Travaux pratiques Informatique

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1 Preière S Travaux pratiques Inforatique. Questions ouvertes - : Lieu de points - : Distance iniale - : Fonctions inconnues -4 : Médianes? -5 : Droites d un triangle -6 : S-TS banque exos /04-7 : Cercle ou pas? -8 : Diagonales -9 : Lieu de points. Fonctions et Courbes - : Parabole - : Second degré et optiisation 5 - : Second degré et optiisation (F. Bergougnoux, C. Volland) 7-4 : Second degré (R. Vidal / débutants) 8-5 : Approche géoetrique d une courbe connue 9-6 : Approche géoetrique d une courbe connue 0-7 : Approche géoetrique d une courbe connue. Produit scalaire - : Périètre et aire d un triangle - : Enseble de points et produit scalaire - : Inversion (M. Chevalier) -4 : Carré et Triangle (M. Obadia) -5 : Triangle et Carrés (M. Obadia) 4. Barycentres 4 4- : Lieux de points 4 4- : Avec des barycentres 4 5. Suites 4 5- : Soe d entiers 4 5- : Suite définie par une relation de récurrence 5 5- : Recherche de solution approchée d'une équation du type f(x) = 0 par dichotoie : Le nobre d or (B. Galasso) 5-5 : Suites récurrentes : Suite récurrente : Deux suites récurrentes 9. Questions ouvertes - : Lieu de points On considère un triangle ABC rectangle en B tel que BC = AB. Un point H et un point K sont obiles respectiveent sur le segent [AB] et sur le segent [BC] de telle façon que BK = AH. On note I le ilieu (obile) du segent [HK].. Sur quel enseble se déplace le point I lorsque H parcourt le segent [AB] et K le segent [BC]? Justifier.. Le problèe serait-il différent si le triangle ABC n était pas rectangle? - : Distance iniale ABC est un triangle rectangle en A et M est un point de l'hypoténuse [BC]. Les perpendiculaires à [AB] et [AC] passant par M coupent [AB] en E et [AC] en F. Où placer le point M pour que la distance EF soit la plus petite possible. Preière S F. Laroche

2 Faites une conjecture. Déontrez ou invalidez votre conjecture. - : Fonctions inconnues Déteriner toutes les fonctions f définies sur telles que pour tout x de, pour tout y de, f x f y f xy x y -4 : Médianes? A partir du triangle ABC, on construit les points M, N et P tels que A est le ilieu de [PC], B est le ilieu de [AM], C est le ilieu de [BN]. Exprier l aire de MNP en fonction de l aire de ABC. -5 : Droites d un triangle d, d, d sont trois droites concourantes en un point G. Construire un triangle tel que ces trois droites en soient les édianes. Pouvez-vous construire un autre triangle tel que ces êes trois droites en soient les édianes? Quelles rearques faites-vous? Peut-on construire un triangle tel que les trois droites soient ses hauteurs? ses bissectrices? ses édiatrices? -6 : S-TS banque exos /04 Soient n et k deux entiers supérieurs ou égaux à. Montrer que n k peut s écrire coe soe de n entiers ipairs consécutifs. -7 : Cercle ou pas? Soit f une fonction définie pour tout x de [0 ; ] par : f x x x. Soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonoral. Preière S F. Laroche

3 On adettra que (C) est tangente aux deux axes de coordonnées aux points de coordonnées ( ; 0) et (0 ; ). (C) est-elle un arc de cercle? -8 : Diagonales Quel est le nobre de diagonales d un polygone convexe? -9 : Lieu de points ABC sont trois points non alignés du plan. M est un point variable sur (AB), (b) est la perpendiculaire à (AB) passant par C, (c) est la perpendiculaire à (AB) passant par M. (C) et (AC) se coupent en D, (e) est la parallèle à (AB) passant par D, (e) et (b) se coupent en E, (BE) et (c) se coupent en P. Quel est le lieu du point P?. Fonctions et Courbes - : Parabole f x x 4x. Soit f la fonction définie sur par. Étudier le signe de ce trinôe.. Dresser le tableau de variation de la fonction f et tracer sa représentation graphique que l on notera (P) à l aide de GeoGebra.. Pour tout nobre réel, on considère la droite D d équation y x. a. Construire cette droite sur la figure précédente de telle sorte que l on puisse faire varier le réel. Appeler l exainateur pour une vérification de la construction faite b. Déteriner graphiqueent le nobre de point d intersection de D et de (P) suivant les valeurs de. Appeler l exainateur pour une vérification de la conjecture 4. Discuter par le calcul le nobre de points d intersection de D et de (P). 5. Donner les coordonnées du point d intersection dans le cas où il est unique. 6. Lorsque D coupe (P) en deux points distincts A et B, on appelle I le ilieu de A ; B. Soit E l enseble des point I quand parcourt tout entier. a. Quelle seble être la nature de l enseble E? b. Déontrer la conjecture précédente. Correction Appeler l exainateur pour une vérification de la conjecture. Calculons : 4 4 ; coe > 0, alors l équation x 4x 0 adet deux solutions : x et x. On obtient alors le signe de l expression x 4x : x x 4x Preière S F. Laroche

