1 Limites d'une fonction

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1 Lycée Roland Garros Mathématiques BCPST 1ère année Chapitre n o 18. Limites et continuité 1 Limites d'une fonction Dans tout le chapitre f : D f désigne une fonction quelconque. On fera un usage fréquent de la notation : 1.1 Limite en x 0 R R = R {, + }. Pour pouvoir parler de limite quand x x 0, il faut d'abord s'assurer que x puisse tendre vers x 0. C'est l'objet de notre première dénition. Dénition 1. On dit que f est dénie au voisinage de x 0 dans les deux cas suivants : si x 0 D f et D f contient, pour un certain α > 0, un intervalle [x 0 α, x 0 + α] ou [x 0 α, x 0 ] ou [x 0, x 0 + α]. si x 0 / D f et D f contient, pour un certain α > 0, un ensemble [x 0 α, x 0 [ ]x 0, x 0 + α] ou [x 0 α, x 0 [ ou ]x 0, x 0 + α]. En clair, un voisinage de x 0 contient des valeurs très proches de x 0. On parlera de voisinage à droite (resp. à gauche) s'il ne contient que des valeurs supérieures à x 0 (resp. inférieures à x 0 ). Lorsqu'un énoncé évoquera une limite en x 0, il supposera que la fonction est dénie au voisinage de x 0 même si ce n'est pas explicitement signalé. Exemple. Les fonctions f : x 1/x et g : x ln x sont dénies au voisinage de 0, même si elles ne sont pas dénies en 0. La fonction h : x x 2 n'est dénie qu'en 0 donc elle n'est pas dénie au voisinage de 0. Dénition 2 (LIMITE FINIE EN UN RÉEL FINI). Soit f dénie au voisinage de x 0 R. On dit que f possède une limite nie l R en x 0 (et on note f(x) l) si : ε > 0, η > 0 : x D f, x x 0 η f(x) l ε. 1

2 Remarque. Il faudra toujours garder à l'esprit qu'un encadrement du type x x 0 η équivaut à x [x 0 η, x 0 + η], ce qui moralement signie :x est proche de x 0. Interprétation de cette dénition : la phrase encadrée dit que la distance entre f(x) et l peut être rendue aussi faible que l'on veut, du moment qu'on choisit x susamment proche de x 0. Proposition 1. Si f possède une limite nie en x 0 alors celle-ci est unique. De plus dans le cas où f est dénie en x 0 cette limite est nécessairement égale à f(x 0 ). On pourra donc désormais écrire dans ce cas : lim x f(x) = l, ou simplement lim f = l. Démonstration. Par l'absurde. Pour simplier, on prend l < l et on suppose que f(x) l et f(x) l. On choisit ε < (l l)/2. Il existe par dénition η, η > 0 tels que { x x 0 η f(x) l ε, x x 0 η f(x) l ε. Alors si x est tel que x x 0 min(η, η ) on a l l l f(x) + f(x) l 2ε, ce qui contredit l'hypothèse faite sur ε. Si f est dénie en x 0, l'encadrement x x 0 η étant toujours vérié pour x = x 0, on a donc ε > 0, f(x 0 ) l ε, et par conséquent f(x 0 ) l = 0. Proposition 2. On a l'équivalence lim x f(x) = l lim x f(x) l = 0. Démonstration. C'est une conséquence directe de la dénition de limite. Vériezle! Dénition 3 (LIMITE INFINIE EN UN RÉEL FINI). On dit que f a pour limite + en x 0 (et on note f(x) + ) si : A 0, η > 0 : x D f, x x 0 η f(x) A. La dénition est analogue pour une limite qui vaut. Interprétation de cette dénition : la phrase encadrée dit que la valeur de f(x) peut être rendue aussi grande que l'on veut, du moment qu'on choisit x susamment proche de x 0. Exemple. Montrer que (a) lim x 0 x = 0 (b) limx 0 ln(x) =. 2

