1 Tests d ajustement. 2 Tests d indépendance. 3 Application aux réseaux bayésiens. 4 Maximum de vraisemblance. d 2 valeur prise par D(n)

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1 Plan du cours n 4 RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres Christophe Gonzales LIP6 Université Paris 6, France 1 Tests d ajustement 2 Tests d indépendance 3 Application aux réseaux bayésiens 4 Maximum de vraisemblance Tests d ajustement RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 2/45 Tests d ajustement II : le retour du χ 2 Définition test d ajustement = test = 2 issues possibles : 1 acceptation de l hypothèse que l échantillon observé population répartie en k classes échantillon de taille n = répartition = (n 1,, n k ) supposons l échantillon tiré selon la loi multinomiale (p 1,, p k ) = (n 1,, n k ) (np 1,, np k ) est tiré selon une certaine loi 2 rejet de l hypothèse 1 k Rappel : D(n) 2 = (N r np r ) 2 np r r=1 χ 2 k 1 contre-hypothèse : ne précise pas de quelle autre loi l échantillon aurait pu être tiré RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 3/45 d 2 valeur prise par D(n) 2 = si échantillon tiré selon (p 1,, p k ) alors d 2 petit table de la loi du χ 2 = dα 2 tel que P(χ 2 k 1 > d α) 2 = α = règle de décision : si d 2 < dα 2 alors OK RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 4/45

2 Tests d ajustement en pratique Exemple de test d ajustement (1/3) Mise en place d un test d ajustement 1 population répartie en k classes 2 échantillon de taille n = répartition = (n 1,, n k ) 3 on vérifie si l échantillon tiré selon la loi (p 1,, p k ) : A choix du risque de première espèce α k B calcul de d 2 (n r np r ) 2 = np r C r=1 lecture dans une table de d 2 α tel que P(χ 2 k 1 > d 2 α) = α D si d 2 < dα 2 alors règle de décision : (p 1,, p k ) est la loi selon laquelle est tiré l échantillon sinon l échantillon est tiré selon une autre loi RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 5/45 Exemple de test d ajustement (2/3) observations = = {(x i, y i )} Problème : les proviennent-ils de points situés sur la courbe y = sin(x) mais observés avec un bruit gaussien? = problème : T i = Y i sin(x i ) N (0, 1)? observations des t i, réparties en 8 classes : t i ] ; 3[ [ 3; 2[ [ 2; 1[ [ 1; 0[ [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[ [3; + [ N r RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 6/45 Exemple de test d ajustement (3/3) Rappel : T i N (0, 1) t i ] ; 3[ [ 3; 2[ [ 2; 1[ [ 1; 0[ [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[ [3; + [ N r np r = d 2 = 8 (n r np r ) np r r=1 pour α = 005, P(χ 2 7 > d 2 α) = α = d 2 α = 141 = d 2 < d 2 α = règle de décision : l échantillon est bien tiré selon sin(x)+ un bruit gaussien Nouvel échantillon : t i ] ; 3[ [ 3; 2[ [ 2; 1[ [ 1; 0[ [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[ [3; + [ N r np r = d 2 = 8 (n r np r ) np r r=1 pour α = 005, P(χ 2 7 > d 2 α) = α = d 2 α = 141 = d 2 > d 2 α = règle de décision : l échantillon n est pas tiré selon sin(x)+ un bruit gaussien RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 7/45 RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 8/45

3 Exemple de test d ajustement (1/2) péage d autoroute : 10 cabines nombre de clients / cabine sur une heure : N cabine Nb clients Clients distribués uniformément sur l ensemble des cabines? = test d ajustement, niveau de confiance : 1 α = 95% H 0 = la répartition des clients est uniforme H 1 = la répartition n est pas uniforme H 0 = 20 clients / cabine (uniforme) RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 9/45 Tests d indépendance (1/3) 2 caractères X et Y classes de X : A 1, A 2,, A I classes de Y : B 1, B 2,, B J échantillon de taille n tableau de contingence : X\Y B 1 B 2 B j B J A 1 n 11 n 12 n 1j n 1J A 2 n 21 n 22 n 2j n 2J A i n i1 n i2 n ij n ij A I n I1 n I2 n Ij n IJ RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 11/45 Exemple de test d ajustement (2/2) X i : variable effectif recensé pour la ième cabine Statistique d ajustement : D 2 = 10 (X i 20) 2 20 D 2 χ 2 9 α = 0, 05 = P(rejeter H 0 H 0 est vraie) = P ( D 2 > d α D 2 χ 2 ) 9 = d α = 16, 9 calcul de la valeur de d observée sur l échantillon : d 2 = 1 20 [(14 20)2 + (24 20) 2 + (18 20) 2 + (20 20) 2 + (23 20) 2 + (13 20) 2 + (23 20) 2 + (18 20) 2 + (24 20) 2 + (23 20) 2 ] = 7, 6 = estimation : répartition uniforme RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 10/45 Tests d indépendance (2/3) n ij n = P(X A i, Y B j ) P(X A i ) = n J i n = j=1 n ij n X\Y B 1 B 2 B j B J total A 1 n 11 n 12 n 1j n 1J n 1 A 2 n 21 n 22 n 2j n 2J n 2 A i n i1 n i2 n ij n ij n i A I n I1 n I2 n Ij n IJ n I total n 1 n 2 n j n J n et I P(Y B j ) = n j n = n ij n X et Y indépendants = P(X A i, Y B j ) = P(X A i ) P(Y B j ) RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 12/45

