Modélisation des coûts d assurance résultant de catastrophes naturelles

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1 Modélisation des coûts d assurance résultant de catastrophes naturelles par Mathieu Boudreault Étudiant à la maîtrise en mathématiques (concentration actuariat) Université Laval (Québec) Canada Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai

2 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 2 de 74 Introduction Séismes Loma Prieta (Californie, 1989) Northridge (Californie, 1994) Kobe (Japon, 1995) Bam (Iran, 2003) Ouragans Hugo (Côte Est américaine, 1989) Andrew (Côte Est américaine, 1992) Inondations Saguenay (1996) Manitoba (1997) 1. Source : U.S. Geological Survey Photo prise à Oakland après le séisme d intensité 7.1 (Richter) de Loma Prieta en Photo prise à Anchorage après le séisme d intensité 9.2 (Richter) de 1964 en Alaska 2 2. Source : Encarta

3 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 3 de 74 Introduction Lors d une catastrophe tous les risques couverts sont touchés partiellement entièrement Catastrophes entraînent des coûts élevés compagnies d assurances vie compagnies d assurances IARD compagnies de réassurance divers paliers de gouvernements Photo prise à Kobe (Japon) après le séisme d intensité 7.2 survenu en Photo prise à Mexico (Mexique) après le séisme d intensité 8.1 survenu en Source : Encarta

4 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 4 de 74 Introduction Besoin de modéliser de façon adéquate les coûts des catastrophes Examine les dommages matériels aux édifices assurés suite à un tremblement de terre Haut: Photo prise à La Baie pendant les inondations au Saguenay en Gauche : Photo prise à Jonquière pendant les inondations au Saguenay en Source : La Maison de la Presse, Chicoutimi 2. Source : Centre canadien de télédétection, Ressources naturelles, Canada

5 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 5 de 74 Plan de la présentation Modélisation générale Coûts par contrat Coûts pour un portefeuille Modélisation des composantes d une catastrophe Intensité Dommages Fréquence Exemple numérique Séismes de la Californie Comparaison de la distribution du nombre de séismes Évaluation des pertes individuelles Évaluation des pertes pour un portefeuille Conclusion

6 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 6 de 74 Modélisation générale Coûts par contrat Coûts pour un portefeuille

7 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 7 de 74 Modélisation générale Introduction Types de catastrophes naturelles Tremblements de terre Ouragans Inondations Inspirée de Cossette et.al. (2003) «Modelling Catastrophes and Their Impact On Insurance Portfolios», North American Actuarial Journal, Octobre 2003

8 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 8 de 74 Modélisation générale Introduction Objectifs du modèle Être en mesure de calculer coûts en sinistres pour chacun des édifices couverts à la suite de catastrophes coûts en sinistres pour le portefeuille à la suite de catastrophes En tenant compte du fait que si une catastrophe survient dans une région impact sur tous les risques couverts de la région

9 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 9 de 74 Modélisation générale Introduction Trois composantes principales Fréquence des catastrophes Intensité d une catastrophe Fréquence et intensité sont des fonctions de caractéristiques naturelles d une région spécifique. Dommages causés par la catastrophe Dommages sont fonction de Intensité Édifice assuré

10 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 10 de 74 Coûts par contrat Pertes individuelles totales Pertes encourues par le contrat i, notées par X i, est une fonction du nombre de catastrophes (a) du coût de chacune des catastrophes (b) (a) v.a. N(t) = nombre de catastrophes sur une période de temps [0,t[ (b) v.a. C i,k = coût de la k-ème catastrophe pour le i-ème contrat

11 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 11 de 74 Coûts par contrat Pertes individuelles totales v.a. X i = pertes encourues par le i-ème contrat X i Par hypothèse, les v.a. C i,1, C i,2,... sont indépendantes ( t ) N C = k = 1 0, i, k identiquement distribuées () t () t indépendantes de la fréquence N(t), N N > = 0 0