3 1.2 Limite en x + 0 et x 0 Dénition 4 (LIMITE FINIE OU INFINIE Á GAUCHE ET Á DROITE). Soit f dénie au voisinage de x 0 R et l R. On dit que f possède l comme limite à droite en x 0 (et on note lim x x + f(x) = l) si : 0 la restriction de f à D f ]x 0, + [ a pour limite l en x 0. La dénition d'une limite à gauche est analogue. Théorème 1. On a l'équivalence : lim f = l lim x 0 f = lim x + 0 f = l. En particulier dans le cas où x 0 D f on a lim f = l si et seulement si lim x 0 f et lim x + 0 f existent et sont égales à f(x 0). Ce critère constitue parfois un moyen concret de montrer qu'une fonction ne possède pas de limite en un point. Exemple. Étudier l'existence d'une limite à gauche, à droite et d'une limite tout court quand x 0 pour les fonctions : f : x x, et g : x x x. Dénition 5. Lorsque lim x f(x) = l et que f(x) > l au voisinage de x 0 on écrit parfois : lim f = l +. La notation analogue l existe aussi bien entendu. 1.3 Limite en + et Dénition 6 (LIMITE FINIE OU INFINIE EN L'INFINI). 1) On dit que lim f(x) = l R si x + 2) On dit que lim f(x) = + si x + ε > 0, K > 0 : x K, f(x) l ε. A > 0, K > 0 : x K, f(x) A. Les dénitions avec sont bien sûr analogues. Exemple. Montrer que lim x = + et lim x + x ex = 0. 3

4 1.4 Limites usuelles Vous êtes fortement invités à démontrer les limites suivantes : ceci constitue un bon exercice. Vous devez par ailleurs les connaître sur le bout des doigts. Fonction Limites x lim = +, lim + = + a n x n + + a 1 x + a 0 lim = (a n > 0) { +, n pair,, n impair,, lim + = + e x lim = 0, lim + = + ln(x) lim 0+ =, lim + = + cos(x), sin(x) pas de limite en + et. tan(x) lim ( π/2) + =, lim (π/2) = Opérations sur les limites Théorème 2 (Opérations sur les limites nies). Supposons que lim f(x) = l et lim g(x) = l (avec x 0 R). Alors x x (1) lim x f(x) + g(x) = l + l (2) pour λ R, lim x λf(x) = λl (3) lim x f(x)g(x) = l.l (4) si l f(x) 0, lim = l x g(x) l Démonstration. 4

5 (1) Soit ε > 0. Il existe η, η > 0 tels que pour x D f D g, x x 0 η f(x) l ε/2, x x 0 η g(x) l ε/2 Ainsi pour x tel que x x 0 min(η, η ), on peut utiliser l'inégalité triangulaire : f(x) + g(x) (l + l ) f(x) l + g(x) l ε 2 + ε 2 ε (2) Soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que pour x D f, x x 0 η f(x) l ε/λ. Cette dernière égalité entraîne que λf(x) λl ε. (3) On remarque que f(x)g(x) ll = f(x)(g(x) l ) (f(x) l)l. Le premier terme du membre de droite tend vers 0 par le théorème des gendarmes car g n l 0 et f est bornée. Le second terme tend vers 0 car f(x) l 0. 1 (4) Il sut de montrer que 1 (la multiplication par f(x) découle alors g(x) l de la propriété 3).On choisit η > 0 tel que x x 0 η g(x) l /2. La fonction 1 est donc bornée sur [x g 0 η, x 0 + η]. On remarque alors que 1 1 = l g(x) qui tend vers 0 puisque l 1 g(x) 0 et est bornée. g(x) l l g(x) l g(x) Remarque. Ce dernier résultat reste évidemment vrai pour les limites à gauche et les limites à droite. Théorème 3 (Opérations sur les limites innies). Avec les mêmes notations que pour le théorème 2, si l = + et l, alors lim f + g = + si l = ± et l 0, alors lim fg = ± (avec la règle des signes) si l = ± alors lim 1/f = 0 si l = 0 + (resp. 0 ) alors lim 1/f = + (resp. ) Théorème 4 (Composition des limites). 1. de 2 fonctions : si lim x a f(x) = b et lim y b g(y) = L avec a, b, L R alors g f admet une limite quand x a et lim x a g f(x) = L. 5

