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1 DS n 2 Correction Exercice 1 Une urne contient boules numérotées de 1 à indiscernables au toucher. On tire cinq boules dans cette urne, successivement, en remettant chaque boule tirée dans l'urne avant de prendre les suivantes. 1) Quel est le nombre de tirages possibles? A chacun des 5 tirages, on associe un nombre entre 1 et. Un ensemble de 5 tirages correspond donc à une application de l ensemble 1,5dans l ensemble {1,2,}. Il y a 24 tirages possibles. On note l évènement : «les nombres 1, 2 ou sortent au moins une fois lors de ces 10 tirages». On veut calculer la probabilité ). ppelle l évènement : «la boule n 1 ne sort pas lors des 10 tirages». On notera et les évènements équivalents pour les boules n 2 et n. 2) Déterminer la probabilité de. Que peut-on dire des probabilités de et de? La réalisation de l évènement signifie que la boule n 1 n est jamais sortie. Autrement dit que les 5 tirages n ont amené que les boules n 2 et n. Cela signifie qu à chacun des 5 tirages on a associé soit 2 soit. Un tel ensemble de 5 tirages correspond donc à une application de l ensemble 1,5dans l ensemble {2,}. Il y a 2 2 tirages possibles. donc par équiprobabilité : ) 2 24 un résultat identique pour les évènements et. ) Décrire l évènement, puis déterminer sa probabilité. L évènement signifie que ni la boule n 1, ni la boule n 2 n est sortie durant les 5 tirages. Seule la boule n est sortie. Il n y a qu une suite de 5 tirages successifs correspondant à cet évènement :. donc ) ) Décrire l évènement et déterminer sa probabilité. L évènement signifie qu aucune des trois boules n est sortie, ce qui est impossible. donc et donc )0 5) En transposant la formule du crible de Poincaré vue pour les cardinaux aux probabilités, calculer la probabilité ). La formule du crible de Poincaré donne : ) ) ) ) ) ) ) ) vu que ) ) )

2 pour les mêmes raisons donc 6) En déduire ). ) ) ) ) L évènement signifie que l une au moins des trois boules n est pas sortie lors des 5 tirages. Il s agit donc de l évènement contraire de. donc ) 1 ) Exercice 2 On dispose de 5 boules blanches, 6 boules rouges et 7 boules noires. On suppose que les boules d une même couleur sont discernables par une numérotation par exemple). Soit n un entier supérieur ou égal à 4. On répartit la totalité des boules dans n urnes numérotées de 1 à n, certaines pouvant éventuellement rester vides. 1) Quel est le nombre de répartitions possibles Répartir les boules dans les différentes urnes revient à associer à chaque boule l urne dans laquelle on va la placer. Une répartition correspond donc à une application d un ensemble à 18 éléments dans l ensemble 1,. Il y a répartitions possibles. 2) Quel est le nombre de répartitions telles que l urne n 1 contient boules blanches uniquement. On doit choisir boules blanches pour l urne 1. Il y a 5 façons de faire ce choix. Il faut ensuite placer les 15 boules restantes dans les n1 urnes restantes. vu qu il y a n1) façons de réaliser ce placement. Il y a donc 5 n1) 10n1) répartitions telles que l urne 1 contiennent exactement trois boules blanches. ) Quel est le nombre de répartitions telles que l urne n 1 contient 2 boules blanches et 1 noire, et l urne 2 contient trois rouges. On choisit deux boules blanches parmi 5 et une boule noire parmi 7 pour l urne 1, puis boules rouges parmi 6 pour l urne 2 et l on répartit les 12 boules restantes dans les 2) urnes restantes. Il y a donc ) 14002) répartitions possibles. 4) Quel est le nombre de répartition telles que toutes les boules soient dans deux urnes exactement. Il faut tout d abord choisir les deux urnes qui contiendront les boules. Il y a 2 façons de faire ce choix. Puis on répartit les 18 boules dans les deux urnes. Il y a 2 façons de le faire.

3 Mais il y a deux répartitions comptées telles que toutes les boules soient dans l une des deux urnes. Il y a donc 2 2 répartitions telles que toutes les boules soient exactement dans les deux urnes choisies. Il y a donc 2 2 2) répartitions du type cherché. 5) Déterminer avec. En déduire pour 18 1) 1) 1) 1) D après la formule du binôme de Newton, on a 1) 1 1) 11) 1) 1) 0 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 6) Utiliser le résultat précédent pour trouver le nombre de répartitions telles que l urne 1 contiennent des boules blanches. L urne 1 contient de 1 à 5 boules blanches. L urne 1 contient boules blanches 16). On doit donc choisir ces boules parmi 5 : il y a 5 façons de le faire. On répartit les 18 boules restantes dans les 1 urnes restantes. Il y a 1) façons de le faire. L évènement «l urne 1 ne contient que des boules blanches» peut se décrire comme la réunion d ensembles disjoints : les répartitions où l urne 1 ne contient qu une seule boule blanche, celles où elle en contient 2 donc au total 5 1) répartitions possibles On reconnaît la formule de la question précédente avec 5. On en déduit que le nombre de répartitions possibles est égal à 1) 1) Exercice 1) Soient et deux entiers naturels vérifiant. a) Rappeler la formule de Pascal

4 La formule de Pascal s écrit : b) Démontrer par récurrence sur que pour tout pour, on a La relation est vérifiée pour., montrons que si 1 1 alors D après la relation de récurrence, on a : D après la formule de Pascal, on a Il y a hérédité et donc , ) Soit 0,. Montrer que :! )!)! )! )!)!! )!! )! )!)!!!)!)!

