1. Géométrie ane 1.1. Notion d'espace ane. Exercice 1. Dans R 4, on considère X l'ensemble des points de R 4 dont les coordonnées vérient le système

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1 . Géométrie ane.. Notion d'espace ane. Exercice. Dans R 4, on considère X l'ensemble des points de R 4 dont les coordonnées vérient le système { x + y t = S = x + 3y + + t = Munir X d'une structure d'espace ane dont on précisera la direction et l'action +. Un point x, y,, t appartient à X si et seulement si ses coordonnées vérient le système S. Ce système a deux équations pour 4 inconnues. Il s'écrit sous la forme x 3 4 y 3 =. t Notons M la matrice du système. Cette matrice a deux lignes et quatre colonnes donc son rang maximal est. On remarque que la matrice extraite est inversible. Donc le rang de la matrice est. 3 Pour résoudre le système on considère deux inconnues bien choisies comme paramètres, et l'on se ramène à un système à deux équations et deux inconnues, dont la matrice est inversible. Dans notre cas on isole les inconnues et t, le système associé est donc : que l'on résout : On a donc montré que Par conséquent notons x y X = 3 x y = + R 4 R = 7 + E = R e + R 4 R f, avec e = et considérons la loi + induite par l'addition + R 4 sur R 4 : 3 + 4t + t t + R 4 R 7 8 et f =.. + : X E X A = x y t, u = λ e + R 4 µ f 8 A + u := A + R 4 u = x 7λ 8µ y + λ + µ + λ t + µ Montrons que le triplet X, E, + est un espace ane. Il faut tout d'abord montrer que la loi + est bien dénie autrement dit que pour tout point A = x, y,, t de X, et tout vecteur u = λ e+µ f de E, le point A+ u appartient à X. Par ce qui précède, il existe des scalaires λ A et µ A tels que A = + R 4 λ A e + R 4 µ A f.

2 Par conséquent, nous avons par dénition A + u = + R 4 λ A + λ e + R 4 µ A + µ f. qui appartient bien à X. Vérions les axiomes. Axiome. Soit A X, soit u et v dans E, on a par dénition de + et par associativité de + R 4 donc A + u + v = A + R4 u + R 4 v = A + R4 u + R 4 v = A + u + v A X, u, v E, A + u + v = A + u + v Axiome. Soit A X, soit u dans E. On démontre immédiatement l'équivalence A + u = u u = en travaillant dans R 4 et en ajoutant A symétrique de A pour + R 4 dans R 4 aux deux membres de l'équation. Axiome 3. Soit A et B deux points de X, montrons qu'il existe u E tel que A + u = B. Nécessairement u vérie A + R 4 u = B, soit u = B R 4 A. Reste à montrer que le vecteur B R 4 A appartient bien à E. Or nous avons par ce qui précède l'existence de scalaires λ A, µ A, λ B, µ B tels que A = + R 4 λ A e + R 4 µ Af et B = + R 4 λ B e + R 4 µ Bf, la diérence de A et B appartient donc à E. Autre preuve : Ayant montré que X = + R 4 E. par dénition X est un sous espace ane de R 4, R 4, + R 4 de direction E. Donc muni de la loi induite par + R 4, X, E, + est un espace ane. Exercice. Soit X, E, + un espace ane. Montrer que par deux points distincts passe une unique droite. Considérons deux points distincts A et B de X. Existence : notons D = A + Vect AB et D = Vect AB et considérons la loi : + D D : D D D M := A + µ AB, u := λab M +D D u := A + µ + λ AB Le point B s'écrit B = A + AB et le point A s'écrit A = A + AB, tous deux appartiennent donc à D. Le triplet D, D, + D D est un espace ane on procède comme à l'exercice précédent, et on utilise les axiomes de la loi + de X, E, +. La direction de cet espace est de dimension, cet espace ane est donc de dimension, c'est donc une droite ane. On peut aussi dire : par dénition D est un sous espace ane dirigé par la droite D ; ainsi, muni de la restriction de + à D D, D, D, + D est un espace ane. Unicité : Considérons deux droites anes passant par A et B. Les directions de ces droites contiennent le vecteur AB, or ce sont des espaces vectoriels de dimension, elles sont donc égales à l'espace Vect AB. Cela sut pour conclure car les droites ont le point A en commun.

