.r.. Ì ÓÖ Ñ º Théorème des suites adjacentes Si (u n ) et (v n ) sont adjacentes alors elles convergent vers une même limite. Exemple : Tout réel est limite de deux suites adjacentes de rationnels. Si x R, on pose pour tout n N : u n = 10n x 10 n et v n = 10n x n. Ces deux suites sont à valeurs dans Q, sont adjacentes, et convergent vers x. 4.3 Limites usuelles Suites géométriques Ì ÓÖ Ñ º Limite de (q n ) Pour q R, on a : lim q n = n + 0 si 1<q < 1 1 si q = 1 + si q > 1 n existe pas si q = 1

78 78 CHAPITRE 4. SUITES RÉELLES Croissances comparées Ì ÓÖ Ñ º Comparaison de n α, n!, a n 1. Si α R, alors lim n + nα = a n 2. Si a R et α R, alors lim n + et si a > 1, alors lim n + n α a n = 0. + si α>0 1 si α=0 0 si α<0 n! = lim n + n α n! = 0 ; De manière mnémotechnique, on peut retenir que si a> 1 : n α a n n! Ì ÓÖ Ñ º ¼ Comparaison de n α, ln β (n) et e γn ln(n) ln β (n) 1. lim = 0. Plus généralement si α>0 et β R : lim n + n n + n α = 0. n 2. lim n + e n = lim n + ne n = 0. Plus généralement si α R et γ>0 : ln(n) 3. lim n + e n = lim n + ln(n)e n = 0. Plus généralement si β R et γ>0 : lim n + lim n + n α = lim eγn n + nα e γn = 0. ln β (n) e γn = lim n + lnβ (n)e γn = 0. De manière mnémotechnique, on peut retenir que si α>0 et γ>0 : (lnn) β n α e γn Ì ÓÖ Ñ º ½ Limite de cosn, sinn et tann Les suites (cosn) n N, (sinn) n N et (tann) n N n ont pas de limite lorsque n + (elles sont divergentes de seconde espèce).

79 4.4. EXERCICES Exercices Ü Ö º Montrer que : 1. (a,b) R 2, (a+ b) 2 2(a 2 + b 2 ) 2. (a,b) ( R +) 2, a+ b a+ b Ü Ö º Résoudre dans R les équations ou inéquations suivantes : 1. 2x 2 + 7x x+ 1 4x 1 2. (x 2 + 2x+ 1) 2 < x 1 2x x 2 +x+1 3. > x 3 =1 x 2 3x (2x+ 1)(5 x)<(5 x)(x+ 4) 13. 4x+ 5 = x+ 3 x 5. x x 3 1 x 1 2 4x x 3 2x 2 5x x 3 + x2 3x x 18 x x 4 2x x 2 + 3x x 3 + x x x+ 1<2x x x Ü Ö º Soit (x, y) R Peut-on relier x + y, x et y? 2. Comparer x et x. Calculer x + x. Ü Ö º Soient A et B deux parties non vides et bornées. 1. Vérifier que sup(a B) et inf(a B) existent et les exprimer en fonction de sup A, supb, inf A et infb. 2. On suppose que A B. Mêmes questions avec sup(a B) et inf(a B). Ü Ö º Soit n N. On pose : S n = S n = 3 E ( k)+ k=1 Ü Ö º n 2 k=1 E ( k). Après avoir remarqué que : 8 E ( n 2 1 k)+ + E ( k)+n, donner une expression simple de Sn. k=(n 1) 2 k=4 1. Vérifier que : x > 0, x+ 1 x Soient a 1, a 2,..., a n des réels strictement positifs. Montrer que : ( 1 (a 1 + a a n ) ) = n+ ( ai + a ) j a 1 a 2 a n 1 i<j n a j a i et en déduire que : ( 1 (a 1 + a a n ) ) n 2 a 1 a 2 a n Ü Ö º½¼ Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles. 1. On suppose que limu n =+ et que (v n ) est bornée. Montrer que (u n +v n ) diverge vers On suppose que limu n = 0 et que (v n ) est bornée. Montrer que (u n v n ) converge vers 0.

80 80 CHAPITRE 4. SUITES RÉELLES 3. On suppose que limu n =+. Montrer que (u n ) n est pas bornée. 4. On suppose que (u n ) et (v n ) sont bornées. Montrer que (u n + v n ) et (u n v n ) sont bornées. ( ) 1 5. On suppose que (u n ) est bornée et ne s annule pas. Peut-on dire que la suite est bornée? Ü Ö º½½ ÈÖ Ò Ô ÓÑÔ Ö ÓÒ ÐÓ Ö Ø Ñ ÕÙ µ Soit (u n ) n N une suite réelle. 1. On suppose qu il existe un réel k [0,1[ et un rang n 0 N vérifiants : n n 0, u n+1 k u n. Montrer que (u n ) n N converge vers On suppose que : lim u n+1 n + u existe = l, avec 0 l<1. Montrer que (u n ) n N converge n vers 0. Ü Ö º½¾ ÓÒÚ Ö Ò Ò ÑÓÝ ÒÒ ÖÓµ Soit (u n ) n N une suite réelle, convergente vers l R. Pour tout n N, on pose : Montrer que (S n ) n N converge vers l. La réciproque est-elle vraie? S n = u 1+ u 2 + +u n n Ü Ö º½ Étudier la monotonie des suites définies par : 1. u n = n 1 2 k n 2. u n = n! 3. u 2 n+1 n = ln(n) n 4. u n = k=0 Ü Ö º½ Etudier la limite des suites définies par : 2n k=0 u n ( 1) k 1. u n = 1+( 1)n 2. v n n = 2n 3 n 2 n +3 n 3. w n = n 2 n cosn s n = 2n +n 2 n 5. t n = n 2 ( ) 1 n 2 sin(n!) 6. xn = n+( 1)n 7. y n ln(n 3 ) n = αn n où α R Ü Ö º½ Ä Ñ Ø Ô Ö Ò Ö Ñ Òص 1. Etudier la convergence de la suite (S n ) n N définie par : 2. (a) Vérifier que : x > 0, x x2 2 S n = n k=1 n 2 n 3 + k 2 ln(1+ x) x. (b) En déduire la limite de la suite (u n ) n 1 définie par : u n = 3. Etudier la convergence de (u n ) n 2 définie par : u n = Ü Ö º½ Pour tout n N, on pose : S n = n ( 1) k. k k=1 (n+ ) n (1+ kn ) 2. k=1 (n ) Montrer que les suites (S 2n ) n N et (S 2n+1 ) n N sont adjacentes. k+ 1

81 4.4. EXERCICES En déduire la convergence de la suite (S n ) n N. Ü Ö º½ Montrer que, pour tout n N, le nombre (3+ 5) n + (3 5) n est un entier pair. En déduire la convergence de la suite ( sin [ (3+ 5) n π ]) n N. Ü Ö º½ 1. Soit n 1. Montrer que l équation : x n + x 1 = 0, admet une unique solution x > 0, notée x n. 2. Montrer que (x n ) n 1 est majorée par Étudier la monotonie de (x n ) n Montrer qu il est impossible que (x n ) n 1 converge vers une limite l < Conclure que : lim n + x n = 1.

82 82 CHAPITRE 4. SUITES RÉELLES

83 Chapitre 5 Systèmes linéaires Dans tout ce chapitre, K désigne indifféremment R ou C. Ses éléments seront appelés des scalaires. Pour commencer, nous allons voir sur deux exemples pourquoi il est indispensable de résoudre des équations (ou système d équations) par équivalence. On considère l équation x 2 + x+ 1=0 d inconnue x R. Si on multiplie par x : x 3 + x 2 + x = 0. Et comme x 2 = x 1, on en déduit : x 3 = 1, ie x = 1 puisque x R. C est absurde puisque 1 n est pas solution de l équation de départ!! Explications : on a en fait raisonner par implications et obtenu x 2 + x+ 1=0= x = 1. Mais x = 1 serait l unique solution à condition d avoir l ééquivalence x 2 + x+1=0 x = 1. Or ce n est pas le cas ici, l implication x= 1= x 2 + x+ 1=0 est fausse. On a donc obtenu que l équation n a pas de solution. On considère le système d équation : x y = 1 (1) x+y = 3 (2) x+ 3y = 3 (3) (1)+(2) donne 2x= 4 donc x = 2, et (2)+(3) donne 4y = 0 donc y = 0. Le système aurait donc comme unique couple solution (2,0)? Encore une fois la réponse est non : ce n est pas une solution. On a donc : x y = 1 (1) x+y = 3 (2) x+ 3y = 3 (3) conclusion le système n a aucune solution. = (x, y)=(2,0) mais la réciproque est fausse. En Que retenir de cas exemples? Qu il faut résoudre des équations en raisonnant par équivalence! Si ce n est pas possible, alors il faut garder en tête qu on ne trouve pas que des solutions mais des «candidats solutions». Il faut alors vérifier au cas par cas si chaque «candidat solution» est bien une solution. 5.1 Définitions On se donne deux entiers naturels non nuls n et p, ainsi que np coefficients (a i j ) 1 i n 1 j p dans K que nous appellerons coefficients du système, et n autres coefficients b 1,..., b n dans K qui formeront le second membre du système. 83

84 84 CHAPITRE 5. SYSTÈMES LINÉAIRES On considère alors le système linéaire de n équations à p inconnues : a 11 x 1 + a 12 x a 1j x j a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2j x j a 2p x p = b 2... (S) a i 1 x 1 + a i 2 x a i j x j a i p x p = b i... a n1 x 1 + a n2 x a n j x j a np x p = b n x 1, x 2,..., x p sont appelées inconnues du système. Résoudre le système (S) consiste à trouver l ensemble S de tous les p-uplets (x 1,..., x p ) K p qui sont solutions des équations de S. On appelle système homogène associé, noté (S 0 ), le système obtenu lorsque b 1 = b 2 = =b n = 0. On note S 0 l ensemble des solutions du système homogène. Remarquez qu on a toujours (0,0,...,0) S 0, et donc S 0. On dit que le système (S) est compatible lorsque S, et incompatible dans le cas contraire. D après la remarque précédente, un système homogène est toujours compatible. Ò Ø ÓÒ º½ Systèmes équivalents Si (S) et (S ) sont deux systèmes linéaires, on dit qu ils sont équivalents lorsqu ils ont le même ensemble de solutions : S = S. Deux systèmes équivalents ont donc même nombre d inconnues mais pas nécessairement le même nombre d équations. { x+ 2y = 3 x+y = 2 Exemple : (S) et (S ) x y = 0 x+ 2y = 3 x+y = 2 Ò Ø ÓÒ º¾ Opérations élémentaires sur les lignes On note L 1, L 2,..., L n les lignes (ie les équations) du système linéaire (S). On définit alors les opérations élémentaires sur les lignes : - échange des lignes i et j : L i L j - multiplication de la ligne i par un scalaire β K : L i β.l i - remplacement de la ligne i par elle-même additionnée du produit de la ligne j par un scalaire α K : L i L i + α.l j Les deux dernières opérations regroupées donnent : L i β.l i + α.l j avec β 0. Ì ÓÖ Ñ º Opérations élémentaires Si (S ) est un système linéaire obtenu par opérations élémentaires sur les lignes de (S), alors (S) et (S ) sont équivalents. Autrement dit, les opérations élémentaires sur les lignes ne modifient pas l ensemble des solutions d un système linéaire.

85 5.2. LE PIVOT DE GAUSS 85 Ò Ø ÓÒ º Système de Cramer Un système de Cramer est un système de n équations à n inconnues (donc n= p), qui admet une unique solution. ATTENTION : un système peut avoir une unique solution sans être un système de x+y = 2 Cramer. Par exemple : x y = 0 3x+y = Le pivot de Gauss Le pivot de Gauss est un algorithme, basé sur les opérations élémentaires sur les lignes d un système, qui permet de déterminer l ensemble des solutions. On considère donc le système : a 11 x 1 + a 12 x a 1j x j a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2j x j a 2p x p = b 2... (S) a i 1 x 1 + a i 2 x a i j x j a i p x p = b i... a n1 x 1 + a n2 x a n j x j a np x p = b n CAS 1 Tous les coefficients du système sont nuls : (i, j ) 1,n 1, p, a i j = 0. CAS 1.1 b 1 = =b n = 0. Dans ce cas le système a une infinité de solutions : S = K p. FIN CAS 1.2 i 1,n / b i 0. Dans ce cas le système est incompatible : S =. FIN CAS 2 Au moins un des coefficients du système est nul : (i, j ) 1,n 1, p, a i j 0. Dans ce cas on effectue l opération élémentaire L 1 L i. On obtient un nouveau système linéaire qui, pour simplifier, sera noté comme celui de départ : avec cette fois a 1j 0. a 11 x 1 + a 12 x a 1j x j a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2j x j a 2p x p = b 2... a i 1 x 1 + a i 2 x a i j x j a i p x p = b i... a n1 x 1 + a n2 x a n j x j a np x p = b n Ensuite on renumérote les inconnues de manière à permuter x 1 et x j. Dans le nouveau système, on a a Ce coefficient sera notre pivot ; on l utilise pour faire disparaître l inconnue x 1 de tous les autres équations grâce aux opérations : L i L i a i 1 a 11 L 1, avec i 2,n

86 86 CHAPITRE 5. SYSTÈMES LINÉAIRES On a alors le système équivalent à (S) : a 11 x 1 + a 12 x a 1j x j a 1p x p = b 1 a 22 x a 2j x j a 2p x p = b 2... a i 2 x a i j x j a i p x p = b i... a n2 x a n j x j a np x p = b n On recommence alors le processus avec le sous-sytème : (S 1 ) a 22 x a 2j x j a 2p x p = b 2 a 32 x a 3j x j a 3p x p = b 3... a i 2 x a i j x j a i p x p = b i... a n2 x a n j x j a np x p = b n CAS 2.1 Tous les coefficients de S 1 sont nuls. Dans ce cas, on arrête l algorithme. FIN CAS 2.2 On se ramène à un système équivalent à (S 1 ) où a Ensuite, en utilisant ce coefficient comme pivot, on fait disparaître x 2 des autres lignes de (S 1 ). On obtient alors que (S) est équivalent à : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1j x j a 1p x p = b 1 a 22 x 2 + a 23 x a 2j x j a 2p x p = b 2 a 33 x a 3j x j a 3p x p = b 3... a i 3 x a i j x j a i p x p = b i... a n3 x a n j x j a np x p = b n Et on recommence avec le sous-système : (S 2 ) a 33 x a 2j x j a 2p x p = b 3 a 43 x a 4j x j a 4p x p = b 4... a i 3 x a i j x j a i p x p = b i... a n3 x a n j x j a np x p = b n Etc... On arrête l algorithme lorsqu on obtient un sous-système dont tous les coefficients sont

87 5.2. LE PIVOT DE GAUSS 87 nuls : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1r x r a 1p x p = b 1 a 22 x 2 + a 23 x a 2r x r a 2p x p = b 2 a 33 x a 3r x r a 3p x p = b a r r x r a r p x p = b r 0 = b r+1 ou lorsqu on a utilisé chaque inconnue comme pivot : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1p x p = b 1 a 22 x 2 + a 23 x a 2p x p = b 2 a 33 x a 3p x p = b a pp x p = b p 0 = b p = b n.. 0 = b n (ce qui rejoint le cas précédent avec r = p), ou encore lorsqu il ne reste plus de lignes dans le dernier sous-sytème : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n a 1p x p = b 1 a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n a 2p x p = b 2 a 33 x a 3n x n a 3p x p = b a nn x n a np x p = b n (ce qui rejoint encore le cas d avant avec r = n). On est certain que l algorithme se termine en un nombre fini d étapes puisque le système de départ n a qu un nombre fini d équations (donc de lignes). Dans tous les cas on a donc obtenu : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1r x r a 1p x p = b 1 a 22 x 2 + a 23 x a 2r x r a 2p x p = b 2 a 33 x a 3r x r a 3p x p = b (S) a r r x r a r p x p = b r = b r = b n où l entier naturel r vérifie 1 r min(n, p) (r = 0 si le système de départ avait tous ses coefficients nuls, mais ce cas n a aucun intérêt). De plus, les coefficients diagonaux sont non nuls : a i i 0 si i 1,r. On dit que (S) a été mis sous forme réduite de Gauss.

88 88 CHAPITRE 5. SYSTÈMES LINÉAIRES 5.3 Rang et résolution d un système linéaire Résolution des systèmes linéaires On va maintenant résoudre dans le cas général le système linéaire (S). Grâce à l algorithme du pivot de Gauss, on a : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1r x r a 1p x p = b 1 a 22 x 2 + a 23 x a 2r x r a 2p x p = b 2 a 33 x a 3r x r a 3p x p = b 3... (S) (S.. ) a r r x r a r p x p = b r 0 = b r+1 et il est donc équivalent de résoudre le système linéaire (S )... 0 = b n On obtient premièrement que le système est compatible si et seulement si b r+1 = = b n = 0. Ces lignes du système seront donc appelés conditions de compatibilité. Supposons désormais qu elles sont vérifiées ; les dernières lignes du système sont donc de la forme 0=0 et peuvent être omises : (S) (S ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1r x r a 1p x p = b 1 a 22 x 2 + a 23 x a 2r x r a 2p x p = b 2 a 33 x a 3r x r a 3p x p = b a r r x r a r p x p = b r On a alors deux cas à envisager. CAS 1 r = p (donc p n). (S) (S ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1,p 1 x p 1 + a 1p x p = b 1 a 22 x 2 + a 23 x a 2,p 1 x p 1 + a 2p x p = b 2 a 33 x a 3,p 1 x p 1 + a 3p x p = b a p 1,p 1 x p 1 + a pp x p = b p 1 a pp x p = b p Dans ce cas la dernière ligne donne une unique valeur de x p, l avant dernière une unique valeur de x p 1,..., la première une unique valeur de x 1. (S) a donc une unique solution. CAS 2 r < p. (S) (S ) a 11 x 1 + a 12 x a 1r x r + a 1,r+1 x 1,r a 1p x p = b 1 a 22 x a 2r x r + a 2,r+1 x 2,r a 2p x p = b a r r x r + a r,r+1 x r,r a r p x p = b r

89 5.3. RANG ET RÉSOLUTION D UN SYSTÈME LINÉAIRE 89 Dans cas les p r inconnues x r+1,..., x p peuvent prendre n importe quelle valeur. On les appelle les inconnues libres ou arbitraires. Une fois cette valeur fixée, les autres inconnues x 1,..., x p peuvent prendre une unique valeur. (S) a donc une infinité de solutions. Ì ÓÖ Ñ º Structure de l ensemble des solutions Soient 5s) un système linéaire et (S 0 ) son système linéaire homogène associé. Supposons qu on connaisse une solution particulière de 5s) notée (x 1,..., x p ) Kp. Alors on a : S = { (x 1 + x 1,..., x p+ x p ) Kp /(x 1,..., x p ) solution de (S 0 ) }. Autrement dit les solutions générales de (S) sont obtenues en additionnant les solutions générales de (S 0 ) et une solution particulière de (S) Rang d un système linéaire Ò Ø ÓÒ º Rang d un système linéaire L entier naturel r obtenu avec l algorithme du pivot de Gauss est unique (on l admet). Il est appelé rang du système, noté rg(s). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Rang d un système linéaire On a 0 rg(s) min(n, p). Et : rg(s)=0 si et seulement si tous les coefficients de (S) sont nuls. Ì ÓÖ Ñ º Solutions d un système linéaire Un système linéaire (S) peut avoir : aucune solution, ou une unique solution, ou encore une infinité de solutions. S il est compatible, alors il a une unique solution si et seulement si rg(s)= p (et alors p n). Dans le cas contraire on a rg(s)< p et (S) a une infinité de solutions. Retenir aussi que : pour avoir une unique solution, il faut donc au moins autant d équations que d inconnues ; dans le cas d une infinité de solutions, le nombre d inconnues libres est p rg(s). ÓÖÓÐÐ Ö º Rang et systèmes de Cramer Si le système linéaire (S) a n équations à n inconnues (donc n= p), alors : (S) est de Cramer si et seulement si rg(s)=n.

90 90 CHAPITRE 5. SYSTÈMES LINÉAIRES Rang et systèmes linéaires échelonnés Ò Ø ÓÒ º½¼ Système linéaire échelonné Soit (S) un système linéaire. On dit qu il est échelonné lorsque : (i) si une ligne est nulle, alors toutes les suivantes sont nulles ; (ii) si le premier terme non nul de la ligne i est en position j, soit la (i+1) ième est nulle, soit le premier terme non nul de la (i + 1) ième ligne est en position k avec k > j. Autrement dit : d une ligne à l autre il y a au moins une inconnue en moins «sur la gauche». Exemple : mais 2x + 3y + t = 1 3z + 5t = 0 7t = 3 2x + 3y + t = 1 3z + 5t = 0 z 7t = 3 est échelonné, ne l est pas. Ò Ø ÓÒ º½½ Système linéaire triangulaire Soit (S) un système linéaire. On dit qu il est triangulaire lorsque : (i) si une ligne est nulle, alors toutes les suivantes sont nulles ; (ii) le premier terme non nul de la ligne i est en position i (ie sur la diagonale). Autrement dit : d une ligne à l autre il y a exactement une inconnue en moins «sur la gauche». L algorithme du pivot de Gauss donne un système linéaire triangulaire. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½¾ Lien entre triangulaire et échelonné Un système linéaire triangulaire est échelonné. La réciproque est fausse. Exemple : et 3x + 8y + 5z + 4t = 0 y + 2t = 7 2z + 6t = 1 0 = 1 2x + 3y + t = 1 3z + 5t = 0 7t = 3 est triangulaire donc échelonné, est échelonné mais non triangulaire. On peut remarquer que, quitte à permuter les inconnues, tout système échelonné se mettre sous forme triangulaire. Ì ÓÖ Ñ º½ Rang d un système linéaire échelonné Si (S) est un système linéaire échelonné, alors rg(s) est égale au nombre de lignes non nulles.

91 5.4. EXERCICES Exercices Ü Ö º½ Déterminer le rang puis résoudre les systèmes linéaires d inconnues réelles suivants : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 3x y+ z = 5 2x+y z = 1 x y+ z = 2 4x+y+ z = 3 2x+y z= 1 3x+ 3y z = 2 2x+ 4y = 2 2x+y+ z = 1 x y z = 2 4x y z = 3 x+y+ z t = 1 x y z+ t = 2 x y z t = 3 3x y+ z = 5 x+y z = 2 x+ 2y+ z = 3 x 1 + 2x 2 x 3 + 3x 4 = 0 x 2 + x 3 2x 4 + 2x 5 = 0 2x 1 + x 2 5x 3 4x 5 = 0 Ü Ö º¾ Discuter les solutions dans R des système suivants, en fonction des paramètres indiqués : { x+ m y = m 2 1) mx+y = m 2 m R { 2) 3) (m 1)x m y = m (m+ 1)x+ (m+ 1)y = m 2 1 x m y+ m 2 z = 2m mx m 2 y+ mz = 2m mx+y m 2 z = 1 m m R m R { (m+ 1)x+ m y = 2m 4) mx+ (m+ 1)y = 1 5) 6) mx+y+ z = X x+ m y+ z = Y x+y+ mz=z m R (m, X,Y, Z ) R 4 (2 λ)x + 2y = 0 x + (2 λ)y + z = 0 2y + (2 λ)z = 0 λ R

92 92 CHAPITRE 5. SYSTÈMES LINÉAIRES

93 Chapitre 6 Compléments sur les suites réelles 6.1 Suites récurrentes Définition Ò Ø ÓÒ º½ Suite récurrente On dit que (u n ) n N est une suite récurrente d ordre p N lorsqu elle est définie par : la donnée de ses p premiers termes : u 0, u 1,..., u p 1 ; une relation de récurrence d ordre p : où f n : R p R. n N, u n+p = f n (u n,u n+1,...,u n+p 1 ) Exemple : (u n ) n N définie par u 0 = 2, u 1 = 1 et n N, u n+2 = u n+1 n + 1+u n est une suite récurrente d ordre 2. Exemple : (u n ) n N définie par u 0 = 0 et n N, u n+1 = d ordre 1. 1+u 2 n est une suite récurrente Étude des suites vérifiant u n+1 = f (u n ) On va étudier la suite définie par { u0 R donné n N, u n+1 = f (u n ), où f : D f R R La suite est-elle bien définie? Il faut vérifier que n N, u n D f. Pour cela, on peut procéder par récurrence ou utiliser un intervalle stable par f (voir plus loin). Exemple : La suite (u n ) n N définie par u 0 = 1 et n N, u n+1 = ln(u n ) n est pas bien définie. La suite (u n ) n N définie par u 1 > 0 et n N, u n+1 = 1 u n est bien définie. 93

94 94 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS SUR LES SUITES RÉELLES Recherche des points fixes de f On détermine les l D f vérifiant f (l) = l. Nous allons voir que ces points permettent d obtenir des encadrements des termes de la suite Détermination d intervalles stables par f On cherche des intervalles I stables par f, ie tels que : x I, f (x) I. Pour cela on utilise le tableau de variations sur lequel on place les points fixes déterminés précédemment. Si I est un intervalle stable par f, et si il existe un rang n 0 N tel que u n0 N, alors on vérifie immédiatement par récurrence que : n n 0, u n I. On obtient donc un encadrement des termes de la suite. On peut aussi utiliser un intervalle stable pour montrer que la suite est bien définie. Exemple : La suite (u n ) n N définie par u 0 = 1 3 et n N, u n+1 = 1 u n est bien définie et à valeurs dans [0,1] Étude de la monotonie de (u n ) On étudie le signe de u n+1 u n = f (u n ) u n, qui doit constant par rapport à n. On peut une fois encore utiliser un intervalle stable I. Parfois, l étude de la fonction ϕ : x f (x) x apporte de précieuses informations. Exemple : La suite (u n ) n N définie par u 0 = R et n N, u n+1 = 1+un 2 est bien définie, à valeurs strictement positives à partir du rang 1, et croissante à partir du rang Détermination des valeurs possibles de limu n Ì ÓÖ Ñ º¾ Limite de (u n ) et points fixes de f Si (u n ) converge vers l et si f est continue en l, alors l est un point fixe de f : f (l)=l. De plus si u n I, a partir d un rang n 0 N, alors l I (adhérence de I ). L hypothèse de convergence se vérifie généralement avec le théorème de la limite monotone. L hypothèse de continuité de f sera admise pour l instant, mais il faudra au moins vérifier que l D f. Exemple : La suite (u n ) n N définie par u 0 = R et n N, u n+1 = 1+un 2 diverge vers+. Attention : dans cette étude il est primordiale que la fonction f ne dépende pas de n. Exemple : On ne peut pas étudier avec cette méthode la suite (u n ) n N définie par u 1 > 0 et n N, u n+1 = u n + 1, mais on peut quand même montrer que si elle converge c est vers 1. n

95 6.1. SUITES RÉCURRENTES 95 { u0 R Ü Ö º½ Étudier la suite n N, u n+1 = un Représentation graphique On représente C f la courbe représentative de f et la droite d équation y = x. On place ensuite u 0 sur l axe des abscisses. On va donner une méthode géométrique pour construire géométriquement u n+1 sur l axe des abscisses à partir de u n : on part donc de u n placé sur l axe des abscisses, ie du point (u n,0) ; on le projette sur la courbe C f, on obtient le point (u n,u n+1 ) ; on projette ce point sur l axe des ordonnées, on obtient le point (0,u n+1 ) ; on projette ce point sur la droite y = x, on obtient le point (u n+1,u n+1 ) ; on projette ce point sur l axe des abscisses, on obtient le point (u n+1,0). Exemple : u 2 y u 4 6 u 8 u 7 u 5 u 3 x u 1 u 3 u 5 u 7 u 6 u 4 u Suites arithmétiques Ò Ø ÓÒ º Suite arithmétique Une suite (u n ) n N est dite arithmétique de raison r R lorsque : n N, u n+1 = u n + r.

96 96 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS SUR LES SUITES RÉELLES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Formules autour des suites arithmétiques 1. n N, u n = u 0 + nr ; Plus généralement : (n, p) N 2, u n = u p + (n p)r. 2. Si r = 0 : (u n ) n N stationnaire égale à u 0. Si r > 0 : (u n ) n N est croissante (strictement), divergente vers+. Si r < 0 : (u n ) n N est décroissante (strictement), divergente vers. 3. Pour tout (n, p) N 2 tel que n p : n k=p u k = (n p+ 1) u p+ u n 2 premier terme + dernier terme = nombre de termes 2 Exemple : u 0 = 0 et r = 1 donnent n N, u n = n. On retrouve les formules : n n(n+ 1) n (n p+ 1)(n+ p) k = et k = 2 2 k= Suites géométriques k=p Ò Ø ÓÒ º Suite géométrique Une suite (u n ) n N est dite géométrique de raison q R lorsque : n N, u n+1 = q u n. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Formules autour des suites géométriques 1. n N, u n = u 0 q n ; Plus généralement : (n, p) N 2, u n = u p q n p (si n < p il faut supposer q 0). 2. Si r = 0 : (u n ) n N stationnaire égale à 0 à partir du rang 1. Si q > 0 : (u n ) n N est monotone. Si q < 0 : (u n ) n N n est pas monotone. 3. lim q n = n + et + si q > 1 1 si q = 1 0 si 1< q < 1 ie q <1 lim q n n existe pas si q 1. n + 4. Pour tout (n, p) N 2 tel que n p, on a pour q 1 : n k=p et pour q = 1 : n p+1 p 1 q 1 raisonnombre de termes u k = u 0 q = premier terme 1 q 1 raison n u k = (n p+ 1)u 0 = nombre de termes premier terme k=p

97 6.1. SUITES RÉCURRENTES 97 ATTENTION! Si (x n ) est une suite à valeurs dans ] 1,1[, on ne ( peut pas dire que lim (x n) n = 0. Par exemple, nous verrons à la fin du chapitre que : lim 1 1 ) n = 1 n + n + n e., vérifier que : n N, u n = u (2n ) 0. En dé- { u0 R Ü Ö º¾ Pour la suite n N, u n+1 = un 2 duire la limite éventuelle de (u n ) n N Suites arithmético-géométriques Ò Ø ÓÒ º Suite arithmético-géométrique Une suite (u n ) n N est dite arithmético-géométrique de paramètres (a,b) R 2 lorsque : n N, u n+1 = au n + b. Remarquons que si a = 1, alors (u n ) n N est arithmétique de raison b, et si b = 0, alors (u n ) n N est géométrique de raison a. Dans la suite, on supposera que a 1. On va calculer le terme général u n en fonction de n, mais cette fois la formule est trop compliquée pour être apprise, il faut donc uniquement retenir la méthode utilisée. Méthode : on commence par déterminer le point fixe l R associé à la relation de récurrence. Il vérifie l=al+b, donc l= b 1 a. Ensuite on définit une suite auxiliaire (x n ) n N par : n N, x n = u n l. Cette suite est alors géométrique de raison a, en effet : n N, x n+1 = u n+1 l=au n + b l=a(x n + l)+b l=ax n + } al+b {{ l} = ax n =0 ( On a donc : n N, x n = x 0 a n = (u 0 l)a n puis u n = x n + l = u 0 b 1 a ) a n + b 1 a. On peut alors très facilement en déduire la limite éventuelle de la suite (u n ) n N Suites récurrentes linéaires d ordre 2 Ò Ø ÓÒ º Suite récurrente linéaire d ordre 2 Une suite (u n ) n N est dite récurrente linéaire d ordre 2 de paramètres (a,b) R 2 lorsque : n N, u n+2 = au n+1 + bu n. Remarquons que si b= 0, alors (u n ) n N est géométrique de raison a. Ò Ø ÓÒ º Équation caractéristique On appelle équation caractéristique associée à (u n ) n N l équation (E ) d inconnue z C : z 2 = az+ b.

98 98 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS SUR LES SUITES RÉELLES Ì ÓÖ Ñ º½¼ Calcul du terme général u n en fonction de n On note =a 2 + 4b le discriminant de l équation caractéristique (E ). 1. Si >0 (E ) a deux racines réelles distinctes r 1 et r 2. Il existe alors un unique couple (λ,µ) R 2 tel que : n N, u n = λr n 1 + µr n Si =0 (E ) a une seule racine réelle r 0. Il existe alors un unique couple (λ,µ) R 2 tel que : n N, u n = (λn+ µ)r n Si <0 (E ) a deux racines complexes pures conjuguées r 1 = ρe iθ et r 2 = ρe iθ. Il existe alors un unique couple (λ,µ) R 2 tel que : n N, u n = ρ n( λcos(nθ)+µsin(nθ) ). Dans le cas d une suite à valeur complexes, C et on obtient (λ,µ) C 2. Si = 0, la formule est la même que dans le cas réel, et si 0 la formule est la même que celle où >0, avec r 1 et r 2 les deux racines complexes distinctes de l équation caractéristique. Le cas d une suite réelle pour laquelle < 0 est un cas particulier du cas d une suite complexe pour laquelle 0. Dans ce cas les deux racines r 1 et r 2 sont conjuguées et on peut donc trouver (α,β) C 2 tel que n N, u n = αr n 1 + βr 1 n. Nous allons voir comment retrouver la formule du théorème. On note r 1 = ρe iθ sous forme trigonométrique et puisque la suite réelle on a u n = u n, pour tout n N. Or : u n = u n αρ n e i nθ + βρ n e i nθ = αρ n e i nθ + βρ n i nθ ρ 0 e αe i nθ + βe i nθ = αe i nθ + βe i nθ Ceci étant vrai pour tout n N, on peut prendre n= 0 et n= 1 : α+β=α+β (1) et αe iθ + βe iθ = αe iθ + βe iθ (2) Alors e iθ (1) (2) donne 2iβsin(θ)=2iαsin(θ), puis β=α car θ 0 [π] (en effet r 1 et r 2 sont des complexes purs). On a donc en notant α 1 = Re(α) et al 2 = I m(α) : n N, u n = ρ n (αe i nθ i + αe nθ) ce qui est bien la forme souhaitée. (αe i nθ) = 2ρ n Re = 2ρ n Re [(α 1 + iα 2 ) ( cos(nθ)+sin(nθ) )] ( ) = ρ n 2α 1 cos(nθ)+( 2α 2 ) sin(nθ) }{{} =λ R } {{ } =µ R

99 6.2. COMPARAISON DES SUITES Comparaison des suites Notations de Landau Ò Ø ÓÒ º½½ Suite négligeable devant une autre suite On dit que la suite (u n ) n N est négligeable devant la suite (v n ) n N lorsqu il existe une suite (ε n ) n N vérifiant : (i) lim ε n = 0 ; n + (ii) u n = ε n v n à partir d un certain rang. On le notera u n = o (v n), et on dira que u n est un «petit o» de v n. n + On dit parfois aussi que la suite (v n ) n N est prépondérante devant la suite (u n ) n N. ATTENTION : la notation o(v n ) seule n a pas de sens! Elle ne désigne pas une suite fixée, mais n importe quelle suite négligeable devant (v n ) n N. En particulier : u n = o (w n) et v n = o (w n) ne donnent pas (u n ) n N = (v n ) n N (comme n + n + on peut le vérifier avec le contre-exemple u n = n, v n = n 2 et w n = n 3 ). Lorsque la suite (v n ) n N ne s annule pas à partir d un certain rang, on a un critère plus simple donné dans le théorème suivant. Ì ÓÖ Ñ º½¾ Critère de négligeabilité Si (v n ) n N ne s annule pas à partir d un certain rang, on a : u n = o (v u n n) lim = 0 n + n + v n Ce résultat est utilisé en pratique pour prouver que u n = n + o (v n). Mais certaines suite (v n ) n N s annule à partir de n importe quel rang (prendre v n = 1+( 1) n ), donc il faut aussi apprendre à manipuler la définition générale de la négligeabilité. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ Règles de calcul pour «le petit o» On se donne des suites réelles (u n ) n N, (v n ) n N, (w n ) n N, (a n ) n N et (b n ) n N. 1. Transitivité. u n = o (v n) et v n = o (w n) donnent u n = o (w n). n + n + n + 2. Produit. u n = o (v n) et a n = o (b n) donnent u n a n = o (v n b n ). n + n + n + 3. Somme. u n = o (w n) et a n = o (w n) donnent u n + a n = o (w n). n + n + n + 4. Multiplication par une constante. u n = o (v n) donne λ R, λ u n = o (v n). n + n + 5. Multiplication par une suite. u n = o (v n) donne u n w n = o (v n w n ). n + n +

100 100 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS SUR LES SUITES RÉELLES Ò Ø ÓÒ º½ Suite dominée par une autre suite On dit que la suite (u n ) n N est dominée par la suite (v n ) n N lorsqu il existe une suite (b n ) n N vérifiant : (i) (b n ) n N est bornée ; (ii) u n = b n v n à partir d un certain rang. On le notera u n = n + O (v n), et on dira que u n est un «grand o» de v n. Les remarques sur la notation o(v n ) sont encore valables pour la notation O(v n ). Lorsque la suite (v n ) n N ne s annule pas à partir d un certain rang, on a encore une fois un critère plus simple. Ì ÓÖ Ñ º½ Critère de domination Si (v n ) n N ne s annule pas à partir d un certain rang n 0, on a : u n = n + O (v n) ( un v n ) n n 0 est bornée Ce résultat est utilisé en pratique pour prouver que u n = n + O (v n). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ Lien entre «le petit o» et «le grand o» Si u n = o (v n) alors u n = O (v n). n + n Suites équivalentes Ò Ø ÓÒ º½ Suite équivalente à une autre suite On dit que la suite (u n ) n N est équivalente à la suite (v n ) n N lorsqu il existe une suite (α n ) n N vérifiant : (i) lim α n = 1 ; n + (ii) u n = α n v n à partir d un certain rang. On le notera u n v n. n + ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ Propriétés de la relation On se donne trois suites réelles (u n ) n N, (v n ) n N et (w n ) n N. 1. Transitivité. u n v n et v n w n donnent u n w n. n + n + n + 2. Symétrie. u n v n v n u n. n + n + 3. Réflexivité. u n u n. n +

101 6.2. COMPARAISON DES SUITES 101 La propriété de symétrie donne que si (u n ) n N est équivalente à (v n ) n N, alors (v n ) n N est équivalente à (u n ) n N : on peut donc aussi dire que (u n ) n N et (v n ) n N sont équivalentes. ATTENTION : ne jamais écrire u n 0. Cela n a aucun sens, sauf dans le cas très n + particulier où (u n ) n N est stationnaire égale à 0 à partir d un certain rang. Lorsque la suite (v n ) n N ne s annule pas à partir d un certain rang, on a encore une fois un critère plus simple. Ì ÓÖ Ñ º½ Critère d équivalence Si (v n ) n N ne s annule pas à partir d un certain rang n 0, on a : u n v u n n lim = 1 n + n + v n Ce résultat est utilisé en pratique pour prouver que u n v n. n + Ì ÓÖ Ñ º¾¼ Lien entre la relation et «le petit o» Pour deux suites réelles (u n ) n N et (v n ) n N : u n v n u n v n = o (v n) v n u n = o (u n) n + n + n + On en déduit une méthode simple pour trouver une suite équivalente à une somme. ÓÖÓÐÐ Ö º¾½ Équivalent d une somme Pour deux suites réelles (u n ) n N et (v n ) n N : u n = o (v n) u n + v n v n n + n + Ì ÓÖ Ñ º¾¾ Composition d un «petit o» par une suite équivalente Pour trois suites réelles (u n ) n N, (v n ) n N et (a n ) n N : Si u n = o (v n) et v n n + u n = n + o (a n). a n, alors n + Une suite équivalente renseigne sur le signe. Ì ÓÖ Ñ º¾ Équivalent et signe Pour deux suites réelles (u n ) n N et (v n ) n N : 1. Si u n n + v n et si (v n ) n N ne s annule pas à partir d un certain rang, alors (u n ) n N ne s annule pas à partir d un certain rang. 2. Si u n n + v n, alors (u n ) n N et (v n ) n N sont de même signe au sens strcit à partir d un certain rang.

102 102 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS SUR LES SUITES RÉELLES Une suite équivalente permet de calculer une limite. Ì ÓÖ Ñ º¾ Équivalent et limite Pour deux suites réelles (u n ) n N et (v n ) n N : existe = l. 1. Si u n v n et lim v n = l R, alors lim u n n + n + n + 2. On a une réciproque dans le cas particulier l R : si lim u n = l alors u n n + l. n + ATTENTION! Par contre si lim u n = lim v n, on ne peut pas en déduire que u n n + n + v n. Prendre par exemple u n = 1 n et 1 n 2. On peut effectuer les opérations suivantes sur les suites équivalentes. n + ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Règles de calcul pour la relation On se donne des suites réelles (u n ) n N, (v n ) n N, (a n ) n N et (b n ) n N. 1. Valeur absolue. u n v n donne u n v n. n + n + 2. Produit. u n v n et a n b n donnent u n a n v n b n. n + n + n + 3. Puissance. Pour tout p N, u n v n donne u p n v p n. n + n + Plus généralement, pour tout α R : un α v α n + n (à condition que ces suites soient définies). 4. Inverse. Si u n v n et si (v n ) n N ne s annule pas à partir d un certain rang, alors n u n n + v n 5. Quotient. Si u n v n, a n b n et si (v n ) n N ne s annule pas à partir d un certain n + n + rang, alors a n b n. u n n + v n ATTENTION : par contre il n est pas possible de faire les opérations suivantes. Somme u n v n et a n b n ne donnent pas u n + a n v n+ b n. n + n + n + On peut considérer le contre-exemple suivant : u n = n 3 + n et a n = n 3 + n 2. Composition par une fonction Si f est une fonction, u n v n ne donne pas f (u n ) f (v n). n + n + En particulier u n v n ne donne pas e u n n + n + ev n, et u n v n ne donne pas ln(u n ) n + ln(v n ). On peut considérer les contre-exemples suivantes : u n = n 2 + n, v n = n 2, f (x) = e x puis u n = 1+ 1 n, v n = 1, f (x)=ln(x). Noter aussi que n n+ 1, mais en général on n a pas u n u n+1, bien que lim u n = n + n + n + lim u n+1. Considérer par exemple u n = e n. n + Puissance dépendante de n u n v n ne donne pas u α n n + n v α n n + n. n +

103 6.2. COMPARAISON DES SUITES 103 On verra à la fin du paragraphe que u n = 1+ 1 n et α n = n. lim n + ( 1+ 1 n) n = e. On peut en déduire le contre-exemple Comparaison des suites usuelles Ì ÓÖ Ñ º¾ Équivalent et polynômes Si P est une fonction polynôme de la forme P(x)=a q x q +a q+1 x q+1 + +a p x p, où (p, q) N 2 avec q p, a q 0 et a p 0. ) ( 1 Alors P(n) a p n p (plus haut degré), et P n + n n + a q (plus bas degré). nq Ì ÓÖ Ñ º¾ Comparaison de n α, n! et a n On se donne trois réels α, β et a. ( 1. Si α<β alors n α = o n β), ou encore 1 n + 2. a n = o (n!) et n + nα = o (n!) n + Et si a> 1 : n α = o( a n). n + ( 1 o n + n β = n α ). De manière mnémotechnique, on peut retenir que si a> 1 : n α a n n! Ì ÓÖ Ñ º¾ Croissances comparées On se donne trois réels α, β et γ. 1. ln(n) = o (n) n + Et plus généralement, pour α>0 : (lnn) β = o( n α) n + 2. n = o( e n) n + Et plus généralement, pour γ>0 : n α = o( e γn) ( n + ) 1 De manière équivalente e n = o n + n ( ) 1 et plus généralement, pour γ>0 : e γn = o n + 3. Si γ>0 : (lnn) β = n + o( e γn). n α De manière mnémotechnique, on peut retenir que si α>0 et γ>0 : (lnn) β n α e γn

104 104 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS SUR LES SUITES RÉELLES Ì ÓÖ Ñ º¾ Équivalents usuels Si (x n ) n N est une suite convergente vers ln(1+ x n ) n + x n 2. tan(x n ) n + x n 3. sin(x n ) n + x n 4. cos(x n ) 1 et 1 cos(x xn 2 n) n + n e x n 1 et n + ex n 1 x n n + 6. Pour α R : (1+ x n ) α 1 et (1+ x n) α 1 n + n + αx n Ces résultats sont à connaître par coeur! Ü Ö º On est maintenant en mesure de démontrer que ( 1+ n) 1 n = e. lim n + ( lim 1+ 1 ) n = e et que n + n

105 6.3. EXERCICES Exercices Ü Ö º ËÙ Ø Ù ØÝÔ u n+1 = f (u n )µ Soit f la fonction définie sur I = [1,+ [ par f (x)= 1+ x. 1. Montrer que la suite (u n ) n N définie par u 0 I et u n+1 = f (u n ) est bien définie. 2. Étudier complètement la fonction f et montrer que l équation f (x) = x a une unique solution réelle α. 3. Représenter sur le même dessin l allure de son graphe ainsi que les premiers termes de la suite (u n ). Que peut-on conjecturer? 4. Étudier la suite (u n ) dans les cas u 0 > α, u 0 < α et u 0 = α. Ü Ö º ËÙ Ø Ù ØÝÔ u n+1 = f (u n )µ On définit une suite (u n ) n N par : u 0 = 1 et u n+1 = 1+ 2 u n. 1. Faire l étude complète de la fonction f définie sur ]0,+ [ par : f (x)=1+ 2. On déterminera aussi ses éventuels points x fixes. 2. Représenter sur le même dessin l allure de son graphe ainsi que les premiers termes de la suite (u n ). Que peut-on conjecturer? 3. On considère les suites extraites (v n ) n N et (w n ) n N définies par : v n = u 2n et w n = u 2n+1. Étudier leur monotonie. 4. Déterminer leur éventuelle limite. 5. Conclure sur la limite de (u n ). Ü Ö º ËÙ Ø Ö ÙÖÖ ÒØ ³ÓÖ Ö 1µ Étudier les suites (u n ) n définies par : 1. u 0 = 1 2 et u n+1= 1+un 2 2. u 0 R et u n+1 = 1 ( ) 2 1+u 2 n 3. u 0 R et u n+1 = sinu n n+1 4. u 0 R et u n+1 = e u n 5. u 0 = 1 et u n+1 = u n + 1 u n (Attention, il y a un piège!) Ü Ö º ËÙ Ø Ù ØÝÔ u n+1 = f n (u n ) Ó f n Ô Ò nµ On pose : u 1 = 0 et n 2, (n+ 1) 2 u n = (n 1)u n 1 n. 1. Calculer les 4 premiers termes de (u n ) n Montrer que, pour tout n 1 : 1 u n Montrer que (u n ) n 1 est convergente et déterminer sa limite. Ü Ö º ËÙ Ø Ö ÙÖÖ ÒØ ÓÙÔÐ µ Soient 0<b< a. On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par u 0 = a v 0 = b n N, u n+1 = u n+ v n 2 n N, v n+1 = 2u nv n u n + v n

106 106 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS SUR LES SUITES RÉELLES 1. Montrer que (u n ) et (v n ) sont bien définies et qu elles sont strictement positives. 2. Montrer que : n N, v n < u n. 3. Établir que (v n ) est croissante et (u n ) est décroissante. 4. (a) Vérifiez que : n N, 0<u n+1 v n+1 < 1 2 (u n v n ) (b) En déduire que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. 5. Déterminer la limite des suites (u n ) et (v n ). Ü Ö º Ò Ñ ÒØ Ù Ø µ 1. On considère la suite (u n ) n définie par u 0 = 0 et u n+1 = 5u n 2 u n +2, pour tout n N. (a) Montrer que (u n ) n N est bien définie et que u n > 1, pour n 3. En déduire que la suite (v n ) n N telle que v n = u n 2 u n 1, est bien définie. (b) Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique. (c) Donner u n en fonction de n et calculer limu n. 2. Soit (u n ) n N la suite définie par : u 0 > 0 et u n+1 = u n 2u n +1. (a) Montrer que cette suite est bien définie. (b) On définit une suite (v n ) n N par : v n = 1 u n. Montrer qu elle est bien définie et donner une relation de récurrence entre v n+1 et v n. (c) En déduire l expression de u n en fonction de n, puis la nature de (u n ) et son éventuelle limite. Ü Ö º½¼ ÐÙÐ u n Ò ÓÒØ ÓÒ nµ Déterminer en fonction de n le terme u n des suites réelles suivantes : 1. u 8 = 10 et n N, u n+1 = u n 3 2. u 5 = 4 et n N, u n+1 = 2u n 3. u 11 = 30 et n N, u n+1 = 2u n u 4 = 2 et n N, u n+1 = u n + 2 u 0 > 0 et n N, u n+1 = e u n 6. u 10 = 1 et n N, u n+1 = u n 7. u 0 = 1 et n N, u n+1 = ( 1) n u n 8. u 0 = 1, u 1 = 2 et n N, u n+1 = 2u n + 3u n 1 9. u 0 = 1, u 1 = 0 et n N, u n+2 = 4u n+1 4u n 10. u 0 = 1, u 1 = 1 et n N, u n+2 = u n+1 u n 11. u 0 = 0 et n N, u n+2 2u n+1 + 5u n = u 0 = 1, u 1 = 1 et n 2, u n = u n 1 + u n u 0 = 1, u 1 = e 4 et n N, u n+2 (u n ) 4 = (u n+1 ) u 0 = 1 et n N, u n = nu n 1 + n! Ü Ö º½½ ÐÙÐ ³ ÕÙ Ú Ð ÒØ µ Donner un équivalent simple et la limite éventuelle de chacune des suites (u n ) définies par : 1. u n = n 2 2n 2. u n = n+ (ln(n)) 12 + sin(n) 3. u n = 2 n + n 2 4. u n = n+ 1+ ( ) n n u n = n+ 1 n 6. u n = sin 7. u n = sin 1 n e 1 n 1 8. u n = n 2 ( ) 1 cos 1 n cos 1 n e 1 n 2 1

107 6.3. EXERCICES 107 Ü Ö º½¾ γ Ð ÓÒ Ø ÒØ ³ ÙÐ Öµ On pose pour tout x ]0,+ [ : φ(x)= 1 x 1 + ln(x) ln(x+ 1) et ψ(x)= + ln(x) ln(x+ 1). x Étudier le signe des fonctions φ et ψ sur ]0, + [. 2. En déduire la convergence de (u n ) n 2 et (v n ) n 2 définies par : u n = n ln(n) et v n = u n 1 n. n 1 3. Donner un équivalent de k k=1 lorsque n +. Ü Ö º½ Ç Ø ÒØ ÓÒ ³ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ô Ö Ò Ö Ñ Òص 1. Montrer que pour tout entier n 1, on a : 2 ( n+ 1 n ) 1 n 2 ( n n 1 ). 2. En déduire la limite et un équivalent lorsque n tend vers + de la suite (u n ) n 1 de n 1 terme général : u n =. k k=1 Ü Ö º½ ÕÙ Ú Ð ÒØ ³ÙÒ Ù Ø Ò ÑÔÐ Ø Ñ Òص Pour n 1, on note (E n ) l équation : x ln(x) n= Montrer que (E n ) admet une unique solution supérieure ou égale à 1, notée x n. 2. Déterminer la limite de (x n ) n Donner un équivalent de x n quand n +.

108 108 CHAPITRE 6. COMPLÉMENTS SUR LES SUITES RÉELLES

109 Chapitre 7 Espaces vectoriels et applications linéaires Dans tout ce chapitre K désigne R ou C. 7.1 Généralités sur les espace vectoriels Espace vectoriel sur K Ò Ø ÓÒ º½ Espace vectoriel sur K Soit E un ensemble non vide. On dira que E est un espace vectoriel sur K, ou un K-espace vectoriel (= K-ev), ou que E a une structure de K-ev lorsque : (i) E est muni d une addition + qui est une application : E 2 ( x, y ) E x + y vérifiant : Commutativité. ( x, y ) E 2, x + y = y + x Associativité. ( x, y, z ) E 3 (, x + ) y + z = ( x + y + ) z Élément neutre. Il existe un unique élément de E, noté 0 E, tel que : x E, 0 E + x = x + 0 E = x. Opposé. x E, il existe un unique élément de E, noté x et appelé opposé de x, vérifiant : x E, ( x + ) ( x = ) x + x = 0E. (ii) E est muni d une multiplication par un scalaire. qui est une application : ( K E ) λ, x E λ. x vérifiant : ( λ,µ, x ) K 2 E, (λ+µ). x = λ. x + µ. x ( λ, x, y ) K E 2, λ. ( x + ) y = λ. x + λ. y ( λ,µ, x ) K 2 E, λ. ( µ. x ) = (λ µ). x = µ. ( λ. x ) 1. x = x Dans la suite, l opération x + ( y ) sera notée x y. Les éléments de E sont appelés vecteurs, et ceux de K scalaires. 109

110 110 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES On peut remarquer qu un espace vectoriel sur C donne aussi un espace vectoriel sur R, en considérant la restriction à R de la multiplication par un scalaire. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Règles de calcul Si (λ,µ) K 2 et ( x, y ) E 2, on a : 1. λ ( x y ) = λ. x λ. y ; 2. λ. 0 E = 0 E ; 3. (λ µ). x = λ. x µ. x ; x = 0 E ; 5. ( λ). ( x ) = λ. x ; 6. Intégrité externe. λ. x = 0 E λ=0 ou x = 0 E ; λ. x = µ. x x = 0 E ou λ=µ ; λ. x = λ. y λ=0 ou x = y. Exemple : {0} est un R-ev et un C-ev. Par contre n en est pas un. Exemple : K n Un vecteur x K n est un n-uplet (x 1, x 2,..., x n ). Si x = (x 1,..., x n ) et y = (y 1,..., y n ) sont deux vecteurs de K n, on définit leur somme : x + y = (x1,..., x n )+(y 1,..., y n )=(x 1 + y 1,..., x n + y n ) Si λ K et x K n on définit : λ. x = λ.(x 1,..., x n )=(λ x 1,...,λ x n ) Alors (K n,+,.) est un K-ev. Le vecteur nul est 0 K n = (0,...,0). En particulier pour n = 1 : K est un K-ev pour ses opérations naturelles. R est un R-ev, et C est un C-ev donc un R-ev. ATTENTION : R n est pas un C-ev! Exemple : F A Soient A un ensemble quelconque et F un K-ev. On rappelle que F A désigne l ensemble des fonctions f : A F définies sur A à valeurs dans F. Pour f et g éléments de F A, on définit la fonction f + g : A F par : x A, (f + g )(x)= f (x)+ g (x) et pour λ K et f élément de F A, on définit la fonction λ.f : A F par : x A, (λ.f )(x)=λ.f (x) Alors ( F A,+,. ) est un K-ev. Le vecteur nul 0 F A est la fonction constante égale à 0 F. En particulier : - pour F=R et A= N, ( R N,+,. ) est un R-ev ; - pour F=R et I intervalle de R, ( R I,+,.) est un R-ev. Exemple : K[X ] On note K[X ] l ensemble des fonctions polynômes à coefficients dans K, ie l ensemble des fonctions f : K K pour lesquelles il existe n N et (a 0,..., a n ) K n tels que : x K, f (x)=a 0 + a 1 x+ a 2 x a n x n Alors (K[X ],+,.) est un K-ev. Le vecteur nul 0 K[X ] est la fonction constante égale à 0 sur K.

111 7.1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ESPACE VECTORIELS Sous-espaces vectoriels Ò Ø ÓÒ º Sous-espace vectoriel Soit E un K-ev et F une partie de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E (noté sev de E) lorsque : (i) F ; (ii) F stable pour «+» : ( x 1, x 2 ) F 2, x 1 + x 2 F ; (iii) F stable pour «.» : ( λ, x ) K F, λ. x F Exemple : Un K-ev E a toujours deux sev triviaux : { 0E } et E. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Propriété du vecteur nul Si F est un sev d un K-ev E, alors 0 E F. Pour montrer que F, on vérifie donc la plupart du temps que 0 E F. Exemple : n est jamais un sev d un K-ev E. Ì ÓÖ Ñ º Caractérisation des sous-espaces vectoriels de E Soit F une partie d un K-ev E. Alors F est un sev de E si et seulement si : (i) F ; (ii) F stable par combinaison linéaire : ( λ, x 1, x 2 ) K F 2, λ. x 1 + x 2 F Exemple : Dans R 2 : F 1 = { (x, y) R 2/ x 2 + y 2 = 1 }, F 2 = { (x, y) R 2/ x+y = 1 } et Z 2 ne sont pas des sev de R 2. Par contre F 3 = { (x, y) R 2/ x+y = 0 } en est un. Ì ÓÖ Ñ º Un sev est un K-ev Si E est un K-ev et F un sev de E, alors les restrictions à F des opérations «+» et «.» de E, munissent F d une structure de K-ev. En pratique, pour montrer qu un ensemble F est un espace vectoriel sur K (8 conditions), on cherche un K-ev E contenant F (ie F E), et on montre que F est un sev de E (seulement 2 conditions). Ì ÓÖ Ñ º Intersection de sev Si F et G sont des sev d un K-ev E, alors F G est aussi un sev de E. ATTENTION : en général F G n est pas un sev de E. Exemple : On pose F= { (x, y) R 2/ y = x } et G= { (x, y) R 2/ y = x }. F et G sont des sev de R 2, mais F G n en est pas un. Exemple : Si F et G sont des sev d un K-ev E, alors F G est aussi un sev de E si et seulement si F G ou G F.

112 112 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES 7.2 Familles de vecteurs Dans tout ce paragraphe, E désigne un K-ev Combinaisons linéaires Ò Ø ÓÒ º Combinaison linéaire 1. Cas d une famille finie Soit F = ( u1,..., u p ) une famille finie de p vecteurs de E (c est-à-dire un p-uplet de vecteurs de E). On dit que x E est combinaison linéaire (= CL) des vecteurs de F lorsqu il existe des scalaires (λ 1,...,λ p ) K p tels que : 2. Cas d une famille infinie p x = λ k. u k k=1 Soit F = ( ui )i I une famille infinie de vecteurs de E. On dit que x E est combinaison linéaire (= CL) des vecteurs de F lorsqu il existe un entier p N, des indices (i 1,...,i p ) I p et des scalaires (λ 1,...,λ p ) K p tels que : x = p k=1 λ k. u ik c est-à-dire lorsque x est CL d un nombre fini de vecteurs de la famille F. Exemple : Dans R 2 avec une famille finie. (2,3) est CL de (1,0) et (1,1) : (2,3)=3.(1,1)+( 1).(1,0). Exemple : Dans R[X ] avec une famille infinie. f : x x 3 est CL de la famille de fonctions polynômes ( g n : x (x 1) n) n N : f 1.g g g g 4 car x R, x 3 = 1+3(x 1)+3(x 1) 2 + (x 1) 3. Exemple : Un exemple général à connaître dans K n. Pour tout i 1,n, on pose e i = (0,...,0,1,0,...,0). i ième position Alors tout x = (x 1,..., x n ) K n est CL de la famille ( e1,..., e n ) : x = (x1,..., x n ) = (x 1,0,...,0)+(0, x 2,0,...,0)+ + (0,...,0, x n ) = x 1.(1,0,...,0)+ x 2.(0,1,0,...,0)+ +x n.(0,...,0,1) = x 1. e 1 + x 2. e x n. e n n = x k. e k k=1

113 7.2. FAMILLES DE VECTEURS 113 Exemple : Un exemple général à connaître dans K[X ]. Si f : x a 0 + a 1 x+ a 2 x a n x n est un élément de K[X ], alors f est CL des fonctions x 1, x x,..., x x n. Ceci prouve que tout élément de K[X ] est CL de la famille (x x n ) n N. Ì ÓÖ Ñ º CL et sev Si F est un sev de E et (u i ) i I une famille de vecteurs de F, alors toute CL de ces vecteurs est encore un vecteur de F. En particulier, si ( u1,..., ) u p est une famille de vecteurs de F, alors (λ1,...,λ p ) K p, on a p λ k. u k F. k= Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs Ò Ø ÓÒ º½¼ Notation Vect(F ) Soit F = ( ui )i I une famille de vecteurs de E. On note Vect(F ) l ensemble des vecteurs de E qui sont combinaison linéaire des vecteurs de F : { } p Vect(F )= λ ik. / u ik p N, (i 1,...,i p ) I p et k 1, p, λ ik K k=1 Dans le cas d une famille finie de vecteurs F = ( u1,..., u p ) : et donc pour x E : { } p Vect(F )= λ i. u i / i 1, p, λ i K i=1 x Vect(F ) (λ1,...,λ p ) K p/ p x = λ i. u i i=1 On adopte aussi la convention : Vect( )= { 0E }. Exemple : On a vu au paragraphe que K n = Vect ( e1,..., ) e n, avec ei = (0,...,0,1,0,...,0), pour i 1,n. i ième position Exemple : On a vu au paragraphe que K[X ]=Vect ( (x x n ) n N ).

114 114 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES Ì ÓÖ Ñ º½½ Propriétés de Vect(F ) Soit F = ( ui )i I une famille de vecteurs de E. 1. Vect(F ) est un sev de E qui contient F : F Vect(F ) ; 2. C est le plus petit sev de E contenant F : si F est un sev de E tel que F F, alors Vect(F ) F. Ce résultat peut servir à montrer très rapidement qu une partie F de E est un sev. Exemple : F= { (x, y, z) R 3/ x+ 2y = z } = Vect [ (1,0,1);(0,1,2) ]. ÓÖÓÐÐ Ö º½¾ Inclusions de Vect Si F et G sont deux familles de vecteurs de E : F G donne Vect(F ) Vect(G ). ÓÖÓÐÐ Ö º½ Règles de calcul sur les Vect Soit ( u1,..., u n, ) u n+1 une famille de vecteurs de E. 1. Si u n+1 est CL de la famille ( u1,..., ) u n, alors on peut «l enlever du Vect» : Vect ( u1,..., u n, ) ( u1 u n+1 = Vect,..., ) u n 2. On peut additionner à un vecteur toute CL des autres : si (λ 1,...,λ n 1 ) K n 1, alors Vect ( ( ) u1,..., u n 1, ) u n = Vect u 1,..., u n 1, n 1 u n + λ i. u i 3. On peut multiplier un vecteur par un scalaire non nul : si α 0, alors Vect ( u1,..., u n 1, ) ( u n = Vect u1,..., u n 1,α. ) u n 4. Vect ( u1,..., ) u n ne dépend pas de l ordre des vecteurs : si σ : 1,n 1,n est bijective, alors Vect ( u1,..., ) ( u n = Vect u σ(1),..., ) u σ(n) 5. On peut «enlever le vecteur nul d un Vect» : Vect ( u1,..., u n, 0 E ) = Vect ( u1,..., u n ) i= Familles génératrices Ò Ø ÓÒ º½ Famille génératrice d un sev Soit F famille de vecteurs de E. On dit que F est une famille génératrice de E, ou que E est engendré par F, lorsque E=Vect(F ). Comme on a F E, on peut dire que Vect(F ) E. Donc F est génératrice de E si et seulement si E Vect(F ), ie tout vecteur x E est CL des vecteurs de F.