6 2. d'une fonction et d'une suite : si lim n + u n = a et lim x a f(x) = L avec a, L R alors (f(u n )) converge et lim n + f(u n ) = L. Exemple. Calculer lim ln x + ( exp 1.6 Les formes indéterminées ( ) ) 1 1, lim exp(sin(1/n)). ln x n Les opérations dont le résultat n'est pas prévu par le théorème 3 sont appelées formes indéterminées : 1 - / 2-0/ Ces quatre formes sont en fait quatre façons d'écrire le même problème. En eet si u et v tendent vers + en x 0 R on a u v = 1/v 1/u = 1 v u où on reconnaît les trois premières formes indéterminées. Pour la quatrième on peut remarquer que ( u v = u 1 v ). u Si une expression contient une forme indéterminée, disons, tout peut arriver a priori. Prenez en eet les exemples x 3 lim x + x = +, 2 lim x 2 x + x = 0, 3 lim x 2 x + x = 1. 2 On comprend qu'il faut comparer les forces de u et v pour savoir qui gagne le match en +. C'est notamment dans ce but que nous allons apprendre plus bas à rechercher des équivalents simples de u et v. 1.7 Lien entre limites et inégalités Tous les résultats que l'on présente ici, comme une bonne partie de ceux du présent chapitre, ont déjà été vus dans le contexte des suites. Il s'agit donc de reformulations en version fonction de ces précédents théorèmes portant sur les suites. Proposition 3. Si lim f = l 0 (avec x 0 R) alors f est du signe de l sur un voisinage de x 0. Démonstration. Supposons l > 0. Il sut de choisir ε = l/2 dans la dénition de limite. 6

7 Théorème 5 (Passage à la limite dans une inégalité). Si lim f = l, lim g = l et f(x) g(x) au voisinage de x 0 alors l l. Démonstration. On a lim (g f) = l l. Si l'on suppose l l < alors g f < 0 sur un voisinage de x 0 (contradiction) d'après la proposition précédente. ATTENTION : ce résultat dit qu'une inégalité large est préservée quand on passe à la limite. Ce n'est généralement pas le cas pour les inégalités strictes. Par exemple 1/x > 0 pour x > 0 mais cette inégalité n'est plus vériée à la limite quand x +. Théorème 6 (Théorème des gendarmes). 1. Si lim f = lim h = l et f(x) g(x) h(x) au voisinage de x 0 (x 0 R) alors g admet une limite nie en x 0 qui est lim g = l. 2. Si lim f = + et f(x) g(x) au voisinage de x 0 (x 0 R) alors lim g = +. Démonstration. On suppose x 0 R pour simplier (la preuve est analogue si x 0 est inni). Soit ε > 0. Par hypothèse il existe η, η > 0 tels que : x x 0 η f(x) l ε, x x 0 η h(x) l + ε. Ainsi si x x 0 min(η, η ) on a l ε f(x) g(x) h(x) l + ε et donc g(x) l ε. La démonstration du point 2. est du même acabit. Exemple. f(x) = x 1/x. Déterminer lim x 0 + f(x). Théorème 7. Si f est croissante sur un intervalle [a, b[, avec a R, b R, alors L = lim x b f(x) existe. De plus, (a) si f est majorée sur ]a, b[, alors L est nie ; (b) si f n'est pas majorée sur ]a, b[, alors L = +. On a bien sûr un résultat analogue si f est décroissante, ainsi qu'avec x a +. Remarque. Il faut bien comprendre que ce théorème, dans le cas où L est nie, ne permet pas de calculer L mais seulement de justier son existence. 2 Comparaison de fonctions 2.1 Croissances comparées des fonctions logarithme, puissance et exponentielle On lève ici l'indétermination sur des formes indéterminée ultra-courantes. Théorème 8. Soient a, b > 0. 7

