Foncteurs exacts fi gauche

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1 Inventiones math. 8, (1969) Foncteurs exacts fi gauche A. H. M. EVET (Nijmegen) w 1. Introduction a notion g6n6rale de foncteur pro-repr6sentable est due & Grothendieck [2], qui en a montr6 l'importance en g6om6trie alg6brique. Il existe actuellement deux crit6res pour v6rifier qu'un foncteur donn6 est pro-repr6sentable. e premier crit6re qui est plus g6n6ral est dfi ~ Grothendieck [2], le second qui est plus facile dans les applications est celui de Schlessinger [6]. es deux crit6res sont tr6s diff6rents dans leur formulation. Il se pr6sente donc le programme suivant: 61iminer les restrictions du second crit6re, 61ucider le rapport entre les deux crit6res. Ce programme est ex6cut6 darts le pr6sent article en analysant les foncteurs exacts gauche dans les cat6gories qui satisfont & un certain nombre de conditions ((C1)... (Cn) du w et en v6rifiant ces conditions pour certaines cat6gories d'alg6bres (cf. w 3). Dans le dernier paragraphe (w 4) on montre comment les crit~res de Grothendieck et Schlessinger r6sultent des th6or~mes g6n6raux sur les foncteurs exacts & gauche (w 2, Th6or6mes 1 et 2). Il existe quelques applications int6ressantes en g6om6trie alg6brique, qui seront l'objet d'une publication ult6rieure. 'auteur tient & remercier M. W. J. M. Dekkers pour la lecture critique des versions successives du pr6sent travail. w 2. Un crit6re d'exactitude fi gauche Dans tout ce paragraphe cg sera une cat6gorie off les produits finis, et les produits fibr6s existent; F sera un foncteur (covariant) de ~s dans 8~, la cat6gorie des ensembles. On rappelle d'abord deux r6sultats bien connus ([4] Appendice) Proposition 1. es trois ~noncds suivants sont equivalents: (i) F v~rifie les conditions (P) et (a, a, b) que voici: (P) Pour chaque couple d'objets A, B de cg l'application canonique F(A x B)-* F(A)x F(B) est bijective, et card F(P)= 1 si P est un objet final de C.

2 Foncteurs exacts/t gauche 115 (a, a, b) Pour chaque couple de morphismes f: A ~ C, g: B--~ C l'application canonique est bijective. F(A x c B)~ F(A) XcF(B ) (*) (ii) F satisfait d (P) et, si f, g: A -~ Best un couple de morphismes de noyau N (ceci existe dans ~), F(N) s'identifie canoniquement au noyau du couple F(f), F(g): F(A)-~ F(B). (iii) F commute aux limites projectives finies (qui existent dans c~). D~finition 1. F sera dit exact d gauche si F v6rifie les conditions 6quivalentes (i), (ii), (iii) de la Proposition 1. Proposition 2. Soit c~ une catdgorie off tout objet A est artinien (c. ~. d. chaque ensemble non vide de sous-objets de A contient un ~Idment minimal). Alors les conditions (i), (ii) ci-dessous sont dquivalentes: (i) F est exact h gauche. (ii) II existe un syst~me projectif filtrant {Ai, ~ij}i~1 dans ~ et pour chaque i~i un dldment ei~f(a~) tels que les conditions suivantes soient vdrifides : les dpi j sont des ~pimorphismes ; on a ei = F(Ois) oct pour tout couple i, j vdrifiant i < j; les applications canoniques Hom (A t, A) --~ F(A) ddfinies par les cr identifient F(A) d la limite inductive lim HomA~,A) pour chaque A ~cg. D~finition 2. Un foncteur F v6rifiant la condition (ii) de la Proposition 2 s'appelle strictement pro-reprdsentable. D~finition 3. Si f est un monomorphisme (resp. 6pimorphisme) de cg, on dira que f est un monomorphisme simple (resp. dpimorphisme simple) si f n'est pas un isomorphisme et ne s'6crit pas comme composition de deux monomorphismes (resp. 6pimorphismes) qui ne sont pas des isomorphismes. D~finition 4. On dira qu'un monomorphisme g est embo~td dans un autre f s'il existent deux monomorphismes g~, g2 tels que f soit 6gal gl o g o g2. On dit que f et g sont dquivalents si g~ et g2 sont des isomorphismes. Un emboitement de monomorphismes est une suite de monornorphismes fl,f2,... off f~+~ est emboit6 dans f, (n= 1, 2... ). Un tel emboitement est stationnaire s'il existe N tel que f, soit 6quivalent f,+~ pour tout n>n. Remarque sur les notations. On dira que F a la propri6t6 (a, a, b) (resp. (a, a, i), (a, a, s)), si l'application (.) est bijective (resp. injective, surjective) pour tout couple de morphismes arbitraires f: A~ C, g: B--~ C. De m6me F a la propri6t6 (a, m, b) (resp. (a, e, b), (e s, m s, b), etc.), si (.) est bijective pour tout couple de morphismes f: A ~ C, 9 Inventiones math., Vol. 8

3 116 A.H.M. evelt: g: B ~ C, off f est arbitraire et gun monomorphisme (resp. f arbitraire et g 6pimorphisme, f 6pimorphisme simple et g monomorphisme simple, etc.). Si A est un objet de (g on 6crira souvent c~: F~A au lieu de c~ef(a). De mame, si f: A---,B est un morphisme de C et aef(a) on d6signe par fo a l'image de a par F(f). Dans la suite on consid6rera un couple (g, ~, off cg est une cat6gorie avec produits fnis et produits fibr6s, eta(( une famille d'objets de cg. e couple cg, aft sera assujetti aux conditions suivantes: (C1) Chaque morphisme f de cg se d6compose en f=g o h, off g est un monomorphisme et hun 6pimorphisme. (C2) Chaque emboitement de monomorphismes est stationnaire. (C3) Chaque 6pimorphisme qui n'est pas un isomorphisme est le compos6 d'un nombre fini d'6pimorphismes simples. Dans les propri6t6s (C4), (Cs) on consid6re deux morphismes f: A ---, C, g: B --~ C. On note f': A x B ~ Bet g': A x B --~ Ales projections du produit fibr6, c c (C,) Si f et g sont des 6pimorphismes simples, il en est de m~me de f' et g'. (Cs) Si f est un monomorphisme simple et g un 6pimorphisme simple, alors f' est un monomorphisme simple et g' un 6pimorphisme. (C6) Soient h: D---~ B un monomorphisme simple et g: B--+ C un 6pimorphisme simple. Alors on est dans un des cas (i), (ii), (iii): (i) g o h est un isomorphisme. (ii) I1 existe un objet A, un monomorphisme simple f: A ---, C, un 6pimorphisme D ~ A tels que D s'identifie au produit fibr6 du couple f, g. (iii) I1 existe des objets, e ~, un monomorphisme simple h': ~ et des isomorphismes ~b: D~ C x, ~: B--~ C x tels que (lc x h')o ~b = o het Pl ~ qj = g, o6 Pl: C x -~ C est la projection. (C7) Tout objet A de cg admet un 6pimorphisme sur un objet de a. (C8) Soit f: A ~ C un 6pimorphisme simple admettant une section a: C~A (c.~t.d. foa=lc). Alors il existe un 6pimorphisme p: C---~ sur un objet de oug,, un 6pimorphisme simple q: E ~ et un morphisme p': A ~ E, tels que (A, f, p') s'identifie au produit fibr6 du couple p, q. (129) Si f: A ~ est un morphisme dans un objet de X, A appartient /l aug - si et seulement si f est un monomorphisme. (Clo) Si, sont des objets de )g" tout 6pimorphisme -* est un isomorphisme.