12 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 12 de 74 Coûts par contrat Pertes individuelles à chacune des catastrophes Coûts en sinistres à la suite de la k-ème catastrophe fraction de la valeur de la propriété assurée (b i ) C b i, k = Ui, k v.a. U i,k = proportion de dommages à la propriété i lors de la k-ème catastrophe compris entre 0 et 1 fonction de l intensité de la catastrophe (I k ) v.a. I k = intensité de la k-ème catastrophe supposées i.i.d. i

13 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 13 de 74 Coûts par contrat Conclusion À la k-ème catastrophe toutes les proportions de dommages du portefeuille (U 1,k,, U n,k ) sont fonction de l intensité I k Conséquences U 1,k,, U n,k sont des v.a. dépendantes X 1,, X n sont des v.a. dépendantes Illustration Intensité Proportion de dommage Assuré # 1 Proportion de dommage Assuré # 2 Proportion de dommage Assuré # n

14 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 14 de 74 Coûts par contrat Conclusion Hypothèse importante : une fois l intensité du séisme connue les assurés deviennent stochastiquement indépendants (indépendance conditionnelle) Illustration Intensité connue Proportion de dommage Assuré # 1 Intensité connue Proportion de dommage Assuré # 2 Intensité connue Proportion de dommage Assuré # n

15 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 15 de 74 Coûts totaux pour le portefeuille v.a. S TOT = coûts totaux en catastrophes pour un assureur dans une région donnée v.a. S TOT = somme de toutes les pertes encourues pour chacun des contrats dans la région i= 1 n contrats dans le portefeuille S TOT = n X i

16 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 16 de 74 Modélisation des composantes d une catastrophe Intensité Dommages Fréquence

17 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 17 de 74 Intensité d un séisme On utilise l échelle modifiée de Mercalli (Modified Mercalli Index) 12 niveaux d intensité (I à XII) Simple d utilisation et d interprétation Basée sur l ampleur des dommages observés Utilisée par certaines études afin de relier l intensité et la proportion de dommages

18 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 18 de 74 Intensité d un séisme Source : Encarta

19 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 19 de 74 Intensité d un séisme On ne considère que les séismes pouvant créer des dégâts matériels importants au moins MMI-VI (environ Richter 5.5 à 6) Une v.a. discrète finie peut donc bien décrire l intensité

20 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 20 de 74 Dommages (étant donné l intensité du séisme) On modélise les dommages qui résultent directement d un séisme On sait que C i, k = Ui, k bi La v.a. U i,k doit être reliée à Intensité du séisme Propriétés de l édifice assuré (matériaux utilisés, nombre d étages, etc.)

21 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 21 de 74 Dommages (étant donné l intensité du séisme) Problème : Comment définir la v.a. U i,k afin de tenir compte de ces deux caractéristiques? Exemple de solution : Étude de l ATC (1985) S applique aux édifices nord-américains Classification des édifices en 91 différents types Différents experts (séismologues, ingénieurs civils, architectes) ont été interrogés Avis sur la proportion de dommage que subirait chaque type d édifice pour toutes les intensités MMI- VI à XII Les proportions de dommage sont fournies par l étude

22 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 22 de 74 Dommages (étant donné l intensité du séisme) Étant donné l intensité du séisme, la v.a. U i,k est supposée avoir une distribution Bêta Support fini entre 0 et 1 Facile d obtenir plusieurs formes de distribution Une méthode de calibration de ces résultats est aussi expliquée dans l étude de l ATC

23 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 23 de 74 Fréquence des séismes Introduction On modélise le nombre de séismes sur un horizon donné On suppose que les séismes créeront des dommages (MMI-VI à XII) 2 types de processus de renouvellement Ordinaire Stationnaire Le processus de Poisson est un cas particulier d un processus de renouvellement

