' L'idée de décomposer un volume en (( tranches )) et de ramener une NOTE HISTOKIQUE

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1 NOTE HISTOKIQUE (N.-B. - Les chiffres romains renvoient à la hibliographie placée à la fin de cette note.) Avec le développement du (( calcul vectoriel u au cours du xlxe siècle, il était courant d'avoir à intégrer des fonctions vectorielles, mais tant qu'il rie s'agissait que de fonctions à valeurs dans des espaces de dimension finie, cette opération ne posait aucun problème. C'est seulement avec la théorie spectrale de Hilbert que l'on rencontre des opérations qui mènent naturellement à une notion plus générale d'intégrale : cette théorie conduit en effet à associer à toute forme hermitienne y) sur un espace hilbertien H, une famille (E(h))>5,R de pro- jecteurs orthogonaux ayant la propriété que, pour tout couple (x, y) de vecteurs de H, la fonction A+ (E(A)x 1 y) soit à variation bornée et que l l'on y) = Ad((E(A)x y)) ; si l'on associe l'opérateur hermitien A tel y) = (Ax 1 y), il était tentant d'écrire la formule J précédente A = hde(a). Mais c'est seulement à partir de 1935 environ, après l'introduction par Bochner de l'intégration ((( forte 1)) d'une fonction à valeurs dans un espace de Banach, qu'on commença à se préoccuper de définir l'intégrale de fonctions vectorielles (ou l'intégrale par rapport à une mesure vectorielle) de façon à pouvoir écrire légitimement des formules telles que la précédente. Cette extension fut réalisée essentiellement par Gelfand (III), Dunford et Pettis (IV) et (V)); leurs résultats sont énoncés pour des espaces de Banach, mais s'étendent sans peine à des espaces localement convexes plus généraux. ' L'idée de décomposer un volume en (( tranches )) et de ramener une intégrale étendue à ce volume à une intégrale sur chaque tranche, suivie d'une intégration simple, a toujours été utilisée en Analyse depuis les débuts du Calcul infinitésimal (le (( Calcul des indivisibles n de Cavalieri

2 NOTE IIISTOnIQUE 101 n'étant qu'une première ébauche de ce principe, que l'on pourrait mênie faire remonter à Archimède (v. Note hist. du Livre IV, chap )). Mais dans les applications classiques, les cc tranches )) étaient toujours de nature très spéciale et très réguliére (le plus souvent des parties ouvertes de surfaces analytiques dépendant analytiquement d'un paramètre) ; il ne pouvait d'ailleurs guère en être autrement en l'absence d'une théorie générale de l'intégration. Le problème général de la désintégration d'une mesure fut posé et résolu par von Neumann en 1932, à propos de la théorie ergodique (1); presque en même temps (et indépendamment) Iiolmogoroff, en posant les fondements axiomatiques de la Théorie des Probabilités, était amené à définir de façon générale la notion de c( probabilité conditionnelle )) et à en prouver l'existence, problème essentiellement équivalent à celui de la désintégration d'une mesure (II).

3 BIBLIOGRAPHIE (1) J. von NEUMANN, Zur Operatorenmethode in der klassischen Mechanik, Ann. of Math., (2), t. XXXIII (2932), p (II) A. KOLMOGOROFP, Grundbegrijfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin (Springer), (III) 1. GELFAND, Abstrakte Funktionen und lineare Operatoren, Mat. Sborn., (N. S.). t. IV (1938). D (IV) N. 'DUNFORD, uni'fôrmity in linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., t. XLIV (1938), p (V) N. DUNFORD and B. PETTIS, Linear operations on summable fiinctions, Trans. Amer. Math. Soc., t. XLVII (1940), p

4 INDEX DES NOTATIONS Les chiffres de référence indiquent successivement le paragraphe et le numéro (ou, exceptionnellement, l'exercice). F', F", FI*, F, (F espace localement convexe séparé) : Introduction. JC(T), XR(T), Xc(T), JC(T, A), Xc(T, A) : Introduction. (f, zt), (d, f) : 1. /'fdp, [f(t)dp(t) (f fonction vectorielle, p mesure positive) : 1, 1. J J gf, fg (f fonction vectorielle, g fonction scalaire) : 1, 1. e'(t) : 1, 6. [/dm, î/(t)dm(t) (f fonction numérique, m mesure vectorielle) : 2, 1 et 2, 2. J J g. m (g fonction numérique, m mesure vectorielle) : 2, 1. T(m) : 2, 2. q(m), 1 m 1 (q semi-norme, m mesure vectorielle) : 2, 3. f.p (f fonction vectorielle, p mesure positive) : 2, 4. 9gi, L; : 2, 5. (f, g) (f, g fonctions vectorielles) : 2, 6. 1, J fdm (f fonction vectorielle, m mesure vectorielle) : 2, 7. 1 m /,jfdm (m mesure complexe) : 2, 8. %$'(T, m), ~F(T, m), LF(T, m) (m mesure complexe) : 2, 8. h. m (rn mesure complexe) : 2, 8. k (m mesure complexe) : 2, 8. Il m 11 (m mesure complexe) : 2, 9. ~(m), my, m@m' (m, m' mesures complexes) : 2, 10. %(F~, F2), r@,@ : App., 1. Eu, Fu, E:, FA, %(E, F) : App., 1. A$',(T, p), Mp, M$ : 1, exerc. 16.

