Sciences Industrielles pour l Ingénieur

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1 Centre d Intérêt 7 : TRNSMTTR l'énergie spect MOUMNT Compétences : Modéliser, Résoudre CINMTIQU DU SOLID INDORML : ssocier aux liaisons un torseur cinématique. Déterminer la trajectoire, les vecteurs vitesse et accélération d'un point d'un solide par rapport à un autre. ntraînement sur cours 2 et 3 avec correction COURS TP TD utonomie I/ MOUMNTS CROISS On cherche l'expression de la vitesse,2/. Caractériser le torseur cinématique de chaque liaison. n déduire le torseur cinématique de 2/ et la vitesse,2/. Correction : Q1 : L écriture sous forme de torseur des 2 liaisons glissière donne : 1/ 1/,1/ x. x 2/1 2/1,2/1 y. y Q2 : Le cours montre que l écriture sous forme de torseur de liaisons glissière ne dépend pas du point d application. Si on choisit d exprimer la composition suivante au point (on aurait pu en choisir un autre) : 2/,2/ 2/1,2/1 + 1/,1/ y. y + x. x y. y + x. x 2/ II/ RRS PRPNDICULIRS On cherche l'expression de la vitesse,2/. Caractériser le torseur cinématique de chaque liaison (forme globale puis détaillée). Déterminer,2/ en utilisant la composition des torseurs de la question précédente. CPG TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 1 -

2 Correction : Q1 : L écriture sous forme (globale et détaillée) des torseurs au centre de ces 2 liaisons conduit à : Sciences Industrielles pour l Ingénieur 1/ 1/,1/. z 2/1 2/1,2/1 O. x 1 O Q2 : La composition suivante des torseurs nous permet de répondre à la question : 2/ 2/1 + 1/ Ces torseurs sont exprimés au point puisque la question l impose : 2/,2/ 2/1,2/1 + 1/,1/ or, d après Q1 et de la loi de distributivité : n ne prenant que le moment du torseur : 2/,2/. x 1 +. z,1/ +. z,2/. x 1 +. z ( b. z +. x 1 ),2/. x y 1 III/ PLTORM MDICL L étude porte sur un mécanisme utilisé en radiographie pour positionner et orienter un patient se tenant sur le plateau 4. On donne ci-dessous son schéma cinématique et le paramétrage. PRMTRG : fin de dimensionner les éléments de ce mécanisme, on doit déterminer l'expression de la vitesse du patient par rapport au sol, soit,4/. O a t. y a. y avec a : variable C b. x D c. z D d t. z d. z avec d : variable e. z + f. y 4 θ t θ x, x 1 z, z 1 exprimé en rad β t β x, x 4 y, y 4 exprimé en rad p : pas à droite de l hélice en mm. Origines de R et de R1 : O ; origine de R2 : ; origines de R3 et R4 :. Il est fortement conseillé de colorer les CC 1, 2, 3 et 4 en liaison. aire ensuite les figures planes. Q1 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée utilisant le paramétrage) caractérisant le mouvement du solide (1) par rapport au solide (), au centre de la liaison O. CPG TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 2 -

3 Q2 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée utilisant le paramétrage) caractérisant le mouvement du solide (2) par rapport au solide (), au centre de la liaison (on considèrera une liaison glissière). Q3 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée utilisant le paramétrage) caractérisant le mouvement du solide (1) par rapport au solide (2), au centre de la liaison. Q4 : n déduire la relation entre a, p, θ en utilisant la composition des 3 torseurs précédents. Q5 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée utilisant le paramétrage) caractérisant le mouvement du solide (3) par rapport au solide (2), au centre de la liaison D. Q6 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée utilisant le paramétrage) caractérisant le mouvement du solide (4) par rapport au solide (3), au centre de la liaison. Q7 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale) caractérisant le mouvement du solide (4) par rapport au solide (), au point. Déterminer alors,4/ puis,4/ en fonction de d, f, p, β, θ en utilisant les résultats précédents et en démarrant obligatoirement par une composition des torseurs. Correction : Q1 : 1/ 1/ O,1/ O Q2 : 2/ 2/,2/ θ. y O a. y Q3 : 1/2 1/2,1/2 Q4 : θ. y p. θ. y 2π 1/ 1/2 + 2/ au point, dont on déduit : a p 2π. θ Q5 :,3/2 D,3/2 + 3/2 D d. z donc 3/2 3/2 D D,3/2 d. z D Q6 : 4/3 4/3,4/3 β. z Q7 : 4/ 4/,4/ Composition des torseurs pour déterminer,4/ : 4/ 4/3 + 3/2 + 2/ 4/,4/ 4/,4/ 4/3,4/3 β. z + 3/2,3/2 +,3/2 + 2/,2/ +,2/,3/2 d. z,2/,2/ + 2/ a. y p. θ. y 2π inalement : 4/,4/ β. z d. z p 2π. θ. y La loi de distributivité donne ensuite :,4/,4/ + 4/ soit :,4/ d. z p 2π. θ. y + β. z (e. z + f. y 4 ),4/ d. z p 2π. θ. y f. β. x 4 CPG TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 3 -

