Méthodes de simulation exacte Application au pricing d options asiatiques. M. Sbai sous la direction de B. Jourdain

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1 Méthodes de simulation exacte Application au pricing d options asiatiques M. Sbai sous la direction de B. Jourdain CERMICS-ENPC Colloque Jeunes Probabilistes et Statisticiens Aussois 28 M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois 28 1 / 36

2 Plan 1 Méthodes de simulation exacte Algorithme de simulation exacte de Beskos et al. [1] Méthode de calcul exacte d espérances 2 Application : Pricing d options Asiatiques 3 Conclusion M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois 28 2 / 36

3 En finance, pour calculer des prix d options ou des sensibilités, on peut se ramener au calcul de C = E(f (X T )) où X est la solution d une EDS. Si la loi de X T est inconnue ou difficilement simulable, on utilise des schémas de discrétisations (Euler, Milstein...). on fait de la simulation exacte (par exemple avec une méthode de rejet comme pour l algorithme de Beskos and al. [1]). Avantage d une méthode exacte : pas de biais de discrétisation M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois 28 3 / 36

4 Plan 1 Méthodes de simulation exacte Algorithme de simulation exacte de Beskos et al. [1] Méthode de calcul exacte d espérances 2 Application : Pricing d options Asiatiques 3 Conclusion M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois 28 4 / 36

5 Sans perte de généralité, on part de l EDS 1D suivante : { dxt = a(x t )dt + dw t X = x. (1) ( Si X a un coefficient de diffusion σ(.), faire le changement de variables Y t = η(x t ) avec η(x) = x 1. σ(u) du ). On note par (Wt x ) t [,T] le Brownien issu de x. Hypothèse 1 : [ t L t = exp a(wu)dw x u x 1 2 t ] a 2 (Wu)du x est une martingale. M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois 28 5 / 36

6 Donc QW x est a.c par rapport à Q X et dqx dqw x [ T = exp a(wu)dw x u x 1 T ] a 2 (W x 2 u)du Hypothèse 2 : a est continûment différentiable. Soit A une primitive du drift a. Grâce au lemme d Itô, on se débarrasse de l intégrale stochastique : dqx dqw x [ = exp A(WT) x A(x) 1 T ] a 2 (W x 2 u) + a (Wu)du x Hypothèse 3 : La fonction u exp(a(u) (u x)2 2T ) est intégrable. Soit h la densité définie par h(u) = Cexp(A(u) (u x)2 2T ). M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois 28 6 / 36

7 On considère le processus Z qui a pour loi ( ) L (Wt x ) t [,T] WT x = y h(y)dy Alors dqx dqz QZ = R = dq X dqw x dqw x dqz où C est une constante de normalisation. [ = C exp 1 T ] a 2 (Z t ) + a (Z t )dt 2 Hypothèse 4 : La fonction φ : u a2 (u)+a (u) 2 est minorée. donc k R tel que dqx dqz T = Ce kt exp [ φ(z t ) k dt ]. } {{ } 1 M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois 28 7 / 36

8 Principe de l algorithme Soit Z(ω) une réalisation du processus Z et soit M(ω) une borne supérieure de la fonction t φ(z t (ω)) k. Soient N P ( TM(ω) ) i.i.d et (U i, V i ) i=1...n U ( [, T] [, M(ω)] ) P (#{i N, V i φ(z Ui (ω)) k} = ) = exp [ T ] φ(z t (ω)) k dt M M T T Accept! Reject! M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois 28 8 / 36

9 Hypothèse 5 : lim sup φ(u) < + ou lim sup φ(u) < +. u + u Par exemple, si on a lim sup φ(u) < + alors u + Algorithme de Beskos et al. [1] 1 Simuler Z T h. 2 Simuler m = min{z Z T }. 3 Fixer une borne supérieure M(m) = sup{φ(u) k; u m}. 4 Simuler N P ( TM(m) ) et (U i, V i ) i=1...n i.i.d U ( [, T] [, M(m)] ). 5 Simuler Z aux temps intermédiaires (U i ) i=1...n. 6 Calculer le nombre de points (V i ) i=1...n tel que V i φ(z Ui ) k. S il est égal à, accepter la trajectoire simulée Sinon, rejeter la trajectoire et recommencer. M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois 28 9 / 36