4 . Coe a, alors la représentation graphique de f est une parabole ayant «les branches vers le haut», et le soet S de cette parabole a pour coordonnées b ; a 4a. Or b 4 et a f, d où : 4a 4 x f x (D-) (D0) y x - - G (D) -6 ) D après le graphique précédent : Si < 0, il n existe pas de point d intersection de D et de (P). Si < 0, D et de (P) se coupent en un seul point. Si > 0, D et de (P) se coupent en deux points. 4) Les abscisses des points d intersection de D et de (P) sont les solutions de l équation f x x. Or f x x équivaut à Calculons : Preière S 4 F. Laroche x 4x x, c est-à-dire à x x 0.

5 Si < 0, alors 0 ; on en déduit que l équation Il n existe donc pas de point d intersection entre D et (P). f x x n a pas de solution. b Si = 0, alors 0 ; on en déduit que l équation f x x a une solution double x0 a. D où, D et (P) se coupent en un seul point, d abscisse. Si > 0, alors 0 ; on en déduit que l équation b 4 b 4 x et x a a D où, D et (P) se coupent en deux points d abscisse et. f x x adet deux solutions 5. Le point d intersection est unique lorsque 0, et il a pour abscisse d après la question précédente. Or f. Par conséquent, lorsque = 0, D et (P) se coupent en un seul point G de coordonnées ( ; ). 6. D après la question 4., A a pour coordonnées. Coe I est le ilieu de ; A B, alors : xi M. 4 yi M et B a pour coordonnées Coe A et B n existent que si est positif, alors yi. En effet, dans le cas où 0, on a : M A0 B0 I0. Par conséquent, l enseble des point I quand parcourt est la dei-droite [Gy). - : Second degré et optiisation On considère un point M sur le diaètre AM MB. On pose AB 4 et AM x et. Soit x AB d un cercle. Il déterine deux cercles de diaètre A l aire de la surface non colorée. Preière S 5 F. Laroche

6 A M B. Réaliser une figure à l aide du logiciel GeoGebra.. Conjectures : a. Quelle est la position du point M pour laquelle A x est axiale? b. Existe-t-il une position de M pour laquelle A x soit stricteent supérieure à la soe des aires des deux disques de diaètre AM et MB? c. Quelles sont les positions (si elles existent) de M pour lesquelles A x est-elle inférieure à la oitié de l aire des deux disques de diaètre AM et MB?. Montrer que l aire x Preière S 6 F. Laroche A est définie par : x x 4 x 4. Déontrer la conjecture de la question. a. 5. Justifier la conjecture de la question. b. A. 6. Déteriner les positions (si elles existent) de M pour lesquelles A x estt inférieure à la oitié de l aire des deux disques de diaètre AM et MB. Correction. a. Figure. Il seble que A x soit axiale lorsque M est le ilieu du diaètre AB. b. Figure. Il seble qu il soit ipossible de trouver une position de M vérifiant le problèe. c. Figure. Il seble que les positions de M, pour lesquelles A x soit inférieure à la oitié de l aire des deux disques sont telles que x0 ; 0,64,64 ; 4.. L aire A x de la surface non colorée est définie sur 0 ; 4 par : 4 AB AM MB x x x A. x 6 8x x 6 6 8xx 8xx 4x x D où A x 4, par conséquent, pour tout réel x de 0 ; 4, A x x 4x.

7 4. A x est un trinôe du second degré. Coe a (le coefficient du x est négatif), alors la représentation graphique de A est une parabole ayant «les branches vers le bas», et le soet S de cette b parabole a pour coordonnées ; a 4a. Or b et, d où : a 4a f x 0 4 x 0 Par conséquent, A adet un axiu atteint en x. Par conséquent, la position de M pour laquelle A x est axiale est donc le ilieu du diaètre AB. 5. A x est stricteent supérieure à la soe des aires des deux disques de diaètre AM et MB signifie que : x 4 x Or x 4 x x 4 x. x 4 x équivaut à x 4x 4 0 x 0 ; ce qui est ipossible. Par conséquent, il est ipossible de trouver une position de M vérifiant le problèe. 6. x, c est-à-dire à A est inférieure à la oitié de l aire des deux disques de diaètre AM et x 4 x que x 4 x Cherchons le signe de x x 8 :, ce qui équivaut à x x8 0. MB signifie ; coe > 0, alors le 48 4 trinôe adet deux solutions : x et x. 6 6 On obtient le signe de l expression x x 8 (positif à l extérieur des racines) : x 0 4 x x Par conséquent, les positions de M, pour lesquelles A x est inférieure à la oitié de l aire des deux disques de diaètre Preière S 7 F. Laroche AM et MB sont telles que - : Second degré et optiisation (F. Bergougnoux, C. Volland) x 0 ; ; 4.. ABC est un triangle rectangle et isocèle en A tel que AB AC 6. M est un point obile du segent [AB] tel que AM x x 0 ;6. N est à l intersection de [BC] et de la perpendiculaire à [AC] passant avec par M ; P est le projeté orthogonal de N sur [AC]. On veut étudier le sens de variation de l aire s du rectangle AMNP lorsque M se déplace sur [AB]. Pour cela, on introduit la fonction f associant à la distance AM l aire s.