8 1. lim x 0 + x ln x = 0 Plus généralement, lim x 0 + x a (ln x) b = 0 lim x + ln x x = 0 Plus généralement, lim x + (ln x) b x a = 0 2. lim x + e x x = + Plus généralement, lim x + e ax x b = + lim x xe x = 0 Plus généralement, lim x x a e bx = 0 Démonstration. en TD Le résultat est simple à retenir : dans chaque quotient, c'est la fonction la plus forte qui impose sa limite, et ceci même si les fonctions sont entachées d'exposants a, b > 0 quelconques. Notez que le théorème ne traite que le cas des quotients, mais les formes indéterminées de la forme + en découlent. Par exemple ( lim x ln x = lim x 1 ln x ) = + x + x + x 2.2 Relation d'équivalence Dans cette partie on suppose que f et g sont deux fonctions qui ne s'annulent pas au voisinage de x 0 R. Nous avons déjà étudié la notion d'équivalence pour les suites. La notion d'équivalence pour les fonctions est exactement analogue, par conséquent les résultats que l'on donne ici auront déjà été vus pour les suites et sont donnés ici sous leur version fonction. Dénition 7. On dit que f est équivalente à g quand x x 0 f(x) g(x) ou f g) si x f(x) lim g(x) = 1. (on note Il faut donc retenir que f et g sont à peu près égales pour x proche de x 0 au sens où leur rapport est proche de 1. ATTENTION : Ecrire f(x) par 0 n'est pas dénie. x 0 n'a aucun sens puisque la division Exemple. Soit un polynôme P (x) = n k=m a kx k avec a m 0 et a n 0. Montrer que P (x) a m x m, et P (x) a x 0 nx n. x + 8

9 Proposition 4. On a, pour toutes fonctions, 1. f f 2. f g et g h f h 3. f g g f Démonstration. f(x) f(x) = 1 1 f(x) = f(x) = g(x) 1 1 = 1 h(x) g(x) h(x) f(x) g(x) g(x) f(x) 1 1 = g(x) f(x) 1 Proposition 5. soit l R. On a f l si et seulement si lim f = l. Interprétation : dans le cas d'une limite nie non nulle, la notion d'équivalent ne rajoute rien par rapport à celle de limite. C'est donc un cas inintéressant, c'est au contraire lorsque l est nulle ou innie que la notion d'équivalence possède un intérêt. Proposition 6. On suppose que f g. Si lim g = l avec l R alors on a aussi lim f = l. ATTENTION : il faut surtout retenir que la réciproque est fausse : l'implication lim f = lim g f g est fausse, excepté dans le cas (inintéressant) où l est nie et non nulle. L'intérêt majeur de la notion d'équivalence réside dans le résultat suivant, qui dit en clair qu'on PEUT multiplier des équivalents : Proposition 7. Pour toutes fonctions ne s'annulant pas au voisinage de x 0, 1. si f 1 g 1 et f 2 g 2 alors f 1 f 2 g 1 g si f 1 g 1 et f 2 g 2 alors f 1 /f 2 g 1 /g si f g alors pour α R, f α g α. En particulier f g. Démonstration f 1 (x)/f 2 (x) = f 1(x) g 2(x) g 1 (x)/g 2 (x) g 1 (x) f(x) α g(x) α = f 1 (x)f 2 (x) = f 1(x) f 2(x) g 1 (x)g 2 (x) g 1 (x) g = 1 (x) f = 1 (x) x x ( ) 0 α f(x) g(x) 1 α = 1 Remarque. Dans les exercices on lit souvent la question : déterminer un équivalent simple de lorsque x Il faut savoir qu'on entend en général par équivalent simple une fonction x a, ou (ln x) b ou e cx ou encore un produit de ces fonctions. 9

10 2.3 Déterminer un équivalent, outil 1 Dans une somme de termes f(x) = u(x) + v(x) où v(x) est négligeable par rapport à u(x) (ce qui signie que v(x)/u(x) 0), on a f(x) u(x). C'est x une conséquence immédiate des dénitions : f u = 1 + v u 1. On sait par exemple que quand x +, x a est négligeable devant x b si a < b, ln(x) est négligeable devant x (croissance comparée), x est négligeable devant e x (croissance comparée). Exemple. On pourra donc écrire sans justication supplémentaire que 3x 2 + ln x + x x + 3x2 2.4 Déterminer un équivalent, outil 2 On rappelle que la dérivée f (a) d'une fonction f en a est dénie par f (a) =. En particulier lim x a f(x) f(a) x a f f(x) f(0) (0) = lim. x 0 x Cette dénition a pour conséquence immédiate le résultat suivant : Proposition 8. Soit f une fonction dérivable en 0 telle que f (0) 0. On a f(x) f(0) x 0 f (0)x Plus généralement si lim x u(x) = 0 (avec x 0 R) alors : f(u(x)) f(0) f (0)u(x) x Ce principe, appliqué aux fonctions usuelles, donne les équivalents classiques suivants. Ceux-ci sont si classiques que vous devez pouvoir les retrouver en moins de 5 secondes. ln(1 + x) x 0 x sin x x 0 x tan x x 0 x e x 1 x 0 x (1 + x) α 1 x 0 αx 10