10 - Une trajectoire, une fois acceptée, peut être simulée à d autres temps intermédiaires sans de nouveaux tests d acceptation/rejet. - On peut remplacer le Brownien par n importe quel processus qui a une loi a.c par rapport à celle de X et qu on sait simuler de manière récursive. - L extension de l algorithme dans le cas de coefficients dépendant du temps ne pose pas de problèmes particuliers. - L hypothèse 5 peut être assez restrictive en pratique. M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois 28 1 / 36

11 Plan 1 Méthodes de simulation exacte Algorithme de simulation exacte de Beskos et al. [1] Méthode de calcul exacte d espérances 2 Application : Pricing d options Asiatiques 3 Conclusion M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

12 On cherche à calculer Sous les hypothèses 1 et 2, on a C = E C = E (f (X T )). ( [ f (WT) x exp A(WT) x A(x) 1 T ]) a 2 (Wt x ) + a (Wt x )dt. 2 Soient ρ une densité réelle et Z un processus qui a pour loi ( ) QZ = L (Wt x ) t [,T] WT x = y ρ(y)dy. R On a alors avec ψ : z C = E (z x) 2 ea(z) A(x) 2T 2πρ(z) ( [ T ]) f (Z T )ψ(z T ) exp φ(z t )dt et φ : z a2 (z)+a (z) 2. (2) M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

13 Un estimateur sans biais On se donne, conditionnellement à Z = (Z t ) t [,T], N p Z avec p Z une loi de probabilité sur N. (U i ) i N i.i.d q Z avec q Z une densité de probabilité sur [, T]. N et (U i ) i N indépendants et c Z R. ( [ ]) On suppose que (I.C) E f (Z T )ψ(z T ) e czt T exp c Z φ(z t ) dt < Lemma f (Z T )ψ(z T )e c ZT 1 p Z (N) N! est un estimateur sans biais de C. N i=1 c Z φ(z Ui ) q Z (U i ) M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

14 Preuve : ( ) (Z) = E f (Z T )ψ(z T )e c 1 N c ZT Z φ(z Ui ) Z p Z (N) N! q Z (U i ) ( i=1 ) T n + = f (Z T )ψ(z T )e c c Z φ(z t )dt ZT p Z (n) p Z (n) n! ( n= T ) = f (Z T )ψ(z T ) exp φ(z t )dt. - L idée remonte à Wagner [19] (début des années 9). - Indépendamment, Beskos et al. [2] et Fearnhead et al. [5] ont introduit deux versions particulières de cet estimateur : le Poisson estimator et le Generalized Poisson estimator. M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

15 C est une extension de l algorithme de BPR : sous les hypothèses 3, 4 et 5, la condition d intégrabilité est vérifiée. Mieux encore, l estimateur est aussi de carré intégrable. Réduction de variance : Importance sampling : le choix du process Z est décisif. Le choix des paramètres p Z et q Z? Un cas simple : e ( T g(t)dt = 1 ) N g(u i ) E p(n) N! i=1 q(u i ) avec g : [, T] R. q opt (t) = g(t) T g(t) dt 1 [,T](t) et p opt (n) = Shifting : le paramètre c Z. ( T g(t) dt ) n n! e T g(t) dt M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

17 Dans le modèle Black & Scholes, sous la probabilité risque neutre ds t S t = (r δ)dt + σdw t donc S t = S e σwt+γt avec γ = r δ σ2 2. Le prix d une option asiatique continue avec pour pay-off f : C = E ( e rt f ( 1 T T )) S u du Pas de formule fermée Numerical methods : Approximations analytiques (Turnbull et Wakeman [16], Vorst [18], Levy [12] et plus récemment Lord [13]). Méthodes d EDP (Vecer [17], Rogers et Shi [14], Ingersoll [8], Lelievre et Dubois [4]). Méthodes Monte Carlo (Kemna et Vorst [1], Broadie et Glasserman [3], Fu et al. [6], Lapeyre et Temam [11]). Méthode de transformée de Laplace (Geman et Yor [7]). M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

18 À priori, on a un problème bi-dimensionnel : avec S t = 1 t t S udu, on a { dst = S t ((r δ)dt + σdw t ) ds t = ( 1 t S t + St t )dt Mais, on peut faire un chgt de variables (Rogers et Shi [14]) pour se ramener à une dimension. On a besoin d un nouveau chgt de variables (problème en t = ) ξ t = S t e σ(wt Wu)+γ(t u) du t ξ = S. T T ξ T = 1 T S e σ(w T W T s )+γs ds et 1 S u du ont la même loi ( T C = E e rt f (ξ T ) ) (ξ t ) t [,T] est solution de { ( ) dξ t = ξ ξ t t dt + ξ t σdw t + (γ + σ2 2 )dt ξ = S. M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