8 a. Conjecturer la (les) position (s) de M pour que l aire soit égale à 8. b. Conjecturer la (les) position (s) de M pour que l aire soit axiale.. On veut visualiser la courbe (C) représentative de la fonction f. On notera Q un point courant de (C). A l aide de votre logiciel préféré tracez cette courbe (trace de Q puis lieu de points) Reprendre alors les questions. a et. b.. a. Exprier MN en fonction de x. En déduire l expression de f x, aire de AMNP, en fonction de x. b. Tracer sur la figure la représentation graphique de la fonction f et la coparer à la trace du point Q. Conclure. 4. Répondre de nouveau à.a. et. b. par le calcul. -4 : Second degré (R. Vidal / débutants) I. On dispose de ètres de clôture pour déliiter un enclos rectangulaire. Quelles diensions donner à l enclos pour que celui-ci déliite une aire axiale? A. Construction avec Geogebra :. Dans la barre de saisie, entrez la forule «A=(0, 0)» ; créez de êe le point B(0, 6) et le point M variable dans le segent [AB] (après avoir créé le segent). Expliquez pourquoi créer ces points.. On se propose de construire le rectangle. a. Que vaut sa longueur AC en fonction de la longueur AM? b. Construisez le segent [AC] en utilisant l icône de enu ci-dessous Vérifiez que lorsque M se déplace il en est de êe de C. c. Finissez la construction du rectangle. En utilisant l icône «polygone» faites afficher son aire. Pour quelle valeur de la longueur AM l aire du rectangle seble-t-elle axiale? A quelle figure géoétrique cela correspond-il? B. Julia trouve, en utilisant Geogebra, que l aire du rectangle seble axiale pour une valeur de AM égale à,99. Cette valeur vous seble-t-elle la bonne? Essayons d utiliser le tableur pour infirer ou confirer cette valeur. Preière S 8 F. Laroche

9 a. Coplétez avec le tableur un tableau donnant les valeurs de la longueur AM et de l aire du rectangle : vous pourrez choisir pour AM des valeurs de,980 à,00 avec un pas de 0,00. On rappelle la procédure pour replir la colonne A : dans la cellule A, entrez «,980», puis dans A, entrez la forule «= A+0,00» que vous ferez glisser avec la souris ( clic gauche ) vers le bas en sélectionnant le petit carré en bas à droite de la cellule. Vous replirez de êe la colonne B en entrant la forule adéquate. b. Essayez en utilisant le tableur de trouver une approxiation plus précise du axiu. Vous choisirez un pas plus petit et avec un clic droit sur les axes du graphique vous pourrez odifier la fenêtre de celui-ci. Que constatez-vous? C. Déonstration athéatique Appelez x la longueur AM. Dans quel intervalle x est-il situé? Calculez l aire A(x)du rectangle en fonction de x. Quelle est la nature de l expression A(x)? En déduire le tableau de variations de la fonction x A( x) et répondre à la question de départ. -5 : Approche géoetrique d une courbe connue Dans un repère orthonoré du plan, on considère les points A et B de coordonnées respectives ( ;) et ( ;), puis un point M sur l axe des abscisses. On appelle H l orthocentre du triangle ABM. Le but du travail est d identifier la nature du lieu géoétrique de H lorsque M parcourt l axe des abscisses.. Construction et conjecture grâce à un LGD a. Créer les points A et B. Placer un point M variable sur l axe des abscisses puis construire le point H, orthocentre du triangle ABM. b. Visualiser le lieu (L) de H lorsque M se déplace sur l axe des abscisses. Quelle conjecture peut-on éettre sur la nature de la courbe (L)? c. Afficher les coordonnées du point H. Quelle relation les coordonnées de H doivent-elles vérifier si la conjecture est valide? d. Afficher le carré de l abscisse de H. Déplacer le point M : que constate-t-on? e. Peut-on, grâce à cette observation, valider ou invalider la conjecture? Pourquoi?. Déonstration de la conjecture a. On appelle l abscisse du point M. Dans le triangle ABM, déteriner une équation de la hauteur issue de M, puis une équation de la hauteur issue de A. b. En déduire les coordonnées du point H en fonction de. c. Quelle est la fonction f qui, à l abscisse de H, associe son ordonnée y? d. Quel est l enseble des valeurs que peut prendre l abscisse de H? Sur quel enseble est définie la fonction f? e. En déduire la nature de la courbe (L). La tracer sur la figure de la question. Coentaires Dans l enseble, les élèves ne connaissent les coniques que coe étant des représentations graphiques de fonctions. Cette approche est l occasion de leur ontrer que ces courbes peuvent aussi avoir une définition géoétrique. Prérequis : anipulation des fonctionnalités de base d un LGD - équation d une hauteur. La réalisation de la figure peret de s approprier les données de l énoncé et sera une partie du copterendu.. Conjecture avec un LGD Le point H seble se déplacer sur la parabole d équation y x, donc son ordonnée devrait être le carré de son abscisse. L affichage des valeurs seble conforter la conjecture : toutefois ce travail à l ordinateur ne valide aucun résultat. Il n est qu un éléent suppléentaire pour penser que le lieu (L) est la parabole d équation y x. Preière S 9 F. Laroche

