Examen de «Transmission et Communication Numérique»

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1 PHELMA /filière Sicom année Mai 15 heures, 4 pages Documents de cours et calculatrice interdits, à l exception d une feuille recto-verso manuscrite Examen de «Transmission et Communication Numérique» Notes : On s attachera à donner des réponses courtes et précises (elles pourront s appuyer sur les résultats de cours ou de TD). Le barème est donné à titre indicatif seulement. Veuillez rendre l énoncé dans la copie svp. I- Problème [11 points] : nouvelle modulation PWDM? On doit transmettre des bits indépendants et équiprobables de débit Db =1/Tb = 1 kbit/sec par le signal x( x ( t ), où Ts est le temps symbole, et les signaux xk( sont issus k k kt s d un dictionnaire à M états D = { x (1) ( ;... ; x (M) ( }. Un étudiant, lassé par les modulations classiques qui jouent sur l «amplitude» ou la «position» (temporelle, fréquentielle, ), propose de jouer sur la «largeur» des impulsions pour coder l information numérique. Il nomme cette technique PWDM pour «Pulse-Width Digital Modulation» (inspirée du convertisseur PWM). Le dictionnaire D est défini ci-dessous, et illustré pour M= et M=4 : Technique PWDM : Ts A si t ; m ( ) x m ( M m { 1 ; ; ; M } sinon L émetteur est ainsi très simple (il émet une amplitude A durant un certain temps ou il n émet rien), mais l étudiant, consciencieux, s interroge sur les performances théoriques de cette technique en présence de bruit, et sur la manière de réaliser simplement le récepteur optimal. 1) La modulation proposée est-elle linéaire? Utilise-t-elle un dictionnaire orthogonal? ) Représenter pour les cas «M=», puis «M = 4» le signal x( pour la suite de bits: «1 1 1» (à partir de t=) en précisant vos étiquetages «bits/signaux». 1

2 On suppose d abord le cas binaire : M=. 3) Exprimer l énergie moyenne par bit Eb, et la puissance moyenne Px du signal x, en fonction de A. 4) Exprimer le carré de la distance euclidienne entre les signaux, d, en fonction de Eb. () (1) () (1) Rappel : d ( x ( ) dt, notée aussi d x (. 5) Pour une énergie par bit Eb donnée, comparer cette valeur de d par rapport à celles qui seraient obtenues pour les systèmes concurrentiels binaires (M=) suivants : a- Système RZ polaire : D = { x (1) ( ; - x (1) ( } ; b- Système NRZ unipolaire : D = { x () ( ; } ; c- Système PPM à états: D = { x (1) ( ; x (1) (t Ts/) } ; Le système PWDM binaire parait-il intéressant par rapport aux concurrents en ce qui concerne la robustesse à priori en présence de Bruit Blanc Additif Gaussien (BBAG)? 6) Question indépendante (à traiter à la fin selon temps restant ): pour terminer l étude en binaire, l étudiant s intéresse à la réalisation du récepteur PWDM. Il se souvient que pour un signal reçu r( = x( + n( où n( est un BBAG, le récepteur optimal théorique compare d (1) = r( x (1) ( et d () = r( x () ( pour décider lequel des signaux «1» ou a été émis (on considère seulement l envoi du signal d indice k=). a- Rappeler la règle de décision à partir de d (1) et d () ; b- Donner une règle équivalente à partir des échantillons y (1) = < r( ; x (1) (> et y () = < r( ; x () (>, ainsi que des énergies E (1) = x (1) ( et E () = x () (, où def * x( ; y( x(. y( dt désigne le produit scalaire entre deux signaux. c- L étudiant en déduit un récepteur linéaire plus simple et équivalent au récepteur optimal. Ce récepteur, schématisé sur la figure ci-dessous, calcule une seule corrélation par période symbole (y = <r( ; h(> pour l indice k=) et la compare à un seuil s. Préciser l expression du signal h( utilisé pour la corrélation, et du seuil s. On suppose désormais le cas général (M =, 4, 8, 16, ). L étudiant se demande si le système PWDM peut avoir un intérêt si M augmente pour un scénario à puissance limitée (efficacité énergétique) ou à bande limitée (efficacité spectrale). 7) Exprimer la puissance moyenne Px du signal émis x, en fonction de A, et de M. N.B. : on rappelle que i n.(n 1)/. i 1 n

