1 e S - programme 2011 mathématiques ch.5 cahier élève Page 1 sur 25 Ch.5 : Dérivation. 4) Si d 3. c) est 5. . Réponses b et c.

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1 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page sur 5 C5 : Dérivation Eercice n A page 74 : Revoir les équations de droites Vrai ou fau? Dans un repère (O ; I, J) du plan, on définit par leurs équations les droites : d : y + 3, d : 3 et d 3 : y m + p, où m et p sont deu réels fiés Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses ) La droite d a pour coefficient directeur 3 ) La droite d est parallèle à l'ae des abscisses 3) Si m, alors d 3 est parallèle à d ) Fau, c est ) Fau, d est parallèle à l ae des ordonnées 3) Vrai, d 3 et d ont alors le même coefficient directeur 4) Vrai, d 3 et d ont alors le même coefficient directeur 5) Vrai, car d est parallèle à l ae des ordonnées 6) Vrai, d 3 passe par le point de coordonnes (0 ; p) 4) Si d 3 est parallèle à d, alors m 5) La droite d n'a pas de coefficient directeur 6) L'ordonnée à l'origine de d 3 est p Eercice n B page 74 : Coefficients directeurs et lectures grapiques QCM Pour cacune des affirmations suivantes, préciser la seule réponse correcte ) Le coefficient directeur de la droite (AB) : a) est 5 b) est c) est 5 d) n'eiste pas 5 ) Le coefficient directeur de la droite (AC) : a) n'eiste pas b) est 0 c) est d) est 3) Le coefficient directeur de la droite (BC) : a) est 0 b) est 5 c) est 5 d) n'eiste pas 4) Si un point D est tel que y C y D C D 5, alors : a) (CD) // (AB) b) D (BC) c) B (CD) d) (CD) // (Oy) y B y A ) 3 B A 4 5 Réponse c ) (AC) est parallèle à l ae des abscisses, alors son coefficient directeur est nul Réponse b 3) (BC) est parallèle à l ae des ordonnées, alors son coefficient directeur n eiste pas Réponse d 4) (CD) et (AB) ont alors le même coefficient directeur 5 Réponse a Eercice n C page 74 : Coefficient directeur et calcul littéral QCM Pour cacune des affirmations suivantes, préciser la (ou les) bonne(s) réponse(s) ) Soit A( ; ) et M( ; ) avec a) Le coefficient directeur de la droite (AM) est : ) Soit A( ; ) et M( ; ) avec réel positif et différent de Le coefficient directeur de la droite (AM) est : 3) Soit A( ; ) et M le point d'abscisse + de la courbe représentative de la fonction inverse, avec différent de 0 et de Le coefficient directeur de la droite (AM) est : y M y A ) ( )( + ) + Réponses a, c et d M A ) y M y A M A + Réponses b et c + ( )( ) a) a) + + b) c) + d) b) c) + d) + b) + c) + d) H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

2 3) M y +, + et M y A M A Réponses b, c et d e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page sur 5 + ( + ) ( + ) Eercice n page 98 Calculer le coefficient directeur de la droite (AB) dans cacun des cas suivants : a) A( 3 ; ), B(; ) ; b) A( ; 4), B( ; 0) ; c) A( 3 ; 3), B(4 ; 3) a) y B y A B A ( 3) 4 b) y B y A B A c) 4 ( 3) 0 Eercice n page 98 Par lecture grapique, déterminer l'équation réduite de cacune des droites tracées dans le repère ci-contre D : y D : y D 3 : y 4 3 D 4 : y Activité n page 76 : Tau d'accroissement d'une fonction Soit f une fonction et a un réel de l'ensemble de définition de f Indication : se lit «tau»; c'est la di-neuvième On appelle tau d'accroissement de f en a la fonction définie lettre de l'alpabet grec f (a + ) f (a) par : Cette fonction est définie pour les réels non nuls et tels que a + est dans l'ensemble de définition de f ) On note A et M les points d'abscisses respectives a et a +, avec 0, appartenant à la courbe représentative de f Donner une interprétation géométrique du nombre () ) A(a ; f (a) et M(a + ; f (a + )), d où () y M y A M A est le coefficient directeur de la droite (AM) ) Justifier dans les cas suivants l'epression de () proposée : a) f est la fonction carré et a 0 ; () ; b) f est la fonction carré et a ; () 4 ) f (0 + ) f (0) a) () 0 f ( + ) f ( ) b) () ( + ) ( ) ) Calculer dans les cas suivants l'epression de (), en précisant les valeurs possibles de a) f est la fonction inverse et a ; b) f est la fonction racine carrée et a 0 3) a) est définie sur D ] ; [ ] ; 0[ ]0 ; +[ IR {, 0} ; () f ( + ) f () + ( + ) + ( + ) + ( + ) + H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

3 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 3 sur 5 b) est définie sur D ]0, +[ ; () f (0 + ) f (0) 0 Activité n page 76 : Approce de la «limite en zéro» Comme vu dans l'activité, la fonction associée à une fonction f en a n'est jamais définie pour 0 Cependant, elle est définie pour des valeurs non nulles de très proces de zéro Eemple : prenons le cas du a) de l'activité, plus est proce de zéro, plus () est proce de zéro (puisque () ) On dit que «la limite de () quand tend vers zéro est égale à zéro» et on note : lim 0 () 0 ) Donner intuitivement (on ne demande pas de justification) la limite de () quand tend vers zéro dans les cas b) et 3a) de l'activité ) Dans le cas b), () 4, d où lim () 4 0 Dans le cas 3a), (), d où lim () + 0 ) On considère la fonction de la question 3b) de l'activité Son 0,5 0, ensemble de définition est l'intervalle ]0 ; +[ () a) Reproduire et compléter, à l'aide de la calculatrice, le tableau ci-contre b) Quelle conjecture peut-on en déduire pour la limite de () quand tend vers zéro? ) a) Dans le cas 3a), () 0,5 0, () b) Il semble que lim () + 0 NOMBRE DÉRIVÉ DÉFINITIONS Soit f une fonction et a un réel appartenant à l'ensemble de définition de f f (a + ) f (a) Le tau d'accroissement de f en a est la fonction : : Cette fonction est définie pour les réels non nuls tels que a + soit dans l'ensemble de définition de f On dit que f est dérivable en a lorsque le tau d'accroissement de f en a admet comme limite un nombre réel quand tend vers zéro Ce nombre, noté f ' (a), est appelé nombre dérivé de f en a f (a + ) f (a) On a ainsi : f ' (a) lim 0 Eemples : (0 + ) La fonction carré est dérivable en zéro avec f ' (0) 0, car : lim 0 lim La fonction inverse est dérivable en avec f ' (), car : lim 0 + H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr lim La fonction racine carrée n'est pas dérivable en zéro, car lim lim 0 0 Remarque : Ces trois eemples sont traités dans l'activité, page 76 Eercice n 7 page 90 Vrai ou fau? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses Soit f : + ) Le tau d'accroissement de f en 0 est la fonction définie sur IR* par f ( + ) f () ) Le nombre dérivé de f en est 3) f ' (0) f () f (0) ) () ( + ) (0 + ) f ( + ) f () ) f ' () lim 0 L affirmation est vraie si cette limite est un nombre réel L affirmation est fausse + lim 0 +