5 d autre part :!!)!!!)!!!)!)! ) En déduire la valeur de la somme Ce que l on peut écrire :, 1), 1) 1) d après la formule du binôme de Newton :, 1), 1) 2 Exercice 4 Soit la fonction définie sur ]0; [ par : On note C) sa courbe représentative. )12 ln) Partie A : étude de f 1) On pose pour tout réel strictement positif : ) 22ln) a) Etudier le sens de variation de on ne cherchera pas les limites de ). En déduire le signe de ) sur ]0; [. La fonction est dérivable sur ]0, [ comme somme de fonctions dérivables sur cet ensemble. : ) )1) Sur ]0, [, les quantités 21) et sont strictement positives. le signe de ) c est celui de 1). Cette quantité est négative pour 1 et positive pour 1. La fonction est donc décroissante sur ]0,1] et croissante sur [1, [. Elle admet un minimum en 1. 1)0 ) est strictement positif sur ]0, [. b) Calculer ) et montrer que )a le même signe que ).

6 La fonction est dérivable sur ]0, [ comme somme de fonctions définies et dérivables sur ]0, [. )1 2 ln) 2 22ln) ) Le dénominateur étant positif, le signe de ) est celui de ). c) Utiliser le résultat précédent pour déterminer le sens de variation de, et dresser le tableau de variation de. donc sur ]0, [, )0. La fonction est donc strictement croissante sur ]0, [. également lim)lim 2 ln) lim ) lim car lim ln) 0 par croissance comparée donc le tableau de variations suivant : 0 ) ) Partie B : approche de la solution de l'équation ). 1) Montrer que l équation ) admet une unique solution notée. Justifier que ]0,1[. Posons ) 12 ln) 12 ln) )12 ln) Cette fonction est dérivable sur ]0, [ comme somme de fonctions définies et dérivables sur ]0, [. 21 ln)) ) 2 2ln) Cette quantité est du signe de 1ln)) car 0. 1ln)01ln) en utilisant les remarques des questions précédentes : lim12 ln) également lim 12ln) 1 )12 ln) 1 2 0

7 Dressons le tableau de variations de. 0 ) Sur l intervalle [, [, la fonction est strictement positive et donc ne s annule pas. Sur l intervalle ]0,[, elle est dérivable et strictement croissante. Elle réalise une bijection de ]0,[ sur ],1 2 [. [ donc l équation )0 admet une solution et une seule sur ]0,]. 0],1 2 Cette solution est l unique solution sur ]0, [. Cette solution est donc également l unique solution de ) sur ]0, [. ppelle cette solution. 1)10 lim 12 ln) 0 La fonction change de signe sur l intervalle ]0,1[. ]0,1[. 2) Soient la fonction définie sur R par ) et ) la suite définie par : 1 0, ) a) Montrer que l'équation ) équivaut à l'équation ). Que vaut donc )? )12 ln) 0 2 ln) 1 ln) 2 ) donc ). ) b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel on a : donc 0 1, la relation est vérifiée pour 0. 0, montrons que si 0 1 alors 0 1. Si 0 1, on aura par croissance de la fonction exponentielle Il y a hérédité et donc ,0 1 c) Calculer ) et montrer que pour tout réel de l'intervalle [0;1], ) 1 2

8 La fonction est dérivable comme composée de fonctions dérivables. ) 1 2 On peut aisément calculer la dérivée seconde. : ) La fonction est donc croissante sur [0,1]. pour tout [0,1], 0) ) 1) ce qui donne : Or Et donc 1 2 ) ) 1 2 ) 1 2 d) En déduire à l'aide de l'inégalité des accroissements finis que pour tout entier : 1 2 on énoncera clairement le théorème utilisé et on justifiera que l'on est dans les conditions d'application). La fonction est dérivable sur [0,1]. De plus [0,1], ) 1 2 d après l inégalité des accroissements finis en valeur absolue, on a [0,1],[0,1], )) 1 2 On sait que [0,1] et que, [0,1], donc en posant et, on obtient :, )) 1 2 Soit en utilisant que ) et que ), on a, 1 2 ) Montrer alors que, pour tout entier naturel, 1) 1 2 On procède à une démonstration par récurrence. 1 1 puisque 1. aussi La propriété est initialisée. 1) ) 1 2 0, montrons que si 1) 1 2 alors 1)

9 Or Il y a hérédité )1 2 1) 1 2 1) 1 2, 1) 1 2 4) Déterminer la limite de la suite ) quand tend vers. La suite de terme général 1) 1 2 est une suite géométrique de raison 1. Elle est convergente et 2 sa limite est 0. d après le théorème sur limite et majoration en valeur absolue, on en déduit que la suite ) est convergente de limite. Exercice 5 On considère la suite réelle ) définie par la donnée des deux premiers termes, 2, 9 4 et, pour tout entier naturel non nul, par la relation : 1 2 )1 On considère la suite ) définie, pour tout entier naturel non nul, par 2 1) Exprimer en fonction de et de. 22) 1 2 )1 22) ) ) 122) ) En déduire l expression de en fonction de, puis celle de en fonction de. On reconnaît dans la suite ) une suite récurrente linéaire d ordre 2. Son équation caractéristique est On peut l écrire : Ou encore 1 est racine évidente. donc :

10 Ce qui donne 1)21)0 1 ou 1 2 On sait qu il existe deux nombres réels et tels que :, On détermine et à partir de et de donc le système On résout ce système par la méthode que l on veut. On trouve donc également ) Calculer 14 9 et 1 18, , ) ) ) ) 1) 14)

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