Théorie de la Mesure et Intégration

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1 Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM365 Intégration 2 Année Théorie de la Mesure et Intégration Amaury Lambert 1 1. Responsable de l UE. Mél :

2 Table des matières 1 Construction d une mesure Quelques rappels et nouvelles définitions Rappels Définitions utiles dans le cadre de l unicité des mesures Définitions utiles dans le cadre de l existence des mesures Unicité d une mesure Théorème de la classe monotone et corollaires Applications Existence d une mesure Théorème de Caratheodory Applications Tribu produit et mesure produit Tribu produit Cas général Le cas borélien Sections Mesure produit Théorèmes de Fubini Théorème de Fubini Tonelli Théorème de Fubini Lebesgue Mesure image et changement de variable Mesure image Formule du changement de variable Les espaces L p Les espaces de Banach L p Convergence dans L p et convergence simple Complétude des espaces L p L espace L 2 et les espaces de Hilbert L espace de Hilbert L 2 (µ) Théorème de projection Lemme de Riesz Fisher

3 TABLE DES MATIÈRES Théorème de Radon Nikodym Dualité L p L q Régularité et théorèmes de densité Régularité d une mesure sur un espace métrique Théorèmes de densité Produit de convolution Convolution de mesures et de fonctions positives Convolution de fonctions boréliennes de signe quelconque Transformée de Fourier Définition et premières propriétés Injectivité de la transformée de Fourier

4 Chapitre 1 Construction d une mesure : existence et unicité 1.1 Quelques rappels et nouvelles définitions Rappels Définition 1.1 Une classe A de parties d un ensemble E est appelée tribu ou σ-algèbre si (i) elle contient E : E A ; (ii) elle est stable par passage au complémentaire : pour tout A E, A A c A A ; (iii) elle est stable par réunion dénombrable : si (A n ) est une famille dénombrable d éléments de A, alors n A n A. Définition 1.2 Une mesure sur l espace mesurable (E, A ) est une application µ : A [0, + ] qui : (i) associe la valeur 0 à l ensemble vide : µ( ) = 0 ; (ii) est σ-additive : pour toute suite (A n ) d éléments de A deux à deux disjoints, µ( n A n ) = n µ(a n ) Définitions utiles dans le cadre de l unicité des mesures Définition 1.3 Une classe Λ de parties d un ensemble E est appelée λ-système si (i) elle contient : Λ ; (ii) elle est stable par différence propre : pour tous A, B Λ, A B B \ A Λ ; (iii) elle est stable par réunion dénombrable croissante : si (A n ) est une suite croissante d éléments de Λ, alors n A n Λ. Remarque 1.4 Dans la définition précédente de λ-système, la propriété (i) est seulement là pour rappeler que Λ est non vide car c est une conséquence de (ii). 4

5 CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 5 Remarque 1.5 Une tribu est un λ-système, et donc en particulier P(E) en est un. Définition 1.6 Un λ-système qui contient E est appelé classe monotone. Une définition de classe monotone peut donc être obtenue par la modification suivante de la définition de λ-système : en changeant (i) pour (i ) : E Λ. Proposition 1.7 a) L intersection d une collection quelconque non vide de λ-systèmes est un λ-système. b) Pour toute classe C de parties de E, l intersection 1 de tous les λ-systèmes contenant tous les éléments de C est donc un λ-système, noté Λ(C ), et appelé λ-système engendré par C ou plus petit λ-système contenant C. Remarque 1.8 On rappelle que l on définit de la même manière la tribu σ(c ) engendrée par C. La démonstration de la proposition précédente est laissée en Proposition 1.9 Si Λ est une classe monotone stable par intersections finies, alors Λ est une tribu. Dém. Vérifions une par une les trois propriétés caractéristiques des tribus. (i) E Λ puisque Λ est une classe monotone. (ii) Comme E Λ, pour tout A Λ, le complémentaire de A est la différence propre E \ A, donc c A Λ. (iii) Soir (A n ) une suite d éléments de Λ. Pour tout entier n, soit B n := n k=0 A k. Comme n A n = n B n et que (B n ) est une suite croissante, la propriété (iii) des classes monotones implique qu il suffit de montrer que B n Λ pour tout n. Autrement dit, il suffit de montrer que Λ est stable par réunions finies. Or on se souvient que Λ est stable par passage au complémentaire et, par hypothèse, stable par intersections finies, donc pour tous A, B Λ, A B = c ( c A c B) Λ, ce qui achève la démonstration. Définition 1.10 Une classe C de parties de E est appelée π-système si (i) elle contient E : E C ; (ii) elle est stable par intersections finies : pour tous A, B C, A B C. Remarque 1.11 Avec cette définition, la proposition qui précède peut s énoncer ainsi : si A est à la fois un λ-système et un π-système, alors A est une tribu. Remarque 1.12 Dans R d, l ensemble des pavés (produits cartésiens d intervalles), l ensemble des pavés ouverts (produits cartésiens d intervalles ouverts) forment chacun un 1. non vide puisque P(E) est un λ-système

6 CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE Définitions utiles dans le cadre de l existence des mesures Définition 1.13 Une classe B de parties d un ensemble E est appelée algèbre ou algèbre de Boole si (i) elle contient E : E B ; (ii) elle est stable par passage au complémentaire : pour tout A E, A B c A B ; (iii) elle est stable par réunions finies : pour tous A, B B, A B B. Remarque 1.14 Une tribu est donc une algèbre de Boole stable par réunion dénombrable, d où le nom de σ-algèbre. Remarque 1.15 Dans R d, l ensemble des réunions finies de pavés forment une algèbre, ainsi que l ensemble des réunions finies de pavés 1.2 Unicité d une mesure Théorème de la classe monotone et corollaires Théorème 1.16 (Théorème de la classe monotone) Pour tout π-système C, Λ(C ) = σ(c ). En particulier, le plus petit λ-système Λ(C ) contenant C est donc une tribu. Dém. Supposons que Λ(C ) est une tribu et montrons qu alors Λ(C ) = σ(c ). De manière générale, comme σ(c ) est une tribu contenant C, c est un λ-système contenant C, donc on a toujours Λ(C ) σ(c ) (puisque Λ(C ) est le plus petit λ-système contenant C ). De plus, d après l assertion qui précède, Λ(C ) est une tribu contenant C, donc σ(c ) Λ(C ) (puisque σ(c ) est la plus petite tribu contenant C ). Montrons à présent que Λ(C ) est une tribu. D après la proposition qui précède, il suffit de montrer que Λ(C ) contient E et est stable par intersections finies. Il est évident que E Λ(C ) car E C (C est un π-système) et C Λ(C ). En particulier Λ(C ) est une classe monotone. Montrons donc que Λ(C ) est stable par intersections finies, en utilisant le fait que C l est. Pour tout C E fixé, on définit Λ C := {A Λ(C ) : A C Λ(C )}. Nous allons montrer que Λ C est toujours un λ-système. (i) comme A := Λ(C ) (qui est une classe monotone) et que A C = Λ(C ) (toujours...), on a bien que Λ C. (ii) Pour tous A, B Λ C tels que A B, on a A, B Λ(C ) avec A C et B C éléments de Λ(C ). Par stabilité par différence propre de Λ(C ), comme A C B C, on a (B C) \ (A C) Λ(C ), mais (B C) \ (A C) = (B \ A) C, donc B \ A Λ C. (iii) Soit (A n ) une suite croissante d éléments de Λ C, de sorte que pour tout entier n, A n Λ(C ) et A n C Λ(C ). Or (A n C) est croissante, donc comme Λ(C ) est stable par réunion dénombrable croissante, on a n (A n C) Λ(C ). Mais n (A n C) = ( n A n ) C, donc n A n Λ C.