4 Tests d indépendance (3/3) X\Y B 1 B 2 B j B J total A 1 n 11 n 12 n 1j n 1J n 1 A 2 n 21 n 22 n 2j n 2J n 2 A i n i1 n i2 n ij n ij n i A I n I1 n I2 n Ij n IJ n I total n 1 n 2 n j n J n X et Y indépendants = n ij n = n i n n j n = n ij = n i n j n χ 2 (I 1) (J 1) = I J j=1 (n ij n in j n )2 n i n j n Exemple de test d indépendance (1/2) notes d examen de RFIDEC = 3 classes : c 1 c 2 c 3 note < 8 note [8, 12[ note 12 X : variable aléatoire note 1ère session Y : variable aléatoire note 2ème session X et Y sont-elles des variables aléatoires indépendantes? sélection d un échantillon de 100 notes : X\Y c 1 c 2 c 3 c c c RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 13/45 Exemple de test d indépendance (2/2) Test d indépendance de niveau de confiance 90% 1 calcul des marginales : X\Y c 1 c 2 c 3 total c c c total tableau obtenu si X et Y sont indépendants : X\Y c 1 c 2 c 3 c c c calcul de la statistique d 2 : d 2 = 2, 42 4 D 2 χ 2 4 = d 2 α = 7, 78 = d 2 < d 2 α = indépendance RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 15/45 RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 14/45 Rappel sur l indépendance conditionnelle Indépendance conditionnelle de deux variables discrètes X et Y sont indépendantes conditionnellement à Z si : P(X Y Z ) = P(X Z ) P(Y Z ) si P(Y Z ) > 0 alors P(X Y, Z ) = P(X Z ) si P(X Z ) > 0 alors P(Y X, Z ) = P(Y Z ) Interprétation Conditionnement = apport de connaissances Si l on connaît la valeur de la variable Z, alors connaître celle de Y n apporte rien sur la connaissance de X Ces formules s étendent si X, Y et/ou Z sont remplacés par des ensembles de variables aléatoires disjoints 2 à 2 RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 16/45

5 Application en informatique n variables aléatoires X 1,, X n P(X n,, X 1 ) = P(X n X n 1,, X 1 )P(X n 1,, X 1 ) Par récurrence : P(X n,, X 1 ) = P(X 1 ) P(X i X 1,, X i 1 ) i, {X 1,, X i 1 } = L i K i, où L i K i = et X i indépendant de L i conditionnellement à K i Alors : i=2 P(X n,, X 1 ) = P(X 1 ) P(X i K i ) Tables de proba P(X i K i ) plus petites que P(X i X 1,, X i 1 ) RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 17/45 Exemple d application (2/5) i=2 Exemple de la dyspnée (Lauritzen & Spiegelhalter (88)) La dyspnée peut être engendrée par une tuberculose, un cancer des poumons, une bronchite, par plusieurs de ces maladies, ou bien par aucune Un séjour récent en Asie augmente les chances de tuberculose, tandis que fumer augmente les risques de cancer des poumons Des rayons X permettent de détecter une tuberculose ou un cancer Un patient éprouve des difficultés à respirer Dans quelle mesure peut-on dire qu il est atteint de dyspnée? P(D, R, T, C, B, A, F) = P(D R, T, C, B, A, F) P(R, T, C, B, A, F) Or P(D R, T, C, B, A, F) = P(D T, C, B) = P(D, R, T, C, B, A, F) = P(D T, C, B) P(R, T, C, B, A, F ) Exemple d application (1/5) Exemple de la dyspnée (Lauritzen & Spiegelhalter (88)) La dyspnée peut être engendrée par une tuberculose, un cancer des poumons, une bronchite, par plusieurs de ces maladies, ou bien par aucune Un séjour récent en Asie augmente les chances de tuberculose, tandis que fumer augmente les risques de cancer des poumons Des rayons X permettent de détecter une tuberculose ou un cancer Un patient éprouve des difficultés à respirer Dans quelle mesure peut-on dire qu il est atteint de dyspnée? Variables aléatoires : D : dyspnée : oui/non C : cancer : oui/non A : Asie : oui/non R : rayons X : positif/négatif T : tuberculose : oui/non B : bronchite : oui/non F : fumer : oui/non RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 18/45 Exemple d application (3/5) Exemple de la dyspnée (Lauritzen & Spiegelhalter (88)) La dyspnée peut être engendrée par une tuberculose, un cancer des poumons, une bronchite, par plusieurs de ces maladies, ou bien par aucune Un séjour récent en Asie augmente les chances de tuberculose, tandis que fumer augmente les risques de cancer des poumons Des rayons X permettent de détecter une tuberculose ou un cancer Un patient éprouve des difficultés à respirer Dans quelle mesure peut-on dire qu il est atteint de dyspnée? P(D, R, T, C, B, A, F ) = P(D T, C, B) P(R, T, C, B, A, F) or P(R, T, C, B, A, F ) = P(R T, C, B, A, F) P(T, C, B, A, F) et P(R T, C, B, A, F) = P(R T, C) = P(D, R, T, C, B, A, F) = P(D T, C, B) P(R T, C) P(T, C, B, A, F) RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 19/45 RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 20/45

