Etude du transfert de chaleur en convection naturelle dans les nanofluides

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1 Etude du transert de chaleur en convection naturelle dans les nanoluides Glades BACHIR 1*, Ragheb SAWLI, Chakib FAKIH et Abdelkader MOJTABI 1 1 IMFT/UMR/CNRS/INPT/UPS, Toulouse France. Université Libanaise, Beyrouth, Liban. (auteur correspondant : glades@hotmail.com) Résumé On propose dans ce travail d étudier l intérêt de disperser des nanoparticules dans un luide pour augmenter le transert de chaleur en convection naturelle dans la coiguration de Rayleigh- Bénard. Il ressort de cette étude que le lux thermique transéré, en convection naturelle laminaire, augmente lorsque la concentration en nanoparticules augmente. Cependant cette augmentation reste du même ordre de grandeur que la concentration en nanoparticules (< 8% à 10 %) dans le luide porteur et sans commune mesure avec celle importante mentionnée en convection orcée. Nomenclature A rapport d aspect, L /H C p chaleur spéciique, J.kg -1.K -1 L largeur de la cavité, m g accélération de la pesanteur, m.s - H hauteur de la cavité, m T température, K V vecteur vitesse k conductivité thermique, W.m -1.K -1. Nu nombre de Nusselt moyen Pr nombre de Prandtl 3 Ra nombre de Rayleigh, gβ TH / αν P pression Pa t temps Symboles grecs α diusivité thermique, m.s -1 β coeicient d expansion thermique, K -1 T diérence de température imposée aux parois horizontales, K µ viscosité dynamique, Kg.m -1 s -1 ν viscosité cinématique, m.s -1 φ concentration en nanoparticules ρ masse volumique, Kg.m -3 Indices et exposants c chaud. roid l local 1. Introduction Le transert de chaleur peut jouer un rôle important dans divers processus industriels. L eicacité de tels processus est souvent limitée par les propriétés thermophysiques des luides utilisés. La miniaturisation de nombreuses applications est tributaire de la possibilité d évacuer de açon eicace les puissances thermiques dissipées au sein de ces appareillages. Le développement considérable récent des recherches traitant des nanoluides est dû au ait qu il est possible, pour certaines applications, d accroitre de açon appréciable les transerts de chaleur en introduisant dans un luide pure une aible concentration de nanoparticules. Rappelons que les nanoluides sont des solutions colloïdales obtenues en dispersant dans un luide de base des particules solides de taille nanométrique (10-9 m). A très aible concentration, certaines de ces solutions se sont révélées très eicaces pour améliorer, sous certaines conditions les transerts de chaleur. Le transert de chaleur dans un nano-luide dépend à la ois des propriétés thermophysiques de la phase solide et de la phase liquide. Deux types d approches, appelées modèle à une phase ou modèle à deux phases, ont été élaborés pour l étude des transerts

2 thermiques dans les nano-luides. Nous adopterons dans toute la suite de ce travail le modèle à une seule phase analogue à celui utilisé en milieu poreux. On se propose dans un premier temps, de aire une synthèse des travaux expérimentaux et des ormules utilisées pour évaluer la conductivité thermique eective des nanoluides. Ces ormules conduisent à des relations plus ou moins explicites de la conductivité eective en onction de la conductivité thermique des nanoparticules, de la phase liquide et de la concentration en nanoparticules. La corontation entre les diérentes ormules proposées et les résultats expérimentaux montre que pour de nombreux nanoluides, ces diérentes ormules n approximent pas de açon satisaisante les résultats expérimentaux. Il aut remarquer qu il n y a pas une totale concordance entre les diérents résultats expérimentaux obtenus, pour un même nanoluide, par les diérents expérimentateurs [1-5]. Cela est dû, en partie, au ait que la conductivité thermique eective dépend aussi de la température moyenne et cette donnée n est pas toujours associée aux corrélations proposées. Les travaux portant sur l étude du transert de chaleur en convection naturelle dans les nanoluides sont peu nombreux [6, 7]. Dans la seconde partie du travail, nous avons d abord réalisé de nombreuses expérimentations numériques, traitant des écoulements convectis dans la coiguration classique de Rayleigh-Bénard. Le nanoluide ou le luide porteur est placé dans une cellule de grande extension horizontale chauée par le bas (La paroi iérieure horizontale est maintenue à une température T C, uniorme supérieure à la température T F uniorme de la paroi supérieure). Les simulations réalisées ont concerné principalement de l eau comme luide avec diérentes concentrations de nanoparticules d Al O 3. Pour évaluer les lux de chaleur véhiculés par le luide au niveau de l une des parois horizontales, nous avons ait varier la concentration en nanoparticules pour diérentes valeurs de T T C TF imposées aux deux parois horizontales.. Formulation du problème Nous nous sommes restreint, dans toute la suite de ce travail, à une cellule horizontale rectangulaire de hauteur H et de largeur L remplie d eau contenant diérentes concentrations de nanoparticules d Al O 3. Les deux parois horizontales imperméables z 0 et z H sont maintenues à des températures constantes, uniormes respectivement T C > T F. Les parois verticales (x 0 et x L) sont imperméables et isolées. L axe des z choisi vériie : z -g/ g. On assimile le nanoluide à un luide newtonien incompressible de caractéristiques thermophysiques constantes lorsque la diérence de température TT C -T F reste suisamment aible (quelques degrés) pour que l approximation de Boussinesq reste applicable. Dans ces conditions les écoulements convectis obtenus sont laminaires. Pour obtenir la ormulation adimensionnelle de ce problème on introduit les variables sans dimension suivantes en onction des grandeurs dimensionnelles x, z, u : x' z' Hu' Hw' H p' T ' T t' α x, z, u, w, p, T, t. H H α α ρα Tc T H Dans ces conditions les équations de bilan de matière, de quantité de mouvement et d énergie s écrivent :. V 0 (1) V + (V. )V P + Pr z + Pr RaT V () t T + V. T T (3) t