7 CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 7 En conclusion, Λ C est bien un λ-système. Supposons maintenant que C C. Alors Λ C contient tous les éléments de C, en effet pour tout A C, comme C C et que C est stable par intersections finies, A C C, donc A C Λ(C ), de sorte que A Λ C. Par conséquent, Λ C est un λ-système contenant C, et comme par définition Λ C Λ(C ), qui est le plus petit λ-système contenant C, Λ C = Λ(C ). Comme C est arbitraire, on peut donc écrire C C, A Λ(C ), A C Λ(C ). On voudrait maintenant remplacer la première occurrence de C par Λ(C ) de manière à obtenir la stabilité par intersections finies de Λ(C ). Soit A Λ(C ). D après ce qui précède, pour tout C C, A C Λ(C ), autrement dit C Λ A Λ(C ). Comme Λ A est un λ-système, Λ A = Λ(C ). Ceci s écrit A Λ(C ), B Λ(C ), B A Λ(C ), ce qui n est autre que la stabilité de Λ(C ) par intersections finies. On en déduit les deux résultats d unicité suivants : Corollaire 1.17 Soient µ et ν deux mesures finies sur un espace mesurable (E, A ) qui coïncident 2 sur un π-système C A qui engendre 3 A, alors µ et ν coïncident sur A. Corollaire 1.18 Soient µ et ν deux mesures σ-finies sur un espace mesurable (E, A ) telles que : a) il existe une suite mesurable croissante (E n ) telle que n E n = E ; b) pour tout entier n, µ(e n ) = ν(e n ) < ; c) µ et ν coïncident sur un π-système C engendrant A et contenant chaque E n. Alors µ et ν coïncident sur A. Remarque 1.19 Le fait que µ et ν sont σ-finies pourrait ne pas être mentionné dans l énoncé qui précède, car c est en fait une conséquence des conditions (a) et (b). Démonstration du Corollaire Soit Λ := {A A : µ(a) = ν(a)}. Alors Λ est un λ-système car : (i) Λ contient l ensemble vide, puisque µ( ) = 0 = ν( ) ; (ii) pour tous éléments A, B de Λ, si A B, alors comme µ et ν sont finies, µ(b \ A) = µ(b) µ(a) = ν(b) ν(a) = ν(b \ A). (iii) pour toute suite croissante (A n ) d éléments de Λ, par continuité à gauche de la mesure, µ( n A n ) = lim n µ(a n ) = lim n ν(a n ) = ν( n A n ). Comme Λ contient C, Λ(C ) Λ A. Mais d après le théorème de la classe monotone, comme C est un π-système, σ(c ) = Λ(C ). Enfin par hypothèse, A = σ(c ), donc A = σ(c ) = Λ(C ) Λ A, ce qui montre bien que A = Λ. 2. c est-à-dire que pour tout A C, µ(a) = ν(a) 3. c est-à-dire que A = σ(c )

8 CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 8 Démonstration du Corollaire On applique le corollaire 1.17 aux mesures traces µ n := µ( E n ) et ν n := ν( E n ) qui sont finies grâce à l hypothèse (b). Elles coïncident bien sur C par l hypothèse (c), car pour tout C C, comme C E n C (car E n C et C est stable par intersection), µ n (C) = µ(c E n ) = ν(c E n ) = ν n (C). Donc µ n et ν n coïncident sur A. Maintenant l hypothèse (a) permet de conclure en utilisant la continuité à gauche de la mesure, car pour tout A A, µ(a) = µ( n E n A) = µ(lim n (E n A)) = lim n µ(e n A) = lim n µ n (A), et de même pour ν. Or µ n (A) = ν n (A), donc µ(a) = lim n µ n (A) = lim n ν n (A) = ν(a), ce qui montre que µ et ν coïncident sur A Applications Unicité de la mesure de Lebesgue Supposons qu il existe deux mesures µ et ν sur B(R d ) telles que pour tout pavé ouvert R = d k=1 I k, où chaque I k =]a k, b k [ est un intervalle (ouvert, mais cela est sans importance ici) éventuellement infini de R, µ(r) = d (b k a k ) = ν(r), k=1 avec la convention habituelle 0 = 0. Montrons qu alors µ et ν coïncident sur B(R d ). Ceci prouvera l unicité de la mesure de Lebesgue (dont nous montrerons l existence à la section suivante). Soit C l ensemble des pavés ouverts de R d (produits d intervalles ouverts pouvant être infinis, donc en particulier pouvant être égaux à R tout entier, ce qui garantit que R d C ). En particulier C est un π-système et l on sait que la tribu engendrée par C B(R d ). Soit E n le produit des intervalles ] n, n[, c est-à-dire E n := d k=1 ] n, n[. Alors les propriétés du corollaire 1.18 sont bien vérifiées : a) n E n = R d ; b) pour tout entier n, µ(e n ) = ν(e n ) = (2n) d < ; c) E n C, et σ(c ) = B(R d ), où C est un π-système. On peut donc conclure que µ et ν coïncident sur B(R d ). Caractérisation d une mesure par sa fonction de répartition Définition 1.20 Si µ est une mesure finie sur (R, B(R)), on appelle fonction de répartition de µ la fonction F : R R + définie par F (x) := µ(], x]).

9 CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 9 Proposition 1.21 La fonction de répartition F d une mesure finie est continue à droite, croissante, et vérifie De plus, pour tous réels a < b lim F (x) = 0 et lim F (x) = µ(r). x x + i) µ(]a, b]) = F (b) F (a) ii) µ([a, b]) = F (b) F (a ) iii) µ(]a, b[) = F (b ) F (a) iv) µ([a, b[) = F (b ) F (a ). Dém. À faire en Exemple 1.22 Si µ = δ a, alors F (x) = 1 [a,+ [. Si µ = n α nδ xn, alors F est discontinue en tout point x n tel que α n > 0 et continue partout ailleurs F (x) = n α n 1 [xn,+ [. Définition 1.23 Si µ est une mesure de Borel 4 sur (R, B(R)), on appelle fonction de répartition généralisée de µ la fonction G : R R définie par µ(]x, 0]) si x < 0 G(x) = µ(]0, x]) si x > 0 0 si x = 0. Proposition 1.24 La fonction de répartition G d une mesure de Borel est continue à droite, croissante, et vérifie lim G(x) = µ(r ) et lim F (x) = x x + µ(r +). De plus, pour tous réels a < b, G vérifie les quatre propriétés énoncées à la proposition précédente pour les mesures finies. Dém. À faire en Exemple 1.25 Si µ est la mesure de Lebesgue sur R, alors G(x) = x. Théorème 1.26 Si µ et ν sont deux mesures finies (resp. de Borel) sur (R, B(R)), et qu elles ont la même fonction de répartition F (resp. la même fonction de répartition généralisée G), alors elles sont égales. 4. c est-à-dire une mesure finie sur les compacts