24 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 24 de 74 Fréquence des séismes Processus de dénombrement W 1, W 2, : v.a. du temps écoulé entre deux événements (waiting time). W 1 = temps qu il faut pour obtenir un 1er événement. T n = moment précis du n-ème événement n T n = W t t= 1 W 1 W 2 W 3 W 4 Temps Temps 0 T 1 T 2 T 3 T 4

25 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 25 de 74 Fréquence des séismes Processus de dénombrement Processus de dénombrement est un processus stochastique qui compte le nombre d événements (séismes) dans la période [0,t[ N () t = sup{ n : T < t} { 0,1,2,... } n N(t) = 3 W 1 W 2 W 3 W 4 Temps Temps 0 T 1 T 2 T 3 t T 4

26 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 26 de 74 Fréquence des séismes Processus de dénombrement si les v.a. W 1, W 2, sont i.i.d., alors processus de dénombrement = processus de renouvellement ordinaire si les v.a. W 2, W 3, sont i.i.d. et W 1 a une certaine distribution, alors processus de dénombrement = processus de renouvellement stationnaire

27 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 27 de 74 Fréquence des séismes Processus de renouvellement Caractéristiques du processus sont influencées par le choix de la distribution du temps entre les événements (W t ) distribution Exponentielle processus de Poisson distribution Weibull processus de renouvellement Weibull Processus de dénombrement Processus de renouvellement ordinaire Processus stochastique Processus de Poisson Processus de renouvellement Weibull Autres types de processus stochastiques Processus de renouvellement stationnaire

28 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 28 de 74 Fréquence des séismes Processus de renouvellement Le nombre d événements sera aussi influencé par le taux d échec de la distribution du temps entre les événements. Interprétation Taux d échec Strictement croissant (IFR) Strictement décroissant (DFR) Constant (CFR) Conséquence «Probabilité» croissante dans le temps «Probabilité» décroissante dans le temps «Probabilité» constante dans le temps

29 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 29 de 74 Fréquence des séismes Processus de renouvellement La fréquence des séismes peut être interprétée intuitivement comme un phénomène IFR Toutefois, cette interprétation dépend de la sélection des données Source : Encarta

30 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 30 de 74 Fréquence des séismes Problématique de la sélection des données avec les processus de renouvellement Qualité des vieilles données Précision de l intensité observée Précision de la localisation de l épicentre Instruments assez sensibles pour enregistrer tous les séismes? Inclusion des répliques sismiques (aftershocks) Impacts certain sur la distribution du temps entre les séismes

31 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 31 de 74 Fréquence des séismes Problématique de la sélection des données avec les processus de renouvellement Localisation des séismes et choix des séismes dans la sélection des données Séisme de 7 à Charlevoix peut être ressenti à Montréal mais pas un séisme de 5. L étendue de la région à modéliser Trop petite «manque» de données Trop grande «trop» de données

32 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 32 de 74 Fréquence des séismes Problématique de la sélection des données avec les processus de renouvellement Ces 4 problématiques affectent grandement la sélection des données la distribution du temps entre les séismes. Même si intuitivement, le temps entre les séismes peut être IFR choisir une plus grande région ou inclure dans les données les séismes de plus faible intensité peut «transformer» la distribution du temps entre les séismes en phénomène CFR ou DFR

33 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 33 de 74 Fréquence des séismes Choix de la distribution du temps entre les séismes Brillinger(1993) avait suggéré l utilisation de la distribution Weibull Avec les séismes de la Californie distribution Weibull avait un taux d échec croissant (IFR) D autres distributions peuvent être utilisées : Gamma, Pareto, etc. D autres données «suggèrent» aussi l utilisation de la distribution Weibull séismes de la Colombie-Britannique

34 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 34 de 74 Fréquence des séismes Calcul «exact» de la distribution du nombre de séismes Temps entre les séismes a une dist. Exponentielle le processus de dénombrement est un processus de λt k Poisson avec e ( ( ) ( ) ) ( λt) Pr N t + s N s = k =, s, t > 0 k! Temps entre les séismes a une dist. Weibull (par ex.) ( () ) ( t) Pr( T t) Pr N t k = Pr T numériquement = k k +1 doit être évaluée on ne connaît pas la forme explicite de la v.a. T k.