115 7.2. FAMILLES DE VECTEURS 115 Rédaction : 1. Cas d une famille finie Soit F = ( u1,..., u p ) une famille finie de p vecteurs de E. Pour montrer qu elle est génératrice de E, on se fixe un vecteur x E, et on cherche des scalaires λ 1,..., λ p, tels que : p x = λ k. u k k=1 En considérant cette égalité comme une équation d inconnue (λ 1,...,λ p ) K p, on doit montrer qu il existe au moins une solution. 2. Cas d une famille infinie Soit F = ( ui )i I une famille infinie de vecteurs de E. Pour montrer qu elle est génératrice de E, on se fixe un vecteur x E, et on cherche un entier p N, des indices (i 1,...,i p ) I p et des scalaires (λ 1,...,λ p ) K p tels que : x = p k=1 λ k. u ik En considérant cette égalité comme une équation d inconnue (λ 1,...,λ p ) K p, on doit montrer qu il existe au moins une solution. Exemple : F= { (x, y, z) R 3/ x+ 2y = z } ( ) est engendré par (1,0,1);(0,1,2). Exemple : Famille génératrice de K n On a vu au paragraphe que la famille ( e1,..., e n ) est génératrice de K n, avec e i = (0,...,0,1,0,...,0), pour i 1,n. i ième position Exemple : Famille génératrice de K[X ] On a vu au paragraphe que la famille (x x n ) n N est génératrice de K[X ]. Ì ÓÖ Ñ º½ Ajout de vecteurs dans une famille génératrice Soient F et G deux familles de vecteurs de E. On suppose que : (i) F G ; (ii) F est génératrice de E. Alors G est aussi une famille génératrice de E. Exemple : F= { (x, y, z) R 3/ x+ 2y = z } ( ) est aussi engendré par (1,0,1);(0,1,2);(1,1,3). En pratique ce résultat n a que très peu d intérêt. En effet, on préférera avoir des familles génératrices de taille minimale (nous verrons pourquoi dans un autre chapitre). Pour cela on utilisera le théorème suivant.

116 116 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES Ì ÓÖ Ñ º½ Enlever des vecteurs dans une famille génératrice Si F = ( u1,..., u p 1, ) u p est génératrice de E, et si up est CL de la famille alors F est encore génératrice de E. F = ( u1,..., u p 1 ), Ce résultat est énoncé dans le cas d une famille finie, mais il est encore valable dans le cas d une famille infinie. On peut donc retenir que dans une famille génératrice de E, si un vecteur est CL des autres, alors on peut l ôter de la famille tout en gardant une famille génératrice de E. Exemple : Si E=Vect [ (1,0);(1, 1);(0,1) ] alors E=Vect [ (1,0);(0,1) ] Familles libres Ò Ø ÓÒ º½ Famille libre Soit F famille de vecteurs de E. 1. Cas d une famille finie Soit F = ( u1,..., u p ) une famille finie de p vecteurs de E (c est-à-dire un p- uplet de vecteurs de E). On dit que F est une famille libre, ou que les vecteurs u 1,..., u p sont linéairement indépendants, lorsque, pour tout (λ 1,...,λ p ) K p : 2. Cas d une famille infinie p λ k. u k = 0 E = λ 1 = =λ p = 0 k=1 Soit F = ( ui )i I une famille infinie de vecteurs de E. On dit que F est une famille libre, ou que les vecteurs u i, pour i I, sont linéairement indépendants, lorsque, pour tout entier p N, pour tout indices (i 1,...,i p ) I p, et pour tout scalaires (λ 1,...,λ p ) K p : p k=1 λ k. u ik = 0 E = λ 1 = =λ p = 0 c est-à-dire que ( ui1,..., ) u ip est une famille libre, pour tout p N, pour tout (i 1,...,i p ) I p. Dans le cas contraire, on dit que F est liée, ou que les vecteurs de F sont linéairement dépendants. On adoptera la convention que est une famille libre de tout K-ev E.

117 7.2. FAMILLES DE VECTEURS 117 On peut remarquer que le caractère libre d une famille de vecteurs F, ne dépend du choix du K-ev E. Par conséquent si F F où F sev de E, alors F est libre dans F si et seulement si elle est libre dans E. Rédaction : 1. Cas d une famille finie Soit F = ( u1,..., u p ) une famille finie de p vecteurs de E. Pour montrer qu elle est libre, on se fixe des scalaires λ 1,..., λ p, tels que : p λ k. u k0e k=1 En considérant cette égalité comme une équation d inconnue (λ 1,...,λ p ) K p, on doit montrer qu elle a pour unique solution λ 1 = =λ p = Cas d une famille infinie Soit F = ( ui )i I une famille infinie de vecteurs de E. Pour montrer qu elle est libre, on se fixe un entier p N, des indices (i 1,...,i p ) I p et des scalaires (λ 1,...,λ p ) K p tels que : p k=1 λ k. u ik = 0 E En considérant cette égalité comme une équation d inconnue (λ 1,...,λ p ) K p, on doit montrer qu elle a pour unique solution λ 1 = =λ p = 0. ( ) ( ) Exemple : Dans R 2, (1,2);(1,3) est libre et (1,0);(1,1);(0,2) est liée. Exemple : Dans K n La famille ( e1,..., ) e n est libre, avec ei = (0,...,0,1,0,...,0), pour i 1,n. Exemple : Dans K[X ] La famille (x x n ) n N est libre. i ième position Ì ÓÖ Ñ º½ Famille libre à un vecteur Soit u un vecteur de E. Alors : ( u ) est libre u 0E Ò Ø ÓÒ º½ Vecteurs colinéaires Soient u et v deux vecteurs de E. On dit que u et v sont colinéaires lorsqu il existe λ K tel que u = λ. v ou v = λ. u, ou de manière équivalente lorsque v 0 E ou il existe λ K tel que u = λ. v.

118 118 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES Ì ÓÖ Ñ º¾¼ Famille libre à deux vecteurs Soient u et v deux vecteurs de E. Alors : ( u, v ) est libre u et v non colinéaires ATTENTION : Ce critère est faux dès qu on a plus de deux vecteurs. Par exemple pour trois vecteurs, le critère devient non coplanaires. ( ) Exemple : Il devient évident que (1,2);(1,3) est libre! Ì ÓÖ Ñ º¾½ Caractérisation des familles liées Soit F = ( ui )i I une famille de vecteurs de E. Alors : F est liée un des vecteurs de F est CL des autres ( ) Exemple : Il devient évident que (1,0);(1,1);(0,2) est liée! ÓÖÓÐÐ Ö º¾¾ Cas simples de familles liées Toute famille de vecteurs de E contenant le vecteur nul, ou deux vecteurs identiques, est liée. Ì ÓÖ Ñ º¾ Enlever des vecteurs dans une famille libre Soient F et G deux familles de vecteurs de E. On suppose que : (i) F G ; (ii) G est libre. Alors F est libre. Exemple : ( ) (1,0,0,0);(0,1,0,0);(0,0,0,1) est libre. En pratique ce résultat n a que très peu d intérêt. En effet, on préférera avoir des familles libres de taille maximale (nous verrons pourquoi dans un autre chapitre). Pour cela on utilisera le théorème suivant. Ì ÓÖ Ñ º¾ Ajout d un vecteur dans une famille libre Si F = ( u1,..., u p ) est libre, alors : et donc par contraposée : ( u1,..., u p, u p+1 ) est libre u p+1 Vect ( u1,..., u p ) ( u1,..., u p, u p+1 ) est liée u p+1 Vect ( u1,..., u p ) u p+1 est CL de ( u1,..., u p )

119 7.2. FAMILLES DE VECTEURS 119 Ce résultat est énoncé dans le cas d une famille finie, mais il est encore valable dans le cas d une famille infinie. On peut donc retenir que si on a une famille libre de E, alors on peut lui ajouter un vecteur qui n est pas CL des vecteurs de la famille, tout en gardant une famille libre. ( ) Exemple : Former une famille libre à trois vecteurs à partir de (1,2,0);(2,1,0) Bases Ò Ø ÓÒ º¾ Base d un K -ev Soit B famille de vecteurs de E. On dit que B est une base de E lorsque B est libre et génératrice de E. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Base de Vect(F ) Soit F famille de vecteurs de E. Alors : F base de Vect(F ) F est libre ( ) Exemple : B= (1,0,1);(0,1,2) est une base de F= { (x, y, z) R 3/ x+ 2y = z }. Exemple : Base canonique de K n On pose B= ( e1,..., ) e n, avec ei = (0,...,0,1,0,...,0), pour i ième position i 1,n. On a vu au paragraphe que B est génératrice de K n, et au paragraphe qu elle est libre. Donc B est une base de K n, appelée base canonique de K n. Exemple : Base canonique de K[X ] On pose B= (x x n ) n N. On a vu au paragraphe que B est génératrice de K[X ], et au paragraphe qu elle est libre. Donc B est une base de K[X ], appelée base canonique de K[X ]. Ì ÓÖ Ñ º¾ Caractérisation des bases 1. Cas d une famille finie Soit B= ( ε1,..., ) ε n une famille de vecteurs de E. Alors on a équivalence de : (i) B est une base de E ; (ii) pour tout x E,!(λ 1,...,λ p ) K p tel que p x = λ k.ε k. k=1

120 120 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. Cas d une famille infinie Soit B= ( εi )i I une famille de vecteurs de E. Alors on a équivalence de : (i) B est une base de E ; (ii) pour tout x E,!(λ i ) i I famille de scalaires de K, tous nuls sauf un nombre fini, telle que p x = λ i.ε i (la somme est bien définie car il n y a qu un nombre fini i I de termes non nuls). Ò Ø ÓÒ º¾ Coordonnées dans une base 1. Cas d une famille finie Soit B = ( ε1,..., ) ε n une base de E. Le théorème précédent donne que tout x E est caractérisé par l unique p-liste (λ1,...,λ p ) K p tel que p x = λ k.ε k. Les scalaires (λ 1,...,λ p ) sont appelés coordonnées de x dans la base B. On le note : x = (λ1,...,λ p ) B k=1 2. Cas d une famille infinie Soit B = ( εi )i I une base de E. Le théorème précédent donne que tout x E est caractérisé par l unique famille de scalaires (λ i ) i I, tous nuls sauf un nombre fini, tel que x = i I λ i.ε i. Les scalaires de la famille (λ i ) i I sont appelés coordonnées de x dans la base B. On le note : x = (λi ) B i I Exemple : Coordonnées dans la base canonique de K n Elles sont égales aux composantes du vecteur. Par exemple, si x = (2,1,3), alors ses coordonnées dans la base canonique de R 3 sont (2,1,3). Exemple : Coordonnées dans la base canonique de K[X ] Elles sont égales aux coefficients de la fonction polynômes. Par exemple, f : x x 2 +2x+1 a pour coordonnées (1,2,1,0,0,...). Exemple : Dans F= { (x, y, z) R 3/ x+ 2y = z } ( ). Une base de F est B = (1,0,1);(0,1,2). Par exemple : x = (1,1,3)=(1,1) B.

121 7.3. SOMMES DE SOUS-ESPACES VECTORIELS Sommes de sous-espaces vectoriels Sommes de sous-espaces vectoriels de E Ò Ø ÓÒ º¾ Somme de parties de E On considère p parties de E notés F 1, F 2,..., F p. On appelle somme de F 1, F 2,..., F p, notée F 1 + F 2 + +F p = F 1 + F 2 + +F p = p k=1 On a donc x F 1 +F 2 + +F p = que x = p u k. k=1 p F k, la partie de E suivante : { F k = x = u1 + u / u u1 p F 1 et u 2 F 2 et... et } u p F p k=1 p F k si et seulement si il existe ( u1,..., ) u p F1 F p tel k=1 En particulier si F 1 et F 2 sont deux parties de E, alors F 1 + F 2 E et pour x E : x F1 + F 2 ( u1, u 2 ) F1 F 2 / x = u 1 + u 2 En général il n y pas unicité des vecteurs u 1,..., u p tels que x = l exemple suivant. p u k, comme le montre Exemple : Dans R 3, on note F 1 = { (x, y, z) R 3/ x+y z = 0} et F 2 = { (x, y, z) R 3/ z = 0}. Alors (1,1,1)=(0,1,1) + (1,0,0) = (1,0,1) + (0,1,0). F 1 F 2 F 1 F 2 On a les cas particuliers suivants. k=1 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ¼ On a E+E=E, E+ { 0E } = { 0E } + E=E et { 0E } + { 0E } = { 0E }. Ì ÓÖ Ñ º ½ Propriétés d une somme de sev On suppose que F 1, F 2,..., F p sont des sev de E. Alors : p 1. F 1 + F F p = F k est un sev de E, contenant les F i, pour i 1, p ; k=1 2. c est le plus petit sev de E contenant les F i, pour i 1, p, c est-à-dire que si G est un sev de E vérifant F 1 G et... et F p G, alors F 1 + F F p G. En particulier si F 1 et F 2 sont deux sev de E alors F 1 + F 2 est encore un sev de E, tel que F 1 F 1 + F 2 et F 2 F 1 + F 2, et c est le plus petit sev de E vérifant ces propriétés.

122 122 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES Ì ÓÖ Ñ º ¾ Famille génératrice d une somme de sev Soient F 1 et F 2 deux sev de E. On suppose qu on a F une famille génératrice de F 1 et G une famille génératrice de F 2. Alors F G est une famille génératrice de F 1 + F 2 : Vect(F )+Vect(G )=Vect(F G) Exemple : Dans R 3 : Vect [ (1,0,1);(0,1,1) ] + Vect [ (1,0,0);(0,1,0) ] = Vect [ (1,0,1);(0,1,1);(1,0,0);(0,1,0) ] ATTENTION : ce résultat est faux avec des familles libres, comme le montre le contreexemple suivant. Exemple : F = ( ) ( ) (1,0,1);(0,1,1) et G = (1,0,0) ;(0,1,0) sont libres (car composées de deux = u 1 = u 2 = u 3 = u 4 vecteurs non colinéaires), mais F G = ( u1, u 2, u 3, ) u 4 ne l est plus car : u 1 u 2 = (1, 1,0)= u 3 u Sommes directes de sous-espaces vectoriels Ò Ø ÓÒ º Somme directe de deux sev Soient F 1 et F 2 deux sev de E. On dit que F 1 et F 2 sont en somme directe, ou que la somme F 1 + F 2 est directe, lorsque F 1 F 2 = { 0E }. Dans ce cas F 1 + F 2 est notée F 1 F 2. Ì ÓÖ Ñ º Première caractérisation d une somme directe Soient F 1 et F 2 deux sev de E. Alors : F 1 et F 2 sont en somme directe si, et seulement si, tout vecteur x F 1 + F 2 s écrit de manière unique x = f 1 + f 2 avec f 1 F 1 et f 2 F 2. Ì ÓÖ Ñ º Famille libre d une somme directe Soient F 1 et F 2 deux sev de E, en somme directe. Alors l union d une famille libre de F 1 et d une famille libre de F 2 donne une famille libre de F 1 + F 2. ÓÖÓÐÐ Ö º Seconde caractérisation d une somme directe Soient F 1 et F 2 deux sev de E. Alors : F 1 et F 2 sont en somme directe si, et seulement si, l union d une base de F 1 et d une base de F 2 donne une base de F 1 + F 2. Ce résultat est alors vrai pour toutes les bases de F 1 et F 2.

123 7.3. SOMMES DE SOUS-ESPACES VECTORIELS 123 On verra, tout au long de l année, qu il est fréquent dans les résultats d algèbre linéaire, qu une propriété vraie sur un cas particulier, s étende automatiquement au cas général (ici : si la propriété est vraie pour une base de F 1 et F 2, elle est alors vraie pour toutes les base de F 1 et F 2 ). Ò Ø ÓÒ º Sous-espaces vectoriels supplémentaires Soient F 1 et F 2 deux sev de E. On dit qu ils sont supplémentaires dans E lorsque F 1 F 2 = E. ATTENTION : ne pas confondre avec la notion de complémentaire (qui ne donne pas un sev)! Ì ÓÖ Ñ º Caractérisations des sous-espaces vectoriels supplémentaires Soient F 1 et F 2 deux sev de E. On a équivalence de : 1. F 1 et F 2 sont supplémentaires dans E : E=F 1 F 2 ; 2. F 1 + F 2 = E et F 1 F 2 = { 0E } ; 3. l union d une base de F 1 et d une base de F 2 donne une base de E ; 4. tout vecteur e E se décompose de manière unique sous la forme e = f 1 + f 2, avec f1 F 1 et f 2 F 2. Dans ce cas l union de n importe quelle base de F 1, avec n importe quelle base de F 2 donne une base de E ; on dit qu on a une base de E adaptée à la somme directe E=F 1 F 2. Exemple : R 2 = Vect [ (1,0) ] Vect [ (0,1) ], donc F 1 = Vect [ (1,0) ] et F 2 = Vect [ (0,1) ] sont supplémentaires dans R 2. Rédaction : Dans la majorité des cas, on utilise le point 4. pour montrer que F 1 et F 2 sont supplémentaires dans E. On a donc deux choses à démontrer : l existence et l unicité de la décomposition de tout vecteur de E. Il est plus facile commencer par vérifier l unicité de la décomposition (si elle existe), puis de vérifier l existence d au moins une décomposition (en en donnant un exemple). On rédige cette démonstration par analyse-synthèse : On montre que F 1 et F 2 sont deux sev de E. On a donc F 1 + F 2 E. On se donne e E fixé quelconque. ANALYSE : on suppose qu on a trouvé au moins une décomposition de de e : e = f1 + f 2, avec f 1 F 1 et f 2 F 2. On veut montrer que cette décomposition est unique ; pour cela on cherche à calculer

124 124 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES f1 et f 2 en fonction de e. À ce stade, on a montré que F 1 et F 2 sont en somme directe ; donc F 1 F 2 E. SYNTHESE : On veut montrer que e a au moins une décomposition ; pour cela on utilise les formules obtenues dans la partie analyse. On définit donc f 1 et f 2 en fonction de e, à partir des formules obtenues dans la partie analyse. Il reste à vérifier que ceci donne bien une décomposition de e dans F 1 F 2, c est-à-dire trois points : (i) f 1 F 1 ; (ii) f 2 F 2 et (iii) f 1 + f 2 = e. On alors montré que E F 1 F 2 ; et donc par double-inclusion : E=F 1 F 2. La synthèse n est qu une simple vérification, mais elle est indispensable dans le raisonnement, il ne faut donc pas la négliger! Considérer par exemple E=R N, F 1 = { (a n ) n N / n N, a n = a n+1 + a n+2 } et F2 = { (b n ) n N / n N, bn+1 + b n+2 = 0 } : la somme est directe mais différente de E! 7.4 Applications linéaires Dans tout ce paragraphe, E et F désignent deux K-ev Définitions et première propriétés Ò Ø ÓÒ º Application linéaire Soit f une application définie sur E à valeurs dans F : On dit que f est linéaire lorsque : 1. ( x1, x 2 ) E 2, f ( x1 + x 2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) 2. ( α, x 1 ) K E, f ( α. x1 ) = α.f ( x1 ) f : E F On note L (E, F) l ensemble des applications linéaires de E dans F. L (E,F) est donc une partie de F E. Vocabulaire et notations : Si E = F, L (E,E) est noté plus simplement L (E). Les éléments de L (E) sont appelés endomorphismes de E. Si f L (E, F) est bijective de E sur F, alors f est appelée isomorphisme de E sur F.

125 7.4. APPLICATIONS LINÉAIRES 125 Si f est à la fois un endomorphisme de E et un isomorphisme de E sur E, c est-à-dire que f : E E est linéaire et bijective de E sur E, alors f est appelée automorphisme de E. L ensemble des automorphismes de E est noté Gl(E). Si F = K alors les applications linéaires f : E K sont appelées formes linéaires sur E. Exemple : Application nulle de E dans F. Elle est linéaire, donc O L (E,F) L (E,F). Exemple : Application identité de E. Elle est linéaire et bijective, donc id E Gl(E). O L (E,F) : E F ( x OL x ) (E,F) = 0F id E : E E ( x ) x ide = x Exemple : Somme des composantes d un n-uplet. S : K n K u = (x1,..., x n ) S ( ) u = n k=1 x k Elle est linéaire, donc S est une forme linéaire sur K n. Exemple : Intégrale d une fonction continue. On note C ([a, b]) l ensemble des fonction numériques continues sur [a, b]. I : C ([a,b]) R f I (f )= b a f (t)dt Elle est linéaire, donc I est une forme linéaire sur C ([a,b]). Ì ÓÖ Ñ º ¼ Critère de linéarité Soit f : E F une application. On a équivalence de : 1. f est linéaire ; 2. ( α, x 1, x 2 ) K E 2, f ( α. x 1 + x 2 ) = α.f ( x1 ) + f ( x2 ) C est ce critère qu on utilise en pratique pour montrer qu une application est linéaire. Exemple : Un exemple de R 3 dans R 2. f : R 3 R 2 u = (x, y, z) f ( u ) = f (x, y, z)=(2x z, x+y+ z) Elle est linéaire, donc f L (R 3,R 2 ).

126 126 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ½ Propriétés des applications linéaires Soit f L (E,F). 1. f ( ) 0E = 0F ; 2. ( x1, ) x 2 E 2, f ( x1 ) ( x1 ) ( x2 ) x 2 = f f en particulier x 1 E, f ( ) ( x 1 = f x1 ) ; 3. ( ( x1,..., ) n x n E n, (λ 1,...,λ n ) K n, f k=1 λ k xk )= n λ k.f ( ) xk k= Opérations sur les applications linéaires Somme et multiplication par un scalaire Rappel : si (f, g ) L(E,F) et α K, on définit les applications f +g : E F et α.f : E F par : x E, (f + g ) ( ) def x = f ( ) ( x + g x ) (α.f ) ( ) def x = α.f ( ) x ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ¾ Opérations dans L (E,F) Si (f, g ) L(E,F) et α K, alors f + g L (E,F) et α.f L (E,F). ÓÖÓÐÐ Ö º Structure de K-espace vectoriel sur L (E,F) Si E et F sont deux K-espaces vectoriels, alors L (E,F) muni des deux opérations ci- dessus est aussi un K-espace vectoriel (c est un sous-espace vectoriel de F E ). En particulier L (E) est aussi un K-ev Composition Ì ÓÖ Ñ º Composition d applications linéaires On se donne un troisième K-ev noté G. 1. Si f L (E,F) et g L (F,G), alors g f L (E,G). 2. Si f est un isomorphisme de E sur F et g est un isomorphisme de F sur G, alors g f est un isomorphisme de E sur G. 3. Si f et g sont deux automorphismes de E, alors g f est un automorphisme de E.

127 7.4. APPLICATIONS LINÉAIRES 127 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Règles de calcul dans ( L (E,F),+,., ) On se donne (f 1, f 2 ) L (E,F) 2 et (g 1, g 2 ) L (F,G) est distributive par rapport à + : g 1 (f 1 + f 2 )=g 1 f 1 + g 2 f 2 et (g 1 + g 2 ) f 1 = g 1 f 1 + g 2 f Si α K : g 1 (α.f 1 )=α.(g 1 f 1 )=(α.g 1 ) f 1. Rappelons que est aussi associative, mais non commutative : g f f g en général. Ò Ø ÓÒ º Puissance d un endomorphisme Si f L (E), on pose f 0 = ide et n N, f n+1 = f f n. On a donc n N, f n = f f f. } {{ } n fois D après les résultats précédents, on a : n N, f n L (E). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Règles de calcul Si (n, p) N 2, on a : ( f n) p = f np = ( f p) n et f n f p = f n+p = f p f n. Par contre, en général : ( g f ) n g n f n. Ä ÑÑ º Si (f, g ) L (E) 2 commutent, ie g f = f g, alors : n N, ( g f ) n = g n f n. On dispose même d une formule du binôme! Ì ÓÖ Ñ º Formule du binôme de Newton, version endomorphisme Si (f, g ) L(E) 2 commutent, ie g f = f g, alors : n N, (f + g ) n = ( ) n n.f k g n k = (g + f ) n = k k=0 ( ) n n.g k f n k k k=0 ATTENTION : ce résultat est faux si g f f g. Par exemple, on a : (f + g ) 2 = f 2 + f g + g f + g 2 f f g + g Bijection réciproque Ì ÓÖ Ñ º ¼ Bijection réciproque d un iso/automorphisme 1. Si f est un isomorphisme de E sur F, alors f 1 est un isomorphisme de F sur E. 2. Si f est un automorphisme de E, alors f 1 est un automorphisme de E.

128 128 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES Ò Ø ÓÒ º ½ Puissances négatives d un automorphisme Soit f un automorphisme de E. On pose : Pour tout n N, f n = f f f ; } {{ } n fois pour tout n Z\N, f n = ( f 1) ( f 1) ( f 1) } {{ } n fois ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ¾ Règles de calcul Si (n, p) Z 2, on a : ( f n) p = f np = ( f p) n et f n f p = f n+p = f p f n et ( f 1) n = f n Noyau et image d une application linéaire Ò Ø ÓÒ º Noyau et image Soit f L (E,F). 1. Si f L (E, F), on appelle noyau de f la partie de E suivante : Ker(f )= f 1({ 0F }) = { x E / f ( x ) = 0 } On a donc pour x E : x Ker(f ) f ( x ) = 0 2. Si f L (E,F), on appelle image de f la partie de F suivante : Im(f )= f (E)= { f ( x ) F / x E } On a donc pour y F : y Im(f ) x E/ y = f ( x ) Ì ÓÖ Ñ º Ker(f ) et Im(f ) sont des K-ev Soit f L (E,F). Alors Ker(f ) est un sev de E et Im(f ) est un sev de F. Exemple : On considère l application : f : R 3 R 2 u = (x, y, z) f ( u ) = f (x, y, z)=(2x z, x+y+ z) Déterminer une base de Ker(f ) et Im(f ). Exemple : g f = 0 Im(f ) Ker(g ). ATTENTION : en particulier g f = 0 ne donne pas f = 0 ou g = 0. Prendre par exemple f (x, y)=(x, x) et g (x, y)=x y.

129 7.4. APPLICATIONS LINÉAIRES 129 ATTENTION : Im(f )=Im(g ) ne donne pas que f = g. Prendre par exemple f (x, y)=x et g (x, y)= x+y. Ì ÓÖ Ñ º Critères d injectivité et de surjectivité Soit f L (E,F). Alors : 1. f est injective sur E Ker(f )= { 0E }. 2. f est surjective de E sur F Im(f )=F. Le premier point n est vrai que si f est linéaire. Par contre le second est vrai en général, quelle que soit l application (il ne sera donc pas très utile en pratique) Image d une famille de vecteurs Si F = ( ) ui i I (f famille de vecteurs de E, et si f L (E,F), alors on définit f (F )= ( ) ) ui i I qui est une famille de vecteurs de F, appelée famille image de la famille F par f. Comme les familles F = ( ) ui i I (f et f (F )= ( ) ) ui sont indexées par le même ensemble d indices, i I elles ont le même nombre de vecteurs. En particulier si ( u1,..., u p ) est une famille de p vecteurs de E, alors f (F )= ( f ( u1 ),..., f ( up ) ) est une famille de p vecteurs de F. Ì ÓÖ Ñ º Une application linéaire est déterminée par l image d une base Si B= ( ) εi i I est une base de E et si ( vi )i I est une famille de vecteurs de F, alors il existe une unique application f L (E,F) telle que i I, f ( ) εi = vi. Elle est définie ainsi : si x E a pour coordonnées (λ i ) i I dans B, alors f ( ) x = λ i.f ( ) xi. i I Il faut retenir deux points : pour définir f L (E,F), il suffit de se donner la valeur des vecteurs f ( εi ), pour i I ; pour montrer que f g, ie que f ( x ) = g ( x ) pour tout x E, il suffit de vérifier que : f ( εi ) = g ( εi ) pour tout i I. Ì ÓÖ Ñ º Image d une famille de vecteurs Soient F une famille de vecteurs de E et f L (E,F). 1. On a : f ( Vect[F ] ) = Vect [ f (F ) ] 2. En particulier si B est génératrice (ou une base) de E : Im(f )=Vect [ f (B) ]

130 130 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES Ì ÓÖ Ñ º Applications linéaires et familles de vecteurs Soit f L (E,F). 1. De plus : f est injective sur E = F famille libre de E, f (F ) famille libre de F f est injective sur E il existe B base de E telle que f (B) famille libre de F 2. et c est alors vrai pour toutes les bases de E. f est surjective de E sur F = F famille génératrice de E, f (F ) génératrice de F De plus : f est surjective de E sur F il existe B base de E telle que f (B) génératrice de F 3. et c est alors vrai pour toutes les bases de E. De plus : f est un isomorphisme de E sur F= B base de E, f (B) base de F f est un isomorphisme de E sur F il existe B base de E telle que f (B) base de F et c est alors vrai pour toutes les bases de E Projections et symétries Projections Ò Ø ÓÒ º Projection Soient F et G deux sev de E, tels que E=F G. L application : p : E E x = xf + x G p ( ) x = xf est appelée projection sur F parallèlement à G. De même l application : q : E E x = xf + x G p ( ) x = xg est appelée projection sur G parallèlement à F. p et q sont appelés projections associées à la somme directe E=F G. Lorsqu on montre que E=F G par analyse-synthèse, les formules obtenues dans la partie analyse donnent une expression de p ( x ).

131 7.4. APPLICATIONS LINÉAIRES 131 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ¼ Propriétés des projections 1. p et q sont des endomorphismes de E ; 2. p+ q = id E ; 3. p q = q p = 0 L (E), p p = p et q q = q ; 4. Pour x E : x Ker(p) p ( x ) = 0 et x Im(p) p ( x ) = x ; 5. Ker(p) = G = Im(q) = Im(p id E ) et Im(p) = F = Ker(q) = Ker(p id E ) = ensemble des points fixes de p ATTENTION : si p et q sont deux projecteurs de E, on n a pas en général p q = 0 L (E)! Sauf si p et q sont deux projecteurs associés, ie si p+ q = id E. Ò Ø ÓÒ º ½ Projecteurs Soit f un endomorphisme de E. On dit que f est un projecteur lorsque f f = f. Ì ÓÖ Ñ º ¾ Caractérisation des projections Soit p un endomorphisme de E. Alors p est une projection si et seulement si p est un projecteur, ie p p = p. On a alors E=Ker(p) Im(p) et p est la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p). Exemple : Calculer (id E + p) n pour tout n N, lorsque p est un projecteur de E. ATTENTION : si f est un endomorphisme de E, qui n est pas un projecteur, alors on ne peut pas dire que E=Ker(f ) Im(f ). Noter que 0 L (E) et id E sont deux projecteurs associés de E associés à la somme directe E=E { 0 E } Symétries Ò Ø ÓÒ º Symétries Soient F et G deux sev de E, tels que E=F G. L application : s : E E x = xf + x G s ( ) x = xf x G est appelée symétrie par rapport à F parallèlement à G. Avec les notations du paragraphe précédent, on a : s = p q = 2p id E = id E 2q.

132 132 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Propriétés des symétries 1. s est un endomorphisme de E ; 2. s s= id E donc s est un automorphisme de E et s 1 = s ; 3. F = Ker(s id E ) = ensemble des points fixes de s et G = Ker(s + id E ) = ensemble des anti-points fixes de s Ì ÓÖ Ñ º Caractérisation des symétries Soit s un endomorphisme de E. Alors s est une symétrie si et seulement si s s= id E. On a alors E=Ker(s id E ) Ker(s+ id E ) et s est la symétrie par rapport à Ker(s id E ) parallèlement à Ker(s+ id E ). Exemple : En considérant la symétrie s : f R R s(f ) R R définie par s(f )(x) = f ( x), montrer que, dans R R, les espaces des fonctions paires et impaires sont supplémentaires. Noter que id E est une symétrie E associés à la somme directe E = E { 0 E } (mais 0L (E) n en est pas une).

133 7.5. EXERCICES Exercices Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels Ü Ö º½ Dans chacun des cas suivants, justifier si la partie considérée est un sousespace vectoriel. 1. A= { (x, y) R 2 ; x 2 y 2 = 0 } 2. B = { (x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 0 } 3. C = { (x, y) R 2 ; x y = 0 } 4. D = { (a+ b, a b, a); (a,b) R 2} 5. E = {(1+ x, x); x R} 6. F = Z 2 = Z Z Ü Ö º¾ On note R R l ensemble des fonctions numériques. Déterminer si les parties suivantes sont des sous-espaces vectoriels de R R : 1. A= { f R R / f continue } 2. B = { f R R / f paire } 3. C = { f R R / f impaire } Ü Ö º On note R N l espace vectoriel des suites réelles. Les parties suivantes sontelles de sous-espaces vectoriels de R N? 1. A= { (u n ) n N R N / (u n ) n N bornée } 2. B = { (u n ) n N R N / (u n ) n N monotone } 3. C = { (u n ) n N R N / (u n ) n N convergente } 4. D = { (u n ) n N R N / (u n ) n N arithmétique } { 5. E = (u n ) n N R N / n N,u n+2 = u n } n+ 1 u n Ü Ö º Soient F et G deux sev de E K-ev. Montrer que F G est un sev de E si et seulement si F G ou G F. Familles libres, génératrices Ü Ö º Les familles suivantes sont-elles libres (si non, on donnera une combinaison linéaire nulle, dont les coefficients sont non tous nuls)? génératrices de R 3 (si non, on donnera un vecteur de R 3 qui ne s exprime pas en fonctions des vecteurs de la famille)? Sontelles des bases de R 3? F 1 = F 2 = F 3 = ( ) (2,4,3),(1,5,7) ( ) (1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6) ( ) (9, 3,7),(1,8,8),(5, 5,1) Ü Ö º Les sev de K n peuvent être définie de 3 façons différentes : Par des équations cartésiennes : A= { (x, y, z, t) R 4 ; x y+ z = 0 et y 2t = 0 }. Par un paramétrage : B = { (2a 3b+ c, a+ 2b c, b+ c, a); (a,b,c) ( R 3}. ) Par la donnée d une base (ou d une famille génératrice) : C = V ect (1,2, 1,0),(0,1,3, 1). Ecrire chacun de ces ensembles sous les trois formes possibles.

134 134 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES Ü Ö º Les famille suivantes sont-elles des familles libres de l espace vectoriel indiqué? ( 1. x (x 1) 2, x (x 2) 2, x (x 3) 2) dans R R ( ) 2. x cos x, x cos(3x), x cos 3 x dans R R ) 3. ((1) n N,(cos 2 n) n N,(cos(2n)) n N dans R N ) 4. ((2 n ) n N,(3 n ) n N,(n) n N dans R N ( ) Ü Ö º Montrer que la famille x sin(nx) est libre dans n N RR (on pourra dériver deux fois). Sommes directes et sous-espaces supplémentaires Ü Ö º Soient E= { (x 1,..., x n ) K n ; } n x k = 0 et F={(λ,λ,...,λ); λ K}. 1. Montrer que E et F sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de K n. 2. Déterminer une base de E et de F. k=1 Ü Ö º½¼ Soit I un intervalle de R centré en 0. On note R I l ensemble des fonctions numériques définies sur I. On pose : A = { f R I/ f paire sur I } et B= { f R I/ f impaire sur I } Montrer que A et B sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de R I. Applications linéaires Ü Ö º½½ Soient E, F et G trois K-ev et f L (E,F), g L (F,G). Montrer que : g f = 0 Im(f ) Ker(g ). Ü Ö º½¾ Soient E un K-ev et f, g deux endomorphismes de E. 1. Montrer que Ker(f ) Ker(g f ) et Im(g f ) Im(g ). 2. Montrer que Ker(g ) Im(f )= f ( Ker(g f ) ). 3. On suppose que f et g commutent i.e. f g = g f. Montrer que Ker(g ) et Im(g ) sont stables par f. Ü Ö º½ 1. Soit f : R 3 R 3 définie par : f (x, y, z)= (x 2 + z, y+ z, z+ 1). f est-elle linéaire? 2. Soit ϕ : R 4 R 3 définie par : ϕ(x, y, z, t)=(x y+ t,2x+y z, y+ z). Montrer que ϕ est linéaire et déterminer Ker ϕ et Im ϕ. Ü Ö º½ Vérifier que les applications suivantes sont des endomorphismes de R N et déterminer leur noyau et leur image : 1. ϕ : R N R N 2. ψ : R N R N u= (u n ) n N ϕ(u)=(u n+1 ) n N u= (u n ) n N ψ(u)=(u n+1 2u n ) n N

135 7.5. EXERCICES 135 Ü Ö º½ Vérifier que les applications suivantes sont linéaires et déterminer leur noyau et leur image : 1. ψ : R R R R 2. ϕ : R R R f ψ(f )=g où g (x)= f (x)+ f ( x) f f (1) Ü Ö º½ Soient E un K-ev et f L (E) tel que f 2 3 f + 2id E = Montrer que f est un automorphisme et donner f 1 en fonction de f. 2. Montrer qu il existe deux suites (a n ) et (b n ) de scalaires telles que pour tout n N, f n = a n id E + b n f. En déduire f n en fonction de n. Ü Ö º½ Soient E,F,E,F des K-ev, ϕ un isomorphisme de E sur E, et ψ un isomorphisme de F sur F. Montrer que l application : est bien définie et est un isomorphisme. Projections et symétries Θ : L (E,F) L (E,F ) f ψ f ϕ 1 Ü Ö º½ Soit E un K-ev de base B= ( e1, e 2, ) e 3. ) ) On considère les sev de E suivant : F=Vect ((1,0,0) B,(1,1,1) B et G=Vect ((1,2,0) B. Montrer que F et G sont supplémentaires dans E, et déterminer l expression analytique du projecteur sur F parallèlement à G, et de la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Ü Ö º½ Soit f : R 3 R 3 définie par : f (x, y, z) = (x+ z, y + z,0). Montrer que f est un projecteur et préciser son support et sa direction. Ü Ö º¾¼ Soient p et q deux projecteurs d un K-ev E. 1. Montrer que p et q ont même image si et seulement si p q = q et q p = p. 2. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que p et q projettent selon la même direction. Ü Ö º¾½ Soient p et q deux projecteurs d un K-ev E. 1. Montrer que p+ q est un projecteur si et seulement si p q = q p = 0 L (E). 2. Dans ce cas, vérifier que : Ker(p+ q)=ker p Ker q et Im(p+ q)=im p Im q.

136 136 CHAPITRE 7. ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES

137 Chapitre 8 Généralités sur les fonctions numériques 8.1 Étude d une fonction réelle d une variable réelle On munit le plan d un repère orthonormé ( O; i, j ) Fonction réelle d une variable réelle Ò Ø ÓÒ º½ Fonction réelle d une variable réelle On appelle fonction réelle d une variable réelle toute application f : A R, où A est une partie non vide de R. Pour simplifier on dira que f est une fonction réelle. ATTENTION : il faut veiller à ne pas confondre les notations f et f (x). f désigne l application et f (x) désigne l image de x. L application f peut être aussi notée x f (x) Ensemble de définition Ò Ø ÓÒ º¾ Ensemble de définition L ensemble définition d une fonction réelle f est le sous-ensemble de R, noté D f, formé des x R pour lesquels l expression f (x) est définie. Exemple : f (x)= x donne D f = R + = [0,+ [. Exemple : f (x)=ln(x) donne D f = R + =]0,+ [. Exemple : f (x)=e x donne D f = R. Exemple : f (x)= 1 1 x 2 donne D f = R\{ 1,1}=], 1[ ] 1,1[ ]1,+ [. 137

138 138 CHAPITRE 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES Représentation graphique de f Ò Ø ÓÒ º Graphe de f Soit f : D f R. Le graphe de f est le sous-ensemble de R 2, noté G f, défini par : G f = {( x, f (x) )/ x D f } Représenter f c est représenter G f dans le repère ( O; i, j ). On obtient une courbe du plan, appelée représentation graphique de f, notée C f. Exemple : f : x ln(x) donne G f = { (x,ln x)/ x > 0 }. 3 2 C f Ò Ø ÓÒ º Périodicité Soient f : D f R et T > 0. La fonction f est dite périodique de période T, ou encore T -périodique, lorsque : (i) x D f, x+ T D f (ii) x D f, f (x+ T )= f (x). On peut remarquer que si D f = R, la condition (i) est automatiquement vérifiée. On montre facilement que la condition (ii) entraîne que : x R, k Z, f (x+ kt )= f (x) Exemple : La fonction tan est π-périodique. Interprétation graphique Si f est T -périodique alors son graphe est invariant par toute translation de vecteur kt. i, avec k Z.

139 8.1. ÉTUDE D UNE FONCTION RÉELLE D UNE VARIABLE RÉELLE 139 Il suffit donc d étudier f sur un intervalle de longueur T, ie du type [a, a+ T ] avec a R (on choisit souvent [0,T ] ou [ T 2, T 2 ] ). Le reste du graphe de f se déduit ensuite par translations de vecteurs kt. i, k Z. Exemple : Pour la fonction tan π. π. i i π. i M M M M 1 3π 2 π π 2 1 π 2 π 3π 2 2π 5π Ò Ø ÓÒ º Parité Soient f : D f R et A D f. 1. La fonction f est dite paire sur A lorsque : (i) x A, x A (ii) x A, f ( x)= f (x). 2. La fonction f est dite impaire sur A lorsque : (i) x A, x A (ii) x A, f ( x)= f (x). Évidemment si D f = R, la condition (i) est automatiquement vérifiée. Exemple : La fonction x x 2 est paire sur R, et x x 3 est impaire sur R. Interprétation graphique 1. Si f est paire alors son graphe est symétrique par rapport à l axe des ordonnées (0y). On peut donc restreindre l étude à D f R + ou D f R. 2. Si f est impaire alors son graphe est symétrique par rapport au point O. On peut donc restreindre l étude à D f R + ou D f R.

140 140 CHAPITRE 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES Exemple : Pour la fonction x x 2. 4 C f 3 M 2 1 M Exemple : Pour la fonction x x C f 2 1 M 2 M

141 8.1. ÉTUDE D UNE FONCTION RÉELLE D UNE VARIABLE RÉELLE 141 Ò Ø ÓÒ º Axe de symétrie Soient f : D f R et a R. On dit que la courbe représentative de f admet la droite d équation x = a comme axe de symétrie lorsque : (i) x D f, 2a x D f (ii) x D f, f (2a x)= f (x). Remarquez que si a= 0, on retrouve la définition d une fonction paire. Exemple : La courbe de la fonction x (x a) 2 admet la droite x = a comme axe de symétrie. Interprétation graphique Si la courbe représentative de f admet la droite x = a comme axe de symétrie, on peut restreindre l étude à D f [a,+ [ ou D f ], a]. Exemple : Pour la fonction x (x 1) M 3 2 M C f Ò Ø ÓÒ º Centre de symétrie Soient f : D f R et Ω un point du plan de coordonnées (a,b). On dit que la courbe représentative de f admet le point Ω comme centre de symétrie lorsque : (i) x D f, 2a x D f (ii) x D f, f (2a x)=2b f (x). Remarquez que si a= b= 0, on retrouve la définition d une fonction impaire.

142 142 CHAPITRE 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES Exemple : La courbe de la fonction x (x a) 3 +b admet le point Ω(a,b) comme centre de symétrie. Interprétation graphique Si la courbe représentative de f admet le point Ω(a, b) comme centre de symétrie, on peut restreindre l étude à D f [a,+ [ ou D f ], a]. Exemple : Pour la fonction x (x 1) M C f M 1 Ω Monotonie Ò Ø ÓÒ º Fonction monotone Soit f fonction définie sur un intervalle I de R. 1. f est croissante sur I lorsque : (x, y) I 2, x y = f (x) f (y) Dans ce cas : et x < y = f (x) f (y) f (x)< f (y)= x<y = x y Par contre si on a seulement l inégalité large f (x) f (y), alors on ne peut pas comparer x et y.

143 8.1. ÉTUDE D UNE FONCTION RÉELLE D UNE VARIABLE RÉELLE f est strictement croissante sur I lorsque : (x, y) I 2, x < y = f (x)< f (y) Dans ce cas : et x < y f (x)< f (y) x y f (x) f (y) 3. f est décroissante sur I lorsque : (x, y) I 2, x y = f (x) f (y) Dans ce cas : et x < y = f (x) f (y) f (x)< f (y)= x>y = x y Par contre si on a seulement l inégalité large f (x) f (y), alors on ne peut pas comparer x et y. 4. f est strictement décroissante sur I lorsque : (x, y) I 2, x < y = f (x)> f (y) Dans ce cas : et x < y f (x)> f (y) x y f (x) f (y) 5. f est dite monotone sur I lorsqu elle est croissante ou décroissante sur I. 6. f est dite strictement monotone sur I lorsqu elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I. Exemple : x e x est strictement croissante sur R. Exemple : x x 2 est strictement décroissante sur R =],0]. Exemple : x x est croissante sur R. On rappelle deux théorèmes bien connus qui seront démontrés dans le chapitre sur les fonctions numériques dérivables.

144 144 CHAPITRE 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES Ì ÓÖ Ñ º Monotonie et signe de la dérivée On suppose que f est une fonction dérivable sur un intervalle I. 1. f est croissante sur I x I, f (x) 0 2. f est décroissante sur I x I, f (x) 0 3. f est constante sur I x I, f (x)=0 Ì ÓÖ Ñ º½¼ Stricte monotonie et signe de la dérivée On suppose que f est une fonction dérivable sur un intervalle I. 1. f (x)>0 pour tout x I sauf éventuellement en des points «isolés»= f strictement croissante sur I 2. f (x)<0 pour tout x I sauf éventuellement en des points «isolés»= f strictement décroissante sur I ATTENTION : si f est strictement croissante sur un intervalle I, on ne peut pas dire que f (x)>0 pour tout x I, comme le montre l exemple de la fonction x x 3. Exemple : f : x x+ cos(x) est strictement croissante sur R Extremums d une fonction Ò Ø ÓÒ º½½ Fonction majorée/minorée/bornée Soit f une fonction définie sur un intervalle I. 1. On dit que f est majorée sur I lorsque : M R/ x I, f (x) M M est alors appelé majorant de f. 2. On dit que f est minorée sur I lorsque : m R/ x I, f (x) m m est alors appelé minorant de f. 3. On dit que f est bornée sur I lorsqu elle est à la fois majorée et minorée sur I, ie lorsque : (m, M) R 2 / x I, m f (x) M ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½¾ Caractérisation des fonctions bornées Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Alors : f est bornée sur I f est majorée sur I

145 8.1. ÉTUDE D UNE FONCTION RÉELLE D UNE VARIABLE RÉELLE 145 Ò Ø ÓÒ º½ Extremum global Soit f une fonction définie sur un intervalle I. 1. On dit que f admet un maximum global en x 0 I, lorsque f est majorée par f (x 0 ) : x I, f (x) f (x 0 ) 2. On dit que f admet un minimum global en x 0 I, lorsque f est minorée par f (x 0 ) : x I, f (x) f (x 0 ) 3. On dit que f admet un extremum global en x 0 I, lorsque f admet en x 0 un maximum global ou un minimum global. Ò Ø ÓÒ º½ Extremum global Soit f une fonction définie sur un intervalle I. 1. On dit que f admet un maximum local en x 0 I, lorsqu il existe δ > 0 tel que f est majorée par f (x 0 ) sur ]x 0 δ, x 0 + δ[ I : x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I, f (x) f (x 0 ) 2. On dit que f admet un minimum local en x 0 I, lorsqu il existe δ > 0 tel que f est minorée par f (x 0 ) sur ]x 0 δ, x 0 + δ[ I : x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I, f (x) f (x 0 ) 3. On dit que f admet un extremum local en x 0 I, lorsque f admet en x 0 un maximum local ou un minimum local. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ Un extremum global est local Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Alors : f admet un extremum global en x 0 = f admet un extremum local en x 0 Ì ÓÖ Ñ º½ Condition nécessaire d extremum local Soit f fonction dérivable sur un intervalle I et telle que : (i) f admet un extremum local en x 0 I (ii) x 0 I, ie x 0 n est pas une borne de I. Alors f (x 0 )=0. La tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse x 0 est donc horizontale. ATTENTION : la réciproque est fausse comme le montre l exemple de la fonction x x 3 en 0.

146 146 CHAPITRE 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES ATTENTION : l hypothèse x 0 I est essentielle, comme le montre l exemple de la fonction x x sur [0,1]. Ce résultat donne donc des points x 0 candidats à être des extremums locaux (on les appelle points critiques de f : x 0 I et f (x 0 )=0). Mais il faut ensuite vérifier point par point si on trouve bien un extremum local en ces points, puis faire une étude séparée des bornes de l intervalle. Pour l étude des points critiques, on peut utiliser le théorème suivant. Ì ÓÖ Ñ º½ Condition suffisante d extremum local en un point critique Soit f fonction dérivable sur un intervalle I et x 0 un point critique de f. Si f change de signe en x 0 alors f admet un extremum local en x 0. En pratique il suffit de dresser le tableau de variations de f. Exemple : Déterminer les extremums de la fonction x 8x 3 + 2x 4 + 8x Fonctions usuelles Fonction racine n-ième Pour n 1, la fonction x n x est définie sur R + et à valeurs dans R +. On a les valeurs particulières : n 0=0 et n 1=1. Cette fonction est continue sur R + et dérivable seulement sur R + : elle est continue mais non dérivable en 0. Sa dérivée est donnée par : x> 0, ( n ) = ( 1 ) x x n = 1 n x 1 n 1 = n x nx et en particulier pour n= 2 : Représentation graphique : x > 0, ( x ) = 1 2 x n= 2 n= 3 n=

147 8.2. FONCTIONS USUELLES Fonctions trigonométriques Les fonctions cos et sin sont dérivables (donc continues) sur R et : x R, sin (x)=cos(x) et cos (x)= sin(x) Représentation graphique : 1 C cos C sin 2π 3π 2 π π 2 1 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 lim x 0 Il faut connaître par coeur les limites suivantes : sin(x) sin(x)= sin(0)=0, lim cos(x)=cos(0)=1, lim x 0 x 0 x = 1 et lim x 0 1 cos(x) x 2 = 1 2. La fonction tan est dérivable (donc continue) sur D tan = R\ { π 2 + kπ/ k Z } et : x D tan, Représentation graphique : tan (x)= 1 cos 2 (x) = 1+tan2 (x) 4 3 C tan 2 1 3π 2 π π 2 1 π 2 π 3π 2 2π 5π Il faut connaître par coeur les limites suivantes : tan(x) lim tan(x)=tan(0)=0 et lim = 1. x 0 x 0 x

148 148 CHAPITRE 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES Fonctions logarithmes et exponentielles La fonction exponentielle est définie comme étant l unique fonction dérivable sur R, égale à sa dérivée, et prenant la valeur 1 en 0. On la note exp ou x e x. On a les propriétés suivantes. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ Propriétés de la fonction exponentielle 1. x R,e x > 0 et donc e x 0 2. e 0 = 1 3. (a,b) R 2, e a+b = e a e b, e a = 1 e a et ea b = ea e ( b n n 4. Plus généralement : (a 1,..., a n ) R n, exp a i )= i=1 i=1 5. a R, n Z, ( e a) n = e na 6. x R, ( e x) = e x e a i Ainsi on a e 1 2 = e, e 1 = 1 e... Représentation graphique : C exp

149 8.2. FONCTIONS USUELLES 149 Il faut connaître par coeur les limites suivantes : lim x 0 ex = e 0 e x 1 = 1 et lim = 1 x 0 x e x lim x + ex =+ et lim x + x = 0 lim x ex = 0 et lim x xex = 0. La fonction exp est continue (car dérivable) et strictement croissante sur R : x + exp 0 + D après le théorème de la bijection monotone, elle induit une bijection de R sur R + = ]0,+ [. On note ln : R + R sa bijection réciproque. Cette fonction est appelée logarithme népérien. On démontrera dans le chapitre sur les fonctions numériques dérivables qu elle est dérivable (donc continue) sur R +. Par définition de la bijection réciproque, on a x R, ln ( e x) = x et x > 0, e ln(x) = x. De plus : x R, y > 0, e x = y x = ln y ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ Propriétés de la fonction logarithme népérien 1. ln(x)=0 x = 1 et ln(x)=1 x = e ( ) 1 2. (a,b) R 2, ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln a 3. Plus généralement : (a 1,..., a n ) ( ( R ) n n, + ln a i )= i=1 4. a> 0, n Z, ln(a n )=nln(a) 5. x> 0, ( ln(x) ) = 1 x ( a ) = ln(a) et ln = ln(a) ln(b) b n ln(a i ) i=1 On démontrera dans le chapitre sur les fonctions numériques dérivables que les courbes représentatives de exp et ln sont symétriques par rapport à y = x :

150 150 CHAPITRE 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 7 6 C exp y = x C ln Il faut connaître par coeur les limites suivantes : ln(x) lim ln(x)=ln(1)=0 et lim x 1 x 1 x 1 = lim ln(1+h) = 1 h 0 h lim ln(x)=+ et lim ln(x) = 0 x + x + x lim ln(x)= et lim x ln(x)=0. x 0 + x Fonctions puissances réelles Soit α R. La fonction puissance α est définie sur R + =]0,+ [ par : x > 0 x α = e αln(x) On peut vérifier que pour x > 0 : - si n 1, } x x {{ x } = e n ln(x) ; n termes - si n= 0, e n ln(x) = 1 ; - si n Z\N, 1 x 1 x 1 = e n ln(x) ; } {{ x } n termes - si n 1, n x = e 1 n ln(x).

151 8.2. FONCTIONS USUELLES 151 Donc on généralise sur R + les fonctions puissances entières, et racines n-ièmes définies au lycée. ATTENTION : la fonction x x α est définie au moins sur ]0,+ [. Par exemple la fonction x x 2 est définie sur R tout entier!! De plus la formule x α = e αln(x) n est intéressante que si α Z : par exemple écrire x 2 = e 2ln(x) n est pas plus simple que x 2 = x x. On a les propriétés suivantes. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾¼ Propriétés des fonctions puissances On se donne x > 0, y > 0 et (α,β) R x α x β = x α+β 1, x α = x α et xα = x α β ; x β ( 2. x α ) β = x αβ = ( x β ) α ; 3. (x y) α = x α y α = y α x α = (yx) α. On démontrera que la fonction x x α est dérivable (donc continue sur R + ), de dérivée : x> 0, ( x α ) = αx α 1 On en déduit qu elle est strictement croissante si α>0, strictement décroissante si α<0 (et constante égale à 1 si α=0). Il faut connaître par coeur les limites suivantes : 0 si α>0 + si α>0 lim 1 si α=0 et lim x + xα = 1 si α=0 + si α<0 0 si α<0 x 0 + xα = On a les tableaux de variations : Cas α>0 Cas α<0 x 0 + x 0 + x x α 0 + x x α + 0 et les représentations graphiques (les cas α<1 et α>1 seront étudiés dans le chapitre sur la dérivabilité) :

152 152 CHAPITRE 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 4 α>1 α= <α<1 1 α=0 α< Fonctions logarithmes et exponentielles en base a Soit a> 0 tel que a 1, ie a ]0,1[ ]1,+ [. On définit les fonctions logarithmes et exponentielles en base a par : x > 0, log a (x)= ln(x) ln(a) et x R, a x = e x ln(a) Pour a = e, on retrouve les fonctions logarithme népérien et exponentielle. On peut montrer qu elles sont bijections réciproques l une de l autre : Exemple : log 2 (256)=log 2 (2 8 )=8 x > 0, a log a (x) = x et x R, log a ( a x )= x On utilisera principalement que : n N, log 10 (10 n )=n. La fonction log a est dérivable (donc continue) sur R +, de dérivée : x > 0, log a (x)= 1 x ln(a) La fonction x a x est dérivable (donc continue) sur R, de dérivée : x R, ( a x ) = ln(a)a x

153 8.2. FONCTIONS USUELLES Croissances comparées Ì ÓÖ Ñ º¾½ Croissances comparées On se donne trois réels α, β et γ. (ln x) β 1. Pour α>0 : lim x + x α = 0 + et lim xα ln x β = 0 +. x Pour γ>0 : lim x + xα e γx = lim x + 3. Pour γ>0 : lim x + (ln x)β e γx = 0. x α e γx = 0+ et lim x x α e γx = 0 +. De manière mnémotechnique, on peut retenir que : ln puissance exp

154 154 CHAPITRE 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 8.3 Exercices Ü Ö º½ Soit f : R R une application croissante telle que : x R, f f (x)=x. Montrer que x R, f (x)=x. Ü Ö º¾ Soit I un intervalle de R. Montrer que : 1. Si f et g sont croissantes sur I alors f + g est croissante sur I. 2. Si f est croissante sur I et g croissante sur J, tel que f (I ) J, alors g f croissante sur I. 3. Si f et g sont croissantes positives sur I alors f g est croissante sur I. Ü Ö º Soit f : R R une fonction périodique de période T > 0. On suppose que f est monotone, montrer que f est constante. Ü Ö º Soit f : [0,1] [0,1] une fonction croissante. Montrer que f a au moins un point fixe. Est-ce vrai si f est décroissante? Indications : on pourra poser α=sup { x [0,1]/ f (x)>x }. Ü Ö º [Fonctions cosinus, sinus et tangente hyperboliques] Pour x R, on pose cosh x = ex +e x 2 et sinh x = ex e x Montrer les formules suivantes, valables pour tous x, y R : cosh x+ sinh x = e x ; cosh x sinh x = e x ; cosh 2 x sinh 2 x = 1 2. Calculer, pour tout x, y R, cosh(x + y), cosh(x y), sinh(x + y) et sinh(x y) en fonction de cosh x, sinh(x), cosh y et sinh y. En déduire des formules de transformation de sommes en produits de fonctions hyperboliques. Ü Ö º 1. Montrer que : x > 1, ln(1+ x) x. 2. En déduire que pour tout n 2 : ( 1+ 1 n Ü Ö º Soit 0< a b. On pose f : x R + déduire que ) n e ( 1 1 n) n. ( ln 1+ a ) ( ln 1+ b ) (ln2) 2. b a ( Ü Ö º Pour x > 0 simplifier ( exp ( ln x 1 ) x x2)) x. Ü Ö º Parmi les relations suivantes lesquelles sont exactes : 1) ( a b) c = a bc 2) a b a c = a bc 3) a 2b = ( a b) 2 4) (ab) c = a c 2 b c 2 5) ( a b) c = a (b c ) 6) ( a b) c = (a c ) b? ln(1+ax) ln(1+bx). Etudier la monotonie de f et en Ü Ö º½¼ Résoudre les équations suivantes : 1) e x + e 1 x = e+ 1 2) x x = ( x ) x 3) 2 2x 3 x 1/2 = 3 x+1/2 2 2x 1. Ü Ö { º½½ Résoudre les systèmes suivants : 8 x { = 10y e x e 2y = 1 a) 2 x b) = 5y 2x y = 1

155 8.3. EXERCICES 155 Ü Ö º½¾ On veut déterminer toutes les fonctions f : R R vérifiant : (i) (ii) (x, y) R 2, f (x+y)= f (x)+ f (y) (x, y) R 2, f (x y)= f (x)f (y) 1. Soit f une fonction solution qui n est pas la fonction nulle. (a) Calculer f (0), f (1) et f ( 1). (b) Déterminer f (x) pour x Z, puis pour x Q. (c) Montrer que x 0, f (x) 0. En déduire que f est croissante. (d) En déduire que f = id R. 2. Conclure.

156 156 CHAPITRE 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES

157 Chapitre 9 Limites et comparaison des fonctions numériques On rappelle que R=R {,+ }=[,+ ]. 9.1 Limite en un point de R Voisinages d un point de R Ò Ø ÓÒ º½ Voisinages d un point de R 1. Si x 0 R, on appelle voisinage de x 0 tout intervalle V ouvert et centré en x 0, ie du type ]x 0 δ, x 0 + δ[ où δ>0. On définit aussi les voisinages à droite de x 0 par V d =]x 0, x 0 + δ[, et les voisinages à gauche par V g =]x 0 δ, x 0 [. Remarquons que x 0 V mais x 0 V d et x 0 V g. 2. On appelle voisinage de +, tout intervalle V ouvert du type V =]A, + [, avec A R. 3. On appelle voisinage de, tout intervalle V ouvert du type V =], A[, avec A R. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Intersection de voisinages Si x 0 R et si V 1 et V 2 sont deux voisinages de x 0, alors V 1 V 2 est encore un voisinage de x 0. En particulier V 1 V Limite finie en un point x 0 R Soit f une fonction définie sur un intervalle I. 157

158 158 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Ò Ø ÓÒ º Limite finie à gauche en x 0 Soit x 0 un point de I, ou la borne droite de I. On dit que f admet l R pour limite à gauche en x 0 lorsque : ε>0, δ>0/ x ]x 0 δ, x 0 [, f (x) l ε On le note lim f (x)=l, lim x x 0 Dans ce cas, on pose f (x0 )=l. f (x)=l, lim x x < x 0 0 f = l ou encore f (x) x < x 0 l. Remarquons qu on peut avoir x 0 D f. On peut remplacer f (x) l ε par f (x) l < ε. Mais cette dernière inégalité est équivalente à l encadrement l ε < f (x) < l+ε. On obtient donc une nouvelle écriture de la définition : W voisinage de l, V g voisinage à gauche de x 0 / x Vg, f (x) W Exemple : lim x 1 x =1. Ò Ø ÓÒ º Limite finie à droite en x 0 Soit x 0 un point de I, ou la borne gauche de I. On dit que f admet l R pour limite à droite en x 0 lorsque : ε>0, δ>0/ x ]x 0, x 0 + δ[, f (x) l ε On le note lim f (x)=l, lim x x 0 + Dans ce cas, on pose f (x 0 + )=l. f (x)=l, lim x x > 0 x 0 + f = l ou encore f (x) x > x 0 l. Remarquons qu on peut avoir x 0 D f. On peut remplacer f (x) l ε par f (x) l <ε, ce qui donne comme précédemment une nouvelle écriture de la définition : W voisinage de l, V d voisinage à droite de x 0 / x Vd, f (x) W Exemple : lim x 1 + x =2. Ò Ø ÓÒ º Limite finie en x 0 Soit x 0 un point de I qui n est pas une borne de I (ie x 0 I ). On dit que f admet l R pour limite en x 0 lorsque : ε>0, δ>0/ x ]x 0 δ, x 0 + δ[, f (x) l ε On le note lim f (x)=l, lim x x0 x0 f = l ou encore f (x) x x0 l.