10 CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 10 Dém. Traitons d abord le cas où µ et ν sont finies. Soit alors C := {], x] : x R} {R}. On voit facilement que C est un π-système engendrant B(R) sur lequel µ et ν coïncident, car µ(], x]) = F (x) = ν(], x]) (l égalité µ(r) = ν(r) s obtient par passage à la limite). Le corollaire 1.17 permet de conclure que µ et ν coïncident sur B(R). Dans le cas où µ et ν sont seulement finies sur les compacts, on définit C := {]x, y] : < x y < + } {R}, et E n :=] n, n]. Alors E n C, n E n = R et C est un π-système engendrant B(R) sur lequel µ et ν coïncident, car µ(]x, y]) = G(y) G(x) = ν(]x, y]) (les égalités µ(r ) = ν(r ) et µ(r +) = µ(r +) s obtiennent pas passages à la limite, et impliquent µ(r) = ν(r)). Comme on a µ(e n ) = ν(e n ) <, le corollaire 1.18 permet de conclure que µ et ν coïncident sur B(R). 1.3 Existence d une mesure Théorème de Caratheodory Définition 1.27 Soit B une algèbre de Boole sur un ensemble E. Une mesure d algèbre sur (E, B) est une application m : B [0, + ] qui : (i) associe la valeur 0 à l ensemble vide : m( ) = 0 ; (ii) est finiment additive : pour tous A, B B tels que A B =, m(a B) = m(a) + m(b) ; (iii) satisfait la popriété suivante : il existe une suite croissante (E n ) d éléments de B convergeant vers E telle que m(e n ) < pour chaque entier n et telle que pour tout A B, lim n m(a E n ) = m(a) ; (iv) satisfait la propriété de Caratheodory : pour toute suite décroissante (A n ) d éléments de B convergeant vers et telle que m(a 0 ) <, lim n m(a n ) = 0. Proposition 1.28 Une mesure d algèbre m sur (E, B) vérifie pour tous A, B B : (i) Additivité finie : m(a) = m(a \ B) + m(a B) ; (ii) Additivité forte : m(a B) + m(a B) = m(a) + m(b) ; (iii) Sous-additivité : m(a B) m(a) + m(b) ; (iv) Croissance : si A B, m(a) m(b). Théorème 1.29 (de prolongement de Caratheodory) Soit B une algèbre de Boole sur un ensemble E. Si m est une mesure d algèbre sur (E, B), alors il existe une mesure µ sur la tribu σ(b) qui coïncide 5 avec m sur B. Remarque 1.30 On dit alors que µ est un prolongement de la mesure (d algèbre) m, qui elle est seulement définie sur l algèbre B, à la tribu σ(b). Ce théorème de prolongement est admis. 5. c est-à-dire que pour tout B B, µ(b) = m(b)

11 CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 11 Remarque 1.31 En fait on aurait directement pu dire dans le théorème qu il existe un unique tel prolongement. En effet, si µ et ν sont deux prolongements d une même mesure d algèbre B, alors µ et ν coïncident sur B, qui est aussi un π-système, et comme il existe une suite mesurable (E n ) convergeant vers E telle que µ(e n ) = ν(e n ) <, alors µ et ν coïncident sur σ(b) d après le corollaire Applications Existence de la mesure de Lebesgue Montrons l existence d une mesure sur Bor(R d ) telle que la mesure d un pavé R = d k=1 I k, où chaque I k est un intervalle de R d extrémité gauche a k et d extrémité droite b k + (les extrémités pouvant être fermées ou ouvertes), vaut d k=1 (b k a k ). On définit B l ensemble des réunions finies de pavés deux à deux disjoints. Alors pour tout A B, A s écrit de manière unique sous la forme A = j i=1 R i, où les (R i ) sont des pavés deux à deux disjoints, et l on peut définir sans ambiguïté la mesure d algèbre m sur B par m(a) = j i=1 m(r i), où la mesure d un pavé a été définie précédemment. On peut alors vérifier que B est une algèbre et que m est une mesure d algèbre sur (E, avec E n définie comme le produit des intervalles ] n, n[ (pour montrer la propriété de Caratheodory, on s inspirera de l application suivante). Comme σ(b) = Bor(R d ), le théorème de Caratheodory permet bien de déduire l existence d une mesure, appelée mesure de Lebesgue, prolongeant la mesure m à tous les boréliens de R d. Définition d une mesure par sa fonction de répartition Théorème 1.32 Si F : R R + est une fonction croissante, bornée, continue à droite et telle que lim x F (x) = 0 alors il existe une (unique) mesure µ sur Bor(R) qui admet F pour fonction de répartition. Théorème 1.33 Si G : R R est une fonction croissante, continue à droite et telle que G(0) = 0, alors il existe une (unique) mesure µ de Borel sur Bor(R) qui admet G pour fonction de répartition généralisée. Remarque 1.34 L existence de la mesure de Lebesgue sur R peut également se déduire du théorème précédent en prenant G(x) = x. Dém. du théorème Soit B l ensemble de toutes les réunions finies d intervalles disjoints, qui est une algèbre. Pour tous x y, on définit alors G( ) = lim x G(x) et G( ) = lim x G(x)) m(]x, y[) := G(y ) G(x) et m({x}) = G(x) G(x ), ce qui définit m sur tout intervalle de R, et pour tout A = i j=1i j B, où les (I j ) sont des intervalles disjoints, m(a) := i j=1 m(i j). Montrons que les quatre propriétés du théorème de prolongement de Caratheodory sont satisfaites. Le résultat découlera alors de ce théorème car σ(b) = Bor(R).

12 CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 12 Il est immédiat de vérifier que c est bien le cas des propriétés (i) et (ii). Pour (iii), définissons E n :=] n, n] et fixons A B. En distinguant suivant que A contient un intervalle infini ou non, on montre alors que lim n m(a E n ) = m(a). D après la définition de la mesure d algèbre m, on peut toujours se ramener au cas où A est un seul intervalle. Si par exemple A =]x, + [, où x est fini, alors à partir d un certain rang, A E n =]x, n] et lim n m(a E n ) = lim n G(n) G(x) = G( ) G(x) = m(a). Les autres cas se démontrent de la même manière. Le plus difficile reste à faire, à savoir montrer que la propriété (iv), dite de Caratheodory, est satisfaite. Soit donc une suite décroissante (A n ) d éléments de B telle que m(a 0 ) <. On peut donc écrire A n de manière unique sous la forme A n = K n k=1 où les K n intervalles (I k,n ) k sont disjoints. On fixe alors ε et l on cherche à définir une suite de compacts (A n) telle que A n A n et m(a n \ A n) ε2 n. Il suffit pour cela d exhiber des intervalles compacts I k,n I k,n suffisamment grands pour que En effet, en définissant I k,n, m ( ) I k,n \ I k,n ε n 0, 1 k K K n 2 n n. A n := K n k=1 I k,n, on aura alors A n A n et A n \ A n = Kn k=1 ( Ik,n \ I k,n), si bien que K n m (A n \ A n) = m ( I k,n \ I k,n k=1 ) K n k=1 ε K n 2 n = ε 2 n. Remarquons d abord que pour tous x y + tels que m(]x, y[) <, pour toute suite décroissante (x n ) convergeant vers x et pour toute suite croissante (y n ) convergeant vers y, m(]x, y[\[x n, y n ]) = m(]x, x n [) + m(]y n, y[) = G(x n ) G(x) + G(y ) G(y n ) 0, lorsque n, car G est continue à droite (avec des limites à gauche, car croissante) et l on a supposé que G(y ) et G(x) sont finis. En conclusion, pour tout α > 0 et tout intervalle I =]x, y[ de R (resp. I = [x, y[, resp. I =]x, y]) tel que m(i) <, il existe un intervalle compact I = [x, y ] (resp. I = [x, y ], resp. I = [x, y]) inclus dans I tel que m(i \ I) < α. Puisque m(a 0 ) <, on peut donc bien trouver des intervalles compacts I k,n vérifiant la propriété demandée. Supposons qu il existe x na n. Alors pour tout entier n, x A n, donc x A n puisque A n A n. Par conséquent, x n A n, ce qui contredit n A n =, ce qui prouve que n A n =. Or chaque A n est compact (comme réunion finie de compacts) donc il existe un entier N tel que N n=0a n =.