19 X t = log( ξ t ξ ) { dxt = σdw t + γdt + e X t 1 t dt X =. Difficulté : la singularité du drift en t = empêche X d avoir une loi a.c par rapport à la loi de W. On considère plutôt dz t = σdw t + γdt Z t t dt; Z = X =. (4) Lemma On a existence et unicité trajectorielle pour (3) et (4). De plus, (3) Z t = σ t t s dw s + γ t est solution de (4). 2 (Z t ) t [,T] est un processus Gaussian et Z T N ( γ σ2 2 T, 3 T). M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

20 Proposition [ t e Zs 1 + Z s L t = exp dw s 1 t ( e Z s ) Z s ds] σs 2 σs ( est une martingale. Par suite, C = E e rt f (S e Z ) T )L T Preuve : Par la L.L.I du mouvement Brownien, on montre que ɛ >, il existe un voisinage (aléatoire) de t = pour lequel Z t ct 1 2 ɛ et X t ct 1 2 ɛ. Donc, presque sûrement, t ( e Z s 1 + Z s ) 2 ds < and t σs ( e X s 1 + X s ) 2 ds <. σs On conclut grâce à l existence et l unicité trajectorielle des EDS (3) et (4). M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois 28 2 / 36

21 Soit A(t, z) = 1 z + z2 2 e z σ 2. Par le lemme d Itô t T T e Zt 1 + Z t 1 Z t + Z2 t 2 A(T, Z T )= σ 2 dz t e Zt 1 e Zt t σ 2 t 2 dt + dt. 2t ( [ Enfin, C = E e rt f (S e Z T )e A(T,ZT) exp ]) T φ(t, Z t)dt avec φ(t, z) = e z 1 + z z2 2 σ 2 t 2 T + 1 ( e z + e z 1 + z e z 1 + z 2t σ 2 + γ z ). t 2t t t >, lim φ(t, z) = + et lim φ(t, z) = z z + M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

22 Une première conjecture Afin de traiter à la fois les calls et les puts, on a besoin de la condition d intégrabilité suivante (I.C) Conjecture ( E e A(T,ZT) rt (e Z T T + 1)e φ(t,zt) dt) <. Pour un call, ça implique que ( C = E e A(T,Z T) rt (S e Z T K) + 1 p(n) N! avec des distributions p et q bien choisies. N i=1 ) φ(u i, Z Ui ) q(u i ) M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

23 Choix des distributions p et q Pour construire des I.C., l estimateur doit être de carré intégrable. E e 2A(T,Z T) 2rT f 2 (S e Z T ) ( T ) φ 2 N (t,zt) dt q(t) p(n) 2 (N!) 2 <? C est faux pour le choix naïf d une distribution uniforme pour q : Lemma ɛ >, on a φ(t, Z t ) 2Z3 t 3σ 2 t 2 + Zt 2t = O(t ɛ ) p.s. Par suite, on a T φ 2 (t,z t) t a dt < p.s. si et seulement si a <. M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

24 Preuve : Par un développement de Taylor et la L.L.I du Brownien : φ(t, Z t ) 2Z3 t 3σ 2 t 2 + Z t 2t = O(t ɛ ) Z t = σ t B t γ 2 t avec B un mvt Brownien std, donc il faut que = T ( 1 2 t a 3σ 2 t 2 (σ t B t 3 ) t (σ t B t )) 3 dt < p.s. 3 Changement de variables u = t3 3 = T B (3u) a+3 u du avec la loi de 3 ( ) 2 B u := u 1 2σ 3 B 3 3(3u) 5 u σ B 3 2(3u) 2 u indépendante de u. 3 Un lemme de Jeulin [9] : < p.s. ssi T du < ssi a <. (3u) a+3 3 M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

25 Réduction de variance Avec p = P(c P T) et q(t) = 1 2 t T 1 [,T](t) (φ 1 t au voisinage de ), δ = 1 m m e A(T,Zj T ) rt (S e Zj T K)+ e cpt c Z j T j=1 N j i=1 2 U j i ( ) c Z j φ(u j i, Zj Ui) j c p T Conditionnement : pour chaque trajectoire simulée Z j, on calcule 1 n n k=1 2 N j k i=1 ( ) U j i,k c Z j φ(u j i,k,zj U j ) i,k c p T au lieu de ( ) 2 U j N j i c Z j φ(u j i,zj U j ) i i=1 c p T Variable de contrôle : on peut utiliser e rt ( S e Z T K ) + comme variable de contrôle puisque Z T N ( γ 2 T, σ2 T 3 ). M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