4 3) () f ( + ) f () e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 4 sur 5 ( + ) + Donc f ' (0) L affirmation est fausse + + H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr + Eercice n 8 page 90 Vrai ou fau? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses Soit f : 3 + f (a + ) f (a) ) Pour tout réel a et tout réel 0, 3 ) Pour tout réel a, f ' (a) 3 3) f n'est pas dérivable en 3 ) () f (a + ) f (a) 3(a + ) + (3a + ) 3a a + ; et lim ( + ) 0 ) lim () lim 3 3, donc f ' (a) 3 L affirmation est vraie 0 0 3) D après la question ), f est dérivable pour tout réel a, donc en particulier pour a 3 L affirmation est fausse 3 3 L affirmation est vraie Eercice n 0 page 90 Dans cacun des cas suivants, calculer le tau d'accroissement de la fonction f en a et sa limite quand tend vers 0 ( 0) En déduire que f est dérivable en a et préciser f ' (a) ) f () 5 et a 6 ) f () + 5 et a 3) f () 3 et a réel quelconque ) () f (6 + ) f (6) (6 + ) 5 ( 6 5) lim () lim, donc f ' (6) 0 0 ) () f ( + ) f ( ) ( + ) + 5 ( ( ) + 5) lim () lim ( ), donc f ' ( ) 0 0 3) () f (a + ) f (a) (a + ) 3 (a 3) lim () lim, donc f ' (a) 0 0 Eercice n page 79 Montrer que f est dérivable en et préciser le nombre dérivé f ' () dans cacun des cas suivants : a) f : 3 5 ; b) f : f ( + ) f () a) Pour tout réel non nul, on a : 3 3, donc f est dérivable en et f ' () 3 b) Pour tout réel non nul, on a : f ( + ) f () + + lim ( + ), donc f est dérivable en et f ' () 0 Eercice n 9 page 90 Vrai ou fau? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses Soit f : ) f n'est pas définie en ) f n'est pas dérivable en 3) f est dérivable en + ) f () est définie si, et seulement si : + 0, soit : L affirmation est fausse ) () f ( + ) f ( ) 0 ; et lim 0 + L affirmation est vraie 3) f n est pas définie en, donc f n est pas dérivable est L affirmation est fausse Eercice n page 90 Dans cacun des cas suivants, calculer le tau d'accroissement de la fonction f en a et sa limite quand tend vers 0 ( 0) En déduire que f est dérivable en a et préciser f ' (a) ) f () 5 et a ) f () + et a

5 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 5 sur 5 3) f () + et a 0 f ( + ) f () ) () ( + ) 5 ( 5) lim () lim ( + ), donc f ' () 0 0 ) () 9 f ( + ) f ( ) + + ( + ) + ( + ) ( ( ) + ( )) lim () lim (9 ) 9, donc f ' ( ) f () f (0) 3) () + lim () lim ( ), donc f ' (0) 0 0 Eercice n page 90 On considère la fonction g définie sur IR \{ } par : g() ) Pourquoi g n'est-elle pas dérivable en? + ) Montrer que le tau d'accroissement de g entre et + (avec 0) est égal à 3) En déduire que g est dérivable en et préciser g' () ) g n est pas définie en ) () g( + ) g() + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 3) lim () lim 0 0 ( + ), donc g est dérivable en et g' () 4 4 (4 4 + ) ( + ) + 9 Eercice n 3 page 90 Soit f la fonction définie sur IR \ {} par : f () Montrer que f est dérivable en et préciser f ' () f ( + ) f () ( ) + ( ) () ( ) f ( + ) f () lim () lim lim, donc f est dérivable en et f ' () Eercice n 4 page 90 Soit f la fonction définie sur IR par f () 3 ) Montrer que le tau d'accroissement de f en est : () 6 + ) En déduire le nombre dérivé de f en f ( + ) f ( ) ) () ( + )3 ( 8) Or ( + ) 3 ( + )( + ) ( + )(4 4 + ) , donc () ) lim () lim 0 0 ( 6 + ), donc f est dérivable en et f ' ( ) Eercice n 5 page 90 On considère la fonction g définie sur [ ; +[ par : g() ) La fonction g est-elle dérivable en 0? ) a) Vérifier que le tau d'accroissement de g en est : () + b) Montrer que () + + c) En déduire que g est dérivable en et préciser g' () 3) Étudier la dérivabilité de g en ) g n'est pas définie en 0 ; donc elle n'est pas dérivable en 0 H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

6 ) a) () e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 6 sur 5 g( + ) g() + b) () ( + )( + + ) ( + + ) c) lim 0 3) () + ( + + ) ; donc g est dérivable en et g' () g( + ) g() 0 ; et lim 0 + Donc g n'est pas dérivable en Eercice n 6 page 90 Nombre dérivé et calculatrice Voir les fices Calculatrices, page 394 Il y a deu possibilités avec la calculatrice d'obtenir le nombre dérivé d'une fonction en un point donné : ) a) Syntae : nderiv( fonction de X, X, a) Ou nderiv( Y, X, a) ) a) b) Utiliser les touces puis 6, en mode Grape la fonction donnée étant stockée dans Y Dans Syntae : d/d( fonction de X, a) Ou d/d (Y, a) Dans le SET UP mettre «Derivative» sur ON b) En mode Grape une fonction Y étant tracée, on active la Trace : à l'écran s'affice X, Y et le nombre dérivé dy/dx Utiliser la calculatrice pour obtenir les résultats des eercices 0 et La calculatrice permet de vérifier les résultats précédents TANGENTE À UNE COURBE EN UN POINT DÉFINITION ET PROPRIÉTÉ Soit f une fonction, a un réel appartenant à l'ensemble de définition de f et C la courbe représentative de f dans un repère (O ; I, J) du plan Si f est dérivable en a, on appelle tangente à C au point A(a ; f (a)) la droite passant par A et de coefficient directeur f ' (a) L'équation réduite de la tangente en A dans le repère (O ; I, J) est : y f ' (a) ( a) + f (a) Démonstration : Notons T la tangente à la courbe C en A Le coefficient directeur de T étant f ' (a), T admet une équation de la forme : y f ' (a) + p Le point A(a ; f (a)) appartient à T donc : f (a) f ' (a) a + p ; d'où : p f (a) f ' (a) a On en déduit : y f ' (a)( a) + f (a) Remarque : La tangente en A est la position limite de la droite (AM) quand M se rapproce de A en restant sur la courbe C Eercice corrigé : Calculer un nombre dérivé et l'interpréter géométriquement On considère la fonction f définie sur IR par f () 3 On a tracé ci-contre la parabole représentant f, ainsi que les tangentes à cette parabole au points A et C d'abscisses respectives et ) Par lecture grapique, donner les nombres dérivés de f en et en ) a) Montrer que f est dérivable en et calculer f ' () Vérifier à la calculatrice en utilisant les commandes permettant des calculs de nombres dérivés Dans b) Déterminer l'équation réduite de la tangente à la parabole au point B H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

