Correction Maths Epreuve B 2017, Banque PT. Questions de cours. n X k (1 X ) n k k. = (X + (1 X )) n

Transcription

1 Correction Maths Epreuve B 7, Banque PT Questions de cours. On a d après la formule du binôme de Newton B k,n X = k= k= n X k X n k k = X + X n =.. a D après le cours cette loi s appelle loi binomiale et ses paramètres sont n et t. b Toujours d après le cours, on a EX n = nt V X n = nt t c On peut prendre par exemple la variable aléatoire comptant le nombre de pile d une suite de n lancers d une pièce éventuellement truquée dont la probabilité de tomber sur pile serait t.. La famille, X,, X n étant une base de R n [X ], sa dimension est bien n On dit que deux sous-r-espaces vectoriels E et F d un espace préhilbertien sont orthogonaux pour le produit scalaire ϕ si x E, y F, ϕx, y =. 5. Par définition il s agit d un ensemble de points de l espace qui sont invariants par toutes les rotations de R d axe. Préliminaires. On a par un calcul immédiat B, X = X = X X + B, X = X X = X + X B, X = X et B, X = X = X + X X + B, X = X X = X X + X B, X = X X = X + X B, X = X

2 Correction Maths Epreuve B 7, Banque PT. Les calculs précédents montrent que la matrice de la famille { B,,B,,B, } dans la base {, X, X } est. Le déterminant de cette matrice vaut donc car elle est triangulaire inférieure et ce déterminant est donc non nul. Donc cette matrice est une matrice de passage et on obtient bien : la famille { B,,B,,B, } est une base de R [X ].. La question précédente invite à employer le même raisonnement. En effet pour k n n le degré du plus petit monome non nul de B k,n X est k et son coefficient est. k Ainsi si l on considère la matrice de la famille { B k,n } k n dans la base {,, X n}, elle sera toujours triangulaire inférieure avec tout ses coefficients non nuls sur la diagonale et donc de déterminant non nul ce déterminant vaut en fait n n. Donc le même k= k raisonnement que dans la question précédente montre que la famille { B k,n } k n est une base de R n[x ]. Partie I : Produit scalaire. a La fonction ϕ est évidemment symétrique. Elle est de plus linéaire en sa première variable car l évaluation en un point et linéaire et donc l application ϕ,q où Q est fixé est une combinaison linéaire d applications linéaires. Ainsi par symétrie l application ϕ est bilinéaire. De plus si P R [X ], alors ϕp,p est une somme de carré donc est positif. Ainsi ϕ est positive.enfin supposons que ϕp,p = pour P R [X ], alors, une somme de terme positifs étant nulle si et seulement si chacun des termes est nul, il vient P = P = 4 P P P = On en déduit que P = P = P =. Or P est un polynôme de degré, et ayant racines c est donc nécessairement le polynôme nul. Ainsi ϕ est bien un produit scalaire sur R [X ]. b On utilise le procédé de Gram-Schmidt. On remarque que ϕx, X = =

3 Correction Maths Epreuve B 7, Banque PT et donc B, X = X est de norme. On calcule ensuite X ϕx, X X Or ϕx, X =, et finalement X ϕx, X X = X X De plus ϕx X, X X = = 4 4 donc le vecteur X X est de norme et le deuxième vecteur de la base orthonormale obtenue est donc X X = B, X. Enfin pour obtenir le dernier vecteur on calcule or ϕ,b, X B, X ϕ, X X = 4ϕ, X X X X ϕ, X X ϕ, X = ϕ, X X = On en déduit que le vecteur 4 X X X = X + X = B, X est orthogonal à B, X et B, X. De plus ϕb, X,B, X = Ainsi le procédé d orthonormalisation de Gram-Schmidt partant de la famille { X, X, } donne la famille orthonormale { B, X,B, X,B, X }.. a La matrice M est à coefficients réels et symétrique, donc d après le théorème spectral elle est diagonalisable et ceci dans une base orthonormale. b On trouve le polynôme caractéristique de M en utilisant les règles de calcul du déterminant, on obtient χ M X = X 4X +. De plus la méthode du pivot de Gauss nous permet de trouver kerm + id = Vect, kerm 4id = Vect