10 . Déonstration de la conjecture a. La hauteur issue de M a pour équation x. La hauteur issue de A a pour vecteur noral MB( ;) et passe par A( ; ). Elle a donc une équation de la fore ( ) x y c 0 avec ( ) c 0 soit c. Une équation de la hauteur issue de A est ( ) x y 0 b. Le point H a pour abscisse et son ordonnée y vérifie l équation ( ) y 0. Le point H a donc pour coordonnées et Preière S 0 F. Laroche. c. L ordonnée de H est donc l iage de son abscisse par la fonction carré : f ( ). d. Le point M décrit tout l axe des abscisses, donc l abscisse de H décrit : la fonction f est définie sur. e. Le lieu (L) du point H lorsque M décrit l axe des abscisses est la totalité de la courbe représentative de la fonction carré définie sur : c est donc la parabole d équation y x. -6 : Approche géoetrique d une courbe connue Dans un repère orthonoré du plan, on considère le carré ABCD avec A ( ; 0), B( ; ), C(0 ; ) et D (0 ; 0) puis un point M sur l axe des abscisses. La droite (CM) coupe la droite (AB) au point N. Le point P est tel que le quadrilatère AMPN soit un rectangle. Le but du travail est d identifier la nature du lieu géoétrique de P lorsque M parcourt l axe des abscisses.. Conjecture grâce à un LGD a. Créer le carré ABCD. Placer un point M variable sur l axe des abscisses. Construire successiveent les points N et P. b. Visualiser le lieu (L) de P lorsque M se déplace sur l axe des abscisses. Quelle conjecture peut-on éettre sur la nature de la courbe (L)? c. Afficher les coordonnées du point P. Quelle relation les coordonnées de P doivent-elles vérifier si la conjecture est valide? d. Afficher l inverse de l abscisse de P. Faire varier M : que constate-t-on? e. Peut-on, grâce à cette observation, valider ou invalider la conjecture? Pourquoi?. Déonstration de la conjecture a. On appelle l abscisse du point M. Déteriner une équation de la droite (CM). b. En déduire les coordonnées du point N puis celles du point P. c. Quelle est la fonction g qui, à l abscisse de P, associe son ordonnée y? d. Quel est l enseble des valeurs que peut prendre l abscisse de P? Sur quel enseble est définie la fonction g? e. En déduire la nature de la courbe (L). la tracer sur la figure de la question. Coentaires Dans l enseble, les élèves ne connaissent les coniques que coe étant des représentations graphiques de fonctions. Cette approche est l occasion de leur ontrer que ces courbes peuvent aussi avoir une définition géoétrique. Prérequis : anipulation des fonctionnalités de base d un LGD - équation de droite.. Conjecture : le point P seble se déplacer sur l hyperbole d équation devrait être l inverse de son abscisse, augenté de. y, donc son ordonnée x L affichage des valeurs seble conforter la conjecture : toutefois ce travail à l ordinateur ne valide aucun résultat. On peut penser que le lieu (L) est l hyperbole d équation y. x. Déonstration