11 La deuxième assertion de la proposition nous autorise donc à écrire, par exemple : ( ) 1 ln(1 + 3x 2 ) 3x 2 1, sin x 0 x 2 x + x, Exemple. Calculer grâce à la notion d'équivalents 3 Continuité 3.1 Dénitions ((1 + x) 4 1) sin x lim x 0 (e 2x 1) ln(1 + x). Dénition 8. Soit f dénie au voisinage de x 0 R. f est dite continue en x 0 si lim x f(x) = f(x 0 ). f est dite continue à droite (resp. à gauche) en x 0 si lim x x + f(x) = 0 f(x 0 ) (resp. lim x x f(x) = f(x 0).) 0 Dénition 9. Soit f dénie sur I R. On dit que f est continue sur I si elle est continue en x 0 pour tout x 0 I. Notation : l'ensemble des fonctions continues sur I est noté C(I) ou C 0 (I). Théorème 9. Toutes les fonctions usuelles (sin, cos, exp, ln,... ) hormis x x sont continues sur leur ensemble de dénition. 3.2 Opérations sur les fonctions continues Théorème 10 (La somme, le produit et le quotient préservent la continuité). Si f et g sont continues en x 0, alors f + g, fg, λf le sont aussi (λ R). Si de plus g(x 0 ) 0 alors f/g l'est aussi. Par conséquent si f, g C(I) alors f + g, f g, λf C(I). Si de plus g ne s'annule pas sur I, alors f/g C(I). Théorème 11 (La composition préserve la continuité). Si f est continue en x 0 et g continue en f(x 0 ) alors g f est continue en x 0. Par conséquent si f est continue sur I, g continue sur J et f(i) J alors g f est continue sur I. Remarque. On a de même, en remplaçant la fonction f par une suite : si lim n u n = l et g continue en l alors lim n g(u n ) = g(l). 11

12 3.3 Prolongement par continuité Motivation : on souhaite reboucher un trou d'une fonction. Par exemple la fonction f(x) = sin x/x est dénie sur R mais pas en x = 0. Puisque lim x 0 f(x) = 1, on aimerait pouvoir dire que f(0) = 1. Dénition 10. Soit f non dénie en x 0 telle que lim f = l R. On pose f : D f {x 0 } R { x f(x), si x x 0, l, si x = x 0. f s'appelle le prolongement par continuité (PPC) de f en x 0. Par construction f est continue en x 0. Remarque. Souvent, bien que ce soit en théorie abusif, on continuera à noter f pour désigner le prolongement f. Dénition 11. On parle de prolongement par continuité à droite (resp. à gauche) lorsqu'on pose f(x 0 ) = lim x x + f(x) (resp. f(x 0) = lim 0 x x f(x)). 0 Exemple. Montrer que la fonction x exp(1/x) est prolongeable par continuité à gauche en x 0 = 0 mais pas à droite. 3.4 Propriétés des fonctions continues sur un segment Nous donnons ici deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues sur un segment. On rappelle que le mot segment désigne un intervalle fermé borné c'est à dire de la forme [a; b] avec a b. Les preuves de ces théorèmes seront faites en TD. Théorème 12 (Théorème des bornes). Si f est continue sur un segment [a, b] alors f est bornée et atteint ses bornes sur [a, b]. Autrement dit f admet un maximum et un minimum, c'est-à-dire qu'il existe x 1, x 2 [a, b] tels que x [a, b], f(x 1 ) f(x) f(x 2 ). Théorème 13 (TVI Théorème des valeurs intermédiaires). Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] et k une valeur entre f(a) et f(b). Alors c [a, b] : f(c) = k. Autrement dit si on passe continument de f(a) à f(b) on doit passer (au moins une fois) par toutes les valeurs intermédiaires. Corollaire 1. Si f est continue sur R avec lim f = l < k et lim + f = l > k alors c R : f(c) = k. 12

