Réponses aux exercices du chapitre 3

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1 Réponses aux exercices du chapitre 3 Numéro 8. Résoudre les systèmes linéaires suivants par la méthode de décomposition LU de Crout (sans permutation de lignes). b) x x x 3 x 4 = Solution La première colonne de L est la première colonne de A (l i = a i pour i =,,..., n) et la première ligne de U est la première ligne de A divisée par le pivot (l ) qui est (u i = a i l pour i =,,..., n) Rappel : l = l = l 3 = 4 l 4 = 3 u = / = u = / = u 3 = / = u 4 = 4/ = 4 i Pour i =, 3,..., n, on calcule le pivot avec l ii = a ii l ik u ki. k= i Pour j = i +, i +,..., n, on calcule la i e colonne de L avec l ji = a ji l jk u ki. Pour j = i +, i +,..., n, on calcule la i e ligne de U avec u ij = n Finalement, on calcule l nn avec l nn = a nn l nk u kn. On a donc : l = a l u = 0 ()() = 4 l 3 = a 3 l 3 u = (4)() = 6 l 4 = a 4 l 4 u = ( 3)() = 7 u 3 = a 3 l u 3 = 4 ()() = / l 4 u 4 = a 4 l 3 u 4 = 3 ()(4) = 5/4 l 4 k= / 5/ k= i a ij l ik u kj k= l ii.

2 l 33 = a 33 l 3 u 3 l 3 u 3 = (4)() ( 6)( /) = 4 3 = 5 l 43 = a 43 l 4 u 3 l 4 u 3 = 3 ( 3)() (7)( /) = / = 9/ u 34 = a 34 l 3 u 4 l 3 u 4 l 33 = (4)(4) ( 6)(5/4) 5 = / 5/ / 4-4 -/ 5/ / / l 44 = a 44 l 4 u 4 l 4 u 4 l 43 u 34 = ( 3)(4) (7)(5/4) (9/)(3/) = (9)(3) = 9 4 qui est la décomposition LU sous forme compacte. [) Résolution de L y = b y y y / 9 y 4 = / 5/ / / -9 Par la descente triangulaire, on obtient d abord y = 3 et ensuite : y 4y = 6 4y = 8 4y = y = / 4y 6y 5y 3 = y 3 = 0 5y 3 = 0 55 = 35 y 3 = +7 3y + 7y + (9/)y 3 9y 4 = 39 7/ y 4 = 6 9y 4 = = [) Résolution de U x = y. 4 x 0 / 5/4 x 0 0 3/ x x 4 = / 7 = 8 y 4 =

3 Par la remontée triangulaire, on obtient x 4 = et par la suite : x 3 + (3/)x 4 = x 3 + 6/ = 7 x 3 = 4 x (/)x 3 + (5/4)x 4 = x 4/ + (5/4) = x = / + 5/ = x + x + x 3 + 4x 4 = x = 3 x = 3 0 = 3 La solution est donc x = [ 3 4 T. 3

4 Numéro 3. La matrice : A = possède la décomposition LU suivante (notation compacte, obtenue sans permutation de lignes) : En utilisant la méthode de Crout, on a résolu les systèmes A x = b suivants : -Si b = [ 0 0 T : x = [,7777 0, 0, T -Si b = [ 0 0 T : x = [,0555,4444 0,77 77 T En complétant au besoin les données précédentes, calculer les quantités suivantes : a) dét A b) A c) A d) cond A 4

5 Solution a) Des propriétés du déterminant et puisque A = LU, on a dét A = dét L dét U. Puisque L et U sont des matrices triangulaires et puisque le déterminant d une matrice triangulaire est le produit des éléments sur la diagonale, on a finalement : dét A = ( 3 6)() = 8. b) On a premièrement que A = max i n A = max(6, 7, 55) = 55. n a ij. Par conséquent, on a que : j= c) On utilise la décomposition LU mentionnée ci-haut pour résoudre les systèmes linéaires suivants : A c = e A c = e A c 3 = e 3 où c i est la i e colonne de A. On a donc que les deux premières colonnes de A sont données par,7777,0555 0, 0, et,4444 0,77 77 Il reste donc à résoudre le système A c 3 = ) On résout premièrement L y = e 3 : 0 0 y y = y 3 Par la descente triangulaire, on obtient : y = 0 y + 3y = 0 + 3y = 0 y = 0 4y + 5y + 6y 3 = y 3 = y 3 = /6 ) On résout deuxièmement U x = y : 3 x x = x 3 /6 Par la remontée triangulaire, on obtient : 0 0 pour obtenir la troisième colonne! 5

6 x 3 = /6 x + 4x 3 = x + 4/6 = 0 x = /3 x + x + 3x 3 = x 4/3 + 3/6 = 0 x = 4/3 / = 5/6 La troisième colonne de A est donc c 3 = [ 5/6 /3 /6 T. En juxtaposant les trois colonnes trouvées, on obtient :,7777,0555 0, A = 0,,4444 0, , 0, ,66 67 n d) Par définition, cond (A) = A A et A = max i n b ij, où b ij est un élément de la matrice A. Par conséquent, on a que : A = max(4,666 53,,333 9, 0,555 55) = 4, et on obtient finalement que cond (A) = 55 4, = 56,659. j= 6