3 . GÉOMÉTRIE AFFINE 3 Montrer que par trois points non alignés passe un unique plan ane. Soit A, B et C trois points non alignés. Considérons P = Vect AB, AC, P = A + Vect AB, AC et + P P : P P P M := A + α AB + βac, u := λab + νac M + u := A + α + λ AB + β + ν AC On vérie que + P P est bien dénie. En écrivant A = A + AB + AC, B = A + AB et C = A + AC, on constate que les points A, B et C appartiennent à l'ensemble P. Le triplet P, P, + P P est un espace ane on procède comme à l'exercice précédent, et on utilise les axiomes de la loi + de X, E, +. Cet espace ane est de dimension, c'est donc un plan ane, car les vecteurs AB et AC forment une famille libre, car les points A, B et C ne sont pas alignés. Unicité. Si on considère deux plans anes passant par A, B et C, leur direction contient nécessairement les vecteurs AB et AC qui forment une famille libre car les points ne sont pas alignés. Par conséquent par égalité de dimension leur direction est égale à Vect AB, AC. Les deux plans contenant le point A et ayant même direction sont donc égaux. 3 On se place dans R 3. On considère les points A =, B =, C =, D = 3, E = a Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, on note P le plan ane engendré. Donner une équation implicite puis un paramétrage de P. Les vecteurs AB = et AC = 3 det ne sont pas colinéaires, par exemple. Les points ne sont donc pas alignés. Par ce qui précède l'unique plan ane passant par A, B et C s'écrit de manière paramétré : P = A + Vect AB, AC = + λ + µ 3 λ, µ R. Pour obtenir une équation implicite de P, il sut de dire : un point M de coordonnées, x, y, appartient P si et seulement si les vecteurs AM, AB et AC sont liés. Ceci équivaut à det x y 3 =, c'est à dire x + y =. b On note D la droite engendré par les points D et E. Donner une équation implicite puis un paramétrage de la droite D. L'unique droite D passant par les points D et E s'écrit de manière paramétrée : D = D + Vect DE = 3 + λ λ R.

4 4 Pour obtenir l'expression implicite on procède comme précédemment : un point M de coordonnées x, y, appartient à D si et seulement si les vecteurs DM et DE sont colinéaires, autrement dit la matrice x y 3 est de rang. Ceci se manifeste par la nullité des trois déterminants qui donne le système d'équations implicites dénissant la droite D : x y = 3 x + = 7 y + = 5 { x + = 7 y + = 5 La première équation étant combinaison linéaire des deux autres. c Calculer les coordonnées du point d'intersection D P. Soit M un point d'intersection. Le point M appartient à la droite D, donc il existe un scalaire λ R tel que M = 3 + λ Le point M appartenant à P, ses coordonnées vérient l'équation implicite de P donc : + λ + + λ 3 λ = ce qui donne λ =. Donc le point d'intersection M est le point D. L'intersection du plan P avec la droite D est le point P. Exercice 3. On se place dans R 3. On considère le plan P ane d'équation P : x + 3y + =. Montrer que ce plan ane peut-être muni d'une structure d'espace ane. Préciser sa direction. Donner un paramétrage du plan P. On considère le repère Ω, u, v, w avec Ω =, u =, v =, w = 3 Donner une équation cartésienne du plan P dans ce nouveau repère. Donner le paramétrage associé. Le plan P s'écrit P = + R + R par conséquent P est un sous espace ane de R 3 de direction P = R + R 3 3 Par conséquent P, P, + P P est un espace ane, paramétré comme ci-dessus. Soit M un point de P de coordonnées Ω, u, v, w. En particulier x y ΩM = α u + β v + γ w = dans le repère, i, j, k et de coordonnées α β α 3β + γ = + x y α β γ dans le repère

5 . GÉOMÉTRIE AFFINE 5 d'où l'on tire x y = Enn l'équation du plan ane dans le repère R est α β + α 3β + γ x + 3y + = α + 3β + α 3β + γ = γ =. Exercice 4. D'autres exemples d'espaces anes. On considère l'espace vectoriel R 3 [X] des polynômes à coecients réels de degré inférieur ou égal à 3. On considère l'ensemble E = {P X R 3 [X] P = 5}. Montrer que cet ensemble peut être muni d'une structure d'espace ane dont on donnera la direction et la dimension. Montrer que l'ensemble E = {f CR peut-être muni d'une structure d'espace ane dont on donnera la direction et la dimension.. fxdx = } 3 Soit E un espace vectoriel et l une forme linéaire. Montrer que l'ensemble E = {u E lu = } peut être muni d'une structure d'espace ane dont on donnera la direction. 4 Réinterpréter les questions et à partir de la question 3. Soit E un espace vectoriel, l une forme linéaire et Le triplet E, ker l, + E ker l est un espace ane avec E = {u E lu = }. + E ker l : E ker l E u, v u + E ker l v := u + v L'application est bien dénie : pour tout u E, v ker l, u + E ker l v appartient à X en eet Vérions les axiomes : Axiome. Soit u E, v, ker l l u + E ker l v = l u + v = l u + l v = + =. u + E ker l v + w = u + v + w = u + v + w = u + E ker l v + E ker l w, par associativité de la loi + de E. Axiome. Soit u E, v ker l : Axiome 3. Soit u, v E. On a et f u v = = donc u v ker l. u + E ker l v = u u + v = u v =. u = v + E ker l u v = v + u v Dans la question, on applique ce qui précède à E = R 3 [X] et l la forme linéaire évaluation d'un polynôme en ". Dans la question, on applique ce qui précède à E = CR et l la forme linéaire ". Exercice 5. Soit n un entier. Soit A une matrice de K n et B un vecteur de l'image de A. On note S l'ensemble des solutions du système AX = B. Montrer que cet ensemble de solutions peut être muni d'une structure d'espace ane dont on précisera la direction. Exprimer sa dimension en fonction de la matrice A.