13 CHAPITRE 1. CONSTRUCTION D UNE MESURE 13 ( N ) ( N ) ( N ) ( N ) A n c A n \ A n = A n ( c A n A n) n=0 n=0 = n=0 n=0 N A n ( c A n A n) = n=0 De cette intersection vide, on déduit que A N = N A n n=0 N (A n \ A n). n=0 N A n A n = n=0 N A n =. Mais comme une mesure d algèbre est croissante et sous-additive, pour tout entier k ( N ) N N m(a k ) m(a N ) m (A n \ A n) m (A n \ A n) ε2 n 2ε. n=0 En conclusion, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que pour tout k N, m(a k ) 2ε, ce qui n est autre que la propriété de Caratheodory. n=0 n=0 n=0

14 Chapitre 2 Tribu produit, mesure produit et «intégrales multiples» 2.1 Tribu produit Cas général Soient (E 1, A 1 ) et (E 2, A 2 ) deux espaces mesurables. Définition 2.1 On appelle tribu produit sur E 1 E 2, et l on note A 1 A 2, la plus petite tribu contenant les rectangles à côtés mesurables : où l on a noté A 1 A 2 := σ (A 1 A 2 ), A 1 A 2 := {A 1 A 2 : A 1 A 1, A 2 A 2 }. Le couple (E 1 E 2, A 1 A 2 ) est appelé espace mesurable produit. Remarque 2.2 Bien entendu, la famille A 1 A 2 des rectangles à côtés mesurables n est en général pas une tribu. Proposition 2.3 La tribu A 1 A 2 est aussi la tribu engendrée par les projections canoniques π 1 et π 2, c est-à-dire la plus petite tribu sur E 1 E 2 qui rende π 1 et π 2 mesurables 1. Dém. Soit B la tribu engendrée par π 1 et π 2. Par définition, B est la plus petite tribu contenant les parties de E 1 E 2 de la forme π1 1 (A 1 ) et π2 1 (A 2 ) où A i A i, i = 1, 2. Or π1 1 (A 1 ) = A 1 E 2 et π2 1 (A 2 ) = E 1 A 2, donc B est aussi la plus petite tribu qui contient les parties de E 1 E 2 de la forme (A 1 E 2 ) (E 1 A 2 ) = A 1 A 2, c est-à-dire σ(a 1 A 2 ). 1. On rappelle que π 1 et π 2 sont définies par : π 1(x, y) = x et que π 2(x, y) = y 14

15 CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 15 Proposition 2.4 Soit f : (X, T ) (E 1 E 2, A 1 A 2 ) x f(x) = (f 1 (x), f 2 (x)) Alors la fonction f est mesurable ssi f 1 et f 2 sont mesurables 2. Dém. Sens direct de l équivalence : si f est mesurable alors pour tout i = 1, 2, f i = π i f est mesurable comme composée de fonctions mesurables. Autre sens : supposons que f 1 et f 2 sont mesurables. Alors pour tous A 1 A 1 et A 2 A 2, f 1 (A 1 A 2 ) = {x X : f(x) A 1 A 2 } = {x X : f 1 (x) A 1, f 2 (x) A 2 } = f 1 1 (A 1 ) f 1 2 (A 2 ). Par hypothèse f 1 1 (A 1 ) T et f 1 2 (A 2 ) T, donc f 1 (A 1 A 2 ) T par stabilité des tribus par intersection. En conclusion, f 1 (A 1 A 2 ) T, donc f 1 (A 1 A 2 ) = σ ( f 1 (A 1 A 2 ) ) T, où la première égalité est une application du lemme de transport, et l inclusion n est autre que la mesurabilité de f. Remarque 2.5 Ce qui précède peut bien sûr s énoncer de manière similaire pour tout produit cartésien fini d ensembles. Si ((E i, A i )) 1 i d sont d espaces mesurables, alors on définit A 1 A d comme la plus petite tribu sur E 1 E d contenant tous les rectangles de la forme A 1 A d, où A i A i pour tous i = 1,..., d ; c est aussi la tribu engendrée par les projections canoniques π i : d E j E i j=1 (x 1,..., x d ) x i pour i parcourant {1,..., d}. Proposition 2.6 (associativité de ) On a l égalité suivante entre tribus (A 1 A j ) (A j+1 A d ) = A 1 A d, où l on a bien sûr identifié (E 1 E j ) (E j+1 E d ) et E 1 E d. 2. comme fonctions de (X, T ) vers (E 1, A 1) et (E 2, A 2) respectivement

16 CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 16 Dém. Montrons la proposition dans le cas où j = 2 et d = 3. Première démonstration possible. La tribu (A 1 A 2 ) A 3 est la plus petite tribu qui rende mesurables les applications et f 1,2 : E 1 E 2 E 3 (E 1 E 2, A 1 A 2 ) ((x 1, x 2 ), x 3 ) (x 1, x 2 ) f 3 : E 1 E 2 E 3 (E 3, A 3 ) ((x 1, x 2 ), x 3 ) x 3 Or f 1,2 est mesurable ssi ses applications coordonnées le sont. Par conséquent, ces deux applications sont mesurables ssi les trois applications (x 1, x 2, x 3 ) x i, pour i = 1, 2, 3, sont mesurables. Donc (A 1 A 2 ) A 3 est la tribu engendrée par ces trois applications, c est donc A 1 A 2 A 3. Deuxième démonstration possible, par double inclusion. Cette démonstration est plus compliquée, mais constitue un bon exercice. Démontrons d abord l inclusion A 1 A 2 A 3 (A 1 A 2 ) A 3. Pour tous A i A i, (i = 1, 2, 3), A 1 A 2 A 1 A 2, donc A 1 A 2 A 3 (A 1 A 2 ) A 3 (A 1 A 2 ) A 3, donc (A 1 A 2 ) A 3 contient les rectangles à côtés mesurables de E 1 E 2 E 3, donc contient tous les éléments de la tribu qu ils engendrent, ce qui est l inclusion annoncée. Montrons l inclusion inverse. Fixons A 3 A 3 et définissons T := {B A 1 A 2 : B A 3 A 1 A 2 A 3 }. On veut montrer que T est une tribu : si T est une tribu, alors comme T contient les rectangles de E 1 E 2 à côtés mesurables, T contient tous les éléments de la tribu B := A 1 A 2 qu ils engendrent. Ceci implique que pour tout B B, B A 3 A 1 A 2 A 3, où A 3 est un élément arbitraire de A 3. Autrement dit, B A 3 A 1 A 2 A 3 et donc B A 3 = σ(b A 3 ) A 1 A 2 A 3, qui est l inclusion annoncée. Vérifions donc que T est une tribu : i) T car A 3 = A 1 A 2 A 3. ii) pour tout B T, c B T car c B A 3 = (E 1 E 2 A 3 ) c (B A 3 ) qui est bien élément de T car E 1 E 2 A 3 A 1 A 2 A 3 et B A 3 A 1 A 2 A 3, qui est une tribu, donc stable par passage au complémentaire et intersection. iii) pour toute suite (B n ) d éléments de T, ( n B n ) A 3 = n (B n A 3 ), qui est bien élément de T car pour tout n, B n A 3 A 1 A 2 A 3, qui est une tribu, donc stable par réunion dénombrable.