6 Exemple d application (4/5) Exemple de la dyspnée (Lauritzen & Spiegelhalter (88)) La dyspnée peut être engendrée par une tuberculose, un cancer des poumons, une bronchite, par plusieurs de ces maladies, ou bien par aucune Un séjour récent en Asie augmente les chances de tuberculose, tandis que fumer augmente les risques de cancer des poumons Des rayons X permettent de détecter une tuberculose ou un cancer Un patient éprouve des difficultés à respirer Dans quelle mesure peut-on dire qu il est atteint de dyspnée? P(D, R, T, C, B, A, F) = P(D T, C, B) P(R T, C) P(T, C, B, A, F) P(T C, B, A, F ) = P(T A) P(D, R, T, C, B, A, F) = P(D T, C, B) P(R T, C) P(T A) P(C, B, A, F) = P(D T, C, B) P(R T, C) P(T A) P(C F) P(B F) P(A) P(F ) RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 21/45 Qu est-ce qu un réseau bayésien? Exemple d application (5/5) P(D, R, T, C, B, A, F) = P(D T, C, B) P(R T, C) P(T A) P(C F) P(B F) P(A) P(F) Si toutes les variables ont 10 valeurs possibles : P(D, R, T, C, B, A, F) nécessite une table de 10 7 éléments formule décomposée nécessite : = éléments RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 22/45 Quelques applications des réseaux bayésiens Définition d un réseau bayésien 1 un graphe sans circuit : P(C) C P(D C) D E A P(A) B P(B A) P(E B, D) diagnostic diagnostic de panne sûreté de fonctionnement filtrage de spams P(C) C P(D C) D A B P(A) P(B A) F P(F E) prédiction E P(E B, D) qui représente une décomposition de la loi jointe : P(A, B, C, D, E, F ) = P(F E)P(E B, D)P(D C)P(C)P(B A)P(A) 2 À chaque noeud X du graphe est associé sa probabilité conditionnellement à ses parents modélisation de joueurs prévisions boursières F P(F E) RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 23/45 RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 24/45

7 Diagnostic : une voiture bayésienne (1/3) Diagnostic : une voiture bayésienne (2/3) RB conduit une voiture but : rester au milieu de la route TgR AngV TgR AngV AngVTg DistC AngRoues décomposition : P(AngRoues AngVTg,DistC) P(AngVTg TgR,AngV) P(TgR)P(AngV)P(DistC) AngVTg DistC AngRoues Problème : effectuer rapidement les calculs Principe de fonctionnement de la voiture calculer P(AngRoues) puis tirer selon cette loi une action calculer Argmax P(AngRoues) calculs = éliminer les variables une par une RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 25/45 Diagnostic : une voiture bayésienne (3/3) RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 26/45 Vraisemblance d un échantillon : le cas discret TgR AngV AngVTg DistC AngRoues décomposition : P(AngRoues AngVTg,DistC) P(AngVTg TgR,AngV) P(TgR)P(AngV)P(DistC) Paramètre à estimer : θ Échantillon x = (x 1,, x n ) de taille n Échantillon = les x i = réalisations de variables aléatoires X i Échantillon iid = les X i sont mutuellement indépendants = P(X 1 = x 1,, X n = x n θ = θ) = P(X i = x i θ = θ) Vraisemblance d un échantillon dans le cas discret L(x, θ) = Vraisemblance de l échantillon L(x, θ) = proba d obtenir cet échantillon sachant que θ = θ P(x i θ = θ) L(x, θ) = P(x 1,, x n θ = θ) = RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 27/45 RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 28/45