3 8) Exprimer le carré de la distance Euclidienne minimale entre les signaux du dictionnaire, dmin, en fonction de la taille M et de Eb? Commenter l évolution lorsque M. 9) Commenter la conséquence de l évolution de la largeur de l impulsion x (1) ( lorsque M (on rappelle que le débit binaire Db=1/Tb est fixé). 1) Conclure l étude. En particulier, comparer l évolution avec M des efficacités énergétique et spectrale de la modulation PWDM par rapport aux modulations classiques évoquées en question 1). Conseillerez-vous finalement le lancement du modem PWDM? II-Exercices [9 points]: Transmission avec modulation linéaire Contexte général pour les parties A et B (qui sont indépendantes) On transmet des symboles {ak } indépendants et équiprobables (moyenne ma, variance a ) pris dans un alphabet Amod (précisé selon questions) de taille M, à l aide du signal: x( s k T. a. h k e ( t kt s ), équation (1) où he( est la R.I. du filtre d émission, d énergie he ( dt Le débit symbole est fixé à Ds = 1/Ts = 1 Msymb/sec. On suppose que le récepteur - reçoit : r( = x( + n(, où n( est un BBAG réel de DSP bilatérale N/, - filtre r( par le filtre de réception de R.I. hr( = he(-t + - échantillonne la sortie y( aux instants tk = kts + t, pour obtenir yk = y(tk), - prends à partir de yk la décision âk sur le symbole émis ak Partie A [5 points]: Transmission à bande limitée 1) Bande minimum : a- Rappeler la formule de Densité Spectrale de Puissance (DSP) x(f) du signal émis x(. b- Pour une transmission optimale (Probabilité d erreur minimum pour un Eb/N donné), rappeler quelle est nécessairement la Bande minimum, Bmin? c- Quel phénomène apparait si on choisit une bande inférieure à Bmin? d- Le fait d utiliser le filtre adapté en réception (retardé) et une bande supérieure à Bmin permet-il de garantir une performance optimale? On suppose dans toute la suite l utilisation d un filtre d émission he( de type ½Nyquist en Racine de Cosinus Surélevé d excès de bande (roll-off) = 5%, et d énergie he = 1/Ts. ) Bande utilisée : avec un tel filtre he, quelle sera la bande passante de l émetteur? 3) Un premier scénario donné : pour M = 4 avec ak Amod = {-3 ; -1 ; +1 ; +3} en volt, a- quel est le débit binaire transmis Db (Mbit/sec)? b- la Puissance moyenne du signal émis Px (en Volt )? c- Dessiner l allure de la DSP x(f) en graduant bien l axe des fréquences en MHz. 4) Un deuxième scénario donné : pour M = avec ak Amod = { ; } en volt, Répondre aux mêmes questions que pour le scénario de la question 3). def h e 3