11 a. La droite (CM) a pour vecteur directeur le vecteur CM( ; ) et passe par le point C (0 ;) : une équation est Preière S F. Laroche y x lorsque 0. b. Les coordonnées de N sont ( ; ), celles de P sont ( ; ). c. L ordonnée de P est égale à la soe de l inverse de son abscisse et de : g ( ). d. Le point N et par conséquent le point P n existent que si 0, sinon (CM) est parallèle à (AB) ; ce qui correspond à M différent de l origine du repère : la fonction g est définie sur *. e. Le lieu (L) du point P lorsque M décrit l axe des abscisses, en étant différent de l origine du repère, est l hyperbole d équation y qui se déduit de l hyperbole d équation y par la translation du vecteur x x de coordonnées (0 ; ). -7 : Approche géoetrique d une courbe connue Dans un repère orthonoral ( O ; i, j), on considère le cercle (C) d origine O et de rayon 6 puis un point M sur ce cercle. Le point N est le point de l axe des abscisses, distinct de O, tel que le triangle OMN soit isocèle en M. Le point K est le ilieu du segent [MN]. Le but du travail est d identifier la nature du lieu géoétrique de K lorsque M parcourt le cercle (C).. Conjecture grâce à un LGD a. Afficher le repère d origine O puis créer le cercle (C) de centre O et de rayon 6. Placer un point M variable sur (C). Construire successiveent les points N et K. b. Tracer le lieu (L) de K lorsque M se déplace sur (C). Quelle conjecture peut-on éettre sur la nature de la courbe (L)? S agit-il de la courbe représentative d une fonction? Justifier la réponse. c. Afficher les coordonnées du point K. Puis faire afficher la soe du carré de l abscisse de K et de neuf fois le carré de l ordonnée de K. Déplacer le point M. Que constate-t-on?. Etude et tracé de (L). a. On appelle une esure (en radians) de l angle i, OM Déteriner en fonction de les coordonnées du point M, puis celles du point N. b. En déduire les coordonnées (x ; y) du point K. Vérifier qu elles sont solutions de l équation x 9y 8. c. Montrer que si K(x ; y) appartient à (L) alors les points K ( x; y) et K ( x; y) appartiennent aussi à (L). Qu en déduit-on pour la courbe (L)? d. Montrer que la restriction de (L) au quadrant x0, y 0 est la courbe représentative de la fonction f définie sur l intervalle [0, 9] par f( x) 8 x. e. Etudier les variations de f sur l intervalle [0, 9]. f. Tracer (L) en expliquant les différentes étapes de sa construction.. Produit scalaire - : Périètre et aire d un triangle On connaît les forules d Al-Kâshi reliant côtés et angles d un triangle : a b c bc cos, etc. ainsi que la forule de l aire et des sinus : absin bcsin casin.

12 La question est de savoir si on peut trouver une relation «siple» entre et les côtés a, b, c.. En écrivant par exeple que sin cos et en utilisant Al-Kâshi, ontrer que Preière S F. Laroche 4 4 où p est le dei-périètre du triangle. a b c a b c a b c a b c p p a p b p c. Retrouver la forule en coupant votre triangle en deux triangles rectangles.. Peut-on trouver une forule seblable pour un quadrilatère convexe? 4. Tester la forule sur des triangles de fores variées : regarder particulièreent les triangles très pointus ou très aplatis. 5. Trouver un triangle dont les côtés diffèrent d une constante k (soit a, a + k, a + k par exeple) et dont l aire t est fixée. - : Enseble de points et produit scalaire On donne deux points A et B tel que AB = 4. Le but de l exercice est de déteriner l enseble des points M du plan tels que MAMB à l aide d un logiciel de géoétrie dynaique.. Construction de la figure a. Faire apparaître le repère pour la construction de A et B. b. Créer les points A et B de coordonnées respectives 0 ;0 et 4 ;0. c. Construire un point M variable puis les segents [MA] et [MB]. d. Créer la valeur nuérique p qui représente le produit scalaire MA MB. Faire afficher cette valeur avec deux déciales.. Conjecture d une réponse a. Déplacer le point M dans le plan et observer pour chaque position de M la valeur de p. On peut visualiser quelques positions de M pour lesquels p est égal à. Conjecturer l enseble des points M cherché. b. Il existe deux points E et F de l axe des abscisses appartenant à l enseble cherché. Lesquels? Pourquoi? Justifier. c. Pour chaque position de M, créer la valeur a de l angle géoétrique EMF. Faire afficher cette valeur avec une déciale. Déplacer le point M et observer siultanéent les valeurs de p et de a : que seble valoir a lorsque p =? d. En déduire l enseble des points deandés.. Déonstration Soit I le ilieu de [EF]. a. Exprier MA et MB en fonction de MI et IA. b. Déontrer la conjecture éise sur l enseble des points M du plan tels que MAMB. 4. Construction de l enseble de points a. Construire l enseble des points trouvés en question.c. b. Plus généraleent, si k est un réel quelconque l enseble des points M du plan tel que MA. MB k est-il toujours un cercle? - : Inversion (M. Chevalier) (C) est un cercle de centre O et de rayon 4, (d) une droite donnée dont la distance à O est 8. La perpendiculaire à (d) passant par O coupe (d) en H. M est un point variable de (d). (MB) et (MC) sont les tangentes à (C) issues de M. La droite (BC) coupe (OH) en I et (OM) en K.