26 Résultats numériques 1 m m N j φ(u j e A(T,Zj T ) rt (S e Zj T + 1) e c pt 2 U j i, Zj Ui) j i (5) c p T j=1 i= FIG.: Evaluation of (5) with respect to the number m of simulations M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

27 Résultats numériques 1 m m j=1 Nj e 2A(T,Zj T ) 2rT (S e Zj T + 1) 2 2cpT e i=1 4U j i φ 2 (U j i, Zj U j i) c 2 pt (6) FIG.: Evaluation of (6) with respect to the number m of simulations M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

28 Comparaison avec une méthode de Monte Carlo standard Method Price L.C.I at 95% N CPU E.C.E std s E.C.E opt s MC std (Trap) s MC opt (Trap+KV) s TAB.: Prix d un call asiatique avec différentes méthodes MC. Pour E.C.E std(sans réduction de variance), on a pris c p = 1. Pour E.C.E opt, on a pris c p = c T = 1 2T et n = 5. Pour la méthode MC std, le nombre de pas de discrétisation est de 5. M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

30 Ce qui a été fait : Extension de la méthode BPR pour le calcul d espérances. Prix MC d une option asiatique sans biais de discrétisation (un benchmark fiable). Méthode E.C.E compétitive pour le pricing d options sur αs T + β T S udu. Ce qui reste à faire : Trouver d autres techniques de réduction de variance pour le pricing des asiatiques. Une justification théorique des conditions d intégrabilité. M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois 28 3 / 36

31 Merci pour votre attention! M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

32 Références I A. Beskos, O. Papaspiliopoulos, and Gareth O. Roberts. Retrospective exact simulation of diffusion sample paths. Bernoulli, 12(6), December 26. A. Beskos, O. Papaspiliopoulos, Gareth O. Roberts, and Paul Fearnhead. Exact and computationally efficient likelihood-based estimation for discretely observed diffusion processes. To appear in the Journal of the Royal Statistical Society, Series B. M. Broadie and P. Glasserman. Estimating security price derivatives using simulation. Management Science, 42(2) : , F. Dubois and T. Lelievre. Efficient pricing of asian options by the pde approach. Journal of Computational Finance, 8(2), 24. M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

33 Références II Paul Fearnhead, O. Papaspiliopoulos, and Gareth O. Roberts. Particle filters for partially observed diffusions. Working paper. Lancaster University., 26. M. Fu, D. Madan, and T. Wang. Pricing continuous asian options : a comparison of monte carlo and laplace transform inversion methods. Journal of Computational Finance, 2(2), H. Geman and M. Yor. Bessel processes, asian option and perpetuities. Mathematical Finance, 3(4), J.E. Ingersoll. Theory of Financial Decision Making. Rowman & Littlefield, M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

34 Références III T. Jeulin. Sur la convergence absolue de certaines intégrales. In Seminar on Probability, XVI, volume 92 of Lecture Notes in Math., pages Springer, Berlin, A. Kemna and A. Vorst. A pricing method for options based on average asset values. Journal of Banking and Finance, 14(1) : , 199. B. Lapeyre and E. Temam. Competitive Monte Carlo methods for pricing asian options. Journal of Computational Finance, 5(1), 21. E. Levy. Pricing european average rate currency options. Journal of International Money and Finance, 11(5) : , October M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

35 Références IV R. Lord. Partially exact and bounded approximations for arithmetic Asian options. Journal of Computational Finance, 1(2), 26. L. C. G. Rogers and Z. Shi. The value of an Asian option. J. Appl. Probab., 32(4) : , T. H. Rydberg. A note on the existence of unique equivalent martingale measures in a markovian setting. Finance and Stochastics, 1(3) : , S. Turnball and L. Wakeman. A quick algorithm for pricing european average options. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 16 : , M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36

36 Références V J. Vecer. A new pde approach for pricing arithmetic asian options. Journal of Computational Finance, 4(4), 21. T. Vorst. Prices and hedge ratios of average exchange rate options. International Review of Financial Analysis, 1(3) : , W. Wagner. Unbiased Monte Carlo evaluation of certain functional integrals. J. Comput. Phys., 71(1) :21 33, M. Sbai (CERMICS-ENPC) Simulation exacte et pricing d options asiatiques Aussois / 36