4 Foncteurs exacts/t gauche 117 (C11) Si, sont des objets de ~ les projections --~ sont des 6pimorphismes simples. Voici quelques cons6quences des propri6t6s (C~),..., (Cu): 1. Si f est un monomorphisme, f' est un monomorphisme (on utilise les notations de (C4), (Cs)). C'est clair sur la d6finition du produit fibr6. 2. Tout monomorphisme qui n'est pas un isomorphisme se d6- compose en un nombre fini de monomorphismes simples. Ceci r6sulte de (C2). 3. (Ca) et (C,) entrainent: si f est un 6pimorphisme simple et g un 6pimorphisme, alors f' est un ~pimorphisme simple et g' un 6pimorphisme. es projections d'un produit fibr~ d'6pimorphismes sont des ~pimorphismes. 4. f ~pimorphisme, g monomorphisme entraine f' 6pimorphisme (et g' monomorphisme, cf. 1). Ceci r6sulte de (C2), (C3), (Cs). 5. On d6duit de (Cl), (C2), (C3), (C4), (C5) quef' est un 6pimorphisme, si f l'est. 6. Si A, B sont des objets de cg la projection p~: A B---} A est un 6pimorphisme; c'est mfime un 6pimorphisme simple si Best un objet de ~. Pour le voir on d6compose un 6pimorphisme A--r, ~Jr ~ (cf. (C7)) en un nombre fini d'6pimorphismes simples (cf. (Ca)): A = Ao---} A~-~...---} A,,= (n>=o), et on raisonne par r6currence. Puisque A i B s'identifie au produit fibr6 de At--~Ai+ 1 et At+~ 1 et que A t ~ At+ 1 est un 6pimorphisme simple, l'hypoth6se que Ai+ t B ~ At+ l est un 6pimorphisme (resp. simple) entraine que A t B---} A t est un 6pimorphisme (resp. simple) en vertu de (Ca) et (C4). Enfin, B ---} est un 6pimorphisme, puisque ce morphisme se d6compose en les 6pimorphismes xb--} x--}, off B---} est un 6pimorphisme sur un objet de ~f" (cf. (C7), (C11)); c'est un 6pimorphisme simple si Be~. Toutes ces cons6quences sont utilis6es dans la suite sans r6f6rences. Pour le foncteur F on consid6re la propri6t6 (P) et les propri6t6s que voici: (I~) Si A--~ C est un monomorphisme simple, A, Ce~, l'application F(A) --* F(C) est injective. (12) 'application (.) est injective, si f = g est un 6pimorphisme simple. (Ia) 'application (.) est injective, si C est un objet de )g et gun 6pimorphisme simple. ($1) 'application (.) est surjective, sif et g sont des monomorphismes simples de but et source dans A6. 9*

5 118 A.H.M. evelt: (Sx) 'application (.) est surjective, si f est un monomorphisme simple et gun 6pimorphisme simple. (G) Soit p: E~ un 6pimorphisme simple sur un objet de ~ et soient f, g: E ~ E un couple de morphisme v6rifiant p of= p o g = p. Alors, si N= er(f, g), le noyau du couple F(f), F(g) est contenu dans Im (F(N) --, F (E)). Enonqons ensuite les deux r6sultats principaux: Th6or6me 1. Si la cat~gorie (~ vdrifie (Cl), (Cx)... (Cll) et le foncteur F satisfait fi (P), (11), (Ix), (Ia), ($2), alors F a la propridtd (I): (1) F(A)--~ F(C) est injectif pour tout monomorphisme A-+ C de ~. Th6or6me 2. Soit ~ une cat~gorie v~rifiant (C1), (Cx),..., (Clt). Alors si F est exact d gauche, F ales propri~t~s ( ), (P), (ll), (Ix), (I3), ($1), (Sz), (G). lnversement, si F vdrifie (P), (I), ($1), (Sz), (G), F est exact fi gauche. e Th~or~me 1 sera une cons6quence triviale des emmes 1, 2 et 3 qu'on va 6noncer et prouver. Dans la suite on suppose toujours que ~ v6rifie (C1), (Cx)..., (CH). emme 1. a propridtd (e, e, s) est une consdquence de (P) et (Sx), tandis que (P) et (I) entra~nent (a, a, i). Pour prouver la premiere assertion on suppose que f: A ~ C, g: B ~ C sont des 5pimorphismes, et on consid~re le diagramme cart6sien D=AxB i,axb C ~,CxC off A est le morphisme diagonal. Supposons que ~F(A),flEF(B) v6rifient fo~t=gofl. Alors, grfice ~t la condition (Sx), il existe 6~F(D) tel que i o 5 = (ct, fl) ~ F(A B). a derni~re assertion est triviale (consid6rer le monomorphisme i: AxB--~A c emme 2. es propridt~s (e, e, s), (Ix), (Ia) entra~nent (m, e, i). En d6composant l'6pimorphisme en 6pimorphismes simples on voit tout de suite qu'il suffit de d6montrer la propri6t6 (m, e s, i). Soient donc f: A~ C un monomorphisme, g: B~ Cun 6pimorphisme simple, (~1,~2: F--,D=AxB tels que f'fl=f'f2=fl, g't~1=g'62=o~. Conc

6 Foncteurs exacts ~ gauche 119 sid6rons alors le diagramme commutatif Y DxD A D f,, f',b /, D P~I A f, off les 6 carr6s sont cart6siens. En vertu de (e, e, s) il existe 6'~, 32 : F r! t! t v t t t D D tels que Pl 61 =Pl 62 =61,P2 31 =61, P2 32 =32. Posons fll =f" fit, A f12=f"32. On a alors Pl ill=p1 flz=fl, PZfll=P2fl2=fl, d'ofi fll=fl2 grace ~ 02). '6pimorphisme simple Pl admet une section, ~t savoir le morphisme diagonal A: B--~B B. Alors grace /t (Ca) il existe un 6pimorphisme C p: B--+ sur un objet de ~, un 6pimorphisme simple q: E-* et un morphisme p': B B-* E tels que B B s'identifie au produit fibr6 du C C couple p, q. En composant deux diagrammes cartesiens on obtient le carr6 cart6sien DxD- re A i D, oa 6' 1, 6~ s'envoient sur ~ =p' fll --P' f12 par l'application F(D x D) ~ F(E). a propri6t6 (Ia) entra~ne maintenant 6'1 = 62, d'o/l 6~ = 62. Ceci ach6ve la d6monstration du emme 2. emme 3. a propri~to (I) est une consequence de (e, m, i), (I1) et (P). II suffit de prouver la chose suivante: si f: A--* C est un monomorphisme simple, et si el, ~2: F--~ A verifient fa 1 =fe2, alors e~ =e2- Si C est un objet de ~, ceci est clair grg~ce/l (I1). Sinon, il existe une suite finie d'6pimorphismes simples C= C,--~ C,_1--*... ~ C o, off C o e ~,, et on peut supposer que la propri6t6 ci-dessus est d6j~i d6montr6e si on remplace C par C'= C._~. En vertu de (C6) il ne reste/l examiner que les cas (i), (ii), (iii): (i) g ofest un isomorphisme (g 6tant l'~pimorphisme simple C---, C'). II est alors 6vident que el = e2- l,b