5 INDEX TEHMINOLOGIQUE Les chiffres de référence indiquent successivement le paragraphe cl le niiniéro (ou, cxccpt,ionnellement, l'exercice). Application m-propre (171 rnesure complexe) : Base (mesure vectorielle de -- p) : 2, 4. Base (mesure de - m) : 2, 8. Bornée (mesure complexe) : 2, 9. Classe pseudo-image d'une classe de mesures : 3, 2. Complexe (mesure) : 2, 8. Conjuguée (mesure complexe) : 2, 8. Densité d'une mesure vectorielle par rapport à une mesure positive : 2. k. Densité par rapport. i une mesure complexe : 2, 8. Désintégration d'une mesure y rclativenient à une application p-propre : :3, 1. Désintégration d'unc mesure y relative à une pseudo-image de y : 3, 3. Désintégration d'une mesure par une relation d'équivalence mestirable : 3, 5. Equivalentcs (mesures complexes) : 2, 8. Essentiellement intégrable (fonclion) pour une mesure vectorielle : 2, 2. Fonction essentiellement intégrable pour une mesure vcct,oriellc : 2, 2. Fonction scalairement bien intégrable : 1, exerc. 19. Fonction scalairement essentiellement intégrable : l, 2. Image d'une mesure complexe : 2, 10. [maginaire (partie) d'une mesure complexe : 2, 8. Induite (mesure complexe) : 2, 10. Intkgrale d'une fonction numérique par rapport a une mesure vectorielle : 2, 2. Intégrale d'une fonction vectorielle par rapport à une mesure positive : 1, 1. Intégrale d'une fonction vectorielle par rapport à une mesure vectorielle : 2, 7. Majorable (mesure, mesure y-) : 2, 3. Mesurable (relation d'équivalence) : 3, 4. Mesurable (section) : 3, 4. Mesure complexe : 2, 8. Mesure complexe bornée : 2, 9. Mesure complexe conjuguée : 2, 8. Mesure complexe de base m : 2, 8. Mesure complexe induite : 2, 10. Mesure complexe produit : 2,10. Mesure pseudo-image : 3, 2. Mesure quotient d'une mesure par une relation d'équivalence : 3, 5. Mesure réelle : 2, 1. Mesure scalaire : 2, 1.

6 INDEX TERMINOLOGIQUE Mesure vectorielle : 2, 1. Mesure vectorielle de base p : 2, 4. Mesure vectorielle majorable : 2, 3. Mesure vectorielle q-majorable : 2, 3. Mesure vectorielle scalairement de base p : 2, 5. Mesures complexes équivalentes : 2, 8. Partie imaginaire, partie réelle d'une mesure complexe : 2, 8. Propre (application m-) : 2, 10. Propriété de relèvement : 2, 5. Propriéth (GDF) : 1, 4. Pseudo-image (classe, mesure) : 3, 2. Quotient par une relation d'équivalence (mesure) ::i, 5. Réelle (mesure) : 2, 1 Réelle (partie) d'une mesure complexe : 2, 8. Relation d'équivalence mesurable : 3, 4. Relation d'équivalence séparée : :i, 4. Relèvement (propriété de) : 2, 5. Scalaire (mesure) : 2, 1. Scalairement (fonction possédant - une propriété) : 1, 1. Scalairement bien intégrable : 1, exerc. 19. Scalairement de base p (mesure): 2, 5. Scalairement essentiellemenl int6grable (fonclion) : 1, 1 el 2, 10 Section mesurable : 3, 4. Séparée (relation d'équivalence) : 3, 4. Support d'une mesure vectorielle : 2, 1. Valeur absolue d'une mesure complexe : 2, 8 Vectorielle (mesuw) : 2, 1.

7 TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE VI. Intégration vectorielle... $ 1. Intégration des fonctions vectorielles Fonctions scalairement essentiellement intégrables Propriétés de l'intégrale d'une fonction scalairement essentiellementintégrable Intégrales d'opérateurs La propriété (GDF) Applications mesurables et applications scalairement mesurables Applications : 1. Extension d'une fonction continue à un espace de mesures Applications : II. Extension à un espace de mesures d'une fonction continue à valeurs dans un espace d'opérateurs... $ 2. Mesures vectorielles Définition d'une mesure vectorielle Intégration par rapport a une mesure vectorielle Mesures vectorielles majorables Mesures vectorielles de base p Le théorème de Dunford.Pettis Dual de l'espace L& (F espace de Banacli de type dénombrable). 7. Intéyration d'une fonction vectorielle par rapport à une mesure vectmielle Mesures complexes Mesures complexes bornées image d'une mesure complexe ; mesure complexe induite ; produit de mesures complexes... $ 3. Désintégration des mesures Désintégration d'une mesure p relativement a une application p-propre Mesures pseudo-images Désintégration d'une mesure p relative à une pseudo-image de p. 4. Relations d'équivalence mesurables Désintégration d'une mesure par une relation d'équivalence mesurable... Appendice : Compléments sur les espaces vectoriels topologiques... 1 Formes bilinéaires et applications linéaires Quelques types d'espaces ayant la propriété (GDF)... Exercices du $ 1... Exercices du Exercices du $ 3... Note historique... Index des notations... Index terminologique Définitions du chapitre VI... Dépliant