Chapitre II : Limite de fonctions

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1 Chapitre II : Limite de fonctions Etrait du programme : I Limite d une fonction en l infini Limite finie en + Définition f () = L si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f () dès que est assez grand. (Se lit «f () tend vers L lorsque tend vers +» ou bien «la ite de f quand tend vers + est L»). Cette définition est analogue à celle donnée pour la ite d une suite numérique, «dès que est assez grand» remplaçant «à partir d un certain rang». Interprétation graphique : Quelle que soit la valeur ε très proche de zéro qu on choisit, tout point M de la courbe C f dont l abscisse est suffisamment grande est situé entre deu droites horizontales d équations respectives : y = L+ε et y = L ε. On définit de façon analogue : f () = L Propriété : Limites de certaines fonctions de référence Les fonctions : ; ; ; n (n N ) ont pour ite 0 en + et. Définition Si f () = L (respectivement f () = L), alors on dit que la droite d équation y = L est asymptote horizontale à la courbe représentative de f en + (respectivement en ). Eemple : D après la propriété précédente, = 0 donc la courbe représentative de la fonction admet pour asymptote horizontale l ae des abscisses d équation y = 0. Il en est de même pour chacune des fonctions usuelles présentées dans cette propriété.

2 Point-méthode 9 : Déterminer l eistence d une asymptote horizontale et les positions relatives On considère la fonction f définie sur [;+ [par : f () = + Déterminer l eistence d une asymptote horizontale à la courbe C f, étudier les variations de la fonction f, puis étudier les positions relatives de C f avec cette asymptote. Solution :. Pour déterminer l eistence d une asymptote horizontale il faut étudier la ite de la fonction en l infini (ici, nécessairement + ). Si cette ite est un réel, alors il y aura une asymptote horizontale. = 0 donc f () = par conséquent, la droite (d) d équation y = est asymptote horizontale à C f lorsque tend vers +.. Pour étudier les variations d une fonction, on peut déterminer le signe de sa dérivée, puis on résume toutes ces informations (ites comprises) dans un tableau de variations. f () = ( ) = qui est toujours négative sur [;+ ]. f () + f () + 3. Pour étudier les positions relatives de deu courbes, il faut étudier le signe de la différence de leur équation : f () = qui est toujours positif, donc la courbe C f est toujours au-dessus de son asymptote horizontale. Limite infinie en + Définition 3 : f () = + si tout intervalle ]A;+ [ contient toutes les valeurs f () dès que est assez grand. f () = si tout intervalle ] ;B[ contient toutes les valeurs f () dès que est assez grand. On peut énoncer des définitions similaires pour les ites en en remplaçant «dès que est assez grand» par «dès que est négatif et assez grand en valeur absolue».

3 Interprétation graphique : f () = + Quelle que soit la droite horizontale d équation y = A que l on se donne, tout point M de la courbe C f dont l abscisse est suffisamment grande est situé au dessus de cette droite. De la même façon, on peut illustrer les 3 autres cas : f () = f () = + f () = Propriété : Limites Les fonctions : de certaines fonctions usuelles ; ; ; n (n N ) ont pour ite + en +. Pour n entier pair, les fonctions n ont pour ite + en. Pour n entier impair, les fonctions n ont pour ite en. Eemple : = = + 3 = 3 = + et II Limite d une fontion en un réel a Soit a un nombre réel. Pour envisager le calcul de la ite éventuelle de f lorsque tend vers a, il faut que f soit une fonction définie sur un intervalle contenant a ou sur un intervalle dont une des bornes est a. (eemple : ] ;a[ ; [a ;+ [ ; ]a ;b[...). Il n est pas nécessaire que f soit définie en a. Définition 4 a f () = + si tout intervalle ]A;+ [ contient toutes les valeurs de f () dès que est suffisamment proche de a. De la même façon a f () = si tout intervalle ] ;B[ contient toutes les valeurs de f () dès que est suffisamment proche de a. Remarque : Attention, dans le cas où tend vers un nombre a, peut se rapprocher de a par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures. On distinguera donc, si elles eistent, f () = + ou f () = + (on a + a parle de ite à droite) et a f () = + ou a <a f () = + (on parle de ite à gauche) Si les deu ites eistent et sont égales, alors on pourra écrire a f () = + >a 3