7 120 A.H.M. evelt: (ii) I1 existe un monomorphisme simple f': A'--+ C' et un 6pimorphisme g': A --+ A', identifiant A au produit fibr6 de f' et g. Alors g' ot Iet g' ~2 s'envoient sur ~' = g o 7 par le morphisme f', d'ofi ct'=g'cq =g' ct 2 en vertu de l'hypoth6se de r6currence. a condition (e, m, i) entraine aussit6t que ~1 = c(2. (iii) A des isomorphismes pr6sf= 1 c, x h, off h est un monomorphisme de but et source dans X. On arrive toute de suite au r6sultat cherch6 en utilisant (11) et (P). Proc6dons ~t la d6monstration du Th60r~me 2. a premi6re assertion est 6vidente ~t partir de la Proposition 1. Passons donc h la seconde. Soit f: A--+ C, g: B-+ C un couple de morphismes de ~g. On d6compose f (resp. g) en en fl ~ (resp. g~ o g2), O1~1 fl (resp. g, ) est un monomorphisme et f2 (resp. g2) un 6pimorphisme. Soit g~ (resp. ft') la projection sur le premier (resp. second) facteur du produit fibr6 de fl, g~. f~ et g'l sont des monomorphismes. Soit f~ (resp. g~) la projection sur le second (resp. premier) facteur du produit fibr6 de f2, g'l (resp. ft', g2)- f2 et g~ sont des 6pimorphismes. 'application (.) pour f, g sera une bijection, si les applications analogues pour les couples fl, gl; f2, gl; fl', g2, f~, g2 sont des bijections. Ceci nous ram6ne ~t d6montrer la bijectivit6 de (.) dans les trois cas: (i) f et g 6pimorphismes, (ii) f 6pimorphisme, g monomorphisme, (iii) f et g monomorphismes. Grgtce aux conditions (I) et (P) il suffit de montrer la surjectivit6 dans les trois cas (voir emme 1). (i) est 6vident ~t partir du emme 1, tandis que (ii) r6sulte imm6diatement de la propri6t6 ($2). Seule la propri6t6 (m, m, s) donne des difficult6s. On va d6montrer deux lemmes pr6paratoires (emmes 4 et 5). Apr6s, le emme 6 ach6vera la d6monstration du Th6or6me 2. emme 4. a propri&~ (m s, m s, s) entrafne (m, m, s). Soit (f, g) un couple de monomorphismes ayant le m6me but. On dit qu'un autre couple de monomorphismes (fl, gl) est emboit6 dans (f,g) (notation: (f,g)>(fl, gl)) si l'une des conditions suivantes est v6rifi6e: (i) g=g'l ~ off g'~ est un monomorphisme; fl est la seconde projection du produit fibr6 du couple (f, g'~). (ii) g=g~og~; f~=f. (iii) l~changer les r61es de f et g dans (i). (iv) l~changer les r61es de f et g dans (ii). On dit que (f, g) et (fl, g~) sont 6quivalents ((f,g),,,(fl,g~)), si g'1 (resp. fl') dans (i), (ii) (resp. (iii), (iv)) est un isomorphisme (cette relation n'est pas transitive!). On va montrer que toute suite de couples de

8 Foncteurs exacts/~ gauche 121 monomorphismes emboit6s (fl, gl) > (f2, g2) >''" est stationnaire, c./ d. qu'il existe N tel que (f,, g,)~(f,+l,g,+l) pour tout n>=n. Ceci se voit comme suit. Si l'on 6crit B, pour le but du couple (f,, g,), on a une suite de monomorphismes B 1,--B D'autre part, si Pest le produit fibr6 du couple (f~, gl), on voit tout de suite qu'il existe des monomorphismes P----~Bn, et que P~B1, P~B2,... est une suite de monomorphismes emboit~s. Donc il existe N tel que B,+I ~B, soit un isomorphisme pour n > N (cf. (Cz)). Sans restriction on peut supposer que BN=BN Pour n>n on est alors darts le cas (ii) ou (iv). es suites fn, fn+l,-., et gu,gn+l,--- sont donc des emboitements de monomorphismes, d'ofi l'existence de M>N tel que f.+l soit 6quivalent /t f. (resp. g,+l 6quivalent/t g.) pour n>m; c./t.d, que f.'+l (resp. g',+0 est un isomorphisme, d'ofi (f,, g.) ~ (jr. + 1, g. + 1) pour n > M. Supposons maintenant que F verifie (ms, ms, s) et qu'il existe un couple de monomorphismes (f, g) tel que l'application (.) ne soit pas surjective. Alors l'un au moins de f ou de g n'est ni simple ni inversible, et on peut donc trouver un couple de monomorphismes (fl, gl) emboit~ dans (f, g) tel que l'application canonique (.), o~ ron remplace (f, g) par (fl, g0, ne soit pas surjective. De plus on peut supposer que (fl, gl) n'est pas 6quivalent /t (f, g). Ensuite, on trouve un couple de monomorphismes (f2, g2) emboit6 darts (fl, go, non 6quivalent/l (fl, go, tel que l'application canonique pour ce couple ne soit pas surjective. Proc6dant de cette maniare on trouve une suite (infinie) de couples de monomorphismes emboit6s (fa, gl)>(f2,g2)>.., qui n'est pas stationnaire. C'est une contradiction. Donc notre hypothbse que rapplication (.) n'est pas surjective est fausse. Ceci ach6ve la d6monstration du emme 4. Remarques. 1. Si A, B, C sont des objets de ccf, la condition (S 0 entraine la surjectivit6 de l'application (.). a d6monstration est analogue /~ celle du emme Si A et B sont des objets de ~, la surjectivit6 de (.) est une cons6quence de (SO et (Sz). (D6composer g en un 6pimorphisme et un monomorphisme et utiliser 1.) emme 5. Soient, des objets de ~ et f: A --~ x, g: B--~ x des monomorphismes simples. Alors A, B et D, le produit fibr~ de f et g, sont des objets de :~# ou des produits de deux objets de ~. Si en plus F ales proprikt~s (I), (P), ($1), (Sz), (G) l'application (.) est surjective pour le couple f g. Corollaire. Soient f: A ~ C, g: B--~ C des monomorphismes, et Cun produit de deux objets de ~. Supposons que F air les propriot~s (I), (P), (S 0, (Sz), (G). Alors rapplication (*) est surjective.

9 122 A.H.M. evelt: Montrons d'abord comment le lemme entraine le corollaire. On reprend la seconde partie de la d6monstration du emme 4. Dans la construction de la suite (fl, gl)>(fz,gz) >''" on peut supposer que le but de f,, g, est un objet de ~ ou un produit de deux objets de ~. Au lieu de la propri6t6 (m s, m s, s) on se servira fi tout moment de la propri6t6 du emme 5. Ddmonstration du emme 5. Soit f: A--~ x un monomorphisme simple,,~. Soit P=Pl: x~ la projection sur le premier facteur; c'est un 6pimorphisme simple (cf. (Cn)). D'apr6s (C6) il reste ~t 6tudier les trois cas suivants: (i) p of est un isomorphisme. A des isomorphismes pr6s on a alors f: ---~ x, pof= 1. Si h=p2 of, f est le morphisme (1, h). Grfice (C9) h est un monomorphisme; c'est m6me un isomorphisme; sinon on pourrait factoriser f: --~ x ~ x en deux monomorphismes qui ne sont pas des isomorphismes. Ceci contredirait le fait que f est un monomorphisme simple. (ii) I1 existe un monomorphisme simple h: M ~ de off et un morphisme A ~ M tels que A s'identifie au produit fibr6 de f et h. Alors f s'identifie ~ M x ---~. (iii) I1 existe M, N~, un monomorphisme simple h: M--,N et des isomorphismes A --~ x M, x -~ N tels que le diagramme xm 1xh, soit commutatif. I a x" On a done bien d6montr6 que A est un objet de ~ff ou un produit de deux objets de ~. Utilisant (C2) on voit qu'il enest de m~me pour tout monomorphisme f: A--* x. I1 en r6sulte que D est un objet de ~ff ou un produit de deux objets de ~. Pour prouver le reste du lemme on n'a qu'/t consid6rer les deux cas: (a) p of et p o g sont des isomorphismes, (b) f (ou g) est de la forme 1M h: M x N--~ M x P, off M, N, P sont des objets de J'ff et hun monomorphisme simple. (a) f: --.x, g: ~x. On voit facilement qu'on peut supposer Pl of= 1, Pi o g = 1 r. Done D s'identifie au noyau du couple f'=pz of, g'=p2 ~ c'est un objet de ~. On voit que x D s'identifie au noyau du couple 1 f', 1 x g': x ~. Ce couple satisfait aux hypoth&es de (G). Done F( x D) --+ F( x ) =~ F( x ) est une suite exacte, et il enest de m6me pour F(D) ~ F() z:~ F().