7 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 7 sur 5 Solution : ) Il suffit de lire les coefficients directeurs des tangentes En partant de A(; 3) et en augmentant l'abscisse d'une unité, il faut augmenter l'ordonnée d'une unité pour retrouver un point de la tangente en A Donc f ' () En partant de C( ; 3) et en augmentant l'abscisse d'une unité, il faut diminuer l'ordonnée de sept unités pour retrouver un point de la tangente en C Donc f ' ( ) 7 ) a) Pour tout réel non nul, on a : f ( + ) f () ( + ) 3( + ) 0 ( ) Quand tend vers zéro, 5 + tend vers 5, donc f est dérivable en et f ' () 5 b) f () 0 et f ' () 5, donc la tangente au point B admet pour équation réduite y 5( ) + 0 ; soit y 5 0 Eercice n 5 page 98 Voir le savoir-faire, page 79 On a tracé dans un repère du plan la courbe C f représentative d'une fonction f dérivable sur IR avec les tangentes à cette courbe au points A, B et C d'abscisses respectives 0, et 4 ) Lire sur le grapique les valeurs de f (0) ; f ( ) ; f (4) ) Lire sur le grapique les valeurs de f ' (0) ; f ' ( ) ; f ' (4) Métode : Le nombre dérivé en a est égal au coefficient directeur de la tangente au point A(a ; f (a)) Métode : Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a L'eistence d'une telle tangente, non «verticale», assure l'eistence du nombre f ' (a) En l'absence d'information sur la tangente, pour démontrer qu'une fonction est dérivable en a, on peut étudier le comportement du tau d'accroissement f (a + ) f (a) quand tend vers zéro Si la limite est finie, alors f est dérivable en a et cette limite est f ' (a) Si la fonction f est dérivable en a, l'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point A d'abscisse a dans un repère du plan est : y f ' (a)( a) + f (a) ) f (0) ; f ( ) 3 ; f (4) 3 ) f ' (0),5 ; f ' ( ) 0 ; f ' (4) 4,5 Eercice n page 79 Sur le grapique ci-contre on a tracé la courbe représentant une fonction g ainsi que ses tangentes au points d'abscisses 0,, et 3 Par lecture grapique, déterminer les nombres dérivés de la fonction g en 0,, et 3 g' (0) est le coefficient directeur de la tangente orange, d où g' (0) 0 g' () est le coefficient directeur de la tangente rouge, d où g' () 3 g' () est le coefficient directeur de la tangente verte, d où g' () 0 g' (3) est le coefficient directeur de la tangente bleue, d où g' (3) 9 Eercice n 3 page 79 Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point A d'abscisse dans cacun des cas de l'eercice a) f : 3 5 ; b) f : a) f () et d après l eercice f ' () 3 L équation réduite de la tangente recercée est : y f ' () ( ) + f (), soit y 3( ), ou encore y 3 5 H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

8 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 8 sur 5 b) f () 0 et d après l eercice f ' () L équation réduite de la tangente recercée est : y f ' () ( ) + f (), soit y ( ) + 0, ou encore y Eercice n 6 page 89 Vrai ou fau? Pour cacune des affirmations suivantes, répondre par vrai ou par fau ) Si le tau d'accroissement d'une fonction f en a est :, alors f n'est pas dérivable en a ) Si f est dérivable en a, alors sa courbe C f admet une tangente en son point A d'abscisse a 3) Si f est définie en a, alors f est dérivable en a 4) «f est dérivable en a» est équivalent à «lim 0 f (a + ) f (a) ) lim n est pas un nombre réel, donc l affirmation est vraie 0 ) L affirmation est vraie est un nombre réel» 3) La fonction racine carrée n est pas dérivable en 0 L affirmation est fausse 4) L affirmation est fausse, il faut que f soit définie en a et a + Eercice n 8 page 9 Vrai ou fau? Soit f une fonction définie sur IR, dérivable en, vérifiant f () 0 et f ' () On note C la courbe de f dans un repère du plan et T la tangente à C au point d'abscisse ) La droite T passe par le point A( ; ) ) La droite T a pour coefficient directeur 3) La droite T admet pour équation réduite y + ) f () 0 y A L affirmation est fausse ) La droite T a pour coefficient directeur f ' () L affirmation est vraie 3) La droite T admet pour équation réduite : y f ' () ( ) + f (), soit : y ( ) + 0, ou encore y + L affirmation est vraie Eercice n 9 page 9 Vrai ou fau? Soit f une fonction définie sur IR On suppose que la courbe C de f dans un repère du plan admet une tangente T au point A(0 ; 3) ) f (0) 3 ) y + peut être une équation de la tangente T 3) Si y + 3 est l'équation réduite de T, alors f ' (0) 4) Si f ' (0), alors y + 3 est l'équation réduite de T ) L affirmation est vraie ) L affirmation est fausse 3) L affirmation est vraie 4) L'équation réduite de T est : y ( 0) + 3, soit y + 3 L affirmation est vraie Eercice n 30 page 9 QCM Préciser l'unique réponse correcte On représente la courbe C f d'une fonction f définie sur l'intervalle [ ; +[ La droite tracée en bleu est la tangente à C f au point A( ; ) et celle tracée en vert la tangente à C au point B( ; 0) ) a) f ' () b) f ' () 0,5 c) f ' () n'eiste pas ) a) f ' () b) f ' () 0 c) f () n'eiste pas 3) a) f ' (4) f ' () b) f ' (4) < f ' () c) f ' (4) > f ' () ) La tangente bleue a pour coefficient directeur 0,5 Réponse b ) La tangente verte est verticale, elle n a pas de coefficient directeur Réponse c 3) La pente de la tangente au point d abscisse 4 est plus faible que la tangente bleue Réponse b Eercice n 3 page 9 H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

9 Par lecture grapique, indiquer, parmi les courbes suivantes, celles qui représentent une fonction dérivable en 0 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 9 sur 5 Les courbes et 5 Eercice n 3 page 9 Sur cacun des grapiques suivants, on a représenté dans un repère du plan la courbe d'une fonction f dérivable en a, ainsi que la droite D tangente à C au point A(a ; f (a)) Déterminer a, f (a) et f ' (a) par lecture grapique, puis déterminer une équation de D ) ) 3) ) a ; f (a) 3 ; f ' (a) 3 ; D : y 3 ) a ; f (a) 0 ; f ' (a) ; D : y + 3) a ; f (a) ; f ' (a) 0 ; D : y Eercice n 33 page 9 Dans un repère du plan, la droite D est la tangente à la courbe représentative d'une fonction f au point d'abscisse a Déterminer, dans cacun des cas suivants, f (a) et f ' (a) : a) D : y 4 et a 0 b) D : y 4 et a 3 a) D : y ( 0) + ( 4), donc f (a) 4 et f ' (a) b) D : y ( + 3) + ( 0), donc f (a) 0 et f ' (a) c) D : y 5( 4) + ( 3), donc f (a) 3 et f ' (a) 5 d) D : y 0( 7) + 9, donc f (a) 9 et f ' (a) 0 3 FONCTION DÉRIVÉE : PREMIÈRES PROPRIÉTÉS c) D : y et a 4 d) D : y 9 et a 7 DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I Si, pour tout réel a de I, le nombre dérivé f ' (a) eiste, on dit que la fonction f est dérivable sur I La fonction qui, à tout réel de I, associe le nombre dérivé f ' () est appelée fonction dérivée de f ; cette fonction est notée f ' Ainsi, f ' est définie sur I par : f ' : f ' () FORMULAIRE DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES Fonction f f définie sur f ' définie sur Fonction dérivée f ' constante : k, avec k réel IR IR 0 affine : m + p, avec m et p réels IR IR m carré : IR IR puissance : n avec n entier, n IR IR nn H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