159 9.1. LIMITE EN UN POINT DE R 159 Remarquons cette fois qu il est nécessaire que x 0 D f. ATTENTION! On ne devrait donc pas écrire que lim x 0 sin x x x sin x x n est pas définie en 0. On devrait écrire à la place que lim x 0 ou sous-entendre qu on a posé sin(0) 0 = 1 puisque la fonction sin x = 1 pour avoir une fonction définie en 0. x sin x = lim = 1, x 0 + x Encore une fois, on peut remplacer f (x) l ε par f (x) l <ε, ce qui donne comme précédemment une nouvelle écriture de la définition : W voisinage de l, V voisinage de x 0 / x V, f (x) W Ì ÓÖ Ñ º Lien entre f (x 0 ) et lim x x0 f (x) Si lim x x0 f (x)=l R alors l= f (x 0 ). ATTENTION : ceci est faux avec une limite à gauche ou à droite, comme le montre l exemple de la fonction partie entière. Ì ÓÖ Ñ º Lien entre lim f (x), f (x + x x0 0 ) et f (x 0 ) Si x 0 D f : f (x0 )=l lim f (x)=l f (x x x )=l l= f (x 0 ) Exemple : f (x)= { x si x 0 x+ 1 si x > 0 D f = R Sur cette exemple lim x 0 f (x) n existe pas puisque f (0 )=0 1= f (0 + ). Exemple : f (x)= { 1 x si x 1 e x 1 1 si x > 1 D f = R

160 160 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES f (1 )=0 Sur cette exemple lim f (x)=0, car f (1 + )=0 x 1 f (1)=0 x 2 si x < 0 Exemple : f (x)= 2 si x = 0 e x si x> 0 D f = R Sur cette exemple lim x 0 f (x) n existe pas, bien que f (0 )= f (0 + )=0. En effet f (0)= Limite infinie en un point Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Ò Ø ÓÒ º Limite infinie à gauche en x 0 Soit x 0 un point de I, ou la borne droite de I. 1. On dit que f admet+ pour limite à gauche en x 0 lorsque : A R, δ>0/ x ]x 0 δ, x 0 [, f (x) A On le note lim f (x)=+, lim x x 0 De manière équivalente : f (x)=+, lim x x < x 0 0 f =+ ou encore f (x) x < x 0 +. W voisinage de +, V g voisinage à gauche de x 0 / x Vg, f (x) W

161 9.1. LIMITE EN UN POINT DE R On dit que f admet pour limite à gauche en x 0 lorsque : A R, δ>0/ x ]x 0 δ, x 0 [, f (x) A On le note lim f (x)=, lim x x 0 De manière équivalente : f (x)=, lim x x < x 0 0 f = ou encore f (x) x < x 0. W voisinage de, V g voisinage à gauche de x 0 / x Vg, f (x) W 1 Exemple : lim x 0 x = Ò Ø ÓÒ º Limite infinie à droite en x 0 Soit x 0 un point de I, ou la borne gauche de I. 1. On dit que f admet+ pour limite à droite en x 0 lorsque : A R, δ>0/ x ]x 0, x 0 + δ[, f (x) A On le note lim f (x)=+, lim x x 0 + De manière équivalente : f (x)=+, lim x x > 0 x 0 + f =+ ou encore f (x) x > x 0 +. W voisinage de +, V d voisinage à droite de x 0 / x Vd, f (x) W 2. On dit que f admet pour limite à droite en x 0 lorsque : A R, δ>0/ x ]x 0, x 0 + δ[, f (x) A On le note lim f (x)=, lim x x 0 + De manière équivalente : f (x)=, lim x x > 0 x 0 + f = ou encore f (x) x > x 0. W voisinage de, V d voisinage à droite de x 0 / x Vd, f (x) W

162 162 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 1 Exemple : lim x 0 + x = Limite finie/infinie en± Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Ò Ø ÓÒ º½¼ Limite finie/infinie en+ 1. On dit que f admet l R pour limite en + lorsque : ε>0, B R/ x B, f (x) l ε On le note lim x + f (x)=l, lim De manière équivalente : + f = l ou encore f (x) x + l. W voisinage de l, V voisinage de + / x V, f (x) W 2. On dit que f admet + pour limite en + lorsque : A R, B R/ x B, f (x) A On le note lim x + f (x)=+, lim De manière équivalente : + f =+ ou encore f (x) x + +. W voisinage de +, V voisinage de + / x V, f (x) W 3. On dit que f admet pour limite en + lorsque : A R, B R/ x B, f (x) A On le note lim x + f (x)=, lim De manière équivalente : + f = ou encore f (x) x +. W voisinage de, V voisinage de + / x V, f (x) W Exemple : 1 lim x + x = 0, lim x + ex =+ et ( lim x 2 ) =. x +

163 9.1. LIMITE EN UN POINT DE R 163 y = e x y = 1 x y = x 2 Ò Ø ÓÒ º½½ Limite finie/infinie en 1. On dit que f admet l R pour limite en lorsque : ε>0, B R/ x B, f (x) l ε On le note lim x f (x)=l, lim De manière équivalente : f = l ou encore f (x) x l. W voisinage de l, V voisinage de / x V, f (x) W 2. On dit que f admet + pour limite en lorsque : A R, B R/ x B, f (x) A On le note lim x f (x)=+, lim De manière équivalente : f =+ ou encore f (x) x +. W voisinage de +, V voisinage de / x V, f (x) W 3. On dit que f admet pour limite en lorsque : A R, B R/ x B, f (x) A On le note lim x f (x)=, lim De manière équivalente : f = ou encore f (x) x. W voisinage de, V voisinage de / x V, f (x) W

164 164 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Exemple : lim x ex = 0, lim x =+ et lim x x x3 =. y = x y = e x y = x Extensions dans le cas d une limite finie Soit x 0 R. Si on a lim x > x 0 f (x)=l R et f (x) l au voisinage à droite de x 0, on le note lim x > x 0 f (x)=l +. Si on a lim x > x 0 f (x)=l R et f (x) l au voisinage à droite de x 0, on le note lim x > x 0 f (x)=l. Si on a lim x < x 0 f (x)=l R et f (x) l au voisinage à gauche de x 0, on le note lim x < x 0 f (x)=l +. Si on a lim x < x 0 f (x)=l R et f (x) l au voisinage à gauche de x 0, on le note lim x < x 0 f (x)=l. Si on a lim x x0 f (x)=l R et f (x) l au voisinage de x 0, on le note lim x x0 f (x)=l +. Si on a lim x x0 f (x)=l R et f (x) l au voisinage de x 0, on le note lim x x0 f (x)=l. Exemple : lim x 0 + x = 0 + 1, ce qui permet de conclure que lim =+. x 0 + x Unicité de la limite Ì ÓÖ Ñ º½¾ Unicité de la limite Si la limite existe, elle est unique ie : si on a (x 0,l,L) ( R ) 3 tel que lim x x0 f (x)=l et lim x x0 f (x)=l alors l=l. On a les mêmes résultats quand x > x 0 ou x < x 0.

165 9.2. THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES LIMITES Théorèmes généraux sur les limites Opérations algébriques sur les limites On se donne f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et x 0 R un point adhérent à I (ie que x 0 I ou x 0 est une des deux bornes de I ). Dans le théorème suivant, on utilise les règles de calculs dans R définies au chapitre sur les suites réelles (chapitre 4). Ì ÓÖ Ñ º½ Opérations sur les limites 1. Somme. Si f et g ont une limite en x 0 alors : sauf en cas de FI : (+ )+( ). ( ) existe lim f (x)+ g (x) = lim f (x)+ lim g (x) x x 0 x x0 x x0 2. Multiplication par un réel. Si f a une limite en x 0 et λ R alors : sauf en cas de FI : 0 (± ). lim λ.f (x) existe = λ lim f (x) x x 0 x x0 3. Produit. Si f et g ont une limite en x 0 alors : sauf en cas de FI : (+ ) Inverse. Si f a ont une limite en x 0 alors : sauf en cas de FI : 1 0 lim f (x) g (x) existe = lim f (x) lim g (x) x x 0 x x0 x x0 ( 1 existe 1 lim = x x 0 f (x) lim f (x) x x 0 il faut préciser 1 1 =+ ou = 5. Quotient. Si f et g ont une limite en x 0 alors : sauf en cas de FI : ± ± et 0 0. f (x) existe lim = x x 0 g (x) lim f (x) x x 0 lim g (x) x x 0 ). On a les mêmes résultats avec des limites à droite/gauche.

166 166 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Composition de limites Fonction composée de deux fonctions Soient f une fonction définie sur un intervalle I, et g une fonction définie sur un intervalle J tel que f (I ) J : g J R f g f I Soient a R un point adhérent à I (ie a I ou a est une borne de I ), b R adhérent à J, et L R. Ì ÓÖ Ñ º½ Théorème de la limite de la fonction composée On suppose que lim f (x)=b et lim x a g (x)= L. x b Alors lim x a g( f (x) ) existe = L. On a le même résultat avec des limites à droite/gauche. ATTENTION! Ce résultat ne dit pas que lim u(x) v(x) = ( x a on verra à la fin du chapitre que : 1+ 1 ) x = e 1. x lim x + ( ( ) lim u(x) lim x a ). v(x) Par exemple, x a Suite composée d une suite et d une fonction On rappelle un théorème vu dans le chapitre sur les suites réelles (chapitre 4, théorème 4.33). Soient f une fonction définie sur un intervalle I, et (u n ) n N une suite à valeurs dans I à partir d un rang n 0, ie telle que : n n 0, u n I. On peut donc considérer la suite ( f (un ) ) n n 0. Soient l R un point adhérent à I (ie l I ou a est une borne de I ), et a R. Ì ÓÖ Ñ º½ Théorème de la limite de la fonction composée On suppose que (u n ) converge vers l et que lim f (x)= a. x l Alors lim f (u n) existe = n + a. On a le même résultat avec des limites à droite/gauche. Exemple : lim sin(x) n existe pas. x +

167 9.2. THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES LIMITES Limites et inégalités Limite et inégalités locales On se donne f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 R un point adhérent à I (ie que x 0 I ou x 0 est une des deux bornes de I ). Ì ÓÖ Ñ º½ Limite finie et bornitude Si lim x x0 f (x) existe et est finie, alors il existe un voisinage de x 0 sur lequel f est bornée. On a le même résultat avec une limite à droite/gauche et un voisinage à droite/gauche. Ì ÓÖ Ñ º½ Limite et signe local 1. Si lim x x0 f (x)>0 ou lim x x0 f (x)=+, alors il existe un voisinage V de x 0 tel que : x V, f (x)>0 2. Si lim x x0 f (x)<0 ou lim x x0 f (x)=, alors il existe un voisinage V de x 0 tel que : x V, f (x)<0 On a le même résultat avec une limite à droite/gauche et un voisinage à droite/gauche. ÓÖÓÐÐ Ö º½ Limite finie et majorant/minorant 1. Si il existe m R tel que x I, f (x) m et si f a une limite finie au point x 0 alors : lim x x 0 f (x) m 2. Si il existe M R tel que x I, f (x) M et si f a une limite finie au point x 0 alors : lim f (x) M x x 0 On a les mêmes résultats avec une limite à droite/gauche. ATTENTION! Ces résultats sont faux avec des inégalités strictes. Par exemple 1 x > 0, pour tout x ]0, + [, mais 1 lim x + x = 0. ÓÖÓÐÐ Ö º½ Passage à la limite dans une inégalité Si on a x I, f (x) g (x), et si f et g ont une limite finie au point x 0, alors : lim f (x) lim g (x) x x 0 x x0

168 168 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES ATTENTION! Encore une fois ce résultat est faux avec une inégalité stricte : f (x) < g (x) ne donne pas lim f (x)< lim g (x) mais seulement lim f (x) lim g (x). x x0 x x0 x x0 x x Calculs de limites par inégalité On se donne f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 R un point adhérent à I (ie que x 0 I ou x 0 est une des deux bornes de I ). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾¼ Limite et valeur absolue 1. Si lim x x0 f (x)=l R alors lim x x0 f (x)= l. 2. Si l R : lim x x 0 f (x)=l lim x x0 f (x) l =0 Ì ÓÖ Ñ º¾½ Théorème d existence de la limite par encadrement 1. Version limite finie. On suppose que f, g et h sont trois fonctions définies sur I telles que : x I, f (x) g (x) h(x). On suppose de plus que lim f (x)= lim h(x)=l R. Alors : x x0 x x0 lim g (x) existe = l x x 0 2. Version limite infinie. On suppose que f, g sont deux fonctions définies sur I telles que : x I, f (x) g (x). On a : Si lim f (x)=+, alors lim g (x) existe = +. x x0 x x0 Si lim g (x)=, alors lim f (x) existe =. x x0 x x Limites des fonctions monotones Soient a< b + et f une fonction définie sur ]a,b[.

169 9.2. THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES LIMITES 169 Ì ÓÖ Ñ º¾¾ Théorème de la limite monotone pour une fonction croissante On suppose que f est croissante sur ]a, b[. Alors lim f (x) et lim f (x) existent. Plus préci- x b sément : si f est majorée sur I alors lim x b si f n est pas majorée sur I, alors lim f (x)=+ x b si f est minorée sur I alors lim x a + si f n est pas minorée sur I, alors lim x a + f (x)= x a + f (x) est finie et x ]a,b[, f (x) lim x b f (x) ; f (x) est finie et x ]a,b[, f (x) lim x a + f (x) ; Exemple : Une fonction croissante sur ] 2, 3[ majorée mais non minorée. On a lim f = et lim f = Ì ÓÖ Ñ º¾ Théorème de la limite monotone pour une fonction croissante On suppose que f est décroissante sur ]a, b[. Alors lim f (x) et lim f (x) existent. Plus pré- x b cisément : si f est minorée sur I alors lim x b si f n est pas minorée sur I, alors lim f (x)= x b si f est majorée sur I alors lim x a + si f n est pas majorée sur I, alors lim x a + f (x)= + x a + f (x) est finie et x ]a,b[, f (x) lim x b f (x) ; f (x) est finie et x ]a,b[, f (x) lim x a + f (x) ; Exemple : Une fonction décroissante sur ] 3, 2[ majorée mais non minorée. On a lim f = 2 et lim f =

170 170 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES ÓÖÓÐÐ Ö º¾ Existence de la limite à droite/gauche pour une fonction monotone Si f est monotone sur un intervalle I alors en tout x 0 I, lim f (x) et lim f (x) existent x x 0 x x 0 + (en une borne de I une seule de ces deux limites est possible). De plus, on a : si f croissante : f (x0 ) f (x 0) f (x 0 + ) ; si f décroissante : f (x 0 + ) f (x 0) f (x0 ) ; Étude des branches infinies Ò Ø ÓÒ º¾ Asymptote verticale Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 R un point adhérent à I (ie que x 0 I ou x 0 est une des deux bornes de I ). On dit que la droite d équation x = x 0 est asymptote verticale à la courbe C f représentative de f lorsque lim x x + 0 f (x)=± et/ou lim x x 0 f (x)=± On peut alors lire sur le tableau de variations la position de C f par rapport à son asymptote. Exemple : x exp

171 9.2. THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES LIMITES Ò Ø ÓÒ º¾ Asymptote horizontale Soient f une fonction définie sur un intervalle I contenant un voisinage de + (resp. de ), et b R. On dit que la droite d équation y = b est asymptote horizontale à la courbe C f au voisinage de+ (resp. de ) lorsque lim x + f (x)=b (resp. lim f (x)=b) x Encore une fois, on peut alors lire sur le tableau de variations la position de C f par rapport à son asymptote. Exemple : Voir l exemple précédent. Ò Ø ÓÒ º¾ Asymptote oblique Soient f une fonction définie sur un intervalle I contenant un voisinage de + (resp. de ), et (a,b) R 2. On dit que la droite d équation y = ax+ b est asymptote oblique à la courbe C f au voisi- f (x) nage de + (resp. de ) lorsque lim x + x f (x) lim = a R ( ) et lim f (x) ax = b R) x x x = a R et lim x + ( f (x) ax ) = b R (resp. Nécessairement, on doit avoir lim f (x)=± (resp. lim f (x)=± ). x + x Pour étudier la position de C f par rapport à son asymptote, il faut étudier le signe de f (x) ax b : un tableau de signe donne la position globale sur tout l intervalle, et une fonction équivalente donne la position locale au voisinage de+ (resp. de ).

172 172 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Exemple : Ò Ø ÓÒ º¾ Direction asymptotique Soient f une fonction définie sur un intervalle I contenant un voisinage de + (resp. de ). 1. On dit que la courbe C f admet l axe (0x) pour direction asymptotique au voisinage de + (resp. de ) lorsque lim f (x)=± et lim f (x) = 0 (resp. lim f (x)=± et x + x + x x f (x) lim = 0). x x 2. On dit que la courbe C f admet l axe (0y) pour direction asymptotique au voisinage de + (resp. de ) lorsque lim f (x)=± et lim f (x) = ± (resp. lim x + x + x f (x)=± x f (x) et lim =± ). x x Exemple : La fonction ln admet (0x) pour direction asymptotique et la fonction exp admet (O y) pour direction asymptotique C exp C ln

173 9.3. COMPARAISON DE FONCTIONS Comparaison de fonctions On se donne f et g deux foncions définies sur un intervalle I et x 0 R un point adhérent à I (ie que x 0 I ou x 0 est une des deux bornes de I ). On va définir plusieurs notions permettant de comparer les fonctions f et g au voisinage de x Fonctions équivalentes Ò Ø ÓÒ º¾ Fonctions équivalentes On dit que f est équivalente à g au voisinage de x 0, lorsqu il existe V voisinage de x 0 et une fonction u : V R tels que : On le note f (x) g (x). x x0 x V, f (x)=u(x) g (x) et lim x x0 u(x)=1 On peut aussi définir f (x) g (x) et f (x) x x 0 x x + 0 g (x). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ¼ Propriétés de la relation On se donne trois fonctions f, g et h définies sur I. 1. Transitivité. f (x) g (x) et g (x) h(x) donnent f (x) h(x). x x0 x x0 x x0 2. Symétrie. f (x) g (x) g (x) f (x). x x0 x x0 3. Réflexivité. f (x) x x0 f (x). La propriété de symétrie donne que si f est équivalente à g au voisinage de x 0, alors g est équivalente à f au voisinage de x 0 : on peut donc aussi dire que f et g sont équivalentes au voisinage de x 0. ATTENTION : ne jamais écrire que f (x) 0. Cela na aucun sens, sauf dans le cas x x0 très particulier où f est la fonction constante égale à 0 sur un voisinage de x 0. Lorsque la fonction g ne s annule pas sur un voisinage V de x 0, sauf éventuellement en x 0 (ie x V \{x 0 }, g (x) 0), on a un critère plus simple. Ì ÓÖ Ñ º ½ Critère d équivalence Si g ne s annule pas sur un voisinage V de x 0, sauf éventuellement en x 0, on a : f (x) f (x) g (x) lim x x0 x x0 g (x) = 1

174 174 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Ce résultat est utilisé en pratique pour prouver que f (x) g (x). x x0 ATTENTION : ce n est pas toujours possible. En effet f (x) = x+1 x sin(x) sin(x), x + mais g (x) = sin(x) s annule sur tout voisinage de +. Sur cet exemple, la fonction f n existe pas au voisinage de+. g Une fonction équivalente renseigne sur le signe. Ì ÓÖ Ñ º ¾ Équivalent et signe 1. Si f (x) x x0 g (x) et si g ne s annule pas sur un voisinage de x 0, alors f ne s annule pas sur un voisinage de x Si f (x) x x0 g (x), alors f et g sont de même signe au sens strict sur un voisinage de x 0. Une fonction équivalente permet de calculer une limite. Ì ÓÖ Ñ º Équivalent et limite 1. Si f (x) g (x) et lim g (x)=l R, alors lim f (x) existe = l. x x0 x x0 x x0 2. On a une réciproque dans le cas particulier l R : si lim f (x)=l alors f (x) x x0 x x0 l. On peut effectuer les opérations suivantes sur les fonctions équivalentes. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Règles de calcul pour la relation On se donne des fonctions f 1, g 1, f 2 et g 2 définies sur I. 1. Valeur absolue. f 1 (x) x x0 g 1 (x) donne f 1 (x) x x0 g 1 (x). 2. Produit. f 1 (x) g 1 (x) et f 2 (x) g 2 (x) donnent f 1 (x) f 2 (x) g 1 (x) g 2 (x). x x0 x x0 x x0 3. Puissance. Pour tout p N, f 1 (x) g 1 (x) donne f 1 (x) p g 1 (x) p. x x0 x x0 Plus généralement, pour tout α R : f 1 (x) α g 1 (x) α (à condition que ces fonctions x x0 soient définies au voisinage de x 0 ). 4. Inverse. Si f 1 (x) g 1 (x) et si g 1 ne s annule pas au voisinage de x 0 (sauf éventuellement en x 0 ), alors x x0 1 1 f 1 (x) x x 0 g 1 (x). 5. Quotient. Si f 1 (x) g 1 (x), f 2 (x) g 2 (x) et si g 1 ne s annule pas au voisinage de x 0 x x0 x x0 (sauf éventuellement en x 0 ), alors f 2(x) g 2 (x) f 1 (x) x x 0 g 1 (x). ATTENTION : par contre il n est pas possible de faire les opérations suivantes. Somme

175 9.3. COMPARAISON DE FONCTIONS 175 f 1 (x) g 1 (x) et f 2 (x) g 2 (x) ne donnent pas f 1 (x)+ f 2 (x) g 1 (x)+ g 2 (x). x x0 x x0 x x0 On peut considérer le contre-exemple suivant : f 1 (x) = x 3 + x et g 1 (x) = x 3 + x 2 lorsque x +. Composition par une fonction Si h est une fonction, f 1 (x) g 1 (x) ne donne pas h f 1 (x) h g 1 (x). x x0 x x0 En particulier f 1 (x) g 1 (x) ne donne pas e f 1(x) e g1(x), et f 1 (x) g 1 (x) ne donne pas x x0 x x 0 x x0 ln ( f 1 (x) ) ln ( g 1 (x) ). x x0 On peut considérer les contre-exemples suivantes : f 1 (x)=x 2 + x, g 1 (x)=x 2, h(x)=e x puis f 1 (x)=1+ 1 x, g 1(x)=1, h(x)=ln(x), dans les deux cas lorsque x +. Par contre on peut composer la fonction x x α, c est le seul cas possible! Puissance dépendante de x f 1 (x) g 1 (x) ne donne pas f 1 (x) α(x) g x x0 1(x) α(x). n + ( A partir de lim 1+ 1 ) x = e, on peut déduire le contre-exemple f 1 (x)=1+ 1 et α(x)=x. x + x x Le résultat suivant permet de passer de deux fonctions équivalentes à deux suites équivalentes. Ì ÓÖ Ñ º Substitution dans un équivalent On suppose que f (x) g (x). x x0 1. Par une fonction. On suppose qu on a une fonction x : t x(t) telle que lim x(t)=x 0. t t0 Alors : f (x(t)) g (x(t)) t t0 2. Par une suite. On suppose qu on dispose d une suite réelle (u n ) n N de limite x 0 : lim u n = x 0. Alors : n + f (u n ) g (u n) n + ATTENTION! Il ne faut pas confondre substitution et composition (qui n est pas autorisée avec les équivalents). On donne des exemples dans le paragraphe suivant Équivalents usuels Pour les polynômes on a le résultat intuitif vu au lycée. Ì ÓÖ Ñ º Équivalent et polynômes Si P est une fonction polynôme de la forme P(x)=a q x q +a q+1 x q+1 + +a p x p, où (p, q) N 2 avec p q, a q 0 et a p 0. Alors : en+ : P(x) a p x p (plus haut degré) x + en 0 : P (x) x 0 a q (plus bas degré). xq

176 176 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Les limites apprises pour les fonctions usuelles donnent les équivalents suivants. Ì ÓÖ Ñ º Équivalents usuels en 0 1. ln(1+ x) x 0 x 2. tan(x) x 0 x 3. sin(x) x 0 x 4. cos(x) 1 et 1 cos(x) x e x 1 et e x 1 x x 0 x 0 6. Pour α R : (1+ x) α 1 et (1+ x) α 1 αx x 0 x 0 x 0 x 2 Ces résultats sont à connaître par coeur! Exemple : On a : sin(x)+sin(x) 3 x 0 x et ln (1+ 1n 2 ) Exemple : On est maintenant en mesure de démontrer que n + lim x + 1 n 2. ( 1+ 1 x ) x = e Notations de Landau Ò Ø ÓÒ º Fonction négligeable On dit que f est négligeable devant g au voisinage de x 0, lorsqu il existe un voisinage V de x 0 et une fonction ε : V R telle que : x V, f (x)=ε(x) g (x) et lim x x0 ε(x)=0 On le note f (x) = x x0 o ( g (x) ), et on le lit «f (x) est un petit o de g (x) lorsque x x 0». On peut aussi définir f (x) = o ( g (x) ) et f (x) = o ( g (x) ). x x 0 x x 0 + Ò Ø ÓÒ º Fonction dominée On dit que f est dominée par g au voisinage de x 0, lorsqu il existe un voisinage V de x 0 et une fonction b : V R telle que : x V, f (x)=b(x) g (x) et la fonction b est bornée sur V On le note f (x) = x x0 O ( g (x) ), et on le lit «f (x) est un grand O de g (x) lorsque x x 0». On peut aussi définir f (x) = O ( g (x) ) et f (x) = O ( g (x) ). x x 0 x x 0 +

177 9.3. COMPARAISON DE FONCTIONS 177 Lorsque la fonction g ne s annule pas sur un voisinage V de x 0, sauf éventuellement en x 0 (ie x V \{x 0 }, g (x) 0), on a un critère plus simple. Ì ÓÖ Ñ º ¼ Critère de négligeabilité et critère de domination 1. Si g ne s annule pas sur un voisinage V de x 0, sauf éventuellement en x 0, on a : f (x) = o ( g (x) ) f (x) lim x x0 x x0 g (x) = 0 2. Si g ne s annule pas sur un voisinage V de x 0, sauf éventuellement en x 0, on a : f (x) = x x0 O ( g (x) ) la fonction f g est bornée sur un voisinage de x 0 Ce résultat est utilisé en pratique pour prouver que f (x) = o ( g (x) ) ou que f (x) = x x0 O ( g (x) ). En particulier, on peut retenir que : f (x) = x x0 o (1) lim x x0 f (x)=0 x x0 et que : f (x) = x x0 O (1) la fonction f est bornée sur un voisinage de x 0 Ì ÓÖ Ñ º ½ Lien entre la relation et «le petit o» On a : f (x) g (x) f (x) g (x) = o ( g (x) ) g (x) f (x) = o ( f (x) ) x x0 x x0 x x0 On en déduit une méthode simple pour trouver une fonction équivalente à une somme. ÓÖÓÐÐ Ö º ¾ Équivalent d une somme On a : f (x) = o ( g (x) ) f (x)+ g (x) x x0 g (x) x x0 Le résultat suivant relie le «petit o» et le «grand O». ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Lien entre «le petit o» et «le grand o» Si f (x) = o ( g (x) ) alors f (x) = O ( g (x) ). x x0 x x0

178 178 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Règles de calcul pour «le petit o» On se donne des fonctions f 1, g 1, h 1, f 2 et g Transitivité. f 1 (x) = x x0 o ( g 1 (x) ) et g 1 (x) = x x0 o (h 1 (x)) donnent f 1 (x) = x x0 o (h 1 (x)). 2. Produit. f 1 (x) = o ( g 1 (x) ) et f 2 (x) = o ( g 2 (x) ) donnent f 1 (x) f 2 (x) = x x0 x x0 o ( g 1 (x) g 2 (x) ). 3. Somme. f 1 (x) = x x0 o (h 1 (x)) et g 1 (x) = x x0 o (h 1 (x)) donnent f 1 (x)+ g 1 (x) = x x0 o (h 1 (x)). 4. Multiplication par une constante. f 1 (x) = o ( g 1 (x) ) donne λ R, λ f 1 (x) = x x0 o ( g 1 (x) ). 5. Multiplication par une fonction. f 1 (x) = o ( g 1 (x) ) donne f 1 (x) h 1 (x) = x x0 o ( g 1 (x) h 1 (x) ). 6. Composition par une fonction équivalente. f 1 (x) = o ( g 1 (x) ) et g 1 (x) x x0 donnent f 1 (x) = o (h 1 (x)). x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 h 1 (x) On a des règles de calcul similaires pour le «grand O». Exemple : Trouver un équivalent en 0 de sin(x) + 1 cos(x), puis de sin(x) + 1 cos(x) Croissances comparées Ì ÓÖ Ñ º Croissances comparées On se donne trois réels α, β et γ. 1. Pour α>0 : (ln x) β = x + o( x α) et ln x β = x 0 + o 2. Pour γ>0 : x α = x + o( e γx) et x α = x o( e γx). 3. Pour γ>0 : (ln x) β = x + o( e γx). ( 1 x α ). De manière mnémotechnique, on peut retenir que : ln puissance exp 9.4 Développements limités On notera f (x) = x x0 g (x)+o ( h(x) ) lorsque f (x) g (x) = x x0 o (h(x)) Développement limité d ordre n en un point x 0 R

179 9.4. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 179 Ò Ø ÓÒ º Développement limité d ordre n en un point x 0 R Soient n N, x 0 R et f une fonction définie sur un voisinage de x 0, sauf éventuellement en x 0. On dit que f admet un développement limité d ordre n en x 0 (en abrégé DL n (x 0 )), lorsqu il existe des réels a 0,a 1,..., a n tels que : f (x) = a 0 + a 1 (x x 0 )+ a 2 (x x 0 ) 2 + +a n (x x 0 ) n + o ( (x x 0 ) n) x x0 n a k (x x 0 ) k + o ( (x x 0 ) n) = x x 0 k=0 On peut définir de la même manière un DL n (x + 0 ) de f ou un DL n(x 0 ) de f. On utilisera principalement des DL n (0) : f (x) = x 0 a 0 + a 1 x+ a 2 x 2 + +a n x n + o ( x n) = x 0 k=0 n a k x k + o ( x n) Ò Ø ÓÒ º Développement limité d ordre n en+ Soient n N, f une fonction définie sur un voisinage de +. On dit que f admet un développement limité d ordre n en + (en abrégé DL n (+ )), lorsqu il existe des réels a 0,a 1,..., a n tels que : f (x) = a 0+ a 1 x + x + a 2 ( n 1 = x + k=0 a k x k + o x a n ) x n ( 1 x n + o x n ) On peut définir de la même manière un DL n ( ) de f. Grâce au théorème suivant, on pourra toujours se ramener à des DL n (0). Ì ÓÖ Ñ º On peut toujours se ramener à un DL n (0) 1. Soient n N, x 0 R et f une fonction définie sur un voisinage de x 0, sauf éventuellement en x 0. On pose g (h)= f (x 0 + h), ie f (x)=g (x x 0 ). Alors f admet un DL n (x 0 ) si et seulement si g admet un DL n (0), et les coefficients sont les mêmes dans les deux développements. Autrement dit : f (x) = x x0 a 0 + a 1 (x x 0 )+ a 2 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n + o ( (x x 0 ) n) g (h) = h 0 a 0 + a 1 h+ a 2 h 2 + +a n h n + o ( h n)

180 180 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 2. Soient n N, f une fonction définie sur un voisinage de+ (resp. de ). On pose g (h)= f ( ( 1 h), ie f (x)= g 1 ) x. Alors f admet un DL n (+ ) (resp. un DL n ( )) si et seulement si g admet un DL n (0 + ) (resp. un DL n (0 )), et les coefficients sont les mêmes dans les deux développements. Autrement dit : f (x) = a 0+ a 1 x + x + a 2 x a ( ) n 1 x n + o x n g (h) = a 0+ a h h+ a 2 h a n h n + o ( h n) Développements limités usuels en 0 Il faut connaître les formules suivantes au voisinage de 0. Exponentielle. Pour tout n N, on a le DL n (0) de e x : e x = x 0 = x 0 1+ x+ x2 2 + x3 3! n x k k! + o( x n) k=0 + + xn n! + o( x n ) Exemple : e x = x 0 1+x+ x2 2 +o( x 2) et e x = x 1 e+e(x 1)+ e 2 (x 1)2 + e 6 (x 1)3 +o ( (x 1) 3). Logarithme. Pour tout n N, on a le DL n (0) de ln(1+ x) : ln(1+ x) = x 0 = x 0 x x2 n k=1 2 + x3 3 k 1 xk ( 1) + +( 1)n 1 xn n + o( x n ) k + o( x n) et à l ordre 0 : ln(1+ x) = x 0 0+o(1)= = x 0 o(1). Exemple : ln(1+ x) = x x2 x x3 3 + o( x 3) (x 1)2 et ln(x) = (x 1) + o ( (x 1) 2). x 1 2 Puissance. Pour tout n N, on a le DL n (0) de (1+ x) α :

181 9.4. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 181 (1+ x) α = x 0 = x 0 1+αx+ α(α 1) x 2 + α(α 1)(α 2) x ! α(α 1)(α 2) (α n+ 1) + x n + o ( x n ) n! n α(α 1)(α 2) (α k+ 1) 1+ x k + o ( x n) k! k=1 et à l ordre 0 : (1+ x) α = x 0 1+o(1). Exemple : 1+ x = x 0 1+ x 2 x2 8 + o( x 2) et 1 1+ x = x 0 1 x x2 + o ( x 2). Il faut connaître le cas particulier suivant, pour α= 1 : 1 1+ x = x 0 = x 0 1 x+ x 2 x ( 1) n x n + o ( x n ) n ( 1) k x k + o ( x n) k=0 Exemple : 1 1+ x = x 0 1 x+ x2 x 3 + o ( x 3). Sinus. Pour tout n N, on a le DL 2n+2 (0) de sin(x) : sin(x) = x 0 = x 0 3! + x5 x2n ( 1)n 5! (2n+ 1)! + o( x 2n+2 ) n ( 1) k x2k+1 (2k+ 1)! + o( x 2n+2) x x3 k=0 Exemple : sin(x) = x 0 x x3 6 + o( x 4). Cosinus. Pour tout n N, on a le DL 2n+1 (0) de cos(x) : cos(x) = x 0 = x 0 1 x2 2 + x4 x2n + +( 1)n 4! (2n)! + o( x 2n+1 ) n ( 1) k x2k (2k)! + o( x 2n+1) k=0 Exemple : cos(x) = 1 x2 x o( x 3) et sin(x) = 1 1 ( x π ) ( 2+ ( o x π ) 3. x π 2 2 2) 2

182 182 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Opérations sur les développements limités Á partir des développements limités précédents, et des règles de calcul suivantes, on peut trouver des développements limités de la plupart des fonctions. Ò Ø ÓÒ º Troncature d une fonction polynômiale n Soit f : x a k x k = a 0 + a 1 x+ a 2 x 2 + +a n x n une fonction polynômiale de degré n. k=0 Pour tout p N, on appelle troncature de f à l ordre p la fonction notée T p (f ) : p a k x k = a 0 + a 1 x+ a 2 x 2 + +a p x p si p n T p (f ) : x k=0 f (x) si p n+ 1 Ì ÓÖ Ñ º ¼ Règles de calcul sur les développements limités On suppose que f et g toutes deux un DL n (0) : f (x) = x 0 k=0 n a k x k + o ( x n) et g (x) = x 0 k=0 n b k x k + o ( x n) 1. Troncature. Pour tout p 0,n, f admet un DL p (0) obtenu en tronquant son DL n (0) à l ordre p : p f (x) = a k x k + o ( x p) x 0 k=0 2. Combinaison linéaire. Pour tout (α,β) R 2, λ.f + µ.g admet un DL n (0) : α.f (x)+β.g (x) = 3. Produit. f g admet un DL n (0) : x 0 k=0 [ ( n f (x) g (x) = T n x 0 n (α.a k + β.b k )x k + o ( x n) a k x ) k k=0 ( n ) b k x k k=0 } {{ } à développer ] + o ( x n) 4. Composition. Si f(0)=0, alors g f admet un DL n (0) : g ( f (x) ) [ n = T n x 0 ( ) n k b k a j x j k=0 j=0 } {{ } à développer ] + o ( x n) Si f (0) 0, alors en prenant un DL n (a) de g, avec a= f (0), on obtient de même un DL n (0) de g f.

183 9.4. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Multiplication/division par une puissance de x. Si p Z : x p f (x) = x 0 k=0 n a k x k+p + o ( x n+p) ce qui peut donner un DL n p (0) ( l ordre a changé!). 6. Substitution. Si x : t x(t) est une fonction telle que lim t t0 x(t) = 0, on a le développement asymptotique : f ( x(t) ) = t t0 et donc pour x(t)=t p avec p Z : f ( t p) = n a k x(t) k + o ( x(t) n) k=0 t 0 k=0 n a k t pk + o ( t np) ce qui peut donner un DL np (0) ( l ordre a changé!). Exemple : Combinaison linéaire. Exemple : Produit. Exemple : Composition. 1 cos(x) sin(x) = x 0 x+ x2 2 + x3 6 + o( x 3) e x 1+ x = x2 1+ x 0 2 x3 3 + o( x 3) e sin(x) = x 0 1+ x+ x2 2 + o( x 3) Exemple : Multiplication/division par une puissance de x. Exemple : Substitution. e x sin x x x3 = 1+ x+ x o( x 3) 1 1+ x 3 = x 0 1 x3 + x 6 + o ( x 6) On voit déjà se dégager un premier intérêt des développements limités par rapport aux équivalents : la somme ou la composition de deux développements limités sont autorisés! Examinons maintenant comment faire un quotient de développements limités : un développement de 1 1 peut être obtenu par composition de g (x) avec ; un développement g (x) 1+ x de f (x) g (x) peut donc être obtenu par produit de f (x) avec 1. On sait donc calculer un déve- g (x) loppement limité de f (x), mais nous verrons à l usage que les calculs sont souvent lourds. g (x)

184 184 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Exemple : x sin(x) x2 = 1+ x o( x 3) et tan(x) = x+ x3 x o( x 4) Développements limités et recherche de fonction équivalente Ì ÓÖ Ñ º ½ Fonction équivalente et développements limités Si f admet un DL n (0) : f (x) = n x 0 k=p avec a p 0, alors : a k x k + o ( x n) = x 0 a p x p + a p+1 x p a n 1 x n 1 + a n x n + o ( x n) f (x) x 0 a p x p ie que f est équivalente au premier terme non nul du développement limité. Un développement limité sera donc utilisé pour trouver l équivalent d une somme ou d une composée de fonctions. Par contre, pour un quotient de fonctions, il est préférable de ne pas chercher de développement limité car les calculs sont lourds. À la place on cherche un développement limité du numérateur et du dénominateur, et on en déduit pour chacun un équivalent, ce qui donne ensuite un équivalent du quotient. Exemple : lim x 0 1+ x 1 x e x e x2 = 1.

185 9.5. EXERCICES Exercices Ü Ö º½ 1. Opérations sur les limites. Déterminer les limites suivantes. Si la limite n existe pas, envisager la limite à droite ou la limite à gauche. (a) (b) (c) (d) (e) x x lim ln x+ x ln x ln(ln x) x + lim x 1 + lim x 0 + (ln(sin x) ln x) lim x + x2 e lim xx x 0 + x 1 (f) lim x 0 x(x+ 1) ln(1+e x ) (g) lim x + x 2. Quantité conjuguée. Déterminer les limites suivantes : (a) lim 1+ x x (b) lim x 0 x 1+ x x 3. Limites par encadrement. Déterminer les limites suivantes : x cose x (a) lim x + x (b) lim e x sin x x + ( ) 1 (c) lim E x 0 + x x 0 x 2 Ü Ö º¾ Utilisation des équivalents. Déterminer les limites suivantes. 1. Logarithme et exponentielle. (a) (b) lim x (ln(1+ x) ln x) x + x x 1 lim x 0 + ln(1+ x+ x 2 ) (c) lim x 0 x 2 ( ) x+ 2 2x (d) lim x + x ( x 2 2x+ 1 (e) lim x + x 2 4x Puissances réelles. x x (a) lim x 0 x 4 + x x ) x

186 186 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES (b) lim x + x+ x+ x x x x (c) lim x + x+ 1 x Fonctions trigonométriques. (a) lim x sin π x + x sin(3x) (b) lim x π 1 2 cos(x) 3 ( cos π 2 (c) lim x) x 1 e π 2 x2 e π 2 Ü Ö º Passer au logarithme dans un équivalent (???) 1. Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de x 0 R et à valeurs strictement positives. On suppose que f (x) g (x) et que lim g (x)=l R + \{1}. x x0 x x0 Établir que ln f (x) ln g (x). x x0 2. En déduire un équivalent en+ de f (x)=ln ( x x). Ü Ö º Le théorème des gendarmes permet de trouver des équivalents. Soit f une fonction telle qu au voisinage de+, on ait : Déterminer un équivalent de f en+. x x f (x) x2 + x. Ü Ö º Plus difficile. Vérifier les calculs de limites suivants : 1. lim (1+ln x) tan ( πx ) 2 = e 2 π x 1 [ 2. lim e sinx sin 2 (x) ] 1 sinx = e x 0 3. lim x 0 e 1/(x2+1) e ex 3 1+ x 1 = 3e Ü Ö º Déterminer l ensemble de définition, les limites aux bornes de cette ensemble et étudier les branches infinies des fonctions suivantes : 1. x x ln x x x x+ x 3 1 x+2 Ü Ö º Calculer les développements limités suivants et appliquer le résultat à l étude locale de la fonction : 1. DL 2 (0) de 2. DL 3 (0) de 1+x 1 x 7. DL x 2 (1) de ln(1+ x) sin(x) x cos(x) 8. DL 1+x 3 (0) de arctan ( 1+x 1 x 3. DL 3 (0) de e arcsin(x) 9. DL 3 (π/4) de cos(x) DL 2 (1) de e π 4x x 10. DL 2 (+ ) de 3 x 2 +x+1 x DL 2 (2) de 1 x 11. DL 2n+2 (0) de arctan(x) 6. DL 2 (π/4) de tan(x) )

187 9.5. EXERCICES 187 Ü Ö º 1. Pour n N, on pose S n = k=1 (a) Montrer que u n+1 u n = n + n 1 k et u n = S n ln(n). ( 1 1 2n 2+o n 2 2. Pour n N, on pose x n = nn e n n. n! ( ) ( xn (a) Montrer que ln = x n n + 12n 2+o n ) n. C > 0 telle que : n! n( C n + e ). En déduire que la suite (u n ) n N converge. n 2 ). En déduire qu il existe une constante Ü Ö º On considère la fonction f définie par : f (x)=2x 1 x 2 4x. 1. Déterminer l ensemble de définition de f et ses éventuelles limites aux bornes de cet ensemble. 2. Étudier les branches infinies de f, et préciser la position locale de la courbe par rapport à ses éventuelles asymptotes.

188 188 CHAPITRE 9. LIMITES ET COMPARAISON DES FONCTIONS NUMÉRIQUES

189 Chapitre 10 Séries numériques Le but de ce chapitre est de définir, lorsque cela est possible, la somme infinie de l utiliser dans des calculs. + n=0 u n, et 10.1 Généralités Définitions Ò Ø ÓÒ ½¼º½ Série numérique Soit (u n ) n n0 une suite de nombre réels définie à partir d un rang n 0. On lui associe une suite (S n ) n n0 définie par : n S n = u k k=n 0 La suite (S n ) n n0 est appelée série de terme général u n, et est notée n n 0 u n. Pour n n 0 donné, le réel S n est appelé somme partielle de rang n associée à la série et le réel u n est appelé terme général de cette série. n n 0 u n, ATTENTION! Il ne faut pas confondre la série (qui est une suite de réels) et ses sommes partielles (qui sont des nombres réels). Exemple : La série 1 n 1 n est appelée série harmonique. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¼º¾ Les sommes partielles donnent le terme général Si u n est une série numérique, alors : n n 0 n n 0 + 1, u n = S n S n 1 189

190 190 CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES Ò Ø ÓÒ ½¼º Nature d une série On dit que la série u n converge lorsque la suite (S n ) n n0 est convergente, ie lorsque n n 0 n lim u k existe et est finie. n + k=n 0 Dans le cas contraire (la limite est infinie ou elle n existe pas), on dit que la série n n 0 u n diverge. Deux séries sont dites de même nature lorsqu elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes. Déterminer la nature d une série c est déterminer si elle converge ou si elle diverge. Rédaction : Pour montrer que deux séries sont de même nature il faut donc montrer que : u n converge v n converge. n n 0 n n 0 Pour cela on montre que : «u n converge= v n converge» et «v n converge= u n converge». n n 0 n n 0 n n 0 n n 0 Ou par contraposée : «u n converge= v n converge» et «u n diverge= v n diverge». n n 0 n n 0 n n 0 n n 0 Ou encore : «u n diverge= v n diverge» et «v n diverge= u n diverge». n n 0 n n 0 n n 0 n n 0 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¼º Les premiers termes ne changent pas la nature de la série Si n 1 n 0, alors les deux séries u n et u n sont de même nature. n n 0 n n 1 Ò Ø ÓÒ ½¼º Somme et reste d une série convergente On suppose que n u n converge et pour n n 0, on note S n = u k sa somme partielle de n n 0 k=n 0 rang n. n + def 1. lim u k est appelée somme de la série et est notée S = u n = lim S n. n + k=n 0 n=n n Pour tout n n 0, R n = S S n est appelé reste d ordre n de la série u n. n n 0 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¼º Propriétés du reste d une série convergente On suppose que n n 0 u n converge et pour n n 0, on note R n son reste d ordre n.

191 10.1. GÉNÉRALITÉS Pour tout n n 0, R n = + k=n+1 Chasles est vraie pour les sommes de séries. 2. lim n + R n = 0. u k. Au passage, on peut noter que la relation de ATTENTION aux notations : u n désigne la série (donc une suite réelle) ; n n 0 n S n = u k désigne la somme partielle de rang n de la série (donc un nombre réel) ; k=n 0 et pour une série convergente : R n = + k=n+1 + u k désigne la somme de la série (donc un nombre réel) ; S = u n désigne la somme de la série (donc un nombre réel). n=n 0 Dans la somme de la série, la variable est muette : S = u n = u k = u p =... n=n 0 k=n 0 p=n 0 par contre pour le reste d ordre n il ne faut pas prendre n comme variable de la somme, cela n a aucun sens : + n=n+1 u n n existe pas! ATTENTION! La somme d une série convergente dépend des premiers termes. Si n 1 > n 0, la relation de Chasles donne : Exemple : La série harmonique n u n = u n + n=n 0 n=n 1 1 n diverge. n 1 1 n=n 0 u n Exemple : La série géométrique 1 converge vers 2 (ce qui lève le fameux paradoxe de n 0 2n Xénon) Propriétés des séries Ì ÓÖ Ñ ½¼º Dualité suite/série Si (v n ) n n0 est une suite réelle, on pose pour tout n n : u n = v n v n 1. Alors : (v n ) n n0 est convergente n n 0 +1 u n = n n 0 +1 (v n v n 1 ) est convergente Dans ce cas : + n=n 0 +1 u n = + n=n 0 +1 ( (v n v n 1 )= lim n + v n ) v n0

192 192 CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES Exemple : La série 1 converge vers 1. n 2 n(n 1) Ì ÓÖ Ñ ½¼º Condition nécessaire de convergence 1. Soit u n une série numérique convergente. Alors : lim u n = 0. n n n Par contraposée : si la suite (u n ) n n0 ne converge pas vers 0, alors la série n n 0 u n diverge. ATTENTION : la réciproque est fausse comme le montre la série harmonique. Ò Ø ÓÒ ½¼º Série grossièrement divergente Une série u n, telle que lim u n 0 ou n existe pas, est appelée série grossièrement divergente. n n n + 0 Exemple : Les séries ( 1) n et n! sont grossièrement divergentes. n 0 n 0 Ì ÓÖ Ñ ½¼º½¼ Linéarité de la convergence Si les séries u n et v n convergent, et si λ R, alors les séries (u n + v n ) et λ.u n n n 0 n n 0 n n 0 n n 0 convergent aussi. De plus : + + (u n + v n )= u n + n=n 0 n=n 0 + n=n 0 v n et + n=n 0 λ.u n = λ. + n=n 0 u n ÓÖÓÐÐ Ö ½¼º½½ Espace vectoriel des séries convergentes On note E l ensemble des séries numériques convergentes, définies à partir d un même rang n 0. Alors E muni des opérations naturelles est un R-espace vectoriel et l application : ϕ n0 : E R n n 0 u n + n=n 0 u n

193 10.2. SÉRIES À TERMES POSITIFS 193 ÓÖÓÐÐ Ö ½¼º½¾ Addition de deux séries 1. On peut écrire : + + (u n + v n )= u n + n=n 0 n=n 0 + n=n 0 v n dès qu au moinx deux séries convergent. 2. Si l une des séries u n ou v n converge et l autre diverge, alors (u n + v n ) n n 0 n n 0 n n 0 diverge. 3. Si les deux séries u n et v n divergent, alors on ne peut rien dire de général sur n n 0 n n 0 (u n + v n ) (on a une forme indéterminée). n n 0 ÓÖÓÐÐ Ö ½¼º½ Multiplication d une série par une constante Pour tout λ R, les séries u n et λ.u n sont de même nature. n n 0 n n 0 Si on multiplie u n par λ=0, on obtient la série nulle, qui converge vers 0. Ce cas n est n n 0 donc pas particulièrement intéressant Séries à termes positifs En multipliant une série à termes négatifs par 1, on obtient une série à termes positifs, et ces deux séries sont de même nature. Tout ce qui suit concerne donc aussi les séries à termes négatifs, et plus généralement les séries dont le terme général est de signe constant à partir d un certain rang (car la nature d une série ne dépend pas de ses premiers termes) Règles de comparaison Soit (S n ) n n0 une suite croissante à partir d un rang n 0. On rappelle que d après le théorème de la limite monotone, on a seulement deux alternatives possibles : (S n ) n n0 converge vers un réel l vérifiant : n n 0, S n l ; (S n ) n n0 diverge vers+. Ò Ø ÓÒ ½¼º½ Série à termes positifs On dit que la série n n 0 u n est à termes positifs lorsque : n n 0,u n 0.

194 194 CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES Ì ÓÖ Ñ ½¼º½ Nature d une série à termes positifs Soit u n une série à termes positifs. Pour n n 0, on note S n = n n 0 de rang n. Alors : n k=n 0 u k sa somme partielle 1. (S n ) n n0 est croissante. 2. u n converge (S n ) n n0 est majorée. Dans ce cas si M est un majorant de n n 0 (S n ) n n0 : n + n n 0, u k u k M k=n 0 k=n 0 3. Si (S n ) n n0 non majorée, alors u n diverge et lim S n =+. n n n Si (S n ) n n0 non majorée, alors on peut poser u n =+. Pour une série à termes posi- n=n 0 tifs, la notation a donc toujours un sens dans R {+ }. Par exemple : n=n 0 ATTENTION : par contre la notation + n=0 + + n=1 1 n =+. ( 1) n n a aucun sens (la limite n existe pas)! Ì ÓÖ Ñ ½¼º½ Théorème de comparaison par inégalité pour les séries à termes positifs Soient (u n ) n n0 et (v n ) n n0 deux suites réelles telles que 0 u n v n a.p.c.r.. Alors : v n converge= + + u n converge, et dans ce cas 0 u n v n. n n 0 n n 0 n=n 0 n=n 0 Donc par contraposée : v n diverge= u n diverge. n n 0 n n 0 Rédaction : On rédige de la manière suivante : n n 0, 0 u n v n et v n converge, n n 0 donc d après le théorème comparaison par inégalité pour les séries à termes positifs, converge. n n 0 u n ATTENTION, la rédaction suivante est fausse : + + n n 0, 0 u n v n, donc 0 u n v n et v n converge, donc d après le théorème comparaison par inégalité pour les séries à termes positifs, u n converge. n=n 0 n=n 0 n n 0 n n 0 + En effet, on ne peut pas utiliser la notation u n tant qu on a justifié la convergence de la n=n 0 série. Exemple : n 2, 0 1 n 2 1 n(n 1) et n 2 1 n(n 1) converge, donc n 1 1 n 2 converge.

195 10.2. SÉRIES À TERMES POSITIFS 195 ATTENTION : la réciproque est fausse, ie si v n converge, alors on ne peut rien n n 0 dire sur la nature de u n. On peut considérer le contre-exemple suivant : n 2, 0 n n 0 1 n(n 1) 1 n mais 1 n 1 n diverge et 1 n 2 n(n 1) converge. Dans le théorème de comparaison par inégalité pour les séries à termes positifs, on ne peut donc pas dire que les deux séries sont de même nature. ATTENTION! Ce théorème n est vrai que pour des séries à termes positifs (ou de signe constant)! Nous verrons un contre-exemple en TD (il n est pas simple d en construire un). ÓÖÓÐÐ Ö ½¼º½ Théorème de comparaison par équivalents pour des séries à termes positifs Soient (u n ) n n0 et (v n ) n n0 deux suites réelles telles que u n v n et v n 0 a.p.c.r.. n + Alors u n et v n sont de même nature. n n 0 n n 0 Le résultat est donc plus fort que pour la comparaison par inégalité, puisque les deux séries sont de même nature ATTENTION! Ce théorème n est vrai que pour des séries à termes positifs (ou de signe constant). Exemple : ( ) 1 sin diverge et ln (1+ 1n ) n 1 n n 1 2 converge. ÓÖÓÐÐ Ö ½¼º½ Théorème de comparaison par «petit o» pour des séries à termes positifs Soient (u n ) n n0 et (v n ) n n0 deux suites réelles telles que u n 0 et v n 0 a.p.c.r., et u n = n + o (v n ). Alors : v n converge= u n converge. n n 0 n n 0 Donc par contraposée : v n diverge= u n diverge. n n 0 n n 0 ATTENTION : cette fois les deux séries ne sont pas de même nature. ATTENTION! Ce théorème n est vrai que pour des séries à termes positifs (ou de signe constant). Exemple : 1 ( ) 1 = n o n donc 1 diverge. n + n 1 n ( ) Exemple : e n 1 = o n + n 2 donc e n converge. n 0 Ces résultats sont très utiles pour étudier la nature d une série. Par contre, on peut remarquer qu ils ne donnent aucune information sur la valeur de sa somme en cas de convergence.

196 196 CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES Convergence absolue Ò Ø ÓÒ ½¼º½ Convergence absolue On dit que la série n n 0 u n converge absolument lorsque la série n n 0 u n converge. Dans le cas d une série à termes positifs (ou de signe constant), la convergence absolue coïncide avec la convergence. Pour les séries dont le terme général change de signe, l intérêt de cette notion repose sur le théorème suivant. Ì ÓÖ Ñ ½¼º¾¼ La convergence absolue implique la convergence Si u n converge absolument alors elle converge. n n 0 Démonstration : On remarque que, pour tout n n 0 : u n = (u n + u n ) u n. On conclut grâce au théorème de comparaison par inégalité pour les séries à termes positifs, et par linéarité de la convergence. Exemple : n 1 ( 1) n n 2 converge. CQFD On peut donc dans certains cas se ramener à l étude de u n. On travaille alors avec n n 0 une série à termes positifs, et tous les résultats du paragraphe précédent s appliquent. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¼º¾½ Propriétés des séries absolument convergentes On se donne u n et v n deux séries absolument convergentes. n n 0 n n 0 1. Inégalité triangulaire. On a : + n=n 0 u n + u n n=n 0 2. Linéarité de l absolue convergence. Pour tout λ R, les séries sont aussi absolument convergentes. (u n +v n ) et λ.u n n n 0 n n 0 Ò Ø ÓÒ ½¼º¾¾ Série semi-convergente Une série u n est dite semi-convergente lorsqu elle est convergente, mais non absolument convergente, ie que u n converge et u n diverge. n n 0 n n 0 n n 0 Exemple : La série ( 1) n n 1 n ln(2)). est semi-convergente (c est loi d être évident ; sa somme vaut

197 10.3. SÉRIES DE RÉFÉRENCE 197 Les séries semi-convergentes sont «pathologiques». On a en particulier le résultat suivant, du à Riemann. Ì ÓÖ Ñ ½¼º¾ Commutativité des termes dans un série convergente Soit n n 0 u n une série convergente. 1. Si elle est absolument convergente, alors on peut commuter ses termes sans changer la valeur de sa somme. Autrement dit, pour tout bijection σ : N N on a : + n=n 0 u σ(n) = + n=n 0 u n 2. Si elle est semi-convergente, alors toute commutation des termes peut changer la valeur de la somme. On peut même montrer que pour l R, il existe une bijection σ : N N on a : + n=n 0 u σ(n) = l Ce théorème est hors-programme! Mais il faut retenir que pour une série absolument convergente, l ordre des termes n intervient pas dans le calcul de la somme. Ce résultat aura son importance dans le chapitre sur les variables aléatoires discrètes Séries de référence Séries de Riemann Ì ÓÖ Ñ ½¼º¾ Séries de référence de Riemann Soit α R. Alors : + 1 converge α>1 nα n=1 Dans ce cas la convergence est absolue, puisque la série est à termes positifs. Démonstration : Pour α 0, la série est grossièrement divergente. Pour α > 0, on utilise une comparaison à une intégrale. CQFD Dans le cas α>1, on ne connaît pas la valeur de ζ(α)= +, sauf dans des cas particuliers. La fonction ζ est appelée fonction de Riemann, et elle est reliée à de nombreux nα problèmes. Il est bien de connaître la valeur suivante : ζ(2)= + n=1 1 n 2 = π2 6 n=1 1

198 198 CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES ÓÖÓÐÐ Ö ½¼º¾ Règles du n α u n pour des séries à termes positifs Soit n n 0 u n une série à termes positifs. 1. S il existe α>1 tel que lim n + nα u n = 0, alors la série n n 0 u n converge (absolument). 2. S il existe α<1 tel que lim n + nα u n =+, alors la série n n 0 u n diverge. En pratique, il est conseillé de redémontrer ce critère à chaque fois. Exemple : La série ln 3 (n) n 1 n 2 est convergente (absolument) Séries géométriques et leurs dérivées Ì ÓÖ Ñ ½¼º¾ Séries géométriques Soit x R. Alors : x n converge x <1 n 0 Dans ce cas la convergence est absolue et on a : + n=0 x n = 1 1 x et p N, + n=p x n = xp 1 x Ces formules sont à connaître parfaitement. Ì ÓÖ Ñ ½¼º¾ Formule du binôme négatif Soient x R et r N. Alors : ( ) n x n converge x <1 r n r Dans ce cas la convergence est absolue et on a : + n=r ( ) n x n x r = r (1 x) r+1 Démonstration : On pose S(N,r )= ( ) N n x n, pour x R et N N tel que N r. r n=r Pour tout N r + 1, on peut vérifier que : ( (1 x)s(n,r + 1)= N r + 1 ) x N+1 + xs(n 1,r )

199 10.3. SÉRIES DE RÉFÉRENCE 199 Par récurrence sur r on peut donc montrer que x lim S(N,r )= N + r (1 x) r+1. CQFD Cette formule est utilisée en pratique sous la forme suivante. ÓÖÓÐÐ Ö ½¼º¾ Dérivées de la série géométrique Soient x R et r N. Alors : n(n 1) (n p+ 1)x n p converge x <1 n r Dans ce cas la convergence est absolue et on a : + n=r n(n 1) (n p+ 1)x n p r! = (1 x) r+1 De manière mnémotechnique, on peut retenir que : «+ n=0 dérivée p fois de x n = dérivée p fois de 1 1 x» Les formules les plus souvent utilisées sont les suivantes, valables pour x <1 : + n=1 nx n 1 = 1 (1 x) 2 et + n=2 n(n 1)x n 2 2 = (1 x) Séries exponentielles Ì ÓÖ Ñ ½¼º¾ Séries exponentielles x n Pour tout x R, la série converge absolument (et donc converge). De plus : n 0 n! + x n n=0 n! = ex En particulier : + n=0 1 = e (la constante de Néper). n!

200 200 CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES 10.4 Exercices Ü Ö ½¼º½ Déterminer la nature de la série de terme général u n dans les cas suivants : 1. u n = e n 2. u n = n2 5 n(2n + 1) 3. u n = n 2 2 n 1 4. u n = n 2 1 2n+3 5. u n = n sin ( ) 1 3 n 6. u n = n n+1 7. u n = cos(n!) 1 8. u n 3 +cos(n!) n = n(n+1) Ü Ö ½¼º¾ Étudier la nature de la série de terme général u n en fonction des paramètres indiqués : 1. u n = ( n+ 1 n ) α, α R 2. un = ln ( 1+ 1 ) n, α R α 3. u n = ln(n)+ a ln(n+ 1)+b ln(n+ 2), (a,b) R 2 Ü Ö ½¼º 1. Pour n N, on pose S n = n 1 k et u n = S n ln(n). ( 1 k=1 (a) Montrer que u n+1 u n = n + 1 2n 2+o 2. Pour n N, on pose x n = nn e n n. ( ) n! ( xn (a) Montrer que ln = x n n + 12n 2+o n ) n. C > 0 telle que : n! n( C n + e n 2 n 2 ). En déduire que la suite (u n ) n N converge. ). En déduire qu il existe une constante Ü Ö ½¼º Montrer la convergence de la série de terme général u n puis calculer sa somme : 1. u n = 1 n(n+1)(n+2) 2. u n = 6 3. u 5 n+2 n = 2n(n+1) 5. u n = ( 1) n 2n (n+1)! 6. u n = n2 +n+1 n! 7. u n = ln 3 n 4. u n = ( 1) n n2 +3 ( 5 n 8. u n = (n k) n!, k N fixé ) n 3 (n+2)(n 1) 2 Ü Ö ½¼º On considère la série ( ) u n où u n = sin π 2 n 2 n. n 0 1. Montrer que cette série converge. 2. On note S la somme de la série, et S n sa somme partielle de rang n. Vérifier que : n N, S S n 1 2 n 3. Écrire un programme Turbo-Pascal qui calcule une valeur approchée de S à 10 3 près. Ü Ö ½¼º 1. Étudier la convergence et calculer la somme de la série ln (1+ ( 1)n n 2 n n 2. Établir la convergence de la suite (P n ) n 2 définie par : P n = (1+ ( 1)k k Ü Ö ½¼º Soit (a n ) n N une suite décroissante de réels positifs, convergente vers 0. Pour n tout n N, on pose : S n = ( 1) k a k. k=0 1. (a) Monter que les suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont adjacentes. k=2 ). ).

201 10.4. EXERCICES 201 (b) En déduire que la série n 0( 1) n a n est convergente. (c) Montrer que si N : + k=n ( 1) k u k u n 2. Étudier la nature de la série ( 1) n n 1 n α, en fonction du paramètre α R. En déduire un contre-exemple ou u n v n et les séries u n et v n sont de nature différente. n + n n 0 n n 0 Ü Ö ½¼º Soient (u n ) n N une suite de réels positifs et (v n ) n N définie par : v n = u n Montrer que les séries u n et v n sont de même nature. n 0 n 0 1+u n. Ü Ö ½¼º On considère la suite (u n ) n N définie par u 0 = π 2 et u n+1= sin(u n ). [ 1. Étudier la fonction f : x sin(x) x sur 0, π ], puis montrer que (u n ) est strictement 2 positive et convergente vers Dans les questions suivantes, on admettra que : sin(x) x x 0 x3 6. (a) À l aide de l étude la série u n+1 u n, montrer que un 3 converge. n 0 n 0 (b) À l aide de l étude la série ln(u n+1 ) ln(u n ), montrer que un 2 diverge. n 0 n 0

202 202 CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES

203 Chapitre 11 Polynômes Dans tout le chapitre K désigne R ou C Généralités Définitions Ò Ø ÓÒ ½½º½ Polynôme Une fonction P : K K est une fonction polynôme (ou plus simplement un polynôme) à coefficients dans K lorsqu il existe n N et (a 0,..., a n ) K n+1 tels que : x K, P(x)=a 0 + a 1 x+ a 2 x 2 + +a n x n = n a k x k k=0 Notations : L ensemble des polynômes à coefficients dans K est noté K[X ]. Il est clair que R[X ] C[X ], conséquence immédiate du fait que R C. Si k N, on note X k la fonction polynôme x x k. n Le polynôme P : x a 0 + a 1 x+ a 2 x a n x n = a k x k se note donc plus simplement P = P(X )= a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + +a n X n = Quelques polynômes particuliers : k=0 n a k X k, avec la convention a 0 X 0 = a 0. k=0 Le polynôme nul : P(X )= 0 K[X ], défini par x K, P(x)=0 K. Les polynômes constants : P(X )=a K, définie par x K, P(x)=a. Un polynôme n ayant qu un seul (resp. deux, resp. trois) coefficient(s) non nul(s) est appelé monôme (resp. binôme, resp. trinôme). Exemple : P(X )= 2 est constant ; Q(X )=2X 2 + X 5 est un binôme ; R(X )= X 3 est un monôme. 203

204 204 CHAPITRE 11. POLYNÔMES Ì ÓÖ Ñ ½½º¾ Unicité des coefficients Les coefficients d un polynôme sont uniques, ie que si on a n N, (a 0,..., a n ) K n+1 et (b 0,...,b n ) K n+1 tels que : n n P(X )= a k X k = b k X k alors : k=0 k 0,n, k=0 a k = b k n Démonstration : On se ramène à : P(X )= a k X k = 0 K[X ]. On procède par récurrence sur n et, pour l hérédité, on calcule P(2x) 2P(x), pour tout x K. k=0 CQFD ÓÖÓÐÐ Ö ½½º Base canonique de K[X ] La famille ( X n) n N est une base de K[X ]. ÓÖÓÐÐ Ö ½½º Unicité de l écriture d un polynôme non nul Tout P K[X ], tel que P 0 K[X ], s écrit de manière unique P(X ) = n k=0 a k X k avec n N, (a 0,..., a n ) K n+1 et a n 0. Ò Ø ÓÒ ½½º Degré d un polynôme Soit P K[X ] tel que P 0 K[X ]. On dit que P est de degré n lorsqu il existe (a 0,..., a n ) K n+1 n tel que P(X )=a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n = a k X k et a n 0 K. n est alors unique, on le note deg(p) ou d P. k=0 On adopte parfois la convention deg(0 K[X ] )=. Cela permet de simplifier certains résultats sur le degré. ( ) Par exemple : P est un polynôme constant P = 0 K[X ] ou P 0 K[X ] et deg(p)=0 devient : P est un polynôme constant deg(p) 0 Notations : L ensemble des polynômes à coefficients dans K de degré inférieur ou égal à n est noté K n [X ] : K n [X ]= { P K[X ] / deg(p) n } Il est clair que K n [X ] K[X ], que K n [X ] K n+1 [X ] et plus généralement que, si n m, K n [X ] K m [X ]. De plus on peut remarquer que K 0 [X ] désigne l ensemble des polynômes constants. Vocabulaire : Soit P K[X ] tel que P 0 K[X ].

