Droites et plans de l espace

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1 Mr HM - rof rincipal hapitre 16 roites et plans de l espace I Solides de l espace ' ' S ' ' ' ' ' ' ube arallélépipède rectangle yramide ' ' ' Tétraèdre risme droit ube arallélépipède yramide Tétraèdre risme Nombre de Faces Nombre de Faces achées Nombre de Sommets Nombre d arrêtes Nombre d arrêtes cachées Forme de la carré rectangle carré triangle triangle Volume : long d une arête, : les longs des différentes arêtes 3 : aire de la : la hauteur entre le sommet et le centre de la es valeurs sont pour les solides représentés ci-dessus 3 : aire de la : la hauteur entre le sommet et le centre de la : aire de la : la hauteur entre le sommet et le centre de la yosri_prof@yahoo.fr / Tel :

2 Mr HM - rof rincipal II Les axiomes de En géométrie dans l espace on admet les 4 axiomes suivants xiome 1 : ar trois points non alignés passe un plan et un seul xiome 2 : Si un plan contient deux points distincts alors il contient toute la droite passant par ces deux points xiome 3 : Si deux plans distincts ont un point commun alors ils sont sécants suivant une droite passant par ce point xiome 4 : Tous les résultats de la géométrie plane sont applicables III étermination d un plan Soit une droite et un point n appartenant pas à. Il existe un et un seul plan contenant la droite et le point. ( ) yosri_prof@yahoo.fr / Tel :

3 Mr HM - rof rincipal émonstration : Existence : Soit une droite et un point n appartenant pas à. Il existe deux points M et N distincts de donc les points, M et N sont non alignés or d après l axiome 1 : ar trois points non alignés passe un plan Unicité : supposons qu il existe un deuxième plan différent du plan qui passe par et donc passe par les trois points, M et N non alignés absurde on a par trois points non alignés passe un plan et un seul IV oints coplanaires roites coplanaires éfinition : On dit que des points de l espace sont coplanaires lorsqu ils sont contenus dans un même plan. On dit que des droites de l espace sont coplanaires lorsqu elles sont contenus dans un même plan. Exemples : Soit un tétraèdre, I un point de l arête distinct de et de, J un pont de l arête distinct de et de et K un point du plan () 1) Les droites (IJ) et () sont elles coplanaires? I Non Les droites (IJ) et () ne sont pas coplanaires car () est contenus dans les deux plans () et () et (IJ) n est contenu ni dans () ni dans () 2) Les points I,J, et sont ils coplanaires? donc,, sont coplanaires donc,, sont coplanaires ; or deux plans distincts donc I,J, et ne sont pas coplanaires K J yosri_prof@yahoo.fr / Tel :

4 Mr HM - rof rincipal V ositions relatives de droites et de plans 1 ositions relatives de deux droites dans l espace (') (') (') Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 1 : Les droites et ne sont pas coplanaires ( Figure 1 : Les droites et sont coplanaires ( et sont sécantes) ( Figure 1 : Les droites et sont coplanaires (// ) ( éfinition : On dit que deux droites coplanaires et sont sécantes lorsque leur intersection est un point Exemple : ans la figure ci-contre est un cube ' ' 1) éterminer les positions relatives des droites () et ( ). La face () est un carré donc () // ( ). 2) éterminer les positions relatives des droites () et ( ). Les droites () et ( ) sont contenues dans la face ( ) donc coplanaires et de plus se coupent au point ' ' 2 ositions relatives d une droite et d un plan Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 1 : La droite et le lan sont sécants au point ( Figure 2 : La droite est parallèle au lan ( Figure 3 : La droite est contenue dans le lan ( yosri_prof@yahoo.fr / Tel :

5 Mr HM - rof rincipal éfinition : On dit que deux droites coplanaires et sont sécantes lorsque leur intersection est un point Vocabulaire : Lorsqu une droite et plan sont sécants on dit que la droite perce le plan ou que le plan coupe la droite. Exemple : Soient un tétraèdre, I le milieu de [], J le milieu de [] et G le centre de gravité du triangle. 1) Montrer que les droites (IG) et (J) sont sécantes. I 2) En déduire que la droite (IG) perce le plan () en un point E que l on déterminera. G J E Réponse : 1) G est le centre de gravité du triangle donc donc parallèles donc, on tire que (IG) et (J) sont deux droites coplanaires du plan Or dans le triangle J on a : donc (IG) et (J) ne sont pas 2) La droite (J) est contenue dans le plan () et on a (IG) n est pas parallèle à (J) donc (IG) n est pas parallèle au plan () donc (IG) perce le plan () en un point E, or (IG) et (J) sont sécantes et (J) est contenue dans le plan () donc le point E est l intersection de (IG) et (J) 2 positions relatives de deux plans Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 1 : Les plans et sont sécants ( Figure 2 : Les plans et sont strictement parallèles ( Figure 3 : Les plans et sont confondus ( yosri_prof@yahoo.fr / Tel :

6 Mr HM - rof rincipal éfinition : On dit que deux plans sont sécants lorsque leur intersection est une droite Exemple : Soient un tétraèdre, I,J et K des points sur les arêtes [], [] et [] 1) éterminer l intersection des plans (I) et (J) 2) éterminer l intersection des plans (K) et (J) J Réponse : K 1), or donc I J 2) K et J donc K J I yosri_prof@yahoo.fr / Tel :