10 (b) Consid6rons le diagramme commutatif Foncteurs exacts ~ gauche 123 D ~MxN-~7~ N B ~ M x P ~ P form6 de deux carr6s cart6siens. Grgce /~ (I) il suttit de montrer que l'application (,) est surjective pour le carr6 cart6sien D---~ N i l B--~P. Or, ceci r~sulte de la Remarque 2 suivant le emme 4. emme 6. es propri~t~s (I), (P), (S0, (S2), (G) entrafnent (m, m, s). Grftce au emme 4 il suffit de montrer que F a la propri6t6 (ms, ms, s). Soient donc f: A-*C, g: B---,C deux monomorphismes simples. I1 suffit de montrer la surjectivit6 de (*) sous l'une des hypoth6ses suivantes: (a) Ce~; (b) il existe un 6pimorphisme simple p: C---~ C' et l'application (,) est d6j/l surjective pour un couple de monomorphismes simples de but C'. (Cf. la d6monstration du emme 3.) Si CeJff on a fini grace (S~). Dans le cas (b) on doit distinguer un certain nombre de possibilit6s (cf. (C6)). a d6monstration est assez compliqu6e et sera divis6e en quatre &apes: (i) g est 6quivalent/t C' --~ C'x, off ~ est un monomorphisme simple et, e~. Alors D s'identifie au produit fibr6 de A--* (induit par f) et ~ et en vertu de (I) il suffit de prouver que l'application (,) est surjective pour le carr6 cart6sien D--~! 1 A--~. Ensuite, on d6compose A ~ en un 6pimorphisme A---~ E et un monomorphisme E--* (E est donc un objet de ~). Si ' est le produit fibr6 de E~ et ---~, il suffit de montrer la surjectivit6 de (*) pour les cart6siens D--~ ' ii A--~E '--~ il t E---~. Pour le premier c'est 6vident grfice ~t ($2); pour le second on utilise (Sl).

11 124 A.H.M. evelt: (ii) p of est un isomorphisme et il existe un monomorphisme simple g": B'---~ C' et un 6pimorphisme p': B ~ B' tels que (B, g, p') s'identifie au produit fibr6 du couple p, g'. On voit alors que p'of' est un isomorphisme et la surjectivit6 de (,) en r6sulte aussit6t, gfftce ~t (I). (iii) II existe deux carr6s cart6siens A f~c( g B A'~C' ~-B' off f" et g" sont des monomorphismes simples. Soit D' le produit fibr6 du couple f", g". Alors D s'identifie au produit fibr6 de q et D' --~ A' et on arrive tout de suite au r6sultat cherch6 en utilisant l'hypoth6se de r6currence, (S2) et (I). (iv) p of et p o g sont des isomorphismes. En changeant les notations on se trouve dans la situation suivante: p: C~ A est un 6pimorphisme simple, a, z deux sections de p et, si D est le produit fibr6 de a, z, il faut d6montrer la surjectivit6 de F(D)--~ F(A)F~c)F(A ). Invoquant (C8) on trouve un 6pimorphisme n: A--~,~oU,, et un 6pimorphisme simple q: E--, tels que C-~ A x E, off p s'identifie ~t la projection sur te premier facteur, a (resp. z) est ators entisrement d6termin6 par un morphisme s (resp. t) de A dans E v6rifiant q o s = n (resp. q o t = n), et on volt facilement que D s'identifie au noyau du couple s, t. Il suffit alors de montrer que Im(F(n)--~ F(A))Der(F(s), F(t)) ou, ce qui revient au m~me puisque D s'identifie au produit fibr6 de A : E ~ E x E et (s, t): A-~E x E, que (*) est surjective pour le couple A, (s, t). Si (s, t) n'est pas un isomorphisme (cas trivial) on peut factoriser (s, t) h travers un 6pimorphisme A -~ G et un monomorphisme h: G--~ E x E (notons que le morphisme compos6 G--* E x E--~ est un 6pi- morphisme). On a alors les deux carr6s cart6siens D,H H )E I I 1 i A >G G )ExE et il suffit de montrer la surjectivit6 de (,) pour ces deux situations. Pour le premier carr6 c'est evident grfice/l la propri6t6 (Sz); quant au second on distingue encore deux cas:

12 Foncteurs exacts ~ gauche 125 (iv') E E est reli6 fi E x, e ~, par un isomorphisme compatible r avec les projections sur le premier facteur. On volt alors facilement que H s'identifie au noyau d'un couple de morphismes de G dans ou, ce qui revient au m6me, au produit fibr6 de A : --~ et d'un morphisme G -~. En d6composant ce dernier morphisme en un 6pimorphisme et un monomorphisme on obtient deux carr6s cart6siens pour lesquels 1'application (,) doit 6tre surjective. Comme auparavant c'est 6vident pour Pun de ces carr6s en vertu de ($2), et il reste le carr6 H, G,x off cette fois-ci G ~ est un monomorphisme, et on conclfit fi l'aide du emme 5. (iv") E E n'est pas de la forme E x. Supposons d'abord que r h: G--~E soit un monomorphisme simple. En vertu de (C6) il se r pr6sente deux cas: ou bien Pl ~ h est un isomorphisme, ou bien il existe un monomorphisme simple E' ~ E et un 6pimorphisme G --~ E' tels que G s'identifie au produit fibr6 E' ex (E x E). Or, G ---, est un 6pimorphisme, de sorte que le morphisme compos6 E'--, E ~ est un 6pimorphisme. Utilisant encore (C6) on est ramen6 fl consid6rer les cas (a) E'~ est un isomorphisme; (b) I1 existe un monomorphisme simple --~ ( objet de off) et un 6pimorphisme E'---* tels que E'-~ x E. Or E' ~ 6pimorphisme entraine ~ 6pimorphisme, donc isomorphisme grfice fl (C10). C'est une contradiction. (c) E-~x. Dans ce cas E E ~ E, ce qui contredit notre hypoth6se (iv"). On a donc prouv6 que E'-* est un isomorphisme, donc G est isomorphe fl E. Si h n'est pas un monomorphisme simple, ni un isomorphisme on peut d6composer G---~E en un monomorphisme G~G' et un monomorphisme simple G'~ E E. Vu ce qui pr6c6de on a G'-~ E. On peut donc remplacer G' par E. Puisque le morphisme compos6 G--~ E ~ est. un 6pimorphisme, G est isomorphe fi. C'est ce que l'on vient de prouver si G~E est un monomorphisme simple; le cas g6n6ral en r6sulte grfice fi (Clo). Comme H s'identifie au noyau du couple Pl ~ h, P2 ~ h et que G est isomorphe fi E ou h, il nous reste donc h montrer l'exactitude de la suite F(H)--~ F(G)~ F(E), off G = E ou G = et les morphismes G z:~ E sont compatibles avec G --~ et E ~. Si G = E on a termin6 grfice fl la