205 11.1. GÉNÉRALITÉS 205 Terme dominant de P : c est le monôme de plus haut degré, de la forme a n X n avec n = deg(p) et a n 0 K. Coefficient dominant de P : c est le coefficient du terme dominant, de la forme a n avec n= deg(p) et a n 0 K. Terme constant de P : c est le coefficient de degré 0, noté a 0. Remarquer que c est la valeur de P en 0 : P(0)= a 0. Ì ÓÖ Ñ ½½º Base canonique de K n [X ] Pour tout n N, la famille (1, X, X 2,..., X n )= ( X k) 0 k n est une base de K n[x ]. Ò Ø ÓÒ ½½º Polynôme unitaire Soit P K[X ] tel que P 0 K[X ]. On dit que P est unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à 1. Exemple : P(X )= X 5 2X + 3 est unitaire, de degré 5, de terme dominant X 5, de coefficient dominant 1 et de terme constant 3. Ò Ø ÓÒ ½½º Égalité de deux polynômes Soit (P,Q) K[X ] 2. Alors : P(X )= Q(X ) x K, P(x)= Q(x) Opérations sur les polynômes Au chapitre 7 sur les espaces vectoriels, on a muni K[X ] d une structure de K-espace vectoriel. On peut aussi composer deux polynômes en tant que fonctions de K dans K. Et on définit un produit par : (P,Q) K[X ] 2, x K, (P Q)(x)= P(x) Q(x) On a donc au total quatre opérations : addition, multiplication par un scalaire, composition et produit. Nous admettrons qu elles donnent toutes un élément de K[X ] et que les règles de calculs sont les mêmes que pour des nombres. En particulier, on a la propriété d intégrité : (P,Q) K[X ] 2, (P Q)(X )=0 K[X ] P(X )=0 K[X ] ou Q(X )=0 K[X ] et la formule du binôme : ( ) n (P,Q) K[X ] 2, n N, (P+Q) n n = P(X ) k Q(X ) n k k k=0

206 206 CHAPITRE 11. POLYNÔMES Un premier théorème donne une formule de calcul des coefficients d un produit. Ì ÓÖ Ñ ½½º Coefficients d un produit de polynômes n p Si P(X )= a k X k K[X ] et Q(X )= b k X k K[X ] alors : k=0 k=0 n+p (PQ)(X )= c k X k avec c k = k=0 1 i n 1 j p i+j=k a i b j Un second théorème donne les règles de calcul du degré. Ì ÓÖ Ñ ½½º½¼ Règles de calcul du degré Soient (P,Q) K[X ] 2 tels que P(X ) 0 K[X ] et Q(X ) 0 K[X ]. 1. En général : deg(p+q) max ( deg(p),deg(q) ) et si deg(p) deg(q), alors deg(p+q)=max ( deg(p),deg(q) ). 2. deg(p Q)=deg(P)+deg(Q). 3. deg(q P)=deg(Q) deg(p). Si deg(p) = deg(q), on peut avoir deg(p + Q) < max ( deg(p),deg(q) ) lorsque les termes dominants s annulent Parité Ò Ø ÓÒ ½½º½½ Polynôme pair/impair Soit P K[X ]. 1. On dit que P est pair lorsque P( X )=P(X ), ie x K, P( x)=p(x). 2. On dit que P est impair lorsque P( X )= P(X ), ie x K, P( x)= P(x). Ì ÓÖ Ñ ½½º½¾ Caractérisation de polynômes pairs/impairs Soit P K[X ]. 1. P est pair si, et seulement si, tous ses coefficients d indice impair sont nuls. 2. P est impair si, et seulement si, tous ses coefficients d indice pair sont nuls. Exemple : X 5 + X est impair et X 8 + 4X 4 + 3X 2 est pair. Par contre, X 3 + X 2 n est ni pair, ni impair.

207 11.2. RACINES D UN POLYNÔME Racines d un polynôme Arithmétique dans K[X ] Ò Ø ÓÒ ½½º½ Divisibilité dans K[X ] Soient (A,B) K[X ] 2 tels que B(X ) 0 K[X ]. On dit que B divise A lorsqu il existe Q K[X ] tel que A(X )=B(X ) Q(X ). Dans ce cas on le note B A ; on dit que B est un diviseur de A, que A est divisible par B ou encore que A est un multiple de B. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½º½ Propriétés de la relation de divisibilité Soient (A,B,C ) K[X ] 3 tels que B(X ) 0 K[X ] et C (X ) 0 K[X ]. 1. Transitivité. Si C B et B A alors C A. 2. Réflexivité. On a B B. 3. Antisymétrie. Si B C et C B alors il existe λ K tel que B = C. 4. Si B C, alors deg(b) deg(c ) Ì ÓÖ Ñ ½½º½ Division euclidienne des polynômes Soient (A,B) K[X ] 2 tels que B(X ) 0 K[X ]. Alors il existe un unique couple (Q,R) K[X ] 2 tel que A(X )=B(X ) Q(X )+R(X ) et deg(r)< deg(q). Q est appelé quotient et R est appelé reste de la division euclidienne de A par B. Exemple : Effectuer la division euclidienne de 2X 3 + X 2 2X 1 par X 2 + X 1. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½º½ Division par X a Si P K[X ] et a K alors le reste de la division euclidienne de P par X a est P(a). Ò Ø ÓÒ ½½º½ Polynômes irréductibles Un polynôme P K[X ] est dit irréductible lorsqu il est non constant et lorsque ses seuls diviseurs sont les λp avec λ K, ainsi que les polynômes constants non nuls. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½º½ Caractérisation des polynômes irréductibles de K[X ] Un polynôme P K[X ] est irréductible lorsqu il est non constant et ses diviseurs sont de degré O ou de dégré égal à deg(p).

208 208 CHAPITRE 11. POLYNÔMES Racines d un polynôme Ò Ø ÓÒ ½½º½ Racine d un polynôme Soient P K[X ] et a K. On dit que α est racine de P lorsque P(α)=0 K. Le théorème suivant est primordial dans la suite. Ì ÓÖ Ñ ½½º¾¼ Racine et divisibilité Soient P K[X ] et α K. Alors : α est racine de P X α P Autrement dit : P(α)=0 K Q K[X ] tel que P(X )=(X α) Q(X ). On peut noter que deg(q)=deg(p) 1. ÓÖÓÐÐ Ö ½½º¾½ Cas de racines deux à deux distinctes Soient P K[X ] et (α 1,...,α n ) K n deux à deux distincts. Alors : α 1,...,α n sont racines de P n (X α k ) P k=1 ÓÖÓÐÐ Ö ½½º¾¾ Relation entre degré et nombre de racines Tout polynôme P de K[X ] non nul a un nombre de racines au plus égal à son degré. Par contraposée, s il existe n N tel que deg(p) n et P a au moins n + 1 racines, alors P est le polynôme nul. Exemple : La fonction x R e i x n est pas polynomiale. Ò Ø ÓÒ ½½º¾ Racines multiples Soient P K[X ] et α K. L ordre de multiplicité de α pour P est le plus grand entier r N tel que (X α) r P, ie l unique entier r N tel que (X α) r P et (X α) r+1 P. On dit alors que α est racine d ordre r de P. Remarquez que α racine d ordre 0 signifie en fait que α n est pas racine de P. Vocabulaire : Si r = 1, on dit que α est racine simple de P. Si r = 2, on dit que α est racine douple de P. Si r 3, on dit que α est racine multiple de P.

209 11.2. RACINES D UN POLYNÔME 209 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½º¾ Autre définition de l ordre de multiplicité Pour α K, r N et P K[X ] : α est racine d ordre r N de P si et seulement si il existe Q K[X ] tel que P(X )=(X α) r Q(X ) et Q(α) Théorème de d Alembert-Gauss Nous admettrons le théorème suivant. Ì ÓÖ Ñ ½½º¾ Théorème de d Alembert-Gauss Tout polynôme de C[X ] non constant a au moins une racine complexe. Par conséquent : tout polynôme de R[X ] non constant a au moins une racine complexe. ÓÖÓÐÐ Ö ½½º¾ Polynômes irréductibles de C[X ] Les polynômes irréductibles de C[X ] sont les polynômes de la forme λ(x α) avec λ C et α C. ÓÖÓÐÐ Ö ½½º¾ Décomposition d un polynôme de C[X ] en facteurs irréductibles Tout P C[X ] s écrit : l P(X )=λ (X α i ) r i où λ C, l N, (α 1,...,α l ) C l et (r 1,...,r l ) ( N ) l. De plus, cette écriture est unique à l ordre des facteurs près dans le produit. i=1 On va maintenant étudier le cas d un polynôme à coefficients réels. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½º¾ Condition suffisante d existence d une racine réelle Soit P R[X ] de degré impair. Alors P a au moins une racine réelle. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½º¾ Racines complexes et polynômes de R[X ] Soient P R[X ] et α C. Alors : α est racine de P α est racine de P Le calcul suivant sera fondamental dans la suite. Si α C : (X α) (X α)= X 2 2Re(α)X + α 2 R[X ]

210 210 CHAPITRE 11. POLYNÔMES ÓÖÓÐÐ Ö ½½º ¼ Polynômes irréductibles de R[X ] Les polynômes irréductibles de R[X ] sont : les polynômes de la forme λ(x α) avec λ R et α R ; les polynômes de la forme λ(x 2 + βx + γ) avec (λ,β,γ) R, λ 0 et =β 2 4γ<0. ÓÖÓÐÐ Ö ½½º ½ Décomposition d un polynôme de R[X ] en facteurs irréductibles Tout P R[X ] s écrit : l h P(X )=λ (X α i ) r i (X 2 + β j X + γ j ) ν j i=1 où λ C, (l,h) N, (α 1,...,α l,β 1,...,β h,γ 1,...,γ h ) R l+2h et (r 1,...,r l,ν 1,...,ν h ) ( N ) l+h, avec j 1,h, j = β 2 j 4γ j < 0. De plus, cette écriture est unique à l ordre des facteurs près dans le produit. j=1 Nous verrons dans le prochain paragraphe des exemples de décomposition Formule de Taylor Dérivée d un polynôme Ò Ø ÓÒ ½½º ¾ Dérivée d un polynôme Soit P K[X ]. On définit le polynôme dérivé de P, noté P par : Si P est constant alors on pose P = 0. n Si deg(p) 1 alors on a P(X )= a k X k avec n= deg(p) et a n 0. On pose alors P (X )= k=0 n ka k X k 1 n 1 = (k+ 1)a k+1 X k. k=1 k=0 Exemple : P(X )=4X 5 + 9X donne P (X )=20X ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½º Degré du polynôme dérivé Si P K[X ] est un polynôme non constant, ie si deg(p) 1, alors deg(p )=deg(p) 1. Si P K[X ] est un polynôme constant, ie si deg(p) 0, alors P = 0 K[X ].

211 11.3. FORMULE DE TAYLOR 211 Ò Ø ÓÒ ½½º Dérivée d ordres supérieurs Soit P K[X ]. On définit par récurrence le polynôme dérivé d ordre k de P, note P (k), par : { P (0) = P k N, P (k+1) = ( P (k)) Pour k N, le polynôme P (k) désigne le polynôme P dérivé k fois. Exemple : P(X )=4X 5 + 9X + 3 2, P (X )=20X 4 + 9, P (X )=80X 3, P (3) (X )=240X 2, P (4) (X )= 480X, P (5) (X )=480 et pour k 6, P (k) (X )=0 K[X ]. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½º Propriétés de polynôme P (k) Soient P K[X ] et k N. 1. Si k > deg(p), alors P (k) = 0. deg(p) 2. Si k deg(p) et si P(X )= a j X j, alors : j=0 P (k) (X ) = = deg(p) j=k deg(p) k j=0 deg(p) j (j 1) (j k+ 1) X j k j! = (j k)! a j X j k (j + k)! a j+k X j j! j=k On a donc deg ( P (k)) = deg(p) k et on remarque que a k = P (k) (0). k! Calculs de polynômes dérivés Ì ÓÖ Ñ ½½º Propriétés de la dérivation L application P P est un endomorphisme de K[X ] et vérifie : (P,Q) K[X ] 2, (P Q) (X )=P (X ) Q(X )+P(X ) Q (X ) et : (P,Q) K[X ] 2, (Q P) (X )=P (X ) Q P(X ) Exemple : ( X 2 P(X ) ) = 2X P(X )+ X 2 P (X ) et ( P(2X ) ) = 2 P (2X ).

212 212 CHAPITRE 11. POLYNÔMES Ì ÓÖ Ñ ½½º Formule de Leibnitz Si (P,Q) K[X ] 2 et n N, alors : ( ) n (P Q) (n) n (X )= P (k) (X ) Q (n k) (X )= k k=0 ( ) n n Q (k) (X ) P (n k) (X ) k k=0 Exemple : (P Q) (3) (X )=P(X ) Q (3) (X )+3 P (X ) Q (2) (X )+3 P (2) (X ) Q (X )+P (3) (X ) Q(X ) Formule de Taylor et application Ì ÓÖ Ñ ½½º Formule de Taylor pour les polynômes Si n N, P K n [X ] et α K, alors : P(X )= n P (k) (α) (X α) k k! k=0 Autrement dit : la famille ( (X α) k) k 0,n est génératrice de K n[x ], et la famille ( (X α) k ) k N est génératrice de K[X ]. Démonstration : On considère l application : ϕ : K n [X ] K n [X ] n P (k) (α) P k! On vérifie que ϕ est un endomorphisme de K n [X ] laissant fixe la base canonique, ce qui prouve que ϕ=id Kn [X ]. k=0 CQFD On arrive au résultat principal de ce paragraphe, qui permet de déterminer simplement l ordre de multiplicité d une racine. Ä ÑÑ ½½º Dérivé et ordre de multiplicité Soient α K, PıK[X ] et r N. Alors : α est racine d ordre r de P = α est racine d ordre r 1 de P Ì ÓÖ Ñ ½½º ¼ Calcul de l ordre de multiplicité Soient α K, PıK[X ] et r N. Alors on a équivalence de : (i) α est racine d ordre r de P ; (ii) P(α)=P (α)=p (α)= =P (k 1) (α)=0 et P (k) (α) 0.

213 11.4. EXERCICES 213 Exemple : Factoriser le polynôme P(X )= X 6 3X 5 + 2X 4 X 2 + 3X 2 dans C[X ], puis dans R[X ] (réponse : P(X )=(X 2)(X 1) 2 (X + 1)(X i)(x + i) ) Exercices Ü Ö ½½º½ Déterminer les degrés et coefficients dominants des polynômes suivants : 1. X 3 X (X 2+i) 2. (X 2) n (X + 5) n avec n N 3. Ü Ö ½½º¾ Factoriser les polynômes suivants : n (2X k) X 4 X 2 + 1, X 8 + X et X dans R[X ] et dans C[X ] 2. X 4 + 3X 3 14X X 12 dans R[X ] sachant que i + 1 est racine dans C k=0 n (X 6) k Ü Ö ½½º On désire prouver le résultat suivant : «Si a, b et c sont trois complexes de module 1 vérifiant a+ b+ c = 1, alors un des ces trois complexes vaut 1». Supposons que a, b et c soient trois nombres complexes de module 1 tels que a+ b+ c = Justifier l égalité : 1 a + 1 b + 1 c = On considère le polynôme P défini par : P = (X a)(x b)(x c). Justifier l existence d une constante complexe α non nulle telle que : P = X 3 X 2 + αx α. 3. Conclure. Ü Ö ½½º 1. Déterminer l ensemble des polynômes P de K[X ] tels que : P(X + 1) = P(X ). 2. Déterminer l ensemble des polynômes P de K[X ] tels que : P(X 2 )=(X 2 + 1)P(X ). Ü Ö ½½º Soit n N. Déterminer le reste de la division euclidienne de A par B lorsque : 1. A=X 2n + 2X n + 1 et B = X A=X 2n + 2X n + 1 et B = (X i) 2 3. A=X n + 2X 2 et B = (X 2) 2 4. A=X n + 2X 2 et B = (X 3) 2 Ü Ö ½½º ÓÖÑÙÐ Î Ò ÖÑÓÒ µ Soient N 1 et N 2 deux éléments de N et n 0, N 1 + N 2. ( )( ) n En considérant le coefficient de X n dans le polynôme (1+X ) N 1 (1+X ) N 2 N 1 N 2, calculer. k n k Ü Ö ½½º ÈÓÐÝÒÑ ³ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ä Ö Ò µ Soit n N. On se donne n+1 réels x 0, x 1,..., x n deux à deux distincts, et n+1 réels y 0, y 1,..., y n. 1. Soit k 0,n. Déterminer l unique polynôme L k R n [X ] tel que : k=0 k=0 j 0,n, { Lk (x j )=0 si j k L k (x k )=1 n 2. En déduire que P = y k L k est l unique polynôme P R n [X ] tel que : j 0,n, P(x j )= y j. k=0

214 214 CHAPITRE 11. POLYNÔMES Ü Ö ½½º Soit n 2. On pose P = (X + 1) n Déterminer toutes les racines de P dans C et en déduire la factorisation de P dans C[X ]. 2. On note Q le polynôme de C[X ] tel que P = XQ. A l aide des racines de Q déterminer la valeur de : n 1 ( ) kπ A= sin. n Ü Ö ½½º ÈÓÐÝÒÑ Ì Ý Úµ { P0 = 1 et P 1 = X On considère la suite de polynômes (P n ) n N définie par : n N, P n+2 = 2X P n+1 P n k=1 1. Pour tout n N, déterminer le degré et le coefficient du terme de plus haut degré de P n. 2. Déterminer le terme constant de P n et étudier la parité de P n. 3. Etablir que, pour tout n N et pour tout x R : P n (cos x)=cos(nx). 4. En déduire les racines de P n. 5. Donner alors une expression factorisée de P n (X ). 6. À l aide des formule d Euler et de De Moivre donner une autre expression de P n (X ). Ü Ö ½½º½¼ Soit n N. On note z 0, z 1,..., z n les racines (n+ 1) èmes de l unité : z k = e i 2kπ n+1. On définit P = n a k X k C[X ], avec a n 0, et on pose M = max P(zk ). k=0 1. Vérifier que : M > Soit p N fixé. Calculer n (z k ) p en fonction de p. k=0 k 0,n 3. (a) Montrer que, pour tout n N n, on a : P(z k ) (n+ 1)M. (b) En déduire que : a 0 M. 4. Montrer que : k 0,n, a k M. k=0

215 Chapitre 12 Espaces probabilisés 12.1 Vocabulaire et axiomatique des probabilités L univers On considère une expérience aléatoire ( = expérience dont le résultat ne peut pas être prédit ou calculé à l avance). On désigne par Ω l ensemble des résultats possibles de cette expérience aléatoire. Ω est appelé univers ou encore espace des possibles, espace des réalisations ou espace des observations. Les éléments ω Ω sont appelés observations ou réalisations de l expérience aléatoire. Exemple : On lance un dé à 6 faces : Ω={1;2;3;4;5;6}= 1,6. Un élément ω Ωest un chiffre entre 1 et 6 qui représente le chiffre obtenu en lançant le dé. Exemple : On lance deux dés à 6 faces distinguables : Ω = {1;2;3;4;5;6} {1;2;3;4;5;6} = 1,6 2. Un élément ω Ω est un couple (ω 1,ω 2 ) où ω 1 représente le chiffre obtenue avec le premier dé, et ω 2 le chiffre obtenu avec le second. Exemple : On lance 1 fois une pièce : Ω = {P,F } ou Ω = {0,1} avec la convention que «1» représente «pile», et «0» représente «face». Exemple : Soit n N. On lance n fois une pièce : Ω={P,F } n ou Ω={0,1} n avec la convention que «1» représente «pile», et «0» représente «face». Un élément ω = (ω 1,...,ω n ) Ω est un n-uplet qui représente la liste des résultats obtenus aux n lancers. Par exemple pour 6 lancers, on peut avoir ω=(p,p,f,p,f,p) qui se note aussi ω=(1,1,0,1,0,1). Exemple : On lance une infinité de fois une pièce : Ω = {P,F } N ou Ω = {0,1} N. Un élément ω=(ω n ) n N Ω est une suite réelle qui représente la liste des résultats obtenus aux lancers, le terme de rang n (ie ω n ) représentant le résultat du n-ième lancer. Par exemple n obtenir que des «pile» se note ω=(1,1,1,...). Exemple : Soit (n, N) N 2. On effectue n tirages successifs avec remise d une boule, dans une urne de N boules : Ω = 1, N n. Ceci sous-entend qu on a numéroté les N boules de 1 à N ; un élément ω = (ω 1,...,ω n ) Ω est un n-uplet qui représente la liste des numéros tirés. Par exemple ω = (6, 2, 2, 6, 4, 3, 5) pour 7 tirages avec remise dans une urne de 6 boules. 215

216 216 CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS On effectue n tirages successifs sans remise d une boule, dans une urne de N boules (dans ce cas n N) : Ω= ensemble des arrangements de n éléments de 1, N = ensemble des n-uplets ω = (ω 1,...,ω n ) 1, N n dont les composantes sont deux à deux distinctes. Encore une fois ceci sous-entend qu on a numéroté les N boules de 1 à N ; un élément ω=(ω 1,...,ω n ) Ω est un n-uplet qui représente la liste des numéros tirés. Par exemple ω=(6,2,3) pour 3 tirages sans remise dans une urne de 10 boules. On effectue 1 tirage de n boules prises simultanément dans une urne de N boules (dans ce cas n N) : Ω= ensemble des combinaisons de n éléments de 1, N = ensemble des parties ω={ω 1,...,ω n } 1, N. Encore une fois ceci sous-entend qu on a numéroté les N boules de 1 à N ; un élément ω={ω 1,...,ω n } Ω est une partie qui représente les numéros tirés. Par exemple ω = {6, 2, 3} pour 1 tirage de 3 boules prises simultanément dans une urne de 10 boules. Exemple : On mélange une jeu de n cartes : Ω={ω : 1,n 1,n /ω bijective }. Ceci sousentend qu on a numéroté les cartes de 1 à n en fonction de leur position initiale. Pour la carte numéro i, l entier ome g a(i) représente sa position après le mélange ω Évènements Intuitivement, un évènement A est défini par une phrase qui peut être vraie ou fausse selon le résultat de l expérience aléatoire. Exemple : On lance un dé à 6 faces : Ω= 1,6. A = «obtenir un 6» donne la partie de Ω : A= {6} B = «obtenir un nombre pair» donne la partie de Ω : B = {2;4;6} Exemple : On lance deux dés à 6 faces distinguables : Ω= 1,6 2. A = «obtenir un double 6» donne la partie de Ω : A= {(6,6)} B = «obtenir un double» donne la partie de Ω : B = {(i,i)/i 1,6 } = {(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)} C = «obtenir au moins un 6» donne la partie de Ω : C = {(i,6)/i 1,6 } {(6, j )/ j 1,6 } = {(1,6);(2,6);(3,6);(4,6);(5,6);(6,6);(6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5)} Exemple : On mélange un jeu de n cartes : Ω={ω : 1,n 1,n /ω bijective }. A = «la première carte{ se retrouve dans la première moitié du paquet» donne la partie de Ω : A= ω : 1,n bijective / ω(1)= } n 2 Pour i 1,r fixé, B i = { «la carte numéro i n a pas changé de place» donne la partie de Ω : A= ω : 1,n bijective / } ω(i)= i On voit sur ces exemples qu un évènement A est nécessairement une partie de Ω, ie que A P (Ω). Si on note F l ensemble de tous les évènements qu on peut associer à l expérience aléatoire, alors F P (Ω). Une question vient naturellement : a-t-on l égalité F = P (Ω)?

217 12.1. VOCABULAIRE ET AXIOMATIQUE DES PROBABILITÉS 217 Si Ω est fini : oui, dans ce cas on peut prendre F = P (Ω), ie que toute partie de Ω peut être considérée comme un évènement dont on pourra calculer la probabilité. Si Ω est infini : dans certains cas on aura F P (Ω), ie que certaines parties de Ω ne peuvent pas être considérées comme des évènements et on ne pourra pas calculer leur probabilité. Dans ce dernier cas, F ne sera pas précisée, par souci de simplicité. La seule chose à savoir saura que F représente l ensemble de toutes les parties de Ω qui sont des évènements, ie dont on peut calculer la probabilité. Vocabulaire : L évènement est appelé évènement impossible. L évènement Ω est appelé évènement certain. On dit que l observation ω Ωréalise l évènement A lorsque ω A. Inversement, si ω A, on dit que l observation ω ne réalise pas A. Il est clair qu aucune observation ne réalise l évènement impossible, et que toutes les observations réalisent l évènement certain Ω. Ò Ø ÓÒ ½¾º½ Évènements élémentaires On appelle évènements élémentaires les singletons de Ω, ie les évènements de la forme {ω} avec ω Ω. Une remarque importante : tout évènement A est réunion d évènements élémentaires. En effet, on a : A= ω A{ω} Opérations sur les évènements Ò Ø ÓÒ ½¾º¾ Opérations sur les évènements Soient A et B deux évènement, c est-à-dire (A,B) F Contraire. L évènement Ω A= A est appelé contraire de A. Pour tout ω Ω : ω A ω A Autrement dit : A est réalisé A n est pas réalisé 2. Union. Pour tout ω Ω : ω A B ω A ou ω B Autrement dit : A B est réalisé A est réalisé ou B est réalisé 3. Intersection. Pour tout ω Ω : ω A B ω A et ω B Autrement dit : A B est réalisé A est réalisé et B est réalisé 4. Différence. Pour tout ω Ω : ω A\B ω A et ω B Autrement dit : A\B est réalisé A est réalisé et B n est pas réalisé 5. Implication. A B signifie que, pour tout ω Ω : ω A= ω B Autrement dit : A est réalisé = B est réalisé On peut aussi remarquer que la différence symétrique A B permet de définir un «ou» exclusif.

218 218 CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS Rappels : Si A, B et C sont des évènements : A B A B A A B A (B C )=(A B) (A C ) A (B C )=(A B) (A C ) A B = B A A B = B A A = A A = A Ω=Ω A Ω= A A B = A B A B = A B Généralisation pour (A i ) i I famille d évènements : A i A i = A i = i I ( i I) i I i I B A i = i I(B ( ) A i ) B A i = i I(B A i ) i I i I A i Ò Ø ÓÒ ½¾º Évènements incompatibles Deux évènements A et B sont dits incompatibles lorsqu ils sont disjoints, ie lorsque A B =. Intuitivement, A et B sont incompatibles lorsqu ils ne peuvent pas se produire simultanément. Exemple : Lorsqu on lance un dé à 6 faces les évènements A = «obtenir un chiffre pair» et B = «obtenir un chiffre impair» sont incompatibles La tribu des évènements On va préciser la nature de l ensemble F qui est composé de tous les évènements qu on peut associer à l expérience aléatoire. Ò Ø ÓÒ ½¾º Tribu d évènements Soit F une collection de parties de Ω, ie F P (Ω). On dit que F est une tribu d évènements lorsque : (i) Ω F ; (ii) F est stable par passage au complémentaire : A F, A F (ii) F est stable par union dénombrable : (A n ) n N F N, + n=0 A n F Précisons quelques notations : F N désigne l ensemble des suites d évènements, donc (A n ) n N F N signifie simplement que A n F pour tout n N. + A n est égal à A n. n=0 n N

219 12.1. VOCABULAIRE ET AXIOMATIQUE DES PROBABILITÉS 219 Ì ÓÖ Ñ ½¾º Propriétés d une tribu d évènements Soit F une tribu d évènements. Alors : (iv) F ; (v) F est stable par union finie : n N, (A 1,..., A n ) F n, n A k F k=1 (vi) F est stable par intersection dénombrable : (A n ) n N F N, + n=0 A n F (vii) F est stable par intersection finie : n N, (A 1,..., A n ) F n, n A k F k=1 Exemple : Pour tout univers Ω, on a les tribus {,Ω} et P (Ω). En pratique si Ω est fini ou dénombrable (ie en bijection avec N), on choisira F = P (Ω). Dans les autres cas (par exemple Ω=R), on ne précisera pas la tribu F par souci de simplicité. Ò Ø ÓÒ ½¾º Espace probabilisable Un espace probabilisable est un couple (Ω,F ) où Ω est l univers et F est la tribu des évènements Système complet d évènements On se donne un espace probabilisable (Ω,F ). Ò Ø ÓÒ ½¾º Système complet d évènements Soit (A i ) i I une famille d évènements de Ω. On dit que (A i ) i I est un système complet d évènements ( = s.c.e.) lorsque : (i) les (A i ) i I sont deux à deux incompatibles : (ii) i I A i = Ω (iii) i I, A i (i, j ) I 2, i j = A i A j = Intuitivement, un s.c.e. correspond à une disjonction des cas, suivant le résultat de l expérience aléatoire.

220 220 CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS Exemple : On lance deux dés à 6 faces. On définit les évènements A = «obtenir deux chiffres pairs», B = «obtenir deux chiffres impairs» et C = «obtenir un chiffre pair et un chiffre impair». Alors (A,B,C ) est un s.c.e.. Exemple : Si A F tel que A et A Ω, alors ( A, A ) s.c.e.. Exemple : On lance une infinité de fois une pièce de monnaie. On note P = «on obtient que des piles», et pour n N, P n = «on on obtient exactement n piles». Alors la famille (P,P 0,P 1,P 2,...,P n,...) est un s.c.e.. Remarquez que sur cet exemple, on a une famille composée d un infinité d évènements. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¾º Décomposition d un évènement sur un s.c.e. Tout évènement se décompose sur un s.c.e. (A i ) i I en une union d évènements deux à deux incompatibles : B F, B = i I(B A i ) et les ( B A i )i I sont deux à deux incompatibles Probabilité sur un espace probabilisable Probabilités Ò Ø ÓÒ ½¾º Probabilité Soit (Ω,F ) un espace probabilisable. On appelle probabilité sur (Ω, F ) toute application P : F [0, 1] telle que : (i) P(Ω)=1; (ii) P est σ-additive : (A n ) n N F N, ( + les (A n ) n N sont 2 à 2 incompatibles= P n=0 A n )= + n=0 P(A n ) Si A est un évènement, alors le réel P(A) est appelé probabilité de l évènement A. Dans le point (ii), il est sous-entendu que : si les (A n ) n N sont deux à deux incompatibles, alors la série n NP(A n ) converge. Le σ devant la propriété de σ-additivité signifie qu on prend une famille dénombrable, et qu on obtient la somme d une série. Ò Ø ÓÒ ½¾º½¼ Espace probabilisé Un espace probabilisé est un triplet (Ω,F,P) où Ω est l univers, F est la tribu des évènements et P est une probabilité définie sur F.

221 12.2. PROBABILITÉ SUR UN ESPACE PROBABILISABLE 221 Ì ÓÖ Ñ ½¾º½½ Propriétés d une probabilité Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. Alors : (iii) P est additive : ( n n N, (A 1,..., A n ) F n,les (A k ) k 1,n 2 à 2 incompatibles= P A k )= (iv) P( )=0; On se donne deux évènements A et B : (v) P ( A ) = 1 P(A) ; (vi) P(A\B)=P(A) P(A B) et donc si B A, alors P(A\B)=P(A) P(B) ; (vii) si A B, alors P(A) P(B) ; (viii) P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) k=1 n P(A k ) k=1 Dans le cas d une union finie d évènements, avec un nombre quelconque de termes, et sans hypothèse d incompatibilité, on a les deux résultats suivants. Ì ÓÖ Ñ ½¾º½¾ Inégalité de Boole Soit n N. Pour tout famille finie (A 1,..., A n ) F n, on a : ( n n P A k ) P(A k ) k=1 k=1 Ì ÓÖ Ñ ½¾º½ Formule du crible Soit n N. Pour tout famille finie (A 1,..., A n ) F n, on a : ( ( n n P A k )= ( 1) k 1 P ( ) ) A i1 A i2 A ik k=1 k=1 1 i 1 <i 2 < <i k n Exemple : On mélange n cartes et on note A = «aucune carte ne retrouve sa position initiale». Alors : n ( 1) k P(A)= k! k= Construction de probabilités Cas d un univers fini On considère un espace probabilisable (Ω,F ) où Ω est fini. Dans ce cas, on choisit F = P (Ω) (toute partie de Ω est un évènement). Pour définir une probabilité P sur F, il faut se donner P(A) pour tout A F, ce qui n est pas très pratique. On va démontrer qu il suffit de définir P sur les évènements élémentaires.

222 222 CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS On note n= #Ω et Ω={ω 1,...,ω n }. Ì ÓÖ Ñ ½¾º½ Probabilité sur un univers fini 1. Soit P est une probabilité sur (Ω,P (Ω)) avec Ω fini. Pour tout i 1,n, on pose p i = P ( {ω i } ) n. Alors les réels p 1,..., p n sont dans [0,1] et vérifient p i = Réciproque. On se donne des réels p 1,..., p n vérifiant : ils sont positifs ; n p i = 1. i=1 Alors il existe une unique probabilité P sur (Ω,P (Ω)) telle que : i 1,n, p i = P ( {ω i } ). Et donc pour tout i 1,n, p i [0,1]. i=1 C est le deuxième point que nous utiliserons pour définir une probabilité dans le cas d un univers fini. Cette probabilité P vérifie : A P (Ω), P(A)= i 1,n ω i A p i Par exemple, si A= {ω 2,ω 5,ω 6 }, alors : P(A)= p 2 + p 5 + p 6. Exemple : On lance un dé à 6 faces : Ω= 1,6 et F = P (Ω). On définit une probabilité P sur (Ω,F ) par : p 1 = p 2 = p 3 = 1 12 ; p 4= 1 2 ce qui modélise un dé truqué. On a alors P( «Chiffre pair» )= = 5 6. et p 5 = p 6 = 1 4 Exemple : On reprend le même espace probabilisable (Ω,F ) et on défini une seconde probabilité P par : q 1 = q 2 = q 3 = q 4 = q 5 = q 6 = 1 2 ce qui modélise un dé équilibré. On a alors P( «Chiffre pair» )= 3 6 = 1 2. On voit sur ces deux exemples qu on effectue la même expérience aléatoire : lancer un dé à 6 faces. Le choix de la probabilité permet de traduire le fait que le dé est équilibré ou truqué, c est-à-dire de choisir la probabilité des évènements élémentaires.

223 12.2. PROBABILITÉ SUR UN ESPACE PROBABILISABLE 223 Ò Ø ÓÒ ½¾º½ Équiprobabilité Lorsque Ω est fini on note n= #Ω. L unique probabilité définie par : p 1 = p 2 = =p n = 1 n est appelée probabilité uniforme sur (Ω, P (Ω)). Pour tout évènement A, on a : P(A)= Card(A) Card(Ω) Cas d un univers infini dénombrable On considère un espace probabilisable (Ω,F ) où Ω est dénombrable. Dans ce cas, on choisit F = P (Ω) (toute partie de Ω est un évènement). On note Ω={ω n /n N}. On a le même type de résultat que dans le cas fini. Ì ÓÖ Ñ ½¾º½ Probabilité sur un univers infini dénombrable 1. Soit P est une probabilité sur (Ω,P (Ω)). Pour tout n N, on pose p n = P ( {ω n } ). Alors les réels (p n ) n N sont dans [0,1], la série n N p n converge et vérifie 2. Réciproque. On se donne une suite de réels (p n ) n N vérifiant : ils sont positifs ; la série n N p n converge et + n=0 p n = 1. + n=0 p n = 1. Alors il existe une unique probabilité P sur (Ω,P (Ω)) telle que : n N, p n = P ( {ω n } ). Et donc pour tout n N, p n [0,1]. C est le deuxième point que nous utiliserons pour définir une probabilité dans le cas d un univers infini dénombrable. Cette probabilité P vérifie : A P (N), P(A)= p n n N ωn A la somme pouvant éventuellement être infinie. Par exemple, si A= {ω 0,ω 2,ω 4,ω 6,...}, alors : P(A)= + n=0 p 2n. Exemple : On peut poser : n N, p n = 1 2 n+1. Ì ÓÖ Ñ ½¾º½ L équiprobabilité n existe pas dans le cas dénombrable Lorsque Ω est dénombrable, on ne peut pas définir de probabilité uniforme sur (Ω,P (Ω)).

224 224 CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS Propriétés de continuité monotone pour une probabilité Ì ÓÖ Ñ ½¾º½ Théorème de continuité monotone : cas d une suite croissante/décroissante pour l inclusion Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. 1. On suppose que (A n ) n N est une suite croissante d évènements, ie : n N, A n A n+1. Alors : P ( + A k )= lim P(A n) n + k=0 2. On suppose que (A n ) n N est une suite décroissante d évènements, ie : n N, A n+1 A n. Alors : P ( + A k )= lim P(A n) n + k=0 ÓÖÓÐÐ Ö ½¾º½ Théorème de continuité monotone Soient (Ω,F,P) un espace probabilisé et (A n ) n N une suite d évènements. Alors : P ( + A k )= lim P n + k=0 ( n ) A k k=0 et P ( + A k )= lim P n + k=0 ( n ) A k k=0 Exemple : On lance une infinité de fois une pièce de monnaie équilibrée. Alors P( «on obtient que des faces» )=0, et donc P( «on obtient au moins un pile» )= Évènements négligeables Ò Ø ÓÒ ½¾º¾¼ Évènement négligeable Soit (Ω,F,P) un espace probabilisé et A un évènement. On dit que A est négligeable pour P, ou que A est P-négligeable, ou que A est quasi-impossible, lorsque P(A) = 0. ATTENTION : A P-négligeable ne signifie pas que A=! Par contre l évènement impossible est P-négligeable pour toutes les probabilités P sur (Ω,F ). Exemple : Dans le jeu de pile ou face infini, l évènement «on obtient que des piles» est négligeable pour la probabilité uniforme (ie si la pièce est équilibrée). Ò Ø ÓÒ ½¾º¾½ Évènement presque sûr Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé et A un évènement. On dit que A est presque sûre pour P, ou que A est vrai P-presque sûrement, ou que A est quasi-certain, lorsque P(A)=1. On le note : A est vrai P-p.s..

225 12.3. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 225 ATTENTION : A vrai P-p.s. ne signifie pas que A= Ω! Par contre l évènement certain Ω est vrai P-p.s. pour toutes les probabilités P sur (Ω,F ). Exemple : Dans le jeu de pile ou face infini, l évènement «on obtient au moins un pile» est vrai p.s. pour la probabilité uniforme (ie si la pièce est équilibrée). ATTENTION : ces notions dépendent du choix de P! 12.3 Probabilités conditionnelles Dans tout ce paragraphe, on se place sur un espace probabilisé (Ω,F,P) Définition Intuitivement : si on lance un dé cubique, équilibré, on devine que sachant que le chiffre obtenu est pair, la probabilité d obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 est égale à 2 3. On introduit les évènements A = «obtenir un chiffre inférieur ou égal à 5», B = «obtenir un chiffre pair». Comme on est en situation d équiprobabilité, on trouve P(A)= 5 6, P(B)= 1 et P(A B)= On remarque alors que 2 P(A B) =. 3 P(B) Ces considérations motivent la définition suivante. Ò Ø ÓÒ ½¾º¾¾ Probabilité conditionnelle Soient A et B deux évènements tels que P(B) 0. P(A B) On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, le réel P(A B)=. P(A B) est P(B) aussi notée P B (A). ATTENTION : en général on ne peut pas comparer les valeurs de P(A) et P(A B), comme le montre l exemple suivant. Exemple : On lance deux dés distinguables à 6 faces, équilibrés. On considère les évènements A = «la somme des deux chiffres obtenus est 5», B = «le premier dé donne 3», et C = «le premier dé donne au moins 3». Alors P(A C )<P(A)<P(A B). Ì ÓÖ Ñ ½¾º¾ Propriétés de P B Soit B un évènement tel que P(B) Pour tout A F, on a : P(A B)=P(A) P B (A). 2. P B est une probabilité sur (Ω,F ). En particulier si A 1 et A 2 sont deux évènements : P B (A 1 A 2 )=P B (A 1 )+P B (A 2 ) P B (A 1 A 2 ) et P B ( A ) = 1 PB (A)

226 226 CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS On a donc à disposition deux méthodes pour calculer une probabilité : P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) et P(A B)=P(A) P B (A) Ces deux formules s appuient sur des techniques totalement différentes. On passe de l une à l autre avec les lois de Morgan. En pratique, il faut choisir la solution la plus simple Formule des probabilités composées Ì ÓÖ Ñ ½¾º¾ Formule des probabilités composées / Formule du conditionnement multiple Soit (A 1,..., A n ) des évènements tels que P ( n 1 k=1 A ) 0. k Alors : ( ) n P A k = P(A 1 ) P A1 (A 2 ) P A1 A 2 (A 3 ) P n 1 (A n ) k=1 A k k=1 = n 1 i=1 avec la convention que, pour i = 1 : P P ( i 1 A i ( k=1 A k ) i 1 A i k=1 A k )=P(A 1 ). Interprétation sur un arbre : D un noeud N i à un noeud N i+1, on trace une arête sur laquelle on place P(N i N i+1 ). Alors la probabilité de la branche complète est obtenue en multipliant toutes les probabilités placées sur les arêtes. P Ni (N i+1 ) N i N i+1 Exemple : On considère une urne composée de 6 boules blanches et 7 boules rouges. On effectue 3 tirages successifs d une boule sans remise. Pour i = 1, 2 et 3, on pose B i = «le i-ième tirage donne une boule blanche», et on définit de même l évènement R i.

227 12.3. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES B B 3 B 2 7 R 3 15 R 2 B 3 R 3 R 1 B 2 B 3 R 3 R 2 B 3 R 3 Alors : P(B 1 B 2 R 3 )=P(B 1 ) P B1 (B 2 ) P B1 B 2 (R 3 )= ATTENTION : il faut respecter l ordre chronologique dans le conditionnement! Sur l exemple précédent on pouvait aussi écrire que : P(B 1 B 2 R 3 )=P(R 3 ) P R3 (B 2 ) P B2 R 3 (B 1 ), mais cela ne permet pas de faire le calcul! Formule des probabilités totales Ì ÓÖ Ñ ½¾º¾ Formule des probabilités totales 1. Cas fini. On suppose que (A 1,..., A n ) est un s.c.e.. Alors : B F, n n P(B)= P(B A k )= P(A k )P Ak (B) k=1 k=1 2. Cas dénombrable. On suppose que (A n ) n N est un s.c.e.. Alors, pour tout B F, la série A n )= n NP(B P(A n )P An (B) converge et : n N B F, P(B)= + P(B A n )= + n=0 n=0 P(A n )P An (B) Complément : On dit que qu une famille d évènements (A i ) i I est un système quasi-complet d évènements (ou une partition de Ω) lorsque : (i) i I A i = Ω (ii) les (A i ) i I sont deux à deux incompatibles.

228 228 CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS La différence avec un s.c.e. est qu on peut avoir P(A i )=0 pour certaines valeurs de l indice i. Pour ces valeurs P Ai (B) n existe pas...mais on a tout de même la formule suivante : B F, P(B)= i I P(B A i ) La formule des probabilités totales est très utile lorsqu on effectue une expérience aléatoire en plusieurs étapes. Elle permet de raisonner par disjonction des cas, suivant le résultat de la première étape. Interprétation sur un arbre : Sur un arbre à deux générations, on multiplie les probabilités le long d une branche et on additionne les branches qui réalisent l évènement considéré. Par exemple avec un s.c.e. à deux évènements ( A, A ) : P(A) A P A (B) P A ( B ) B B On lit sur l arbre la formule : P ( A ) A P A (B) P A ( B ) B B P(B)=P(A) P A (B)+P ( A ) P A (B) Exemple : On dispose de deux pièces : l une honnête, l autre truquée avec deux faces pile. On choisit une pièce au hasard et on la lance. Alors P( «obtenir pile» )= 3 4. Exemple : Chaîne de Markov. On considère un point qui se déplace sur les sommets d un triangle A 1 A 2 A 3 : A 1 A 2 A 3 On suppose qu initialement le point se trouve en A 1. Ensuite les déplacements s effectuent de la manière suivante : si le point est en A i alors il passe en A j (j i) avec probabilité 2 dans les deux cas ; 5 le point reste en A i avec probabilité 1 5.

229 12.3. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 229 On peut résumer ceci grâce à un diagramme de transition : 1 5 A A 2 A Pour tout n N, on introduit les évènements : U n = «Après n déplacements le point se trouve en A 1» ; V n = «Après n déplacements le point se trouve en A 2» ; W n = «Après n déplacements le point se trouve en A 3». On pose alors, pour tout n 1 : u n = P(U n ), v n = P(V n ) et w n = P(W n ). Les conditions initiales sont u 0 = 1, v 0 = 0, w 0 = 0, et grâce à la formule des probabilités totales, on a : u n+1 = 1 5 u n+ 2 5 v n+ 2 5 w n n N, v n+1 = 2 5 u n+ 1 5 v n+ 2 5 w n w n+1 = 2 5 u n+ 2 5 v n+ 1 5 w n Formule de Bayes On va essayer de relier les probabilités conditionnelles P B (A) et P A (B), ce qui permettra en pratique d inverser causes et conséquences. Ì ÓÖ Ñ ½¾º¾ Formule de Bayes Si A n est pas P-négligeable, et si (B i ) i I est un s.c.e., alors : k I, P A (B k )= P B k (A) P(B k ) P(A) = P B k (A) P(B k ) P Bi (A) P(B i ) i I En particulier avec un s.c.e. de la forme ( B,B ) : P A (B)= P B (A) P(B) P(A) = P B (A) P(B) P B (A) P(B)+P B (A) P ( B ) Exemple : Test d une maladie rare. Un laboratoire propose un test de dépistage d une maladie. La notice précise la qualité du test :

230 230 CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS lorsque le test est appliqué à une personne malade, le test est positif dans 99,8% des cas ; lorsqu il est appliqué à une personne saine, il est négatif dans 99,6% des cas.ı D autre part, on sait qu une personne sur est malade. Peut-on avoir confiance en ce test? À priori oui, mais on est bien étonné de trouver que sachant que le test est positif, il n y a que 0,25% de chances que la personne soit malade! 12.4 Indépendance Dans tout ce paragraphe, on se place sur un espace probabilisé (Ω,F,P) Indépendance de deux évènements Ò Ø ÓÒ ½¾º¾ Indépendance de deux évènements Soient A et B deux évènements. On dit que A et B sont indépendants lorsque P(A B)=P(A) P(B). On le note A B. Le résultat suivant donne un sens intuitif à cette définition. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¾º¾ Lien entre indépendance et probabilité conditionnelle Si A et B sont deux évènements avec B non négligeable : A B si, et seulement si, P B (A)= P(A). En pratique, nous verrons que l indépendance ne se démontre pas, mais fait des hypothèses de modélisation. Elle permet de simplifier les calculs. Exemple : Lorsqu on lance plusieurs fois une pièce de monnaie, ou lorsqu on effectue plusieurs tirages avec remise dans une urne, on pourra supposer que les répétitions sont effectuées de manière indépendante. ATTENTION : ce n est pas si simple! Si on lance deux fois une pièce, les évènements A = «obtenir pile au premier lancer» et B = «obtenir face au second lancer» sont indépendants, mais les évènements C = «obtenir pile» et B = «obtenir face» ne le sont pas. ATTENTION : cette notion dépend du choix de la probabilité P. En particulier si on a trois évènements A, B et C : on peut avoir A et B indépendants pour P, mais A et B non indépendants pour P sachant C (ie pour P C ) : P(A B)=P(A) P(B) mais P C (A B)=P C (A) P C (B) ou l inverse : A et B indépendants pour P C, mais A et B non indépendants pour P, comme le montre l exemple suivant. Exemple : On dispose de deux pièces : un équilibrée et une truquée (deux piles). On lance un dé (non truqué) à 6 faces :

231 12.4. INDÉPENDANCE 231 si on obtient le chiffre 1, on lance deux fois la pièce équilibrée ; si on obtient un chiffre différent de 1, on lance deux fois la pièce truquée. On note A = «obtenir pile au premier lancer de la pièce», B = «obtenir pile au second lancer de la pièce», et C = «le lancer du dé donne le chiffre 1». Alors A B pour P C (et pour P C ), mais A B pour P. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¾º¾ Indépendance et contraire Si A B, alors A B, A B et A B Indépendance mutuelle Cas de n évènements On se donne n évènements A 1, A 2,..., A n. Ò Ø ÓÒ ½¾º ¼ Indépendance deux à deux On dit que A 1, A 2,..., A n sont deux à deux indépendants lorsque : (i, j ) 1,n 2, i j = A i A j On a donc : P(A 1 A 1 )=P(A 1 ) P(A 1 ). Mais par contre, on ne peut rien dire sur P(A 1 A 2 A 3 ). Pour cela on a besoin d une notion plus forte. Ò Ø ÓÒ ½¾º ½ Indépendance mutuelle On dit que A 1, A 2,..., A n sont mutuellement indépendants lorsque : ( ) J 1,n, P A k = P(A k ) k J k J Dans ce cas on peut dire que : P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 ). En pratique, l hypothèse d indépendance mutuelle fera partie des hypothèses de modélisation. Elle ne sera pas démontrée Cas d une famille infinie d évènements On se donne une famille dénombrable d évènements (A n ) n N. Ò Ø ÓÒ ½¾º ¾ Indépendance deux à deux On dit que les (A n ) n N sont deux à deux indépendants lorsque : (n, p) N 2, n p = A n A p

232 232 CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS Ò Ø ÓÒ ½¾º Indépendance mutuelle On dit que les (A n ) n N sont mutuellement indépendants lorsque : J 1,n, ( + J finie= P n=0 A n )= + n=0 P(A n ) En pratique, on utilise l indépendance mutuelle Propriétés de l indépendance On se donne une famille d évènements (A i ) i I finie ou dénombrable. Ì ÓÖ Ñ ½¾º Lien entre indépendance mutuelle et indépendance deux à deux Si les (A i ) i I sont mutuellement indépendants, alors ils sont deux à deux indépendants. ATTENTION : la réciproque est fausse. Nous verrons un contre-exemple en TD. Ì ÓÖ Ñ ½¾º Lemme des coalitions On suppose que les (A i ) i I sont mutuellement indépendants. 1. Pour toute partie J I, les (A i ) i J sont aussi mutuellement indépendants. 2. Pour toute partie J I, tout évènement construit à partir de (A i ) i J est indépendant de tout évènement construit à partir de (A i ) i J. Exemple : On lance 5 fois une pièce de monnaie, et on note A = «obtenir pile aux deux premiers lancers», B = «obtenir pile aux lancers numéros 3 à 5» et C = «obtenir pile aux lancers numéros 2 à 5». Alors A et B sont indépendants, mais A et C (et de même B et C ) pourrait ne pas l être Compléments sur la formule des probabilités totales : propriété de Markov Bien qu elle n est pas au programme mais la propriété de Markov doit être souvent utilisée, et la rédaction est assez acrobatique vu qu on fleurte allègrement avec les limites du programme d ECS... Nous allons donc donner une liste d exemples classiques qui devraient permettre de traiter la plupart de situations. Dans chaque, on est dans le cadre de répétitions mutuellement indépendantes. Ruine du joueur. Un joueur joue à jeu d argent : à chaque tour il gagne 1 euro avec probabilité p, ou perd 1 euro avec probabilité 1 p (p ]0,1[). On voudrait calculer la probabilité

233 12.4. INDÉPENDANCE 233 qu il termine ruiné (ou bout d un nombre quelconque de tours), partant d une fortune initiale de n euros (n N). On note cette probabilité u n ; notons que u 0 = 1 puisqu il commence ruiné. La formule des probabilité totales (et la propriété de Markov qu il ne faut pas citer puisque hors-programme) donnent que : n N, u n = p.u n+1 + q.u n 1 On est ramené à l étude d une suite récurrente linéaire d ordre 2 qui s étudie simplement... Le lion et les gazelles. À chaque repas, un lion mange soit un zèbre avec probabilité 1 3, soit une gazelle avec probabilité 2. On suppose que les compositions des repas du lion sont indépendantes entre elles. On veut calculer la probabilité u n que le lion mange pour la première 3 fois deux gazelles consécutives à son n ième repas (n 2). La formule des probabilité totales (et la propriété de Markov qu il ne faut pas citer puisque hors-programme) donnent que : n N, u n+2 = 1 3.u n u n On est ramené à l étude d une suite récurrente linéaire d ordre 2 qui s étudie simplement... Modèle de Galton-Watson. On considère une cellule qui peut se diviser en 2 (par mitose) avec probabilité p, ou mourir avec probabilité 1 p (p ]0, 1[). On veut calculer la probabilité que sa lignée soit éteinte à la (n+ 1) ième génération. On note cette probabilité u n ; notons que u 0 = 1 p. La formule des probabilité totales (et la propriété de Markov qu il ne faut pas citer puisque hors-programme) donnent que : n N, u n+1 = p.u 2 n + 1 p On est ramené à l étude d une suite récurrente d ordre 1 qui s étudie classiquement (mais pas simplement)...

234 234 CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS 12.5 Exercices Calcul des probabilités : Ü Ö ½¾º½ Soient A et B des événements aléatoires avec P(A)=1/2 et P(B)=1/3. 1. Donnez un encadrement de P(A B) et P(A B). 2. Déterminez P(A B) lorsque A et B sont incompatibles puis lorsque P(A B) = 1/4. Ü Ö ½¾º¾ Soient (A i ) i I une famille (finie ou infinie) d événements d un espace probabilisable (Ω,F ). Donnez l écriture ensembliste des événements suivants : 1. Au moins un des A i est réalisé. 2. Aucun des A i n est réalisé. Ü Ö ½¾º Soit (Ω,P (Ω),P) un espace de probabilité avec Ω = {ω 1,ω 2,ω 3,ω 4 }, P (Ω) la tribu de ses parties et la probabilité P définie (partiellement, x et y étant à déterminer) par P({ω 1 }) = 1 2, P({ω 2}) = 1 4, P({ω 3}) = x et P({ω 4 }) = y. Soit les événements A = {ω 1,ω 2 } et B = {ω 2,ω 3 }. Pour un événement quelconque C, on désigne son complémentaire par C. 1. Combien d événements pouvons nous considérer dans cet exemple? 2. On donne P(A B)= 1. Déterminer complètement la probabilité P Ici, les événements A et B sont-ils indépendants? 4. On rappelle que la différence symétrique A B peut être définie par (A B) (A B ). Calculer P(A B B ), c est-à-dire la probabilité conditionnelle de A B sachant B réalisé. Ü Ö ½¾º On considère une classe de n élèves. Pour chaque élève, on suppose que chaque jour de l année a la même probabilité d être le jour de son anniversaire et on ne prend pas en compte les années bissextiles. 1. Calculez la probabilité que deux élèves au moins de cette classe aient leur anniversaire le même jour. À partir de combien d élèves cette probabilité devient supérieure à 0.5? A 0.8? Comment interpréter ce résultat? 2. Calculez la probabilité qu au moins un élève soit né le même jour que le professeur. Comparez le résultat obtenu avec le précédent. Ü Ö ½¾º Un bibliothécaire fou permute au hasard les n livres de sa bibliothèque. 1. (a) Quelle est la probabilité que les volumes 1 et 2 de Guerre et Paix de Tolstoï se retrouvent côte à côte dans le bon ordre? (b) Dans n importe quel ordre? 2. (a) Quelle est la probabilité qu aucun livre n ait changé de place? (b) Qu exactement un livre ait changé de place? (c) Qu exactement deux livres aient changé de place? Probabilités conditionnelles : Ü Ö ½¾º On considère trois cartes : une avec les deux faces rouges, une avec les deux faces blanches, et une avec une face rouge et une face blanche. On tire une carte au hasard, on expose une face au hasard : elle est rouge. Quelle est la probabilité que la face cachée soit blanche? (Construisez d abord un arbre adéquat).

235 12.5. EXERCICES 235 Ü Ö ½¾º Mon voisin a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité que l autre enfant soit un garçon? Ma voisine a deux enfants. Le plus jeune est une fille. Quelle est la probabilité pour que le plus âgé soit un garçon? Ü Ö ½¾º On cherche un parapluie qui avec la probabilité p/7 se trouve dans l un quelconque des sept étages d un immeuble (0 p 1). 1. Quelle est la probabilité que la parapluie se trouve dans l immeuble? 2. On a exploré en vain les six premiers étages. Quelle est la probabilité que le parapluie se trouve au septième étage? Ü Ö ½¾º Considérons une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges. 1. Quelle est la probabilité de la suite "blanc, blanc, rouge" si on tire 3 boules sans remise? 2. Quelle est la probabilité d obtenir au total deux blanches et une rouge si on tire 3 boules sans remise? Ü Ö ½¾º½¼ 1. On considère n urnes (n 1), numérotées de 1 à n. L urne numérotée k contient k boules blanches et n k boules noires. On choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Quelle est la probabilité d obtenir une boule blanche? 2. On considère une infinité d urnes. On en choisit une au hasard de telle sorte que la probabilité de choisir l une numéro n soit égale à 1 2 n (avec n 1). L urne numéro n est composée de 2 n boules dont une seule blanche. On choisit une urne au hasard puis on tire une boule. Quelle est la probabilité d obtenir une blanche? Ü Ö ½¾º½½ Sur Orion, les Rigolus et les Tristus cherchent à faire la paix. Heureusement, il y a trois fois plus de Rigolus que de Tristus. Pour la paix, les Rigolus sont à 60% favorables, 16% y sont opposés et 24% sont sans opinion. Par contre, pour la guerre, les Tristus sont à 68% favorables, 12% opposés et 20% sans opinion. Vous rencontrez par hasard un habitant d Orion (on ne vous demande pas la probabilité de le rencontrer..) et vous lui demandez son opinion. 1. Calculer la probabilité qu il soit sans opinion. 2. S il vous répond qu il est favorable à la paix, quelle est la probabilité qu il soit un Rigolus? 3. Finalement, s il vous répond qu il est favorable à la guerre, quelle est la probabilité qu il soit un Tristus? Ü Ö ½¾º½¾ Un enfant lance un galet pour faire des ricochets sur l eau. On suppose que la probabilité que le galet ricoche pour la n ème fois, sachant qu il a ricoché les n 1 coups d avant, est égale à 1 n. 1. Soit n N. Quelle est la probabilité p n que le galet coule après n ricochets? 2. Calculer Indépendance : + n=0 p n et interpréter ce résultat. Ü Ö ½¾º½ On jette trois dés. Calculez : 1. la probabilité d avoir exactement un 6.

236 236 CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS 2. la probabilité d obtenir au moins un la probabilité d obtenir au moins deux faces identiques. Ü Ö ½¾º½ Sur un réseau informatique des ordinateurs se transmettent une information de manières indépendantes. On suppose qu à chaque transmission l information est transmise correctement avec la même probabilité p [0,1]. 1. Pour n N, déterminer la probabilité p n que l information soit transmise correctement n fois consécutives. 2. Déterminer lim n + p n et interpréter ce résultat. Ü Ö ½¾º½ On jette deux dès non-pipés, un noir et un blanc. Montrez que les évènements suivants sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants : «le chiffre du dè noir est pair», «le chiffre du dè blanc est impair», «les chiffres des deux dès ont même parité». Ü Ö ½¾º½ 1. On dispose d une urne contenant 3 boules blanches numérotées de 1 à 3 et deux boules noires numérotées de 4 à 5. (a) On tire une à une successivement trois boules de l urne, sans remise. Calculer la probabilité d obtenir, dans cet ordre, deux boules blanches, puis une noire? Dans n importe quel ordre? (b) Mêmes question pour des tirages avec remise. (c) Calculer la probabilité d obtenir, deux boules blanches et une noire lors d un tirage simultané de trois boules. 1. Dans une urne, on place 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement avec remise quatre boules de l urne. On note N l événement "obtenir une boule noire" et B l événement "obtenir une boule blanche". (a) Quelle est la probabilité pour que l on obtienne le résultat (N, N,B,B) dans cet ordre? (b) Quelle est la probabilité d obtenir deux boules blanches exactement? (c) Quelle est la probabilité d obtenir au moins une boule blanche? Ü Ö ½¾º½ On considère une suite lancers indépendants d une pièce truquée pour laquelle la probabilité d obtenir "pile" est p et la probabilité d obtenir "face" est q = 1 p (p ]0,1[). "pile" (resp. "face") sera noté en abrégé P (resp. F). 1. Soit n 1. On considère l événement A n : "La séquence PF apparaît pour la première fois aux lancers (n 1) et n." Calculer P(A n ). 2. Quelle est la probabilité de l événement A : "La séquence PF apparaît au moins une fois". 3. Soit B l événement : "La séquence PP apparaît sans qu il n y ait eu de séquence PF auparavant". Calculer P(B).