4 Interprétation graphique : f () = + a + Quelle que soit la droite horizontale d équation y = A que l on se donne, tout point M de la courbe C f dont l abscisse est suffisamment proche de a (et supérieure à a), est situé au dessus de cette droite. De la même façon, on peut illustrer les 3 autres cas : f () = a + f () = + a f () = a Définition 5 Lorsque f () = ± ou a = a est asymptote verticale à la courbe C f. a + f () = ± ou f () = ±, on dit que la droite d équation a Propriété : Limites en 0 des fonctions de référence f () = f () = n n impair f () = f () = n n pair = + = + n = + n = + = + n = + III Théorème sur les ites Limite d une somme, d une produit, d un quotient Les résultats concernant les opérations sur les ites de suites (Chapitre I) sont applicables au ites de fonctions lorsque tend vers +, ou un réel a. On rappelle qu il y a quatre formes indéterminées qui sont : ; «0» ; ; «0 0». Pour déterminer les ites d une fonction, on peut écrire cette fonction comme somme, produit ou quotient des fonctions de références. 4

5 Eemple : 6 = 6 = + donc par somme et produit, 3 = par quotient, 6 3 = 0. Déterminer la ite en + de f () = Déterminer la ite en 0 de g () = Solution :. On commence par calculer les ites de chaque terme de la somme = + 3 Forme indéterminée = Pour contourner ce problème, on met en facteur le «terme prépondérant».. Point-méthode 0 : Lever l indétermination sur les ites avec les fonctions f () = = ( 3 3 = 0 5 = 0 = par somme, + = 0 = Forme indéterminée ) ( = ) ( ) = = + par produit, f () = + Pour contourner ce problème, il faut utiliser l epression conjuguée, afin de faire apparaitre la 3 e identité remarquable g () = + = ( + )( + + ) ( + + ) Or + + = donc par produit, g () = 4 = + ( + + ) = ( + + ) Limite d une fonction polynôme ou rationnelle en l infini La ite en + et en d un polynôme est la ite de son terme de plus haut degré. La ite en + et en d une fonction rationnelle est la ite du quotient de ses termes de plus haut degré. Eemple : Cherchons la ite en + de la fonction f () = La fonction f est une fonction rationnelle donc : 3 f () = = 3 = + 5

6 3 Limite de la composée de deu fonctions Soit h une fonction définie sur un intervalle I, g une fonction définie sur h(i ). On note f la fonction définie par : f () = g (h()). a, L et L désignent des nombres réels, ou bien + ou bien. Si h() = L a et si g () = L L alors a f () = L Point-méthode : Déterminer la ite d une fonction composée Déterminer la ite en + de la fonction f () = définie sur [ ;+ [.. Il faut bien déterminer quelles sont les différentes fonctions qui sont enchaînées {{ X X =. On détermine ensuite les ites de chacune des deu fonctions utilisées = X = X = Par composition f () = Si 4 Théorèmes de comparaison alors g () = + et si, pour suffisamment grand f () g () f () = + Si alors g () = et si, pour suffisamment grand f () g () f () = 6

7 Eemple : Soit f la fonction définie sur R par : f () = + sin, sin donc f () + Or + = donc f () =. Si alors g () = L et f () = L Théorème des gendarmes : h() = L et si, dès que est suffisamment grand, g () f () h() Démonstration : Soit I un intervalle ouvert centré en L, g () = L donc il eiste un nombre A tel que > A, g () I. h() = L donc il eiste un nombre A tel que > A, h() I. De plus, on sait qu il eiste un nombre A 3 tel que > A 3, g () f () h(). Notons A le plus grand des trois nombres A, A et A 3 : alors > A, f () I. Par conséquent, f () = L. CQFD Eemple : On considère une fonction f définie sur R telle que R, f (). On cherche à connaitre la ite de f () Si > 0 alors : f () Or Donc d après le théorème des gendarmes : lors que tend vers +. = = 0 f () = 0 Remarque : Les théorèmes ci-dessus peuvent également être énoncés : Lorsque tend vers (en remplaçant «suffisamment grand»par «suffisamment grand en valeur absolue et négatif»). Lorsque tend vers a (en remplaçant «suffisamment grand»par «suffisamment procha de a»). 7