35 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 35 de 74 Fréquence des séismes Calcul «exact» de la distribution du nombre de séismes Méthode numérique Approximation Gamma Approximation dite «Poissonnienne» de Lomnicki Algorithme de DePril Transformée de Fourier rapide (FFT) Avantages Simple d application Très rapide Grande précision Simple d application Algo. fourni dans plusieurs logiciels Plus rapide que DePril Grande précision Inconvénients Précision douteuse Complexe Très lente pour des grandes valeurs de k. Grande discrétisation requise Grande discrétisation requise

36 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 36 de 74 Exemple numérique Comparaison de la distribution du nombre de séismes Évaluation des pertes individuelles Évaluation des pertes pour un portefeuille

37 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 37 de 74 Exemple numérique: Californie Comparaison de la distribution du nombre de séismes 12 séismes majeurs (MMI-VI à XII) depuis 1857 Estimation : maximum de vraisemblance Présence de données censurées Déterminer la meilleure distribution pour le temps entre les événements Choix entre Exponentielle ou Weibull Test du rapport des vraisemblances Seuil observé de Loi Weibull est plus appropriée pour les données de la Californie

38 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 38 de 74 Exemple numérique: Californie Comparaison de la distribution du nombre de séismes Fonctions de masse de probabilité pour le nombre d événements pour les processus de Poisson et de renouvellement Weibull ordinaire (lire les graphiques de droite à gauche)

39 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 39 de 74 Exemple numérique: Californie Comparaison de la distribution du nombre de séismes Derniers graphiques révèlent processus de Poisson implique plus d incertitude quant au nombre de séismes qu avec le processus de renouvellement Weibull Les graphiques suivants comparent espérance du nombre de séismes variance du nombre de séismes

40 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 40 de 74 Exemple numérique: Californie Comparaison de la distribution du nombre de séismes 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 Processus de Poisson Proc. de ren. Weibull ordinaire Proc. de ren. Weibull stationnaire Espérance du nombre d événements pour les processus de Poisson et de renouvellement Weibull (ordinaire et stationnaire)

41 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 41 de 74 Exemple numérique: Californie Comparaison de la distribution du nombre de séismes 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 Processus de Poisson Proc. de ren. Weibull ordinaire Proc. de ren. Weibull stationnaire Variance du nombre d événements pour les processus de Poisson et de renouvellement Weibull (ordinaire et stationnaire)

42 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 42 de 74 Exemple numérique: Californie Comparaison de la distribution du nombre de séismes Justification de ces résultats Loi Weibull pour cet échantillon est fortement IFR Pour les processus de renouvellement ordinaire Si la distribution du temps entre les événements est IFR: l espérance du nombre d événements est toujours inférieure par rapport à un processus de Poisson DFR: l inverse se produit Voir Grandell(1991) et Szekli(1995)

43 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 43 de 74 Exemple numérique: Californie Comparaison de la distribution du nombre de séismes Pour les processus de renouvellement stationnaire Si la distribution du temps entre les événements est IFR ou DFR : l espérance du nombre d événements reste la même. Voir Grandell(1991) et Szekli(1995)

44 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 44 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Intensité Il y a eu 12 séismes majeurs (MMI-VI à XII) depuis 1857 Parmi ceux-ci, 7 séismes d intensité MMI-X Une distribution Binomiale a été jugée appropriée

45 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 45 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Dommages Basés sur l étude de l ATC La sévérité des dommages est fortement liée à l intensité du séisme et à la structure de l édifice assuré On suppose que l édifice assuré vaut $ Graphiques Fonction de répartition des pertes en fonction de la structure de l édifice assuré sachant qu une catastrophe se produit Même graphique, sachant qu un séisme d intensité MMI-X (Richter 7) s est produit