4 Correction Maths Epreuve B 7, Banque PT Ainsi les vecteurs e = e = e = forment une base orthonormale de vecteurs propres de M. On a donc en posant Q = D = 4 que Q est une matrice de passage d une base orthonormée la base canonique de R à une autre. C est donc une matrice orthogonale et son inverse est sa transposée. On a donc Q = t Q =. et D = Q MQ c Les valeurs propres ainsi que les espaces propres de f sont ceux que l on a trouvé pour la matrice M, on en déduit que f admet les valeurs propres de multiplicité deux et 4 de multiplicité un, et que en posant e X = B, X + B, X B, X e X = B, X + B, X e X = B, X + B, X + B, X alors on a kerf + id = Vecte X,e X kerf 4id = Vecte X d Les coordonnées des vecteurs e X,e X,e X dans la base orthonormale { B, X,B, X,B, X } 4

5 Correction Maths Epreuve B 7, Banque PT sont données respectivement par les vecteurs g =, g =, g =. Or un produit scalaire se calcule comme s il s agissait du produit scalaire canonique dès lors que l on dispose des coordonnées dans une base orthonormale. Ainsi les vecteurs g, g, g étant orthogonaux dans R euclidien canonique, les vecteurs e X,e X,e X sont orthogonaux pour le produit scalaire ϕ, on en déduit que les espaces propres de f sont orthogonaux pour ϕ. e On considère l application suivante où PX = ϕ n : R n [X ] R n [X ] R P,Q α k β k α k B k,n X et QX = k= k= β k B k,n X ces coefficients existent et k= sont uniques puisque la famille { B k,n X } k n est une base de R n[x ] d après la question Préliminaire. Alors cette application est évidemment symétrique, bilinéaire et positive. Si ϕ n P,P = pour un polynôme P, alors ceci nous donne que tous les coefficients α k sont nuls puisque la famille { B k,n X } k n est une base de R n [X ] d après la question Préliminaire, et donc P est nécessairement le polynôme nul. Ainsi ϕ n est un produit scalaire. De plus il est construit de telle façon que pour tout i,k {,,n} on ait ϕ n B i,n X,B k,n X = δ i,n. Il existe un produit scalaire sur R n [X ] pour lequel la famille { B k,n } k n est orthonormale. Partie II : Une première courbe de Bézier dans le plan.. a On utilise la définition d une courbe de Bézier et le résultat de la question des préliminaires. On a pour tout t [,], Γ t = B, t + B, t + B, t + B, t t t + t t + t t = t t + + t 9t + 9t + t t 9t + 4t = t t 4t b On peut donc faire la remarque que la courbe Γ n est autre que la portion de la courbe Γ lorsque le paramètre parcourt uniquement l intervalle [,]. 5

6 Correction Maths Epreuve B 7, Banque PT. a Les fonctions x et y étant des polynômes, elles sont de classe C sur R et pourront au cours de l étude être dérivées autant de fois que nécessaire. On a t R, x t = 8t + t y t = t t L étude des deux trinômes du second degré montre que x t = t t y t = t t + Donc leur signe est connu et on obtient les tableaux de variations suivants t + x t + + x t 5 4 et + t y t + y t b D après les tableaux de variations obtenus à la question précédente, la courbe Γ admet en le point de paramètre t = une tangente verticale et admet en le point de paramètre t = une tangente horizontale, et ce sont les seuls tels points. c La tangente à Γ en t = est la droite dirigée par Γ = et passant par Γ = : il s agit donc de la première bissectrice. Une équation cartésienne de la tangente à Γ en t = est y = x. d D après les tableaux de variation obtenus à la question.a, le point singulier est le point de paramètre t =. On a x =, y = 8, x = 4, y = 4 Les vecteurs Γ et Γ ne sont pas colinéaires, ainsi d après le cours il s agit d un point de rebroussement de première espèce, et la tangente est la droite passant par Γ et dirigée par Γ. Son équation est donnée par 5 4 x y = soit y x =.