10 inverse : e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 0 sur 5 ] ; 0[ ou ]0 ; +[ ] ; 0[ ou ]0 ; +[ racine carrée : [0 ; +[ ]0 ; +[ Démonstration : (a + ) Pour la fonction carrée, () (a + ) a a + a + a (a + ) a ; donc la fonction f est dérivable en a et f ' (a) a lim 0 a + ; Pour les fonctions affine, constante et inverse, voir la démonstration à l'eercice 45, page 93 Eercice n 45 page 93 Démontrer un résultat du cours Voir le cours, page 80 ) Soit une fonction affine f : m + p, avec m et p deu réels a) Soit a un réel Calculer le tau d'accroissement de la fonction f en a En déduire que f est dérivable en a et que, pour tout réel a, f ' (a) m b) Déduire du résultat précédent qu'une fonction constante est dérivable sur IR et admet pour fonction dérivée la fonction constante égale à 0 ) Soit a un réel non nul Montrer que le tau d'accroissement de la fonction inverse f : en a est : () a(a + ) En déduire que f est dérivable en a et que, pour tout réel non nul a, f ' (a) a ) m(a + ) + p (ma + p) a) () m ; donc, pour tout réel a, f ' (a) m b) On applique le résultat précédent avec m 0 a + a a (a + ) ) () a(a + ) a(a + ) lim () 0 ; donc, pour tout réel a non nul : f ' (a) a a PROPRIÉTÉ Dérivée de u + v et de ku Si u et v sont deu fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I, alors la fonction somme u + v définie sur I par : u() + v() est dérivable sur I et, pour tout réel de I : (u + v)' () u' () + v' () On retient : (u + v)' u' + v' Si k est un réel et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, alors la fonction ku définie sur I par : k u() est dérivable sur I et, pour tout réel de I : (ku)' () k u' () On retient : (ku)' ku' Démonstration : Pour la fonction ku, voir la démonstration à l'eercice 46, page 94 Eercice n 46 page 94 Démontrer un résultat du cours (bis) Voir les propriétés du cours, page 80 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel fié La fonction ku est définie sur I par : (ku)() k u() pour tout réel de I Soit a un réel de l'intervalle I ) Calculer le tau d'accroissement de la fonction ku en a ) En déduire que ku est dérivable en a et que, pour tout réel a de I, (ku)' (a) k u' (a) ) () ku(a + ) ku(a) k u(a + ) u(a) u(a + ) u(a) ) lim u' (a), car u est dérivable en a, donc lim () k u' (a), d où le résultat 0 0 Eercice corrigé : Utiliser le formulaire de dérivation des fonctions usuelles Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a) f : + sur ] ; 0[ et sur ]0 ; +[ ; c) : sur ] ; 0[ et sur [0 ; +[ H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

11 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page sur 5 b) g : 4 sur ]0 ; +[ ; Solution : Métode : a) La fonction f se présente sous la forme de la somme des fonctions : u : et v : La fonction u est dérivable sur IR et, pour tout réel, u' () La fonction v est dérivable sur cacun des intervalles ] ; 0[ et ]0 ; +[ et, pour tout réel non nul, v' () Donc f est dérivable sur ] ; 0[ et sur ]0 ; +[ Une fonction affine m + p a pour fonction dérivée m La fonction inverse est dérivable en tout réel non nul et a pour dérivée la fonction On s'assure d'être dans les conditions d'application d'une formule avant de l'utiliser Dans le cas d'une somme de deu fonctions on doit considérer un intervalle sur lequel les deu fonctions sont dérivables et, pour tout réel non nul, f ' () (u + v)' u' + v' b) La fonction g se présente sous la forme du produit de la fonction u : par le réel k 4 La fonction u est dérivable sur ]0 ; +[ et, pour tout réel strictement positif, u' () Donc g est dérivable sur ]0 ; +[ et, pour tout réel strictement positif, g' () 4 (ku)' ku' c) La fonction se présente sous la forme u + k v où u est la fonction affine fonction inverse est dérivable sur ] ; 0[ et sur ]0 ; +[ et, pour tout réel non nul : ' () + ( ) La fonction racine carrée est dérivable en tout réel strictement positif et a pour dérivée la fonction :, k et v est la Eercice n 4 page 8 Dans cacun des cas suivants, la fonction f est dérivable sur IR Déterminer sa fonction dérivée a) f : 3 5 b) f : + c) f : d) f : 3 e) f : 3,5,5 4 + a) f ' : 3 b) f ' : + c) f ' : 0 8 d) f ' : 3 e) f ' : Eercice n 5 page 8 Dans cacun des cas suivants, la fonction f est définie sur un intervalle I Justifier que f est dérivable sur I et calculer f ' () pour I ) f : 3 et I ]0 ; +[ 3) f : + et I ]0 ; +[ 4) 3 f : + et I ] ; 0[ ) f : et I ]0 ; +[ Les fonctions proposées sont dérivables sur l intervalle indiqué comme sommes et/ou produits par un réel de fonctions dérivables sur cet intervalle ) f () 3, donc f ' () 3 3 ) f () 3 3, donc f ' () 0 3) f ' () H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

12 4) f () + Eercice n 6 page 8 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page sur 5, donc f ' () + Sur le grapique ci-contre est tracée la courbe représentant la fonction g : + sur l'intervalle ]0 ; +[ ainsi que ses tangentes au points d'abscisses et Justifier les équations de ces deu tangentes g' () g' () 0 et g() +, donc la tangente au point d'abscisse a pour équation : y 0( ) +, soit y g' () 4 4,75 et g() 4 +,5 ; donc la tangente au point d'abscisse a pour équation : y,75( ) +,5, soit y,75 3 Eercice n 3 page 98 Voir le savoir-faire, page 8 Calculer la fonction dérivée de la fonction f dans cacun des cas suivants : a) f : 3 ; b) f : 3 ; c) f : 3 ; d) f : 3 a) f ' () 3 b) f ' () 3 6 c) f () 3 d) f ' () 3, donc f ' () Eercice n 6 page 98 Voir le savoir-faire, page 79 On considère la fonction f définie sur par : f () + 5 On appelle C f sa courbe représentative dans un repère du plan Déterminer l'équation réduite de la tangente à C f au points d'abscisses et 3 Métode : Si f est dérivable en a, l'équation réduite de la tangente à la courbe C f au point d'abscisse a est : y f ' (a)( a) + f (a) f ' () ; T : f ' ( ) 4 et f ( ) 8, donc l équation réduite est : y 4( + ) + 8, soit : y ; T 3 : f ' (3) 4 et f (3) 8, donc l équation réduite est : y 4( 3) + 8, soit : y 4 4 Eercice n 35 page 9 QCM Préciser la (ou les) bonne(s) réponse(s) ) La fonction + : a) a pour fonction dérivée + b) est dérivable sur IR c) a même fonction dérivée que la fonction : ) La fonction f est définie sur IR par f () a) f ( ) 0 b) f ' ( ) 0 c) f ' (0) 0 3) La fonction + 4 : c) a même fonction dérivée que a) est définie sur [0 ; +[ b) est dérivable sur [0 ; +[ 4) Sur l'intervalle ]0 ; +[, la fonction est la fonction dérivée de : H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