4 Partie B [4 points]: Transmission binaire au format Manchester Dans cette partie, on suppose une modulation binaire au format de Manchester, défini par des symboles ak d alphabet Amod = {-A, +A} en volt, et un filtre he( d émission défini par la figure ci-dessous (la fonction d auto-corrélation du filtre, C he (, est aussi représentée) : 1) Paramètres généraux : le filtre de réception étant le filtre adapté à he retardé de t, c està-dire hr( = he(-t +, en déduire : a- le retard minimum tmin pour que le filtre de réception soit causal, b- dessiner la R.I. du filtre hr( obtenu. c- dessiner la R.I du filtre global p( = (he hr)( ( où désigne la convolution), d- la sortie yk de l échantillonneur aux instants tk = t + kts est-elle affectée ou non d Interférence-Entre-Symboles (IES)? Justifier. ) Observation : La figure ci-dessous trace le signal émis x( durant les premières périodes symboles, ainsi que le signal analogique (sans brui y( en sortie du filtre de réception : a- Indiquer les valeurs des symboles transmis { a k } pour les indices k=, 1,, 5, et la valeur de A. b- Quelle est la puissance moyenne du signal émis Px (en volt ). c- indiquer sur la figure (que vous rendrez à l intérieur de votre copie) les instants d échantillonnages t k, et entourez les échantillons y k pour les indices k=, 1,, 5. Commentaire (comparer y k et a k)? 4

5 Eléments de Réponses PROBLEME : 1- La modulation proposée n est ni linéaire, ni issue d un dictionnaire orthogonal. - Représentation cas M= et M = 4.. On suppose d abord le cas binaire (M=). 3- Eb = Es = ½.Es(1) + ½.Es() avec Es(1) = A Ts/, et Es() = A Ts. d où Eb= ¾. A Ts. et Px = ¾ A. 4- le carré de la distance euclidienne entre les signaux, d, est : Ts Ts / (1) () d ( x ( ) dt = ( A ) dt = A Ts/ = (/3) Eb. 5- pour les systèmes concurrentiels binaires (M=) suivants : a) Système RZ polaire : D = { x (1) ( ; - x (1) ( } ; d Ts / (A) dt = 4.A Ts/ = 4.Eb car Eb= A Ts/. b) Système NRZ unipolaire : D = { x () ( ; } ; d Ts ( A) dt = A Ts =.Eb car Eb= A Ts/. c) Système -PPM : D = { x (1) ( ; x (1) (t Ts/) } ; d Ts / ( A) dt = A Ts = Eb car Eb= A Ts/. En présence de BBAG, + robuste est : RZpolaire, NRZ unipolaire et -PPM, puis PWM, qui arrive donc dernier dans le cas binaire signal reçu r( = x( + n( où n( est un BBAG. a) règle de décision du récepteur optimal : décide x ( ) si d () d (1), et décide x (1) sinon. b) règle équivalente à partir de y (1) = < r( ; x (1) (>, y () = < r( ; x () (>, ainsi que des énergies E (1) = x (1) ( et E () = x () ( : on décide x () si y () - E () y (1) - E (1). c) ce qui est équivalent à décider x () si < r( ; (x () ( x (1) () > (E () - E (1) )/ = A Ts /4. d) On peut donc répondre : h = x () ( x (1) (, et s= (E () - E (1) )/ = E (1) /=A^Ts/4 Ou en normalisant : h( = (x () ( x (1) ()/(ATs) => h( = Rect[Ts/ ; Ts]( porte de largeur Ts/ sur la deuxième demi-période symbole, et de hauteur 1/Ts. seuil s = A/4. 5