46 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 46 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Dommages 1 Maison avec structure de métal 0,9 (f.c. 2) 0,8 Maison mobile (f.c. 23) Cumulated probability 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Maison avec maçonnerie non renforcée (f.c. 75) f.c. signifie facility class f.c. 1 f.c. 2 f.c. 3 f.c. 6 f.c. 23 f.c Losses Fonction de répartition des dommages subis par chaque type propriété en supposant qu un séisme est survenu (Graphique de ( x) ) FC i, k

47 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 47 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Dommages Maison avec 1 structure de métal (f.c. 2) 0,9 0,8 Maison mobile (f.c. 23) Cumulative probability 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Maison avec maçonnerie non renforcée (f.c. 75) f.c. signifie facility class f.c. 1 f.c. 2 f.c. 3 f.c. 6 f.c. 23 f.c Losses Fonction de répartition des dommages subis par chaque type propriété en supposant qu un séisme d intensité MMI-X est survenu (Graphique de F ( x) C 10 i, k Ik =

48 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 48 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Dommages Intuitivement Une maison avec une structure de métal subira moins de dommages qu une maison mobile qu une maison avec une structure en maçonnerie non renforcée.

49 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 49 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Résultats On considère une maison en structure de bois ayant une valeur de $ Les résultats sont déterminés à l aide de la simulation ( simulations) Le comportement aléatoire des pertes individuelles est fortement influencé par la fréquence des séismes, qui est aussi influencé par la distribution du temps entre les sinistres le choix des données

50 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 50 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Résultats Espérance annuelle des coûts 1ère année après le séisme Processus de Poisson 1100$ Processus de renouvellement Weibull (ordinaire et stationnaire) 51$ 1082$ 2e année après le séisme 1061$ 140$ 1072$ 3e année après le séisme 1089$ 241$ 1011$ 5e année après le séisme 1079$ 505$ 1187$ 10e année après le séisme 1121$ 1012$ 998$ Interprétation : la croissance de la prime annuelle reflète l augmentation de la probabilité d observer un séisme

51 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 51 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Résultats Espérance annuelle des coûts (sur une période de 5 ans) Processus de Poisson Processus de renouvellement Weibull (ordinaire et stationnaire) Tout juste après le séisme 5302$ 1308$ 5412$ 5 ans après le séisme 5567$ 4060$ 5352$ 10 ans après le séisme 5512$ 5386$ 5433$ 15 ans après le séisme 5419$ 5580$ 5525$ Même interprétation que précédemment

52 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 52 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Résultats Graphique de l espérance et de la variance des coûts pour un assuré Pertes espérées Proc. de ren. Weibull ordinaire Proc. de ren. Weibull stationnaire Processus de Poisson Variance des pertes 0 2*10^8 4*10^8 6*10^8 8*10^8 10^9 Proc. de ren. Weibull ordinaire Proc. de ren. Weibull stationnaire Processus de Poisson t t Espérance et variance des coûts pour un assuré en fonction du temps

53 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 53 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Résultats La faible variance observée dans la fréquence des séismes se reflète aussi dans la variance des coûts La variance des coûts avec le processus de renouvellement Weibull (ordinaire ou stationnaire) est plus faible qu avec le processus de Poisson.