17 CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT Le cas borélien Lorsque E 1 et E 2 sont des espaces topologiques, nous disposons déjà d une tribu sur E 1 E 2 qui est la tribu borélienne Bor(E 1 E 2 ), ou tribu engendrée par la topologie produit, dont on rappelle que les éléments sont les réunions (quelconques) de produits d ouverts (dits aussi rectangles à côtés ouverts). Proposition 2.7 a) On a toujours l inclusion Bor(E 1 ) Bor(E 2 ) Bor(E 1 E 2 ). b) Si E 1 et E 2 sont tous deux à bases dénombrable d ouverts (en particulier si E 1 et E 2 sont des espaces métriques séparables), alors l inclusion précédente devient une égalité. Dém. a) Par définition de la topologie produit, π i : E 1 E 2 E i est continue pour i = 1, 2 (i = 1 : si O 1 est un ouvert de E 1, π1 1 (O 1 ) = O 1 E 2 est un ouvert de E 1 E 2 ), et par conséquent π i est borélienne 3. Or la plus petite tribu qui rende mesurable π 1 et π 2 est Bor(E 1 ) Bor(E 2 ), d où le résultat. b) Pour tout i = 1, 2, soit U i = (U n (i) ) n N une base dénombrable d ouverts de E i, c est-à-dire que tout ouvert de E i peut s écrire comme réunion (forcément dénombrable, donc) d éléments de U i. Par définition de la topologie produit, tout ouvert Ω de E 1 E 2 est une réunion (quelconque, cette fois) de produits d ouverts Ω = j J O (1) j O (2) j, où J est un ensemble d indices quelconque et pour tous i, j, O (i) j est un ouvert de E i. Comme O (i) j est un ouvert de E i, O (i) j s écrit comme réunion d éléments de U i, c est-à-dire qu il existe une partie K (i) j de N telle que O (i) j = U (i) h, et ainsi O (1) j O (2) j = h K (1) j U (1) h h K (i) j k K (2) j U (2) k = (h,k) K (1) j K (2) j U (1) h U (2) k. En conclusion, Ω = (h,k) j J K (1) j K (2) j U (1) h U (2) k, 3. sans ambiguïté : l espace d arrivée E i est muni de sa tribu borélienne Bor(E i) et l espace de départ E 1 E 2 est muni de sa tribu borélienne Bor(E 1 E 2)

18 CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 18 qui est une réunion dénombrable de produits d ouverts car j J K (1) j K (2) j N 2. Comme un produit d ouverts est élément de Bor(E 1 ) Bor(E 2 ), c est le cas également de Ω, par stabilité des tribus par réunion dénombrable. Ainsi les ouverts de E 1 E 2 sont des éléments de la tribu Bor(E 1 ) Bor(E 2 ), et par conséquent la plus petite tribu contenant les ouverts de E 1 E 2, à savoir Bor(E 1 E 2 ), est incluse dans Bor(E 1 ) Bor(E 2 ). Corollaire 2.8 Comme R est un espace métrique séparable, Bor(R) Bor(R) = Bor(R 2 ) et plus généralement, pour tout entier d 2, Bor(R) d = Bor(R d ). Ce corollaire permet, par exemple, de voir rapidement pourquoi, si f, g : R R sont deux fonctions boréliennes, alors f + g et fg sont aussi boréliennes. En effet, on sait que l application somme S et l application produit P S : (R 2, Bor(R 2 )) (R, Bor(R)) (x, y) x + y P : (R 2, Bor(R 2 )) (R, Bor(R)) (x, y) xy sont boréliennes car continues. De plus, on sait que l application C : (R, Bor(R)) (R 2, Bor(R) Bor(R)) x (f(x), g(x)) est mesurable, car les deux applications coordonnées f et g sont mesurables. Ayant l égalité entre Bor(R 2 ) et Bor(R) Bor(R), on a donc la mesurabilité de f + g = S C et de fg = P C Sections Définition 2.9 Si C A 1 A 2, pour tous x 1 E 1 et x 2 E 2, on note C x1 := {y 2 E 2 : (x 1, y 2 ) C} et C x 2 := {y 1 E 1 : (y 1, x 2 ) C}, que l on appelle sections de C. Proposition 2.10 Soit f F (A 1 A 2, Bor(R)). Alors pour tout x 1 E 1, l application partielle est mesurable. f x1 : (E 2, A 2 ) (R, Bor(R)) x 2 f(x 1, x 2 ) Remarque 2.11 Attention, la réciproque est fausse : le fait que toutes les applications partielles soient mesurables n implique pas forcément que f soit mesurable.

19 CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 19 Dém. L application g x1 : (E 2, A 2 ) (E 1 E 2, A 1 A 2 ) x 2 (x 1, x 2 ) est mesurable car chacune des applications coordonnées l est de façon évidente. Donc f x1 = f g x1 est mesurable. Proposition 2.12 Les sections d éléments de la tribu produit sont mesurables. Autrement dit, pour tout C A 1 A 2 et pour tous x 1 E 1 et x 2 E 2 : C x1 A 2 et C x 2 A 1. Dém. Il suffit d appliquer la proposition précédente à la fonction f = 1 C, qui est mesurable par hypothèse. On obtient donc que f x1 est mesurable, mais f x1 = 1 Cx1, donc C x1 A Mesure produit Soient µ 1 et µ 2 deux mesures σ-finies, sur (E 1, A 1 ) et (E 2, A 2 ) respectivement. Lemme 2.13 Pour tout C A 1 A 2, l application est mesurable. h C : (E 1, A 1 ) ( R +, Bor( R + )) x 1 µ 2 (C x1 ) Dém. Supposons d abord que µ 2 est finie. Soit Λ := {C A 1 A 2 : h C est mesurable}. Montrons que Λ est une classe monotone. i) C = E 1 E 2 Λ car C x1 = E 2 pour tout x 1 E 1, et h C est donc la fonction constante à µ 2 (E 2 ), qui est toujours mesurable. ii) Soient C D tous deux éléments de Λ. Alors h C et h D sont mesurables, et h D\C = h D h C, car (D \ C) x1 = D x1 \ C x1, avec C x1 D x1. Donc h D\C est mesurable, et D \ C Λ. iii) Soit (C (n) ) n une suite croissante d éléments de Λ et C sa limite. Alors la suite (C x (n) 1 ) est croissante, donc par continuité à gauche de la mesure µ 2, h C (x 1 ) = µ 2 (( n C (n) ) x1 ) = µ 2 ( n C (n) x 1 ) = µ 2 (lim n C (n) x 1 ) = lim n µ 2 (C (n) x 1 ) = lim n h Cn, qui est bien mesurable, comme limite de fonctions mesurables.

20 CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 20 En conclusion, Λ est bien une classe monotone. Montrons que Λ contient le π-système A 1 A 2. En effet, pour tout C = A 1 A 2 A 1 A 2, { A2 si x C x1 = 1 A 1 sinon, donc h C = µ 2 (A 2 )1 A1, qui est mesurable car étagée. Le théorème de la classe monotone assure alors que Λ contient σ(a 1 A 2 ) = A 1 A 2. La proposition est donc démontrée dans le cas où µ 2 est finie. Si µ 2 est seulement σ-finie, alors par définition, il existe une suite croissante (E (n) 2 ) n d éléments de A 2 convergeant vers E 2 telle que µ 2 (E (n) 2 ) < pour tout entier n. En particulier, pour tout A 2 A 2, µ 2 (A 2 ) = lim n µ 2 (A 2 E (n) 2 ). En appliquant ce qui précède à la mesure trace de µ 2 sur E (n) 2, on obtient que l application h n : x 1 µ 2 (C x1 E (n) 2 ) est mesurable, et par conséquent l application h C est également mesurable, comme limite (croissante) de la suite de fonctions (h n ). Théorème 2.14 Il existe une unique mesure m sur l espace produit (E 1 E 2, A 1 A 2 ) vérifiant m(a 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 ) pour tous A 1 A 1 et A 2 A 2. Cette mesure est σ-finie et est appelée mesure produit. On la note m = µ 1 µ 2. De plus, pour tout C A 1 A 2, µ 2 (C x1 ) dµ 1 (x 1 ) = µ 1 µ 2 (C) = µ 1 (C x 2 ) dµ 2 (x 2 ). E 1 E 2 Remarque 2.15 On pourrait énoncer un résultat qui assure que le produit de mesures est associatif, et le démontrer en utilisant la coïncidence des différents produits de mesures possibles sur les rectangles à côtés mesurables. Une conséquence de cette est la proposition suivante. Proposition 2.16 La mesure de Lebesgue λ d produit λ d 1. sur (R d, Bor(R d )) est aussi la mesure Remarque 2.17 Le théorème 2.14 est faux lorsque µ 1 ou µ 2 n est pas σ-finie comme on le voit en prenant par exemple la mesure de Lebesgue sur R pour µ 1 (qui est bien σ-finie) mais la mesure de comptage sur R pour µ 2 (qui n est pas σ-finie). En prenant par exemple (E 1, A 1 ) = (R, Bor(R)), (E 2, A 2 ) = (R, P(R)), et C = {(x, x) : x R} la première bissectrice de R 2, alors C x1 = {x 1 } et C x 2 = {x 2 }, donc µ 1 (C x 2 ) = 0, tandis que µ 2 (C x1 ) = 1. Par conséquent, µ 2 (C x1 ) dµ 1 (x 1 ) = µ 1 (E 1 ) = + 0 = µ 1 (C x2 ) dµ 2 (x 2 ). E 1 E 2