13 126 A.H.M. evelt: propri6t6 (G). Dans l'autre cas on pose f'=foq, g'=goq. Alors le noyau N du couple f', g' s'envoie dans H, et l'exactitude de F(N)--~ F(E) ~ F(E) donne aussit6t celle de F(H) ~ F() ::~ F(E). Ceci termine la d6monstration du emme 6, donc du Th6or~me 2. w 3. a eat6gorie ~a Soit A un anneau non n6cessairement commutatif. On d6finit la cat6gorie ~A de faqon suivante. A est un objet de ~a, si A est un anneau commutatif ~t 616ment unit6 et un A-module ~, gauche de longueur finie tel qu'on ait 2(ab)=(2a)b pour tout 2~A,a,b~A (il en r6sulte que les id6aux de A sont des A-modules/t gauche). A et B &ant des objets de c-6' a, une application q~: A ~ Best un morphisme de c~ A, si ~b est/t la fois un homomorphisme d'anneaux v6rifiant ~b(1)= 1 et un homomorphisme de A-modules ~t gauche. On v~rifie sans peine que les produits finis et les produits fibr6s existent dans c~ A. Si A est un objet de ~a et M est un A-module, il revient au m6me de dire que M est un A-module de longueur finie ou que M est un A-module de longueur finie (ou de type fini, A 6tant artinien). Soit A ~ B, A--~ C un couple de morphismes de ~a" Ators B C A est un objet de C6'A, puisque c'est un A-module de type fini, donc un A-module h gauche de longueur finie. es objets de c~ a 6tant artiniens, les foncteurs c6' A ~ o~ exacts ~t gauche coincident avec les foncteurs strictement pro-repr6sentables (cf. w 2, Proposition 2). Dans la suite X sera la famille des objets de c~ A qui sont des corps. Nous atlons d~montrer que le couple cga, Jd v~rifie tes conditions (C 0... (Cll) du w 1. emme 1. es monomorphismes de c~ A sont les homomorphismes injectifs. Un morphisme injectif de qgjt est un monomorphisme; c'est trivial. Inversement, soit i: A---, B un monomorphisme de ~A" e noyau a de i est un id6al de A et un sous-a-module de A, donc de A-tongueur finie. Sur le A-module/t gauche A x a, qui est de A-longueur finie, on met une structure d'anneau par la formule (x,y)(x',y')=(xx',xy'+x' y+yy') (x,x'~a,y,y'~a). A x a est alors un objet de ~a. On d6finit les morphismes f, g: A x a--~ A de ~A par les formules f(x,y)=x,g(x,y)=x+y, et on constate que i o f = i o g. Or, i 6tant un monomorphisme, il s'ensuit que f = g, d'ofl a = 0.

14 Foncteurs exacts h gauche 127 emme 2. es ~pimorphismes de cg A sont les homomorphismes surjectifs. Un homomorphisme surjectif est 6videmment un 6pimorphisme. Inversement, soit p: A--, Bun ~pimorphisme de cg A. I1 suffit de montrer que Aim --~ B/m B (c'est encore un ~pimorphisme) est surjectif pour tout ideal maximat m de A (cf. [1], Chap. 2, w 3, Proposition 11). On peut donc supposer que A soit un corps; Best alors un espace vectoriel sur A de dimension finie d. Si i,, i 2 sont les applications canoniques de B dans B B, on a i a o p= i2op, d'ofl i 1 = i z puisque p est un 6pimorphisme. A I1 s'ensuit que d= i, et que pest bijectif. a cat6gorie c~ A a les propri6t6s (C,), (C2), (C3); c'est une cons6- quence imm6diate des emmes 1 et 2. sir: A ~ C, g: B ~ C est un couple de morphismes de (d A eta = er g, a'=erg', la restriction de f' ~ a' est une bijection de a' sur a; c'est marne un isomorphisme de D-modules. (Ici f' (resp. g') d6note comme auparavant la projection sur le second (resp. premier) facteur du produit fibr6 D def g.) En outre, si f (donc f') est surjectif, f' induit une bijection de l'ensemble des id6aux de D contenus dans a' sur l'ensemble des id6aux de B contenus dans a. Si en plus g est un 6pimorphisme simple, a est minimal clans t'ensemne des id6aux + (0) de B. It en r6sulte que a' est minimat dans l'ensemble des id6aux + (0) de D, donc g' est un 6pimorphisme simple. a condition (C4) est doric bien v6rifi6e. De m~me, si f est injectif et g est un 6pimorphisme simple, A-~ D/a', C ~ B/a et puisque a et a' s'identifient canoniquement, les anneaux interm6diaires entre D et B correspondent biunivoquement aux anneaux interm6diaires entre A et C, Ceci ach6ve la d6monstration de (Cs). emme 3. Soient Bun anneau commutatif fi ~l~ment unit~ (comme toujours), i un idoal minimal de Bet Dun sous-anneau de B tel que rinclusion D c B soit minimal (c.d.d. il n'existe pas d'anneau proprement contenu darts Bet contenant D proprement). Supposons enfin que B soit une D-alg~bre enti~re. Alors il se pr~sente trois possibilitos : (i) Oc~j--(0), D+i=B. (ii) iest contenu dans D. (iii) It existe une injection minimale de corps f: ~ et un anneau C, tels que D = C x, B = C x, l'inclusion ~tant l' application 1 c x f. Eideal iest le noyau de la projection C -~ C. On note d'abord que l'annulateur m de i est un id6al maximal de B. 'ensemble des sommes D+i est un sous-anneau de B contenant D. Donc si j n'est pas contenu dans D, alors D + i = B. On distingue les deux cas (a) i c m, (b) i 4: m.

15 128 A.H.M. evelt: (a) D c~ iest un id6al de B. Ceci se voit comme suit. Si best un 616ment de B, il existed ~ D,j e i tels que b = d + j. Soit x ~ D n i. Alors b x = (d + j) x = dx+jx=dxedni, puisque i2~mi=(0). Puisque i n'est pas contenu dans D et iest minimal, il s'ensuit que D hi= (0). On est alors dans le cas (i). (b) Si i n'est pas contenu dans rrt, m+i est 6gal ~ B, tandis que j c~ m = (0). Posons n = D c~ m, a = D n i. Alors nest un id6al maximal de D, puisque Best entier sur D. D'autre part n n a= (0). On a donc ou bien a=(0), ce qui nous conduit de nouveau ~t (i), ou bien n+a=d. Posant = D/n, = B/m, D'= D/a, B'= B/i, on a des injections canoni- ques -~, D'~ B' et D ~ B s'identifie au produit de ces injections. Puisque D cb est minimal on a ou bien -~ et D'~ B' minimal, ou bien ~ minimal et D'~ B'. Dans le premier cas j est contenu dans D, ce qui 6tait exclu, dans le second cas on a la situation (iii). Soient h: D ~ Bun monomorphisme simple de c~ a et g: B---~ C un 6pimorphisme simple de c~ A. On peut alors identifier D ~ un sous-anneau de B tel que l'inclusion soit minimale. Best une D-alg6bre finie, car B est un A-module de longueur finie. Soit i le noyau de g. Alors toutes les conditions du emme 3 sont v6rifi6es. Si D n i = (0), D + i = Bet le morphisme compos6 go h est un isomorphisme. Si j est contenu dans D, D s'identifie au produit fibr6 de g(d)~ C et g, l'inclusion g(d) 6tant minimale. On a donc retrouv6 les cas (i) et (ii) de (C6), le dernier cas correspond ~ (iii) du emme 3. a cat6gorie ~A a donc la propri6t6 (C~). es conditions (C7), (C9), (C,0), (Cll) sont 6videmment v6rifi6es dans ~a- Si A est un objet de c~ a et M un A-module de longueur finie (donc un A-module ~ gauche de longueur finie) on d6note par D a (M) le produit ensembliste A x M, off l'on met une structure d'anneau et de A-module gauche par les formules (a,m)+(a',m')=(a+a',m+m'), 2(a, m)=(2 a, 2 m), (a,m)(a',m')=(aa',am'+a' m), (a, a' ~A; m, m' em; 2eA), et on v6rifie facilement que D a (M) est un objet de c~ a. Soit p: D a (M)~ A l'augmentation p(a, m)=a. e noyau de pest un id6al de carr6 nul de D a (M) et s'identifie h M comme A-module. emme 4. Soit f: A --~ C un Opimorphisme simple de ~A de noyau i et admettant une section tr (donc fotr= lc). Alors l'annulateur m de iest un ideal maximal de A, et iest un espace vectoriel de dimension 1 sur le corps r~siduel = A/m. Soit enfin r: A ~ rapplication r~siduelle. II se pr~sente alors deux cas :