54 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 54 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Résultats Mesures de risque basées sur la queue de la distribution (Tail risk measures) Value-at-Risk (VaR) au niveau α Fonction quantile Populaire en finance Conditional Tail Expectation (CTE) au niveau α Espérance d une variable aléatoire SACHANT que les coûts sont strictement supérieurs à la valeur au risque au niveau α Aussi connu sous le nom de Conditional VaR ou CVaR

55 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 55 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Résultats Mesures de risque basées sur la queue de la distribution (Tail risk measures) Illustration avec un niveau α de 80% 80% de probabilité 20% de probabilité x Fonction de densité d une distribution de sinistres quelconque

56 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 56 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Résultats Mesures de risque basées sur la queue de la distribution (Tail risk measures) Autre illustration Échantillon aléatoire ordonné de 101 observations 1er percentile est la 2e donnée Médiane est la 51e donnée VaR au niveau 90% est la 11e donnée à partir de la fin CTE au niveau 90% est la moyenne des 10 dernières données (puisqu on considère les données strictement supérieures au VaR)

57 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 57 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Résultats Value-at-Risk et Conditional Tail Expectation aux niveaux 90% et 95% : Résultats semblables à ceux obtenus avec la variance

58 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 58 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes individuelles - Résultats Prime stop-loss avec une franchise de $ (10%) Couverture Processus de Poisson Processus de renouvellement Weibull (ordinaire et stationnaire) 1 an 491$ 21$ 451$ 2 ans 976$ 75$ 921$ 5 ans 2617$ 543$ 2411$ 10 ans 6136$ 2378$ 5187$ 50 ans 44962$ 38816$ 43687$ Même interprétation que précédemment

59 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 59 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes pour un portefeuille - Résultats On considère un portefeuille arbitraire de 500 contrats avec des maisons ayant différentes valeurs et structures Les résultats sont déterminés à l aide de la simulation ( simulations) Conclusions sensiblement les mêmes que pour un seul contrat car tous les assurés dépendent tous de l occurrence et de l intensité du séisme (qui est le même pour tous)

60 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 60 de 74 Exemple numérique: Californie Évaluation des pertes pour un portefeuille - Résultats Expected costs 0 2*10^7 4*10^7 6*10^7 Graphique de l espérance et de la variance des coûts totaux pour le portefeuille Poisson process Weibull renewal process Variance of costs 0 5*10^14 10^15 1.5*10^15 Poisson process Weibull renewal process Time t Time t Espérance et variance des coûts pour le portefeuille en fonction du temps

61 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 61 de 74 Conclusion Sommaire Points à considérer dans la tarification des contrats Développements futurs Approches alternatives

62 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 62 de 74 Conclusion Sommaire La fréquence des séismes est une caractéristique très importante dans l évaluation des pertes encourues Elle est aussi difficile à modéliser étant donné la sélection des données Voir problématique de la sélection des données

63 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 63 de 74 Conclusion Sommaire Dans l exemple précédent, l utilisation du processus de Poisson afin de modéliser la fréquence des séismes peut amener une évaluation inadéquate des primes et des réserves surtout si le dernier séisme est récent L exemple précédent suggère donc une allocation différente de l argent dans le temps peu d argent est nécessaire peu après le séisme beaucoup plus à mesure que le temps avance

64 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 64 de 74 Conclusion Points à considérer dans la tarification des contrats Dans les pages précédentes, nous avons calculé les valeurs de différentes mesures de risque Classiques : espérance et variance Basées sur la queue de la distribution : VaR et CTE En assurance vie et IARD, les mesures classiques sont relativement sécuritaires car Très grand nombre de contrats Par la loi des grands nombres, ajouter des contrats indépendants diminue la variance des coûts moyens

65 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 65 de 74 Conclusion Points à considérer dans la tarification des contrats En assurance de risques catastrophiques, les contrats sont stochastiquement dépendants : Impacts : Avec un très grand nombre de contrats, la variance des coûts moyens ne deviendra pas nulle. Augmenter le nombre de contrats n élimine pas complètement le risque. Tarification d un contrat individuel doit donc considérer la présence des autres contrats dans le portefeuille