237 12.5. EXERCICES 237 Ü Ö ½¾º½ On dispose de 2 dès A et B. Le dé A a 4 faces rouges et 2 faces blanches. Le dé B a 2 faces rouges et 4 faces blanches. On lance une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d obtenir "pile" soit 1/3. - Si on obtient "pile" on décide de jouer uniquement avec le dè A ; - Si on obtient "face" on décide de jouer uniquement avec le dè B. 1. Calculer la probabilité d obtenir "rouge" au premier coup, puis au deux premiers coups. Ces deux évènements sont-ils indépendants? 2. On a obtenu "rouge" aux deux premiers coups. Calculer la probabilité d obtenir "rouge" au troisième coup. 3. On a obtenu "rouge" aux n premiers coups (n N ). Déterminer la probabilité p n d avoir utilisé le dè A. Ü Ö ½¾º½ Un joueur joue à un jeu d argent contre le casino. On suppose qu initialement la fortune du joueur est de a N et celle du casino de N a, avec 0 a N et N N. Soit p un réel vérifiant 0< p < 1 et p 1/2. A chaque répétition du jeu on suppose que le joueur gagne 1 euros avec probabilité p ou perd 1 euros avec probabilité q = 1 p. Si on note x n la fortune du joueur à l issue du n e jeu, alors : { xn + 1 avec la probabilité p x 0 = a et x n+1 = x n 1 avec la probabilité q. Le jeu s arrête dès que x n prend la valeur 0 (le joueur est ruiné) ou la valeur N (le casino est ruiné). 1. Soit u a la probabilité que le joueur soit ruiné, étant initialement parti d une fortune de a. On a en particulier u 0 = 1 et u N = 0. (a) Montrer que pour tout entier a tel que 1 a N 1, on a : (b) Vérifier que : u a = pu a+1 + qu a 1. u a = ( q p ) a ( q 1 p ( ) q N p Déterminer la limite de u a lorsque N + et interpréter le résultat. 2. De même, calculer la probabilité v a que le casino soit ruiné, le joueur étant initialement parti d une fortune de a. 3. Calculer la somme u a + v a. En déduire la probabilité que le joueur et le casino s affrontent indéfiniment. Ü Ö ½¾º¾¼ On admettra que pour tout x ] 1,1[, la série x ] 1,1[, + x n n=1 n ) N = ln(1 x) + n=1 x n n converge, et que : On dispose d une urne contenant initialement une boule blanche, et d une pièce de monnaie équilibrée. On effectue des lancers successifs et indépendants de la pièce : si on obtient «pile» alors on tire une boule au hasard dans l urne et on arrête les lancers ; si on obtient «face» alors on ajoute une boule noire dans l urne et on continue les lancers.

238 238 CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS 1. Expliquer pourquoi cette expérience se termine presque sûrement au bout d un nombre fini de lancers. 2. Quelle est la probabilité d obtenir une boule blanche à la fin de l expérience? y

239 Chapitre 13 Continuité des fonctions numériques 13.1 Continuité d une fonction numérique Continuité en un point Dans tout ce paragraphe, f est une fonction définie sur un intervalle I. Ò Ø ÓÒ ½ º½ Continuité en un point Soit x 0 un point intérieur à I (ie x 0 n est pas une borne de I ). On dit que f est continue en x 0 lorsque lim f (x) existe = f (x 0 ). x x0 Dans le cas contraire, on dit que f est discontinue en x 0. Petit rappel : on a vu au chapitre sur les limites de fonctions, que si lim x x0 f (x) existe et est finie, alors elle ne peut être égale qu à f (x 0 ). On pourrait donc dire que f est continue en x 0 si, et seulement si, lim x x0 f (x) existe et est finie Continuité à droite ou à gauche en un point Ò Ø ÓÒ ½ º¾ Continuité à droite un point Soit x 0 un point intérieur à I, ou la borne de gauche de I. On dit que f est continue à droite en x 0 lorsque lim x x + 0 f (x + 0 )= f (x 0). Dans le cas contraire, on dit que f est discontinue à droite en x 0. f (x) existe = f (x 0 ), ce qui se note aussi Exemple : x x est continue à droite en

240 240 CHAPITRE 13. CONTINUITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Ò Ø ÓÒ ½ º Continuité à gauche un point Soit x 0 un point intérieur à I, ou la borne de droite de I. On dit que f est continue à gauche en x 0 lorsque lim x x 0 f (x 0 )= f (x 0). Dans le cas contraire, on dit que f est discontinue à gauche en x 0. f (x) existe = f (x 0 ), ce qui se note aussi Exemple : x x est discontinue à gauche en 2. Ì ÓÖ Ñ ½ º Lien entre continuité, continuité à gauche et à droite Soit x 0 un point intérieur à I. Alors : f est continue en x 0 f est continue à gauche et à droite en x 0 Exemple : f (x)= { x si x 0 x+ 1 si x > 0 D f = R

241 13.1. CONTINUITÉ D UNE FONCTION NUMÉRIQUE Sur cette exemple : f (0 )=0, f (0 + )=1 et f (0)=0. Donc f est continue à gauche en 0, mais discontinue à droite en 0. À fortiori, elle n est pas continue en 0. Exemple : f (x)= { 1 x si x < 1 e x 1 1 si x 1 D f = R Sur cette exemple : f (1 ) = f (1 + ) = f (1) = 0. f est donc continue en 1, puisqu elle est continue à gauche et à droite en ce point. x 2 si x < 0 Exemple : f (x)= 2 si x = 0 D f = R e x si x> Sur cette exemple : f (0 )= f (0 + ) = 0 et f (0) = 2. Donc f n est ni continue à gauche, ni continue à droite en 0. À fortiori, elle n est pas continue en 0. Exemple : x x est continue en 0.

242 242 CHAPITRE 13. CONTINUITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Exemple : Si x 0 Z, x x est continue en x 0. Si x 0 Z, x x, est continue à droite en x 0 mais est discontinue à gauche en x Continuité sur un intervalle - Prolongement par continuité Ò Ø ÓÒ ½ º Continuité sur un intervalle On note a et b les bornes de I, avec a< b. On dit que f est continue sur I lorsque : f est continue en tout point intérieur de I ; si a I, f est continue à droite en a ; si b I, f est continue à gauche en b. Exemple : f continue sur [0,+ [ signifie que f est continue en tout x 0 > 0, et que f est continue à droite en 0. f continue sur ]0,+ [ signifie que f est continue en tout x 0 > 0. f continue sur ]1,2] signifie que f est continue en tout x 0 ]1,2[, et que f est continue à gauche en 2. Ò Ø ÓÒ ½ º Continuité sur une union d intervalles On se donne une famille d intervalles (I j ) j J (indexée par un ensemble J fini ou infini). On dit que f est continue sur A= I j lorsque, pour tout j J, f est continue sur I j. j J Exemple : f continue sur R signifie que f est continue sur ],0[ et sur ]0,+ [, donc que f est continue en tout x 0 < 0 et en tout x 0 > 0.

243 13.1. CONTINUITÉ D UNE FONCTION NUMÉRIQUE 243 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º Stabilité de la continuité pour l union Si f est continue sur deux parties A 1 et A 2 de R, alors elle est continue sur A 1 A 2. Plus généralement, si f est continue sur une famille (A j ) j J de parties de R, alors elle est continue sur j J A j. Le résultat suivant permet de prolonger une fonction en un point, de telle sorte que la fonction soit continue en ce point. Ì ÓÖ Ñ ½ º Prolongement par continuité Soit x 0 un point d un intervalle I, et f une fonction définie et continue sur I \{x 0 }. On suppose aussi que lim f (x) existe = l R. x x0 On définit alors une fonction f : I R par : x I, f (x)= { l si x= x0 f (x) si x x 0 La fonction f est alors un prolongement à I de f, et ce prolongement est continue sur I. En pratique la fonction f est encore notée f, pour ne pas alourdir les notations. Si la fonction f est continue sur I \{x 0 }, alors sont prolongement par continuité en x 0 est continue sur I tout entier. Exemple : La fonction f : x sin(x) est continue sur R sin(x). De plus : lim = 1. On peut x x 0 x donc prolonger f par continuité en 0 en posant : f (0) = 1. La fonction f devient alors continue sur R. Elle est définie par morceaux : sin(x) si x 0 x R, f ()= x 1 si x = Continuité des fonctions usuelles Les fonctions polynômes sont continues sur R. Les fractions rationnelles ( = quotient de polynômes) sont continues sur leur ensemble de définition. Les { fonctions cos et sin sont continues sur R. La fonction tan est continue sur D tan = π / } R\ 2 + kπ k Z. La fonction ln est continue sur R +, et la fonction exp est continue sur R (vrai en base quelconque). La fonction x x est continue sur R.

244 244 CHAPITRE 13. CONTINUITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Les fonctions x x α, où α R, sont C (au moins) sur R +. En 0, on a le résultat suivant. Ì ÓÖ Ñ ½ º Prolongement de la fonction x x α en 0 Pour α 0, la fonction x x α est prolongeable en 0 en une fonction continue, en posant 0 α = 0 si α>0 et 0 0 = 1. Pour α<0, la fonction x x α n est prolongeable par continuité en 0. Exemple : x x continue sur R +, et x 1 x 3 2 continue sur R +. ATTENTION! Pour des puissances entières, l ensemble de continuité peut être beaucoup plus grand que R + ou R +. Par exemple x x 2 est continue sur R (polynôme), et x 1 x 3 est continue sur R (fraction rationnelle) Opérations arithmétiques sur les fonctions continues Ì ÓÖ Ñ ½ º½¼ Opérations arithmétiques sur les fonctions continues Soient f une fonction continue sur A et g continue sur B. 1. Pour tout (λ,µ) R 2, les fonctions λ.f + µ.g et f g sont continues sur A B. 2. Si g ne s annule pas sur B, alors 1 g est continue sur B et f g est continue sur A B. 3. Si f (A) B alors g f est définie et continue sur A. En pratique, pour démontrer simplement qu une fonction est continue, on utilise la continuité des fonctions usuelles et le théorème précédent. Exemple : La fonction x ln(1+ x 2 ) est définie et continue sur R Continuité sur un intervalle Dans tout ce paragraphe, f est une fonction continue sur un intervalle I.

245 13.2. CONTINUITÉ SUR UN INTERVALLE Théorème des valeurs intermédiaire Ì ÓÖ Ñ ½ º½½ Théorème des valeurs intermédiaires Si f est continue sue l intervalle [a,b], alors f prend toute valeur comprise entre f (a) et f (b) : ce qui peut aussi s écrire plus simplement : y 0 [f (a), f (b)], x 0 [a,b]/ f (x 0 )= y 0 [f (a), f (b)] f ( [a,b] ) f (b) y = f (x) y 0 a x 0 b f (a) ATTENTION : dans la notation [f (a), f (b)], on ne sous-entend pas que f (a) f (b), on peut très bien avoir f (a)> f (b). ATTENTION! Ce résultat est faux si f n est pas continue. Par exemple pour f : x x, on a 3 2 [ f (1), f (2) ] = [1,2], mais x [1,2], f (x) y = Démonstration : On fixe y 0 [f (a), f (b)]. On cherche x 0 [a,b] tel que f (x 0 )= y 0. Simplification du problème. En posant g (x) = f (x) y 0, on est ramené à chercher x 0 [a,b] tel que g (x 0 )=0.

246 246 CHAPITRE 13. CONTINUITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES On a f (a) y 0 f (b) ou f (b) y 0 f (a), donc g (a) 0 g (b) ou g (b) 0 g (a). Quitte à remplacer g par g on peut supposer que g (b) 0 g (a), et le problème est toujours de trouver x 0 [a,b] tel que g (x 0 )=0. Définition de deux suites adjacentes par dichotomie. On définit deux suites réelles (a n ) n N et (b n ) n N par a 0 = a, b 0 = b et : ( ) ( ) a n + b n an + b n an + b n si g 0 b n si g 0 a n+1 = 2 ( 2 ) an + b et b n+1 = ( 2 ) n a n + b n an + b n a n si g < 0 si g < ( ) an + b n On peut visualiser cette construction dans le cas où g 0 : 2 y = g (x) g g (a n ) ( ) an +b n 2 x 0 b n+1 = b n a n a n + b n 2 = a n+1 g (b n ) ( an + b n Et dans le cas où g 2 ) < 0 : y = g (x) g (a n ) b n+1 = a n + b n 2 b n g ( ) an +b n 2 a n+1 = a n x 0 g (b n )

247 13.2. CONTINUITÉ SUR UN INTERVALLE 247 On vérifie alors par récurrence qu elles ont les propriétés suivantes : (i) (a n ) n N est croissante et (b n ) n N est décroissante ; (ii) n N, a a n b n b et b n a n = b a 2 n ; (iii) n N, g (b n ) 0 g (a n ). Ceci montre en particulier que (a n ) n N et (b n ) n N sont adjacentes. Notons x 0 leur limite commune. Conclusion. Il reste à vérifier que x 0 [a,b] et que g (x 0 )=0. CQFD ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½¾ Image d un intervalle par une fonction continue Si I est un intervalle et si f est continue sur I alors J = f (I ) est aussi un intervalle. ATTENTION! Ceci est faux si f n est pas continue. Par exemple si f : x x, alors f (R) = Z n est pas un intervalle. ATTENTION! La nature de l intervalle (ie le caractère ouvert/fermé/borné...) n est pas conservée. Par exemple cos est continue sur R (intervalle ouvert non borné) et cos(r) = [ 1,1] (intervalle fermé borné). ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½ Signe d une fonction continue sur un intervalle Soit f continue sur un intervalle I. Si f ne s annule pas sur I, alors f est de signe constant au sens strict sur I : x I, f (x)>0 ou x I, f (x)<0 par contraposée si la fonction change de signe sur I alors elle s annule sur I. (x 1, x 2 ) I 2 tel que x 1 x 2 et f (x 1 )f (x 2 )<0 ATTENTION : si la fonction s annule sur I, elle peut ne pas changer de signe. Prendre par exemple x x 2 sur [ 1,1]. ATTENTION! Ceci est faux si la fonction est discontinue en un point : la fonction peut 1 si x 1 changer de signe sans s annuler, comme le montre la fonction x x 1 si x >

248 248 CHAPITRE 13. CONTINUITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Théorème de continuité sur un segment On rappelle qu on appelle segment tout intervalle [a,b] fermé et borné (avec (a,b) R 2 ). Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Théorème de continuité sur un segment Soit f continue sur un segment [a, b]. Alors f ( [a,b] ) est aussi un segment. Précisons : cela signifie que f ( [a,b] ) = [m, M] où on a posé m= min f (x) et M = max f (x) x [a,b] x [a,b] Rappelons que, par définition d un minimum et d un maximum, ces bornes sont atteintes, donc : et ainsi : α [a,b]/ m= f (α) et β [a,b]/ M = f (β) x [a,b], Autrement dit : f est bornée et atteint ses bornes. f (α) f (x) f (β) M = f (β) f (a) y = f (x) f (b a β α b m= f (α) ATTENTION! Ceci est faux si on ne prend pas un segment. Par exemple x 1 1 est continue sur ]0,1] mais n est pas majorée puisque lim x x 0 + x =+.

249 13.3. FONCTIONS CONTINUES ET BIJECTIVES ATTENTION! Le résultat est faux si la fonction n est pas continue. 1 si x > 0 Par exemple la fonction x x est définie sur [0,1] mais n est pas majorée 1 si x = 0 puisque lim f (x)=+. x Fonctions continues et bijectives On rappelle que si f : I J est bijective alors elle admet une fonction réciproque f 1 : J I, définie par : x I, y J, y = f (x) x = f 1 (y) et caractérisée par les relations : x I, f 1( f (x) ) = x et y J, f ( f 1 (y) ) = y Théorème de la bijection monotone On commence par les propriétés générales de la réciproque d une fonction numérique bijective.

250 250 CHAPITRE 13. CONTINUITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º½ Propriétés de l application réciproque On se donne deux intervalles I et J et une fonction f bijective de I sur J. 1. Si f est impaire sur I, alors f 1 est impaire sur J. 2. Si f est strictement monotone sur I, alors f 1 est strictement monotone sur J. Plus précisément : Si f est strictement croissante sur I, alors f 1 est strictement croissante sur J. Si f est strictement décroissante sur I, alors f 1 est strictement décroissante sur J. 3. Si f est strictement monotone sur I : si f est strictement croissante sur I alors pour tout a point adhérent à I (ie a I ou a est une borne de I ) : lim f x a (x)=b+ R= lim f 1 (y)= a + et + y b + lim f x a (x)=b R= lim f 1 (y)= a y b si f est strictement décroissante sur I alors pour tout a I : lim f x a (x)=b R= lim f 1 (y)= a + et + y b lim f x a (x)=b+ R= lim f 1 (y)= a y b + 4. C f 1 se déduit de C f par symétrie orthogonale par rapport à la droite d équation y = x ATTENTION! Si f est paire, on ne peut pas dire que f 1 est paire. La raison est très simple : si f est paire, elle ne peut pas être injective, et donc f 1 n existe pas!! On peut maintenant énoncer le théorème de la bijection monotone sous sa forme complète. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Théorème de la bijection monotone Soient I un intervalle de R et f une fonction continue et strictement monotone sur I. Alors : J = f (I ) est un intervalle ; f est bijective de I sur J ; f 1 est strictement monotone sur J, de même sens de variations que f ; si f est impaire sur I, alors f 1 est impaire sur J ; f 1 est continue sur J ; C f 1 se déduit de C f par symétrie orthogonale par rapport à la droite d équation y = x ATTENTION! Il n y pas de réciproque, une fonction bijective peut être ni continue, ni strictement monotone. { x si 1 x 0 Prendre par exemple la fonction f : x 1 x si 0<x< 1

251 13.3. FONCTIONS CONTINUES ET BIJECTIVES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º½ Calcul de l intervalle image J = f (I ) 1. Si f est strictement croissante : f ( [a,b] ) = [ f (a), f (b) ] f ( [a,b[ ) = [ f (a), f (b ) [ f ( ]a,b] ) = ] f (a + ), f (b) ] f ( ]a,b[ ) = ] f (a + ), f (b ) [ 2. Si f est strictement décroissante : f ( [a,b] ) = [ f (b), f (a) ] f ( [a,b[ ) = ] f (b ), f (a) ] f ( ]a,b] ) = [ f (b), f (a + ) [ f ( ]a,b[ ) = ] f (b ), f (a + ) [ Exemple : La fonction ln est continue et strictement croissante de l intervalle R sur l intervalle ]0,+ [. Sa bijection réciproque est la fonction ln :]0,+ [ R. On retrouve donc que ln est continue sur R +, strictement croissante et : lim x ex = 0 + et lim x + ex =+ = lim ln(x)= et lim x 0 + ln(x)=+ x + La courbe de C ln se déduit de la courbe de C exp par symétrie orthogonale par rapport à la droite y = x. 6 4 C exp y = x 2 C ln

252 252 CHAPITRE 13. CONTINUITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Exemple : Si α>0, la fonction x x α est continue et strictement croissante sur R +. Elle est donc bijective de R + sur R +. Sa bijection réciproque est la fonction x x 1 α. 4 α> α Exemple : Si α<0, la fonction x x α est continue et strictement décroissante sur R +. Elle est donc bijective de R + sur R +. Sa bijection réciproque est la fonction x x 1 α. 4 α< α La fonction arctangente La fonction tangente est continue et strictement croissante sur ] π 2, π [ : 2 x tan π 2 π 2 + ] Elle induit donc une bijection de π 2, π [ sur R. Sa fonction réciproque est appelée fonction arctangente, notée arctan : R π 2, π [ ] 2. 2

253 13.3. FONCTIONS CONTINUES ET BIJECTIVES 253 x + arctan + π 2 π 2 On déduit de C tan la courbe C arctan : y = tan(x) π 2 y = arctan(x) π 2 π 2 π 2 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º½ Propriétés de la fonction arctangente 1. arctan est impaire : x R, arctan( x) = arctan(x) 2. arctan est continue et strictement croissante sur R. 3. lim arctan= π et lim ( x + 2 arctan(x)= π ) + x 2 4. x R, tan(arctan(x))=x et x 5. x R, cos(arctan(x)) = 6. On a les valeurs remarquables : ] π 2, π 2 [, arctan(tan(x))=x 1 x et x R, sin(arctan(x))= 1+ x 2 1+ x 2 x 0 1/ arctan(x) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 ( ) 1 7. Si x 0 : arctan(x)+arctan = x π 2 π 2 si x > 0 si x < 0 ATTENTION ]! La fonction x arctan(tan(x)) est définie sur D tan, mais elle ne vaut x que sur π 2, π [. 2

254 254 CHAPITRE 13. CONTINUITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 13.4 Exercices Continuité d une fonction numérique Ü Ö ½ º½ Étudier la continuité (et les éventuels prolongements par continuité) des fonctions suivantes : e 1 x si x < 0 1. f (x)= x x 2. f (x)= x 2x+ x 3. f (x)=x x 4. f (x)= x 2 + x si 0 x< 1 ln(x)+e x si x 1 Ü Ö ½ º¾ Soit f la fonction définie par : f (x)= ( ) x x 1 ( x+1 ) x+1. x 1 x 1. Déterminer l ensemble de définition de f et étudier la continuité de f. 2. Montrer que f est impaire puis étudier la limite de f en + et. Ü Ö ½ º Trouver toutes les fonctions f : R R continues en 0 et vérifiant : x R, f (2x)= f (x). Théorèmes des valeurs intermédaires et de continuité sur un segment Ü Ö ½ º 1. Soit f : [0, 1] [0, 1] une fonction continue. Montrer que f a au moins un point fixe. 2. Montrer que l équation x 17 = x admet au moins une solution dans R Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I = [a,b], telles que : x [a,b], f (x)<g (x). Montrer qu il existe ǫ>0 tel que : x [a,b], ǫ+ f (x) g (x). Ce résultat est-il encore valable si l intervalle I n est pas un segment? Ü Ö ½ º Soit f : [0,+ [ R une fonction continue. 1. On suppose que la limite de f en + existe et est finie. Montrer que f est bornée sur [0,+ [. 2. On suppose que lim x + borne inférieure est atteinte. 3. On suppose que f (0) < 0 et que lim f (x) = +. Montrer que f est minorée sur [0,+ [ et que sa x + que f s annule au moins une fois sur ]0,+ [. f (x) existe et est strictement positive. Montrer Théorème de la bijection strictement monotone Ü Ö ½ º 1. Soit f définie par f (x) = 1 x 2 +x+1. Montrer que f [ 1 2,+ [ admet une application réciproque continue que l on explicitera. 2. Montrer que la restriction de sin à [ π 2, π 2] est bijective et étudier sa bijection réciproque arcsin. Faire de même avec la restriction de cos à [0,π] (cos 1 [0,π] sera notée arccos).

255 13.4. EXERCICES 255 Ü Ö ½ º 1. Étudier la fonction x arctan(tan x), puis tracer sa courbe représentative. 2. Montrer que arctan ( ( 1 3) + arctan 1 ) 2 = π Discuter en fonction de t R, le nombre de solutions de l équation d inconnue x : arctan(x 1)+arctan(x)+arctan(x+ 1)= t. Compléments Ü Ö ½ º ÓÒØ ÓÒ k¹ð Ô ØÞ ÒÒ Ø Ð ÙÖ ÔÓ ÒØ Ü µ Soient I un intervalle de R et f une fonction définie sur I. On suppose qu il existe k > 0 telle que f soit k-lipschitzienne ie : 1. Montrer que f est continue sur I. x, y I, f (x) f (y) k x y 2. On suppose que 0<k < 1, que I = [a,b] est stable par f, et que f a un unique point fixe l I. On définit une suite (x n ) n N par x 0 I et n N, x n+1 = f (x n ). (a) Montrer que : n N, x n l k n x 0 l. (b) En déduire que (x n ) n N converge vers l. (c) Déterminer une valeur de l entier n (en fonction de a, b et k) pour laquelle x n est une valeur approchée de l à 10 3 près.

256 256 CHAPITRE 13. CONTINUITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES

257 Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C Espaces vectoriels de dimension finie Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension finie Soit E un K-ev, ie un espace vectoriel sur K. On dit que E est de dimension finie lorsqu il admet une famille génératrice finie. Dans le cas contraire, on dit que E est de dimension infinie. Exemple : K n et K n [X ] sont de dimension finie. Nous allons maintenant étudier l existence de bases dans un K-ev de dimension finie. Remarquons tout d abord que, dans tout K-ev E, il existe toujours une famille génératrice qui E lui-même. Si E n est pas réduit au vecteur nul, alors tout vecteur x de E différent du vecteur nul donne ( x ) famille libre. Par contre, il n est pas clair que E admet au moins une base. Rappelons ensuite que, par convention, est une base de { 0 E }, et donc { 0 E } est un K-ev de dimension finie. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Existence de bases en dimension finie Si E est de dimension finie, alors E admet au moins une base composée d un nombre fini de vecteurs. En fait si B= ( e 1, e 2,..., e n ) est une telle base de E, alors, pour tout λ K, ( λ. e 1, e 2,..., e n ) en est une autre. Ceci prouve que E admet en une infinité de bases. Ce n est pas au programme mais intéressant à savoir : si E est de dimension finie, alors E admet aussi des bases (infinies), grâce à l axiome du choix. 257

258 258 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Démonstration : On peut supposer sans perte de généralité que E n est pas réduit à { 0 E }. Puisque E est de dimension finie, E admet une famille génératrice finie qu on note F = ( u 1,..., u p ). Si F est libre, alors F est un base finie de E et le résultat est démontré. Si F est liée, alors un des vecteur est CL des autres. Par exemple, supposons que u p est CL de ( u 1,..., u p 1 ). Dans ce cas F est encore une famille génératrice de E. On recommence alors le raisonnement avec F : si elle est libre on a trouvé une base finie, sinon on peut encore lui enlever un vecteur tout en gardant son caractère générateur... Soit on tombe sur une famille génératrice et libre donc une base de E, soit, dans le pire des cas, on tombe p 1 fois sur une famille liée, ce qui donne une famille génératrice composée d un vecteur ( u 1 ). Puisque E n est pas réduit à 0 E, ce vecteur est non nul et forme donc une famille libre. Ainsi on trouve encore une fois une base finie de E. CQFD ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Extraction de base d une famille génératrice finie Si E est de dimension finie et si F est une famille génératrice finie de E, alors on peut extraire de F une base B finie de E. Exemple : Donner une base de E=Vect [ (X 1) 2, X 2, 2X+1 ] et de E=Vect[(1,0);(1,1);(0,2) ]. Ä ÑÑ ½ º Nombre de vecteurs d une famille libre et d une famille génératrice Soit E un K-ev de dimension finie. On suppose que L est une famille libre de E et que G est une famille génératrice finie de E. Alors L est finie et Card(L ) Card(G ). Démonstration : Par l absurde, supposons que Card(L ) > Card(G ). On note G = ( v 1,..., v p ) et L = ( u 1,...,u q ). Remarquons que cela impose que p = Card(G ) et q = Card(L ). Comme on a supposé que q > p, on peut noter : L = ( u 1,..., u p, u p+1,..., u q ) Comme G est génératrice de E, on a u 1 CL des vecteurs de G : p u 1 = α i. v i i=1 où (α 1,...,α p ) K p Au moins une des α i est non nul : sinon on aurait u 1 = 0 E ce qui est absurde car u 1 L et L est libre. Pour simplifier, supposons que α p 0. Alors : ( v p = 1 u 1 α p ) p α i. v i i=1

259 14.1. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 259 donc v p Vect ( u 1, v 1, v 2,..., v p 1 ). D autre part G = ( v 1,..., v p 1, v p ) est génératrice de E, donc ( u 1, v 1,..., v p 1, v p ) l est aussi. Comme v p est CL de ( u 1, v 1,..., v p 1 ), on obtient que G1 = ( u 1, v 1,..., v p 1 ) est génératrice de E. On a donc remplacé v p par u 1 dans la famille génératrice G. On recommence. Comme G 1 est génératrice de E, on a u 2 CL de ( u 1, v 1,..., v p 1 ) : u 2 = β. p 1 u 1 + α i. v i i=1 où (β 1,α 1,...,α p 1 ) K p et comme ( u 1, u 2 ) est libre (sous-famille de L qui est libre), on a au moins un des αi qui est non nul. Pour simplifier, supposons que α p 1 0. Alors : donc v p 1 Vect ( u 1, u 2, v 1,..., v p 2 ). ( ) v p 1 = 1 u 2 β 1. p 2 u 1 α i. v i α p 1 D autre part G 1 = ( u 1, v 1,..., v p 2, v p 1 ) est génératrice de E, donc la famille ( u 1, u 2, v 1,..., v p 2, v p 1 ) l est aussi, et donc G2 = ( u 1, u 2, v 1,..., v p 2 ) est génératrice de E (puisque v p 1 est CL de ces vecteurs). À ce stade, on a donc remplacé v p et v p 1 par u 1 et u 2 dans la famille génératrice G. Au bout de p étapes, on remplace v 1,..., v p 1, v p par u 1,..., u p 1, u p (ce qui est possible car q > p), et on obtient que la famille G p = ( u 1,..., u p ) est génératrice de E. Mais alors u p+1 est CL de G p ce qui contredit le fait que L est libre. i=1 Par l absurde, on a donc montré que Card(L ) Card(G ). CQFD ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Condition suffisante de dimension infinie Si un K-ev E admet une famille libre infinie, alors E est de dimension infinie. Exemple : K[X ], K N et R R sont de dimension infinie (dans le dernier cas, considérer la famille de fonctions ( e λx) λ>0 ). ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Théorème de la dimension finie Si E est un K-ev de dimension finie, alors toutes ses bases sont finies et de même cardinal.

260 260 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Ò Ø ÓÒ ½ º Dimension Si E est un K -ev de dimension finie, on appelle dimension de E le cardinal commun de toutes ses bases. Ce nombre entier naturel non nul est noté dim(e). On adopte la convention que { 0 E } est de dimension finie et que dim ( { 0 E } ) = 0. En général on a donc dim(e) N et dim(e)=0 E= { 0 E }. Exemple : K n est de dimension finie et dim ( K n) = n. Exemple : K n [X ] est de dimension finie et dim ( K n [X ] ) = n+ 1. Exemple : C est de dimension finie en tant que C-ev et aussi en tant que R-ev. De plus, dim C (C)=1 et dim R (C)=2. Ò Ø ÓÒ ½ º Droites et plans vectoriels Soit E un K-ev. 1. On appelle droite vectorielle de E, tout sev F de E vérifiant dim(f)=1. Autrement dit ce sont les sev F de E tels que F=Vect( u ) pour u E, u 0 E. 2. On appelle plan vectoriel de E, tout sev F de E vérifiant dim(f) = 2. Autrement dit ce sont les sev F de E tels que F = Vect( u, v ) pour ( u, v ) E 2, avec u et v non colinéaires. Exemple : Dans R N, G= { (u n ) n N R N/ n N, u n+1 = 2u n } est une droite vectorielle. Exemple : Pour (a,b) R 2, F a,b = { (u n ) n N R N/ n N, u n+2 = au n+1 + bu n } est un plan vectoriel de R N Familles de vecteurs en dimension finie Ì ÓÖ Ñ ½ º Familles génératrices en dimension finie : extraction d une base Soit E un K-ev de dimension finie et F une famille finie de vecteurs de E, génératrice de E. Alors : 1. il existe une sous-famille B F qui est une base de E ; 2. Card(F ) dim(e) ; 3. Card(F ) = dim(e) F est une base de E F est libre. ATTENTION : ce résultat est faux en avec une famille infinie! On ne peut pas toujours extraire une base d une famille génératrice composée d une infinité de vecteurs. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½¼ Cas de Vect(F ) Si E est un K-ev et F est une famille finie de vecteurs de E, alors : 1. Vect(F ) est de dimension finie et dim [ Vect(F ) ] Card(F ) ; 2. dim [ Vect(F ) ] = Card(F ) F est une base de Vect(F ) F est libre.

261 14.1. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 261 Donc si F = ( u 1,..., u p ), alors dim [Vect ( u 1,..., u p ) ] p. Ì ÓÖ Ñ ½ º½½ Familles libres en dimension finie : théorème de la base incomplète Soit E un K-ev de dimension finie et F une famille libre de vecteurs de E. Alors : 1. il existe une sur-famille F B qui est une base de E ; 2. Card(F ) dim(e) ; 3. Card(F ) = dim(e) F est une base de E F est génératrice de E. Si B 0 est une base fixée de E, alors on peut compléter F en une base B de E, en prenant certains vecteurs de la famille B 0. Exemple : ( (1,1);(1, 1) ) est une base de R 2. Exemple : Compléter ( X 2, X ) en une base de K 2 [X ]. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½¾ Base d un(e) droite/plan vectoriel(le) Soit E un K-ev. Alors : 1. si F est une droite vectorielle de E, tout vecteur u 0 E élément de F est une base de F ; 2. si F est un plan vectoriel de E, tous vecteurs u et v non colinéaires et éléments de F forment une base de F Espaces vectoriels isomorphes Ò Ø ÓÒ ½ º½ K-ev isomorphes Soient E et F deux K-ev. On dit qu ils sont isomorphes lorsqu il existe un isomorphisme de E sur F. Remarquer que E est toujours isomorphe à E. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Caractérisation de la dimension finie Soient E un K-ev et n N. Alors : E est de dimension finie n E est isomorphe à K n Démonstration : = Pour B base de E fixée, considérer l application : ϕ : E K n x = (x1,..., x n ) B ϕ ( x ) = (x1,..., x n ) et remarquer que ϕ(b) est la base canonique de K n. = Si ϕ isomorphisme de E sur K n, considérer l image réciproque par ϕ de la base canonique de K n.

262 262 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE CQFD ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½ Linéarité de l application coordonnées Si E est de dimension finie égale à n, et si B est une base de E, alors l application «coordonnées» : ϕ : E K n ( x ϕ x ) = (x1,..., x n ) B est linéaire. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½ Dimension et isomorphisme Soient E et F deux espaces vectoriels sur K. Alors : dim(e) = dim(f) E et F sont isomorphes Démonstration : = Pour B base de E et C bases de E fixées, considérer l application : ϕ : E F x = (x1,..., x n ) B ϕ ( x ) = (x1,..., x n ) C et remarquer que ϕ(b) est la base canonique de K n. = Évident. CQFD 14.2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie Inclusion et dimension Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Sev d un K-ev de dimension finie Soit E un K -ev de dimension finie. Alors tous ses sev F sont aussi de dimension finie et vérifient : dim(f) dim(e). Démonstration : Soit F un sev de E. Si F= { 0 E } alors F est de dimension finie et dim(f)=0 dim(e). Si F { 0 E }. Dans ce cas il existe u 1 0 E, et donc ( u 1 ) libre dans F. Si ce n est pas une base de F alors on prend u 2 F tel que u 2 Vect ( u 1 ), et on obtient ( u 1, u 2 ) famille libre dans F. Ainsi de suite, si on a ( u 1,..., u k ) famille libre de F qui n est pas une base de F alors on peut trouver u k+1 F tel que u k+1 Vect ( u 1,..., u k ), et on obtient ( u 1,..., u k, u k+1 ) libre.

263 14.2. SOUS-ESPACES VECTORIELS EN DIMENSION FINIE 263 Au bout d un nombre fini d itérations : - on obtient une base finie de F, donc F est de dimension finie ; - ou dans le pire des cas on arrive à ( u 1,..., u n ) famille libre dans F avec n = dim(e). Cette famille est aussi libre dans E, et c est donc une base de E et donc une base de F (ie qu on est dans le cas où E=F). Dans ce cas aussi F est de dimension finie. CQFD Ò Ø ÓÒ ½ º½ Hyperplan Soient E un K-ev de dimension fine et F un sev de E. On dit que F est un hyperplan de E, lorsque dim(f) = dim(e) 1. Exemple : Dans K 2, les hyperplans sont les droites vectorielles. Dans K 3, les hyperplans sont les plans vectoriels. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Inclusion-Dimension Soient E un K-ev et F, G deux sev de E. 1. Si G est de dimension finie et F G, alors F est de dimension finie et dim(f) dim(g). 2. Si G est de dimension finie et F G, alors : F=G dim(f)=dim(g) ATTENTION : il n y a pas de réciproque pour le premier point! Si dim(f) dim(g), (2 n on ne peut absolument pas dire que F G. Par exemple, considérer F = Vect[ ) ] n N et G=Vect [ (1,0,1);(1,1,0) ] Sommes de sev en dimension finie Ì ÓÖ Ñ ½ º¾¼ Sommes de sev et dimension Soient E un K-ev et F et G deux sev de E, de dimension finie. 1. F+G est un sev de E de dimension finie et : dim(f+g) dim(f)+dim(g) ; 2. si F et G sont en somme directe, alors F G est un sev de E de dimension finie et : dim(e F)= dim(e)+dim(f). En toute généralité, on dispose de la formule de Grassman, qui n est pas au programme d ECS première année : dim(f+g)=dim(f)+dim(g) dim(f G) Remarquer qu elle n est pas sans rappeler une formule sur le cardinal de A B.

264 264 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Ì ÓÖ Ñ ½ º¾½ Existence d un supplémentaire en dimension finie Soit E un K-ev de dimension finie. Alors tout sev F de E admet des supplémentaires G dans E, et ils vérifient dim(g) = dim(e) dim(f). ATTENTION : il n y pas unicité d un supplémentaire mais seulement de sa dimension. Ce n est pas au programme d ECS première année : le résultat est encore vrai en dimension infinie. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾¾ Caractérisation des sev supplémentaires Soient E un K-ev de dimension finie, et F, G deux sev de E. On a équivalence des propositions : 1. F et G sont supplémentaires dans E : E=F G ; 2. F+G=E et F G= { 0E } ; 3. l union d une base de F et d une base de G donne une base de E (c est alors vrai pour toutes les bases) ; 4. tout vecteur e E se décompose de manière unique sous la forme e = f + g, avec f F et g G ; 5. E=F+G et dim(e)=dim(f)+dim(g) ; 6. F G= { 0 E } et dim(e)=dim(f)+dim(g). Exemple : Dans R 3, on considère F = Vect[(1,1,1) ] et G = {(x, y, a) R 3 / x + y + z = 0} = Vect [ (1,0, 1);(0,1, 1) ]. On a dim(f)+dim(g)=3 et F G= { 0 R 3}. Une conséquence importante de ce théorème est que lorsqu on coupe une base de E en deux sous-familles, elles engendrent deux sev supplémentaires de E Rangs Rang d une famille de vecteurs Ò Ø ÓÒ ½ º¾ Rang d une famille de vecteurs Soient E un K-ev et F = ( u 1,..., u p ) une famille finie de vecteurs de E. On appelle rang de F le nombre entier naturel défini par : rg(f )=dim ( Vect[F ] ). Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Propriétés du rang d une famille de vecteurs Soient E un K-ev et F = ( u 1,..., u p ) une famille finie de vecteurs de E. 1. rg(f ) min ( Card(F ),dim(e) ) ;

265 14.3. RANGS rg(f )=Card(F ) F libre ; 3. rg(f )=dim(e) F génératrice de E ; 4. si rg(f )=dim(e)=n : rg(f )=n F est une base de E ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º¾ Règles de calcul du rang d une famille de vecteurs Soient E et F deux K-ev et F = ( u 1,..., u p ) une famille finie de vecteurs de E. 1. Si α 0 : rg ( u 1,..., u p 1, u p ) = rg ( u 1,..., u p 1,α. u p ). 2. rg ( u 1,..., u p 1, ) ( 0 E = rg u 1,..., ) u p Si (λ 1,...,λ n 1 ) K n 1 : rg ( ( u1,..., u p 1, ) u p = rg u 1,..., u p 1, p 1 u p + λ k. u k ). 4. Si u p est CL de la famille ( u 1,..., ) ( u p 1 : rg u1,..., u p 1, ) ( u p = rg u1,..., ) u p Si f L (E,F) est injective, alors rg ( u1,..., ) ( u p = rg f ( ) ( u1,..., f ) ) u p 1. k=1 On peut remarquer que ce sont les mêmes propriétés que celles du Vect. Pour le moment, la seule méthode à notre disposition pour calculer le rang d une famille de vecteurs est d extraire une base de Vect(F ). Nous verrons une méthode beaucoup plus efficace dans le chapitre sur le calcul matriciel. Exemple : rg [ (1,0,1);(1,1,0);(0, 1,1) ] = Rang d une application linéaire Ò Ø ÓÒ ½ º¾ Rang d une application linéaire Soient E un K-ev de dimension finie et f L (E,F). On appelle rang de f le nombre entier naturel : rg(f )=dim [ Im(f ) ]. Si B = ( u 1,..., u p ) est une base de E, on rappelle que Im(f )=Vect [f ( u 1 ),..., f ( u p ) ]. en particulier, Im(f ) est un sev de F de dimension finie (même si F ne l est pas), et rg(f ) est donc bien défini.

266 266 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º¾ Propriétés du rang d une application linéaire Soient E un K-ev de dimension finie et f L (E,F). 1. Si B= ( u 1,..., u p ) est une base de E : rg(f )=rg [ f (B) ] = rg [f ( ) ( u 1,..., f u ) ] p 2. rg(f ) min ( dim(e),dim(f) ) (même si dim(f)=+ ). Le théorème suivant est fondamental, puisqu il relie la dimension du noyau à celle de l image. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Théorème du rang Soient E un K-ev de dimension finie et f L (E,F). On a : dim(e)=rg(f )+dim [ Ker(f ) ] ATTENTION : dans le cas f L (E,F), cela ne signifie pas que E=Ker(f ) Im(f ). La démonstration repose sur le lemme suivant. Ä ÑÑ ½ º¾ Isomorphisme entre les supplémentaires du noyau et l image Soient E un K-ev de dimension finie et f L (E,F). Si H est un supplémentaire de Ker( f ) dans E, alors H est isomorphe à Im( f ). ÓÖÓÐÐ Ö ½ º ¼ Hyperplan et forme linéaire Soient E un K-ev de dimension finie. Alors : H est un hyperplan de E H est le noyau d une forme linéaire non nulle Démonstration : = Si E=H Vect ( u ), considérer ϕ : x = h + λx. u E λ x K. = Conséquence du théorème du rang. CQFD

267 14.3. RANGS 267 Ì ÓÖ Ñ ½ º ½ Injectivité, surjectivité et rang Soient E et F deux K-ev de dimension finie et f L (E,F). 1. rg(f ) min ( dim(e),dim(f) ). 2. rg( f ) = dim(e) f injective. 3. rg( f ) = dim(f) f surjective. 4. Si dim(e)=dim(f)=n : f est un isomorphisme de E sur F rg(f )=n Ì ÓÖ Ñ ½ º ¾ Injectivité et surjectivité en dimension finie Soient E et F deux K-ev de dimension finie et f L (E,F). 1. On suppose que dim(e) = dim(f). Alors : 2. On suppose que E=F. Alors : f injective f surjective f isomorphisme f injective f surjective f automorphisme ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Inversibilité à gauche/droite en dimension finie Soient E et F deux K-ev de dimension finie tels que dim(e)=dim(f). Soient f L (E,F) et g L (F,E). Alors : et donc g f = id F. g f = id E = f et g isomorphismes et f 1 = g ATTENTION : ceci n est vrai qu en dimension finie! Considérer comme contre-exemple le morphisme «shift» sur les suites réelles. Ì ÓÖ Ñ ½ º Rang d une composée Soient E, F et G trois K-ev de dimension finie, f L (E,F) et g L (F,G). Alors : 1. rg(g f ) min ( rg(g ),rg(f ) ) ; 2. si g est un isomorphisme : rg(g f )=rg(f ) ; 3. si f est un isomorphisme : rg(g f )=rg(g ). Les deux dernières propriétés portent le nom d «invariance du rang par isomorphisme».

268 268 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 14.4 Exercices Familles de vecteurs en dimension finie Ü Ö ½ º½ Les familles suivantes sont-elles des bases de R 3? ( ) F 1 = (0,1,2),(1,2,0),(2,0,1) ( ) F 2 = (1,1,0),(2,0,1),(3,1,1),(1,0,2) Ü Ö ½ º¾ On considère le sous-espace vectoriel E de R 4 défini par ( ) E=Vect (1, 1,3, 3),(2, 2,4, 4),(3, 3,7, 7),(1, 1,1, 1). 1. Donner une base et la dimension de E. 2. Déterminer un système d équations cartésiennes de E. ( ) 3. Etablir que E F, où F est défini par F= Vect (1,0,1, 1),(0,1,2, 2),(1,0,0,0),(0,0, 1,1). ( ) 4. On pose G=Vect (1,0,0,1),(1,2,0,0). Déterminer une base de E G. Ü Ö ½ º Soit n N. 1. On dira qu une famille de polynômes (P 0,P 1,...,P n ) est de degrés étagés lorsque : k 0,n, deg(p k )=k. Montrer que (P 0,...,P n ) est alors une base de R n [X ]. 2. Soit α K. Montrer que la famille formée des polynômes 1, (X α), (X α) 2,..., (X α) n est une base de K n [X ]. Donner l expression des coordonnées d un polynôme P K n [X ] dans cette base. ) 3. Soit n N. Montrer que la famille (X k (X 1) n k est une base de K n[x ]. k 0,n Ü Ö ½ º On note R R l ensemble des fonctions numériques définies sur R. On pose : E= { f R R/ x R, f (x)= a cos(x)+b sin(x)+c où (a,b,c) R 3} Montrer que E est un R-espace vectoriel de dimension finie et donner une base et sa dimension. Ü Ö ½ º On note E l ensemble des fonctions numériques définies sur R à valeurs dans R. Pour α R, on note F α l ensemble des fonctions de E de la forme : x P(x)e αx +Q(x)e αx où P et Q sont des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à Montrer que E et F α sont des R-espaces vectoriels. 2. Déterminer une base B de F α et en déduire sa dimension.

269 14.4. EXERCICES Pour f F α déterminer les coordonnées de f dans la base B. Sommes directes en dimension finie ( ) Ü Ö ½ º Déterminer un supplémentaire dans R 3 de F=Vect (0,1,1),(1,0,2). Ü Ö ½ º On note E l ensemble des (u n ) R N telles que : n N,u n+3 = u n+2 + u n+1 + 2u n, F l ensemble des (a n ) R N telles que : n N, a n+1 = 2a n et G l ensemble des (b n ) R N telles que : n N, b n+2 = b n+1 b n. 1. Vérifier que E, F et G sont des R-espaces vectoriels. 2. Déterminer une base et la dimension de F et de G. 3. Déterminer dim(e) et en déduire que : E=F G. Donner alors une base de E. 4. Soit (u n ) n N la suite définie par u 0 = 1, u 1 = 0, u 2 = 2 et : n N, u n+3 = u n+2 + u n+1 + 2u n. Déterminer l expression de u n en fonction de n. Applications linéaires en dimension finie Ü Ö ½ º Soit θ : R n [X ] R n [X ] définie par : θ(p)=p (X + 1)P. Montrer que Θ est un endomorphisme et déterminer une base de son noyau et de son image. Ü Ö ½ º Polynômes de Lagrange Soit n N et x 0, x 1,..., x n des réels 2 à 2 distincts. On considère l application ϕ : R n [X ] R n+1 P ϕ(p)= ( P(x 0 ),P(x 1 ),...,P(x n ) ) 1. Montrer que ϕ est un isomorphisme de R n [X ] sur R n En déduire que si y 0,..., y n sont des réels donnés alors il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que : i 0,n, P(x i )= y i 3. Pour tout j 1,n, on note L j l unique polynôme de R n [X ] tel que : { 1 si i = j i 1,n, L j (x i )=δ i j = 0 si i j Vérifier que B= (L 0,L 1,...,L n ) est une base de R n [X ]. Si P R n [X ], quelles sont les coordonnées de P dans cette base?

270 270 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Ü Ö ½ º½¼ Soient n N et D l application D : R n [X ] R n [X ] P P 1. Vérifier que D est un endomorphisme de R n [X ]. 2. On pose Γ=id Rn [X ]+D+D 2 + +D n. Montrer que Γ est un automorphisme de R n [X ] et déterminer son application réciproque. Ü Ö ½ º½½ Soient E et F deux K-ev tels que F est de dimension finie. 1. Soient f et g deux applications linéaires de E dans F. Montrer que : rg(f ) rg(g ) rg(f + g ) rg(f )+rg(g ) 2. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f g = 0 L (E) et f +g est un automorphisme de E. Montrer que rg(f )+rg(g )=dime. Ü Ö ½ º½¾ Soient E un K-ev de dimension finie et f L (E). Établir que : E=Ker f Im f Ker(f )=Ker(f 2 ) et Im(f )=Im(f 2 )

271 Chapitre 15 Dérivabilité des fonctions numériques 15.1 Dérivabilité d une fonction numérique Dans tout ce paragraphe, f est une fonction définie sur un intervalle I Dérivabilité en un point Ò Ø ÓÒ ½ º½ Dérivabilité en un point Soit x 0 I (ie x 0 intérieur à I ). f (x) f (x 0 ) On dit que f est dérivable en x 0 lorsque lim existe et est finie. x x0 x x 0 f (x 0 ) f (x) x x0 Dans ce cas, on pose : f f (x) f (x 0 ) (x 0 )= lim = lim x x0 x x 0 nombre dérivé de f en x 0.On le note aussi d f d x (x 0). x 0 x. Le réel f (x 0 ) est appelé On peut toujours se ramener au voisinage de 0, en posant x= x 0 + h : f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = lim x x 0 x x 0 h 0 h droite (M M 0 ) M 0 tangente en M 0 M x x 0 y = f (x) 271

272 272 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Interprétation graphique : f (x) f (x 0) représente la pente de la droite passant par les points x x 0 M ( x, f (x) ) ( et M 0 x0, f (x 0 ) ). f ( (x 0 ) représente donc la «pente limite» en M 0 x0, f (x 0 ) ) (, c està-dire la pente de la tangente à la courbe de f au point M 0 x0, f (x 0 ) ). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º¾ Dérivabilité et DL 1 Si f est dérivable en x 0 I alors f admet un DL 1 (x 0 ) donné par : f (x) = x x0 f (x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 )+o(x x 0 ) Une fonction dérivable en un point peut donc être localement approximée par une fonction affine. Exemple : f : x ax+ b avec (a,b) R 2. Alors f est dérivable en tout x 0 R et f (x 0 )= a. Exemple : f : x x n avec n N. Alors f est dérivable en tout x 0 R et f (x 0 )=nx n 1 0. Exemple : f : x cos(x). Alors f est dérivable en tout x 0 R et f (x 0 )= sin(x 0 ). Exemple : f : x sin(x). Alors f est dérivable en tout x 0 R et f (x 0 )=cos(x 0 ). Exemple : f : x 1 x. Alors f est dérivable en tout x 0 R et f (x 0 )= 1 x 2 0. Exemple : f : x x. Alors f est dérivable en tout x 0 > 0 et f (x 0 )= 1 2 x Dérivabilité à droite ou à gauche en un point Ò Ø ÓÒ ½ º Dérivabilité à gauche en un point Soit x 0 I ou la borne droite de x 0. f (x) f (x 0 ) On dit que f est dérivable à gauche en x 0 lorsque lim existe et est finie. x x 0 x x 0 Dans ce cas, on pose : f g (x f (x) f (x 0 ) 0)= lim. Le réel f x x g 0 x x (x 0) est appelé nombre dérivé à 0 gauche de f en x 0. On peut toujours se ramener au voisinage à gauche de 0, en posant x = x 0 + h : lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) = lim h 0 h

273 15.1. DÉRIVABILITÉ D UNE FONCTION NUMÉRIQUE 273 Ò Ø ÓÒ ½ º Dérivabilité à droite en un point Soit x 0 I ou la borne gauche de x 0. f (x) f (x 0 ) On dit que f est dérivable à droite en x 0 lorsque lim existe et est finie. x x 0 + x x 0 Dans ce cas, on pose : f d (x f (x) f (x 0 ) 0)= lim. Le réel f x x 0 + x x d (x 0) est appelé nombre dérivé à 0 droite de f en x 0. On peut toujours se ramener au voisinage à droite de 0, en posant x= x 0 + h : lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) = lim h 0 + h Ì ÓÖ Ñ ½ º Lien entre dérivabilité en un point et dérivabilité à droite/gauche Soit x 0 I (ie x 0 intérieur à I ). Alors : f est dérivable en x 0 f est dérivable à droite et à gauche en x 0 et f g (x 0)= f d (x 0) Exemple : f : x n est pas dérivable en 0. { Exemple : f : x 0 si x 0 x sin(x) si x > 0 est dérivable en 0. Exemple : f : x x n est pas dérivable à droite en Interprétations graphiques Cas f dérivable en x 0 : C f admet une tangente au point M 0 ( x0, f (x 0 ) ) d équation y = f (x 0 ) (x x 0 )+ f (x 0 ). Cas f dérivable en x 0 : Il y a plusieurs cas possibles. Si f est dérivable à droite en x 0, alors elle admet une demi-tangente à droite en x 0 d équation y = f d (x 0) (x x 0 )+ f (x 0 ). Si f est dérivable à gauche en x 0, alors elle admet une demi-tangente à gauche en x 0 d équation y = f g (x 0) (x x 0 )+ f (x 0 ). Si elle est dérivable à droite et à gauche en x 0, avec f d (x 0) f g (x 0), alors les deux demitangente ne sont pas parallèles. On dit que M 0 ( x0, f (x 0 ) ) est un point anguleux. Exemple : En 0 la représentation graphique de x x admet un point anguleux. f (x) f (x 0 ) Si lim =± alors f n est pas dérivable à droite en x 0, mais C f admet quand x x 0 + x x 0 ( même une demi-tangente verticale en M 0 x0, f (x 0 ) ). On a le même résultat à gauche en x 0.

274 274 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Exemple : x x n est pas dérivable à droite en 0, et sa courbe admet une tangente verticale en O(0, 0). Si lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) (ou x x0 ) n existe pas, il n y a d interprétation graphique... x x Dérivabilité sur une partie de R Ò Ø ÓÒ ½ º Dérivabilité sur une partie de R 1. Soient I un intervalle de R de bornes a et b, et f définie au moins sur I. On dit que f est dérivable sur I lorsque : f est dérivable en point x 0 intérieur à I, si a I, f est dérivable à droite en a, si b I, f est dérivable à gauche en b. 2. Soient A une partie de R qui est une union d intervalles et f définie au moins sur A. On dit que f est dérivable sur A lorsque f est dérivable sur tout les intervalles dont est constituée la partie A. Exemple : f : x x est continue sur R +, dérivable sur R +, mais non dérivable à droite en 0. ATTENTION! Le raisonnement naïf consistant à calculer f (x) et à regarder pour quelles valeurs de x cette fonction est définie est faux. Il ne donne pas la dérivabilité de la fonction. Par exemple pour f (x) = x, on a f (x) = 1 2 x, et donc f est dérivable sur R + et n est pas dérivable à droite en 0. Ò Ø ÓÒ ½ º Fonction dérivée Si f est dérivable sur une partie A de R, on appelle fonction dérivée de f l application : f : A R x f (x) Ì ÓÖ Ñ ½ º Une fonction dérivable est continue Si f est dérivable en un point x 0 alors f est continue en x 0, et donc x 0 D f, (ce résultat est valable à droite ou à gauche en x 0 ). Par conséquent, si f est dérivable sur une partie A de R, alors f est continue sur A. ATTENTION : la réciproque est fausse. Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable. Considérer par exemple x x en 0.

275 15.2. OPÉRATIONS SUR LES DÉRIVÉES Opérations sur les dérivées Opérations arithmétiques Ì ÓÖ Ñ ½ º Opérations arithmétiques sur les fonctions dérivables en un point x 0 Soient f et g deux fonctions dérivables en un même point x Pour tout (λ,µ) R 2, la fonction λ.f + µ.g est dérivable en x 0 et on a : (λ.f + µ.g ) (x 0 )=λ.f (x 0 )+µ.g (x 0 ) 2. La fonction f g est dérivable en x 0 et on a : (f g ) (x 0 )= f (x 0 ) g (x 0 )+ f (x 0 ) g (x 0 ) Ces résultats restent évidemment vrais à droite ou à gauche en x 0. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½¼ Opérations arithmétiques sur les fonctions dérivables sur une partie A Soient f et g deux fonctions dérivables sur une même partie A. 1. Pour tout (λ,µ) R 2, la fonction λ.f + µ.g est dérivable sur A et on a : x A, (λ.f + µ.g ) (x)=λ.f (x)+µ.g (x) 2. La fonction f g est dérivable sur A et on a : x A, (f g ) (x)= f (x) g (x)+ f (x) g (x) ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½½ Linéarité de la dérivation Si on note D(A,R) l ensemble des fonctions dérivables sur A, alors D(A,R) est un R-ev. L application : D(A) R A f f est linéaire Dérivée d une composée, d un quotient Ì ÓÖ Ñ ½ º½¾ Dérivabilité d une composée en un point Soient f une fonction dérivable en x 0 et g une fonction dérivable en y 0 = f (x 0 ). Alors g f est dérivable en x 0 et : (g f ) (x 0 )= f (x 0 ) g ( f (x 0 ) )

276 276 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Ce résultat reste évidemment vrai à droite ou à gauche en x 0. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½ Dérivabilité d une composée sur une partie A de R Soient f une fonction dérivable sur A R et g une fonction dérivable sur B R, tel que f (A) B. Alors g f est dérivable sur A et : x A, (g f ) (x)= f (x) g ( f (x) ) Exemple : f : x x 2 1 est définie et continue sur ], 1] [1,+ [. Elle est dérivable sur ], 1[ ]1, + [. Elle n est ni dérivable à gauche en 1, ni dérivable à droite en 1. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½ Dérivabilité d un quotient 1. Soient f et g deux fonctions dérivables x 0 tel que g (x 0 ) 0. Alors 1 g et f g sont dérivables en x 0 et : ( ) 1 (x 0 )= g (x 0 ) g g (x 0 ) 2 et ( ) f (x 0 )= f (x 0 ) g (x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ) g g (x 0 ) 2 2. Soient f et g deux fonctions dérivables sur A R, telle que g ne s annule pas sur A. Alors 1 g et f g sont dérivables sur A et : ( ) 1 (x)= g (x) ( ) f (x)= f (x) g (x) f (x) g (x) x A, g g (x) 2 et g g (x) Dérivée d une bijection réciproque On rappelle le théorème suivant. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Théorème de la bijection monotone Soient I un intervalle de R et f une fonction continue et strictement monotone sur I. Alors : J = f (I ) est un intervalle ; f est bijective de I sur J ; f 1 est strictement monotone sur J, de même sens de variations que f ; si f est impaire sur I, alors f 1 est impaire sur J ; f 1 est continue sur J ; C f 1 se déduit de C f par symétrie orthogonale par rapport à la droite d équation y = x

277 15.3. TABLEAUX RÉCAPITULATIFS DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 277 Pour la dérivabilité de f 1, on dispose du résultat suivant. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Dérivabilité d une bijection réciproque en un point Soient I un intervalle de R et f une fonction continue et strictement monotone sur I. Soit x 0 I tel que f est dérivable en x 0. Alors : Si f (x 0 ) 0 alors f 1 est dérivable en y 0 = f (x 0 ) et : ( f 1 ) (y0 )= 1 f f 1 (y 0 ) = 1 f (x 0 ) Si f (x 0 )=0 alors f 1 n est dérivable en y 0 = f (x 0 ) et sa courbe admet une tangente verticale en ce point. Il existe un moyen mnémotechnique simple pour retrouver cette formule : dériver la formule f ( f 1 (x) ) = x. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½ Dérivabilité d une bijection réciproque sur un intervalle Soient I un intervalle de R et f une fonction dérivable et strictement monotone sur I, et telle que f ne s annule pas sur I. Alors f 1 est dérivable sur J = f (I ) et : y J, ( f 1 ) (y)= 1 f f 1 (y) Application à la fonction arctan. ] La fonction tan est dérivable et strictement croissante sur π 2, π [. De plus : 2 ] x π 2, π [, tan (x)=1+tan 2 (x) 0 2 (] On en déduit que la fonction arctan est dérivable sur R=tan π 2, π [) et que : 2 x R, arctan (x)= 1 1+tan 2( arctan(x) ) = 1 1+ x Tableaux récapitulatifs des dérivées des fonctions usuelles On rappelle les formules de dérivation des fonctions usuelles. f (x) f (x) Valeurs de x x α αx α 1 x > 0 (au minimum...) ln(x) 1 x x > 0

278 278 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES e x e x x R a x ln(a).a x x R sin(x) cos(x) x R cos(x) sin(x) x R tan(x) 1+tan 2 (x) x D tan arctan(x) 1 1+ x 2 x R En utilisant la formule de dérivation d une composée [ f ( u(x) )] = u (x).f ( u(x) ), on obtient les formules suivantes. f (x) f (x) Condition sur u(x) en plus de sa dérivabilité u(x) α α.u (x).u(x) α 1 u(x)>0 (au minimum...) ln( u(x) ) u (x) u(x) u(x) 0 e u(x) u (x).e u(x) aucune sin ( u(x) ) u (x).cos ( u(x) ) aucune cos ( u(x) ) u (x).sin ( u(x) ) aucune tan ( u(x) ) [ u (x). 1+tan 2( u(x) )] u(x) D tan arctan ( u(x) ) u (x) 1+u(x) 2 aucune ATTENTION! La fonction x x est continue sur R, mais dérivable seulement sur R. Cas des fonctions puissances réelles : Pour tout α R, la fonction x x α = e αln(x) est dérivable sur R + fonctions dérivables. comme composée de On a déjà vu que si α 0, la fonction x x α peut être prolongé par continuité en 0. Intéressons nous désormais à la dérivabilité de cette fonction prolongée. Pour α=0, on a x α = 1 pour tout x R. Dans ce cas la fonction est dérivable sur R. Pour α>0 et x > 0 : x α 0 α x 0 = xα 1 x si 0<α<1 1 si α=1 0 si α>1

279 15.4. DÉRIVABILITÉ SUR UN INTERVALLE D UNE FONCTION À VALEURS RÉELLES 279 La fonction x x α est donc dérivable (à droite) en 0 si, et seulement si, α=0 ou α 1. Donc pour 0<α<1, la fonction x x α est continue mais non dérivable (à droite) en Dérivabilité sur un intervalle d une fonction à valeurs réelles Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I Lien entre extremum et dérivée Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Condition nécessaire d extremum local Soit f fonction dérivable sur un intervalle I et telle que : (i) f admet un extremum local en x 0 I (ii) x 0 I, ie x 0 n est pas une borne de I. Alors f (x 0 )=0. La tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse x 0 est donc horizontale. ATTENTION : la réciproque est fausse. ATTENTION : l hypothèse x 0 I est essentielle. Ce résultat donne donc des points x 0 candidats à être des extremums locaux (on les appelle points critiques de f : x 0 I et f (x 0 )=0). Mais il faut ensuite vérifier point par point si on trouve bien un extremum local en ces points, puis faire une étude séparée des bornes de l intervalle. Pour l étude des points critiques, on peut utiliser le théorème suivant. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Condition suffisante d extremum local en un point critique Soit f fonction dérivable sur un intervalle I et x 0 un point critique de f. Si f change de signe en x 0 alors f admet un extremum local en x 0. En pratique il suffit de dresser le tableau de variations de f. Exemple : Extremums de x x 3 sur [ 1,2] Théorème de Rolle Intuitivement, pour une fonction f vérifiant f (a) = f (b), on voit sur la figure ci-dessous que sa courbe admet au moins une tangente horizontale.