13 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 3 sur 5 a) b) + c) + + ) Réponses b et c ) Réponses a et c 3) Réponses a et c 4) Réponses b et c Eercice n 37 page 9 Dans cacun des cas suivants, la fonction f est dérivable sur IR Déterminer sa fonction dérivée ) f : 3 7 3) f :,5 + 6 ) f : ) f : ) f : + 5-5, ,5 7 0 ) f ' : 3 ) f ' : 8 3) f ' : ) f ' : 0 5) f ' : Eercice n 38 page 9 Dans cacun des cas suivants, la fonction f est définie sur un intervalle I Justifier que f est dérivable sur I et calculer f ' () pour I ) f : + et I ]0 ; +[ 3) f : et I [0 ; +[ ) f : et I ] ; 0[ 4) f : et I ]0 ; +[ Les fonctions proposées sont dérivables sur l intervalle indiqué comme sommes et/ou produits par un réel de fonctions dérivables sur cet intervalle ) f ' () ) f ' () 9 3) f ' () + 4) f ' () 3 Eercice n 39 page 9 Dans cacun des cas suivants, proposer deu fonctions différentes u et v, dérivables sur IR, et ayant pour fonction dérivée la fonction f : a) f () b) f () c) f () d) f () On propose une fonction u Pour v, il suffit d ajouter n importe quelle constante à u a) u() b) u() c) u() d) u () Eercice n 40 page 93 La représentation grapique sur l'intervalle [ ; ] de la fonction f : ainsi que sa tangente au point d'abscisse sont afficées à l'écran d'une calculatrice en utilisant les touces DRAW, puis 5 : H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

14 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 4 sur 5 ) Quel pas de graduation a-t-on coisi en abscisse et en ordonnée? ) Calculer f ' () pour tout réel 3) Justifier l'équation de la tangente afficée à l'écran 4) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 et au point d'abscisse 5) Vérifier les résultats de la question 4) à l'aide de la calculatrice ) Le pas de graduation est 0,5 en abscisse comme en ordonnée ) f ' () 3) y f ' () ( ) + f () équivalent à : y ( ) + 0 y 4) T 0 : y ; T : y 3 5) On vérifie en utilisant la touce indiquée dans l énoncé Eercice n 7 page 98 On a tracé la courbe C f représentative de la fonction f définie sur IR par : f () a + b + c, où a, b et c sont trois réels à déterminer On a aussi tracé les tangentes à C f au points A et B d'abscisses respectives 0 et ) Par lecture grapique, déterminer f (0), f ' (0) et f ' () ) Calculer a, b et c ) f (0), f ' (0) 5 et f ' () ) f ' () a + b ; d où : f (0) f ' (0) 5 équivalent à : c b 5 Ainsi, a 3, b 5, c f ' () a + b Eercice résolu n 9 page 84 Des courbes tangentes On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; +[ par f () et la fonction g définie sur IR par g() a + b + c, où a, b, c sont des réels On cerce à déterminer des valeurs de a, b et c pour que les courbes C f et C g admettent la même tangente T au point A de C f de coordonnées ( ; ) On dit dans ce cas que «les courbes C f et C g sont tangentes au point A» ) Déterminer l'équation réduite de la tangente T à C f au point A On suppose que C f et C g sont tangentes au point A ) f ' (), donc f ' () L'équation réduite de la tangente à C f au point A d'abscisse est donc : y f ()( ) + f () On obtient y ( ) +, soit y + On utilise le résultat du cours sur la dérivée de la fonction racine carrée et la formule donnant l'équation de la tangente à la courbe représentative d'une fonction f au point d'abscisse a : y f ' (a)( a) + f (a) ) a) Eprimer les valeurs de g() et de g' () en fonction de a, b, c b) Déduire du a) l'epression des réels a et b en fonction de c c) Donner l'epression de g() à l'aide du réel c uniquement ) a) g() a + b + c a + b + c g' () a + b, donc g' () a + b La dérivée de est : La dérivée de la fonction ku, où k est un réel et u une fonction dérivable, est ku' b) C g admet pour tangente au point A la droite T, donc on doit avoir Le coefficient directeur de la tangente à C g au point d'abscisse est g' () H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

15 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 5 sur 5 A C g, c'est-à-dire g() et aussi g' () On obtient le système : a + b + c a + b qui équivaut à : a + b c a + b c a + c ; a c ; b 3 c a c c) On obtient donc une famille de fonctions dont les courbes représentatives admettent T comme tangente au point A( ; ) Elles sont définies par : g c () c + 3 c + c On remplace a et b par les epressions trouvées précédemment 3) Avec un logiciel de géométrie dynamique, tracer C f, T et C g après avoir créé un curseur pour le réel c Observer la position des courbes C f et C g lorsque c varie Que se passe-t-il lorsque c? Voir la fice Geogebra, page 39 3) On obtient une «famille» de fonctions g c, dont toutes les courbes sont tangentes à la courbe représentative de la fonction racine carrée au point A lorsqu'on fait varier c Une fois le curseur créé, on entre l'epression trouvée en c) pour définir la fonction g, et on fait varier le curseur Lorsque c, on a : g / () + La courbe C est la droite T elle- g même : toute droite est sa propre tangente en cacun de ses points Eercice n 5 page 89 Pour cacune des questions suivantes, indiquer la (ou les) bonne(s) réponse(s) ) La tangente à la courbe de la fonction a) admet pour carré au point d'abscisse 3 : équation b) n'eiste pas y 6 9 ) La tangente à la courbe de la fonction racine carrée au point d'abscisse 0 : 3) Soit la représentation grapique d'une fonction f et de sa tangente T au point A( ; ) : a) est l'ae des ordonnées a) la fonction f est dérivable en b) n'admet pas une équation de la forme y m + p b) une équation de T est y + 3 c) est parallèle à la droite D : y 6 c) eiste et a pour coefficient directeur 0 c) f ' ( ) ) Notons f la fonction carré Alors f () et f ' (), puis f ( 3) 9 et f ' ( 3) 6 La tangente à la courbe de la fonction carré au point d'abscisse 3 a pour équation : y 6( + 3) + 9, soit : y 6 9 Réponses a et c ) Réponses a et b 3) On lit f ( ) et f ' ( ), alors une équation de T est : y ( + ) +, soit : y + 3 Réponses a, b et c Eercice n 34 page 9 Vrai ou fau? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses ) Si un réel appartient à l'ensemble de définition d'une fonction f, alors f est dérivable en ) La fonction dérivée de la fonction carré est une fonction affine 3) Deu fonctions différentes peuvent avoir la même fonction dérivée 4) La fonction carré et la fonction racine carrée ont le même nombre dérivé en 5) La fonction constante égale à zéro est sa propre fonction dérivée ) La fonction racine carrée est définie en 0, mais elle n est pas dérivable en 0 L affirmation est fausse ) Si f (), alors f ' () L affirmation est vraie 3) Si f () + 5 et g() 7, alors f ' () g' () L affirmation est vraie H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

