2.10. Exercices 35. v e (t) v s (t) + s(t) NL + + e(t) filtre passe bande. diviseur de fréquence

Transcription

1 .10. Exercices Exercices.10.1 Modulateur AM à non linéarité cubique Le schéma bloc suivant représente un modulateur d amplitude où p(t) = A cos π 0 t représente la porteuse et m(t) = b x(t) le signal modulant avec x(t) 1. Le circuit non linéaire est caractérisé par l équation v s = a v 3 e où v s désigne sa sortie et v e son entrée. m(t) p(t) + Σ : v e (t) v s (t) + s(t) NL + + e(t) diviseur de réquence iltre passe bande Σ 1. Donner l expression des signaux v e (t) et v s (t).. Quelle est la condition sur le iltre passe bande pour obtenir un signal AM DBAP en sortie? Donner alors l expression de s(t). 3. Déterminer l indice de modulation k du signal AM si A = 1, a = et b = 0,. Donner la représentation temporelle puis spectrale de s(t). 1. On a : et : v e (t) = m(t) + e(t) = bx(t) + A cos ω 0t avec ω 0 = π 0 v s (t) = av e (t) 3 = a ( ) 3 bx(t) + A cos ω 0t = ab 3 x(t) 3 + 3abx(t)A cos ω 0t + 3ab x(t) A cos ω 0t + aa3 cos 3 ω 0t = ab 3 x(t) 3 + 3abx(t)A ( cos ω 0t ) + 3ab x(t) A cos ω 0t +aa ( 3 3 cos ω 0t + 1 cos ) 3ω 0t 4 4. Le signal v s (t) possède des composantes spectrales aux réquences 0, 0 et 3 0. La composante à la réquence 0 correspond au produit de x(t) par la porteuse. Il aut donc garder seulement ce terme pour obtenir la modulation souhaitée : le iltre passe bande doit ainsi posséder une réquence centrale c = 0. A la sortie du iltre passe bande, il ne reste plus que le terme 3 aba x(t) cosω 0 t. Le signal s(t) s écrit alors : s(t) = A cos π 0 t + 3 ( aba x(t) cos π 0 t = A 1 + 3abA ) x(t) cos π 0 t C est bien un signal AM DBAP dont l indice de modulation est k = 3abA puisqu on a x(t) 1. HAGGÈGE, 003 cours d électronique de communication ISET Radès

2 36 Chapitre. La modulation d amplitude 3. Pour A = 1, a = et b = 0,, on a : k = 3abA = 3 0, 1 = 0,6 Représentation temporelle (cas d un signal modulant sinusoïdal) : amplitude Représentation spectrale : amplitude temps 0,3 0 m m réquence.10. Modulation d amplitude en quadrature (QAM) On veut transmettre deux messages m 1 (t) et m (t) dont l occupation spectrale est respectivement B m1 et B m sur une même porteuse de réquence 0. Pour cela, on utilise le système de modulation suivant : m 1 (t) cos π 0 t sin π 0 t π/ Σ + + s(t) m (t) ISET Radès cours d électronique de communication HAGGÈGE, 003

3 .10. Exercices Ecrire l expression temporelle du signal s(t) à transmettre (signal QAM).. Représenter le spectre de s(t) en onction de celui de m 1 (t) et m (t) dans le cas où m 1 (t) et m (t) sont des signaux sinusoïdaux de réquences respectives m1 et m. 3. Donner l occupation spectrale de s(t) et conclure. 4. Proposer un démodulateur qui permet d extraire les signaux m 1 (t) et m (t) du signal s(t). 1. D après le schéma synoptique du modulateur, on a : s(t) = m 1 (t) cos π 0 t + m (t) sin π 0 t Le signal s(t) est la somme des signaux AM DBSP m 1 (t) cos π 0 t et m (t) sin π 0 t.. Le spectre du signal QAM s(t) est la somme des spectres des deux signaux AM DBSP : signaux modulants A m1 Am m1 m signaux modulés en amplitude DBSP B m1 = m1 A m1 A m Bm = m 0 m m1 0 m m A m1 A m signal s(t) transmis B s = max(b m1,b m ) 0 m 0 m m1 0 + m 3. D après le spectre de s(t), on a : B s = max(b m1,b m ) Le signal QAM contient deux signaux modulants et donc deux inormations diérentes. L occupation spectrale de ce signal est égale à celle d un signal AM DBSP qui ne contient qu un seul signal. Donc la modulation QAM permet de transmettre deux ois plus d inormation que la modulation AM DBSP en utilisant la même bande passante. HAGGÈGE, 003 cours d électronique de communication ISET Radès