6 Ou autre réponse possible : h = x () ( x (1) (, et s= (E () - E (1) )/ = E (1) /=A^Ts/4 On suppose désormais le cas général (M =, 4, 8, ). 7- la puissance moyenne Px du signal émis x, en fonction de A, et de M : 1 M A mts on a Es m Es( m) avec Es (m) 1 M M A Ts A ( 1) d où Es M Ts M M A Ts( M 1) m = M M M et Px = Es/Ts => m1 Px A ( M 1) M 8- carré de la distance Euclidienne minimale entre les signaux du dictionnaire, Ts / M dmin () (1) = ( x ( ) dt = ( A ) dt = A Ts/M => Es log ( M ) d min Eb N.B : pour M = on retrouve (/3).Eb ( M 1) ( M 1) Donc lorsque M dmin^ tends vers zéro et on est de moins en moins robuste contre le bruit, à Energie par bit fixée. 9- Pour autant la largeur de l impulsion x (1) ( qui vaut = Ts/M = Tb.(log(M)/M) tends vers zéro lorsque M. On peut donc supposer que la bande passante croit avec M. 1- Conclusion, lorsque M augmente, on perd à la fois en efficacité spectrale (bps/hertz) et en efficacité énergétique (ou en fiabilité à Eb fixée). Ce n est donc à priori pas un bon moyen de transmettre. Globalement moins intéressant que les modulations linéaires ou orthogonales. Exercices Transmission linéaire, Ds = 1 Msymb/sec : x( T s. ak. he ( t kts ) Partie A : Transmission à Bande limitée 1) Bande minimum : a- Densité Spectrale de Puissance (DSP) x(f) (=> formule de Benett x(f) = a (f). He(f) ^ avec a (f) = ) b- En bande de base : Bmin = 1/(Ts) = 5 MHz c- si on choisit une bande inférieure à Bmin => apparition d IES obligatoire. d- Le fait d utiliser le filtre adapté en réception (retardé) et une bande supérieure à Bmin est nécessaire mais ne permet pas de garantir une performance optimale (il faut vérifier le critère de Nyquis. On suppose dans toute la suite l utilisation d un filtre d émission he( de type ½Nyqusit en Racine de Cosinus Surélevé d excès de bande (roll-off) = 5%, et d énergie he = 1/Ts. k 6

7 ) Bande utilisée : B = Bmin*(1+.5) = 7.5 MHz. 3) Un premier scénario donné : pour M = 4 avec ak Amod = {-3 ; -1 ; +1 ; +3} a- débit binaire transmis Db = 1 = Mbit/sec. b- Puissance moyenne Px = E(a^) Ts he ^ = 5 1 = 5 volt^ (symboles centrés) c- x(f) prop à He(f) ^ : il a donc la forme du module de la fonction de transfert du filtre de Nyquist en Cosinus surélevé Nyq(f) (bande 7.5 MHz) puisque He(f) = sqrt( Nyq(f) ). 4) Un deuxième scénario donné : pour M = avec ak Amod = { ; } en volt, a- débit binaire transmis Db = 1 1 = 1 Mbit/sec. b- Puissance moyenne Px = E(a^) Ts he ^ = 1 = volt^ (rappeler hypothèse de l utilisation de la formule, autocor he passe par tous les nts, n Z*) c- x(f) a la forme du module de la fonction de transfert du filtre de Nyquist en Cosinus surélevé Cosinus surélevé (bande 7.5 MHz), avec une raie unique en supplémentaire en Hz (moyenne non nulle des symboles amène un spectre de raies tous les 1/Ts = 1 MHz pondéré par Nyq(f) qui est nul pour f > 7,5MHz). Partie B : Transmission binaire au format Manchester 1) Paramètres généraux : filtre de réception = filtre adapté à he retardé de t, c est-à-dire hr( = he(-t +, en déduire : a- tmin=ts pour que le filtre de réception soit causal, b- hr(= - he(. c- dans ce cas p( = (he hr)(=che(t-, avec donc un support allant de à Ts. d- Critère de Nyquist vérifié à partir de p( à échantillonner tous les tk = t + kts, avec t = Ts, donc pas d IES. ) Observation : a- d après la figure (signal x() : les valeurs des symboles transmis { a k } aux indices k=, 1,, 5 sont a = +1, a1 = +1, a = -1, a3 = -1, a4 = -1, a5 = +1 soit la suite de bits bk => 111 en supposant le mapping classique. b- Px = 1 volt. c- indiquer sur la figure les instants d échantillonnages t k, : t = Ts, t1 = Ts, t =3Ts, t3 =4Ts, t4 =5Ts, t5 = 6Ts. d- entourez les échantillons y k pour les indices k=, 1,, 5. Commentaire : on a y k = a k. 7