16 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 6 sur 5 4) Si f () et g(), alors f ' () et g' () L affirmation est fausse 5) L affirmation est vraie, et donc f ' () et g ' () Eercice n 43 page 93 Une tangente orizontale Une fonction f est définie sur IR par : f () a + b, où a et b sont deu réels donnés (avec a 0) On suppose que dans un repère, la courbe représentative C f de f admet au point A( ; ) une tangente parallèle à l'ae des abscisses Calculer a et b f ' () a + b, d où f ' () 0 f () qui donne a + b 0 a + b, soit : a b 4 Eercice n 4 page 93 Déterminer une fonction en connaissant une tangente Dans un repère du plan, la droite D est la tangente, au point d'abscisse a, à la courbe représentative de f : + b + c (où b et c sont des réels fiés) ) Déterminer la fonction dérivée de f ) Déterminer, dans caque cas, les réels b et c : a) D : y + 3 et a 0 ; b) D : y 4 et a 3 ) f ' () + b ) a) L équation de D peut s écrire y ( 0) + 3 Or, d après le cours, une équation de D est y f ' (0) ( 0) + f (0) f ' (0) Donc f (0) 3 De plus f ' (0) 0 + b b f (0) 0 + b 0 + c c, ce qui donne b c 3 b) L équation de D peut s écrire y ( + 3) 0 Or, d après le cours, une équation de D est y f ' ( 3) ( + 3) + f ( 3) Donc f ' ( 3) f ( 3) 0 De plus f ' ( ) ( 3) + b 6 + b f ( 3) ( 3) + b ( 3) + c 9 3b + c Ce qui donne 6 + b 9 3b + c 0, soit : b 8 c 5 Eercice n 4 page 93 Déterminer une fonction en connaissant une tangente (bis) Dans un repère du plan, la droite D est la tangente, au point d'abscisse a, à la courbe représentative de f : b + c (où b et c sont des réels fiés) ) Déterminer la fonction dérivée de f ) Déterminer, dans caque cas les réels b et c : a) D : y + 7 et a ; b) D : y 3 et a 4 b ) f ' () c ) a) L équation de D peut s écrire y ( ) + 5 Or, d après le cours, une équation de D est y f ' () ( ) + f () f ' () Donc f () 5 b f ' () c b c De plus f () b + c b + c Ce qui donne b c b c 4 b, soit :, puis : b + c 5 b + c 5 c 3 b) L équation de D peut s écrire y 0( 4) + 3 Or, d après le cours, une équation de D est y f ' (4) ( 4) + f (4) Donc f ' (4) 0 f (4) 3 H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

17 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 7 sur 5 b f ' () 4 De plus c 4 b 4 c 6 f () b 4 + c 4 b + c 4 Ce qui donne b 4 c 6 0 b b + c, soit : 4 3 c 4 Eercice n 69 page 97 On considère la fonction carré et sa courbe représentative C f tracée dans un repère Eiste-t-il un point A de C f tel que la tangente à C f en A soit parallèle à la droite d'équation y? Si on note a l abscisse de A, la tangente à C f en A a pour coefficient directeur le nombre dérivé de la fonction carré en a, c est-à-dire a La droite y ayant pour coefficient directeur, résoudre le problème revient à résoudre l équation a Le problème a donc une solution, le point A, 4 Eercice n 70 page 97 Dérivée en économie : le coût marginal On note C(q) le coût total (en k ) de production d'un produit en fonction de la quantité q (en tonne) de produit fabriqué Les économistes définissent alors le coût moyen C M (q) C(q) et le coût q marginal C m (q) Ce dernier est l'accroissement moyen du coût total Peter A Dale T Cristoper A Pissarides Les trois lauréats du pri Nobel d'économie en 00 occasionné par une augmentation de la production Si on augmente Diamond Mortensen C(q + ) C(q) la production de tonnes, on a donc : C m (q) ) On utilise souvent, en économie, le nombre dérivé C' (q) comme approimation du coût marginal C m (q) Quelle ypotèse fait-on alors sur? C(q + ) C(q) ) Comme est petit par rapport à q, les économistes considèrent que est proce de sa limite quand tend vers zéro, c est-à-dire C' (q) ) On considère la fonction coût : C : q q3 + 0q + 50 a) Déterminer l'epression du coût moyen en fonction de q, et le coût marginal approcé C' (q) b) Déterminer la production pour laquelle le coût moyen et le coût marginal approcé sont égau ) a) C M (q) q q C' (q) 3q + 0 b) C M (q) C' (q) équivaut à : q q 3q q q 5 q 3 q 5 4 DÉRIVÉE D'UN PRODUIT, D'UN QUOTIENT PROPRIÉTÉ Dérivée de u v Si u et v sont deu fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I, alors la fonction produit u v, définie sur I par : u() v() est dérivable sur I et, pour tout réel de I : (u v)() u' () v() + u() v' () On retient : (uv)' u'v + uv' Principe de démonstration : Soit a I ; le tau d'accroissement de u v en a est : (u v)(a + ) (u v)(a) u(a + ) v(a + ) u(a) v(a) () u(a + ) v(a + ) u(a) v(a + ) + u(a) v(a + ) u(a) v(a) H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

18 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 8 sur 5 u(a + ) u(a) v(a + ) + u(a) v(a + ) v(a) La fonction u est dérivable en a, donc quand tend vers 0, le quotient v(a + ) v(a) De même, le quotient dérivable en a De plus, quand tend vers 0, v(a + ) se rapproce de v(a) u(a + ) u(a) a pour limite le réel u' (a) a pour limite le réel v' (a) quand tend vers 0, car la fonction v est Les propriétés sur les limites (qui ne sont pas au programme de la classe de première) permettent alors de conclure que : lim () u' (a) v(a) + u(a) v' (a) 0 Par suite, u v est dérivable en a et : (u v)' (a) u' (a) v(a) + u(a) v' (a) Remarque : Si l'une des fonctions u ou v (voire les deu) n'est pas dérivable en a, on ne peut pas appliquer les propriétés énoncées dans cette page Mais cela ne permet pas non plus d'affirmer que le produit uv ou le quotient u v n'est pas dérivable en a Eemple : La fonction f : définie sur [0 ;+[ est égale à sur [0 ;+[ Elle est donc dérivable en 0, avec f ' (0), alors que la fonction n'est pas dérivable en 0 (Voir l'eercice 6, page 95) PROPRIÉTÉS 3 Dérivée de v Si une fonction v est définie, dérivable et ne s'annule pas sur un intervalle I, alors la fonction définie sur I par v v() est dérivable sur I et, pour tout réel de I, v' () '() v v() ' On retient : v' v v Dérivée de u v Si u et v sont deu fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I, sur lequel v ne s'annule pas, alors la fonction quotient u u() définie sur I par est dérivable sur I et, pour tout réel de I : v v() u u' () v() u() v' () '() v [v()] ' On retient : u u' v uv' v v Eercice corrigé : Utiliser les formules de dérivation du produit et du quotient Dans cacun des cas suivants, justifier que la fonction f, définie sur l'intervalle I, est dérivable sur I, puis calculer f ' () pour tout réel de I ) f : et I ]0 ; +[ ) f : 3 et I ] ; +[ + Solution : ) La fonction f se présente sous la forme du produit des fonctions u : et v : La fonction u est dérivable sur IR, donc sur ]0 ; +[ et a pour fonction dérivée u' : La fonction v est dérivable sur ]0 ; +[ et a pour fonction dérivée v' : 3) f : + 3 et I ] ; 3 [ Métode : Afin d'appliquer la formule adaptée, on analyse la forme de la fonction On se pose les questions suivantes : est-elle : - le produit de deu fonctions? - le quotient de deu fonctions? - l'inverse d'une fonction? - le produit d'une fonction par un réel? - la somme de deu fonctions? On s'assure d'être dans les conditions d'application d'une formule avant de l'utiliser H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