13 A. Que se passe t- il lorsque M décrit la droite (d)? B. Passons à la déonstration :. Montrer que OI OH OK OM.. Montrer que OKOM 6.. En déduire OI et conclure. 4. Sur quel enseble de points se déplace le point K lorsque M décrit la droite (d)? -4 : Carré et Triangle (M. Obadia) Objectif: étudier la nature d un triangle variable. A. Partie expérientale Soit ABCD un carré de centre O et M un point variable sur la diagonale AC. On note I et J les projetés orthogonaux du point M sur AB et BC respectiveent. On souhaite déteriner la nature du triangle OIJ.. Avec un logiciel de géoétrie, construire une figure dynaique illustrant la situation. Appeler l exainateur pour vérifier la construction ou en cas de difficulté.. Quelle conjecture pouvez-vous faire sur la nature du triangle OIJ lorsque le point M décrit le segent AC? Appeler l exainateur pour valider la conjecture. B. Production écrite On se propose de déteriner la nature du triangle OIJ par deux éthodes différentes.. Méthode géoétrique a. Déontrer que : OI OJ OM OB. b. En notant AI et en utilisant les relations d Al-Kashi, ontrer que OI OJ. c. Conclure sur la nature du triangle OIJ.. Méthode analytique Dans le repère orthonoral A ; AB, AC, on note M ; avec 0 ;. En utilisant les coordonnées, déontrer la conjecture énoncée dans la partie A. -5 : Triangle et Carrés (M. Obadia) Objectif: étude d une configuration. A. Partie expérientale Soit BOA un triangle non aplati. Extérieureent au triangle BOA, on construit les carrés directs BAIN et BEUO. On considère les droites AE et ON et enfin le point K ilieu du segent EN.. Avec un logiciel de géoétrie, construire une figure dynaique illustrant la situation.. En faisant varier le triangle BOA : a. quelle conjecture pouvez-vous faire sur les droites b. Que représente la droite BK pour le triangle BOA? Appeler l exainateur pour vérifier la construction ou en cas de difficulté. AE et ON? Appeler l exainateur pour valider la conjecture. B. Production écrite. Coparer les angles EBN et OBA puis déontrer que BE BN BO BA 0.. Déontrer alors la conjecture énoncée dans la question A... Montrer que BO BN BA BE. 4. Montrer que BKAO 0. Confirer alors la conjecture faite à la question A.. Appeler l exainateur pour valider la conjecture. Preière S F. Laroche

14 4. Barycentres 4- : Lieux de points Dans le plan, on donne les point O, A, B et C non alignés. À chaque point M du plan on associe l unique point M défini par l égalité MM' 4MA MB,5 MC. Le but de l exercice est de déteriner l enseble des points M du plan tels que MM' 4MA MB,5 MC lorsque M décrit un cercle donné. A. Conjecture à l aide d un logiciel. a. Construire une droite (D) quelconque. b. Déteriner alors le lieu des points M lorsque M parcourt (D).. a. Construire un cercle (L) quelconque. b. Déteriner alors le lieu des points M lorsque M parcourt (L).. Que pensez-vous de la nature de la transforation f qui transfore M en M? B. Approche de la déonstration. Construire le barycentre G des points pondérés (A ; 4), (B ; ), (C ;,5).. Que pouvez-vous dire des vecteurs GM et GM '?. Conclure. C. Généralisation. Reprendre les questions précédentes avec MM' 4MA MB MC.. Reprendre les questions précédentes avec MM' ama bmb cmc. 4- : Avec des barycentres Dans le plan P, on donne quatre points O, A, B et C et un cercle ( ) de centre O. Le point M est un point quelconque variable sur le cercle ( ). On associe au point M l unique point M du plan P défini par l égalité : MM' MA MB MC. Il s agit de déteriner le lieu géoétrique (L) du point M lorsque le lieu géoétrique du point M est le cercle ( ).. a. A l aide d un logiciel de géoétrie plane construire les points O, A, B et C, le cercle ( ) et un point libre M sur ce cercle. b. Construire le point M associé à M. c. En observant plusieurs positions du point M faire une conjecture sur la nature du lieu géoétrique du point M.. a. Trouver une relation siple entre les vecteurs IM et IM' où I est un point à déteriner. b. Déteriner le lieu géoétrique (L) du point M. 5. Suites 5- : Soe d entiers A - Soe des n preiers entiers naturels ipairs On considère la suite (I n ) définie, pour tout entier naturel non nul, par : I n = (n ).. Conjecture avec un tableur a. Créer les colonnes A et B jusqu à n = 0. b. Quelle est la forule à entrer en C? c. Recopier vers le bas la cellule C jusqu à n = 0. d. Conjecturer l expression de I n en fonction de n.. Déonstration Déontrer la conjecture faite précédeent. Preière S 4 F. Laroche