21 CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 21 Dém. du théorème a) Unicité. Si m et m vérifient la propriété du théorème, c est qu elles coïncident sur le π-système A 1 A 2 qui engendre A 1 A 2. De plus, comme µ 1 et µ 2 sont toutes deux σ-finies, alors pour i = 1, 2, il existe une suite croissante (E (n) i ) d éléments de A i convergeant vers E i et tels que µ i (E (n) i ) <. Alors si l on définit C n = E (n) 1 E (n) 2, m(c n ) = m (C n ) = µ 1 (E (n) 1 ) µ 2 (E (n) 2 ) < et n C n = E 1 E 2, ce qui permet de conclure que m = m par le corollaire b) Existence. On définit m 1 : A 1 A 2 R + par m 1 (C) := µ 2 (C x1 ) dµ 1 (x 1 ). E 1 Montrons que m 1 est une mesure. i) m 1 ( ) = 0 car toutes les sections de l ensemble vide sont vides. ii) Soit (C (n) ) une suite d éléments de A 1 A 2 deux à deux disjoints. Alors pour tout x 1 E 1, les sections (C x (n) 1 ) sont deux à deux disjointes et ( n C (n)) x 1 = n C x (n) 1, si bien que, par le théorème de Beppo Levi, ( m 1 n C (n)) = E 1 ( n ( ) ) µ 2 C (n) x 1 dµ 1 (x 1 ) = n ( µ 2 C (n) x 1 E 1 ) dµ1 (x 1 ) = n m 1 ( C (n) ), ce qui prouve la σ-additivité de m 1. De plus, pour tous A 1 A 1 et A 2 A 2, et pour tout x 1 E 1, la section (A 1 A 2 ) x1 vaut A 2 si x 1 A 1 et est vide sinon. Ainsi, m 1 (A 1 A 2 ) = µ 2 (A 2 ) dµ 1 (x 1 ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 ). A 1 Il existe donc bien une mesure m = m 1 satisfaisant m(a 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 ) et cette mesure vérifie m(c) := µ 2 (C x1 ) dµ 1 (x 1 ). E 1 De même, on définit la mesure m 2 par m 2 (C) := µ 1 (C x 2 ) dµ 2 (x 2 ), E 2 et l on montre que m 2 est une mesure qui coïncide avec m sur A 1 A 2, donc est égale à m (cf. a)). On se reportera aussi à a) pour voir que m est σ-finie. 2.3 Théorèmes de Fubini Théorème de Fubini Tonelli Théorème 2.18 (de Fubini Tonelli) Si f : (E 1 E 2, A 1 A 2 ) ( R +, Bor( R + )) est mesurable, alors les fonctions φ et ψ définies resp. sur E 1 et E 2 par φ(x 1 ) := f(x 1, x 2 ) dµ 2 (x 2 ) E 2 et ψ(x 2 ) := f(x 1, x 2 ) dµ 1 (x 1 ) E 1

22 CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 22 sont toutes deux mesurables et l on a la double égalité dans R + φ dµ 1 = f d(µ 1 µ 2 ) = ψ dµ 2. (2.1) E 1 E 1 E 2 E 2 Dém. Si f = 1 C pour C A 1 A 2, alors φ(x 1 ) = µ 2 (C x1 ) et ψ(x 2 ) = µ 1 (C x2 ), et donc d après le lemme 2.13 assure que φ et ψ sont mesurables et les trois termes de l équation (2.1) sont égaux à µ 1 µ 2 (C) par le théorème Cette assertion s étend aux fonctions étagées positives pas linéarité de l intégrale, puis aux fonctions mesurables positives par le lemme fondamental d approximation et le théorème de Beppo Levi Théorème de Fubini Lebesgue Théorème 2.19 (de Fubini Lebesgue) Soit f comme dans le théorème de Fubini Tonelli mais de signe quelconque. Alors si f est µ 1 µ 2 -intégrable 4, alors les fonctions φ et ψ du théorème sont resp. définies µ 1 -p.p. et µ 2 -p.p., sont resp. µ 1 -intégrables et µ 2 -intégrables, et vérifient la double égalité (2.1). Dém. On définit φ + (x 1 ) = f + (x 1, x 2 ) dµ 2 (x 2 ), E 2 ainsi que de manière évidente, φ, ψ + et ψ. D après le théorème de Fubini Tonelli, φ + dµ 1 = f + d(µ 1 µ 2 ) = ψ + dµ 2, E 1 E 1 E 2 E 2 qui est un nombre réel fini par hypothèse (se référer au terme du milieu). Par conséquent, φ + est finie µ 1 -p.p. et ψ + est finie µ 2 -p.p., ainsi que φ et ψ respectivement. Donc la fonction φ est définie µ 1 -p.p. (comme différence de deux fonctions finies p.p.) et l intégrale de φ est finie car égale à la somme des intégrales de φ + et de φ, qui sont toutes deux finies. Le résultat analogue se démontre de la même manière pour ψ, et ainsi l égalité (2.1) s obtient en faisant la différence de deux quantités finies. Remarque 2.20 Si f est positive, le théorème de Fubini Tonelli assure que l intégrale de f par rapport à µ 1 µ 2 peut toujours se calculer en faisant deux intégrales «simples» successives dans l ordre que l on souhaite. Si f est de signe quelconque, il faut, pour appliquer le théorème de Fubini-Lebesgue, d abord vérifier l intégrabilité de f par rapport à µ 1 µ 2 en utilisant le théorème de Fubini Tonelli (il suffit de vérifier que l une des intégrales«doubles» est finie). Remarque 2.21 Par convention d écriture, on écrira invariablement : f d(µ 1 µ 2 ) = dµ 1 (x 1 ) dµ 2 (x 2 ) f(x 1, x 2 ) E 1 E 2 E 1 E 2 = dµ 2 (x 2 ) dµ 1 (x 1 ) f(x 1, x 2 ) = dµ 1 (x 1 )dµ 2 (dx 2 ) f(x 1, x 2 ), E 2 E 1 E 2 4. ce qui se vérifie grâce au théorème de Fubini Tonelli... E 1

23 CHAPITRE 2. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 23 mais on évitera en général d écrire des intégrales «multiples» comme f(x 1,..., x n ) dµ(x 1 ) dµ(x n ), auquel on préférera E E E n f dµ n. Remarque 2.22 Si (a n,m ) est une suite doublement indicée de nombres réels positifs et si µ est la mesure de comptage sur (N, P(N)), alors l interversion suivante a n,m = a n,m n m m n peut être vue comme une application du théorème de Beppo Levi, car m a n,m = N a n,m dµ(m), comme du théorème de Fubini Tonelli, car les termes de l équation sont tous deux égaux à N N a n,mdµ 2 (n, m).