280 280 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES f (a)= f (b) C f a c b Énonçons alors le résultat rigoureux. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾¼ Théorème de Rolle Soit f : [a,b] R telle que : (i) f est continue sur [a, b] ; (ii) f est dérivable sur ]a, b[ ; (iii) f (a)= f (b). Alors : c ]a,b[ / f (c)=0 Démonstration : Puisque f est continue sur [a, b], le théorème de continuité sur un segment donne que f est bornée et atteint ses bornes. Si note f (c 1 )= max t [a,b] f (t) et f (c 2)= min t [a,b] f (t), il reste à vérifier que c 1 ]a,b[ ou c 2 ]a,b[. CQFD Théorème des accroissements finis Intuitivement, pour une fonction f, on voit sur la figure ci-dessous que sa courbe admet au moins une tangente parallèle à la droite passant par les points ( a, f (a) ) et ( a, f (a) ). f (b) f (a) C f a c b

281 15.4. DÉRIVABILITÉ SUR UN INTERVALLE D UNE FONCTION À VALEURS RÉELLES 281 Énonçons alors le résultat rigoureux. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾½ Théorème des accroissements finis Soit f : [a,b] R telle que : (i) f est continue sur [a, b] ; (ii) f est dérivable sur ]a, b[. Alors : c ]a,b[ / f f (a) f (b) (c)= = a b f (b) f (a) b a Démonstration : On applique le théorème de Rolle à la fonction f (b) f (a) ϕ : t f (t) (t a) b a CQFD ÓÖÓÐÐ Ö ½ º¾¾ Inégalité des accroissements finis 1. Soient I un intervalle de R et f : I R tels que : (i) f est dérivable sur I ; (ii) (m, M) R 2 tel que x I, m f (x) M. Alors : (x, y) I 2, x y = m (y x) f (y) f (x) M (y x) 2. Soient I un intervalle de R et f : I R tels que : (i) f est dérivable sur I ; (ii) M R + tel que x I, f (x) M. Alors : (x, y) I 2, f (y) f (x) M y x Si I = [a,b], le théorème de continuité sur un segment permet de poser dans le premier cas : m= min f (t) et M = max f (t), et dans le second cas : M = max t [a,b] f (t). t [a,b] t [a,b] Exemple : Montrer que pour tout x 0, x ln(1+ x) x. 1+ x

282 282 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Lien entre dérivée et monotonie Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Lien entre dérivée et monotonie au sens large Soit f : [a,b] R telle que : (i) f est continue sur [a, b] ; (ii) f est dérivable sur ]a, b[. Alors : 1. f est croissante sur [a,b] x ]a,b[, f (x) f est décroissante sur [a,b] x ]a,b[, f (x) f est constante sur [a,b] x ]a,b[, f (x)=0. ( ) { 1 π Exemple : Démontrer que x R si x> 0, arctan(x)+arctan = 2 x π 2 si x< 0 Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Lien entre dérivée et stricte monotonie Soit f : [a,b] R telle que : (i) f est continue sur [a, b] ; (ii) f est dérivable sur ]a, b[. Alors : 1. x ]a,b[, f (x)>0= f est strictement croissante sur [a,b]. 2. x ]a,b[, f (x)<0= f est strictement décroissante sur [a,b]. ATTENTION : les réciproques sont fausses. Considérer par exemple f : x x 3 sur [ 1,1]. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º¾ Lien entre dérivée et stricte monotonie sur un intervalle Soient I un intervalle de R et f : I R telle que : (i) f est continue sur I ; (ii) f est dérivable sur I sauf éventuellement en des points isolés {x 1,..., x p }. Alors : 1. x I \{x 1,..., x p }, f (x)>0= f est strictement croissante sur I. 2. x I \{x 1,..., x p }, f (x)<0= f est strictement décroissante sur I Prolongement de la dérivabilité En général il ne faut pas confondre deux quantités : f d (x 0) et f (x 0 + ). En effet : f d (x 0)= lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) et f (x 0 + )= lim x x 0 x x 0 + f d (x 0) est le nombre dérivé à droite de f en x 0 ; f (x + 0 ) est la limite à droite en x 0 de la dérivée de f. ( f (x)= lim lim x x 0 + t x ) f (t) f (x) t x

283 15.4. DÉRIVABILITÉ SUR UN INTERVALLE D UNE FONCTION À VALEURS RÉELLES 283 On va faire le lien entre ces deux quantités. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Théorème de prolongement de la dérivabilité à droite. Soit f : [a,b] R telle que : (i) f est continue sur [a, b] ; (ii) f est dérivable sur ]a, b]. Alors : 1. Si f (a + )= lim x a + f (a + ). f (x) f (a) x a = l R, alors f est dérivable à droite en a et f (a) = l= d f (x) f (a) 2. Si lim =±, alors f n est pas dérivable à droite en a, C x a + f admet une demitangente verticale en ce x a point. f (x) f (a) 3. Si lim n existe pas, alors on ne peut rien dire dans le cas général. x a + x a ATTENTION! On peut donc corriger le raisonnement (faux) suivant : «pour f (x) = x, on a f (x)= 1 2 x, et donc f est dérivable sur R + et n est pas dérivable à droite en 0». Il faut écrire : «f : x x est continue sur R + et dérivable sur R + (en tant que fonction usuelle), de dérivée : x > 0, f (x) = 1 2 x. De plus f est continue à droite en 0, et f (0 + )= lim f (x) =+, donc, d après le théorème de prolongement de la dérivabilité, f n est pas x 0 + dérivable à droite en 0, et sa courbe admet une demi-tangente verticale en 0». On a le même résultat avec la dérivabilité à gauche. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Théorème de prolongement de la dérivabilité à gauche. Soit f : [a,b] R telle que : (i) f est continue sur [a, b] ; (ii) f est dérivable sur [a, b[. Alors : 1. Si f (b )= lim x b f (b ). f (x) f (b) = l R, alors f est dérivable à gauche en b et f g x b (b)=l= f (x) f (b) 2. Si lim = ±, alors f n est pas dérivable à gauche en b, C x b f admet une x b demi-tangente verticale en ce point. f (x) f (b) 3. Si lim n existe pas, alors on ne peut rien dire dans le cas général. x b x b en 0, et montrer que ce prolon- Exemple : Prolonger par continuité la fonction x sin(x) x gement est dérivable en 0. Exemple : Vérifier que le ( théorème ) de prolongement de la dérivabilité ne s applique pas avec 1 la fonction x x 2 sin, prolongée par continuité en 0. x

284 284 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 15.5 Dérivées d ordre supérieur Dérivées successives Ò Ø ÓÒ ½ º¾ Dérivées successives Soient n N et f est une fonction n fois dérivable en x 0 R. On définit la dérivée n-ième de f en x 0 par récurrence : On note aussi d n f d x n (x 0)= f (n) (x 0 ). f (0) (x 0 )= f (x 0 ) et f (n) (x 0 )= ( f (n 1) (x0 ) On a donc f (0) = f, f (1) = f et f (2) = f. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º¾ Associativité de la dérivation Soient n N et f est une fonction n fois dérivable en x 0 R. On a alors, pour tout p 0,n : f (n) (x 0 )= d p d x p ( d n p f )(x 0 )= d n p d x n p d x n p ( d p f d x p ) (x 0 ) et donc : f (n) (x 0 )= d ( d n 1 f )(x d x d x n 1 0 )= d n 1 ( ) d f d x n 1 (x 0 ) d x Exemple : Montrer que, ( pour tout n N, la fonction x cos(x) est n fois dérivable sur R et x R, cos (n) (x)=cos x+ n π ) Fonctions de classe C n, de classe C Ò Ø ÓÒ ½ º ¼ Fonctions de classe C n Soient n N et A une partie de R. On dit que f est de classe C n sur A lorsque : (i) f est n fois dérivable en tout x 0 A ; (ii) f (n) est continue sur A. Donc : f est de classe C 0 sur A f est continue sur A ; et : f est de classe C 1 sur A f est dérivable sur A et f est continue sur A. Dans ce dernier cas, on dit aussi que f est continûment dérivable sur A. ( ) 1 x 2 sin si x 0 Exemple : La fonction f : x x 0 si x = 0 classe C 1 sur R. est dérivable sur R mais n est pas de

285 15.5. DÉRIVÉES D ORDRE SUPÉRIEUR 285 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º ½ Caractérisation des fonctions de classe C n Soient n N et I un intervalle de R. Alors : f est classe C n sur I f est n dérivable sur I et f (n) est continue sur I. Notations : On note D n (A,R) l ensemble des fonctions n fois dérivables sur A, et C n (A,R) l ensemble des fonctions de classe C n sur A. Alors : C 0 (A,R) D 1 (A,R) C 1 (A,R) D n (A,R) C n (A,R)... ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º ¾ Régularité de la dérivée d une fonction de classe C n Soit f C n (A,R). Alors pour tout p 0,n, f (p) C (n p) (A,R). Ò Ø ÓÒ ½ º Fonctions de classe C On dit que f est de classe C sur A lorsque, pour tout n N, f est C n sur A. On dit aussi que f est infiniment dérivable sur A. Notation : On note C (A,R) l ensemble des fonctions de classe C sur A. Pour tout n N : C n (A,R) C (A,R). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º Régularité de la dérivée d une fonction de classe C n Soit f C (A,R). Alors pour tout n N, f (n) C (A,R) Classe de régularité des fonction usuelles Les fonctions polynômes sont C sur R. Les fractions rationnelles ( = quotient de polynômes) sont C sur leur ensemble de définition. Les fonctions cos et sin sont C sur R et on a : ( k N, x R, cos (k) (x)=cos x+ k π ) et 2 { π / } La fonction tan est C sur D tan = R\ 2 + kπ k Z. ( sin (k) (x)=sin x+ k π ) 2 arctan est C sur R. La fonction ln est C sur R + et on a : k N ( ) (k)= ( 1) k 1 (k 1)!, x > 1, ln(1+ x) (1+ x) k La fonction exp est C sur R (vrai en base quelconque) et on a : k N, x R, ( e x ) (k) = e x

286 286 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES La fonction x x est continue sur R, mais C seulement sur R. Les fonctions x x α, où α R, sont C (au moins) sur R +. En 0, on a le résultat suivant. Ì ÓÖ Ñ ½ º Classe de régularité de la fonction x x α en 0 Soient n N et α R. On a : la fonction x x α est C n (à droite) en 0 α n Exemple : x x x est C 1 sur R +, C sur R +. ATTENTION! Pour des puissances entières, l ensemble de peut être beaucoup plus grand que R + ou R +. Par exemple x x2 est C sur R (polynôme), et x 1 x 3 est C sur R (fraction rationnelle). Exemple : Pour tout α R, la fonction x (1+ x) α est C sur ] 1,+ [ (au moins), et on a : ( k N, x > 1, (1+ x) α ) (k) = α (α 1) (α 2) (α k+ 2) (α k+ 1) (1+ x) α k Opérations arithmétiques sur les fonctions de classe C n /C Ì ÓÖ Ñ ½ º Opérations arithmétiques sur les fonctions de classe C n 1. Soient n N et f et g deux fonctions de classe C n sur une même partie A. Pour tout (λ,µ) R 2, la fonction λ.f + µ.g est de classe C n sur A et on a : (λ.f + µ.g ) (n) = λ.f (n) + µ.g (n) 2. Soient f et g deux fonctions de classe C sur une même partie A. Pour tout (λ,µ) R 2, la fonction λ.f + µ.g est de classe C sur A. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Structures de R-ev 1. C 0 (A,R) est un R-espace vectoriel. 2. Pour tout n N, D n (A,R) et C n (A,R) sont des R-espaces vectoriels. 3. C (A,R) est un R-espace vectoriel. Ils sont bien évidemment de dimension infinie. Ì ÓÖ Ñ ½ º Formule de Leibnitz Soient n N et f et g deux fonctions de classe C n sur une même partie A. Alors f g est C n sur A et : x A, (f g ) (n) (x)= ( ) n n.f (k) (x) g (n k) (x) k k=0

287 15.5. DÉRIVÉES D ORDRE SUPÉRIEUR 287 Exemple : Pour tout n N et tout x R, on pose L n (x)=e x d n ( e x d x n x n). Montrer que L n R[X ] et que son terme dominant est ( 1) n X n Composition de fonctions de classe C n /C Ì ÓÖ Ñ ½ º Composition de fonctions de classe C n Soient n N, f une fonction de classe C n sur une partie A, et g une fonction de classe C n sur une partie B telle que f (A) B. Alors g f est C n sur A. ATTENTION : il n y pas de formule pour ( g f ) (n). ÓÖÓÐÐ Ö ½ º ¼ Composition de fonctions de classe C Soient f une fonctions de classe C sur une partie A, et g une fonction de classe C sur une partie B telle que f (A) B. Alors g f est C sur A. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º ½ Quotient de fonctions de classe C n /C 1. Soient n N, f et g deux fonctions de classe C n sur une même partie A, telle que g ne s annule pas sur A. Alors f g est C n sur A. 2. Soient f et g deux fonctions de classe C sur une même partie A, telle que g ne s annule pas sur A. Alors f g est C sur A. ( ) f (n) ATTENTION : il n y pas de formule pour. g

288 288 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Bijection réciproque d une fonction de classe C n /C Ò Ø ÓÒ ½ º ¾ Difféomorphisme Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On note J = f (I ). 1. Soit n N. On dit que f est un C n -difféomorphisme lorsque : (i) f est bijective de I sur J ; (ii) f est de classe C n sur I ; (iii) f 1 est de classe C n sur J. 2. On dit que f est un C -difféomorphisme lorsque : (i) f est bijective de I sur J ; (ii) f est de classe C sur I ; (iii) f 1 est de classe C sur J. Ì ÓÖ Ñ ½ º Condition nécessaire de difféomorphisme Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On note J = f (I ). 1. Soient n N et f une fonction de classe C n sur I. Alors : f ne s annule pas sur I f est un C n -difféomorphisme de I sur J=f(I) 2. Soit f une fonction de classe C sur I. Alors : f ne s annule pas sur I f est un C -difféomorphisme de I sur J=f(I) Exemple : tan est un C -difféomorphisme de ] π 2, π [ sur R Théorème de prolongement du caractère C 1 On peut reformuler le théorème de prolongement de la dérivabilité, dans le cadre d une fonction de classe C 1. Ì ÓÖ Ñ ½ º Théorème de prolongement du caractère C 1 à droite Soit f : [a,b] R telle que : (i) f est continue sur [a, b] ; (ii) f est de classe C 1 sur ]a,b]. f (x) f (a) (iii) f (a + )= lim = l R. x a + x a Alors f est C 1 sur [a,b] et f d (a)=l= f (a + ).

289 15.6. FORMULES DE TAYLOR 289 Ì ÓÖ Ñ ½ º Théorème de prolongement du caractère C 1 à gauche Soit f : [a,b] R telle que : (i) f est continue sur [a, b] ; (ii) f est de classe C 1 sur [a,b[. f (x) f (b) (iii) f (b )= lim = l R. x b x b Alors f est C 1 sur [a,b] et f g (b)=l= f (b ) Formules de Taylor Formule de Taylor-Lagrange Ì ÓÖ Ñ ½ º Formule de Taylor-Lagrange Soient n N et f une fonction de classe C n+1 sur un intervalle I. Alors : (a, x) I 2, ζ ]a,b[ / f (x)= n k=0 f (k) (a) k! (x a) k + f (n+1) (ζ) (x a)n+1 (n+ 1)! Démonstration : On applique le théorème de Rolle à la fonction : ϕ : t f (x) n k=0 f (k) (t) k! (x t) k (x t)n+1 A (n+ 1)! où A R est choisi telle que ϕ(a)=0. CQFD ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Développement en série de la fonction exponentielle x n Pour tout x R la série converge et : n 0 n! + x n n=0 n! = ex

290 290 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Inégalité de Taylor-Lagrange Ì ÓÖ Ñ ½ º Inégalité de Taylor-Lagrange Soient n N et f une fonction de classe C n+1 sur un intervalle I. Alors : (a, x) I 2 n, f (x) f (k) (a) (x a) k x a n+1 M k! (n+ 1)! où M = sup f (n+1 (t). t [a,x] k=0 Exemple : Encadrer la fonction x ln(1 + x) sur ] 1, +, entre deux polynômes de degré Formule de Taylor-Young Ì ÓÖ Ñ ½ º Formule de Taylor-Young Soient n N, a R et et f une fonction de classe C n sur un voisinage de a. Alors : f (x) = x a n k=0 f (k) (a) (x a) k + o ( (x a) n+1) k! ÓÖÓÐÐ Ö ½ º ¼ Existence de développement limité à tout ordre Soient a R et f une fonction de classe C sur un voisinage de a. Alors f admet en a un développement limité à tout ordre. On en déduit tous les développements usuels en 0! 15.7 Fonctions convexes Ò Ø ÓÒ ½ º ½ Fonction convexe/concave Soit f une fonction définie sur un intervalle I. 1. On dit que f est convexe sur I lorsque : (x, y) I 2, t [0,1], f ( t x+ (1 t)y ) t.f (x)+(1 t).f (y) 2. On dit que f est concave sur I lorsque : (x, y) I 2, t [0,1], f ( t x+ (1 t)y ) t.f (x)+(1 t).f (y)

291 15.7. FONCTIONS CONVEXES 291 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º ¾ Lien entre convexe et concave Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Alors : f est concave sur I f est convexe sur I Pour cette raison nous n étudierons que le cas des fonctions convexes. Interprétation graphique de la convexité/concavité : Si f est convexe, tout arc de sa courbe est situé en-dessous de sa corde ; Si f est concave, tout arc de sa courbe est situé au-dessus de sa corde. Ì ÓÖ Ñ ½ º Fonctions convexes de classe C 1 Soit f une fonction de classe C 1 sur un intervalle I. On a équivalence de : (i) f est convexe sur I ; (ii) f est croissante sur I ; (iii) C f est au-dessus ses tangentes sur I. Démonstration : (i)= (ii) Soient (x 1, x 2 ) I 2 tel que x 1 < x 2. Alors x ]x 1, x 2 [ s écrit x = t x 1 + (1 t)x 2 où t ]0,1[. On a : f (x) f (x 1 ) (1 t) ( f (x 2 ) f (x 1 ) ) puis f (x) f (x 1 ) x x 1 f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 Quand x x + 1, on obtient f (x 1 ) f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1. De même, on a : f (x 1 ) f (x 2 ) x 1 x 2 f (x) f (x 2) x x 2 et donc quand x x 2, on a f (x 1) f (x 2 ) x 1 x 2 f (x 2 ). (ii)= (i) On considère la fonction ϕ : t f ( t x+ (1 t)y ) t.f (x)+(1 t).f (y). Le TAF donne qu il existe c ]x, y[ tel que : où x t = t x+ (1 t)y. t I, ϕ (t)=(x y) [ f (x t ) f (c) ] Le minimum de ϕ est donc atteint en t = c y et il reste à vérifier qu il est nul... x y (ii)= (iii) L étude la fonction ϕ : x f (x) [ f (x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) ] montre qu elle est positive. (iii)= (ii) Soient (x 1, x 2 ) I 2 tel que x 1 < x 2. Alors : x ]x 1, x 2 [, f (x) f (x 1 ) (x x 1 )+ f (x 1 )

292 292 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES donc f (x) f (x 1) x x 1 f (x 1 ). Quand x x 2, on a f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 f (x 1 ). De même : donc f (x) f (x 2) x x 2 f (x 2 ). x ]x 1, x 2 [, f (x) f (x 2 ) (x x 2 )+ f (x 2 ) Quand x x + 1, on a f (x 1) f (x 2 ) x 1 x 2 f (x 2 ). CQFD Ì ÓÖ Ñ ½ º Fonctions convexes de classe C 2 Soit f une fonction de classe C 2 sur un intervalle I. Alors : f est convexe sur I x I, f (x) 0 Exemple : Les fonctions exp et x x 2 sont convexes sur R, et la fonction ln est concave sur R +. Exemple : Si t [0,π], alors sin(t) t. Ò Ø ÓÒ ½ º Point d inflexion Soient f une fonction définie sur un intervalle I, et x 0 un point intérieur à I. Lorsque f est convexe sur l un des deux intervalles I ], x 0 ] et I [x 0,+ [, et concave sur l autre, on dit que f admet un point d inflexion en x 0. Ì ÓÖ Ñ ½ º Condition nécessaire de point d inflexion pour une fonction de classe C 2 Soient f une fonction de classe C 2 sur un intervalle I, et x 0 un point intérieur à I. Si f s annule en changeant de signe en x 0, alors f admet un point d inflexion en x 0. Exemple : x x 3 admet un point d inflexion en 0.

293 15.8. EXERCICES Exercices Dérivée et étude de fonctions Ü Ö ½ º½ Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. 1. Établir que f et f sont de parités contraires. 2. Montrer que f est de même périodicité que f. Ü Ö ½ º¾ 1. Déterminer le nombre de solutions de l équation 2+ln x = x On note h l application de R + dans R définie par h(0) = 0 et pour tout x > 0, h(x) = x ln(x). Montrer que h est continue sur R + et tracer l allure de son graphe en précisant les tangentes au point d abscisse 0 et On pose f (x)= x 1+ x. Montrer que f est bijective sur R et déterminer f 1. Ü Ö ½ º Pour chacune des fonctions suivantes déterminer son ensemble de continuité (la prolonger éventuellement par continuité aux bornes de son ensemble de définition), son ensemble de dérivabilité, puis calculer sa dérivée. Sont-elles de classe C 1 là où elles sont dérivables? 1. x arctan 1 x 2 x 2. x Ü Ö ½ º { 1 e x si x< 0 ln(1+ x) si x> 0 3. x 1 x 2 1. Montrer que la restriction de cos à [0,π] est bijective et étudier la continuité et la dérivabilité de son application réciproque, notée arccos. 2. Montrer que la restriction de sin à [ π 2, π 2] est bijective et étudier la continuité et la dérivabilité de son application réciproque, notée arcsin. Ü Ö ½ º On pose : t > 0, g (t)= 1 t e 1 t. 1. Montrer que g peut-être prolongée en 0 en une fonction dérivable à droite en Soit n N. Montrer que pour n assez grand, l équation (E n ) : g (t) = 1 n admet deux solutions x n et y n sur R + vérifiant : 0<x n < 1< y n. 3. Donner la monotonie et la limite des suites (x n ) et (y n ). Ü Ö ½ º On considère la fonction f définie sur R + par : f (x)= { x+1 x 1 ln(x) si x si x= 1 1. Montrer que f est C 1 sur son ensemble de définition. 2. Construire le tableau de variations de f. Ü Ö ½ º On définit les deux fonctions ϕ : [0,2π] [0,2π], t ϕ(t) = t sin(t) et ψ : [0,2π] R, t ψ(t)=1 cos(t). 1. Montrer que ϕ est C 1 sur [0,2π] et qu elle admet une fonction réciproque ϕ 1 qui est continue sur [0,2π] t dérivable sur ]0,2π[. On pose f : [0,2π] R, x f (x)=ψ ϕ 1 (x).

294 294 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 2. Vérifier que f est continue sur [0,2π] et dérivable sur ]0,2π[. 3. Étudier les variations de f sur [0,2π]. Montrer que la droite d équation x = π est axe de symétrie pour la courbe représentative de f. Déterminer lim f (x). Que peut-on en x 0 + déduire? 4. Tracer l allure de la courbe représentative de f. Ü Ö ½ º Soit a un réel positif ou nul. Pour x R, on pose P a (x)=x 3 + ax Montrer que ce polynôme admet une unique racine réelle u(a). On note u l application définie sur R + qui a tout a associe le réel u(a). 2. Montrer que : u(r + ) R Montrer que u est strictement décroissante sur R Calculer u(0), puis lim a + u(a). 5. Déterminer l application réciproque de u. 6. Montrer que u est continue sur R Montrer que u est dérivable sur R + et calculer u (a), pour tout a R Esquisser l allure de la courbe représentative de u. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis Ü Ö ½ º Soit f une fonction continue sur R +, dérivable sur R +, telle que f (0)=0 et f croissante sur R +. Établir que : x > 0, f (x) f (x). x En déduire que la fonction g : x f (x) x est croissante sur R +. Ü Ö ½ º½¼ Soit f : [a,b] R de classe C 2 telle que f (a)= f (b)=0. 1. Montrer que : x [a,b], c ]a,b[ / (x a)(x b) f (x)= f (c) 2 Indication : on considèrera la fonction ϕ(t)= f (t) A (t a)(t b) où A est une constante 2 bien choisie. 2. En déduire une constante M telle que : Ü Ö ½ º½½ Soit α ]0,1[. 1. Établir que : n 1, (x a)(b x) x [a,b], f (x) M 2 1 α (n+ 1) α (n+ 1)1 α n 1 α 1 α n α. 2. En déduire un équivalent de la suite (H n ) n 1 définie par : n 1, H n = n 1 k α. k=1

295 15.8. EXERCICES 295 Dérivées d ordres supérieurs Ü Ö ½ º½¾ 1. Soient n N et f une fonction n fois dérivable sur [a,b], s annulant en n+ 1 points distincts de [a,b]. Montrer que f (n) s annule au moins une fois sur ]a,b[. 2. Soient n N et a,b deux réels tels que a < b. On considère f une fonction de classe C n sur [a,b] telle que : k 0,n 1, f (k) (a)= f (k) (b)=0. Montrer que f (n) s annule au moins n fois sur ]a,b[. Ü Ö ½ º½ Montrer que les fonctions suivantes sont de classe C sur leur ensemble de définition et déterminer leurs dérivées successives : x 1 1 x, x 1 1 et x 1+ x 1 x 2. { 0 si x 0 Ü Ö ½ º½ Soit f : R R définie par f (x)= e 1 x si x> Montrer que f est de classe C sur R + et qu il existe une suite de polynômes (P n) n N telle que ( ) 1 n N, x > 0, f (n) (x)=p n e 1 x. x 2. En déduire que f est C sur R. Fonctions convexes Ü Ö ½ º½ 1. Soient p et q deux réels strictement positifs tels que 1 p + 1 q = 1. Montrer que : (a,b) ( R +) 2, p a q b a p + b q 2. Soit p > 0. En étudiant la convexité de f : (1+ t p ) 1 p, établir que : t 0, (1+ t p ) 1 p 2 1 p 1 (1+ t). En déduire que : Ü Ö ½ º½ (x, y) ( R +) 2, (x+y) p 2 p 1( x p + y p) 1. Soient f une fonction convexe sur un intervalle I et x 1, x 2,..., x n n points de I. Soient n λ 1,λ 2,...,λ n des réelspositifs tels que : λ k = 1. ( k=1 n n Établir que : f λ k x k ) λ k f (x k ). k=1 k=1 2. En déduire que si x 1, x 2,..., x n sont des réels strictement positifs alors : n x1 x 2... x n x 1+ x x n n

296 296 CHAPITRE 15. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES

297 Chapitre 16 Matrices Dans tout le chapitre K désigne indifféremment R ou C L espace vectoriel M np (K) Définitions On fixe n et p deux entiers naturels non nuls. Ò Ø ÓÒ ½ º½ Matrice On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K toute application : A : 1,n 1, p K (i, j ) A[i, j ] Le scalaire A[i, j ] est appelé coefficient de A sur la ligne i et la colonne j. Il est aussi noté a i j, et dans ce cas la matrice A est notée ((a i j )) 1 i n. A est représentée sous forme d un tableau 1 j p à n lignes et p colonnes : colonne j a 11 a a 1j... a 1p a 21 a a 2j... a 2p A=.... a i 1 a i 2... a i j... a i p ligne i.... a n1 a n2... a n j... a np On dit aussi que A est un matrice de taille n p ou (n, p). Vocabulaire : Si n= 1, on dit que A M 1p (K) est une matrice ligne. Si p = 1, on dit que A M n1 (K) est une matrice colonne. Si n= p, M np (K) est noté M n (K) et on dit que A M n (K) est une matrice carrée d ordre n. La diagonale de A est la famille de ses éléments diagonaux (a i i ) 1 i min(n,p). 297

298 298 CHAPITRE 16. MATRICES Ò Ø ÓÒ ½ º¾ {Egalité de deux matrices Soient n, n, p, p des entiers naturels non nuls, A M np (K) et B M n p (K). On dit que A= B lorsque n= n, p = p et : (i, j ) 1,n 1, p, A[i, j ]=B[i, j ] Donc deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont même taille et mêmes coefficients. Ò Ø ÓÒ ½ º Matrices triangulaires Soit A M n (K). 1. On dit que A est triangulaire supérieure lorsque : (i, j ) 1,n 2, i > j = A[i, j ]=0 2. On dit que A est triangulaire inférieure lorsque : 3. On dit que A est diagonale lorsque : (i, j ) 1,n 2, i < j = A[i, j ]=0 (i, j ) 1,n 2, i j = A[i, j ]=0 Une matrice triangulaire supérieure est de la forme : a 11 a a 1n 0 a a 2n a nn Une matrice triangulaire inférieure est de la forme : a a 21 a a n1 a n a nn Une matrice triangulaire diagonale est de la forme : λ λ = Diag(λ 1,λ 2,...,λ n ) λ n

299 16.1. L ESPACE VECTORIEL M NP (K) 299 Notations : On note T n + (K) l ensemble des matrices carrées triangulaires supérieures d ordre n ; On note Tn (K) l ensemble des matrices carrées triangulaires inférieures d ordre n ; On note D n (K) l ensemble des matrices carrées diagonales d ordre n. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º Lien entre matrices diagonales et triangulaires Soit A M np (K). Alors : A est diagonale A est à la fois triangulaire supérieure et inférieure Autrement dit : D n (K)=T + n (K) T n (K) Matrice d une famille finie de vecteurs Soient E un K-ev de dimension finie n 1, et B= ( ε 1,ε 2,...,ε n ) une base de E. On a vu que tout x E s écrit de manière unique : x = coordonnées de x dans la base B. On associe alors à x la matrice colonne : x 1 x 2 x n n x k.ε k, où (x 1,..., x n ) sont les k=1 X = Mat (x)=mat(x,b)= B. M n1(k) Plus généralement, si F = (u 1,...,u p ) est une famille de vecteurs de E, on lui associe la matrice A M np (K) telle que la j -ième colonne de A est égale aux coordonnées du vecteur u j dans la base B : u 1... u j... u p a a 1j... a 1p ε 1 A= Mat(F )=Mat(F,B)=.... B a i 1... a i j... a i p ε i.... a n1... a n j... a np ε n n où on a posé : j 1, p, u j = (a 1j,..., a n j ) B = a k j.ε k k=1 Ò Ø ÓÒ ½ º Matrice d une famille finie de vecteurs La matrice Mat(F )=Mat(F,B) est appelée matrice associée à la famille F dans la base B. B

300 300 CHAPITRE 16. MATRICES Réciproquement : si on fixe un K-ev E de base B = (ε 1,...,ε n ) (donc E de dimension n), alors toute matrice A M np (K) définie une famille de p vecteurs F = (u 1,...,u p ) telle que : A= Mat B (F ) 1 2 Exemple : A= 0 1 donne dans la base canonique de R 3 la famille F = ( (1,0,3);(2,1,0) ). 3 0 Exemple : La même matrice A donne dans la base canonique de R 2 [X ] la famille F = ( X 2 + 3,2X 2 + X ) Matrice d une application linéaire dans des bases Soient E un K-ev de dimension finie p 1, et B= ( e 1,e 2,...,e p ) une base de E. Soient F un K-ev de dimension finie n 1, et C = ( ε 1,ε 2,...,ε n ) une base de F. On a vu que f L (E,F) est entièrement déterminée par la donnée de la famille F = ( f (e1 ),..., f (e p ) ) de vecteurs de F, grâce à la formule suivante : si x = (x 1,..., x p ) B alors f (x)= p x k.f (e k ) Or on vient de voir que la famille F est entièrement déterminée par la donnée de sa matrice A M np (K) dans la base C. Par conséquent l application linéaire f est elle aussi entièrement déterminée par la donnée de la matrice A M np (K). On note donc : f (e 1 )... f (e j )... f (e p ) a a 1j... a 1p ε 1 A= Mat(f )=Mat(f ;B,C )=.... B,C a i 1... a i j... a i p ε i.... a n1... a n j... a np ε n k=1 où on a posé : j 1, p, f (e j )=(a 1j,..., a n j ) C = n a k j.ε k On peut remarquer que Mat(f ;B,C ) = Mat ( f (B);C ). La matrice de gauche est celle d une application linéaire dans des bases, et celle de droite la matrice d une famille de vecteurs dans une base. k=1 Ò Ø ÓÒ ½ º Matrice d une application linéaire dans des bases La matrice Mat(f )=Mat(f ;B,C ) est appelée matrice associée à f dans les bases B et C. B,C

301 16.1. L ESPACE VECTORIEL M NP (K) 301 Réciproquement : si on fixe un K-ev E de base B = (e 1,...,e p ) (donc E de dimension p), un K-ev F de base C = (ε 1,...,ε n ) (donc F de dimension n), alors toute matrice A M np (K) définie une application linéaire f L (E, F) telle que : A= Mat(f ;B,C ) ( ) Exemple : A = donne, dans les bases canoniques de R 3 et R 2, f L ( R 3,R 2) telle que : f (1,0,0) = (1,2) f (0,1,0) = (0,1) f (0,0,1) = (1,1) et d expression analytique : (x, y, z) R 3, f (x, y, z) = x.f (1,0,0)+ y.f (0,1,0)+ z.f (0,0,1) = (x+ z,2x+y+ z). Ò Ø ÓÒ ½ º Application linéaire canoniquement associée Soit A M np (K). On appelle application linéaire canoniquement associée à A, l application f L ( K p,k n) définie par A dans les bases canoniques de K p et K n. Cas des endomorphismes : Soit E un K-ev de dimension finie n 1, et B = ( ε 1,ε 2,...,ε n ) une base de E. On associe à f L (E) la matrice A = Mat(f ;B,B) M n (K), notée plus simplement Mat(f ;B) ou Mat B (f ) : f (ε 1 )... f (ε j )... f (ε n ) a a 1j... a 1n ε 1 A= Mat(f )=Mat(f ;B)=.... B a i 1... a i j... a i n ε i.... a n1... a n j... a nn ε n où on a posé : j 1,n, f (ε j )=(a 1j,..., a n j ) C = n a k j.ε k On a donc Mat(f ;B) = Mat ( f (B);B ). La matrice de gauche est celle d un endomorphisme dans une base, et celle de droite la matrice d une famille de vecteurs dans une base. k=1 Ò Ø ÓÒ ½ º Matrice d un endomorphisme dans une base La matrice Mat(f ) = Mat(f ;B) est appelée matrice carrée associée à l endomorphisme f B dans la base B. Réciproquement : si on fixe un K-ev E de base B = (ε 1,...,ε n ) (donc F de dimension n), alors toute matrice carrée A M n (K) définie un endomorphisme f L (E) tel que : A= Mat(f ;B)

302 302 CHAPITRE 16. MATRICES Exemple : Dans R n [X ] on considère l endomorphisme : ϕ : R n [X ] R n [X ] P P Sa matrice associée dans la base canonique B de R n [X ] est : Mat (ϕ)= B Ò Ø ÓÒ ½ º Endomorphisme canoniquement associé Soit A M n (K). On appelle endomorphisme canoniquement associé à A, l endomorphisme f L ( K n) défini par A dans la base canonique de K n. Cas des formes linéaires : Dans ce cas F = K et on prend comme base de K : C = (1). On remarque que la matrice asociée à une forme linéaire est une matrice ligne. Si B= (ε 1,...,ε n ) est une base de E : Mat B (f )=( f (ε 1 ) f (ε 2 )... f (ε n ) ) Exemple : Dans K n, on considère la forme linéaire : f : K n K n (x 1,..., x n ) x k k=1 Sa matrice associée dans la base canonique B de K n est : Mat (f )=( ) B Matrices associés à un système linéaire On considère le système linéaire : a 11 x 1 + a 12 x a 1j x j a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2j x j a 2p x p = b 2... (S) a i 1 x 1 + a i 2 x a i j x j a i p x p = b i... a n1 x 1 + a n2 x a n j x j a np x p = b n On lui associe la matrice de ses coefficients : a 11 a a 1j... a 1p a 21 a a 2j... a 2p A= ((a i j )) 1 i n =... 1 j p a i 1 a i 2... a i j... a i p M np (K)... a n1 a n2... a n j... a np

303 16.1. L ESPACE VECTORIEL M NP (K) 303 la matrice colonne du second membre : et la matrice colonne des inconnues : b 1 b 2 b n B =. M n1(k) x 1 x 2 x p X =. M p1(k) L espace vectoriel M np (K) On définit l addition de deux matrices. Ò Ø ÓÒ ½ º½¼ Addition dans M np (K) Soient A= ((a i j )) 1 i n M np (K) et B = ((b i j )) 1 i n M np (K). 1 j p 1 j p On définit une matrice notée A+ B = ((c i j )) 1 i n M np (K) par : 1 j p (i, j ) 1,n 1, p, c i j = a i j + b i j On a donc : (i, j ) 1,n 1, p, (A+ B)[i, j ]= A[i, j ]+B[i, j ] Exemple : ( ) ( ) 2 1 = 4 5 ( ) = ( ) On définit ensuite la multiplication d une matrice par un scalaire. Ò Ø ÓÒ ½ º½½ Multiplication par un scalaire d une élément de M np (K) Soient A= ((a i j )) 1 i n M np (K) et λ K. 1 j p On définit une matrice notée λ.a= ((d i j )) 1 i n M np (K) par : 1 j p (i, j ) 1,n 1, p, d i j = λ a i j On a donc : (i, j ) 1,n 1, p, (λ.a)[i, j ]= λ A[i, j ] Exemple : = = Reste à définir l élément neutre pour l addition.

304 304 CHAPITRE 16. MATRICES Ò Ø ÓÒ ½ º½¾ Matrice nulle Dans M np (K), on appelle matrice nulle la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 0. On la note 0 np. Dans M n (K), la matrice 0 nn est notée plus simplement 0 n. Exemple : 0 24 = ( ) et 0 3 = Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Structure d espace vectoriel de M np (K) Les deux opérations précédentes font de M np (K) un K-espace vectoriel dont le vecteur nul est 0 np, ie (λ,µ) K 2, (A,B,C ) ( M np (K) ) 3 : A+ B = B+A ( A+ B ) +C = A+ ( B+C ) 0 np + A= A+ 0 np = A A+ ( 1).A= ( 1).A+ A= 0 np (λ+µ).a= λ.a+ µ.a λ. ( A+ B ) = λ.a+ λ.b λ. ( µ.a ) = (λ µ).a= µ. ( λ.a ) 1.A= A Étudions maintenant la linéarité de la représentation matricielle d un vecteur dans une base. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Linéarité de la représentation matricielle d un vecteur Soit E un K -ev de base B. Alors : (u, v) E 2, Mat(u+ v)=mat (u)+mat(v). B B B (λ,u) K E, Mat (λ.u)=λ.mat(u). B B Autrement dit, si B= (ε 1,...,ε n ), l application : est un isomorphisme. ϕ B : E M n1 (K) u 1 u 2 u= (u 1,...,u n ) B Mat (u)= B. u n En particulier K n muni de sa base canonique est isomorphe à M n1 (K). Pour cette raison on identifie souvent ces deux espaces en considérant que : (u 1,...,u n ) } {{ } K n = u 1 u 2. M n1(k) u n

305 16.1. L ESPACE VECTORIEL M NP (K) 305 En corollaire, nous obtenons la linéarité de la représentation matricielle d une application linéaire dans des bases. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Linéarité de la représentation matricielle d une application linéaire Soit E un K -ev de base B et F un K-ev de base C. Alors : (f, g ) ( L (E,F) ) 2, Mat(f + g ;B,C )=Mat(f ;B,C )+Mat(g ;B,C ). (λ, f ) K L (E,F), Mat(λ.f ;B,C )=λ.mat(f ;B,C ). Autrement dit l application : est un isomorphisme. ϕ B,C : L (E,F) M np (K) f Mat(f ;B,C ) En particulier, si E est de dimension finie n 1, alors L (E,K), qui est l ensemble des formes linéaires sur E, est isomorphe à M n1 (K), qui est l ensemble des matrices lignes à coefficients dans K. De plus, L (E) est isomorphe à M n (K). Ò Ø ÓÒ ½ º½ Matrices élémentaires Soit (i, j ) 1,n 1, p. On note E i j la matrice de M np (K) dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé à l intersection de la ligne i et de la colonne j qui est égal à 1 : colonne j E i j = ligne i { 1 si i = k et j = l On a donc (k,l) 1,n 1, p, E i j [k,l]= 0 sinon Pour deux entiers naturels i et j, on introduit le symbole de Kronecker : δ i j = On a donc E i j [k,l]=δ i k δ j l. { 1 si i = j 0 sinon. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Base canonique de M np (K) La famille (E i j ) 1 i n est une base de M np (K), appelée base canonique de M np (K). 1 j p

306 306 CHAPITRE 16. MATRICES Exemple : Les matrices E 11 = base de M 2 (K). ( ) 1 0, E = ( ) 0 1, E = ( ) 0 0 et E = ( ) 0 0 forment une 0 1 ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½ Dimensions de M np (K) et L (E,F) 1. L espace vectoriel M np (K) est de dimension finie et : dim [ M np (K) ] = n p La dimension est donc égale au nombre de coefficients. 2. Si E et F sont deux K-ev de dimension finie, alors L (E,F) est aussi un K-ev de dimension finie et : dim [ L (E,F) ] = dim(e) dim(f) En particulier : dim [ M n (K) ] = n 2 et dim [ L (E) ] = ( dim(e) ) 2 On peut donner une base de le f. Si B = (e 1,...,e p ) est une base de E et C = (ε 1,...,ε n ) est une base de F, on définit, pour tout (i, j ) 1,n 1, p, l application f i j L (E,F) par : { ei si k = j k 1, p, f i j (e k )= 0 E si k j Alors la famille (f i j ) 1 i n 1 j p est une base de L (E,F). Nous avons introduit précédemment des sev de M np (K). Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Structure de K-ev de T + n (K), T n (K) et D n(k) Les espaces T + n (K), T n (K) et D n(k) sont des sev de M n (K). Ce n est pas au programme mais on peut calculer leur dimension : dim [ T n + (K)] n(n+ 1) =, dim [ Tn 2 (K)] n(n+ 1) = 2 et dim [ D n (K) ] = n En effet ils admettent pour base respective (E i j ) 1 i j n, (E i j ) 1 j i n et (E i i ) 1 i n.

307 16.2. PRODUIT MATRICIEL Produit matriciel Produit d une matrice par un vecteur colonne par : Si A= ((a i j )) 1 i n 1 j p x 1 x 2 x n M np (K) et X =. M p1(k), on définit le produit A X M n1(k) p a 1k x k k=1. p A X = a i k x k ligne i k=1. p a nk x k k=1 ie que pour tout i 1,n : p (AX )[i,1]= a i k x k k=1 Ì ÓÖ Ñ ½ º¾¼ Produit matriciel et image d un vecteur par une application linéaire Soient E un K-ev de base B et de dimension p 1, F un K-ev de base C et de dimension n 1, f L (E,F), x E et y F. On note A= Mat((;B,C )f ) M np (K), X = Mat (x) M p1(k) et Y = Mat (y) M n1(k). Alors : B C y = f (x) Y = A X ÓÖÓÐÐ Ö ½ º¾½ Égalité de deux matrices Soient A et B deux matrices de M np (K). 1. On a : 2. On a : A= B X M p1 (K), A X = B X A= 0 np X M p1 (K), A X = 0 n1 Le théorème précédent indique aussi comment trouver l expression analytique d une application linéaire f L (E,F) Exemple : On note A= M 3 (R) et f l endomorphisme de R 3 canoniquement as

308 308 CHAPITRE 16. MATRICES socié. Pour tout (x, y, z) R 3 : donc f (x, y, z)=(x+ 2y+ z, z, x+ 2y+ z). x x+ 2y+ z A y = z z x+ 2y+ z ( ) Exemple : On note A= M (R) et f L ( R 2 [X ],R 1 [X ] ) l application linéaire associée dans les bases canoniques. Pour tout P = a+ bx + c X 2 R 2 [X ] : a A b = c donc f (a+ bx + c X 2 )=(a b+ c)+( a+ b c)x. ( ) a b+ c a+ b c Ò Ø ÓÒ ½ º¾¾ Noyau et image d une matrice Soit A M np (K). 1. On appelle noyau de A la partie de M p1 (K) suivante : Ker(A)= { X M p1 (K) / AX = 0 p1 } 2. On appelle image de A la partie de M n1 (K) suivante : Im(A)= { AX M n1 (K) / X M n1 (K) } 3. On dit que A est injective lorsque Ker(A)= { O p1 }. 4. On dit que A est surjective lorsque Im(A)=M n1 (K). Notons f L ( K p,k n) l application linéaire canoniquement associée à A. Alors : x 1 (x 1,..., x p ) Ker(f ). x p Ker(A) et donc : f est injective A est injective De plus en identifiant K n et M n1 (K), on peut considérer que Ker(A)=Ker(f ). De même : et donc : y 1 (y 1,..., y n ) Im(f ). y n Im(A) f est surjective A est surjective De plus en identifiant K n et M n1 (K), on peut considérer que Im(A)=Im(f ).

309 16.2. PRODUIT MATRICIEL 309 Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Produit matriciel et système linéaire On considère le système linéaire : (S) a 11 x 1 + a 12 x a 1j x j a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2j x j a 2p x p = b 2... a i 1 x 1 + a i 2 x a i j x j a i p x p = b i... a n1 x 1 + a n2 x a n j x j a np x p = b n et on note A la matrice de ses coefficients, B la matrice colonne du second membre et X la matrice colonne des inconnues. Alors : (x 1,..., x p ) K p est solution de (S) A X = B Cas général : produit de deux matrices Soient n, p et q des entiers naturels non nuls. On définit le produit de A M np (K) par B M pq (K) ainsi : on note C 1,..., C q les matrices colonnes égales aux colonnes de B, la matrice A B M pq (K) est la matrice dont les colonnes sont les matrices colonnes A C 1,..., A C q. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Formule du produit matriciel Soient A= ((a i j )) 1 i n M np (K), B = ((b i j )) 1 i p M pq (K). 1 j p 1 j q On note A B = ((c i j )) 1 i n M nq (K). 1 j q On a alors : p (i, j ) 1,n 1, q, c i j = a i k b k j Autrement dit : (i, j ) 1,n 1, q, (A B)[i, j ]= k=1 p A[i,k] B[k, j ] k=1 ATTENTION! Le produit matriciel ne se fait pas coefficient par coefficient (contrairement à l addition) : (A B)[i, j ] A[i, j ] B[i, j ].

310 310 CHAPITRE 16. MATRICES Démonstration : En effet la j -ième colonne de A B est donnée par : A C q = A p a 1k b k j k=1. p a. = i k b k j ligne i k=1. p a nk b k j b 1j b p j k=1 CQFD ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º¾ Lignes de la matrice A B On note L 1,..., L n les matrices lignes égales aux lignes de A. Alors la i-ième ligne de la matrice A B est égale à L i B. Comment poser le produit matriciel? A= b 11 b b 1j... b 1q b 21 b b 2j... b 2q B = b p1 b p2... b p j... b pq a 11 a a 1p. a 21 a a 2p.... A B =. a i 1 a i a i p c i j ligne i.... a n1 a n a np. colonne j 2 1 Exemple : Pour A= 0 3 et B = 1 0 ( 1 1 ) on a AB = et B A= ( ) ATTENTION : même si les deux produits AB et B A existent (ce qui est rarement le cas), on voit que AB B A en général. Le produit matriciel n est donc pas commutatif. Exemple : Pour A= ( ) on a A 2 = ( ) 0 0 =

311 16.2. PRODUIT MATRICIEL 311 ATTENTION : si AB = 0 nq, on ne peut pas dire que A = 0 np ou B = 0 pq. Le produit matriciel n est pas intègre. Plus généralement l égalité AB = AC ne donne pas B = C. Par contre si A= 0 np ou B = 0 pq, on a bien évidemment AB = 0 nq. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Produit matriciel et composition d applications linéaires Soient E, F, G trois K -ev de base respective B, C et D, ainsi que f L (E,F) et g L (F,G). On a alors : Mat(g f,b,d)=mat(g,b,c ) Mat(f,C,D) Ce théorème justifie la définition choisie pour le produit matriciel : il correspond à la composée des applications linéaires associées aux matrices. On comprend mieux pourquoi le produit matriciel est non commutatif et non intègre : il hérite ces propriétés de la composition des application slinéaires. Définissons maintenant l élément neutre pour le produit matriciel. Ò Ø ÓÒ ½ º¾ Matrice identité On note I n la matrice de M n (K) dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux de la diagonale qui sont égaux à 1 : I n = Autrement dit : (i, j ) 1,n 2, I n [i, j ]=δ i j. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º¾ Lien entre matrice identité et application identité Si E est un K -ev de dimension n 1, alors pour toute base B de E, on a : Mat B (id E)= I n. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Règles de calcul pour le produit matriciel 1. Associativité : Si A M np (K), B M pq (K) et C M qr (K) : A (B C )=(A B) C 2. Distributivité à droite : Si A M np (K) et (B,C ) ( M pq (K) ) 2 : A (B+C )= A B+ A C

312 312 CHAPITRE 16. MATRICES 3. Distributivité à gauche : Si (A,B) ( M np (K) ) 2 et C Mpq (K) : (A+ B) C = A C + B C 4. Lien entre produit matriciel et produit par un scalaire : Si (A,B) ( M np (K) ) 2 et λ K : λ.(a B)= (λ.a) B = A (λ.b) 5. Élément neutre : Si A M np (K) : A I p = I n A= A ATTENTION : rappelons une dernière dois que le produit matriciel est non commutatif et non intègre. Démonstration : Deux choix sont possibles : déduire ces propriétés de celles vues pour les applications linéaires ou écrire les calculs sur les coefficients des matrices. CQFD Produit matriciel et matrices carrées Appliquons les résultats précédents dans le cas n = p : ( M n (K),+,.) est un K-ev de dimension n 2. Á ces deux opérations s ajoute le produit matriciel, qui permet de multiplier deux éléments de M n (K) et qui donne un élément de M n (K) (on parle de produit interne). L élément neutre est la matrice I n : A M n (K), A I n = I n A= A Ce produit est non commutatif et non intègre. On peut remarquer que la matrice I n commute avec toutes les matrices de M n (K). Plus généralement, pour tout λ K, la matrice λ.i n commute aussi avec toutes les matrices car (λ.i n )A= A(λ.I n )=λ.a (on peut aussi démontrer que ce sont les seules matrices carrées qui commutent avec toutes les autres mais c est une autre histoire). λ λ... 0 Les matrices carrées de la forme λ.i n = Diag(λ,...,λ) =. sont appelées λ matrices scalaires. Ò Ø ÓÒ ½ º ¼ Puissances d une matrice carrée Si A M n (K) et p N on définit A p par récurrence : A 0 = I n et A p = A A p 1. Si p 1, on a donc A p = } A A A {{ A}. p fois

313 16.2. PRODUIT MATRICIEL 313 ATTENTION : bien évidemment, on ne peut pas dire que ( A p) [i, j ] = ( A[i, j ] ) p! Par exemple : ( ) 2 ( ) ( ) = ( 1) ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º ½ Règles de calculs des puissances Soient (A,B) ( M n (K) ) 2 et (p, q) N 2. ( 1. A p ) q ( = A q ) p = A pq 2. A p A q = A q A p = A p+q 3. Si A et B commutent : (AB) p )= A p B p ; sinon (AB) p = AB AB AB } {{ } p fois Ì ÓÖ Ñ ½ º ¾ Cas de matrices triangulaires/diagonales Soient (A,B) ( M n (K) ) 2.Soient (A,B) ( Mn (K) ) 2 1. Si (A,B) ( T n + (K)) 2 alors : i 1,n, (AB)[i,i]= A[i,i] B[i,i]. Autrement dit : λ 1 µ 1 λ 1 µ 1 0 λ µ = 0 λ 2 µ λ n µ n λ n µ n et donc p N, i 1,n, ( A p) [i,i]= ( A[i,i] ) p, ie : p N, λ 1 0 λ λ n p λ p 1 p 0 λ 2 = λ p n 2. On a les mêmes résultats avec des matrices triangulaires inférieures. 3. En particulier, si A et B sont deux matrices diagonales telles que A = Diag(λ 1,...,λ n ) et B = Diag(µ 1,...,µ n ), alors : λ µ λ AB = µ λ n µ n λ 1 µ λ 2 µ = λ n µ n µ λ µ = λ = B A µ n λ n

314 314 CHAPITRE 16. MATRICES et pour tout p N : A p = ( Diag(λ 1,...,λ n ) ) p ( p ) = Diag λ 1,...,λp n λ λ λ n p λ p λ p = λ p n On peut aussi retenir que deux matrices diagonales commutent entre elles. Mais attention, en général, une matrice diagonales ne commute pas avec une matrice quelconque. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º Puissances de matrices et d endomorphismes Soient E un K-ev de dimension finie et de base B, et f L (E). On a alors : p N, ( Mat f p ) ( ) p = Mat (f ) B B De même que pour les endomrphismes, on peut établir une formule du binôme. Ì ÓÖ Ñ ½ º Formule du binôme de Newton, version matrice Soient (A,B) ( M n (K) ) 2 tel que A et B commutent, ie AB = B A : n N, (A+ B) n = ( ) n n.a k B n k = (B+ A) n = k k=0 ( ) n n.b k A n k k k=0 ATTENTION : ce résultat est faux si AB B A. Par exemple, on a : (A+ B) 2 = A 2 + AB+ B A+ B 2 A AB+ B Exemple : On pose M = Calculer M n pour tout entier naturel n Matrices carrées inversibles Ò Ø ÓÒ ½ º Matrice inversible Soit A M n (K). On dit que A est inversible (à gauche et à droite) lorsqu il existe B M n (K) telle que : AB = B A=I n

315 16.2. PRODUIT MATRICIEL 315 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º Unicité de l inverse Soit A M n (K) inversible. Alors il y a unicité de la matrice B M n (K) telle que AB = B A=I n. Ò Ø ÓÒ ½ º Inverse d une matrice inversible Soit A M n (K). On appelle inverse de A l unique matrice B M n (K) telle que AB = B A=I n. On la note A 1. ATTENTION : A 1 n existe pas toujours. De plus, il ne faut pas la noter 1 A. Exemple : I n est inversible et I 1 n = I n. Exemple : O n est non inversible. Exemple : A= Exemple : N = ( ) 1 1 est inversible d inverse A 1 = ( ) ( ) 0 1 vérifie N 2 = et n est donc pas inversible. Exemple : Soit A M n (K) telle que A 2 +2A 3I n = 0 n. Montrer que A est inversible et donner A 1 en fonction de A. Notation : On note Gl n (K) l ensemble des matrices carrées inversibles d ordre n. Ì ÓÖ Ñ ½ º Règles de calcul de l inverse Soient A et B deux matrices inversibles de M n (K). 1. A 1 est inversible et ( A 1) 1 = A. 2. AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A Si λ K, λ.a est inversible et (λ.a) 1 = 1 λ.a Pour tout p N, A p est inversible et ( A p) 1 = ( A 1 ) p. ( ATTENTION )! En général la matrice A+B n est plus inversible. Considérer par exemple 1 1 A= et B = A. 1 1 On dit que (Gl n (K), ) a une structure de groupe car : I n est l élément neutre ; Le produit de deux éléments de Gl n (K) est un élément de Gl n (K) ; Les éléments de Gl n (K) ont une inverse pour la loi, et cette inverse est un élément de Gl n (K). Par contre (Gl n (K),+,.) n est pas un K-ev : en effet, il n est pas stable pour l addition. Gl n (K) est appelé groupe linéaire d ordre n sur K.

316 316 CHAPITRE 16. MATRICES Ò Ø ÓÒ ½ º Puissances négatives d une matrice inversible Soit A M n (K) inversible. On pose : Pour tout n N, A n = } A A {{ A} ; n fois pour tout n Z\N, A n = ( A 1) ( A 1) ( A 1) } {{ } n fois ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º ¼ Règles de calcul des puissances négatives Si (n, p) Z 2, on a : ( A n) p = A np = ( A p) n et A n A p = A n+p = A p A n et ( A 1) n = A n. Examinons maintenant le lien avec les applications linéaires. Ì ÓÖ Ñ ½ º ½ Matrices inversibles et isomorphismes/automorphismes 1. Soient E et F deux K-ev de dimension finie, tels que dim(e)=dim(f), et de bases respectives B et C. On a : f est un isomorphisme de E sur F A= Mat(f ;B,C ) est inversible et dans ce cas : A 1 = ( Mat(f ;B,C ) ) 1 = Mat ( f 1 ;C,B ) 2. Soit E un K-ev de dimension finie de base B. On a : f est un automorphisme de E A= Mat(f ) est inversible B et dans ce cas : et : A 1 = ( Mat (f )) 1 ( = Mat f 1 ) B B p Z, ( Mat f p ) ( ) p = Mat (f ) B B Par analogie avec Gl n (K), on note Gl(E) l ensemble des automorphismes de E. On l appelle le groupe linéaire de E. (Gl(E), ) a une structure de groupe d élément neutre id E, mais (Gl(E),+,.) n est pas un K-ev (car non stable pour l addition). ÓÖÓÐÐ Ö ½ º ¾ Familles de vecteurs et matrices inversibles Soient E un K-ev de dimension finie égale à n, et F une famille de n vecteurs de E. Alors : F est une base de E Mat(F ) est une matrice inversible B Ce résultat donne en particulier un moyen simple de montrer qu une matrice est inversible : vérifier que ses colonnes forment une famille libre.

317 16.2. PRODUIT MATRICIEL 317 Exemple : ( ) M (K) est inversible et M n (K) ne l est pas Ì ÓÖ Ñ ½ º Inversibilité à gauche ou à droite d une matrice Soit A M n (K). Alors on a équivalence de : (i) A est inversible ; (ii) A est inversible à gauche ; (iii) A est inversible à droite ; (iv) A est injective : ] X M n1 (K), [AX = 0 n1 = X = 0 n1 (v) A est surjective : Y M n1 (K), X M n1 (K) / Y = AX Autrement dit si A et B sont deux matrices de M n (K) telles que AB = I n, alors A et B sont inversibles, A 1 = B et B 1 = A. Exemple : Soit A M n (K) telle que A 2 +2A 3I n = 0 n. Montrer que A est inversible et donner A 1 en fonction de A. Ì ÓÖ Ñ ½ º Inversibilité et systèmes linéaires Soit A M n (K). Alors : A est inversible B M n (K) / (X,Y ) ( M n1 (K) ) ] 2, [AX = Y X = BY et dans ce cas B = A 1. Application : calcul de l inverse d une matrice par la méthode du système linéaire Soit A M n (K). On cherche à résoudre le système linéaire AX = Y avec (X,Y ) ( M n1 (K) ) 2. On a deux alternatives possibles : Le système n est pas de Cramer (ie il n a pas une unique solution). Dans ce cas A n est pas inversible. Le système est de Cramer. Dans ce cas A est inversible et l unique solution est X = A 1 Y. On peut donc lire sur l écriture des solutions les coefficients de A Exemple : A= est inversible et A 1 =

318 318 CHAPITRE 16. MATRICES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ( ½ º ) Inverse d une matrice carrée d ordre 2 a b Soit A= M c d 2 (K). On appelle déterminant de A le scalaire : det(a)=ad bc On a alors : et dans ce cas : A est inversible det(a) 0 ( ) A 1 1 d b = det(a) c a Démonstration : Si det(a) 0, A 1 det(a) ( d b c a ) = I n. Si det(a)=0 : - si a= b= c = d = 0 alors A= ( 0 2 ) non ( inversible ) ; b 0 - si a 0 ou b 0, alors A = donne A non inversible ; a 0 ( ) ( ) d 0 - si c 0 ou d 0, alors A = donne A non inversible. c 0 ( ) 2 i Exemple : A= donne A 1 = i 1 i 3 ( ) i i. 1 2 CQFD Ì ÓÖ Ñ ½ º Inversibilité d une matrice triangulaire Soit T une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) d oredre n. Alors : T est inversible tous ses coefficients diagonaux sont non nuls i 1,n, T [i,i] 0 Démonstration : On considère l endomorphisme canoniquement associé à T et on se place dans le cas d une matrice triangulaire supérieure. Si un des coefficients diagonaux est nul : T [r,r ]=0 où r est le plus petit indice possible, on vérifie que f (e r ) est CL de f (e 1 ), f (e 2 ),..., f (e r 1 ), car il est CL de e 1,..., e r 1 (utiliser un argument de dimension). CQFD L inverse d une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) est elle-même triangulaire supérieure (resp. inférieure), mais ce résultat n est pas au programme. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Inversibilité d une matrice triangulaire Soit D = Diag(λ 1,...,λ n ) une matrice diagonale d ordre n. Alors : D est inversible tous ses coefficients diagonaux sont non nuls i 1,n, λ i 0

319 16.2. PRODUIT MATRICIEL 319 Dans ce cas : ( 1 D 1 = Diag,..., λ 1 1 λ n 1 λ ) = λ λ 1 Comment montrer qu une matrice est inversible? On vient de voir plusieurs méthodes : avec calcul de l inverse : - s aider d un polynôme annulateur pour montrer qu elle est inversible à gauche ou à droite ; - méthode du système linéaire ; sans calcul de l inverse : - montrer que ses sont colonnes libres ; - montrer que A est injective ; - remarquer qu elle est triangulaire et regarder si ses coefficients diagonaux sont nuls. Et on va encore en voir d autres! Méthode du miroir Ò Ø ÓÒ ½ º Matrices de transvection, dilatation, permutation 1. On appelle matrice de transvection, toute matrice de la forme : T i j (λ)= I n + λ.e i j où λ K et (i, j ) 1,n 2 avec i j 2. On appelle matrice de dilatation, toute matrice de la forme : D i (λ)= I n + (λ 1).E i i où λ K et i 1,n 3. On appelle matrice de permutation, toute matrice de la forme : P i j = I n (E i i + E j j )+E i j + E j i où (i, j ) 1,n 2 avec i j ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º Inversibilité des matrices de transvection, dilatation, permutation 1. Une matrice de transvection est inversible et ( T i j (λ) ) 1 = Ti j ( λ). 2. Une matrice de dilatation est inversible et ( D i (λ) ) 1 = Di ( 1 λ). 3. Une matrice de permutation est inversible et P 1 i j = P i j.