66 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 66 de 74 Conclusion Points à considérer dans la tarification des contrats En assurance de risques catastrophiques, les contrats sont stochastiquement dépendants : Une diversification géographique peut être bénéfique En supposant que le risque de séisme est indépendant d une région à l autre. L assureur peut partager le risque avec : Assuré (avec une franchise ou coassurance) Réassureur (avec un traité de réassurance stoploss) Gouvernement (constitution d un fonds) Marchés financiers (avec des produits financiers comme CAT-bonds)

67 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 67 de 74 Conclusion Points à considérer dans la tarification des contrats En plus des points précédents, la prime doit tenir compte : Capital actuellement disponible Peu importe la prime calculée, si un séisme survient relativement tôt, les primes ne seront pas suffisantes pour couvrir les coûts. Toutefois, dans le modèle avec temps d attente Weibull, les primes futures reçues à court terme serviront à renflouer le capital puisque la probabilité d obtenir un autre séisme est minime. Ce n est pas le cas avec le processus de Poisson car cette probabilité ne dépend pas du temps écoulé depuis le dernier sinistre.

68 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 68 de 74 Conclusion Points à considérer dans la tarification des contrats En plus des points précédents, la prime doit tenir compte : Temps écoulé entre le dernier séisme et le moment du calcul de la prime Le modèle avec temps d attente Weibull suggère une prime plus élevée lorsque ce temps est plus grand. Ce n est pas le cas avec le processus de Poisson.

69 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 69 de 74 Conclusion Points à considérer dans la tarification des contrats En plus des points précédents, la prime doit tenir compte : Durée du contrat et horizon de planification Comment répartir les coûts pendant la durée du contrat et/ou l horizon de planification? Avec le processus de Poisson, cette question est simple à répondre puisque le comportement des coûts est le même pour toutes les périodes de même durée. Avec le processus de renouvellement Weibull, les «coûts» augmentent avec le temps.

70 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 70 de 74 Conclusion Développements futurs Ajouter une fonction d atténuation déterministe ou stochastique afin de considérer la distance entre l épicentre et la propriété assurée. Rendre la variable aléatoire de l intensité une fonction qui dépend du temps écoulé entre deux séismes. Examiner des méthodes pour le calcul des primes et des réserves afin de conserver la solvabilité du volet protection contre les séismes dans le contexte du processus de renouvellement Weibull.

71 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 71 de 74 Conclusion Approches alternatives Statistiques spatiales et les marked point processes Utiliser des modèles probabilistes pour expliquer les phénomènes physiques sous-jacents aux séismes ainsi que les dommages causés aux édifices Par exemple, ajouter un terme aléatoire dans certaines équations géophysiques Des firmes de recherche telles que AIR (Applied Insurance Research) utilisent cette approche.

72 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 72 de 74 Bibliographie Applied Technology Council (ATC) (1985). Earthquake damage evaluation data for California, ATC-13, San Francisco. Boudreault, M. (2003). Modeling and Pricing Earthquake Risk, Concours de recherche actuarielle SCOR Canada Brillinger, D. R. (1993). Earthquake Risk and Insurance, Environmetrics, 1993, 4(1): Cossette, H., Duchesne, T., Marceau, E. (2003). Modelling Catastrophes and Their Impact On Insurance Portfolios, North American Actuarial Journal, Vol. 7, No 4. Cossette, H., Duchesne, T., Marceau, E. (2003). Two General Frameworks for Risk Modeling Applied to Catastrophe Insurance, 37 th Actuarial Research Conference

73 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 73 de 74 Bibliographie Grandell, J. (1991). Aspects of risk theory. Springer Series in Statistics. Probability and its Applications. Springer-Verlag, New York Lomnicki, Z. A. (1966). A note on the Weibull Renewal Process. Biometrika 53, 3 and 4, Szekli, R. (1995), Stochastic Ordering and Dependence in Applied Probability, Lecture Notes in Statistics 97. Springer-Verlag, New York

74 Association des actuaires I.A.R.D. 28 mai 2004 Page 74 de 74 Questions??