16 Foncteurs exacts fi gauche 129 (i) icm. Alors I'application g: a~-~(f(a),r(a)) est un isomorphisme (dans ~A) de A sur C x. Si Pl : C x --~ C est la projection sur le premier facteur, et si s: C--* Cx est le morphisme (lc, roa), on a f=plog et s=goty. (ii) j cm. Alors rapplication g: an(f(a),(rf(a), a-af(a))) est un isomorphisme de A sur C et on a f=ptog, s=goa, oti Pl: C x D(j) ~ C est la projection sur le premier facteur et s: G-~ C x Dr(j) rapplication c ~ (c, (& 0)) (~ d~signe la classe de c dans C/n d'un ~l~ment de C et n = m/j est l'iddal maximal de C, donc C/n s'identifie canoniquement On salt que iest minimal clans l'ensemble d'ideaux ~ (0) de A. Soit t e j, t 4: 0. Alors a ~ a test une surjection de A-modules A-~ j de noyau m, id6al maximal de A; d'ofi m = Ann jet le fait que j est un espace vectoriel de dimension I sur Aim =. Si jr m, les id~aux j et m sont 6trangers et ont une intersection (0). On salt alors que A-~ A/i x Aim-~ C x est un isomorphisme. es autres assertions de (i) se v6rifient par des calculs simples. Soit enfin j c m. I1 est facile de voir que gun morphisme de ~a. Soit h: CxD(j)~A 1'application d6finie par h(x,(~,y))=a(x)+y. Alors on v6rifie sans peine que get h sont inverses Fun ~ l'autre, ce qui prouve la premi6re assertion de (ii). es autres assertions se montrent en 6crivant quelques formules. Ceci ach~ve la d6monstration du emme 4. a propri&~ (Cs) est une cons6quence directe du emme 4. I1 suffit de noter dans le cas (i) que C x ~ C x ( x ), off est un corps i. r6siduel de C, et que la projection x -* est un 6pimorphisme simple. Dans le cas (ii) l'augmentation D (i) ~ est 6galement un 6pimorphisme simple. Dans la cat~gorie ~a on peut donner une autre formulation ~ la condition (G); c'est le contenu de la proposition suivante. Proposition 1. Dans la catdgorie ~g a on peut remplacer la condition (G) du w 2, Thdordme 2 par ta conjonction de (G') et (G"): (G') Si O: ~-~ est un automorphisme d'un objet de ~ et ~ef() un ~ldment vdrifiant 0 ~ =~, il existe fief(), corps des invariants de O, tel que fi s'envoie surct par l'application canonique F()-~ F(). (G") Soient Dune A-d~rivation d'un corps de ~ le sous-corps annul~ par D, i: -~ [e] = D () l'injection x ~-* x + O. e dans l'algdbre des nombres duaux, et f: -* I-e] l'application x ~-~ x + (D x) e. Alors, "si ~ef() v~rifie io ~=fo 0~, il existe fief() qui s'envoie sur ~ par l'application canonique F()-* F().

17 130 A.H.M. evelt: (G') et (G") sont des cons6quences de (G). On le voit en prenant E= (resp. E=[e]) et f=l E, g: (x, y)v-~ (x, Oy) (resp. x+yev-, x+(dx+y)e). Montrons ensuite que (G') et (G') entrainent (G) (si les autres hypoth6ses du w Th6or6me2 sont v6rifi6es). Soit donc q: E--, un 6pimorphisme simple sur un objet de ~, et soient f g: E-~ E des morphismes tels que qof=qog=q. On pose i=erq, N = er(f, g), et on voit que Nest 6galement le noyau du couple (f f), (f g): E ~ E E. De plus, si 0t e F(E) est tel que fo ~ = g o ~, on a 6galement (f, f) ~ = (f, g) 0t. Gfftce au emme4 il existe un 6pimorphisme simple q': E'~ de noyau l) (E'= x M, Me~, dans le cas (i), E'=D( )dans le cas (ii)) et un isomorphisme t: E x E~ E E' compatible avec les projections sur le premier facteur, puisque l'6pimorphisme simple Pl: E x E ~ E admet l'application diagonate comme section. Posant ~ = P2 ~ t o (f, f), ~b = P2 ~ to (f g), on v6rifie que N s'identifie au noyau du couple 4, ~': E-. E', et que ces applications sont compatibles avec les applications sur. I1 s'ensuit que ~ et ~ envoient i dans ~). On va distinguer deux cas: (a) es restrictions de ~ et ~b/l i sont l'application nulle. I1 existe alors des morphismes qs',q/: ~E' tels que 4~=~b'oq,~=~O'oq et iest contenu dans N. I1 s'ensuit que = N/j est le noyau du couple ~b', ~b', et que N s'identifie au produit fibr6 de -, et E ~. Grgtce ~ la propri6t6 (e, m, b) dont la validit6 ne d6pend pas de (G), il suffit de trouver 2 ~ F() qui s'envoie sur x = q o ~ par l'application canonique F() --, F(). Si E' = M, q' (resp. n) la projection sur le premier (resp. second) facteur, on 6crira a=n o 49', ~ = n o d/. Alors est le noyau du couple a, r: --* M. On identifie fi un sous-corps de M, encore not6, au moyen de a. zest alors un isomorphisme de sur un autre sous-corps ' de M, et est le sous-corps de des 616ments x v6rifiant x=r(x); c'est donc le sous-corps de c~ ' invariant par T. Grfice/~ la condition (G') il suffit alors de montrer que F( n ') contient un 616ment x' qui s'envoie sur x (resp. z o x) par l'inclusion n ' ~ (resp. n '--, '). Or, ceci r6sulte de la propri6t6 ($1) appliqu6e aux inclusions cm, 'cm. Si E' = D x () = [e], on a q~' = i + e D', ~k' = i + e D" off D' et D" sont des A-d6rivations de et est le sous-corps de annul6 par la A-d6rivation D=D"-D'. Soit p: [e]~[g] le morphisme d6fini par p(x+ye)=x+e(y-d'x). On a alors po ~b'= i, po ~k': xv--~x+edx, tandis que les images de n par i et p o ~': ---, [-el coincident. Gfftce /~ la condition (G") il existe alors 2~F() s'envoyant sur x par l'application canonique F() ~ F().