19 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 9 sur 5 Donc f est dérivable sur ]0 ; +[, et pour tout réel strictement positif : f ' () (uv)' u'v + uv' ) La fonction f se présente sous la forme du produit du réel k par la fonction avec v : 3 + La fonction v est dérivable sur IR, ne s'annule pas sur ] ; +[, et pour tout réel, on a v' () 3 Donc f est dérivable sur ] ; +[ et, pour tout réel > : f ' () 3 ( 3 + ) 6 ( 3 + ) ' v' v 3) La fonction f se présente sous la forme du quotient u v avec u : + et v : 3 La fonction u est dérivable sur IR, donc sur ] ; 3 [ et a pour fonction dérivée u' : La fonction v est dérivable sur IR, ne s'annule pas sur ] ; 3 [ et a pour fonction dérivée v' : Donc f est dérivable sur ] ; 3 [ et, pour tout réel < 3 : f ' () ( )( 3) ( + ) ( 3) 6 ( 3) u ' u' v uv' v v Eercice n 4 page 98 Voir le savoir-faire, page 83 On considère les fonctions f, g et définies sur l'intervalle I par : f () 3 + sur I IR ; g() + sur I ] ;+[ ; + () 3 sur I ]0 ; +[ ) Calculer f ' (), g' (), ' () pour tout I ) En déduire f ' (), g' ( ), ' (4) Métode : Utiliser le formulaire, page II ) f ' () 6 g u v avec u() + u' v v' u u' () ( + ) ( + ), alors v() + g' v avec, soit v' () g' () ( + ) ' () 3 ) f ' () 0, g' ( ) 3 et ' (4) 4 H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr v 3 ( + ) Eercice n 7 page 83 Dans caque cas, la fonction f est dérivable sur IR Déterminer sa fonction dérivée de deu façons différentes : a) après avoir développé f () ; b) en utilisant la dérivation d'un produit ) f : (3 5)( + ) ) f : ( + )( 4 + ) 3) f : (5 3) ) a) f () , donc f ' () u() 3 5 b) f uv avec v() + On a alors f ' u' v + v' u avec u' () 3 v' () Donc f ' () 3( + ) + (3 5) ) a) f () , 3) donc f ' () b) f uv avec u() + v() 4 + On a alors f ' u' v + v' u avec u' () v' () 4 3 Donc f ' () ( 4 + ) + ( + )(4 3 ) f ' () f ' () a) f () , donc f ' () 50 30

20 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 0 sur 5 b) f uv avec u() v() 5 3 On a alors f ' u' v + v' u avec u' () v' () 5 Donc f ' () 5(5 3) + 5(5 3) Eercice n 8 page 83 Dans caque cas, justifier que la fonction f est dérivable sur I, puis déterminer sa fonction dérivée : a) f : + 4, I IR ; 4 b) f : 4 +, I IR ; c) f :, I ] ; [ ; d) f : + + +, I IR Les fonctions proposées sont dérivables sur l intervalle indiqué comme inverses ou quotients de fonctions dérivables sur cet intervalle, les dénominateurs ne s annulant pas sur I a) f u avec u() + 4 ; alors f ' u' u avec u' (), soit f ' () ( + 4) b) f 4 u avec u() 4 + ; alors f ' 4 u' u avec u' () 43, soit f ' () ( 4 + ) 6 3 ( 4 + ) c) f u v avec u() u' v v' u u' () v() ; alors f ' v avec v' (), soit f ' () ( ) ( ) ( ) + ( ) d) f u v avec u() + u' v v' u u' () v() ; alors f ' + + v avec v' () +, soit f ' () ( )( + + ) ( + )( + ) ( + + ) Eercice n 9 page 99 On considère la fonction f définie par : f () + On appelle C f sa courbe représentative dans un repère ortogonal ( + + ) ) Démontrer que cette fonction est définie sur IR ) Déterminer l'équation réduite de la tangente à C f au point d'abscisse 0 3) Démontrer que les tangentes à C f au points d'abscisses 3 et 3 sont parallèles 4) Démontrer que si l'on trace les tangentes à C f en deu points d'abscisses opposées, ces tangentes sont parallèles ) + ne s annule pas sur IR ) f ' () ( + ) Une équation de la tangente T 0 à C f au point d'abscisse 0 est y f ' (0) ( 0) + f (0) Or f ' (0) f (0) 0, donc cette équation s écrit : y 3) f ' ( 3) f ' (3) ) Pour tout réel, f ' ( ) f ' (), car ( ) H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

21 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page sur 5 Eercice résolu n 0 page 85 Des tangentes parallèles On considère la courbe représentative C f de la fonction f définie par : f () + La droite T est la tangente à C f en son point A d'abscisse Le but de ce problème est de cercer s'il eiste un point B distinct de A tel que la tangente D à C f au point B soit parallèle à T, et de déterminer dans ce cas une équation de cette tangente ) Déterminer l'équation réduite de la tangente T ) T a pour équation : y f ' ()( ) + f () ( ) ( + ) 4 Or f ' () ( ), donc f ' () 4 ( ) De plus, f () 3, donc l'équation réduite de T est : y 4( ) + 3, soit : y On utilise le résultat du cours donnant l'équation de la tangente à la courbe représentative d'une fonction f au point d'abscisse a : y f ' (a)( a) + f (a) ' On utilise la formule : u u' v uv' v v ) À l'aide du logiciel de géométrie dynamique Geogebra, placer le point B d'abscisse b (curseur) sur C f et tracer la tangente D à C f en B En utilisant l'icône, faire apparaître le coefficient directeur de D et conjecturer la position de B qui répond au problème Lire l'abscisse de B ) Pour que D soit parallèle à T, on conjecture que l'abscisse de B est égale à 0 3) On appelle b l'abscisse de B Quelle est la valeur de f ' (b) dans le cas où T et D sont parallèles? 3) Si D et T sont parallèles, alors elles ont le même coefficient directeur Si deu droites, non parallèles à l'ae Celui de T est 4, donc celui de D, doit être égal à 4 des ordonnées, sont parallèles, alors Le coefficient directeur de D est aussi f ' (b), donc on doit avoir elles ont le même coefficient directeur, et réciproquement f ' (b) 4 Le coefficient directeur de la tangente à Réciproquement, si f ' (b) 4, alors D et T sont parallèles C f au point d'abscisse b est égal à f (b) 4) Démontrer que : T // D équivaut à (b ) 4 4) f ' () 4, donc T // D équivaut à (b ) 4, ce qui équivaut à (b ) 5) Conclure Voir la fice Geogebra, page 39 5) On résout l'équation du second degré précédente : (b ) Si k est un réel positif, X k équivaut à équivaut à : (b ) ou (b ), soit à b ou b 0 X k ou X k La solution b correspond au point A, que l'on rejette : on recerce un point B distinct de A Donc l'abscisse de B est égale à 0 L'équation de D est alors : y 4( 0) + f (0) Comme f (0), D : y 4 Remarque : On peut démontrer que la courbe C f est une yperbole, et qu'elle admet un centre de symétrie I, de coordonnées, Le point B apparaît alors comme le symétrique de A par rapport à I Eercice n 4 page 89 Dans cacun des cas suivants, indiquer l'unique bonne réponse On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I ) f : + 3 et I IR L'epression de f ' () est : ) f : + et I ]0 ; +[ L'epression de f ' () est : 3) f : 3 + et I ] ; 0[ a) f ' () 3 a) f ' () b) f ' () c) f ' () a) f ' () b) f ' () + c) f ' () b) f ' () c) f ' () 3 3 H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