6 6 Si le vecteur B n'appartient pas à l'image de A, l'ensemble S est vide. Supposons donc B dans l'image de A. Soit X une solution. On vérie que S = X + ker A ce qui montre que S est un sous espace ane de K n, K n, + dirigé par ker A de dimension n ranga. Exercice 6 libre et dèle. Soit X, E, + un espace ane. Montrer l'équivalence entre Action libre : A X, u E, A + u = A u = Action dèle : { u E A X, A + u = A} = { } Clairement. Montrons. Soit A X et u E tel que A + u = A. Montrons que u =. On utilise l'hypothèse : il sut de montrer que pour tout B X, B + u = B. Soit B X, on a B = A + AB, B + u = A + AB + u = A + AB + u = A + u + AB = A + u + AB = A + AB = B, où l'on utilise la commutativité de la loi + de E. Exercice 7. Montrer que la dénition d'un espace ane donnée dans le cours est équivalente à la suivante : Soit E un K espace vectoriel. On appelle espace ane tout triplet X, E,. où : X X E A, B AB satisfaisant les conditions suivantes : pour tout point A, B, C de X, on a AB + BC = AC, pour tout A et pour tout u E, il existe un et un seul point B X tel que AB = u. Le sens direct a été montré en cours. Montrons la réciproque. Considérons la loi + dénie par Vérions les axiomes : Axiome Soit A X et u, v E on a + : X E X A, u B, l'unique point tel que AB = u. A + u + v = B + v = C avec u = AB et v = BC or AB + BC = AC donc C = A + AC = A + u + v. Axiome Soit A X et u E, tel que A + u = A par la propriété, nécessairement u = AA donc u =. Axiome 3 Vérier par la propriété. Exercice 8. Soit K un corps. Soit X, E, + un espace ane sur K. Soit A un point de X. On dénit sur X les lois suivantes La loi interne que nous noterons + A est dénie par + A : X X X B, C B + A C := A + AB + AC La loi externe que nous noterons. A est dénie par. A : K X X λ, B λ. A B := A + λ AB Montrer que X, + A,. A est un K-espace vectoriel. Montrer que cet espace vectoriel est isomorphe à E.

7 . GÉOMÉTRIE AFFINE 7 Soit A X. On considère l'application, Φ : X E B AB Cette application est une bijection et permet de transporter la structure, en particulier B + A C = Φ A AB + AC et λ. A B = Φ A λ. AB. On conclut X, + A,. A est un K espace vectoriel et Φ A est un isomorphisme entre X, + A,. A et E, +,.. On peut aussi vérier les 8 axiomes : X, + A est un groupe commutatif. Commutativité. Par commutativité de la loi + de E on a pour tout point B et C de X B + A C = A + AB + AC = A + AC + AB = C +A B Associativité. Par associativité de la loi + de E on a B + A C + A D = A + AB + AC +A D = A + AB + AC + AD = A + AB + AC + AD = B +A A + AC + AD = B +A C + A D. Neutre. On vérie que A est élément neutre pour + A : pour tout B X B + A A = A + AB + AA = A + AB = A = A +A B Symétrique. On vérie que C := A + BA est l'opposé de B pour la loi +A : C + A B = B + A C = A + AB + BA =. Vérions les axiomes de la loi externe. A : soit λ et µ deux scalaires et B et C deux points : En utilisant la distributivité de. sur + pour E on obtient la distributivité de. A sur + A : λ. A B + A C = λ. A A + AB + AC = A + λ. AB + AC = A + λab + λac = λ.a B + A λ. A C. En utilisant l'axiome de E : λ + µ u = λ u + µ u on obtient : λ + µ. A B = A + λ + µ AB = A + λab + µ AB = λ.a B + A µ. A B En utilisant l'axiome de E : λµ u = λµ u on obtient λµ. A B = A + λµ AB = A + λµ AB = λ.a µ. A B En utilisant l'axiome de E :. u = u on obtient. A B = A +. AB = A + AB = B. Par construction l'application Φ A est un morphisme, ce morphisme est aussi bijectif, c'est donc un isomorphisme.