18 Foncteurs exacts/~ gauche 131 (b) 'un au moins des applications ~b, ~O, disons 4~, n'est pas nulle sur j. Puisque jet b sont des espaces vectoriels de dimensions 1 sur, q~ induit un isomorphisme j-+ b- Alors ~b: E--,E' est un isomorphisme. Quitte/t remplaeer des objets par des objets isomorphes, on peut supposer E = E', j = D et q~ = ie,. Si E'-- M, l'application ~ est de la forme q, (x, y)=(x, ~,o(x, y)), off ~0: xm--~m est un morphisme, done ~O0(x,y)=Ox, O: --.M 6tant un isomorphisme, ou d/o(x,y)=oy avec un automorphisme 0: M--+M. Dans le premier cas N est le sous-corps {(x, Ox)]xE} de x M. Si a correspond au couple (~1, a2) par la bijection canonique F(xM)-~F() on voit que ct2=0a 1. Soit k: --~N l'isomorphisme x F-~ (x, 0 x), l'616ment v = k o ax de F(N) s'envoie sur a par l'application canonique F(N)-*F( Dans le second cas N est le sous-anneau de x M, off est le corps des invariants de 0. ]~crivant encore ct=(al, a2), on voit que ~t 2 v6rifie 0.ct 2=a2. Il existe done, grace/t (G'), 2eF() s'envoyant sur a 2 par F()-* F(), et (ax, 2) d6termine un 616ment v de N qui s'envoie sur a par l'application F(N)--~ F( x M). Si E'= [e] on raisonne de mani6re suivante. Par un calcul direct on montre r off D est une A-ddrivation de et 2e. II faut encore distinguer deux cas: (bl) 2 est diffsrent de 1, (b2) 2 = 1. (b 0 Dans ce cas N est le sous-anneau {x+((1-2) -1Dx)elxe} de [e]. Soit k: --,N t'application x~--~x+((1-2)-ldx)e; c'est un isomorphisme. es 616ments x+ye de [e] s'6crivent alors de fa9on unique sous la forme x' + y' c, off x', y' e N (prendre x' = x + ((1-2)- ~ D x) e, y' = y - (1 -- 2)- 1 D x + (1-2)- 1 D (y- (1-2)- 1 D x) e) et r est l'application ~(x'+y'e)=x'+2y'e. On 6crira N[e] au lieu de [e]. On d6finit un morphisme a: N[e]xN[e]---,N[e] par la formule a: (x+ye, x+y'e)w-,x+(y+y')e et pour tout te un morphisme It]: N [e] ---, N [e] par [t](x+ye)=x+tye (x, y, y' s N). On v6rifie facilement les formules a o ([t]x [t]) = It] o a, It + u] = I-t] + [u], It u] = It] [u], [ 1] = 1Nt~]. Sie ~ N [e]est tel que ~ o c~ = ct, et vest l'image de c~ par l'application r6siduelte p: N[e]~N, on d6note par V, le sous-ensemble de F(N [el) des 616merits qui s'envoient sur v. On obtient sur V, une structure de -espace vectoriel en posant cq + ct 2 = F(a) (~1, ~2) (off on dsnote par (oh, cr l'unique 616ment de F(N[e] x N[e]) v6rifiant Pl (cq, 0C2)= 0~1, p2(~l, a2)=~t2), et t~=f([t])~ (noter que It] est compatible avec p). On voit alors que l'image v' de v par l'application x~ x+0. e de N dans N [e] est l'616ment neutre de V~. Or, 2 ~=~, d'ofi ~= v', puisque 2 ~e 1. Ceci ach6ve la d6monstration dans le cas (b~). (bz) Si 2= 1, Nest le sous-anneau +e de [e], off est le souscorps de annul6 par D. Nest done le produit fibr6 de ---, et q: 10 Inventiones math., Vol. 8

19 132 A.H.M. eve t: [~]~, et il suffit de trouver 2~F() qui s'envoie sur v=qoa (cf. l'argument utilis6 dans (a) plus haut). Or, on a un diagramme commutatif I / 06 r est l'application x~-, x+(dx)e. It s'ensuit que les images de v par iet 0' coincident, d'ofi l'existence de 2 grfice/l la condition (G'). a Proposition 1 est maintenant d6montr6e. Nous allons terminer ce paragraphe par la d6monstration de quelques autres propri6t6s particuli~res de la cat6gorie ~, qui nous seront utiles dans le paragraphe suivant. emme 5. Soit i: A --~ Bun monomorphisme simple de cg A. Alors la suite A i ~B il ~B (1) i2 A est exacte ( i~, i 2 sont les morphismes ddfinis par i~ (b) = b I, i 2 (b) = 1 b ). De plus, si i ne fait pas de Bun A-module fid~lement plat, les extensions r~siduelles induites par i sont toutes triviales. Comme A est un anneau artinien, A se d6compose en un produit A 1... d'anneaux locaux, objets de ~, et l'application i s'6crit comme produit i=i 1... i,, off ij: A~-+Bj est un monomorphisme de ~. Puisque iest un monomorphisme simple, tousles i~ sauf un sont des isomorphismes, et les assertions du lemme s'ensuivent aussit6t du cas particulier off A est local. Supposons doric dans la suite que A soit local. Sans restrictions on peut supposer que A est un sous-anneau de B. D6notons par m l'id6al maximal de A. Alors A + m B est un sousanneau de B contenant A. Si A +m B 6tait 6gal ~ B, on aurait A =B par Nakayama. C'est une contradiction. Puisque iest un monomorphisme simple, A =A +rob, c.o.d, m est un id6al de B. Si = A/m, E=B/m, est un objet de ~ et un sous-anneau de E, tel que -~E soit un monomorphisme simple. D6composant E en un produit d'anneaux locaux E~... x Era, on obtient des monomorphismes ~ E~ (1 < i < m). Si, par exemple, ~ E~ se d6compose en monomorphismes ~ E'~, E~ ~ E~, le monomorphisme simple ~ E est le compos6 de deux monomorphismes: --~ E' 1 x E 2 X... X E,,--~ E 1 x E 2 X... X E m. II s'ensuit que E' 1 =E~ ou que ~E'~ x E 2 x... x Era, d'ofi m= 1 et E est local. On a donc ou bien E = x... (produit de m facteurs)

20 Foncteurs exacts/t gauche 133 isomorphismes pr6s, ou bien E est local. Dans le premier cas il est facile de voir que m dolt 6tre 6gal/l 1. Dans le second cas, ou bien --~ E est une extension (non-triviale) de corps, ou bien E-~ [e] (l'id6al maximal de E admet un g6n6rateur t, v6rifiant t2=0; donc, si t+0, E s'identifie + t). Retournons aux 6nonc6s du lemme. I1 suftit de prouver les deux choses suivantes: (i) es assertions du lemme sont vraies pour Besf. (ii) Si p: B~ B' est un 6pimorphisme simple, la validit6 des 6nonc6s du lemme pour tout monomorphisme simple A'--* B', A' local, entraine Ia validit6 pour A--*B. Quant/t (i) c'est trivial; d6montrons donc (ii). Si B n'est pas un objet de ~f-, il existe un 6pimorphisme simple p: B~B'. II se pr6sente alors deux cas (cf. (C6), le troisi6me cas est exclu, A &ant un anneau local): (a) p o i est un isomorphisme, ou - ce qui revient au m6me - il existe un morphisme f: B-~A v6rifiant fo i= 1 a. I1 est alors impossible que i induise une extension r6siduelle non-triviale. En outre, la suite (1) est exacte, ce que l'on d6montre par un argument bien connu ([3], Exp. VIII, Cor. 1.5). (b) I1 existe un monomorphisme simple i': A'--, B' et un 6pimorphisme p': A--~A' tels que A s'identifie au produit fibr6 de i' et p; A' est local. Consid6rons les deux diagrammes commutatifs (j= 1, 2): A,B ~B A,~2~B, ij,b'.4" off la derni6re fl~che verticale est d6finie par bl 174 Puisque A'~B'=~ B' B' est une suite exacte et que le carr6/~ gauche A' est cart6sien, on montre par une simple (tchasse au diagramme>> que la suite (1) est exacte. Pour terminer la d6monstration on distingue encore deux cas: (hi) i' induit des extensions r6siduelles triviales. On montre alors facilement que i induit 6galement des extensions r6siduelles triviales. (b2) 'extension r6siduelle induite par i' n'est pas triviale, donc B' est un A'-module fid61ement plat. On va montrer que Best un A-module fid6lement plat. I1 est d'abord clair que les extensions r6siduelles induites par i ne sont pas toutes 10"