22 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page sur 5 L'epression de f ' () est : 4) f : (3 + ) et I ]0 ; +[ L'epression de f ' () est : ) Réponse a ) Réponse c a) f ' () 3 3) f ' () 3 (3 + ) ( ) Réponse c ) f ' () 3 + (3 + ) 9 + Réponse b Eercice n 48 page 94 Vrai ou fau? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses b) f ' () 9 + ) Si la fonction v est définie en a et si v(a) 0, alors la fonction est dérivable en a v ) Si les fonctions u et v sont dérivables en a, alors la fonction u est dérivable en a v c) f ' () 3 + 3) Si la fonction v est dérivable en a et si v ne s'annule pas sur un intervalle I contenant a, alors la fonction v est dérivable en a et (a) v ' (v(a)) 4) Si les fonctions u et y sont dérivables en a et si v ne s'annule pas sur un intervalle I contenant a, alors la fonction u v ' est dérivable en a et u u(a) v' (a) + v(a) u' (a) (a) v (v(a)) ) Il faut aussi que v soit dérivable en a L affirmation est fausse ) Il faut aussi que u et v soient dérivables en a L affirmation est fausse ' 3) v' (a) (a) v L affirmation est fausse v(a) 4) L affirmation est vraie Eercice n 49 page 94 QCM Préciser la (ou les) bonne(s) réponse(s) ) La fonction f : ( + ), dérivable sur ]0 ; +[, est telle que pour tout > 0 : a) f ' (),5 + b) f ' () c) f ' () ) La fonction f :, dérivable sur IR est telle que, pour tout réel : + a) f ' () 3 b) f ' () 6 ( + ) c) f ' () 3 ( + ) d) f ' () ) La fonction f :, dérivable sur ]0 ; +[, est telle que, pour tout > 0 : a) f ' () 5 b) f ' () 5 4 c) f ' () 5 3 d) f ' () 5 ) f () u()v() + avec u() u' () v() + ; alors f ' () u' ()v() + v' ()u() + avec v() Soit f ' () ( + ) ,5 + Réponses a et c ) f 3 u avec u() + ; alors f ' 3 u' u 3u' avec u' () u 3 Soit f ' () ( + ) 6 ( + ) Réponse b H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

23 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 3 sur 5 3) f () u() avec u() ; alors f ' () 5 u' () + u() 5 u' () avec u' () u() Soit f ' () 5 ( ) Réponses b et c Eercice n 50 page 94 On considère la fonction f définie par f : ( ) sur l intervalle I ]0 ; +[ et le réel a appartenant à I ) Montrer que f est dérivable sur I ) Calculer f ' () pour I 3) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a ) La fonction f est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I ) f uv avec u() v() Soit f ' () + ; alors f ' u' v + v' u avec u' () ;v() ( ) ) f ' () 4 et f () 0, donc une équation de la tangente demandée est : y ( ) + 0, soit : y Eercice n 5 page 94 On considère la fonction f définie par f : sur l intervalle I ]0 ; +[ et le réel a appartenant à I ) Montrer que f est dérivable sur I ) Calculer f ' () pour I 3) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a ) La fonction f est dérivable sur I comme quotient de fonctions dérivables sur I, ne s annulant pas sur I ) f u' avec u(), alors f ' u u u' u avec u' () Soit f ' () 3) f ' () soit : y ( ) H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr et f (), donc une équation de la tangente demandée est : y ( ), 3 Eercice n 5 page 94 5 On considère la fonction f définie par f : sur l intervalle I ] ; [ et le réel a 0 appartenant à I + ) Montrer que f est dérivable sur I ) Calculer f ' () pour I 3) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a ) La fonction f est dérivable sur I comme quotient de fonctions dérivables sur I, + ne s annulant pas sur I ) f 5 u avec u(), alors f ' 5 u' u 5u' avec u' () + u Soit f ' () 3) f ' (0) 5 4 5( + ) ( + ) et f (0) 5 soit : y 5 4 5, donc une équation de la tangente demandée est : y 5 4 ( 0) 5, Eercice n 53 page 94 On considère la fonction f : 4 3 définie sur l intervalle I ] ; 4 [ et le réel a appartenant à I 3 ) Montrer que f est dérivable sur I ) Calculer f ' () pour I 3) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a

24 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 4 sur 5 ) La fonction f est dérivable sur I comme quotient de fonctions dérivables sur I, 4 3 ne s annulant pas sur I ) f u v avec u() u' v v' u u' () ; alors v() 4 3 f ' u avec v' () 3 (4 3) + 3( ) Soit f ' () (4 3) 5 (4 3) 3) f ' () 5 et f (), donc une équation de la tangente demandée est : y 5( ) +, soit : y 5 4 Eercice n 54 page 94 On considère la fonction f : + définie sur l intervalle I ] ; [ et le réel a appartenant à I ) Montrer que f est dérivable sur I ) Calculer f ' () pour I 3) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a ) La fonction f est dérivable sur I comme quotient de fonctions dérivables sur I, ne s annulant pas sur I ) f ' () ( ) + ( + +) ( ) ( ) 3) f ' () 4 et f (), donc une équation de la tangente demandée est : y 4( ) +, soit : y 4 Eercice n 55 page 94 On considère la fonction f : définie sur l intervalle I ] ; [ et le réel a appartenant à I ) Montrer que f est dérivable sur I ) Calculer f ' () pour I 3) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a ) La fonction f est dérivable sur I comme quotient de fonctions dérivables sur I, s annulant pas sur I ) f ' () ( )( ) ( 6 + )( + 5) ( ) ( ) 3) f ' ( ) 43 4 et f ( ) 7 soit : y , donc une équation de la tangente demandée est : y 43 4 ( + ) 7, Eercice n 56 page 95 Justifier le résultat des calculs de dérivées des fonctions suivantes obtenu avec un logiciel de calcul formel et donner si nécessaire une epression plus simple de f ' () Voir la fice Xcas, page 389 a) f () b) g() 3 + c) () + 3 a) f ' () 6 5, et Xcas affice : b) g' () 3 34 c) ' () ( 3) ( + ) ( 3), et Xcas affice ( 3), et Xcas affice 3 + ( + ) ( 3) ( + ) ( 3) ( 3) 4 ( 3) Remarque : le logiciel utilise la formule du produit en considérant () sous la forme ( + ) 3 H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr

25 e S - programme 0 matématiques c5 caier élève Page 5 sur 5 Eercice n 57 page 95 Dans les trois cas suivants, justifier le résultat des calculs de dérivées des fonctions suivantes obtenu avec un logiciel de calcul formel et donner si nécessaire une epression plus simple de f ' () Voir la fice Xcas, page 389 ) f () et f ' (), et Xcas affice : ) f () et f ' () 3 3, et Xcas affice : 3 3 3) f () + et f ' () ( + ), et Xcas affice : ( + ) ( + ) Eercice n 58 page 95 On a dérivé la fonction racine carrée à l'aide d'un logiciel de calcul formel Epliquer le résultat obtenu f () et f ' (), et, avec le logiciel : Eercice n 59 page 95 La courbe représentative C de la fonction f : sur l'intervalle [0 ; 3], et une + tangente à cette courbe sont afficées à l'écran d'une calculatrice (voir ci-après) ) Justifier que f est dérivable sur [0 ; 3] ) Calculer f ' () pour appartenant à [0 ; 3] 3) Justifier l'équation de la tangente afficée sur l'écran 4) Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 5) Vérifier à l'aide de la calculatrice (voir l'eercice 40) ) f est le quotient de deu fonctions dérivables sur I et + ne s'annule pas sur I ) f ' () ( )( + ) ( ) ( + ) + ( + ) 3) y f ' ()( ) + f () équivaut à : y 3 ( ) + 0, soit à : y 3 3 4) y f ' ()( ) + f () équivaut à : y ( ) + 5, soit à : y ) H Rortais (Lycée Polyvalent du Sacré Cœur à Nantes) ttp://wwwsacrecoeurnantese-lycofr