24 Chapitre 3 Mesure image et changement de variable 3.1 Mesure image Soient (E 1, A 1 ) et (E 2, A 2 ) deux espaces mesurables, µ une mesure sur (E 1, A 1 ) et h F (A 1, A 2 ). Définition 3.1 (et proposition) L égalité ν(a 2 ) := µ ( h 1 (A 2 ) ) A 2 A 2 définit une mesure ν sur (E 2, A 2 ) appelée mesure image et notée µ h 1, ou h(µ), ou encore µ h. Dém. i) ν( ) = µ(h 1 ( )) = µ( ) = 0. ii) Soit (B n ) une suite d éléments de A 2 formules de Hausdorff, pour tous i j, deux à deux disjoints, alors d après les h 1 (B i ) h 1 (B j ) = h 1 (B i B j ) = h 1 ( ) =, et ainsi ν ( n B n ) = µ ( h 1 (B n ) ) = µ ( n h 1 (B n ) ) = n µ ( h 1 (B n ) ) = n ν(b n ), par σ-additivité de µ. Théorème 3.2 Soit f F (A 2, Bor(R)). Si f est positive µ h -p.p. alors on a l égalité suivante dans R + f dµ h = f h dµ. (3.1) E 2 E 1 De même, f est µ h -intégrable ssi f h est µ-intégrable, et si c est le cas, on a l égalité (3.1) dans R. 24

25 CHAPITRE 3. MESURE IMAGE ET CHANGEMENT DE VARIABLE 25 Dém. Si f = 1 B, où B A 2, alors f h dµ = 1 B h dµ = 1 h 1 (B) dµ = µ ( h 1 (B) ) = µ h (B) = f dµ h. E 1 E 1 E 1 E 2 La linéarité de l intégrale, le lemme fondamental d approximation et le théorème de Beppo Levi impliquent (3.1) dès que f est positive µ h -p.p. L extension aux fonctions mesurables de signe quelconque et l équivalence des intégrabilités se déduisent de la décomposition f = f + f. Application. Soit h F (A, A ) telle que µ h = µ. Alors f dµ = f h dµ E pour toute fonction positive µ-p.p. ou µ-intégrable. En particulier, si µ est la mesure de Lebesgue sur R d et h = τ a est la translation de vecteur a R d, alors µ h = µ et donc f(x + a) dλ(x) = f dλ. R d R d À partir de maintenant on supposera que µ = λ d, que l on notera λ s il n y a pas d ambiguïté. Proposition 3.3 Soit A GL d (R) et b R d. Soit h l application affine définie par h(x) = Ax + b. Alors h(λ) = det A 1 λ. En particulier, pour tout f positive ou λ-intégrable, on a 1 f h dλ = f dλ. R det A d R d Application (vue en détail en TD) : calcul du volume de la boule unité. Soit B n (r) la boule (centrée sur l origine) de rayon r dans R n muni de la norme euclidienne. Alors par la proposition précédente, si h est l homothétie de paramètre r 1, Vol(B n (r)) = λ(h 1 (B n (1))) = det(h) 1 λ(b n (1)) = r n λ(b n (1)). D autre part si c n := Vol(B n (1)), alors 1 c n = dx 1 dx 2 dx n = 1 x x2 n 1 x2 1 E 1 1 ( )) dx 1 Vol (B n 1 1 x 2 1 = c n 1 I n 1, où l on a défini I n := 1 1 ( 1 x 2 ) n/2 dx.

26 CHAPITRE 3. MESURE IMAGE ET CHANGEMENT DE VARIABLE 26 Une intégration par parties permet de voir que I n = ni n 2 /(n + 1), ce qui indique pourquoi le résultat dépend de la parité de n. En effet, après calculs, on obtient pour tout entier k c 2k = πk k!, tandis que 2 k+1 π k c 2k+1 = (2k + 1). On retrouve ainsi que c 1 = 2, c 2 = π et c 3 = 4π/3. Dém. de la proposition. Montrons qu on peut supposer que b = 0. Admettons la proposition dans le cas où b = 0, c est-à-dire que λ A 1 = det A 1 λ. Maintenant si h(x) = Ax + b, c est-à-dire h = τ b A, on a λ h 1 = λ (τ b A) 1 = λ A 1 τ 1 b = det A 1 λ τ 1 b = det A 1 λ. On peut donc supposer dorénavant que b = 0. Soit ν := A(λ). Il faut montrer que ν = det A 1 λ. Montrons d abord que ν est invariante par translation. En effet, comme pour tout c R d, A 1 τc 1 (x) = A 1 (x c) = A 1 (x) A 1 (c) = τ A 1 (c) A 1 (x), ν τ 1 c = λ A 1 τ 1 c = λ τ A 1 (c) A 1 = λ A 1 = ν. Soit C d le pavé unité [0, 1] d. Montrons que ν(c d ) > 0. Comme R d x Z d(x + C d ), par invariance par translation de ν, ν ( R d) x Z d ν(x + C d ) = x Z d ν(c d ), donc si ν(c d ) = 0, ν ( R d) = 0, ce qui n est pas possible car ν ( R d) = λ A 1 ( R d) = λ ( R d) = +. Montrons que ν(c d ) <. L application A 1 est linéaire, donc continue, donc l image C d du compact C d par A 1 est également compacte. Comme λ est finie sur les compacts, ν(c d ) = λ(c d ) <. Soit c = c(a) = λ A 1 ( [0, 1] d). D après ce qui précède, c ]0, [ et ν = c 1 ν est une mesure invariante par translation telle que ν ( [0, 1] d) = 1, donc ν est la mesure de Lebesgue sur R d. Il suffit donc de montrer que c(a) = det A 1. Montrons que c est un morphisme. Si ϕ 1 et ϕ 2 sont deux endomorphismes inversibles de R d, alors d après ce qui précède, λ (ϕ 1 ϕ 2 ) 1 = c(ϕ 1 ϕ 2 ) λ, mais également λ (ϕ 1 ϕ 2 ) 1 = λ ϕ 1 2 ϕ 1 1 = c(ϕ 2 ) λ ϕ 1 1 = c(ϕ 2 ) c(ϕ 1 ) λ, ce qui implique effectivement que c(ϕ 1 ϕ 2 ) = c(ϕ 1 ) c(ϕ 2 ). Comme tout endomorphisme inversible Φ de R d s écrit comme produit fini d endomorphismes du type ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, où (en écrivant e i le i-ème vecteur de la base canonique) ϕ 1 (e i ) = e σ(i) pour σ une permutation de {1,..., d},