3 Où V désigne le vecteur vitesse. Ces équations ont apparaître les nombres sans dimension caractéristiques de la convection naturelle, à savoir le nombre de Rayleigh et le nombre de Prandlt associés ici aux caractéristiques du nanoluide. 3 gβ H T ν ke Ra ; Pr, α α ν α (ρcp) Les conditions aux limites associées à ce problème sont données par: V0 M Ω rontière rigide de la cavité. Τ 1, z 0, x [ 0, A] Τ 0, z 1, x [ 0, A] T 0, x 0, x A z [ 0,1]. x Où le rapport de cellule A L/H est le troisième nombre adimensionnel de ce problème. On a introduit dans la suite de cette étude le nombre de Nusselt global au niveau de l une ou de l autre des parois horizontales. Ce nombre est donné par : A A 1 T 1 T Nu dx dx (4) A z z A z z 1 Rappelons que dans la coiguration de Rayleigh-Bénard, le nombre de Rayleigh critique conduisant à la perte de stabilité de la solution de conduction pure est égale à 1708 (Rac1708). Donc tant que le Rayleigh critique reste iérieur à cette valeur critique le transert thermique dans la couche horizontale est purement conducti en présence du luide porteur ou du nanoluide. Il s ensuit que le rapport du lux de chaleur véhiculé par le nanoluide sur celui véhiculé par le luide porteur, au niveau de l une des parois horizontales, est égal au rapport de leur conductivité respective ( k / k ). Ce résultat est vrai tant que T T C - T F reste iérieure ou égale à T c, diérence de température critique associée au Rayleigh critique Rac. Dans ces conditions, comme l indique la igure1 le lux thermique véhiculé augmente avec la concentration volumique des nanoparticules. L accroissement est de l ordre de 1% pour une concentration volumique de 4%. Pour la même concentration de 4% en Al O3 avec de l éthylène glycol on obtiendrait un accroissement de l ordre de 18%. D où d abord l importance pour notre étude de recourir à une corrélations donnant la conductivité thermique ( ϕ ) approchant le mieux les nombreux résultats expérimentaux de la littérature. k 3 Propriétés thermophysiques des nanoluides L introduction de nanoparticules solides dans un luide modiie ses propriétés physiques et en particulier sa conductivité et sa viscosité. Des corrélations semi empiriques ont été proposées [8] pour calculer la conductivité thermique d un nanoluide. Cette conductivité dépend bien entendu de la nature de chacune des phases en présence, de la concentration volumique en nanoparticules dans le liquide porteur et de la température de l ensemble. Nous avons retenu dans la suite de ce travail la corrélation proposée par Hamilton-Crosser [9]. k k s + ( n 1)k ( n 1)( k k s ) ϕ (5) k k s + ( n 1)k + ( k k s ) ϕ Où k, k et k s désignent respectivement les conductivités thermiques du nanoluide, du luide porteur et des particules solides et n le acteur de orme (n 3) pour les particules sphériques et ϕ la concentration volumique des nanoparticules dans le luide. On trouve également dans la littérature d autres relations donnant la conductivité thermique de nanoluides spéciiques, en particulier le cas de l eau avec des nanoparticules d Al O 3 :