15 B - Découvrir une égalité On considère les deux suites (S n ) et (P n ) définies, pour tout entier naturel n non nul, par : S n = n et P n = n.. Conjecture avec un tableur En suivant la disposition ci-contre quelle conjecture faitesvous?. Déonstration a. Vérifier que, pour tout entier n, P n = P n + n. b. La suite (U n ) est définie, pour tout entier naturel non nul, par : U n = S n ². Exprier U n en fonction de n. c. Vérifier l égalité U = P et que, pour tout entier n, U n = U n + n d. On adet alors que les suites (U n ) et (P n ) sont égales. En déduire la conjecture éise. 5- : Suite définie par une relation de récurrence un (u n ) est la suite définie, pour tout entier naturel n, par : u 0 = et un u. n. Conjecture avec un tableur : a. Calculer u n jusqu à n = 0. b. Faire apparaître les valeurs de u n sous fore de fraction. c. Conjecturer une expression donnant, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n.. Déonstration a. (v n ) est la suite définie, pour tout entier naturel n, par : suite arithétique. b. Déontrer la conjecture faite à la question. Preière S 5 F. Laroche v n. Déontrer que la suite (v n ) est une u 5- : Recherche de solution approchée d'une équation du type f(x) = 0 par dichotoie. Situation et principe : Énoncé : f est une fonction définie sur un intervalle I. Il arrive parfois que l'on sache que l'équation f(x) = 0 adet une solution et une seule (par exeple par application du théorèe des valeurs interédiaires) sans être capable de calculer cette solution de façon précise. Il existe plusieurs algorithes perettant de donner des encadreents (de plus en plus fins) de cette solution. L'un de ces algorithes est celui de la dichotoie. (En grec, dichotoie signifie «couper en deux»). La éthode sera ici présentée sur un exeple. On considère le cas de l'équation cos x x avec x 0; f x x cos x. On doit donc résoudre l'équation f x 0. n. On définit la fonction f sur 0; par

16 . On pose a0 0 et b0. On note I a ; b a0 b0 a. Calculer c0 puis ( 0 ) appartient à c ; b. On note I a ; b l intervalle choisi. 0 0 fc. Déteriner alors si la solution appartient à ; a b b. Calculer c puis ( ) dont l'aplitude est égale à la oitié de celle de a b, auquel appartient. a c ou si elle 0 0 fc. En procédant coe au. a. en déduire le nouvel intervalle a ; b ;. En poursuivant le procédé aorcé à la question. b., on définit sur les suites ( a n ), ( b n ) et ( c n ) telles an bn que an ; bn et cn.. Sur tableur, préparer une feuille de calcul sur le odèle suivant : Aide sur le tableur : Vous allez être aenés à utiliser la fonction SI du tableur dont voici la syntaxe : =SI(condition ; valeur à afficher si VRAI ; valeur afficher si FAUX) Exeple : En saisissant, on obtient :. Pour régler le forat d affichage d un nobre : Sélectionner le(s) nobre(s) concernés, cliquer sur Forat, cellule, nobres. Choisir alors le forat qui convient. a. Replir les cellules B4 et C4. Entrer les forules adéquates dans les cellules D4, E4, F4, G4 et H4. b. Dans la cellule B5 : =Si(E4*G4 0 ;B4 ;D4) ; c. Que doit-on écrire dans la cellule C5? 4. Travail sur papier : a. Quelles conjectures peut-on énoncer à propos des suites ( an ) et ( b n )? b. Proposer une déonstration validant ces conjectures. 5-4 : Le nobre d or (B. Galasso) Les questions Q, Q, sont à rédiger classiqueent sur une copie. Les questions T, T, sont à traiter à l aide d un tableur et à faire vérifier par le professeur. ère partie : définition du nobre d or 5 Le nobre d or est le nobre irrationnel noté par la lettre grecque (prononcer phi) et égal à. Q. Donner une valeur approchée à 0 6 près du nobre d or. T. Donner une valeur approchée à 0 près du nobre d or. èe partie : construction géoétrique du nobre d or Preière S 6 F. Laroche

17 Construire un carré ABCD de côté et arquer le ilieu I de [AB]. Tracer le cercle de centre I et de rayon IC ; il coupe la dei-droite [AB) en E. Construire le rectangle AEFD. Q. Calculer la valeur exacte de IC puis déontrer que 5 AE DF. NB : le rectangle AEFD est appelé rectangle d or car le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nobre d or. èe partie : le nobre d or solution d une équation Q. Montrer que le nobre d or est solution de l équation x x 0. Q 4. Déontrer alors que l inverse de l opposé de ce nobre est aussi solution de cette équation. 4 èe partie : Fractions en cascade On considère la suite de fractions : F ; F ; F ; F4 ;... F Q 5. Siplifier ces fractions et en donner une valeur approchée à 0 6 près. Q 6. Reprendre les calculs en replaçant par. T. Sur un tableur, saisir un nobre A positif dans la cellule A. Dans la cellule A, arquer «= + /A», puis recopier vers le bas jusqu à la ligne 0. Observer les déciaux obtenus et coparer au nobre d or. NB : On deandera l écriture des nobres déciaux avec déciales. T. Recoencer en replaçant A par un autre nobre positif. 5 èe partie : la suite de Fibonacci Léonard de Pise, plus connu sous le pseudonye de Fibonacci (75-50), était un coerçant et un grand voyageur. Son livre Liber abbaci, qui est principaleent consacré aux calculs coerciaux, est aussi un recueil de petits problèes dont celui très célèbre sur l évolution d une population de lapins qui l aène à introduire la suite de nobres entiers suivants : - les deux preiers teres sont 0 et, - chaque tere suivant est la soe des deux teres précédents ; voici donc les 7 preiers teres : 0,,,,, 5, 8, Q 7. a. Continuer cette suite jusqu au 5 èe tere. b. Calculer le quotient du èe tere par le èe, puis le quotient du èe tere par le èe, puis le quotient du 4 èe par le èe et enfin le 5 èe par le 4 èe. Que constate-t-on? T 4. a. À l aide d un tableur, calculer les trente preiers teres de la suite de Fibonacci. b. Calculer la suite des quotients obtenus en divisant un tere par son précédent. Que constate-t-on? 6 èe partie : les puissances de Q 8. a. Vérifier que. b. Montrer que en partant de l égalité et en replaçant par. Montrer de la êe façon que. c. Exprier de la êe façon 4 5, 6 et 7 en fonction de. Preière S 7 F. Laroche