7 Correction Maths Epreuve B 7, Banque PT A A A A tangente au point, tangente au point de rebroussement tangente au point A FIGURE La courbe Γ e La courbe admet des branches infinies lorsque le paramètre tend vers ± d après le tableau de variation obtenu en.b. Or et x t lim t ± y t = lim x t + y t = t ± La courbe admet des branches paraboliques de direction asymptotique y = x. f La courbe a été représentée sur la figure. Partie III : Un détour par le cas général. On a d après la définition de la courbe de Bézier que Γ = A, Γ = A n. 7

8 Correction Maths Epreuve B 7, Banque PT. La fonction Γ étant polynomiale elle est de classe C sur son intervalle de définition. Or Γ = B k,n OA k k= = noa + noa = n A A. Ce vecteur étant non nul, c est le vecteur directeur de la tangente en A et la tangente à Γ en A étant la droite passant par A et dirigée par n A A, on a bien la tangente à Γ en A est la droite A A.. D après la question Préliminaire, il existe p,, p n R n+ tel que PX = p i B k,n X et de même il existe q,, q n R n+ tel que QX = q i B k,n X. En posant A i = k= pi, on a bien que la courbe Λ est la courbe de Bézier associée aux points de contrôle q i A,, A n. k= Il est donc possible de trouver A,, A n tel que la courbe Λ soit la courbe de Bézier associée à ces points. Partie IV : Une deuxième courbe de Bézier. a On sait d après la partie I I I que le point C est à l intersection des tangentes à Γ en A et en A. Or ces droites ont pour équation x = y et x = d après les questions I I..b et I I..c. Ainsi le point C a pour coordonnées,. b Par définition d une courbe de Bézier on a pour tout t [,] : Γ t = B, t + B, t + B, t t t t = + t t t t t = t t.. La fonction Γ admet des coordonnées en t qui sont des polynômes de degré dont l étude est immédiate. On obtient les tableaux de variations suivants : t x y 8

9 Correction Maths Epreuve B 7, Banque PT A A C A = C A = C tangente au point, tangente au point de rebroussement tangente au point A 4 tangente horizontale de 5 FIGURE Les courbes Γ et Γ avec une tangente horizontale en t = et une tangente verticale en t =.. Le graphique complété est présentée en figure. Partie IV : Une surface de révolution. Encore une fois, il s agit d appliquer la définition. On a pour t [,] : Γ 4 t = B, t + B, t + B, t + B, t t 9t + 9t t + t t t + t t = + t t + t + t + t + t = t t. La fonction Γ 4 est de classe C sur son intervalle de définition et on a Γ 4 =. Ce vecteur étant non nul c est lui qui dirige la tangente au point t =. De plus la courbe est située dans le plan z = donc la tangente à Γ 4 en t = sera contenue dans ce plan, 9

10 Correction Maths Epreuve B 7, Banque PT passera par le point Γ 4 = et sera aussi contenue dans un plan orthogonal à Γ 4, par exemple le plan contenant Γ4 et orthogonal au vecteur. Ainsi un système d équation de cette tangente est donné par c est-à-dire { z = x y = { z = x y = 5. Soit M = x, y, z R et notons S la surface en question. Alors, en traduisant le fait que ce point est sur la surface si et seulement si il existe un point sur A l axe des abscisses et un point B sur la méridienne Γ 4 tels que M A soit orthogonal à i, B A soit orthogonal à i et que M A = B A on a : x λ y, = z x, y, z S t,λ t λ t t, = x λ + y + z = t λ + t t x = λ t,λ t = +λ y + z = 9t t { t = +x t, y + z = 9t t + x + x y + z = 9 y + z = 4 x + 9 Ainsi une équation cartésienne de cette surface de révolution est y + z = 4 x + 9