8 Vraisemblance d un échantillon : le cas continu Paramètre à estimer : θ Échantillon x = (x 1,, x n ) de taille n Échantillon iid = les X i sont mutuellement indépendants p : fonction de densité = p(x 1 = x 1,, X n = x n θ = θ) = p(x i = x i θ = θ) Vraisemblance d un échantillon dans le cas continu L(x, θ) = Vraisemblance de l échantillon L(x, θ) = p(x 1,, x n θ = θ) = p(x i θ = θ) RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 29/45 Exemple de vraisemblance (2/2) Exemple de vraisemblance (1/2) pièce de monnaie : P(Pile) = 0, 75 et P(Face) = 0, 25 jet de la pièce = expérience de Bernoulli paramètre θ = proba de Pile = 0, 75 = θ échantillon 1 : P P F F P P F P P P 7 3 = L(x, θ) = P(Pile θ) P(Face θ) = 0, , , échantillon 2 : F F P P F F P F F F 3 7 = L(x, θ) = P(Pile θ) P(Face θ) = 0, , , RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 30/45 Estimateur du maximum de vraisemblance pièce de monnaie : P(Pile) =??? et P(Face) =??? paramètre θ = proba de Pile =??? échantillon : P P F F P P F P P P 7 3 = L(x, θ) = P(Pile θ) P(Face θ) θ 1 = 0, 75 = L(x, θ 1 ) = 0, , , θ 2 = 0, 5 = L(x, θ 2 ) = 0, 5 7 0, 5 3 0, θ 3 = 0, 25 = L(x, θ 3 ) = 0, , , = θ 1 plus vraisemblable que θ 2 ou θ 3 Estimateur du maximum de vraisemblance X : variable aléatoire sur la population X suit une loi de proba de paramètre θ inconnu Θ : ensemble des valeurs possibles pour θ x : échantillon iid T = f (X) = estimateur du maximum de vraisemblance défini par x t = f (x) = Argmax L(x, θ) = t = valeur θ de θ pour laquelle la proba d observer x était la plus grande RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 31/45 RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 32/45

9 Calcul du maximum de vraisemblance Problème : comment calculer le maximum de vraisemblance? Argmax L(x, θ) = Argmax P(x 1,, x n θ) = Argmax Certaines conditions de concavité et de dérivabilité L(x, θ) = Argmax L(x, θ) obtenu lorsque = 0 θ Argmax L(x, θ) = Argmax ln L(x, θ) = Argmax P(x i θ) ln P(x i θ) Argmax ln L(x, θ) = log vraisemblance = Argmax L(x, θ) obtenu lorsque ln P(x i θ) θ RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 33/45 Max de vraisemblance et loi normale (2/2) X N (µ, σ 2 ) paramètre θ = (µ, σ 2 ) Log vraisemblance : ln L(x, θ) = n 2 ln 2π n 2 ln σ2 1 2σ 2 Maximum de vraisemblance = L(x, θ) µ L(x, θ) µ = 0 (x i µ) 2 = 0 et = 1 σ 2 (x i µ) = 0 = µ = 1 n (x i µ) 2 = 0 = σ 2 = 1 n L(x, θ) σ 2 = n 1 2 σ σ 4 L(x, θ) σ 2 = 0 x i = x Estimateurs du maximum de vraisemblance : X et S 2 n (x i x) 2 = sn 2 estimateur de la variance biaisé : variance non corrigée RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 35/45 Max de vraisemblance et loi normale (1/2) X N (µ, σ 2 ) ; on suppose σ = 1 paramètre θ = espérance µ loi normale = vraisemblance : [ 1 L(x, θ) = p(x i θ) = exp { 12 }] (x i θ) 2 2π L(x, θ) ln L(x, θ) = 0 = 0 θ θ ln L(x, θ) = n 2 ln 2π 1 (x i θ) 2 2 L(x, θ) θ = 0 (x i θ) = 0 θ = 1 n x i = x Estimateur du maximum de vraisemblance : X RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 34/45 Retour sur le problème d ajustement du cours 1 (1/6) Observations (x 1, t 1 ) (x 10, t 10 ) t = sin(2πx) données estimation x 11 = courbe sin(2πx) = estimation de t 11 = reconnaissance de la courbe verte RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 36/45