320 320 CHAPITRE 16. MATRICES Ì ÓÖ Ñ ½ º ¼ Interprétation des opérations élémentaires Soit A M n (K). On note L 1,..., L n ses lignes et C 1,..., C n ses colonnes. 1. Le produit T i j (λ) A revient à effectuer sur A : L i L i + λ.l j. Le produit A T i j (λ) revient à effectuer sur A : C i C i + λ.c j. 2. Le produit D i (λ) A revient à effectuer sur A : L i λ.l i. Le produit A D i (λ) revient à effectuer sur A : C i λ.c i. 3. Le produit P i j A revient à effectuer sur A : L i L j. Le produit A P i j revient à effectuer sur A : C i C j. Méthode du miroir : Par analogie avec le pivot de Gauss, on peut transformer A en une matrice triangulaire supérieure. Si il y a un zéro sur la diagonale, la matrice A n est pas inversible. Si il n y a que des coefficients non nuls, la a matrice A est inversible. On transforme ensuite A en une matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur sa diagonale, puis en effectuant l algorithme du pivot de Gauss «à l envers», on transforme A en la matrice I n. Si on effectue ces mêmes opérations en partant de la matrice I n, celle-ci se transforme en la matrice A 1. En effet A devient PA=I n où P est une matrice inversible : P est produit de matrices de transvection/dilatation/permutation. Dans le «miroir», I n devient PI n = P. Mais puisque PA=I n, on a en fait P = A 1, et donc I n est devenu A Exemple : Retour sur l inversibilité de A = Rang d une matrice Premières propriétés Ò Ø ÓÒ ½ º ½ Rang d une matrice Si A M np (K), on note F la famille de p vecteurs définie par les colonnes de A dans la base canonique de K n. On appelle alors rang de A, l entier naturel défini par : rg(a)=rg(f ) Exemple : rg =

321 16.3. RANG D UNE MATRICE 321 Ì ÓÖ Ñ ½ º ¾ Règles de calcul du rang Soit A M np (K). 1. rg(a) min(n, p). 2. Si B M pq (K) : rg(ab) min ( rg(a),rg(b) ). Si B M n (K) est inversible : rg(b A)=rg(A). Si C M p (K) est inversible : rg(ac )=rg(a). 3. Les opérations élémentaires ne modifient pas le rang de la matrice Ì ÓÖ Ñ ½ º Lien avec les autres notions de rang 1. Si F est une famille de p vecteurs de E, K-ev de dimension f inie, et si A est la matrice de F dans une certaine base B de E, alors : rg(f )=rg(a) 2. Si f L (E, F) avec E et F deux K-ev de dimension finie, et si A est la matrice de f dans des base B et C de E et de F, alors : rg(f )=rg(a) 3. Si (S) est un système linéaire, et si A est la matrice de ses coefficients, alors : rg(s) = rg(a) Démonstration : 1. On pose n= dim(e) et on considère l isomorphisme On note aussi F = (u 1,...,u p ). Alors : ϕ : E M n1 (K) x Mat B rg(f )=rg(u 1,...,u p )=rg ( ϕ(u 1 ),...,ϕ(u p ) ) = rg(a) où la seconde égalité vient du fait que ϕ est linéaire injective. 2. Par définition rg(f )=rg ( f (B) ), et d après le résultat précédent rg ( f (B) ) = rg(a). 3. Voir le paragraphe suivant. CQFD Ì ÓÖ Ñ ½ º Rang et inversibilité Soit A M n (K). Alors : A est inversible rg(a)=n

322 322 CHAPITRE 16. MATRICES Rang et algorithme du pivot de Gauss Ò Ø ÓÒ ½ º Matrice échelonnée en ligne Soit A M np (K). On dit qu elle est échelonnée en ligne lorsque : (i) si une ligne est nulle, alors toutes les suivantes sont nulles ; (ii) si le premier terme non nul de la ligne i est en position j, soit la (i+1) ième est nulle, soit le premier terme non nul de la (i + 1) ième ligne est en position k avec k > j. Autrement dit : d une ligne à l autre il y a au moins une inconnue en moins «sur la gauche» Exemple : est échelonnée en ligne, mais ne l est pas Ò Ø ÓÒ ½ º Matrice sous forme réduite de Gauss Soit A M np (K). On dit qu elle est sous forme réduite de Gauss lorsque : (i) si une ligne est nulle, alors toutes les suivantes sont nulles ; (ii) le premier terme non nul de la ligne i est en position i (ie sur la diagonale). Autrement dit : d une ligne à l autre il y a exactement une inconnue en moins «sur la gauche». L algorithme du pivot de Gauss effectué sur les lignes d une matrice la transforme en une matrice sous forme réduite de Gauss. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º Lien entre matrice sous forme réduite de Gauss et matrice échelonnée en ligne Une matrice sous forme réduite de Gauss et matrice échelonnée en ligne. La réciproque est fausse Exemple : est sous forme réduite de Gauss donc échelonnée en ligne, et est échelonnée en ligne mais non sous forme réduite de Gauss Ì ÓÖ Ñ ½ º Rang d une matrice échelonnée en ligne Si A M np (K) est échelonnée en ligne, alors rg(a) est égale au nombre de lignes non nulles Exemple : rg =

323 16.4. TRANSPOSITION 323 Calcul pratique du rang : Si on ne trouve pas de relations entre les colonnes qui simplifient les calculs, on utilise l algorithme du pivot de Gauss pour transformer A en une matrice sous forme réduite de Gauss (ou échelonnée en ligne). On déduit alors son rang, puisque les opérations élémentaires laissent invariant le rang d une matrice Exemple : rg = Transposition Premières propriétés Ò Ø ÓÒ ½ º Transposée d une matrice Soit A = ((a i j )) 1 i n M np (K). On appelle transposée de A, la matrice B = ((b i j )) 1 i p 1 j p 1 j n M pn (K) définie par : (i, j ) 1, p 1,n, b i j = a j i Cette matrice B est notée t A. Autrement dit : (i, j ) 1, p 1,n, ( t A ) [i, j ]= A[j,i] Exemple : t 1 3 ( ) =. Les colonnes deviennent les lignes, et réciproquement Ì ÓÖ Ñ ½ º ¼ Règles de calcul de la transposée Soient (A,B) ( M np (K) ) 2 et λ K. 1. t (A+ B)= t A+ t B et t (λ.a)=λ. t A Autrement dit l application est linéaire. ϕ : M np (K) M pn (K) A t a 2. t (t a ) = A donc ϕ est un isomorphisme de ϕ 1 = ϕ. 3. t (A B)= t B t A et donc q N, t( A q) = (t A ) q. 4. A est inversible si, et seulement si, t A l est. Dans ce cas t( A 1) = (t A ) 1. Donc q Z, t( A q) = (t A ) q. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º ½ Transposée de matrices triangulaires Si A t+ n (K) alors t A t n (K). De même, si A t n (K) alors t A t+ n (K).

324 324 CHAPITRE 16. MATRICES Matrices symétriques et antisymétriques Ò Ø ÓÒ ½ º ¾ Matrices symétriques/antisymétriques Soit M M n (K). 1. On dit que M est symétrique lorsque t M = M, ie lorsque : (i, j ) 1,n 2, M[i, j ]=M[j,i] 2. On dit que M est antisymétrique lorsque t M = M, ie lorsque : (i, j ) 1,n 2, M[i, j ]= M[j,i] Si M est antisymétrique, on a : i 1,n, M[i,i]= 0. Donc une matrice antisymétrique a tous ses coefficients diagonaux égaux à 0. Exemple : I n est symétrique. 0 n est à la fois symétrique et antisymétrique. a b c Exemple : Une matrice symétrique d ordre 3 est de la forme b d e et une matrice antisymétrique c e f 0 a b d ordre 3 est de la forme a 0 c. b c 0 Notations : on note S n (K) l ensemble des matrices symétriques d ordre n, et A n (K) l ensemble des matrices carrées antisymétriques d ordre n. Ì ÓÖ Ñ ½ º Structure de K-ev de S n (K) et A n (K). S n (K) et A n (K) sont des sev de M n (K). Exemple : Soient A et B symétriques. Alors A et B commutent si, et seulement si, AB est symétrique. ATTENTION! En général, le produit de deux matrices symétriques n est plus symétrique Considérer par exemple A = et B = qui donnent AB = Exemple : ARCHI-CLASSIQUE!! M n (K)=S n (K) A n (K) Rang de la transposée Ì ÓÖ Ñ ½ º Rang de la transposée Si A M np (K), rg (t A ) = rg(a).

325 16.4. TRANSPOSITION 325 Application à la méthode du miroir : On peut effectuer le pivot de Gauss sur les colonnes de A pour calculer son rang. On dira qu une matrice A est échelonnée en colonnes, si t A est échelonnée en linges. La rang d une matrice échelonnée en colonnes est égal au nombre de colonnes non nulles Exemple : rg = Application à la méthode du miroir : La méthode du miroir peut elle aussi être effectuée à partir de colonnes de A et donne A 1. En effet, en transposant, cela revient à faire la méthode du miroir sur t A, qui donne le calcul de l inverse de t A, puis en retransposant on a bien obtenu le calcul de l inverse de A.

326 326 CHAPITRE 16. MATRICES 16.5 Exercices Représentations matricielles Ü Ö ½ º½ Donner la matrice relativement aux base canoniques, pour les applications linéaires suivantes : 1. f : R 2 [X ] P X 3 P R 4 [X ] 2. f : P R 3 [X ] ( P(0),P (0),P (0) ) R 3 3. f L (R 2,R 3 ) tq f (1,2)=(0,5,8), f (2,3)=(5,0,1) Ü Ö ½ º¾ On note f l endomorphisme de R 3 défini par sa matrice dans la base canonique : A= On pose u 1 = (1, 1,1), u 2 = (1,0,0) et u 3 = (0, 1,2). Montrer que B = (u 1,u 2,u 3 ) est une base de R 3 et donner la matrice de f dans cette base. Que remarquez-vous? On note g l endomorphisme de R 3 défini par sa matrice dans la base canonique : A= On pose v 1 = (1,0,1), v 2 = (0,1, 1) et v 3 = (1, 1,1). Montrer que B = (v 1, v 2, v 3 ) est une base de R 3 et donner la matrice de g dans cette base. Que remarquez-vous? 1. Ü Ö ½ º 1. Montrer que B= ( 1, X 1,(X 1) 2) est une base de R 2 [X ]. 2. On considère l application f : R 2 [X ] R 2 [X ] définie par f (P) = 2(X + 1)P (X 2 2X+1)P. Montrer que f est un endomorphisme de R 2 [X ], et déterminer la matrice de f dans cette base. Ü Ö ½ º Dans chacun des cas suivants on définit une application linéaire de R p dans R n par sa matrice relativement aux bases canoniques. Déterminer r g (f ) ainsi qu une base de Ker(f ) et Im(f ). A= Produit matriciel B = C = D = Ü Ö ½ º Calculer les produits de matrices suivants : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cosα sinα cosβ sinβ sinα cosα sinβ cosβ ( ) ( ) ( ) ( ) cosα sinα cosβ sinβ sinα cosα sinβ cosβ

327 16.5. EXERCICES 327 Ü Ö ½ º Inverser les matrices suivantes : A= B = C = Ü Ö ½ º ÈÓÐÝÒÑ ÒÒÙÐ Ø ÙÖ Ø ÒÚ Ö Ð Ø µ Soit A= A 2I 2 = 0 2, puis en déduire que A est inversible et calculer A 1. ( ) Vérifer que A Ü Ö ½ º ÐÙÐ ÔÙ Ò Ô Ö ÓÒ ØÙÖ µ Déterminer A n en fonction de n N dans les cas suivants : ( ) ( ) A= ; A= ; A= ; A= Ü Ö ½ º ÐÙÐ ÔÙ Ò Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò µ On pose A= Démontrer qu il existe deux suites (a n ) n N et (b n ) n N à valeurs réelles telles que : n N, A n = a n b n b n b n a n b n. En déduire l expression de A n, pour tout n N. b n b n a n Ü Ö ½ º½¼ ÐÙÐ ÔÙ Ò Ú ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ÒÒÙÐ Ø ÙÖµ On pose A= Donner une relation entre A 3, A 2 et A. 2. Méthode 1 : Montrer qu il existe deux suites (a n ) n N et (b n ) n N à valeurs réelles telles que : n N, A n = a n A+ b n A 2. En déduire l expression de A n, pour tout n N. 3. Méthode 2 : Déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X 3 2X En déduire l expression de A n, pour tout n N. Ü Ö ½ º½½ ÐÙÐ ÔÙ Ò Ú Ð ÓÖÑÙÐ Ù ÒÑ Ñ ØÖ ÐÐ µ a Pour a R, on pose A= 0 a 0, N = et B = A+N. Vérifier que AN = 0 0 a N A et N 3 = 0, puis calculer B n pour tout n On pose A= et J = Ü Ö ½ º½¾ Soit A= Calculer J n puis A n pour tout n N.

328 328 CHAPITRE 16. MATRICES 1. Calculer (A+I 3 )(A 2I 3 ). En déduire l existence et le calcul de A Soient B = 1 3 (A+I 3) et C = 1 3 (A 2I 3). Déterminer B n et C n pour tout n N. 3. En déduire l expression de A n en fonction de n N. 4. Cette expression est-elle valable pour n Z? Propriétés algébriques de M n,p (K) / a b c Ü Ö ½ º½ On pose : E= M M 3(R) M = c a b où (a,b,c) R 3. b c a 1. Vérifier que E est un sous-espace vectoriel de M 3 (R) et déterminer sa dimension. 2. Montrer que le produit de deux éléments E est aussi élément de E. Ü Ö ½ º½ Soit T T n + (K) une matrice triangulaire supérieure inversible. On considère l application φ définie par : φ : T n + (K) M n(k) M T M 1. Montrer que φ est un automorphisme de T + n (K). 2. En déduire que T 1 est triangulaire supérieure. Ü Ö ½ º½ Soit A= ((a i j )) 1 i,j n M n (K). On appelle trace de A, notée Tr(A), la somme n de ses coefficients diagonaux : Tr(A)= a i i. i=1 1. Montrer que Tr est une forme linéaire sur M n (K). 2. Montrer que : (A,B) M n (K) 2, Tr (AB)=Tr (B A) En déduire que A M n (K), P G l n (K), Tr (PAP 1 )=Tr (A). 3. Peut-on trouver deux matrices A et B de M n (K) tels que AB B A=I n? Ü Ö ½ º½ 1. Soit A M n (K) une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts. Montrer que, si M M n (K) alors : A et M commutent si et seulement si M est diagonale. 2. Montrer que les seules matrices de M n (K) qui commutent avec toutes les autres sont les matrices scalaires, c est-à-dire les matrices de la forme λi n, avec λ K.

329 Chapitre 17 Variables aléatoires discrètes On considère une expérience aléatoire modélisée par un triplet (Ω,F,P) Variables aléatoires discrètes Définitions Variables aléatoires discrètes finies On suppose que l univers Ω est fini. On a donc Ω={ω 1,...,ω N } avec N = Card(Ω), et on choisit comme tribu des évènements F = P (Ω). Ò Ø ÓÒ ½ º½ Variable aléatoire discrète finie On appelle variable aléatoire réelle discrète finie, en abrégé VARD finie, toute application X : Ω R. L ensemble X (Ω)= { X (ω 1 ),..., X (ω n ) } est l ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X. Notations : L ensemble X (Ω) est un ensemble fini de cardinal inférieur ou égal N = Card(Ω) : Card ( X (Ω) ) Card(Ω) On note n= Card ( X (Ω) ) et X (Ω)={x 1, x 2,..., x n } avec x 1 < x 2 < <x n. Exemple : On lance deux dès cubiques distinguables : Ω= 1,6 2 et N = Card(Ω)=36. On note X = Nombre de 6 obtenus. Alors X est une VARDF et X (Ω)= {0,1,2} et n= Card ( X (Ω) ) = 3. ATTENTION : ne pas confondre variable aléatoire et évènement. Une variable aléatoire est un nombre aléatoire, et un évènement est un prédicat aléatoire, c est-à-dire une phrase qui peut être vraie ou fausse. Sur l exemple précédent, on ne peut pas dire que «Nombre de 6 obtenus» est vrai ou faux, X n est donc pas un évènement. Exemple : On considère une urne de 10 boules, composée de 6 boules blanches et 4 rouges. On effectue p tirages successifs d une boule avec remise : Ω= 1,10 p (les boules sont numérotées) et N = Card(Ω)=10 p. 329

330 330 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES On note X = Nombre de boules rouges obtenues. Alors X est une VARDF et X (Ω)= 0, p et n= Card ( X (Ω) ) = p Variables aléatoires discrètes infinies On suppose que l univers Ω est infini. On rappelle que la tribu des évènements F vérfie : F P (Ω). Ò Ø ÓÒ ½ º¾ Variable aléatoire discrète infinie On appelle variable aléatoire réelle toute application X : Ω R {+ } telle que : I intervalle de R, X 1 (I ) F On appelle variable aléatoire réelle discrète infinie, en abrégé VARD infinie, toute variable aléatoire réelle X telle que l ensemble X (Ω) est dénombrable (ie en bijection avec N). En pratique, on admettra toujours que X est une variable aléatoire réelle. Notations : L ensemble X (Ω) est noté X (Ω) = {x n /n N} ou X = {x n /n N}, où la suite de réels (x n ) n N est strictement croissante. Exemple : On lance une infinité de fois une pièce : Ω={0;1} N. On note X = Rang d apparition du premier pile. Alors X est une VARDI et X (Ω)=N {+ } (on dit que X = + lorsqu on obtient toujours des Faces depuis le premier lancer). Sans préciser si elle est finie ou infinie, on parlera de variable aléatoire discrète (VARD en abrégé) Évènements associés à une VARD Notation : Si X est une VARD et A une partie de R {+ }, on admettra que : X 1 (A)= { ω Ω / X (ω) A } est un élément de F, ie que X 1 (A) est un évènement. Cet évènement sera noté plus simplement [X A]. On a donc : [X A]= { ω Ω / X (ω) A } Cas particuliers : Si A= {a} où a R {+ }, alors [X {a}] est noté plus simplement [X = a]. Si A=], a] où a R {+ }, alors [ X ], a] ] est noté plus simplement [X a]. Si A= [a,b[ où (a,b) ( R {+ } ) 2, alors [ X [a,b[ ] est noté plus simplement [a X < b] etc... Notation : Si X est une VARD et A une partie de R {+ }, alors [X A] est un évènement, et on peut donc calculer P ( [X A] ). Pour simplifier la notations on notera P(X A)=P ( [X A] ).

331 17.1. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 331 Exemple : On lance simultanément deux dès distinguables : Ω= 1,6 2, F = P (Ω). On pose X = Somme des deux chiffres obtenus. On a alors X (Ω)= 2,12 et on peut considérer les évènements : [X = 11]= { (6,5);(5,6) } donc P(X = 11)= 2 36 [X > 10]= { (6,5);(5,6);(6,6) } = [X = 11] [X = 12] donc P(X > 10)= 3 36 [X 1]= évènement impossible, donc P(X 1)=0 [X 12]=Ω=[X 0] évènement certain, donc P(X 0)=1 On peut comparer les évènements associés à X. Par exemple [X 5] [X 7] donc P(X 5) P(X 7) : en effet ω Ω, X (ω) 5= X (ω) 7. De plus [X 4]=[X > 3], donc P(X 4)=P(X > 3), car : ω Ω, X (ω) 4 X (ω)>3. De même [X = 3]=[X 3] [X < 4] donc P(X = 3)=P ( [X 3] [X < 4] ). Il faut bien comprendre que tous ces résultats viennent du fait que X ne prend que des valeurs entières. Ì ÓÖ Ñ ½ º Système complet d évènements associés à une VARD Si X est une VARD alors la famille ( [X = x] ) x X (Ω) est un s.c.e.. Autrement dit, si X (Ω)={x 1,..., x n }, alors la famille ( [X = x k ] ) 1 k n est un s.c.e.. ATTENTION! Si A est une partie de R {+ }, [X A] est un évènement, ie un élément de F, et on peut donc calculer P(X A). Par contre P(X ) ne veut absolument rien dire...en effet X n est pas un évènement mais une variable aléatoire Loi de probabilité d une VARD Ò Ø ÓÒ ½ º Loi de probabilité d une VARD Si X est une VARD sur (Ω, F, P), on appelle loi de probabilité de X l application La loi de probabilité L X est aussi notée P X. L X X (Ω) [0,1] x P(X = x) Cas d une VARD finie : X (Ω)={x 1,..., x n }. Déterminer la loi de X c est calculer P(X = x k ), pour tout k 1,n. Pour de petites valeurs de n, on peut représenter les résultats sous forme d un tableau à une entrée : ou d un diagramme en bâtons. x x 1 x x n P(X = x)??? Cas d une VARD infinie : X (Ω)={x n /n N} ou X (Ω)={x n /n N} {+ }. Déterminer la loi de X c est calculer P(X = x n ), pour tout n N. ATTENTION! Avant de déterminer la loi de X, il est donc indispensable de déterminer X (Ω), c est-à-dire les valeurs prises par la VARD X.

332 332 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Ò Ø ÓÒ ½ º Égalité en loi Si X et Y sont deux VARD, définies chacune sur un espace probabilisé, on dit que X et Y sont égales en loi lorsque L X = L Y. On le note X = L = Y. ATTENTION : X = L = Y ne signifie pas que X = Y, même si X et Y sont définies sur le même espace probabilisé (ie associée à la même expérience aléatoire). Considérer par exemple le lancer d un dé, X = 1 si le chiffre obtenu est pair et 0 sinon, et Y = 1 si le chiffre obtenu est impair et 0 sinon. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º Propriétés élémentaires d une loi de probabilité Soit X une VARD. On a alors : (i) x X (Ω), P(X = x) [0,1] ; (ii) P(X = x)=1. x X (Ω) Donc si X est une VARD finie telle que X (Ω)={x 1,..., x n } alors : n P(X = x k )=1 k=1 Dans le tableau représentant la loi de X, la somme des cases de la seconde linge doit donc être égale à 1. Si X est une VARD infinie telle que X (Ω)={x n /n N} alors : et donc lim P(X = x n)=0. n + + n=0 P(X = x n )=1 Exemple : On lance deux dés distinguables et on note X = Sommes des deux chifres obtenus. Alors X (Ω)= 2,12 et la loi de probabilité de X est : k P(X = k) On obtient le diagramme en bâtons :

333 17.1. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 333 Exemple : On lance une infinité de fois une pièce et on note X = Rang du lancer où on obtient le premier Pile. Alors X (Ω)=N {+ } et : k N, ( ) 1 k 1 P(X = k)= = 1 2 k et P(X =+ )=0 Sur cet exemple on peut considérer, par abus de notation, que X (Ω)=N. ATTENTION : P(X =+ )=0 ne signifie pas que [X =+ ]=, mais seulement que cet évènement est P-négligeable! On obtient le diagramme en bâtons : Ì ÓÖ Ñ ½ º Construction d une VARD ayant une loi de probabilité donnée 1. Cas d une VARD finie. On se donne des réels p 1,..., p n, vérifiant : k 1,n, p k 0 ; n p k = 1. k=1 Alors pour tous réels deux à deux distincts x 1,..., x n, il existe une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω, P (Ω), P) telle que : X (Ω)={x 1,..., x n } et k 1,n, p k = P(X = x k ). Et donc pour tout k 1,n, p k [0,1]. 2. Cas d une VARD infinie. On se donne une suite de réels (p n ) n N vérifiant : n N, p n 0 ; + p n = 1. n=0 Alors pour toute suite de réels strictement croissante (x n ) n N, il existe une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω,F,P) telle que : X (Ω)={x n /n N} et n N, p n = P(X = x n ). Et donc pour tout n N, p n [0,1]. Il n y a unicité, ni de (Ω,F,P), ni de la VARD X. Exemple : Il existe une VARD X à valeurs dans N et de loi donnée par : k N, P(X = k)= 3 4 k

334 334 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES L expérience a-t-elle une fin? Dans certaines situations, on note X = Nombre de répétitions d une expérience aléatoire jusqu à obtenir une certaine condition. On alors X (Ω) N {+ }, l évènement [X = + ] correspondant au cas où la condition souhaitée n est jamais vérifiée. On cherche alors à calculer : P(X =+ ) qui correspond à la probabilité qu on répète indéfiniment l expérience ; P(X < + ) qui correspond à la probabilité qu on ne répète l expérience qu un nombre fini de fois. Ces deux quantités étant reliés par la formule : P(X <+ )+P(X =+ )=1 Ò Ø ÓÒ ½ º Expérience ne se répétant qu un nombre fini de fois presque sûrement On dit que l expérience ne se répète presque sûrement qu un nombre fini de fois, ou que l expérience s arrête presque sûrement au bout d un nombre fin de tours, lorsque : P(X <+ )=1 ou de manière équivalent P(X =+ )=0. On dispose de deux méthodes pour déterminer ces quantités. Commençons par éliminer ce qu il ne faut pas faire! ATTENTION : on ne peut pas dire que lim P(X = n) = P(X = + )! En effet on a n + toujours lim P(X = n)=0 puisque la série P(X = n) converge... n + n 0 Première méthode : utiliser la loi de X et la σ-additivité de P. On suppose qu on a calculé P(X = n) pour tout n N. On remarque alors que : [X <+ ]= + n=0 [X = n] et comme les évènements situés dans l union sont deux à deux incompatibles : ATTENTION : dans l union P(X <+ )= + n=0 + n=0 P(X = k) (1) [X = n] figurent tous les évènements [X = n] pour n N, mais ne figure pas l évènement [X =+ ]. On a pourtant l impression que l indice n peut prendre la valeur+, mais ce n est pas le cas... Une autre façon de le voir est de partir du fait que la famille ( [X = n] ) n N {+ } s.c.e., ce qui donne : et donc : + n=0 P(X = n)+p(x =+ )=1 + P(X =+ )=1 P(X = n) (2) n=0 Les deux formules sont les mêmes puisque P(X < + ) + P(X = + ) = 1. est un

335 17.1. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 335 Exemple : Deux joueurs A et B jouent à Pile ou Face. Le joueur A gagne si le premier Pile survient à un lancer de rang pair, et le joueur B gagne si le premier Pile survient à un lancer de rang impair. Par exemple pour les lancer «FFP» c est le joueur B qui gagne, et pour les lancer «FFFFFP» c est le joueur A qui gagne. Ce jeu se termine presque sûrement en un nombre fini de tours. Deuxième méthode : utiliser le théorème de continuité monotone. On suppose qu on a calculé P(X n) pour tout n N. On remarque alors que la suite d évènements ( [X n] ) n N est croissante pour l inclusion et donc, d après le théorème de continuité monotone : or + n=0 [X n]=[x <+ ] donc : ( + ) P [X n] = lim P(X n) n + n=0 P (X <+ )= lim P(X n) (3) n + Une formule semblable est obtenue en remarquant alors que la suite d évènements ( [X n] ) n N est décroissante pour l inclusion et donc, d après le théorème de continuité monotone : ( + ) P [X n] = lim P(X n) n + n=0 or + n=0 [X n]=[x =+ ] donc : P (X =+ )= lim P(X n) (4) n + En fait les formule (1), (2), (3) et (4) sont les mêmes, mais nous ne rentrons pas dans le détail par souci de concision... Exemple : On considère une urne de N boules, composée d une boule noire et de N 1 blanches. On effectue des tirages successifs d une boule avec remise. On arrête les tirages dès qu on a obtenu une boule noire. Cette expérience se termine presque sûrement en un nombre fini de tours. Lorsque P(X <+ )=0, on considèrera que X (Ω) R. Exemple : Nous allons construire un exemple d expérience qui peut durer indéfiniment avec une probabilité strictement positive. On considère une urne contenant initialement une seule boule, celle-ci étant de couleur noire. On ajoute ensuite une boule blanche, et on tire une boule. Si elle est noire on arrête, sinon on continue selon le processus suivant : avant le k-ième tirage, on remet la boule blanche tirée dans l urne, on ajoute encore k boules blanches supplémentaires, et on tire alors une nouvelle boule. Les tirages ne s arrêtent que lorsqu on a obtenu une boule noire. On note X le nombre de tirages effectués. On a X (Ω)=N {+ }. k(k+ 1) Au moment d effectuer le k-ième tirage, l urne contient S k = k = boules 2 blanches ; cette formule étant aussi vraie pour k = 1.

336 336 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES n 1 S k On a donc P(X n)= k=1 S k + 1. [ + ( )] 2 Et donc P(X =+ )=exp ln 1 n=1 n 2. + n+ 2 On a P(X =+ )>0 puisque la série ( ) 2 ln 1 n 1 n 2 est convergente. + n Fonction de répartition d une VARD Ò Ø ÓÒ ½ º Fonction de répartition d une VARD Soit X une VARD telle que X < + P-presque sûrement. On appelle fonction de répartition de X la fonction F X R [0,1] t P(X t) Ì ÓÖ Ñ ½ º½¼ Propriétés d une fonction de répartition 1. F X est croissante sur R. 2. On a lim F X (t)=0 et lim F X (t)=1. t t + 3. F X est continue à droite en tout point de R. 4. On a t R, P(X > t)=1 F X (t) et (a,b) R 2, a< b = P(a<X b)=f X (b) F X (a). Démonstration : 1. Si t 1 t 2, alors [X t 1 ] [X t 2 ]. 2. Les limites existent car F X croissante. Pour le calcul, on considère les suites d évènements ( [X n] ) n N et ( [X n] ) n N. 3. Pour t 0 R, F X (t + 0 )= lim x t + 0 F X (x) existe car F X croissante. ([ Pour le calcul, on considère la suite d évènement 4. Remarquer que [a<x b]=[x b]\[x < a]. X t n ]). n N CQFD Ì ÓÖ Ñ ½ º½½ Loi d une VARD et point de discontinuité de sa fonction de répartition Pour tout t 0 R, on a : F X (t0 )= lim F x t0 X (x)=p(x < t 0 )=F X (t 0 ) P(X = t 0 ). Et donc : F x est continue en t 0 P(X = t 0 )=0 En particulier si t 0 X (Ω), alors F X est continue en t 0. Les points de discontinuité de F x sont donc inclus dans X (Ω).

337 17.1. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 337 En supprimant de X (Ω) les valeurs prises avec probabilité 0, on peut même considérer que X (Ω) est exactement égal à l ensemble des points de discontinuité de F X. ([ Démonstration : On considère la suite d évènement X t 0 1 ]). n n N CQFD ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½¾ La fonction de répartition caractérise la loi 1. Si X est une VARD telle que P(X <+ )=1, alors X (Ω) = ensemble des points de discontinuité de F X et : t X (Ω), P(X = t)=f X (t) F x (t )= saut de discontinuité de F X au point t 2. Si X et Y sont deux VARD telles que P(X <+ )=P(Y <+ )=1, alors : t R, F X (t)=f Y (t) X (L ) = Y Ce résultat est fondamental : il indique que pour définir la loi d une VARD il suffit de donner sa fonction de répartition. Exemple : On définit F : R R par son graphe : 1 ( ) 0, 1 2 ( ) ( ) 1, 3 2, (3,1) Cette fonction définie la loi d une VARD X, définie sur un espace probabilisé (Ω,F,P), telle que X (Ω)={0,1,2,3} et : k P(X = k)

338 338 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Calcul de la fonction de répartition d une VARD La fonction de répartition d une VARD X est constante par morceaux. 1. Cas d une VARD finie : X (Ω)={x 1,..., x n } avec x 1 < x 2 < <x n. Alors : t R, F x (t)= k 1,n tq x k t P(X = x k )= 0 si t < x 1 P(X = x 1 ) si x 1 t < x 2 P(X = x 1 )+P(X = x 2 ) si x 2 t < x 3 P(X = x 1 )+P(X = x 2 )+P(X = x 3 ) si x 3 t < x 4.. P(X = x 1 )+ + P(X = x n 1 ) si x n 1 t < x n 1 si x n t 2. Cas d une VARD infinie : X (Ω)={x n /n N} avec (x n ) n N strictement croissante. Alors : t R, F x (t)= P(X = x k )= k N tq x k t 0 si t < x 0. k P(X = x i ) i=0.. si x k t < x k+1 pour un k N. On peut retenir que [X x k ]= F x (x k )=P(X x k )= k [X = x i ] et donc : i=1 k P(X = x i )=P(X = x 1 )+P(X = x 2 )+ + P(X = x k ) i=1 et plus simplement, si X (Ω) N, alors pour tout k N on a [X k]= F X (k)=p(x k)= Transfert de loi k [X = i] et donc : i=0 k P(X = i)=p(x = 0)+P(X = 1)+ +P(X = k) i=0 Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. On considère une VARD X : Ω R {+ } et une fonction f : R {+ } R {+ } telle que X (Ω) D f. On a alors le schéma de composition : f R {+ } f X Ω D f X On admettra que l application Y = f X est aussi une VARD sur (Ω,F,P). On la note plus simplement Y = f (X ).

339 17.1. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 339 Connaissant la loi de X et l expression de la fonction f, nous souhaiterions déterminer la loi de la VARD Y = f (X ) : c est ce qu on appelle un transfert de loi (la loi de X est transférée par la fonction f ). Valeurs prises par Y : Si X est une VARD finie telle que X (Ω) = {x 1,..., x n }, alors Y (Ω) = { f (x1 ),..., f (x n ) }. On peut aussi noter Y (Ω)={y 1,..., y p } avec y 1 < y 2 < < y p ; dans ce cas p n (car g peut ne pas être injective). Si X est une VARD infinie telle que X (Ω)={x n /n N}, alors Y (Ω)= { f (x n ) / n N }. On peut aussi noter Y (Ω)={y 1,..., y p } avec y 1 < y 2 < < y p, ou Y = {y n /n N}, selon les cas. Exemple : X (Ω)={ 2, 1,0,1,2} et Y = X 2 donne Y (Ω)={0,1,4}. Exemple : X (Ω)=N et Y = 2X donne Y (Ω)={2n/n N }. { 0 si X entier pair Exemple : X (Ω)=N et Y = 1 si X entier impair donne Y (Ω)={0,1}. On peut maintenant s intéresser à la loi de Y. Pour cela il est important de comprendre le point suivant : si on prend y Y (Ω) une valeur prise par la VARD Y, alors, par définition, y a un antécédent par f dans X (Ω) : x X (Ω) tel que y = f (x). Et comme f est en général non injective, il y a plusieurs valeurs de x possibles, voire même une infinité! Exemple : Sur l exemple précédent, 1 a une infinité d antécédents : tous les entiers impairs. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Formule de transfert de loi La loi de Y = f (X ) est donnée par : y Y (Ω), P(Y = y)= x X (Ω) tq f (x)=y P(X = x) On somme sur tous les antécédents de y. Exemple : Si la loi de X est donnée par : k P(X = k) et si Y = X 2, alors Y (Ω)={0,1,4} et : k P(Y = k) Exemple : Si X est une VARD à valeurs dans N, telle que k N, P(X = k)= 1, et si Y = 2X, 2k alors Y (Ω)={2k/k N et : k N, P(Y = 2k)= 1 2 k

340 340 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Exemple : Si X est une VARD à valeurs dans N, telle que k N, P(X = k)= 1, et si Y = 2k { 0 si X entier pair, alors Y (Ω)={0,1} et : 1 si X entier impair k 0 1 P(Y = k) Espérance mathématique d une VARD Définition Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espérance mathématique d une VARD 1. Si X est une VARD finie telle que X (Ω)={x 1,..., x n }, alors on appelle espérance de X le réel : n E(X )= x k P(X = x k ) k=1 2. Si X est une VARD infinie telle que X (Ω) = {x n /n N}, alors on dit que E(X ) existe lorsque la série n N x n P(X = x n ) converge absolument. Dans ce cas, on appelle espérance de X le réel : E(X )= + n=0 x n P(X = x n ) Si X est une VARD infinie telle que P(X =+ )>0, on dit que E(X ) n existe pas. Pour une VARD infinie, il faut donc montrer que l espérance existe avant de la calculer. Pour cela, on doit vérifier que la série n N x n P(X = x n ) converge absolument, ce qui assure que sa somme ne dépendent de l ordre des termes. On doit donc montrer que n N x n P(X = x n ) converge, puis calculer + n=0 valeurs positives, et le calcul de x n P(X = x n ). Dans la majorité des cas, la VARD X sera à + n=0 x n P(X = x n ) prouvera la convergence de la série et, comme elle est à termes positifs, le calcul prouvera en fait la convergence absolue de la série et donc l existence de l espérance de X. Remarquons que la définition impose que : E(X ) existe = P(X = + ) = 0. On a la formule «universelle» suivante, valable si X est une VARD finie ou infinie : E(X )= x P(X = x) x X (Ω) Exemple : On lance deux dés distinguables et on note X = Sommes des deux chifres obtenus.

341 17.2. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE D UNE VARD 341 Alors X (Ω)= 2,12 et la loi de probabilité de X est : k P(X = k) Puisque X est une VARD finie, E(X ) existe et : E(X )= = 7 Exemple : Soit X une VARD à valeurs dans N telle que : n N, P(X = n)= 1 2 n. Alors X admet une espérance et E(X ) = 2. Exemple : Soit X une VARD telle que : X (Ω)= { 2 n/ n N }, n N, P(X = n)= 1 2 n. Alors X n admet pas d espérance. C est la notion d espérance qui justifie l introduction de la notion de variable aléatoire en plus de celle d évènements. Par exemple si on lance n fois une pièce, et si on note E i = «le i-ième lancer donne pile» et X = «nombre de piles obtenus sur les n lancers» alors l évènement [X = k] se décompose en unions/intersections d évènements E i. On peut donc se demander quel est l intérêt d utiliser la VARD X...? L intérêt est qu on voudrait calculer le nombre moyen de piles obtenus sur les n lancers, ie calculer E(X ), et cette quantité ne s exprime pas en fonction des E i! Théorème de transfert On reprend les notations du paragraphe sur le transfert de loi : f R {+ } f X Ω On a vu que la loi de la VARD Y = f (X ) se calcule par la formule : y Y (Ω), D f X P(Y = y)= x X (Ω) tq f (x)=y P(X = x) On veut cette fois calculer son espérance (si elle existe). Sous réserve de convergence absolue de la série : E(Y )= y P(Y = y)= y P(X = x) y Y (Ω) y Y (Ω) x X (Ω) tq f (x)=y On peut voir que le calcul est compliqué. On va donc essayer d avoir une formule simple, donnant E(Y ) connaissant la loi de X, et sans avoir à calculer la loi de Y.

342 342 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Théorème de transfert Soit X une VARD à valeurs dans R {+ } et f : R {+ } R telle que X (Ω) D f. 1. Cas d une VARD finie : Si X (Ω) = {x 1,..., x n } alors Y = f (X ) est aussi une VARD finie, donc admet une espérance, et E(Y )=E ( f (X ) ) = n f (x k ) P(X = x k ) k=1 2. Cas d une VARD infinie : Si X (Ω)={x n /n N} alors : E(Y )=E ( f (X ) ) existe f (x n ) P(X = x n ) converge absolument n 0 f (xn ) P(X = xn ) converge n 0 et dans ce cas : E(Y )=E ( f (X ) ) = + n=0 f (x n ) P(X = x n ) Ce résultat sera très utile en pratique, car dans beaucoup de cas on ne sait pas calculer simplement la loi de la VARD Y = f (X ). On a l énoncé «universel» suivant : E(Y )=E ( f (X ) ) existe et dans ce cas : x X (Ω) E(Y )=E ( f (X ) ) = f (x) P(X = x) converge absolument x X (Ω) f (x) P(X = x) Exemple : On lance deux dés distinguables et on note X = Sommes des deux chifres obtenus. Alors X (Ω)= 2,12 et la loi de probabilité de X est : k P(X = k) Puisque X est une VARD fine, E(X 2 ) existe et : E(X 2 )= = Exemple : Soit X une VARD à valeurs dans N et telle que : n 1, P(X = n)= 3 4 n. Alors E ( 2 X) existe et E ( 2 X) = 3. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½ Linéarité de l espérance (version 1) Soit X une VARD telle que E(X ) existe. Alors pour tout (a,b) R 2, E(aX + b) existe et : E(aX + b)=ae(x )+b

343 17.2. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE D UNE VARD 343 En particulier si a = 0, on a pour tout b R : E(b)=b. Et donc pour b = E(X ), on obtient E ( E(X ) ) = E(X ), puis E ( X E(X ) ) = 0. Ò Ø ÓÒ ½ º½ VARD centrée 1. On appelle VARD centrée une VARD X, admettant une espérance, et telle que E(X )=0. 2. Si X est une VARD admettant une espérance, on appelle VARD centrée associée à X la VARD Y = X E(X ) Moments d une VARD Ò Ø ÓÒ ½ º½ Moments d une VARD Soient X une VARD et r N. On dit que X admet un moment d ordre r lorsque E ( X r) existe. Dans ce cas, on appelle moment d ordre r de X le réel : m r (X )=E ( X r) Pour r = 1, on retrouve l espérance de X. Si X est une VARD finie telle que X (Ω)={x 1,..., x n }, alors X admet des moments de tout ordre et d après le théorème de transfert : r N, m r (X )=E ( X r) = n x r k P(X = x k) Si X est une VARD infinie telle que X (Ω) = {x n /n N}, le théorème de transfert donne que : E ( X r) existe n 0 x n r P(X = x n ) converge et dans ce cas : m r (X )=E ( X r) = + n=0 k=1 x r n P(X = x n) Ainsi pour calculer les moments d une VARD X, il suffit de connaître la loi de X, il n est pas nécessaire déterminer la loi des VARD X r pour r N. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾¼ Existence de moments d ordre inférieur Soit X une VARD qui admet un moment d ordre r N. Alors X admet des moments à tout ordre s 0,r. Démonstration : Seul le cas d une VARD infinie pose problème. Pour s 0,r, il suffit d utiliser l inégalité suivante : x R, { x s 1 si x 1 x r si x >1 1+ x r

344 344 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES CQFD Ì ÓÖ Ñ ½ º¾½ Existence du moment centré d ordre r Si X est une VARD qui admet un moment [ d ordre r N, alors la VARD centrée X E(X ) admet (X ) ] r elle-aussi un moment d ordre r égal à E E(X ). Démonstration : Utiliser la formule du binôme pour montrer que : ( ) r (x,b) R 2, x b r r b r k x k k k=0 CQFD Ò Ø ÓÒ ½ º¾¾ Moment centré d ordre r d une VARD Si X est une VARD admettant un moment d ordre r N, on appelle moment centré d ordre r le réel : [ (X ) ] r µ r (X )=E E(X ) Variance d une VARD Ò Ø ÓÒ ½ º¾ Variance d une VARD Soit X une VARD admettant un moment d ordre 2. On appelle variance de X, notée V (X ) ou Var(X ), son moment centré d ordre 2 : [ (X ) ] 2 V (X )=E E(X ) Donc V (X ) existe si, et seulement si, E ( X 2) existe. Si X est une VARD finie, X admet une variance. La variance sert à mesurer la dispersion quadratique de X autour de sa valeur moyenne (= son espérance). Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Règles de calcul de la variance Soit X une VARD admettant un moment d ordre V (X ) 0; 2. V (X ) = 0 X est presque sûrement constante. Dans ce cas : X = E(X ) p.s.. 3. Pour tout (a,b) R 2, ax + b admet un moment d ordre 2 et : V (ax + b)= a 2 V (X )

345 17.3. LOIS USUELLES 345 Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Formule de Koenig-Huyghens Soit X une VARD admettant un moment d ordre 2. Alors : V (X )=E ( X 2) ( E(X ) ) 2 Puisque V (X ) 0, on a E ( X 2) ( E(X ) ) 2. Plus généralement, on peut montrer que si ϕ est une fonction numérique convexe, alors E ( ϕ(x ) ) ϕ ( E(X ) ) (inégalité de Jensen), mais c est une autre histoire... C est cette formule qu on utilise en pratique pour calculer la variance d une VARD. Exemple : On lance deux dés distinguables et on note X = Sommes des deux chifres obtenus. Alors X (Ω)= 2,12 et la loi de probabilité de X est : k P(X = k) Puisque X est une VARD fine, V (X ) existe et : V (X )= = 35 6 Exemple : Soit X une VARD à valeurs dans N telle que : n N, P(X = n)= 1 2 n. Alors X admet une variance et V (X )=2. Ò Ø ÓÒ ½ º¾ Écart-type d une VARD Soit X une VARD admettant un moment d ordre 2. On appelle écart-type de X le réel : σ(x )= V (X ). Contrairement à la variance, l écart-type possède la même unité que X, et s interprète donc mieux en pratique. Il sert à mesurer la dispersion de X autour de sa valeur moyenne. Ò Ø ÓÒ ½ º¾ VARD centrée réduite Soit X une VARD admettant un moment d ordre 2, non presque sûrement constante. 1. On dit que X est une VARD centrée réduite lorsque E(X )=0 et V (X )=1. 2. On appelle VARD centrée réduite associée à X la VARD : X E(X ). σ(x ) En effet si Y = X E(X ), alors Y est une VARD centrée réduite. σ(x ) 17.3 Lois usuelles Dans tout ce paragraphe X est une VARD définie sur un espace probabilisé (Ω,F,P).

346 346 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Loi certaine Ò Ø ÓÒ ½ º¾ VARD de loi certaine X suit la loi certaine de paramètre a R, lorsque X = a P-p.s., ie P(X = a)=1. X est donc une VARD finie. On obtient le diagramme en bâtons : 1 a Par abus de notations, on peut considérer que X (Ω)={a}. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Espérance et variance d une VARD de loi certaine Soit X une VARD de loi certaine de paramètre a R. Alors X admet des moments de tous les ordres. En particulier : E(X )=a et V (X )=0 Ì ÓÖ Ñ ½ º ¼ Caractérisation de la loi certaine Soit X une VARD admettant un moment d ordre 2. Alors : et dans ce cas le paramètre est a= E(X ). X suit une loi certaine V (X )= Loi uniforme Ò Ø ÓÒ ½ º ½ VARD de loi uniforme Soit A une partie de R finie et non vide. On dit que X suit la loi uniforme sur A lorsque X (Ω)= A et : 1 a A, P(X = a)= Card(A) On le note X U (A). X est donc une VARD finie. Si A= {a 1,..., a n } avec n= Card(A), alors : k 1,n, P(X = a k )= 1 n.

347 17.3. LOIS USUELLES 347 Si A est un singleton, A= {a}, alors U ( {a} ) est la loi certaine de paramètre a. Pour U ( 1,5 ), on obtient le diagramme en bâtons : Exemple : Si X U ( 1,n ), alors X (Ω)= 1,n et : k 1,n, P(X = k)= 1 n Ì ÓÖ Ñ ½ º ¾ Espérance et variance d une VARD de loi U ( 1,n ) Soit X une VARD de loi U ( 1,n ). Alors X admet des moments de tous les ordres. En particulier : E(X )= n+ 1 2 et V (X )= n ATTENTION : ces formules sont fausses si X U ( 0,n ). Modélisation 1 : On choisit au hasard un nombre dans A, partie finie non vide de R. On note X = Nombre obtenu. Alors X U (A). Exemple : On dispose d une urne de 10 boules numérotées. On tire une boule au hasard et on note X = Numéro obtenu. Alors X U ( 1,10 ). Modélisation 2 : On se donne A partie finie non vide R, de cardinal n, et on s intéresse à un élément donné de A noté a 0. On effectue une successions de tirages sans remise d un élément de A. On note X = Nombre de tirages nécessaires pour obtenir l élément a 0. Alors X U ( 1,n ). Exemple : On dispose d un jeu de 32 cartes. On tire les cartes une à une sans remise et on note X = Nombre de tirages nécessaires pour obtenir l as de coeur. Alors X U ( 1,32 ). Exemple : Un gardien doit ouvrir une porte dans le noir, avec n clef dont une seule est la bonne. On note X le nombre d essais nécessaires pour trouver la bonne clef. On suppose que le gardien essaie les clefs une à une, sans utiliser deux fois la même. Alors X U ( 1,n ) et le nombre moyen d essais pour trouver la bonne clef est donc n Loi de Bernoulli Ò Ø ÓÒ ½ º VARD de loi de Bernoulli On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p ]0, 1[ lorsque X (Ω) = {0, 1} et : On le note X B(p). P(X = 1)= p et P(X = 0)=1 p = q

348 348 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES X est donc une VARD finie. Ì ÓÖ Ñ ½ º Espérance et variance d une VARD de loi B(p) Soit X une VARD de loi B(p). Alors X admet des moments de tous les ordres. En particulier : E(X )= p et V (X )= pq = p(1 p) Modélisation : On considère une expérience aléatoire qui n a que deux issues possibles : succès ou échec. { 1 si l expérience donne un succès On note p la probabilité qu elle donne un succès et X = 0 si l expérience donne un échec Alors X B(p). Exemple : On dispose d une pièce de monnaie truquée, de telle sorte qu elle donne Pile avec probabilité p { ]0, 1[. 1 si la pièce donne Pile On note X = 0 si la pièce donne Face Alors X B(p). Exemple : On { tire une carte dans un jeu de 32 cartes. 1 si la carte est un coeur On note X = 0 sinon ( ) 1 Alors X B. 4 Ì ÓÖ Ñ ½ º Caractérisation de la loi de Bernoulli Soit X une VARD. Alors : X suit une loi de Bernoulli X (Ω)={0,1} et dans ce cas le paramètre est p = E(X )=P(X = 1). Exemple : Si X B(p), alors X 2 B(p). Exemple : Si A est un évènement tel que P(A) {0,1}, alors X = 1 A est une VARD de loi B ( P(A) ). En particulier on obtient que E(1 A )=P(A), formule qui relie probabilité d un évènement et espérance d une VARD Loi binomiale Ò Ø ÓÒ ½ º VARD de loi binomiale On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n N et p ]0,1[ lorsque X (Ω)= 0,n et : On le note X B(n, p). k 0,n, ( ) n P(X = k)= p k (1 p) n k k

349 17.3. LOIS USUELLES 349 X est donc une VARD finie. On a B(1, p)=b(p). Si k Z, k 0,n, on a par convention ( n k) = 0. De plus, on a aussi P(X = k) = 0. Donc ( ) n P(X = k)= p k (1 p) n k. Ainsi : k k Z, ( ) n P(X = k)= p k (1 p) n k k ( Pour B 10, 1 ), on obtient le diagramme en bâtons : Ì ÓÖ Ñ ½ º Espérance et variance d une VARD de loi B(n, p) Soit X une VARD de loi B(n, p). Alors X admet des moments de tous les ordres. En particulier : E(X )=np et V (X )=npq = np(1 p) Modélisation : On considère une expérience aléatoire qui n a que deux issues possibles : succès avec probabilité p ou échec avec probabilité q = 1 p. On effectue n répétitions indépendantes de cette même expérience. On note X = Nombre de succès obtenus. Alors X B(n, p). Exemple : On dispose d une pièce de monnaie truquée, de telle sorte qu elle donne Pile avec probabilité p ]0, 1[. On la lance n fois de manières indépendantes. On note X = Nombre de Piles obtenus. Alors X B(n, p). Exemple : On dispose d une urne de N boules : N 1 boules blanches et N 2 boules noires. On effectue n tirages successifs d une boule avec remise.

350 350 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES On note X = Nombre ( de boules blanches obtenues. Alors X B n, N ) 1. N Loi hypergéométrique Ò Ø ÓÒ ½ º VARD de loi hypergéométrique Soient n N, N N et p ]0,1[ tels que N p N. On pose N 1 = N p N et N 2 = N(1 p)= N N 2 N. On dit que X suit la loi hypergéométrique de paramètres n, N et p lorsque X (Ω) 0,n et : On le note X H (n, N, p). k 0,n, P(X = k)= ( N 1 k )( N 2 n k ( ) N n ) X est donc une VARD finie. On précisera plus ( ) loin X (Ω), et on verra qu on ( peut ) se contenter de X (Ω) 0,n grâce aux conventions N 1 N 2 = 0 si k 0, N 1 et k n k = 0 si n k 0, N 2. On rappelle à toutes fins utiles la formule de Van der Monde : ( )( ) ( ) n N 1 N 2 N 1 + N 2 = k=0 k n k n ( Pour H 10,15, 1 ), on obtient le diagramme en bâtons : Ì ÓÖ Ñ ½ º Espérance et variance d une VARD de loi H (n, N, p) Soit X une VARD de loi H (n, N, p). Alors X admet des moments de tous les ordres. En particulier : E(X )=np

351 17.3. LOIS USUELLES 351 Ce n est pas au programme : V (X )=npq N n N 1 où q = 1 p = N 2 N. Modélisation 1 : On dispose d une urne de N boules : N 1 boules blanches et N 2 boules noires. On effectue n tirages successifs d une boule sans remise. On note X = Nombre de boules blanches obtenues. Alors X H (N,n, p). Modélisation 2 : On dispose d une urne de N boules : N 1 boules blanches et N 2 boules noires. On effectue un tirage de n boules simultanément. On note X = Nombre de boules blanches obtenues. Alors X H (N,n, p). On obtient donc que X (Ω)= max(0,n N 2 );min(n, N 1 ) 0,n. On peut retenir qu entre les tirages sans remise et simultanés, les dénombrements sont différents, mais les probabilités sont les mêmes! ATTENTION : si les tirages sont effectués avec remise, on a vu que X B(n, p). Exemple : On tire une main de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes. On note X = Nombre ( d as obtenus. Alors X H 5,32, 1 ). Ceci nous dispense de faire des dénombrements! On en déduit par 4 ( )( ) 4 28 exemple que : P(«Obtenir un carré d as»)=p(x = 4)= 4 1 ( ) Loi géométrique Ò Ø ÓÒ ½ º ¼ VARD de loi géométrique On dit que X suit la loi géométrique de paramètre p ]0,1[ lorsque X (Ω)=N et : On le note X G (p). k N, P(X = k)= p(1 p) k 1 = pq k 1 où q = 1 p X est donc une VARD infinie. Dans certains cas, on considère une variante : la loi géométrique décalée sur N, notée G 0 (p). On dit que Y G 0 (p) lorsque Y (Ω)=N et : k N, P(Y = k)= pq k Ces deux lois sont reliées de la façon suivante.

352 352 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º ½ Lien entre loi géométrique et loi géométrique décalée Soi Y une VARD et X = Y + 1. Alors : Y G 0 (p) X G (p) ( ) 1 Pour G, on obtient le diagramme en bâtons : Ì ÓÖ Ñ ½ º ¾ Espérance et variance d une VARD de loi G (p) Soit X une VARD de loi G (p). Alors X admet des moments de tous les ordres. En particulier : E(X )= 1 et V (X )= q p p 2 = 1 p p 2 On utilise aussi souvent la fonction de répartition d une loi géométrique. Ì ÓÖ Ñ ½ º Fonction de répartition d une VARD de loi G (p) 1. Soit X une VARD de loi G (p). Alors : k N, P(X k)=1 q k et P(X k)= q k 1 2. Réciproquement, si X est une VARD telle que : k N, P(X k)=1 q k alors X G (p), où q = 1 p. Modélisation : On considère une expérience aléatoire qui n a que deux issues possibles : succès avec probabilité p ou échec avec probabilité q = 1 p.

353 17.3. LOIS USUELLES 353 On effectue une infinité de répétitions indépendantes de cette même expérience. On note X = Rang du premier succès obtenu. Alors X G (p). Plus généralement, on peut fixer n N, et considérer X n = Rang du n-ième succès. Pour n= 1, X 1 G (p), et pour n 2, X n suit une loi appelée loi binomiale négative... mais ce n est pas au programme! Exemple : On dispose d une pièce de monnaie truquée, de telle sorte qu elle donne Pile avec probabilité p ]0, 1[. On la lance une infinité de fois cette pièce, de manières indépendantes. On note X = Rang du premier Pile obtenu. Alors X G (p). Terminons par une autre propriété de modélisation des lois géométriques. Ì ÓÖ Ñ ½ º Absence de mémoire de la loi géométrique Si X G (p), alors : (s, t) N, P(X > s+ t X > s)=p(x > t) Réciproquement, si X est une VARD telle que X (Ω)=N et qui vérifie la propriété d absence de mémoire, alors X est suit une loi géométrique de paramètre p = P(X = 1) (mais ce n est pas au programme). On peut retenir que la loi géométrique est la loi d attente du premier succès dans un processus sans mémoire Loi de Poisson La loi de Poisson est la «loi des évènements rares» : Nombre de clients dans une file d attente ; Nombre de particules rayonnées par un élément radioactif sur une période ; Nombre de soldats tués par des coups de pieds de chevaux dans l armée prussienne entre 1875 et 1894 ; Nombre de soldats tués par des coups de pieds de chevaux dans l armée prussienne entre 1875 et Elle a été introduite par Siméon Denis Poisson en 1837 pour modéliser les erreurs de jugements dans un procès. La modélisation est hors-programme : l énoncé précisera toujours quelles sont les VARD qui suivent une loi de Poisson. Ò Ø ÓÒ ½ º VARD de loi de Poisson On dit que X suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0 lorsque X (Ω) = N et : k N, λ λk P(X = k)=e k! On le note X P (λ).

354 354 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES X est donc une VARD infinie. Pour P (3), on obtient le diagramme en bâtons : Ì ÓÖ Ñ ½ º Espérance et variance d une VARD de loi P (λ) Soit X une VARD de loi P (λ). Alors X admet des moments de tous les ordres. En particulier : E(X )= V (X )=λ 17.4 Couples discrets Couple discret Ò Ø ÓÒ ½ º Couple discret On appelle couple de VARD, ou couple discret, toute application où X et Y sont deux VARD. Z = (X,Y ) : Ω R 2 ω Z (ω)= ( X (ω),y (ω) ) L ensemble des valeurs prises par Z est : (X ) Z (Ω)={ / } (ω),y (ω) ω Ω C est une partie de R 2, incluse dans X (Ω) Y (Ω). Notation : Si X (Ω)={x i /i I } et Y (Ω)={y j / j J} (où I et J parties de N, finies ou infinies) alors Z (Ω) X (Ω) Y (Ω)={(x i, y j )/(i, j ) I J}. Exemple : On lance deux dés cubiques distinguables. On note X = Chiffre obtenu avec le premier dé, et Y = Chiffre obtenu avec le second dé. Alors Z = (X,Y ) est un couple discret et Z (Ω)= 1,6 2.

355 17.4. COUPLES DISCRETS Évènements associés à un couple discret Si A R 2, on note [Z A] l évènement : Z 1 (A)={ω Ω/ Z (ω) A} Si A= B C où B et C sont deux parties de R, on a : [Z B C ]=[X B] [Y C ] En particulier si (x, y) R 2, [Z = (x, y)]=[x = x] [Y = y]. Notation : Pour simplifier on pose P(X B,Y C )=P ( [X B] [Y C ] ) = P ( Z (B,C ) ) et P(X = x,y = y)=p ( [X = x] [Y = y] ) = P ( Z = (x, y) ). Ì ÓÖ Ñ ½ º S.c.e. associé à un couple discret Si X (Ω) = {x i /i I } et et Y (Ω) = {y j / j J} alors la famille d évènements ( [X = x i ] [Y = y j ] ) (i,j ) I J est un s.c.e. de Ω Loi conjointe d une couple discret Ò Ø ÓÒ ½ º Loi conjointe d une couple discret Si (X,Y ) est un couple discret, on appelle loi conjointe l application L (X,Y ) X (Ω) Y (Ω) [0,1] (x, y) P(X = x,y = y) La loi de probabilité L (X,Y ) est aussi notée P (X,Y ). Cas d un couple de VARD finies : X (Ω) = {x 1,..., x n } et Y (Ω) = {y 1,..., y q }. Dans ce cas on pose, pour tout (i, j ) 1,n 1, q, p i j = P(X = x i,y = y j ). Puisque la famille ( [X = x i ] [Y = y j ] ) (i,j ) I J est un s.c.e., le théorème de Fubini donne : 1= ( ( ) n q q n p i j = p i j )= p i j (i,j ) I J i=1 j=1 j=1 i=1 En fait ce résultat est vraie avec des sommes infinies, mais les séries doubles ne seront vu qu en seconde année... Déterminer la loi de X c est calculer la valeur des p i j. On peut représenter les résultats sous forme d un tableau à double entrée : X Y y 1... y j... y q x 1 p p 1j... p 1q.... x i p i 1... p i j... p i q.... x n p n1... p n j... p nq

356 356 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES La somme de toutes les cases doit être égale à 1. ATTENTION! Avant de déterminer la loi conjointe de (X,Y ), il est donc indispensable de déterminer X (Ω) et Y (Ω), c est-à-dire les valeurs prises par les VARD X et Y. Exemple : On dispose d une urne composée de 3 boules numérotées. On tire deux boules successivement, avec remise. On note X 1 = Numéro de la première boule tirée, et X 2 = Numéro de la seconde boule tirée. Alors X 1 (Ω) = X 2 (Ω) = 1,4 et la loi conjointe de (X 1, X 2 ) est : X 1 X De même si Y = max(x 1, X 2 ) alors Y (Ω)= 1,3 et la loi conjointe de (X 1,Y ) est : X 1 1 Y Ì ÓÖ Ñ ½ º ¼ Construction d un couple discret finie ayant une loi conjointe donnée On se donne des réels (p i j ) 1 i n vérifiants : 1 j p (i, ( j ) 1,n 1, ( p, p i j 0 ; n q q n p i j )= p i j )=1. i=1 j=1 j=1 i=1 Alors pour tous réels deux à deux distincts x 1,..., x n, y 1,..., y p il existe un couple discret (X,Y ) défini sur un espace probabilisé (Ω,P (Ω),P) telle que : X (Ω)={x 1,..., x n }, Y (Ω)={y 1,..., y p }, et (i, j ) 1,n 1, p, p i j = P(X = x i,y = y j ). Et donc pour tout (i, j ) 1,n 1, p, p i j [0,1]. Le résultat est vrai avec des VARD infinies, mais les séries doubles ne sont pas au programme de première année... Exemple : Il existe un couple discret (X,Y ) à valeurs dans 1,n 2 et de loi conjointe donnée par : (i, j ) 1,n, P(X = i,y = j )= i + j n 2 (n+ 1)

357 17.4. COUPLES DISCRETS Lois marginales Ò Ø ÓÒ ½ º ½ Lois marginale Si (X,Y ) est un couple discret, on appelle loi marginales de (X,Y ) les lois de X et de Y. Ì ÓÖ Ñ ½ º ¾ La loi conjointe caractérise les lois marginales Si (X,Y ) est un couple discret avec X (Ω)={x i /i I } et Y (Ω)={y j / j J}, alors : i I, P(X = x i )= P(X = x i,y = y j )= p i j j J j J et : j J, P(Y = y j )= P(X = x i,y = y j )= p i j i I i I On note parfois p i. = P(X = x i ) et p.j = P(Y = y j ). On a donc les formules : p i. = P(X = x i,y = y j )= p i j et p.j = P(X = x i,y = y j )= p i j j J j J i I i I Dans le cas de VARD finies, on peut rajouter une ligne et une colonne au tableau à double entrée représentant la loi conjointe. Pour trouver les loi marginales, il suffit ensuite d additionner les cases en ligne et en colonne. Exemple : Sur les deux tableaux précédents, on obtient : X 1 X Loi de X 1 X 1 Y Loi de X Loi de X Loi de Y On retrouve que X 1 ({1,2,3}) et X 2 ({1,2,3}) (espérons que l aviez noté depuis le début!). Par contre, pour Y = max(x 1, X 2 ), on ne trouve pas de loi usuelle. ATTENTION! Le théorème précédent n est pas une équivalence : les lois marginales ne caractérisent pas la loi conjointe. Intuitivement, les lois marginales donnent des information sur le comportement de chacune des variables aléatoires, mais elles ne donnent aucune information que la manière dont les deux variables aléatoires interagissent au cours de l expérience. Comme contre-exemple, nous allons construire deux couples de VARD qui ont les mêmes lois marginales mais des lois conjointes différentes.