21 134 A.H.M. evelt: triviales. Vu ce qui pr6c6de, il s'ensuit que Best un anneau local d'id6al maximal m, et m est 6galement l'id6al maximal de A. On a alors: (i) m est un id6al nilpotent de A. (ii) B/m est un A/m-module plat. (iii) 'application multiplication B m ~ m est bijective. A Seule la derni6re assertion n'est pas triviale. Pour la d6montrer on d6note par j le noyau de p qui est en m6me temps le noyau de p'. On sait que m = Ann i (cf. d6monstration du emme 4), d'ofi une structure de A'-(resp. B'-)module sur m, et B m s'identifie ~ B'@ m. Puisque B' At A' est un A'-module plat, l'application B' m ~ m est bijective, d'ofi (iii). A' es propri6t6s (i), (ii) et (iii) entra]nent que Best un A-module plat, donc fid61ement plat ([1-1, Chap. III, w 5, Th6or6me 1). Pour finir remarquons que la condition (la) dans les Th6or6mes 1 et 2 du w 2 peut 8tre remplac6e par: (I~) 'application (.) est injective, si C est un objet de ~e-, B = C [e] et g: B ~ C l'application residuelle, si la cat6gorie c~ dans ces th6or6mes est la cat6gorie cg a. Ceci se voit comme suit. Soient Ce~ r, f: A~C un morphisme arbitraire, g: B ~ C un 6pimorphisme simple, D le produit fibr6 de f et g, et 61,62~F(D), tels que g'o61=g'os2=o~, f'o61=f'o62= ft. On va montrer que 8t = 82. I1 existe 8'I,62~F(DxD), teis que plos~=plo82=8 ~, p2o8~=6~, p2o62 =62, od Pl (resp. P2) d6note la projection sur le premier (resp. second) facteur D xd-.d (cf. w emme 1). Or, D xd s'identifie au A produit fibr6 de D~B et B x B---~B (projection sur le premier facteur) C et les images de 6'~, 62 par D x D--.B x B coincident (appliquer (12) au morphisme g). A c Plus haut on a montr6 que B x Best isomorphe ~t B x E, off est un corps r6siduel de Bet E est de la forme x C ou C [e]. I1 en resulte un diagramme cart6sian D,E A I), et les images de 8' 1, 82 par les projections du produit fibr6 coincident. Par cons6quent, si E = C, on a 6~ = 6~ gfftce h la condition (P); si E= C[e] on a 6] =6~ en vertu de (I~). Donc dans les deux cas 61 = P2~ =p2o6~=8 2.

22 Foncteurs exacts h gauche 135 w 4. es crit~res de Schlessinger et de Grothendieck Proposition 1. Soient A un anneau local dt corps r~siduel k et ~f] la cat~gorie des A-algdbres A, qui sont de longueur finie comme A-modules, et teltes que les extensions r~siduelles induites par A-*A soient toutes triviales. Pour qu'un foncteur F: c~] ~o soit strictement pro-representable il faut et it suffit que F v~rifie les conditions: (i) F commute aux produits finis. (ii) Eapplication canonique F(A x c B)--~ F(A)vXc)F(B), (*) d~finie par un couple de morphismes f: A -* C, g: B--~ C de cgj est injective si f=g est un Opimorphisme simple. (iii) (*) est injective si C = k et B = k [~]. (iv) (,) est surjective si f est un monomorphisme simple et gun ~pimorphisme simple. Cette proposition a 6t6 d6montr6e par Schlessinger sous une forme plus restreinte. C'est une cons6quence imm6diate de nos Th~or+mes 1 et 2 compte tenu du w 3. a cat6gorie ~'~ en question consiste en le seul objet k. es conditions (i), (ii), (iii) resp. (iv) sont justement nos conditions (P), (12), (I~) resp. (S2). Puisque les conditions (11), (S0, (G'), (G") sont trivialement v6rifi6es, la Proposition est d6montr6e. Proposition 2. Pour qu'un foncteur F: c~ a ~ g~o soit strictement prorepresentable il faut et il suffit qu'il satisfasse aux conditions (P), () et (M): () Si A est un anneau local et A --~ B un morphisme de cg a qui fait de B un A-module fidolement plat, la suite est exacte. F(A) ~ F(B) ~ B) (1) (M) Si A est un anneau local, et A --~ B un monomorphisme tel que B soit minimal sur A et que les extensions rdsiduelles soient triviales, alors la suite (1) est exacte. Cette proposition est due h Grothendieck ([2], Th6or6me 1, [4], Chap. IV, Th6or6me 1); on va voir que c'est une cons6quence de notre w 2, Th6or6me 2 et les r6sultats du w 3. es conditions (P), () et (M) sont n6cessaires. C'est 6vident pour (P). D'autre part si F est exact ~t gauche la suite (,) est exacte, si A B zz~ B Best une suite exacte. C'est le cas sous l'hypoth6se (M), comme A

23 136 A.H.M. evelt: on a vu (cf. w 3, emme 5); c'est un r6sultat bien connu si A--) B est un morphisme fid61ement plat ([3], Exp. VIII, Corollaire 1,5 du Th6or6me 1,1). Inversement, supposons que F v6rifie (P), () et (M). Alors F(A)--> F(B) est injectif pour tout monomorphisme simple, puisqu'un monomorphisme simple A---)B, A local, v6rifie les hypoth6ses de () ou (M) grgice au w 3, emme 5. Dans le cas g6n6ral on d6compose d'abord A en anneaux locaux. Comme tout monomorphisme est composition d'un nombre fini de monomorphismes simples, on en d6duit la validit6 de (I). I1 reste /l montrer que F v6rifie 6galement les contitions ($1), (S2) et (G) (cf. w 2, Th6or6me 2). Pour v6rifier ($2) on consid6re un monomorphisme simple f: A ---) C et un r simple g" B---, C, et on consid6re les diagrammes commutatifs (j = 1, 2): D S')B ij)b m')b <I ; i,,, I, A c-rj coc c o~ D= A x B, f' et g' 6tant les projections, i~ (resp. i}) les injections c canoniques, m (resp. m') la multiplication et enfin g"=g g. Alors les noyaux de toutes les tlsches verticales s'identifient. On t'a d6j/l prouv6 pour get g'; c'est vrai aussi pour get g", comme on vale voir. Puisque D ---, A est surjectif, on a C C = C, donc er g" est l'id6al engendr6 par les images de J B ---) B Bet B ~ i --) B o@ B, off D D i= er g. Ceci montre que tout z e er g" s'6crit sous la forme ~ b'~, off pour tout i ou bien b, ei ou bien b',ei. Si x~b, Y~i, on a dans l'anneau B D x@y=x@(o,y) l=(0, y)x l=yx@ l=(0, xy) 1 =1 xy) 1=1 oth (0, y), (0, x y) d6notent des 616ments de D=A x B. I1 s'ensuit que C z = Y' b, b'~ = ~" b, b'~ 1 = (E bi b'~) 1 = 1 ~ b~ b'~, i i i off l'616ment ~ b~ b', appartient g i. e fait que les noyaux de g" et g s'identifient s'exprime aussi en disant que le carr6 g droite dans les diagrammes (2) est cart6sien. Soient maintenant ~zef(a), fief(b), tels que foc~=gofi=?. On a t *! t,t o l! alors ilo?=i2oy=y'. Si ron pose fll=qofi, fl2=12 fl, filet f12 sont envoy6s sur fl par m'. Or, F v6rifie (e, e, i) (cf. w 2, emme 1). I1 s'ensuit A D