4 I/ RITUR GLTS Sciences Industrielles pour l Ingénieur Les variateurs mécaniques à galets reposent tous sur le même principe de fonctionnement mais diffèrent dans leur réalisation par la forme des galets et des poulies. n effet, le principe retenu pour ce type de variateur est d avoir deux poulies : une sur l arbre d entrée et l autre sur l arbre de sortie. ntre ces deux poulies, des galets transmettent le mouvement de rotation de l arbre d entrée par adhérence et le restitue également par adhérence à l arbre de sortie. La variation de vitesse de ce système réside dans la position du galet par rapport aux rayons des poulies d entrée et de sortie. On donne le dessin d un variateur entre l arbre d entrée (2) et l arbre de sortie (4). La variation est assurée grâce au déplacement radial du galet (3) (phase de réglage). On se place en dehors de la phase de réglage. Le bâti est (1). L'objectif est de déterminer la relation entre la vitesse angulaire d'entrée ω 21 et celle de sortie ω 41. PRMTRG : (x 1, x 3 ) α constante C R 1. y 3 D R 2. y 3 ttention, y 3 est fixe et ne tourne pas avec (3). On pose pour i 2 à 4 : i/1 ω i1. vecteur unitaire de l'axe ; par exemple : 2/1 ω 21. x 1 Il est fortement conseillé de colorer les CC 1, 2, 3, 4 et 5 en liaison. Q1 : n exprimant que (3) roule sans glisser sur (2) au point, déterminer la relation entre ω 31 et ω 21. TTNTION : Indiquer, dans votre démonstration rigoureuse, les formules des cours 2 et 3 que vous utilisez. Q2 : De manière similaire, déterminer la relation entre ω 31 et ω 41. Q3 : n déduire le rapport de réduction r ω 41 / ω 21. Q4 : Déterminer la vitesse,3/2 du point ' situé à la distance ε du point. quelle condition cette vitesse est-elle nulle (nonglissement)? CPG TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 4 -

5 léments de correction : Q1 : La condition de non-glissement se traduit par :,3/2. Par la composition des vitesses du point,3/r1 et,2/r1, puis par la distributivités des vitesses de et C au sein du solide 3 et la distributivité des vitesses de O1 et au sein du solide S2, on obtient : R 1 Q2 : De même : Q3 : inalement : a R 2 a. R 2 R 1 Q4 : Par la distributivité des vitesses de et ' au sein du solide 3, par rapport au repère 2 :,3/ R 1. cos 1. z 1 Cette vitesse n est pas nulle (glissement), sauf si R 1 cos. / DISTRIUTUR D PIZZS L étude porte sur un mécanisme utilisé comme élévateur dans un distributeur automatisé de fabrication de pizzas. La fonction de cet ensemble mécanique est de transférer les dosettes (pâte, tomates, fromage, etc.) vers un préparateur qui est chargé de vider ces dosettes (position finale du transfert). On donne ci-dessous le schéma cinématique et le paramétrage. L'objectif est de déterminer la nature du mouvement du plateau 5, support des dosettes, par rapport au bâti. PRMTRG : O a t. x + b. y avec a(t) variable C 2. L. x 2 C a. x CD D D L θ t θ x, x 2 y, y 2 G c. x 5 + d. y 5 Il est fortement conseillé de colorer les CC 1, 2, 3, 4 et 5 en liaison. aire ensuite les figures planes. Q1 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée utilisant le paramétrage) caractérisant le mouvement du solide (1) par rapport au solide (), au centre de la liaison O. Q2 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée utilisant le paramétrage) caractérisant le mouvement du solide (2) par rapport au solide (1), au centre de la liaison. CPG TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 5 -