7 Numéro 30. Considérer le système non linéaire : x + x + x 3 = 9 3x x 3x 3 = 4 par la méthode de Newton, à partir de différents vecteurs de départ : x 0 = [,,5 T ; x0 = [,5 T ; x0 = [,,5 T et x0 = [,5 T. Déterminer vers quelle racine la méthode converge, le nombre d itérations nécessaires et l ordre de convergence. Solution a) C est l intersection de deux cercles : le premier est centré en (, 0) et de rayon car on peut l écrire, en complétant le carré, sous la forme (x ) + x =. L autre est aussi un cercle centré en (0, 0) et de rayon. Les deux cercles sont donc tangents au point (, 0) (voir la Figure ). b) On définit premièrement : Figure Intersection des deux courbes f ( x i ) = x x + x f ( x i ) = x + x 4 ɛ a = 0 4 x 0 = [ 0 T Supposons également que le nombre maximal d itérations est de 40. Alors, la méthode de Newton nous dit que l on doit résoudre le système linéaire suivant : J( x i ) δx = R( x i ) où R( x i ) = [ f ( x i ) f ( x i ) T, J( x i ) est la matrice jacobienne évaluée en x i et δx est la correction définie afin d avoir : f (x i + δx, x i + δx ) = 0 7

8 f (x i + δx, x i + δx ) = 0 On pose également x i+ = x i + δx. Avec Matlab, on obtient que : Arguments initiaux : Nombre maximal d iterations : nmax = 40 Critere d arret : epsilon = E-04 Differences finies : h = E-06 Iter. x_i R(x_i) E E E E E E E E E E E E E E-0.38E E E E E E E E E-0.579E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-04.37E E E E-08 Approximation finale de la solution: r = E E-04 c) On a premièrement que x = max x i. Par conséquent, on a que : i x (k) x = max i x(k) i x i. En prenant par exemple les deux dernières itérations, on a : x (4) x = max(0, 3, ) = 3, et x (5) x = max(0,, ) =, On trouve donc : x (5) x x (4) x =, , ,

9 Pour que la convergence soit quadratique, comme c est habituellement le cas pour la méthode de Newton, il faudrait que ce ratio ne tende vers 0. Puisque ce n est pas le cas, la convergence est linéaire. d) Afin de trouver des points où la méthode de Newton ne converge pas, on peut par exemple trouver des points pour lesquels la matrice jacobienne est singulière, c.-à-d. J n est pas inversible. On cherche donc les points tels que le déterminant de J est nul. Soit (x 0, x 0 ) l approximation initiale. On veut alors : dét J(x, x ) = f (x 0 x, x 0 ) f (x 0 x, x 0 ) f (x 0 x, x 0 ) f = (x 0 x, x ) 0 x0 x 0 x 0 x 0 = 0 (x 0 ) (x 0 ) (x 0 ) (x 0 ) = 0 4x 0 x 4x 0 4x 0 x 0 = 0 4x 0 = 0 x 0 = 0 et x 0 = x Par conséquent, pour tous les points initiaux de la forme (x, 0), la méthode de Newton est en échec dès la première itération et ne converge donc pas. 9

10 Numéro 37. On considère le système non linéaire : x + x 3 = 0 x x = 0 a) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de ce système. b) Faire itérations de la méthode de Newton pour les systèmes non linéaires en partant de [ x 0 x 0 T [ T = 0. c) La table suivante contient les itérations de la méthode de Newton qui suivent celles effectuées en b). On vous présente également la norme euclidienne de l erreur commise à chaque itération en comparant avec la solution exacte x = [ T. En regardant ces résultats, déterminer l ordre de convergence de la méthode de Newton. Expliquer pourquoi on obtient cet ordre de convergence dans ce cas précis. Solution a) Le problème est équivalent à trouver l intersection du cercle de rayon et d une hyperbole. Ces courbes sont tangentes aux points (, ) et (, ) tel qu illustré à la Figure. b) On pose : Figure Intersection des deux courbes f (x, x ) = x + x f (x, x ) = x x On a donc que : [ x x J(x, x ) = x x R( x i ) = [ x + x x x 0

11 pour chaque itération. On doit ensuite résoudre le système J( x i ) δx = R( x i ) pour trouver δx. On trouve x et x en posant x i+ = x i + δx. On obtient finalement que : Première itération : J(, 0) δx = R(, 0) [ [ 0 δx 0 δx [ + 0 = 0 [ = d où l on tire que (δx, δx ) T = (, )T et donc : [ x x T [ T [ T [ = 0 + δx δx = 3 T = [ Deuxième itération : J( 3, ) δx = R( 3, ) [ [ 3 δx 3/ δx [ (3/) = + (3/)() [ 5/4 = / d où l on tire que (δx, δx ) T = ( 0,35, 0,) T et donc : [ x x T [ T [ T [ T = 3/ + δx δx =,5 0,9 = [ 5/4 / c) En calculant la colonne contenant les termes x xi+, on constate que les valeurs x x i de cette colonne semblent converger vers 0,5, ce qui indique que la convergence est linéaire. Or, la méthode de Newton converge habituellement à l ordre. Pour expliquer ce comportement, il suffit de remarquer que la matrice jacobienne : [ x x x x est singulière en [ T correspondant à la solution exacte du système. Cette explication est similaire à celle donnée pour la méthode de Newton en une variable dans le cas de racines multiples (f (r) = 0). La matrice jacobienne joue le même rôle dans le cas des systèmes.