358 358 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Exemple : On dispose d une urne contenant 3 boules blanches et 4 boules rouges. On effectue deux tirages successifs d une boule dans cette urne. On note : { 1 si la première boule tirée est blanche X 1 = 0 si la première boule tirée est rouge et : { 1 si la seconde boule tirée est blanche X 2 = 0 si la seconde boule tirée est rouge On obtient les lois conjointes et marginale suivantes : TIRAGES AVEC REMISE X 1 X Loi de X Loi de X TIRAGES SANS REMISE X 1 X Loi de X Loi de X Lois conditionnelles Ò Ø ÓÒ ½ º Lois conditionnelles d un couple discret Soit (X, Y ) un couple discret. 1. Soit y Y (Ω) tel que P(Y = y) 0. On appelle loi conditionnelle de X sachant Y = y, l application L X Y =y X (Ω) [0,1] P(X = x,y = y) x P Y=y (X = x)=p(x = x Y = y)= P(Y = y) 2. Soit x X (Ω) tel que P(X = x) 0. On appelle loi conditionnelle de Y sachant X = x, l application L Y X=x Y (Ω) [0,1] P(X = x,y = y) x P X=x (Y = y)=p(y = y X = x)= P(X = x) Les lois conditionnelles sont souvent données dans la modélisation. Exemple : On suppose que le nombre de personnes arrivant aux urgences de l hôpital de Rangueil, la nuit de la Saint-Sylvestre, est une VARD Y de loi de Poisson de paramètre λ>0. On note X = Nombre de personnes qui sont des femmes. Alors, pour tout n N, la loi de X sachant que Y = n est la loi B ( n, 1 2 ). Si on connaît la loi de Y, ainsi que la loi de X sachant Y = y pour tout y Y (Ω), on peut en déduire la loi conjointe de (X,Y ) : (i, j ) I J, P(X = x i,y = y j )=P(Y = y j ) P Y=y j (X = x i )

359 17.4. COUPLES DISCRETS 359 et donc la loi de X : i I, P(X = x i )= P(X = x i,y = y j )= P(Y = y j ) P Y=y j (X = x i ) j J j J où on a posé X (Ω)={x i /i I } et Y (Ω)={y j / j J}. ( ) λ Exemple : Dans l exemple précédent : X P Sommes de VARD On considère un couple discret (X,Y ) : Ω R 2 et une fonction f : R 2 R telle que X (Ω) Y (Ω) D f. On a alors le schéma de composition : f D f R (X,Y ) 7 T=f (X,Y ) Ω Exemple : T = X Y, X + Y, max(x,y ) ou min(x,y ). Valeurs prises par T = f (X,Y ) : Si X (Ω)={x i /i I } et Y (Ω)={y j / j J}, alors T (Ω)= { f (x i, y j ) / (i, j ) I J }. On peut maintenant s intéresser à la loi de T. Ì ÓÖ Ñ ½ º Formule de transfert de loi pour les couples discrets La loi de T = f (X,Y ) est donnée par : t T (Ω), P(T = t)= (x,y) X (Ω) Y (Ω) tq f (x,y)=t P(X = x,y = y) On somme sur tous les antécédents (x, y) de t par la fonction f. On s intéressera quasiment exclusivement au cas d une somme de deux VARD, à valeurs dans N : S = X + Y. Ì ÓÖ Ñ ½ º Loi d une somme de deux VARD Si X et Y sont deux VARD telles que X (Ω) N et X (Ω) N, et S = X + Y, alors S(Ω) N et : n N, P(S= n)=p(x + Y = n) = = + k=0 + k=0 P(X = k,y = n k)= P(X = n k,y = k)= n k=0 n k=0 P(X = k,y = n k) P(X = n k,y = k) Il est vivement conseillé de redémontrer ce résultat à chaque fois, pour ne pas faire d erreur. Nous verrons plus loin que le calcul se fait bien, lorsque les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.

360 360 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Indépendance de VARD Ò Ø ÓÒ ½ º Indépendance de deux VARD On dit que deux VARD X et Y (définie sur le même espace probabilisé) sont indépendantes, lorsque : (x, y) X (Ω) Y (Ω), P(X = x,y = y)=p(x = x) P(Y = y) On le note X Y. Remarquez que si X et Y sont indépendantes, les lois marginales caractérise la loi conjointe (on a vu que ce résultat est faux en général)! Exemple : On lance deux dés distinguables et on note X = chiffre donné par le premier dé, et Y = chiffre donné par le second. Alors X Y. Exemple : X est une VARD certaine si et seulement si X X. Pour le théorème suivant rappelons que, si A est un évènement, alors1 A est une VARD de loi B ( P(A) ). Ì ÓÖ Ñ ½ º Lien entre indépendance d évènements et indépendance de VARD Soient A et B deux évènements. Alors : A et B sont des évènements indépendants 1 A et1 B sont des VARD indépendantes Ò Ø ÓÒ ½ º Indépendance d un nombre fini de VARD On définit deux notions d indépendance pour des VARD X 1, X 2,..., X n (définies sur le même espace probabilisé). 1. On dit que X 1, X 2,..., X n sont deux à deux indépendantes lorsque, pour tout (i, j ) 1,n 2 tel que i j, on a X i X j, ie lorsque (i, j ) 1,n 2 : [ ] i j = (x i, x j ) X i (Ω) X j (Ω), P(X i = x i, X j = x j )=P(X i = x i ) P(X j = x j ) 2. On dit que X 1, X 2,..., X n sont mutuellement indépendantes, ou indépendantes dans leur ensemble, lorsque (x 1, x 2,..., x n ) X 1 (Ω) X 2 (Ω) X n (Ω) : P(X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n )=P(X 1 = x 1 ) P(X 2 = x 2 ) P(X n = x n ) ie : ( ) n P [X k = x k ] = k=1 n P(X k = x k ) k=1 Exemple : On dispose d une urne de N boules numérotées, dans laquelle on effectue n tirages successifs d une boule avec remise. Pour tout k 1,n, on note X k = numéro inscrit sur la boule tirée au k-ième tirage. Alors (X 1,..., X n ) sont mutuellement indépendantes.

361 17.4. COUPLES DISCRETS 361 Ì ÓÖ Ñ ½ º Lien entre indépendance mutuelle et indépendance deux à deux pour un nombre fini de VARD Si (X 1,..., X n ) sont mutuellement indépendantes, alors elles sont deux à deux indépendantes. ATTENTION : la réciproque est fausse (comme dans le cas des évènements)! Ò Ø ÓÒ ½ º ¼ Indépendance d un nombre infini de VARD Pour tout n N, on se donne une VARD X n. On a donc une suite de VARD (X n ) n N (toutes définies sur le même espace probabilisé). 1. On dit que les X n, n N, sont deux à deux indépendantes lorsque, pour tout (i, j ) N 2 tel que i j, on a X i X j, ie lorsque (i, j ) N 2 : [ ] i j = (x i, x j ) X i (Ω) X j (Ω), P(X i = x i, X j = x j )=P(X i = x i ) P(X j = x j ) 2. On dit que les X n, n N, sont mutuellement indépendantes, ou indépendantes dans leur ensemble, lorsque toutes les sous-familles finies sont mutuellement indépendantes (au sens de la définition précédentes), ie pour tout J partie finie non vide de N, les VARD (X n ) n J sont mutuellement indépendantes. Autrement dit, pour tout n 2, pour tout (i 1,i 2,...,i n ) N n deux à deux distincts, pour tout (x i1, x i2,..., x in ) X i1 (Ω) X i2 (Ω) X in (Ω) : P(X i1 = x i1, X i2 = x i2,..., X in = x in )=P(X i1 = x i1 ) P(X i2 = x i2 ) P(X in = x in ) ou encore : ( ) n P [X ik = x ik ] = k=1 n P(X ik = x ik ) k=1 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º ½ Une caractérisation des familles infinies de VARD mutuellement indépendantes Soit (X n ) n N une suite de VARD. Alors : (X n ) n N mutuellement indépendantes n N, (X 0,..., X n ) mutuellement indépendantes Exemple : On lance une infinité de fois une pièce truquée de telle sorte qu elle donne «pile» avec probabilité p ]0, 1[. { 1 si le n ième lancer donne Pile Pour tout n N, on note X n =. 0 sinon Alors les (X n ) n N sont mutuellement indépendantes.

362 362 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Ì ÓÖ Ñ ½ º ¾ Lien entre indépendance mutuelle et indépendance deux à deux pour un nombre fini de VARD Si (X 1,..., X n ) sont mutuellement indépendantes, alors elles sont deux à deux indépendantes. ATTENTION : la réciproque est fausse (comme dans le cas des évènements)! Notation : Soit une famille de VARD (X i ) i I. On dit qu elles sont i.i.d. lorsqu elles sont mutuellement indépendantes et identiquement distribuées. En pratique, ceci correspond au cas d une expérience répétée de manière identique et indépendante à chaque fois. Exemple : Dans l exemple précédent, les (X n ) n N sont i.i.d. de loi B(p). ATTENTION! En pratique, l indépendance mutuelle n est en général pas démontrée. Elle fait partie des hypothèses de l énoncé. Terminons par deux résultats classiques, qui permettent en pratique de déduire de l énoncé l indépendance mutuelle de VARD. Ä ÑÑ ½ º Lemme des sous-familles Si (X i ) i I et une famille de VARD mutuellement indépendantes, alors, pour tout J I, la sous-famille (x i ) i J est elle aussi composée de VARD mutuellement indépendantes. Exemple : On dispose d une urne de N boules numérotées, dans laquelle on effectue des tirages successifs d une boule avec remise. Pour tout n N, on note X n = numéro inscrit sur la boule tirée au n-ième tirage. Alors (X 1, X 4, X 5 ) sont mutuellement indépendantes. Ä ÑÑ ½ º Lemme des coalitions Soit (X i ) i I une famille de VARD mutuellement indépendantes. 1. Supposons que, pour tout i I, f i est une fonction de R dans R, définie au moins sur X i (Ω). Alors les VARD ( f i (X i ) ) i I sont mutuellement indépendantes. 2. On suppose qu on partitionne (X i ) i I en deux sous-familles (X i ) i I1 et (X i ) i I2 avec I 1 et I 2 qui forment une partition de Ω. Supposons ensuite que Y est une VARD fonction des X i pour i I 1, et que Z est une VARD fonction des X i pour i I 2. Alors Y et Z sont indépendantes. Exemple : On dispose d une urne de 20 boules, dont 15 blanches et 5 noires. On effectue des tirages successifs d une boule avec remise. On note Y = nombre de boules blanches obtenues au 7 premiers tirages, et Z = nombre de boules noires obtenues entre le 8-ième tirage et le 12-ième. Alors Y Z. Par contre si Z = nombre de boules noires obtenues entre le 7-ième tirage et le 12-ième. Alors Y et Z ne sont, à priori, pas indépendantes.

363 17.4. COUPLES DISCRETS 363 Donnons tout de même un exemple, classique et difficile, de situation où l indépendance mutuelle doit être démontrée, sans utiliser les résultats précédents. Exemple : On lance une infinité de fois une pièce truquée de telle sorte qu elle donne «pile» avec probabilité p ]0, 1[. Pour tout n N, on note X n le numéro du lancer qui donne le n-ième Pile (X n =+ si le n-ième Pile n est jamais observé). On note aussi X 0 = 0. Pour n N, on définit le temps d attente entre le (n 1) ième et le n-ième succès : T n = X n X n 1. Les VARD (T n ) n N sont alors i.i.d. de loi G (p) (commencer par déterminer la loi de T n sachant X n 1 = p) Sommes de VARD mutuellement indépendantes Rappelons l énoncé suivant qui permet de déterminer la loi d une somme de deux VARD à valeurs dans N. Si X et Y sont deux VARD telles que X (Ω) N et X (Ω) N, et S = X + Y, alors S(Ω) N et : n N, P(S= n)=p(x + Y = n) = = + k=0 + k=0 P(X = k,y = n k)= P(X = n k,y = k)= n k=0 n k=0 P(X = k,y = n k) P(X = n k,y = k) il faut donc connaître la loi conjointe de (X, Y ). Si X et Y sont indépendantes, il suffit de connaître leur loi marginale, et on a : n N, P(S= n)=p(x + Y = n) = = + k=0 + k=0 P(X = k) P(Y = n k)= P(X = n k) P(Y = k)= n k=0 n k=0 P(X = k) P(Y = n k) P(X = n k) P(Y = k) Examinons maintenant ce qu on obtient lorsque X et Y ont pour loi une des lois usuelles. Ì ÓÖ Ñ ½ º Stabilité des lois usuelles 1. Si X 1 B(n 1, p) et X 2 B(n 2, p), avec X 1 X 2, alors X 1 + X 2 B(n 1 + n 2, p). 2. Si X 1 P (λ 1 ) et X 2 P (λ 2 ), avec X 1 X 2, alors X 1 + X 2 P (λ 1 + λ 2 ). En pratique, c est surtout le résultat suivant qui est utilisé. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Somme de VARD i.i.d. de loi de Bernoulli Supposons que (X 1,..., X n ) sont i.i.d. de loi B(p). Alors X 1 + X X n B(n, p).

364 364 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Intuitivement, on peut comprendre ce résultat de la manière suivante. On répète n fois une même expérience aléatoire du type succès/échec, de manière indépendante. Pour tout k 1,n, on note X k = 1 si la k-ième répétition est un succès, et 0 sinon. Alors X k B(p) où p est la probabilité qu une réalisation de l expérience donne un succès. Et X X n représente le nombre de succès obtenu sur n répétitions, et donc suit la loi B(n, p). On retrouve le résultat du théorème précédent. ATTENTION : ce résultat est faux sans l hypothèse d indépendance mutuelle (nous verrons un contre-exemple en fin de chapitre) Covariance d un couple discret Théorème de transfert pour les couples discrets de VARD finies Ì ÓÖ Ñ ½ º Théorème de transfert pour les couples discrets de VARD finies Soit (X,Y ) un couple discret de VARD finies, et f : R 2 R une fonction définie au moins sur X (Ω) Y (Ω). Alors f (X,Y ) est une VARD finie et son espérance est donnée par : E ( f (X,Y ) ) = x X (Ω) ( ) f (x, y) P(X = x,y = y) = y Y (Ω) Si on note X (Ω)={x 1,..., x n } et Y (Ω)={y 1,..., y p }, alors : E ( f (X,Y ) ) = ( ) n p f (x i, y j ) P(X = x i,y = y j ) = j=1 i=1 y Y (Ω) ( x X (Ω) f (x, y) P(X = x,y = y) ( ) p n f (x i, y j ) P(X = x i,y = y j ) i=1 j=1 ) Ce théorème est valable pour des VARD infinies, mais ce n est pas au programme de première année à cause de la série double qui intervient dans la formule. Exemple : Si X et Y sont deux VARD finies telles que X (Ω)={x 1,..., x n } et Y (Ω)={y 1,..., y p }, alors E(X Y ) existe et : E ( X Y ) ( ) ( ) n p p n = x i y j P(X = x i,y = y j ) = x i y j P(X = x i,y = y j ) i=1 j=1 j=1 i=1 ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Linéarité de l espérance - Version 2 1. Si X et Y sont deux VARD (éventuellement infinies) admettant une espérance, alors pour tout (a,b) R 2 : E(aX + by )= ae(x )+be(y ) 2. Si X 1,..., X n sont des VARD (éventuellement infinies) admettant une espérance, alors : ( n n E X k )= E(X k ) k=1 k=1

365 17.5. COVARIANCE D UN COUPLE DISCRET 365 La démonstration du cas où les VARD sont infinies n est pas au programme de première année. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Croissance de l espérance 1. Si X est une VARD admettant une espérance et si X 0 P-ps, alors : E(X ) 0 et E(X )=0 X = 0 P-ps. 2. Si X et Y sont deux VARD admettant une espérance et si X Y P-ps, alors E(X ) E(Y ) Covariance de deux VARD finies Ò Ø ÓÒ ½ º ¼ Covariance de deux VARD finies Si X et Y sont deux VARD finies, on appelle covariance de X et de Y le réel : [ (X ) ( ) ] Cov(X,Y )=E E(X ) Y E(Y ) L espérance existe puisque les variable sont finies. Intuitivement, la covariance mesure la dépendance entre X et Y. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º ½ Premières propriétés de la covariance Soient X et Y deux VARD finies. 1. Cov(X,Y )=E(X Y ) E(X ) E(Y ) 2. Cov(X, X )=Var(X ) 0 En pratique, le calcul de Cov(X,Y ) se ramène donc au calcul de trois espérances : E(X ), E(Y ) et E(X Y ), cette dernière étant calculée grâce au théorème de transfert et à la loi conjointe de X et Y.

366 366 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Ì ÓÖ Ñ ½ º ¾ Règles de calcul de la covariance On se donne des VARD finies X, Y, Z, X 1,..., X n, Y 1,..., Y p et des réels a, b, c et d. 1. Symétrie. Cov(Y, X )=Cov(X,Y ) 2. Linéarité par rapport à la première variable. Cov(aX ( + by, Z )= ) a Cov(X, Z )+b Cov(Y, Z ) n n et Cov X k, Z = Cov(X k, Z ). k=1 k=1 3. Linéarité par rapport à la seconde variable. Cov(X,cY ( + d Z )=ccov(x,y )+d Cov(X, Z ) p p et Cov X, Y k )= Cov(X,Y k ) k=1 k=1 ( ( ) n p n p et plus généralement : Cov X k, Y k )= Cov(X i,y j ) = i=1 j=1 k=1 4. Absorption des constantes. Cov(aX + b,cy + d)= ac Cov(X,Y ). k=1 ( ) p n Cov(X i,y j ) i=1 j=1 Ì ÓÖ Ñ ½ º Indépendance et covariance Si X et Y sont deux VARD finies telles que X (Ω) Y, alors Cov(X,Y ) = 0 et donc E(X Y ) = E(X ) E(Y ). ATTENTION : la réciproque est fausse, on peut avoir Cov(X,Y )=0 avec X et Y non indépendantes. Nous verrons un contre-exemple en TD. Exemple : Il existe un cas où la réciproque est vraie, et cela fait partie des résultats classiques en probabilités : lorsque X et Y sont des lois de Bernoulli, alors X Y Cov(X, Y ) = 0. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Espérance d un produit de VARD finies mutuellement indépendantes On suppose que X 1,..., X n sont des VARD (éventuellement infinies) mutuellement indépendantes, et que f 1,..., f n sont des fonctions numériques telles que les VARD f 1 (X 1 ),..., f n (X n ) sont finies. Alors : [ ] n n E f k (X k ) = E [ f k (X k ) ] k=1 k=1 ATTENTION : ne pas confondre avec la linéarité de l espérance! Exemple : On appelle transformée de Laplace d une VARD finie X la fonction L X (t)=e ( e t X ), définie sur R. Ce n est pas au programme mais cette fonction caractérise la loi de X. n Si X 1,..., X n sont des copies i.i.d. de X, et si S= X k alors : k=1 L S (t)= [ L X (t) ] n ce qui permet d étudier la loi de S.

367 17.5. COVARIANCE D UN COUPLE DISCRET Variance d une somme de VARD Ì ÓÖ Ñ ½ º Variance d une somme de deux VARD finies Si X et Y sont deux VARD finies et (a,b) R 2, alors : Var(aX + by )= a 2 Var(X )+b 2 Var(Y )+2ab Cov(X,Y ) et donc : Var(X + Y )=Var(X )+Var(Y )+2 Cov(X,Y ) ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Variance d une somme de deux VARD indépendantes Si X et Y sont deux VARD (éventuellement infinies) telles que X Y, alors : Var(X + Y )=Var(X )+Var(Y ) La démonstration dans le cas de VARD infinies n est pas au programme de première année. Avant de passer au cas d une somme de n VARD, rappelons une formule d algèbre, valables pour des nombres (x 1,..., x n ) : ( ) n 2 ( n n x k = x i x j )= k=1 i=1 j=1 n x 2 k + x i x j = k=1 (i,j ) 0,n 2 i j n x 2 k + 2 x i x j k=1 0 i<j n Ì ÓÖ Ñ ½ º Variance d une somme de VARD finies Si X 1,..., X n sont des VARD finies, alors : ( ) ( ) n n n Var X k = Cov(X i, X j ) k=1 i=1 j=1 n = Var(X k ) + Cov(X i, X j ) = k=1 (i,j ) 0,n 2 i j n Var(X k ) + 2 Cov(X i, X j ) k=1 0 i<j n Cette formule est loin d être simple! On ne l utilise que sur des cas particuliers. Par exemple, si les variables X 1, X 2,..., X n sont telles que Var(X k ) est une constante a indépendante de k, et Cov(X i, X j ) est une constant b indépendante de i et j, on a : ( ) n n(n 1) Var X k = na+ 2 b k=1 2 Exemple : On dispose d une urne de N boules : N 1 blanches et N 2 noires. On en tire n simultanément, et on note X = nombre de boules blanches obtenues. On sait que X H (N,n, p)

368 368 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES où p = N 1 N. Pour calculer sa variance, on introduit les variables X k, pour k 1, N 1, définie par : { 0 si la boule blanche numéro k est tirée X k = 1 sinon Alors X = N 1 k=1 X k et on en déduit que Var(X )= N n np(1 p). N 1 ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Variance d une somme de VARD deux à deux indépendantes Si X 1,..., X n sont des VARD (éventuellement infinies) deux à deux indépendantes, alors : ( n n Var X k )= Var(X k ) k=1 k=1 La démonstration dans le cas de VARD infinies n est pas au programme de première année. Exemple : On retrouve ainsi facilement que si X B(n, p), alors Var(X ) = np(1 p) Convergences et approximations Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Ì ÓÖ Ñ ½ º Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit X une VARD admettant un moment d ordre 2. Alors : ε>0, P ( X E(X ) ε ) Var(X ) ε 2 et donc en posant m= E(X ) et σ=σ(x ) : ε>0, P ( X m ε ) σ2 ε 2 Cette inégalité confirme l utilisation de l écart-type comme mesure de dispersion. Elle est surtout utilisée pour démontrer des résultats du type loi faible de grands nombres (voir le résultat suivant). Démonstration : On remarque que P ( X m ε ) = P ( X m 2 ε 2) et que P-ps :1 [ X m 2 ε 2 ] 1 ε 2 X m 2. On conclut ensuite par croissance de l espérance. CQFD

369 17.6. CONVERGENCES ET APPROXIMATIONS 369 Ì ÓÖ Ñ ½ º ¼ Loi faible des grands nombres Soit (X n ) n N une suite de VARD i.i.d. de loi B(p). Alors : ε>0, ( X X n P n ) p ε 1 4nε 2 Démonstration : L inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne que : ε>0, ( X X n P n ) p ε p(1 p) nε 2 et une étude de fonction donne que p(1 p) 1 4. CQFD Approximations Ì ÓÖ Ñ ½ º ½ Approximation d une loi hypergéométrique par une loi binomiale Soit X N une VARD de loi H (N,n, p). On a alors : k 0,n, lim P(X N = k)= N + ( ) n p k (1 p) n k k Intuitivement : lorsque le nombre de boules dans l urne est très grand, on peut assimiler les tirages simultanés et sans remises à des tirages avec remise. En pratique : Si X N H (N,n, p) et N 10n, alors on peut choisir l approximation : X N B(n, p). Ì ÓÖ Ñ ½ º ¾ Approximation ( ) binomiale-poisson Soit X n une VARD de loi B n, λ n où λ>0. On a alors : k N, lim P(X λ λk n = k)=e n + k! Ce résultat explique pourquoi la loi de Poisson est appelée «loi des évènements rares». En pratique : Si X n B(n, p) et n 3, λ 0.01 et λ<15, alors on peut choisir l approxi- n mation : X n P (λ) avec λ=np.

370 370 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 17.7 Exercices Ü Ö ½ º½ ÄÓ Ù Ù ÐÐ µ Dans chacune des expériences qui suivent, reconnaître la loi de X. 1. Un sac contient 26 jetons sur lesquels figurent les 26 lettres de l alphabet. On en aligne 5 au hasard que l on aligne afin de former un mot de 5 lettres. X = nombre de voyelles dans ce mot. 2. On range au hasard 20 objets dans 3 tiroirs. X = nombre d objets dans le premier tiroir. 3. Un employé de télémarketing appelle des clients pour leur vendre un volet roulant électrique. La probabilité qu un client achète un volet est de 1 100, et on suppose que sa liste de client est infinie. X = nombre de clients qu elle doit appeler pour vendre le premier volet. 4. Un enclos contient 15 lamas, 15 dromadaires et 15 chameaux. On sort un animal au hasard de cet enclos. X = nombre de bosses. 5. Une urne contient 6 boules vertes, 3 boules rouges et 5 boules bleues. On tire successivement et sans remise 10 boules de l urne. X = nombre de boules vertes tirées. 6. On suppose que la probabilité de naissance d une fille et d un garçon sont identiques. X = nombre de garçons d une famille de 3 enfants. 7. Chaque jour le cours d une action monte avec probabilité 1 3. X = nombre de jours consécutifs avant d oberserver la première baisse. 8. On forme un jury de 6 personnes choisies au hasard dans un groupe composé de 5 hommes et 4 femmes. X = nombre de femmes dans ce jury. 9. On suppose que 1% des trèfles possédent 4 feuilles. On cueille 100 trèfles. X = nombre de trèfles à 4 feuilles cueillis. Ü Ö ½ º¾  ÙÜ ³ Ö Òص Un jeu est dit équitable losque l espérance du gain relatif du joueur est nulle. Pour chacun des jeux suivants, déterminer si le jeu est équitable. 1. Le joueur lance 2 dès. S il sort 7, il gagne 5 euros, sinon il perd 1 euro. 2. Le joueur mise sur rouge ou noir à la roulette au casino (composée de 18 rouges, 18 noirs et du zéro qui est vert). Pour une mise donnée, la casino paye deux fois la mise en cas de sortie de la bonne couleur (la mise est perdue dans tous les cas). 3. Toujours à la roulette, il joue un numéro plein : s il gagne, la casino lui paye 36 fois sa mise en cas de sortie du numéro choisi. 4. Le joueur remplit une grille de loto qui coûte ǫ euros : il choisit 6 numéros entre 1 et 49. Si ses numéros sortent, il gagne un million d euros. Ü Ö ½ º Une urne contient deux boules marquées 1, deux marquées 2 et une marquée 3. On prélève simultanément deux boules au hasard et on appelle X la somme des numéros marqués sur les deux boules. Déterminer la loi de X son espérance et son écarttype. Ü Ö ½ º On lance 4 dès équilibrés, on note X ="le nombre de numéros différents sortis". Déterminer la loi de X puis calculer son espérance et sa variance.

371 17.7. EXERCICES 371 Ü Ö ½ º ÈÐÙ Ö Ò ÒÙÑ ÖÓ Ó Ø ÒÙ ÐÓÖ ³ÙÒ Ø Ö ÑÙÐØ Ò µ 1. Soit N N. Démontrer que pour tout n 0, N : ( ) ( ) N k N+ 1 =. n n On effectue un tirage simultané de n boules dans une urne composée de N boules numérotées de 1 à N. On note X le plus grand des numéros obtenus. (a) Déterminer la loi de X. (b) Déterminer l espérance de X. Ü Ö ½ º ÊÙÔØÙÖ ØÓ µ Un commerçant estime que la demande d un certain produit saisonnier est une vard X de loi : k N, k=n p k P(X = k)= (1+ p) k+1 où p > 0 est le prix d une campagne publicitaire de l année précédente. 1. Vérifier que X suit bien une loi de probabilité. 2. Déterminer l espérance et la variance de X (si elles existent). 3. Connaissant son stock s, déterminer la probabilité de rupture de stock. Ü Ö ½ º ÍÖÒ Ú ÓÙÐ Ð Ò µ On considère une urne de taille N> 1, contenant r boules blanches et N r boules noires (0<r < N). Dans cette urne, on prélève les boules une à une et sans remise, jusqu à l obtention de toutes les boules blanches, et on note X le nombre de tirages qu il est nécessaire d effectuer pour cela. 1. Dans le cas r = 1, reconnaître la loi de X. Donner son espérance. Même question dans le cas r = N. 2. Le cas général : 1<r < N. (a) Déterminer l ensemble des valeurs prises par X. (b) Soit k l une de ces valeurs. Vérifier que : P(X = k)= ( k 1 r 1 ( N r ) ). 3. Montrer que : E(X )= r (N+1) r+1. Ü Ö ½ º n¹ Ñ Ù ÐÓÖ Ø Ö Ò Ö Ñ µ Une urne contient N 1 boules dont r 1 sont rouges et les autres sont blanches. On tire successivement et sans remise toutes les boules. Soit n 1,r. On appelle X n le rang d apparition de la n ème boule rouge. Trouver la loi de X n. Faire le lien avec l exercice précédent. Ü Ö ½ º n¹ Ñ Ù ÐÓÖ Ø Ö Ò Ö Ñ ÐÓ ÒÑ Ð Ò Ø Ú µ On effectue des lancers indépendants d un dé cubique non équilibré. Pour n N fixé on note X n le temps d attente du n ème as. Déterminer la loi de X n, son espérance et sa variance (si elles existent).

372 372 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Ü Ö ½ º½¼ ÍÒ ÓÖÑÙÐ ÐÙРг Ô Ö Ò ³ÙÒ Î Ê µ Soit X une vard vérifiant : X (Ω) N. n 1. Montrer que : n N n 1, kp(x = k)= P(X > k) np(x > n). k=0 2. On suppose que X admet une espérance. k=0 (a) Montrer que : n N, 0 np(x > n) + k=n+1 kp(x = k). (b) En déduire que la série de terme général P(X > n) converge et que sa somme vaut E(X ). 3. Réciproquement : on suppose que n NP(X > n) converge. Montrer qu alors la série kp(x = k) converge et que X admet une espérance. k N 4. Énoncer le théorème ainsi établi. 5. On effectue des tirages d une boule avec remise dans une urne de n boules numérotées. On arrête les tirages lorsque le numéro de la boule tirée est supérieur ou égal au numéro de la boule obtenue au précédent tirage. On note X le nombre de tirages effectués. (a) Déterminer X (Ω). (b) Calculer E(X ). Ü Ö ½ º½½ 1. Soit λ R. Montrer que eλ +e λ + 2 = n=0 λ 2n (2n)!. 2. Soit X P (λ). On note Y la variable aléatoire égale à 0 si X est paire et 1 sinon. Déterminer la loi et l espérance de Y. Couples discrets Ü Ö ½ º½¾ Ü ÑÔÐ ÓÙÔÐ Ö Øµ On choisit au hasard un nombre X entre 1 et n. On choisit alors au hasard avec équiprobabilité un entier Y entre 1 et X. 1. Déterminer la loi du couple (X,Y ), puis la loi de Y. 2. Pour j 1,n, déterminer la loi de X sachant que [Y = j ]. Ü Ö ½ º½ ÓÚ Ö Ò Ø Ò Ô Ò Ò µ Soient U 1 et U 2 deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes deux une loi de Bernoulli de paramètre p ]0, 1[. On pose T = U 1 U 2 et V = U 1 +U Déterminer la loi du couple (T,V ). 2. Calculer Cov(T, V ). 3. T et V sont-elles indépendantes? Ü Ö ½ º½ Soient X et Y deux variables aléatoires de Bernoulli. Montrer que X et Y sont indépendantes si et seulement si Cov(X, Y ) = 0.

373 17.7. EXERCICES 373 Ü Ö ½ º½ Å Ò ÑÙÑ Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÐÓÖ Ø Ö ÑÙÐØ Ò µ On considère une urne contenant N jetons numérotés de 1 à N. On tire simultanément n jetons de l urne (n< N) et on note X le plus petit des numéros obtenus et Y le plus grand. 1. Déterminer les lois de X et Y. 2. Déterminer la loi conjointe de (X,Y ). 3. X et Y sont-elles indépendantes? Ü Ö ½ º½ ÜÔ Ö Ò Ò ÙÜ Ø Ô µ On dispose de n N urnes numérotées de 1 à n : U 1, U 2,..., U n. L urne U k contient k boules numérotées de 1 à k. On choisit au hasard une urne, on note X le numéro de l urne choisie, puis on tire une boule au hasard dans l urne choisie, on note Y le numéro de la boule tirée. 1. Déterminer la loi du couple (X,Y ), en déduire la loi de Y. 2. Déterminer l espérance de Y. 3. Donner un équivalent de E(Y ) lorsque n +. Ü Ö ½ º½ ÌÖ Ò ÖØ ÐÓ ÓÑ ØÖ ÕÙ Ò Ô Ò ÒØ µ On considère deux variables aléatoires X 1 et X 2 indépendantes et de même loi G (p). 1. Déterminer la loi des variables aléatoires Y = min(x 1, X 2 ) et Z = X 1 + X Calculer P(X 1 = X 2 ). Ü Ö ½ º½ ÄÓ ÈÓ ÓÒ ÓÑÔÓ µ Un élément chimique émet des électrons pendant une période T. Le nombre d électrons émis est une variable aléatoire Y qui suit une loi de POISSON de paramètre λ. Chaque électron a une probabilité p d avoir un effet biologique (on dira qu il est efficace). Soit Z la variable aléatoire égale au nombre d électrons efficaces émis pendant une période T. 1. Déterminez la loi du couple (Y, Z ). 2. Déterminez la loi de Z. Calculez son espérance. 3. Les variables Y et Z sont-elles indépendantes? Ü Ö ½ º½ Ô Ö Ò ³ÙÒ ÓÑÑ ÓÒØ Ð ÒÓÑ Ö Ø ÖÑ Ø Ð ØÓ Ö Ð ÐÓ Soit (X n ) n N une suit de VARD i.i.d. de loi B(p), et N une VARD de loi P (λ) indépendante de N (X n ) n N. On pose S = X k. Déterminer la loi de S. k=0 Faire le lien avec l exercice précédent. Ü Ö ½ º¾¼ Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N, indépendantes et de même loi géométrique de paramètre p donnée par : n N, P(X = n)= p(1 p) n 1 où p ]0,1[. On note V la variable aléatoire égale au minimum de X et de Y et W celle égale à la différence X Y. 1. Déterminez la loi du couple (V,W ). Déduisez-en les lois de V et W. 2. Montrez que V et W sont indépendantes.

374 374 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 3. Réciproquement, soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N, indépendantes et de même loi satisfaisant à n N, P(X = n) 0. Les variables aléatoires V et W sont définies comme précédemment. Montrez que si V et W sont indépendantes, alors X et Y suivent une loi géométrique sur N dont on précisera le paramètre. Indication : calculez de deux façons différentes P({X = n+ 1} {Y = n}). P({X = n} {Y = n}) Ü Ö ½ º¾½ Ô Ö Ò ³ÙÒ ÓÑÑ Ð ÓÑÑ ÒÙÑ ÖÓ Ó Ø ÒÙ ÔÖ ÙÜ Ø Ô µ On dispose d une urne contenant n 2 boules numérotées de 1 à n. Soit Y une variable uniforme à valeurs dans Y (Ω)= 0,n. Lorsque Y prend la valeur de y, on tire au hasard y boules dans l urne. On appelle X la somme des numéros tirés. Pour k 1,n, on note X k la variable aléatoire définie par X k = k si la boule numéro k a été tirée et X k = 0 sinon. 1. Déterminer X (Ω). 2. Déterminer, pour tout k 1,n, la loi de X k. 3. Justifier que X = n X k, en déduire l espérance de X. k=1 Ü Ö ½ º¾¾ Î Ö Ð Ð ØÓ Ö ÓÑÔØ µ On dispose d une arène entourée de n cages numérotées de 1 à n, ainsi que de N souris numérotées de 1 à N. On place les souris au milieu de l arène et celles-ci se répartissent au hasard, et de manière indépendante, dans les cages. On note alors Y le nombre de cages vides et X i la variable aléatoire qui vaut 1 si la cage numéro i est vide et 0 sinon. 1. Pour i 1,n. Donner la loi de X i, son espérance et sa variance. 2. Pour (i, j ) 1,n 2 avec i j, déterminer E(X i X j ) et Cov(X i, X j ). 3. Relier Y aux variables X i, 1 i n. En déduire E(Y ) puis V (Y ). 4. Déterminer la probabilité qu aucune cage ne soit vide. Ü Ö ½ º¾ Soit X 0, X 1,..., X N, X N+1 variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant chaque une loi de Bernoulli de même paramètre p ]0,1[. 1. On pose, pour tout n 0, N, Y n = ( X n X n+1 ) 2. Donner la loi de Yn. 2. Soit Z = N Y k. Déterminer V (Z ). k=1 Ü Ö ½ º¾ ÅÓ Ð ÐØÓÒ¹Ï Ø ÓÒµ Soit p ]0,1[. On considère une plante qui peut donner naissance à deux descendants avec la probabilité p, ou à aucun descendant avec la probabilité 1 p. Pour n N, on note X n le nombre de descendants issus de la n ème génération, c est-à-dire le nombre de descendants de notre plante à la (n+ 1) ème génération. On note aussi f la fonction définie sur [0,1] par : f (x)= px 2 + (1 p). a) Montrer que f est strictement croissante sur [0, 1].

375 17.7. EXERCICES 375 b) On définit une suite (u n ) n N par u 0 = 1 p et : n N, u n+1 = f (u n ) Montrer qu elle est bien défnie, puis étudier sa monotonie et sa convergence. c) Pour n N, donner une relation entre P(X n+1 = 0) et P(X n = 0). d) En déduire lim n + P(X n = 0). Interpréter ce résultat.

376 376 CHAPITRE 17. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

377 Chapitre 18 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 18.1 Changements de bases Le but de ce paragraphe est d établir des formules de changement de base, pour des vecteurs ou des applications linéaires, à l aide du calcul matriciel Matrices de passage On se donne E un K-ev de dimension finie égale à n N. Ò Ø ÓÒ ½ º½ Matrice de passage d un base à une autre Soient B 1 et B 2 deux bases de E. On appelle matrice de passage de B 1 à B 2 la matrice : P B1 B 2 = Mat B1 (B 2 ) M n (K) Si B 1 = (e 1,...,e n ), B 2 = (ε 1,...,ε n ) et P = ((p i j )) 1 i,j n on a donc : ε 1... ε j... ε n p p 1j... p 1n e 1 P B1 B 2 =.... p i 1... p i j... p i n e i.... p n1... p n j... p nn e n et en particulier :. j 1,n, ε j = n p i j e i i=1 Remarquons qu une matrice de passage est inversible. Réciproquement toute matrice inversible est une matrice de passage. Exemple : Si B est une base de E, on a : P B B = I n. 377

378 ( PB1 B 2 ) 1= PB2 B CHAPITRE 18. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES Exemple : Si E=R 3 [X ], B 1 = (1, X, X 2, X 3) et B 2 = ( 1, X 1,(X 1) 2,(X 1) 3) alors P B1 B 2 = Voici le résultat principal du paragraphe. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Interprétation d une matrice de passage En considérant l application linéaire id E : (E,B 2 ) (E,B 1 ), on a : P B1 B 2 = Mat(id E,B 2,B 1 ) On en déduit deux résultats très importants. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Produit de matrices passages 1. Soient B 1, B 2 et B 3 trois bases de E. Alors : P B1 B 3 = P B1 B 2 P B2 B 3 2. Soient B 1 et B 2 deux bases de E. Alors P B1 B 2 est inversible et : Formules de changement de bases Commençons par le cas d une famille de vecteurs. Ì ÓÖ Ñ ½ º Formule de changement de base pour une famille de vecteurs On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie, et B 1, B 2 deux bases de E. 1. Cas d un vecteur. Si x E, on pose X = Mat(x), X = Mat(x) et P = P B1 B 2. Alors : B 1 B 2 X = P X X = P 1 X 2. Cas d une famille de vecteurs. Si F est une famille de vecteurs de E, on pose M = Mat(F ), M = Mat(F ) et P = P B1 B 2. Alors : B 1 B 2 M = P M M = P 1 M Étudions maintenant la cas d une application linéaire.

379 18.1. CHANGEMENTS DE BASES 379 Ì ÓÖ Ñ ½ º Formule de changement de base pour une application linéaire On se donne E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, et B 1, B 2 (resp. C 1, C 2 ) deux bases de E (resp. de F). 1. Cas général. Si f L (E,F), on pose A= Mat(f,B 1,C 1 ), A = Mat(f,B 2,C 2 ), P = P B1 B 2 et Q = P C1 C 2. Alors : A= P A Q 1 et A = P 1 A Q Cas d un endomorphisme. Si f L (E, F), on pose A = Mat(f ), A = Mat(f ) et B 1 B 2 P = P B1 B 2. Alors : A= P A P 1 et A = P 1 A P Matrices carrées semblables Ò Ø ÓÒ ½ º Matrices carrées semblables Soient A, B M n (K). On dit que A est semblable à B, lorsqu il existe P M n (K) inversible telle que : A= PBP 1 Si A et B M np (K) vérifient A= PBQ 1 où P M n (K) et Q M p (K) sont inversibles, on dit que A est équivalente à B. Cette notion n est pas au programme d ECS et ne sera donc pas étudiée ici. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º Interprétation de la similitude de deux matrices Soient A, B M n (K). Alors : A et B sont semblables A et B représentent le même endomorphisme dans des bases différentes ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º Propriétés élémentaires de la relation de similitude Soient A, B et C M n (K). 1. Réfléxivité. A est semblable à A 2. Symétrie A est semblable à B B est semblable à A. On peut donc dire que A et B sont semblables. 3. Transitivité A semblable à B et B semblable à C = A semblable à C.

380 380 CHAPITRE 18. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES Ì ÓÖ Ñ ½ º Produit matriciel et matrices semblables Soient A, B M n (K) semblables. On se donne P M n (K) inversible telle que A= P B P On a : k N, donc pour tout k N, A k et B k sont semblables. A k = ( P B P 1) k = P B k P 1 2. A est inversible B est inversible. Dans ce cas, on a : k Z, A k = ( P B P 1) k = P B k P 1. Et donc pour tout k Z, A k et B k sont semblables. ATTENTION : la relation de similitude n est pas stable par addition ou produit matriciel Réduction des endomorphismes et des matrices carées Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n N et f L (E). On aimerait trouver une base B = (e 1,...,e n ) de E telle que Mat(f ) est diagonale (ie la plus simple possible!). Remarquons que si une telle base existe, alors Mat B (f )=Diag(λ 1,...,λ n ) et on a : i 1,n, f (e i )=λ i.e i Cette remarque motive les définitions du paragraphe suivant. Les λ i seront appelées valeurs propres de f, et les e i vecteurs propres de f. B Éléments propres d un endomorphisme Ò Ø ÓÒ ½ º½¼ Valeur propre, spectre, vecteur propre, sous-espace propre 1. Valeur propre. Soit λ K. On dit que λ est valeur propre de f lorsqu il existe x E tel que : f (x)=λ.x et x 0 E L ensemble des valeurs propres de f est appelé spectre de f. On le note Sp(f ). 2. Vecteur propre. Soit λ une valeur propre de f. On appelle vecteur propre de f associé à λ, tout x E tel que : f (x)=λ.x et x 0 E 3. Sous-espace propre. Si λ est une valeur propre de f, on appelle sous-espace propre de f associé à λ : E λ (f )=Ker(f λ.id E )= { x E / f (x)=λ.x } C est un sous-espace vectoriel de E, composé du vecteur nul et de tous les vecteurs propres de f associés à la même valeur propre λ.

381 18.2. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARÉES 381 Exemple : Soit f L (R 3 ) défini par f (x, y, z) = (x+y, x+ z, y + z). On a f (1,1,1)=2.(1,1,1) donc 2 Sp(f ), et on voit facilement que 0 Sp(f ). Exemple : Si n N et D est l endomorphisme de dérivation de K n [X ], on a Sp(D) = {0} et E 0 (D)=K 0 [X ]. Exemple : Pour tout λ. K, Sp(λ.id E )={λ}. En particulier Sp(id E )={1} et Sp(0 L (E) )={0 K }. Exemple : Si p est un projecteur de E, alors Sp(p) {0, 1}. Ì ÓÖ Ñ ½ º½½ Caractérisation des valeurs propres Soit λ K. On a équivalence des propositions : (i) λ Sp(f ) (ii) Ker(f λ.id E ) {0 E } (iii) dim [ Ker(f λ.id E ) ] 1 (iv) f λ.id E n est pas un automorphisme de E (v) rg(f λ.id E )<n ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º½¾ Cas particulier de la valeur propre 0 On a : 0 est valeur propre de f f est un automorphisme de E et dans ce cas E 0 (f )=Ker(f ). Étudions maintenant les liens reliants des sous-espaces propres associés à des valeurs propres différentes. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Propriétés de sous-espaces propres associés à des valeurs propres différentes 1. Si (λ,µ) K 2 sont tels que λ µ, alors Ker ( f λ.id E ) Ker ( f µ.ide ) = {0E }. En particulier si λ et µ sont deux valeurs propres de f distinctes, alors E λ (f ) E µ (f )= {0 E }. Deux sous-espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont donc en somme directe. 2. Si x 1,..., x p sont des vecteurs de f associés à des valeurs propres deux à deux distinctes, alors la famille (x 1,..., x p ) est libre. On en déduit un résultat très important sur le nombre de valeurs propres d un endomorphisme (en dimension finie). ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½ Cardinal du spectre d un endomorphisme Sp(f ) est un ensemble fini et : Card [ Sp(f ) ] dim(e)

382 382 CHAPITRE 18. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES ATTENTION : ce résultat est faux en dimension infinie. Considérer le R-espace vectoriel des fonction dérivables sur R et l endomorphisme D de dérivation. Alors Sp(D)=R. Le résultat suivant sera admis. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Juxtaposition de bases de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes Si λ 1,..., λ p sont des valeurs propres de f deux à deux distinctes, et si B 1,..., B p sont des bases respectives des sous-espaces propres E λ1 (f ),..., E λp (f ), alors la famille B 1 B 2 B p est libre. On en déduit une propriété très importante sur la dimension des sous-espaces propres associés à un un endomorphisme (en dimension finie). ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½ Dimension des sous-espaces propres On a : Card [ Sp(f ) ] dim [ E λ (f ) ] dim(e) λ Sp(f ) Autrement dit, si Sp(f )={λ 1,...,λ p }, alors : p p dim [ E λk (f ) ] dim(e) k= Endomorphismes diagonalisables Ò Ø ÓÒ ½ º½ Endomorphismes diagonalisables f est dit diagonalisable lorsqu il existe une base B de E dans laquelle Mat(f ) est diagonale. Une telle base B est dite base de diagonalisation de f. On dit aussi que B diagonalise f. B Exemple : Pour tout λ K, l endomorphisme λ.id E est diagonalisable. Exemple : Si p est un projecteur de E, alors E est diagonalisable. Rappelons la remarque faite en début de section. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º½ Propriétés d une base de diagonalisation Si B est une base de E qui diagonalise f alors les vecteurs de la famille cab sont des vecteurs propres de f, et les coefficients diagonaux de Mat(f ) sont des valeurs propres de f. B Ce résultat est en fait une équivalence.

383 18.2. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARÉES 383 Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Critère de diagonalisabilité f est diagonalisable si, et seulement si, il existe B base de E formée de vecteurs propres de f. Ce n est pas au programme de première année : si E est de dimension infinie, on dira que f L (E) est diagonalisable lorsqu il existe B base de E formée de vecteurs propres de f (on ne peut pas utiliser de matrice en dimension infinie...). En pratique, on doit donc déterminer les vecteurs propres de f, et en exhiber une base diagonalisante. Pour ce point, les calculs sont longs, on préfère donc utiliser le critère suivant basé sur la dimension. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾¼ Second critère de diagonalisabilité f est diagonalisable si, et seulement si : λ Sp(f ) dim [ E λ (f ) ] = dim(e) Autrement dit, si Sp(f )={λ 1,...,λ p }, alors f est diagonalisable si, et seulement si : p dim [ E λk (f ) ] = dim(e) k=1 Dans ce cas, une base diagonalisante est obtenue en juxtaposant une base de chaque sousespace propre. En pratique, on procède donc ainsi : - on détermine les valeurs propres de f ; - pour chaque valeur propre on calcule la dimension du sous-espace propre associé ; - on conclut si f est diagonalisable ou ne l est pas ; - si ou, la juxtaposition d une base de chaque sous-espace propre donne une base de diagonalisation de f (il ne faut pas le démontrer, cela a été fait dans le théorème précédent). Les calculs restent tout de même longs...on se place donc souvent dans le cas particulier suivant, qui abrège les calculs. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º¾½ Condition suffisante de diagonalisabilité Si n = dim(e) et si Card [ Sp(f ) ] = n, ie f a n valeurs propres distinctes, alors f est diagonalisable, et ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles. Exemple : f L (C 2 ) défini par f (x, y)=(3x+y, x+ 3y) (calculer f (1,1) et f (1, 1)). Terminons par le cas des endomorphismes n ayant qu une seule valeur propre. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º¾¾ Endomorphisme n ayant qu une seule valeur propre Si Sp(f )={λ}, alors f est diagonalisable si, et seulement si, f = λ.id E.

384 384 CHAPITRE 18. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES ATTENTION : à priori, il est possible de trouver un endomorphisme f L (E) tel que Sp(f )=. Pour un R-ev c est possible en dimension finie : considérer f L (R 2 ) défini par f (x, y)= (y, x). Pour un C-ev ce n est possible qu en dimension infinie : considérer f L (C[X ]) défini par f (P)= X.P. L existence d une valeur propre dans le cas d un C-ev de dimension finie est traité dans le paragraphes suivant Éléments propres d une matrice carrée Ò Ø ÓÒ ½ º¾ Éléments propres d une matrice carrée Soit A M n (K). 1. Valeur propre. Soit λ K. On dit que λ est valeur propre de A lorsqu il existe X M n,1 (K) tel que : AX = λ.x et X 0 n,1 L ensemble des valeurs propres de A est appelé spectre de A. On le note Sp(A). 2. Vecteur propre. Soit λ une valeur propre de A. On appelle matrice colonne propre de A associé à λ, tout X M n,1 (K) tel que : AX = λ.x et X 0 n,1 3. Sous-espace propre. Si λ est une valeur propre de A, on appelle sous-espace propre de A associé à λ : E λ (A)=Ker(A λ.i n )= { X M n,1 (K) / AX = λ.x } C est un sous-espace vectoriel de M n,1 (K), composé de la matrice colonne nulle et de toutes les matrices colonnes propres de A associés à la même valeur propre λ. Examinons le lien avec les éléments propres d un endomorphisme. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º¾ Lien avec les éléments propres d un endomorphisme Soit A M n (K), B une base de E et f L (E) tels que n= dim(e) et A= Mat(f ). B 1. Si λ K, alors : On a donc : Sp(A)=Sp(f ). λ est valeur propre de A λ est valeur propre de f 2. Soit λ Sp(A). Si X M n1 (K) on note x le vecteur de E tel que X = Mat(x). Alors : B X est vecteur propre de A associé à la valeur propre λ x est vecteur propre de f associé à la valeur propre λ

385 18.2. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARÉES 385 Le point fort de ce résultat est qu il est vrai dans toute base B de E. La plupart du temps, f est l endomorphisme canoniquement associé à A, ie E=K n et B est la base canonique de K n. Pour alléger les notations, on considère parfois que K n = M n,1 (K) en identifiant vecteurs et matrices colonnes. Dans cas, on peut dire que E λ (A)=E λ (f ). Dans ce cours, nous ne ferons pas ce genre d identification pour éviter toute confusion. Puisque M n (R) M n (C), on a donc deux notions de spectre pour une matrice A de M n (R) : le spectre réel noté Sp R (A) et le spectre complexe noté Sp C (A). Ils vérifient : Sp R (A) Sp C (A) Donnons les résultats principaux sur le nombre de valeurs propres d une matrice. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Nombre de valeurs propres d une matrice 1. Toute matrice de M n (K) admet au plus n valeurs propres. 2. Tout matrice de M n (C) admet au moins une valeur propre complexe. En particulier toute matrice de M n (R) admet au moins une valeur propre complexe. Si A M n (R) on a donc Sp C (A). ATTENTION : si A M n (R) on peut avoir Sp R (A) =. Considérer par exemple A = ( ) Nous en déduisons un résultat déjà énoncé sur les endomorphismes d un C-ev de dimension finie. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º¾ Existence de valeur propres pour un endomorphisme sur un C-ev de dimension finie Si E est un C-ev de dimension finie et si f, alors Sp(f ). Donnons maintenant le résultat qui permet de déterminer en pratique les éléments propres d une matrice. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Caractérisation des valeurs propres Soient λ K et A M n (K). On a équivalence des propositions : (i) λ Sp(A) (ii) Ker(A λ.i n ) {0 n,1 } (iii) dim [ Ker(A λ.i n ) ] 1 (iv) A λ.i n n est pas inversible (v) rg(a λ.i n )<n En pratique ce sont les points (i v) et (v) qui sont généralement utilisés.

386 386 CHAPITRE 18. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º¾ Cas particulier de la valeur propre 0 Soit A M n (K). On a : et dans ce cas E 0 (A)=Ker(A). 0 est valeur propre de A A est inversible On en déduit le résultat très important suivant, qui permet de déterminer le spectre d une matrice triangulaire sans aucun calcul. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º¾ Spectre d une matrice triangulaire Si A M n (K) est triangulaire, alors son spectre coïncide avec ses coefficients diagonaux. Exemple : Déterminer le spectre de l endomorphisme de dérivation sur K n [X ]. Un dernier résultat sur le spectre de deux matrices semblables. Ì ÓÖ Ñ ½ º ¼ Spectre de deux matrices semblables Deux matrices semblables ont le même spectre. ATTENTION : par contre elles n ont pas les mêmes vecteurs propres associés (et donc n ont pas non plus les mêmes sous-espaces propres associés) Exemple : A= et B = ne sont pas semblables Matrices carrées diagonalisables Dans cette section, on fixe A M n (K). Ò Ø ÓÒ ½ º ½ Matrice carrée diagonalisable On dit que A est diagonalisable lorsqu elle est semblable à une matrice diagonale, ie lorsque A= PDP 1 où D M n (K) est diagonale et P M n (K) est inversible. Dans ce cas, les coefficients diagonaux de D sont valeurs propres de A, et les colonnes de P sont matrices colonnes propres de A. Voici le principal résultat. Ì ÓÖ Ñ ½ º ¾ Lien entre matrice et endomorphisme diagonalisable Soit B une base de E, et f L (E) tels que n= dim(e) et Mat(f )= A. Alors : B A est diagonalisable f est diagonalisable

387 18.2. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARÉES 387 Notons que la base de E peut être choisie quelconque. Donnons le résultat permettant de diagonaliser une matrice. Ì ÓÖ Ñ ½ º Critère de diagonalisabilité d une matrice carrée 1. On a : λ Sp(A) dim [ E λ (A) ] n 2. A est diagonalisable si, et seulement si : λ Sp(A) dim [ E λ (A) ] = n Autrement dit, si Sp(A)={λ 1,...,λ p }, alors A est diagonalisable si, et seulement si : p dim [ E λk (A) ] = n k=1 Dans ce cas, une matrice inversible P telle que P 1 AP est diagonale est obtenue en juxtaposant sur ses colonnes une base de chaque sous-espace propre. La matrice diagonale D = P 1 AP est alors obtenu en plaçant sur la diagonale les valeurs propres, dans le même ordre que les vecteurs propres ont été placés sur les colonnes de P. Une valeur propre λ k est donc répétée ν k = dim [ E λk (A) ] fois Méthodes pratiques de réduction Méthode brutale Si f L (E), on fixe B base de E et on pose A= Mat(f ). On est donc ramenée à la réduction d une matrice carrée A M n (K). 1. On commence par déterminer Sp(A) : pour cela on détermine rg(a λ.i n ) en fonction de λ K. Les valeurs propres sont les valeurs de λ pour lesquelles rg(a λ.i n ) n. 2. Pour chaque λ K, on détermine une base de E λ (A). Cela revient à résoudre le système linéaire homogène (A λ.i n ).X = 0 n,1 avec X =. solutions. x 1 x n B. On donne une base de l ensemble des 3. Les calculs sont terminés ; il reste à conclure. Le point 2. donne aussi dim [ E λ (A) ]. On calcule donc dim [ E λ (A) ]. Si on trouve un nombre strictement inférieur à n, alors A λ Sp(A) n est pas diagonalisable. Si on trouve que ce nombre vaut n, alors A est diagonalisable et on continue. 4. Dans le cas où A est diagonalisable, on construit une matrice P en juxtaposant sur ses colonnes une base de chaque sous-espace propre. Elle est inversible puisque c est la matrice

388 388 CHAPITRE 18. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES de passage entre deux bases. La matrice D = P 1 AP est alors diagonale, sur sa diagonale se trouvent les valeurs propres, dans le même ordre que ceux des vecteurs propres sur les colonnes de P. Une valeur propre λ est donc répétée ν=dim [ E λ (A) ] fois Exemple : A= vérifie Sp(A)={0,4} et n est pas diagonalisable Exemple : A= vérifie Sp(A)={0,1} et est diagonalisable Méthode du polynôme annulateur n Soit P(X )= b k X k K[X ]. Pour A M n (K), on pose : k=0 n P(A)= b k A k M n (K) k=0 et pour f L (E) : n P(f )= b k f k L (E) k=0 Ò Ø ÓÒ ½ º Polynôme annulateur 1. On dira que P est annulateur de A lorsque P(A)=0 n. 2. On dira que P est annulateur de f lorsque P(f )=0 L (E). ATTENTION : on ne peut pas dire que A (resp. f ) est racine de P!! En effet, par définition, les racines d un polynômes sont des scalaires de K, et ici A M n (K) (resp. f L (E)). Tout ce qui a été dit sur les racines des polynômes ne s applique pas ici. Par exemple le polynôme X 2 X est de degré 2 et on peut trouver une infinité de matrice A (resp. d endomorphismes f ) tel(le)s que P(A)=0 n (resp. P(f )=0 L (E) ). Nous allons voir qu un polynôme annulateur est utile pour déterminer les valeurs propres. Ò Ø ÓÒ ½ º Spectre et polynôme annulateur On note Z (P) l ensemble des racines dans K de P. 1. Si P est annulateur de A, alors Sp(A) Z (P). 2. Si P est annulateur de f, alors Sp(f ) Z (P). Malheureusement cela ne donne pas directement les valeurs propres. Mais cela réduit très fortement le nombre de candidats, puisqu un polynôme (non nul) a un nombre de racines inférieur ou égal à son degré.

389 18.2. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARÉES 389 Pour savoir quelle sont les valeurs propres, on peut par exemple déterminer une base de Ker(A λ.i n ) (resp. Ker(f λ.id E )) pour chaque λ Z (P). Si on trouve que cette espace est réduit à {0 n,1 } (resp. {0 E }), c est que λ n est pas une valeur propre. On est alors ramené au point 3. du paragraphe précédent Exemple : Soit A= Vérifier que A 3 + A 2 2A= 0 n. En déduire que A est diagonalisable Réduction partielle grâce des sev supplémentaires stables Parfois, on essaye juste de trouver la matrice la plus simple possible, sans parvenir à une matrice diagonale. Supposons que E=F G avec F et G stables par f : x F, f (x) F et x G, f (x)= G Dans ce cas si on considère une base B de E adaptée à la somme directe (ie B= B F B G avec B F base de F et B G base de G), alors : ( Mat(f )= B où p = dim(f), A= Mat B F ( f F ) et B = Mat B G ( f G ). 0 p,n p A 0 n p,p B Exemple : Projecteur. Si A M n (K) est une matrice de projecteur alors A est semblable à : ( I p 0 p,n p 0 n p,p 0 n p 1 ) = )... 0 où p = rg(a). Exemple : Symétrie. Si A M n (K) est une matrice de symétrie alors A est semblable à : ( I p 0 p,n p 0 n p,p I n p 1... ) = où p = rg(a+i p ).

390 390 CHAPITRE 18. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES Exemple : Matrice dont le rang est «petit». A =. 0 n 2.. Montrer que R n = Ker(A) Vect(u 1,u 2 ) où u 1 = (1,1,...,1) et u 2 = (1,0,...,0,1). En déduire que A est semblable à la matrice : n = n n Applications de la diagonalisabilité Puissances d une matrice carrée C est la principale application. Si A M n (K) est semblable à une matrice diagonale D = Diag(λ 1,...,λ n ) : A= PDP 1 avec P M n (K) inversible alors on a : Exemple : Si A = que : k N, A k = PD k P 1 où D k = Diag(λ k 1,...,λk n ) ) ( ) 5 0 alors A = PDP 1 avec D = et P = 0 1 ( ( 2 5 n + ( 1) n 2 5 n + 2 ( 1) n ) ( ). On en déduit n N, A n = n + ( 1) n 5 n + 2 ( 1) n Suites récurrentes couplées Si (u n ) n N et (v n ) n N sont deux suites à valeurs dans K telles que : n N, { un+1 = au n + bv n v n+1 = cu n + d v n avec (a,b) R 2, on se ramène à l étude d une suite de matrices colonnes. Pour cela on pose, pour tout n N, X n = ( un v n ) et on remarque que : ( ) a b n N, X n+1 = AX n avec A= c d On en déduit que : n N, X n = A n X 0 et le calcul de A n par réduction permet donc de calculer les termes généraux u n et v n en fonction de n. On peut bien évidemment généraliser à un nombre quelconque de suites.

391 18.3. APPLICATIONS DE LA DIAGONALISABILITÉ 391 Exemple : Déterminer le terme général des suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par u 0 = 0, v 0 = 1 et : { un+1 = 3u n 4v n n N, v n+1 = 2u n + v n Suites récurrentes linéaires On peut aussi se ramener à l étude d une suite d ordre 1 de matrices colonnes. Par exemple si (u n ) n N vérifie : u n n N, on pose X n = u n+1 et on remarque que : u n+2 On a alors : u n+3 = au n+2 + bu n+1 + cu n n N, X n+1 = AX n avec A= c b a u n u 0 n N, X n = u n+1 = A n X 0 = A n u 1 u n+2 u 2 Le calcul de A n par réduction permet donc de calculer le terme général u n en fonction de n.

392 392 CHAPITRE 18. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES 18.4 Exercices Ü Ö ½ º½ Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables dans R ou dans C? Si oui, les diagonaliser A= B = ( ) 5 3 Ü Ö ½ º¾ Soient A = et n N. L équation X n = A a-t-elle une solution X 6 2 M 2 (R)? Ü Ö ½ º Soit n N. On considère l application : u : R n [X ] R n [X ] P (X 1)P X P 1. Montrer que u est un endomorphisme de R n [X ], et déterminer sa matrice relativement à la base canonique de R n [X ]. 2. u est-il diagonalisable? Ü Ö ½ º Soit u un endomorphisme de E (où E de dimension finie) vérifiant : u 3 +u 2 = 0 L (E). 1. Montrer que Sp(u) { 1, 0}. 2. Vérifier que : E = Ker(u) Ker(u+ Id E ). 3. En déduire que u est diagonalisable. Ü Ö ½ º ÓÒ Ð Ø ÓÒ ÑÙÐØ Ò µ Soient A et B deux matrices de M n [K) qui commutent. On suppose que A admet n valeurs propres distinctes. Montrer qu il existe P M n (K) inversible telle que PAP 1 et PBP 1 sont diagonales. Le résultat reste vrai si on suppose seulement A diagonalisable, mais il est plus difficile à démontrer... Ü Ö ½ º Soient (n, p) N, f L (R n,r p ) et g L (R p,r n ). 1. Montrer que f g et g f ont les mêmes valeurs propres non nulles. 2. Si n = p, montrer que f g et g f ont les mêmes valeurs propres. Ü Ö ½ º Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et A M n (R), une matrice de terme général a i,j défini par : i 1,n, a i,i = i et (i, j ) 1,n 2,i j = a i,j = 1 x 1 1. Soit λ R et X =. x n M n,1 (R). On pose s= n k=1 x k. Montrer que : s = λx 1 s = (λ 1)x 2 AX = λx si et seulement si.. s = (λ n+ 1)x n

393 18.4. EXERCICES Montrer que si λ est une valeur propre de A, alors n 1 k=0 1 λ k = Établir la réciproque de la question précédente, à savoir : si n 1 une valeur propre de A. 4. En déduire que A est diagonalisable. k=0 1 λ k = 1, alors λ est