6 Q3 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée utilisant le paramétrage) caractérisant le mouvement du solide (5) par rapport au solide (2), au centre de la liaison. Q4 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale seulement) caractérisant le mouvement du solide (5) par rapport au solide (), au point. Q5 : Déterminer alors,5/ puis G,5/ en fonction des paramètres, en utilisant les résultats précédents et en démarrant obligatoirement par une composition des torseurs. Q6 : n déduire finalement la nature du mouvement du solide (5) par rapport au solide (). quelle condition aura-t-on une translation rectiligne (verticale)? léments de correction : Q1 : 1/ 1/ O,1/ O Q2 : 2/1 2/1,2/1 Q3 : 5/2 5/2,5/2 a. x O θ. z θ. z Q4 : 5/ 5/,5/ Q5 : Composition des torseurs pour déterminer,5/ : 5/ 5/2 + 2/1 + 1/ 5/,5/ 5/2,5/2 + 2/1,2/1 + 1/,1/ 5/,5/ θ. z + θ. z,2/1 +,1/ Or,2/1,2/1 + 2/1 d. z,1/ O,1/ a. x car 1/,2/1 + θ. z 2. L. x 2 2. L. θ. y 2 Donc : 5/,5/ 2. L. θ. y 2 + a. x Q6 : La loi de distributivité donne : G,5/,5/ + 5/ G,5/ 5/ G G,5/ 5/,5/ 2. L. θ. y 2 + a. x Ce torseur représente une translation donc nature du mouvement translation dans le plan (x, y ). n exprimant y 2 dans, on démontre que la composante selon x peut être annulée si 2. L. θ. sin(θ) a. On a alors une translation rectiligne verticale. I/ TRIN NT D HICUL L étude porte sur le train avant d un véhicule. On donne ci-dessous son schéma cinématique et le paramétrage. Le solide () est lié au châssis et le solide (5) est une roue. (CD) forme un parallélogramme déformable. CPG TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 6 -

7 On veut connaître la vitesse d'un point G de la roue (5) par rapport au châssis (). Sciences Industrielles pour l Ingénieur PRMTRG : CD a. z C D b. y 1 C c. z d. y 4 t y, y 1 y, y 2 β t β x, x 4 t z, z 5 G e. y 4 + f. z 5 Il est fortement conseillé de colorer les CC 1, 2, 3, 4 et 5 en liaison. Compléter ensuite les figures planes. Q1 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée utilisant le paramétrage) caractérisant le mouvement du solide (1) par rapport au solide (), au centre de la liaison. Q2 : Sachant que y 1, y 3 θ, exprimer le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée utilisant le paramétrage) caractérisant le mouvement du solide (3) par rapport au solide (1), au centre de la liaison C. Q3 : près avoir remarqué que 3 est en mouvement de translation circulaire par rapport à () dans le plan, y, z, en déduire (par une composition de torseurs) le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée en fonction de et b) caractérisant le mouvement du solide (3) par rapport au solide (), au point C. Q4 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée utilisant le paramétrage) caractérisant le mouvement du solide (4) par rapport au solide (3), au centre de la liaison. Q5 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale puis détaillée utilisant le paramétrage) caractérisant le mouvement du solide (5) par rapport au solide (4), au centre de la liaison. Q6 : crire le torseur cinématique (forme vectorielle globale seulement) caractérisant le mouvement du solide (5) par rapport au solide (), au point. Q7 : Déterminer alors,5/ puis G,5/ en fonction des paramètres en utilisant les résultats précédents. léments de correction : Q1 : 1/ 1/,1/. x Q2 : 3/1 3/1 C,3/1 C θ. x C Q3 : 3/ 3/1 + 1/ θ. x C +. x b.. z 1 C b.. z 1 C Q4 : 4/3 4/3,4/3 β. z CPG TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 7 -