10 Retour sur le problème d ajustement du cours 1 (2/6) Idée : estimer la courbe verte par un polynôme : M y(x, w) = w 0 + w 1 x + w 2 x w M x M = w j x j j=0 Retour sur le problème d ajustement du cours 1 (3/6) Idée : les ordonnées des points bleus sont distribuées selon une loi normale autour de y(x, w) : = P(t x, w, σ 2 ) = N (t y(x, w), σ 2 ) Problème : comment trouver w et σ 2? = par maximum de vraisemblance RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 37/45 Retour sur le problème d ajustement du cours 1 (4/6) P(t x, w, σ 2 ) = N (t y(x, w), σ 2 ) observations {(x i, t i ), i = 1,, n} t = {t 1,, t n } ; x = {x 1,, x n } observations = échantillon iid = P(t x, w, σ 2 ) = = P(t i x i, w, σ 2 ) N (t i y(x i, w), σ 2 ) Max de vraisemblance = calculer la log-vraisemblance : ln p(t x, w, σ 2 ) = 1 2σ 2 [y(x i, w) t i ] 2 + n 2 ln 1 σ 2 n 2 ln(2π) RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 39/45 RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 38/45 Retour sur le problème d ajustement du cours 1 (5/6) ln p(t x, w, σ 2 ) = 1 2σ 2 [y(x i, w) t i ] 2 + n 2 ln 1 σ 2 n 2 ln(2π) Maximum de log-vraisemblance = trouver w ML et σ 2 ML qui maximisent ln p(t x, w, σ 2 ) maximiser par rapport à w ML minimiser [y(x i, w) t i ] 2 = critère du cours 11 RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 40/45

11 Retour sur le problème d ajustement du cours 1 (6/6) ln p(t x, w, σ 2 ) = 1 2σ 2 [y(x i, w) t i ] 2 + n 2 ln 1 σ 2 n 2 ln(2π) Prévention des risques d inondation (1/4) Plan de prévention des risques d inondations (PPR-I) : photos satellite SPOT5 = zones susceptibles d être inondées maximiser ln p(t x, w, σ 2 ) par rapport à σ 2 = ln p(t x, w, σ2 ) σ 2 = 0 ln p(t x, w, σ 2 ) σ 2 = 1 2σ 4 = σ 2 = 1 n [y(x i, w) t i ] 2 n 2σ 4 σ2 = 0 [y(x i, w) t i ] 2 σ 2 ML = 1 n [y(x i, w ML ) t i ] 2 RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 41/45 Prévention des risques d inondation (2/4) images en teintes de gris proba d obtenir un niveau de gris n dépend du type de zone : P(n PI) = N (µ 1, σ 2 1 ) µ 1 = 100 σ 1 = 20 nouvelle image envoyée par SPOT5 : P(n PPI) = N (µ 2, σ 2 2 ) µ 2 = 85 σ 2 = 5 3 catégories de parcelles : 1 inondables (PI) 2 partiellement inondables (PPI) 3 non inondables (NI) RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 42/45 Prévention des risques d inondation (3/4) Problème : zone Z = PI ou PPI? 2 hypothèses : 1 θ 1 = Z est de type PI 2 θ 2 = Z est de type PPI Idée : calcul du max de vraisemblance d obtenir la zone Z sous θ 1 ou sous θ 2 L(x, θ 1 ) = p(80 PI), avec p fct de densité de P(n PI) = N (µ 1, σ 2 1 ) zone Z : niveau de gris = n = 80 Problème : zone Z = PI ou PPI? RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 43/45 Rappel : la fonction de densité de N (µ, σ 2 ) est : { p(x) = 1 exp 1 ( ) } x µ 2 2πσ 2 σ RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 44/45

12 Prévention des risques d inondation (4/4) Problème : zone Z = PI ou PPI? P(n PI) = N (µ 1, σ 2 1 ) = N (100, 202 ) L(x, θ 1 ) = p(80 PI) { 1 = exp 1 2π 20 2 = 1 20 exp { 1 } 2π 2 0, 0121 ( ) 2 } 20 P(n PPI) = N (µ 2, σ 2 2 ) = N (85, 52 ) L(x, θ 2 ) = p(80 PPI) = 1 2π 5 exp { 1 2 ( ) 2 } 5 0, 0484 Max de vraisemblance = PPI plus probable RFIDEC cours 4 : Tests d ajustement, apprentissage de paramètres 45/45