4 38 Chapitre. La modulation d amplitude 4. On peut utiliser le démodulateur suivant : v 1 (t) m^ 1 (t) s(t) π/ cos π 0 t sin π 0 t v (t) m^ (t) En eet, on a : v 1 (t) = s(t) cos π 0 t = m 1 (t) cos π 0 t + m (t) sin π 0 t cos π 0 t = 1 m 1(t)(1 + cos 4π 0 t) + 1 m (t) sin 4π 0 t = 1 m 1(t) + 1 m 1(t) cos 4π 0 t }{{} m (t) sin 4π 0 t }{{} 0 Le iltre passe bas permet d éliminer les composantes à la réquence 0 et on a donc : ˆm 1 (t) = 1 m 1(t) De même : v (t) = s(t) sin π 0 t = m 1 (t) cos π 0 t sin π 0 t + m (t) sin π 0 t = 1 m 1(t) sin 4π 0 t + 1 m (t)(1 cos 4π 0 t) = 1 m 1 1(t) sin 4π 0 t + }{{} m (t) 1 m (t) cos 4π 0 t) }{{} 0 0 Le iltre passe bas permet d éliminer les composantes à la réquence 0 et on a donc : ˆm (t) = 1 m (t).10.3 Démodulation quadratique On considère un signal s(t) modulé en amplitude DBAP. Déterminer à quelle condition le dispositi suivant permet de démoduler s(t) : s(t) (. ) m(t) Quadrateur Filtre passe-bas Suppression de la composante continue ISET Radès cours d électronique de communication HAGGÈGE, 003

5 .10. Exercices 39 Pour un signal modulant m(t) tel que m(t) 1, on a : s(t) = A ((1 + k m(t)) cos π 0 t et donc : s(t) = A ((1 + k m(t)) cos π 0 t = A = A ( 1 + k m(t) + k m(t) ) (1 + cos 4π 0 t) ( 1 + cos 4π0 t + k m(t) + k m(t) cos 4π 0 t + k m(t) + k m(t) cos 4π 0 t ) Après iltrage passe bas et élimination de la composante continue, on obtient : ˆm(t) = ka m(t) + k A m(t) Pour que le signal démodulé ˆm(t) soit proportionnel au signal modulant m(t), il aut que le terme k A m(t) soit aible devant le terme ka m(t) : k A ka m(t) m(t) km(t) Comme on a m(t) 1, la condition s écrit : k.10.4 Codage et décodage stéréophonique Le signal composite stéréophonique c(t) possède le spectre suivant : A c () Gauche + Droite Sous-porteuse Gauche Droite 0 15 khz 19 khz 3 khz 38 khz 53 khz Il contient les voies droite d(t) et gauche g(t) par multiplexage réquentiel. La somme g(t)+ d(t) est transmise en bande de base, la diérence g(t) d(t) est transmise en modulation DBSP à la réquence 0 = 38 khz. On ajoute en plus une sous-porteuse (réquence pilote) à 19 khz pour aciliter la synchronisation du démodulateur à la réception. 1. Justiier le choix du signal composite utilisé.. Donner l expression du signal composite c(t). HAGGÈGE, 003 cours d électronique de communication ISET Radès