13 4 Théorème de la bijection monotone 4.1 Enoncé du théorème Il s'agit d'une amélioration du TVI dans le cas où la fonction f est strictement monotone. Théorème 14 (Corollaire du TVI). Soit f continue et strictement croissante sur [a, b]. Alors si k [f(a), f(b)],!c [a, b] : f(c) = k. Démonstration. Le TVI nous donne l'existence de c, et il ne peut y avoir plus d'une solution car si on suppose que f(c) = f(c ) = k, avec c < c, ça contredit le fait que f soit strictement croissante. Autrement dit k a un unique antécédent par la fonction f dans l'intervalle [a, b], ou encore l'équation f(x) = k a une unique solution sur l'intervalle [a, b]. Remarquez que le théorème ne permet en rien de calculer cette solution. Si l'on veut en avoir une valeur approchée on pourra par exemple utiliser la méthode de dichotomie ou la méthode de Newton. Remarque. On a bien sûr un résultat analogue pour les fonctions strictement décroissantes. Théorème 15 (Théorème de la bijection monotone). Si f est continue et strictement monotone sur [a; b] alors f réalise une bijection de [a; b] sur f([a; b]), avec { [f(a); f(b)], f([a; b]) = [f(b); f(a)], sif strictement croissante, sif strictement décroissante De plus la fonction f 1 est aussi continue et de même monotonie que f. Démonstration. Prenons f strictement croissante pour faire simple. Le fait que f soit bijective est une simple reformulation du corollaire du TVI. Continuité de f 1. Soit ε > 0 et y 0 [f(a); f(b)]. Notons x 0 = f 1 (y 0 ). Si y y 0 η avec η = min( y 0 f(x 0 + ε, y 0 f(x 0 ε, ) alors on a f 1 (y) f 1 (y 0 ) ε. Monotonie de f 1. L'équivalence f(x) < f(y) x < y donne, en choisissant x = f 1 (u) et y = f 1 (v), l'équivalence u < v f 1 (u) < f 1 (v). Proposition 9. Le théorème reste vrai en remplaçant [a; b] par un intervalle I ouvert ou semi-ouvert, dans ce cas chaque borne de l'intervalle f(i) est de même type que la borne correspondante de I. 13

14 Rappel : les courbes C f et C f 1 sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite : y = x. Exemple. Soit I =]π/2, 3π/2[ et f(x) = tan x + x, x I. Cette fonction est continue comme somme de fonctions continues. Elle est de plus dérivable et f (x) = tan 2 x + 2 donc f > 0 ce qui assure que f est strictement croissante sur l'intervalle I. On peut donc dire que f est une bijection de I sur f(i). Puisque lim (π/2) + f = et lim (3π/2) f = +, on a f(i) = R. La bijection réciproque f 1 de f est donc une fonction continue et strictement croissante dénie sur R et à valeurs dans I =]π/2, 3π/2[. 4.2 Exemple des fonctions x n x Soit n N et f(x) = x n, x R. La fonction f est clairement continue et elle est strictement croissante sur R si n est impair, strictement croissante sur R + si n est pair. Par le théorème de la bijection monotone, pour n impair : f réalise une bijection de R vers R. Sa réciproque notée x n x est continue sur R et strictement croissante. pour n pair : f réalise une bijection de R + vers R +. Sa réciproque notée x n x est continue sur R + et strictement croissante. Exemple. Dessiner l'allure des graphes de x n x pour n pair et pour n impair. 4.3 Exemple de la fonction arctan Soit f la restriction de la fonction tan à I =] π/2, π/2[. On remarque que : f est continue. f (x) = 1 + tan 2 x 1 > 0 pour x I donc f est strictement croissante sur I. lim ( π/2) + f = et lim (π/2) f = + donc f(i) = R Par le théorème de la bijection monotone, tan réalise donc une bijection de ] π/2, π/2[ vers R. Sa réciproque, notée arctan, est continue, strictement croissante sur R, à valeurs dans ] π/2, π/2[. On a en particulier lim arctan x = π x 2, lim arctan x = π x + 2. Exemple. Montrer que arctan est une fonction impaire. Tracer l'allure de son graphe. Que valent arctan 0, arctan( 1) et arctan 1? 14

15 A retenir : arctan(x) = α tan(α) = x et α ] π/2, π/2[ 15

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