8 Q5 : 5/4 5/4,5/4. y 4 Q6 : 5/ 5/,5/ Q7 : Composition des torseurs pour déterminer,5/ : 5/ 5/4 + 4/3 + 3/ 5/,5/ 5/4,5/4 + 4/3,4/3 + 3/,3/ 5/,5/. y 4 + β. z,4/3 +,3/ Or,,4/3,4/3 + β. z d. y 4 d. β. x 4,3/ C,3/ b.. z 1 Donc :,5/ d. β. x 4 + b.. z 1 La loi de distributivité donne : G,5/,5/ + 5/ G G,5/ d. β. x 4 + b.. z 1 + (. y 4 + β. z ) (e. y 4 + f. z 5 ) G,5/ d. β. x 4 + b.. z 1 + f.. x 5 e. β. x 4 + f. β. sin( ). y 4 II/ TRIN PICYCLOÏDL Un train épicycloïdal (figure ci-contre) est constitué d engrenages. Il permet d obtenir un fort rapport de réduction entre la vitesse angulaire d entrée et celle de sortie, le tout dans un faible encombrement. Satellite 2 z Le pignon 1 et le porte satellite 3 sont en rotation d axe (, z ) / châssis. Le satellite 2 est en rotation d axe (, z ) par rapport au porte-satellite 3. La couronne dentée est fixe car liée au châssis. Porte-satellite 3 Le pignon 1 (entrée du mouvement), engrenant avec le satellite 2, lui-même engrenant avec la couronne fixe, provoque la rotation du porte-satellite 3 qui constitue la sortie de cette partie du réducteur. ntre 1 et 2 : liaison par engrenage (contact ponctuel de normale (I, y 3 ). ntre 2 et : liaison par engrenage (contact ponctuel de normale (J, y 3 ). L'objectif est de déterminer la relation fixant le rapport de réduction, c'està-dire la relation : 3/ f( 1/ ). Pignon 1 Couronne liée au châssis Il est fortement conseillé de colorer les CC, 1, 2 et 3 en liaison. CPG TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 8 -

9 Couronne x y Ce mécanisme évolue dans le plan (, x, y ). On donne les notations suivantes : R (, x, y, z ) lié au châssis. R 1 (, x 1, y 1, z ) lié au pignon 1. R 2 (, x 2, y 2, z ) lié au satellite 2 R 3 (, x 3, y 3, z ) lié au porte-satellite 3. itesses angulaires : 1/ 1/. z 2/3 2/3. z 3/ 3/. z Distance : I I R 1 I I J J R 2 Les points, I, et J sont toujours alignés et toujours portés par l axe x xprimer la condition de non glissement (équation vectorielle) au point J entre les solides 2 et. 2. ppliquer la loi (formule) de composition des vitesses linéaires sur votre résultat précédent en faisant intervenir le solide 3 dans l équation vectorielle recherchée. 3. ppliquer, sur les 2 vecteurs vitesses de votre résultat précédent, la loi de distributivité (au sein du solide 2 pour l un et au sein du solide 3 pour l autre) afin d obtenir la relation (1) : 2/3 f( 3/, R 1, R 2 ). 4. xprimer la condition de non glissement (équation vectorielle) au point I entre les solides 2 et ppliquer la loi (formule) de composition des vitesses linéaires sur votre résultat précédent en faisant intervenir les solides 3 et dans l équation vectorielle recherchée. 6. ppliquer, sur les 3 vecteurs vitesses de votre résultat précédent, la loi de distributivité afin d obtenir la relation (2) : 2/3 f(( 1/, 3/, R 1, R 2 ) 7. n déduire finalement la relation 3/ f( 1/, R 1, R 2 ). léments de correction : 1. On rappelle le cours : la condition de non glissement entre 2 solides m et n en contact en un point s exprime par l équation vectorielle :,m /n. Donc ici : 2. J,2/ J,2/3 + J,3/ J,2/ 3. J,2/,2/3 + 2/3 J +,3/ + 3/ J 2/3. z R 2. x 3 + 3/. z (R R 2 ). x 3 R 2. 2/3. y 3 + (R R 2 ). 3/. y 3. n projetant sur l axe y 3, cela donne : 2/3 (R R 2 ). 3/ R 2 CPG TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 9 -

10 4. I,2/1 5. I,2/1 I,2/3 + I,3/ + I,/1 6. I,2/1,2/3 + 2/3 I +,3/ + 3/ I,1/ + 1/ I 2/3. z R 2. ( x 3 ) + 3/. z R 1. x 3 1/. z R 1. x 3 R 2. 2/3. y 3 + R 1. 3/. y 3 R 1. 1/. y 3 n projetant sur l axe y 3, cela donne : 2/3 R 1. 3/ R 1. 1/ R 2 7. n combinant les 2 résultats précédents, on arrive à : CPG TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 1 -