DISTANCES ET TANGENTES Corrigés 1/7

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1 DISTANCES ET TANGENTES Corrigés 1/7 Corrigé 01 Soit une droite D et un point A, on appelle distance du point A à la droite D la distance de A au pied de la perpendiculaire à D passant par A. Corrigé 02 La tangente au cercle C en un point A de C est la droite passant par A perpendiculaire au rayon [ OA ]. Corrigé 03 Distance Mesure en cm AA 2,4 AA 3,0 BB 4,4 BB 2,2 CC 2,9 CC 2,5

2 DISTANCES ET TANGENTES Corrigés 2/7 Corrigé 04 Corrigé 05 1/ 2/ La plus courte distance à la droite d est d après la définition de la distance d un point à une droite, la distance de B au pied de la perpendiculaire à d passant par A. (AB) est donc perpendiculaire à d. [ AB ] est un rayon du cercle. Par définition, une tangente est une droite perpendiculaire au rayon d un cercle et passant par un et un seul point du cercle. d est donc la tangente en A au cercle C.

3 DISTANCES ET TANGENTES Corrigés 3/7 Corrigé 10 On remarque que les points sont alignés. D après la définition de la distance d un point à une droite, chaque point est situé sur une droite perpendiculaire à d. Chaque point est situé à égale distance de d. Par conséquent les points forment une droite parallèle à la droite d. Corrigé 11 Les points I, J, K et L sont les seuls points répondant à ces 2 critères.

4 DISTANCES ET TANGENTES Corrigés 4/7 Corrigé 12 1/ 2/ On sait que OI est la plus courte distance entre O et le segment [ AB ], par conséquent (OI) est perpendiculaire à (AB) est le triangle OIB est un triangle rectangle. Par ailleurs, OA = OB et (OI) est perpendiculaire à (AB) donc (OI) est la médiatrice du AB. segment [ AB ] et I est donc le milieu de [ ] Dans le triangle rectangle en I, on a, d après le théorème de Pythagore, OB² = IO² + ( 1 2 x AB)² OB² = 2,8² + 2² OB² = 11,84 OB = 3,4 cm. Le rayon du cercle mesure donc 3,4 cm. Corrigé 13 1/2/

5 DISTANCES ET TANGENTES Corrigés 5/7 3/ La symétrie orthogonale conserve les distances donc CI = C I Donc pour le raisonnement, on peut considérer que les enfants viennent de C. Dans le triangle C SM, d après l inégalité triangulaire, on a : C M < C S + SM La distance de C à M est minimale lorsque les points C, S et M sont alignés. Les points sont alignés lorsque S est le point d intersection entre la droit (C M) et la rivière. On le nomme A sur la figure. Corrigé 14 Pour que l entrée soit située à égale distance des deux villes, on doit avoir EA = EB. On sait que tout point situé sur une médiatrice est situé à égale distance des extrémités du segment. Par conséquent, E doit être situé à l intersection de la médiatrice de [ AB ] et de l autoroute. Corrigé 15 La médiatrice de [ IJ ] délimite deux zones : les points plus proches de I et les points plus proches de J. Les points situés sur la médiatrice sont à égale distance de I et de J. On trace la médiatrice relative à chaque côté du triangle et en suivant le principe ci-dessus, on obtient la zone rouge qui seule répond aux trois critères : points plus proches de I que de J points plus proches de J que K points plus proches de I que de K

6 DISTANCES ET TANGENTES Corrigés 6/7 Corrigé 16 Corrigé 20 On sait que AI est une tangente au cercle, on sait que IB est une tangente au cercle. Donc par définition de la tangente, (IA) est perpendiculaire à (AO) et (IB) est perpendiculaire à (BO).

7 DISTANCES ET TANGENTES Corrigés 7/7 On sait que AOB est un angle droit donc (AO) est perpendiculaire à (OB). Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles. Donc (AI) est parallèle à (BO) et (IB) est parallèle à (AO). AIOB est donc un parallélogramme. Par ailleurs, on sait que AO et OB sont deux rayons du cercle donc AO = OB. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur et un angle droit alors c est un carré. AIOC est donc un carré. Corrigé 21 On sait que AM est une tangente au cercle donc par définition de la tangente (AM) est perpendiculaire à (AO) et AOM est un triangle rectangle en A. Dans le triangle AOM rectangle en A, on a, d après le théorème de Pythagore : OM² = AO² + AM² OM² = 4² + 8² OM² = 80 OM = 8,9 cm. OM mesure 8,9 cm. Corrigé 22 On sait que ABC est un triangle rectangle en B, donc (AB) et (BC) sont perpendiculaires. [ BC ] est un rayon du cercle. Par définition, une tangente est une droite perpendiculaire au rayon d un cercle et passant par un et un seul point du cercle. Par conséquent (AB) est la tangente au cercle au point B. Corrigé 23 1/ On sait que [ AB ] est un diamètre de C1. On sait que I appartient à C1, donc AIB est un triangle rectangle en I inscrit dans le cercle C1. (AI) est donc perpendiculaire à (IB). [ AI ] est un rayon de C2. Par définition, une tangente est une droite perpendiculaire au rayon d un cercle et passant par un et un seul point du cercle. Par conséquent, (IB) est la tangente en I au cercle C2. 2/ Dans le triangle rectangle en I, on a d après le théorème de Pythagore, AB² = AI² + IB² 5² = AI² + 4,8² AI² = 1,96 AI = 1,4 AI mesure 1,4 cm.

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