18 Q 9. Montrer que ; exprier de êe 5-5 : Suites récurrentes L objectif de cet exercice est double :, et 4 en fonction de. En athéatiques : prendre conscience de l effet de la valeur du preier tere d une suite définie par récurrence. En TICE : continuer à apprendre à utiliser un tableur. Preière partie : les observations On s intéresse à la suite u définie par : u0 un un. 0. Calculer, à l aide d un tableur, les vingt preiers teres de cette suite.. Conjecturer alors le sens de variation et la liite de cette suite.. Modifier la valeur du preier tere u 0 (par exeple u 0 = 0) en conservant la forule de récurrence. Vos conjectures concernant le coporteent de la nouvelle suite sont-elles les êes? 4. Faire ainsi, en procédant de la êe anière, plusieurs (6 ou 7 en plus des deux déjà effectués) essais successifs, en changeant seuleent la valeur du preier tere u 0, tout en conservant la êe forule de récurrence. 5. Faire un graphique représentant ces suites. Citer trois valeurs de u 0 telles que la suite u est stricteent croissante, trois valeurs telles que la suite u est stricteent décroissante, et une valeur telle que la suite u est constante. Que peut-on dire de la liite de la suite, dans chaque cas? 8. La suite u seble toujours onotone, et cela ne dépend que de la valeur de u 0 (la forule de récurrence étant toujours la êe). A quel intervalle seble devoir appartenir u 0 pour que la suite soit stricteent croissante? stricteent décroissante? Deuxièe partie Modifier la feuille de calcul de façon à pouvoir calculer les valeurs des teres de la suite u définie par son preier tere u 0 qu on pourra odifier et par la forule de récurrence u n+ = a u n + b, a et b pouvant être odifiés.. On prend u 0 = 0. Calculez les teres de la suite u n pour diverses valeurs de a et b : on prendra des valeurs de a coe indiquées et diverses valeurs de b ( 0,, 0, 5, 0). Coplétez le tableau. a variation liite a variation liite a 0a a a a 0 a. Est-ce que le changeent de preier tere odifie quelque chose? Troisièe partie : les déonstrations des conjectures de la preière partie du TP.. Quelle(s) éthode(s) proposez-vous pour déontrer que la suite définie au début de la preière partie est croissante?. Faire la déonstration.. Déontrez que la suite u est ajorée. Preière S 8 F. Laroche

19 4. En déduire qu elle converge. 5. Quelle égalité doit vérifier la liite l de cette suite? En déduire l. 5-6 : Suite récurrente u0 0 On considère la suite nuérique u n n définie par : un u. a. En utilisant un tableur calculer et représenter graphiqueent les 0 preiers teres de cette suite. b. Le nuage de points obtenus a-t-il une particularité? n. Appeler l exainateur pour une vérification de la construction faite.. Essayons de déteriner une expression de u n en fonction de n pour tout entier naturel n. a. Conjecturer une expression de u n en fonction de n. b. Déontrer cette conjecture. Production deandée. Appeler l exainateur pour une vérification de la conjecture. - Le nuage de points attendu dans la question et la particularité trouvée à ce nuage. - La stratégie de déonstration retenue à la question ainsi que les étapes de cette déonstration. 5-7 : Deux suites récurrentes Les suites a et b sont définies par a0 et b0 et pour tout naturel n par n n a a b et b n an 4bn n n n 5.. A l aide de la calculatrice ou d un tableur afficher les 0 preiers teres des deux suites et éettre une conjecture concernant le sens de variation de ces deux suites. u définie par un an bn pour tout naturel n. Afficher les 0 preiers teres de cette suite et éettre une conjecture sur le signe et la convergence de u n.. On considère la suite n. On considère la suite 5 sn an bn. Afficher les 0 preiers teres de la suite. 4. Quelle seble être la nature de ces deux suites? sont-elles arithétiques? géoétriques? 5. Exprier s n et u n en fonction de n. En déduire des expressions de convergence de ces suites. a n et b n. Conclure quand à la Preière S 9 F. Laroche