4 ke 13ϕ + 6.3ϕ + 1. k Pour la viscosité du nanoluide nous avons repris la relation donnée par Brinkman [10]. µ µ (6) ( 1 ϕ). 5 Ce n est d ailleurs pas la seule et on en trouve de nombreuses autres corrélations approximant de açon satisaisante la viscosité du nanoluide dans certaines gammes de variation de la concentration volumique. Pack et Cho [11] ont obtenu une corrélation spéciique pour le nanoluide (eau + Al O 3 ): µ µ ( ϕ ϕ ). La masse volumique d un nanoluide pour une température de réérence donnée est calculé par : ρ ( 1 ϕ) ρ + ϕρ s (7) et la capacité caloriique volumique du nanoluide est donnée par ( ρc ) ϕ( ρc ) + (1 ϕ)( ρc ) (8) Eau+ Al O 3 φ 0.01 φ 0.0 φ 0.03 φ 0.04 φ 0.05 p p s k ρ µ 10-3 Cp α 10-7 υ 10-7 Pr W.m -1.K -1 kg.m -3 kg. m -1.s -1 J.kg -1.K -1 m.s Tableau 1: Propriétés thermophysiques du nanoluide (eau+ Al O 3 ) en onction de la concentration p 4. Résultats des simulations numériques et discussions Pour des raisons de commodité, l ensemble des simulations numériques conduites ont été obtenues en utilisant le code industriel Comsol multiphysiques. Pour valider ce code de calcul nous avons d abord vériié que l on retrouve paraitement avec ce code les résultats théoriques classiques de stabilité linéaire à savoir (Rac 1708 et le nombre d onde kc 3.1). Les écoulements de convection naturelle dans la coiguration de Rayleigh-Bénard dépendent des trois nombres adimensionnels suivants Ra, Pr et A. On montre que la transition conduction-convection ne dépend pas du nombre de Prandlt. Donc pour un rapport de cellule ixé, la naissance de la convection dépend uniquement du nombre de Rayleigh. De l examen du tableau 1, il ressort que l augmentation de la concentration volumique en nanoparticules augmente de açon plus importante la diusivité thermique que la viscosité cinématique. D autre part le coeicient d expansion thermique varie peu avec la concentrationϕ. On en déduit alors que lorsque l on augmente progressivement la diérence T T C - T F, on observe en premier le déclenchement de la convection naturelle dans la cellule avec le luide porteur seulement. Plus la concentration volumique en nanoparticules est importante et plus le T T C - T F nécessaire au déclenchement de la convection dans la cellule remplie de nanoluide est important. En d autre terme on trouve qu à T T C - T F ixée, le Rayleigh thermique du nanoluide est plus aible que celui du luide porteur. En partant d un T T C - T F ixée conduisant à la convection dans de l eau pure et en dispersant progressivement des

5 nanoparticules dans cette eau, on remarque que l intensité de la convection diminue progressivement pour atteindre le régime de conduction pure à partir d une concentration donnée en nanoparticule. Ce résultat est présenté au niveau de la igure pour un T pris autour de la température moyenne de 0 C et pour diérentes valeurs de la concentration volumique ϕ en Al O 3 dans de l eau. Dans toutes nos simulations, nous avons gardé un rapport de cellule A10 ainsi nos résultats au voisinage de la transition sont peu diérents du cas classique de la convection dans une cellule d extension horizontale iinie. Nous présentons au niveau du tableau le rapport du lux thermique véhiculé par le nanoluide, pour diérentes concentrations volumiques ϕ en Al O 3, sur celui transéré par l eau au niveau d une des parois horizontales de la cellule, pour diérentes valeurs de T en convection laminaire. 1% % 3% 4% 5% Φ k Nu T8 Φ k Nu T T T Tableau Rapport du lux évacué par le nanoluide, pour diérentes concentrations en Al O 3 sur celui transéré par l eau puer pour diérentes valeurs de T 5. Conclusion Il ressort de l expérimentation numérique que le lux convecti laminaire évacué par un nanoluide dans la coiguration de Rayleigh-Bénard augmente avec la concentration volumique en nanoparticules. Cette augmentation reste limitée puisque pour une concentration volumique de 5% d Al O 3 dans de l eau le gain est seulement de 1.6% loin des 75 % mentionnées dans certaines applications (convection orcée, échangeurs). Nous nous sommes restreint dans cette étude à un seul type de nanoluide pour lequel on dispose du maximum de résultats expérimentaux provenant de diérents auteurs. Il est donc important de poursuivre ce travail avec d autres nanoluides puisqu en remplaçant de l eau par du glycol ou du glycol éthylène et en utilisant des nanoparticules de CuO ou des nanotubes de carbone le rapport de conductivité k / k pourrait dépasser 1,7 pour des concentrations volumiques de l ordre de % seulement. Aussi des expériences de laboratoire sont encore nécessaires pour coirmer l utilité de recourir aux nanoluides pour accroître le transert de chaleur en convection naturelle. Réérences [1] S. U.S. Choi, Enhancing Thermal Conductivity o Fluids with nanoparticles, Develop. Appl. non Newtonian Flows, (1995), [] S. K. Das, Heat Transer in nanoluids a Review, Heat Transer Engineering, 7-10 (006), [3] S. Kabelac, J. F. Kuhnke, Heat Transer Mechanisms in Nanoluids Experiment and Theory, International Heat Transer Coerence IHTC-13, Sydney, Australia, August, 006, KN-11. [4] R. B. Mansour, N. Galanis, C. T. Nguyen, Eect o uncertainties in physical properties on orced convection heat transer with nanoluids, Applied thermal Engineering, 7 (007), [5] J. Kim, Y. T. Kang, C. K. Choi, Analysis o convective instability and heat transer characteristics o nanoluids, Physics o luids, 16, 7, (004), [6] K. Khanaer, K. Vaai, M. Lightstone, Bouyancy-driven Heat Transer Enhancement in a twodimensional enclosure utilizing nanoluids, International Journal o Heat and Mass Transer, 46

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