6 40 Chapitre. La modulation d amplitude 3. Proposer un schéma de décodeur stéréophonique permettant d obtenir séparément les signaux g(t) et d(t). On utilisera une démodulation cohérente et des iltres. 1. Le signal composite utilisé permet de transmettre un signal stéréophonique, c est-àdire contenant un signal «gauche» g(t) et un signal «droite» d(t), sans aecter la réception monophonique. En eet, un récepteur monophonique doit être capable de recevoir correctement une émission stéréophonique. Pour cela, on ne transmet pas directement les signaux g(t) et d(t) mais plutôt le signal g(t) + d(t) qui constitue le signal monophonique et le signal g(t) d(t) modulé sur une sous-porteuse de 38 khz située au-delà du spectre des réquences audibles. Un récepteur monophonique reçoit donc seulement le signal g(t) + d(t) tandis qu un récepteur stéréophonique reçoit en plus le signal g(t) d(t). Le récepteur stéréophonique peut ainsi reconstituer les signaux g(t) et d(t) à partir du signal composite reçu.. D après le spectre du signal composite, on a : avec 0 = 38 khz. c(t) = g(t) + d(t) + (g(t) d(t)) cos π 0 t + cos π 0 t 3. Schéma d un décodeur stéréophonique : 0-15 khz g(t) + d(t) g(t) c(t) 3-53 khz 0-15 khz g(t) d(t) +/ d(t) 19 khz 38 khz x multiplicateur de réquence.10.5 Cryptage par inversion de spectre On veut crypter un message m(t), une émission de télévision par exemple, dont l occupation spectrale est B m. Proposer le schéma de principe d un système qui eectue une inversion de spectre : A m () A' m () cryptage ISET Radès cours d électronique de communication HAGGÈGE, 003

7 .10. Exercices 41 Pour réaliser le cryptage par inversion de spectre, on peut eectuer une modulation à bande latérale unique en conservant la bande latérale inérieure qui est symétrique par rapport à la bande latérale supérieure puis démoduler ce signal : A m () signal en "clair" modulation BLU Bande Latérale Inérieure démodulation A' m () signal crypté B m 0 B m Puissance d un signal AM Sachant qu un signal AM double bande avec porteuse est émis avec une puissance de 1000 W, compléter le tableau suivant : Indice de modulation P porteuse (W) P BLI (W) P BLS (W) 1 734,6 956,9 1,9 87, Première ligne du tableau : P s = ( 1 + k ) Pporteuse P porteuse = ( Ps ) = 1000 = 666,7 W 1+ k 1,5 P s = P porteuse + P BL P BLI = P BLS = Ps Pporteuse = ,7 = 166,7 W Deuxième ligne : P s = ( 1 + k ) Pporteuse k = ( P s P porteuse 1 ) = ( ,6 1) = 0,85 P s = P porteuse + P BL P BLI = P BLS = Ps Pporteuse = ,6 = 13,7 W Troisième ligne : ) Pporteuse P s = ( 1 + k P s = P porteuse + P BL } ( ) 1 + k Pporteuse = P porteuse + P BL kp porteuse = P BL P BL P porteuse = k 4 k = P BL P porteuse = 1,9 956,9 = 0,3 P BLS = P BLI = 1,9 W HAGGÈGE, 003 cours d électronique de communication ISET Radès

8 4 Chapitre. La modulation d amplitude Quatrième ligne : P porteuse = ( Ps 1+ k ) P porteuse = P s P BL P porteuse = P s ( 1 + k ) = P BLS = P BLI = 87, W On a ainsi : P s ( 1 + k 1000 ( ) = 85,6 W 1 + 0,65 ) = P s P BL k = 4P BL P s 1 P BL P s = Indice de modulation P porteuse (W) P BLI (W) P BLS (W) 1 666,7 166,7 166,7 0,85 734,6 13,7 13,7 0,3 956,9 1,9 1,9 0,65 85,6 87, 87, 4 87, , 1000 = 0,65 ISET Radès cours d électronique de communication HAGGÈGE, 003