27 CHAPITRE 3. MESURE IMAGE ET CHANGEMENT DE VARIABLE 27 ϕ 2 (e 1 ) = αe 1 et ϕ 2 (e j ) = e j j 1 (avec α 0), ϕ 3 (e 1 ) = e 1 + e 2, et ϕ 3 (e j ) = e j j 1, il suffit de montrer que c(ϕ) = det ϕ 1 pour chacune de ces trois (sortes d )applications. En effet, ceci étant démontré, nous aurons pour Φ = Π n i=1φ i, où les φ i sont du type ciavant (et où le produit est un produit matriciel, c est à-dire une composition), c(φ) = c (Π n i=1φ i ) = Π n i=1c(φ i ) = ( Π n i=1 det φ i 1) = Π n i=1 det φ i 1 = det Φ 1. Le pavé unité C d est invariant par ϕ 1 donc c(ϕ 1 ) = λ(c d ) = 1 = det ϕ 1 1. Dans le cas de ϕ 2, ϕ 1 2 (C d ) = I α C d 1, où I α = [0, 1/α] si α > 0 et I α = [1/α, 0] si α < 0. Par conséquent c(ϕ 2 ) = λ 1 (I α )λ d 1 (C d 1 ) = α 1 = det ϕ 2 1. Enfin, ϕ 1 3 (C d ) = P 2 C d 2, où P 2 est un losange du plan d aire 1, donc c(ϕ 3 ) = λ 2 (P 2 )λ d 2 (C d 2 ) = 1 = det ϕ 3 1, ce qui achève la démonstration. 3.2 Formule du changement de variable Soient U et V deux ouverts de R d et φ un C 1 -difféomorphisme entre U et V, c est-àdire une bijection φ : U V telle que φ est de classe C 1 sur U et φ 1 est de classe C 1 sur V. Pour tout u U, on note φ (u) la matrice carrée d d des dérivées partielles de φ évaluées en u, autrement dit la matrice représentative de l application linéaire tangente à φ en u, appelée matrice jacobienne de φ en u. On note J φ (u) le déterminant de φ (u), appelé jacobien de φ en u. Nous allons montrer que l image par φ de la mesure de densité J φ par rapport à λ (sur U) est λ (sur V ), et que l image par φ de λ (sur U) est la mesure de densité J φ 1 par rapport à λ (sur V ). Théorème 3.4 (formule de changement de variable) Soit f une fonction borélienne sur V. Si f est positive ou λ-intégrable, alors f dλ = f φ J φ dλ. V De manière équivalente, si f est positive ou que f φ est λ-intégrable, alors f φ dλ = f J φ 1 dλ. U U Remarque 3.5 En dimension 1, si φ :]α, β[ ]a, b[ est un C 1 -difféomorphisme, alors φ ne peut pas s annuler et en particulier, φ est de signe constant. Avec les notations de l intégrale de Riemann, si l on applique la formule de changement de variable apprise au lycée, on retombe bien entendu sur la formule du théorème précédent. Si φ > 0, alors b a f(x) dx = φ 1 (b) φ 1 (a) V f φ(u) φ (u) du = β α f φ(u) φ (u) du.

28 CHAPITRE 3. MESURE IMAGE ET CHANGEMENT DE VARIABLE 28 Si φ < 0, alors b a f(x) dx = φ 1 (b) φ 1 (a) β β f φ(u) φ (u) du = f φ(u) φ (u) du = f φ(u) φ (u) du. α α Corollaire 3.6 Si µ est la mesure de densité f par rapport à λ et si φ : R d R d est un C 1 -difféomorphisme, alors la mesure image de µ par φ admet une densité g par rapport à λ, et g est donnée par g(x) = f φ 1 (x) J φ 1(x) x R d. Dém. Pour toute fonction borélienne positive h, en se servant du théorème précédent, h dµ φ = h φ f dλ = h φ f φ 1 φ dλ = h f φ 1 J φ 1 dλ, ce qui prouve le corollaire (prendre tout simplement une indicatrice pour h). Remarque 3.7 Pour vérifier que φ est un C 1 -difféomorphisme, on applique ordinairement le théorème d inversion locale : soit U un ouvert de R d et φ : U R d. Soit V := φ(u). Alors φ est un C 1 -difféomorphisme ssi i) φ est injective ; ii) φ est de classe C 1 ; iii) pour tout u U, J φ (u) 0. Sous ces conditions, V est un ouvert et pour tout x V, (φ 1 ) (x) = (φ φ 1 (x)) 1. Exemple 3.8 (coordonnées polaires) Par le théorème d inversion locale, la fonction φ : ]0, [ ]0, 2π[ R 2 \ ([0, [ {0}) (ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sin θ) est un C 1 -difféomorphisme, avec ( ) cos θ ρ sin θ φ (ρ, θ) = sin θ ρ cos θ et J φ (ρ, θ) = ρ. Ainsi pour toute fonction borélienne f λ 2 -intégrable, f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy R 2 R 2 \([0, [ {0}) = f φ(ρ, θ) J φ (ρ, θ) dρ dθ = f φ(ρ, θ) ρ dρ dθ. ]0, [ ]0,2π[ [0, [ [0,2π] En particulier, l intégrale I = R e x2 dx peut se calculer comme suit, grâce à deux applications du théorème de Fubini Tonelli : I 2 = e (x2 +y2) dx dy = e ρ2 ρ dρ dθ = 2π e ρ2 ρ dρ dθ = π, R 2 [0, [ [0,2π] [0, [ d où l égalité bien connue I = π.

29 CHAPITRE 3. MESURE IMAGE ET CHANGEMENT DE VARIABLE 29 La démonstration de la formule du changement de variable est plutôt technique. Nous renvoyons le lecteur à la démonstration par récurrence p.64 du cours de Jean Jacod, ou à la démonstration p.242 du livre de Marc Briane et Gilles Pagès. Nous donnons ci-après l idée de cette dernière. On recouvre l ouvert U par une réunion dénombrable d hypercubes semi-ouverts (C i ) deux à deux disjoints et de mesure de Lebesgue arbitrairement petite fixée. On note u i le centre de C i. Comme φ est bijective, V = φ(u) s écrit à son tour comme réunion disjointe des φ(c i ), donc pour toute fonction borélienne f positive, f dλ = f dλ f(φ(u i ))λ(φ(c i )). V i φ(c i ) i Mais localement, φ peut être approchée par son application linéaire tangente φ (u i ), aussi comme λ(φ(c i )) est la mesure de C i par la mesure image de λ par φ 1, ayant φ 1 (x) Ax + b, avec A = (φ 1 ) (et b = φ 1 (u i ) Au i ), on a Ainsi, λ(φ(c i )) det A 1 λ(c i ) = det φ (u i ) λ(c i ). V f dλ i = i U f(φ(u i )) J φ (u i ) λ(c i ) C i f φ(u) J φ (u) dλ(u) f φ J φ dλ, ce qui achève cette esquisse de démonstration.

30 Chapitre 4 Les espaces L p Dans tout ce chapitre, on se place sur un espace mesuré (E, A, µ) et pour tout p R +, on abrégera L p (E, A, µ) en L p (µ), voire en L p. On désignera par (f n ) une suite de fonctions mesurables à valeurs dans R muni de sa tribu borélienne. 4.1 Les espaces de Banach L p Convergence dans L p et convergence simple Rappelons que la topologie usuelle d un espace vectoriel normé est la topologie relative à la distance d(f, g) = f g. Ainsi on dira que la suite (f n ) converge dans L p si a) pour tout n N, f n L p et f L p ; b) lim n f f n p = 0. On rappelle que la suite (f n ) converge simplement vers f si lim n f n (x) = f(x) pour µ-presque tout x. Proposition 4.1 Soit p [1, + [. a) [convergence L p -dominée] Si f n f µ-p.p. et qu il existe g L p tel que f n g L pour tout entier n, alors f p n f. L b) i) Si f p n f, alors il existe une suite extraite de (f n ) qui converge vers f µ-p.p. b) ii) Si f n L f, alors f n f uniformément en dehors d un ensemble négligeable, donc f n f µ-p.p. Remarque 4.2 Dans le cas de l espace l p (pour p < ), une suite (de fonctions, aussi appelées suites ici...) (u (n) ) converge vers la fonction u l p si k u(n) k p <, si k u k p < et si lim u (n) n k u k p = 0. Ceci implique en particulier que u (n) k l p (vrai aussi si p = + par b)ii)), k u k lorsque n. En conclusion, dans l espace f n l p f = f n f simplement (partout). 30

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