L estimation par intervalles

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Sabine Grenon
il y a 6 ans
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1 1 1 IRMA, Université de Strasbourg Strasbourg, France ESIEA 4ème Année

2 Ce chapitre s appuie essentiellement sur trois livres : 1 Le livre de Pascal Ardilly, administrateur de l INSEE, «Les techniques de sondage», Éditions Technip, Le livre de Jean-Jacques Droesbeke, professeur à l Université Libre de Bruxelles, «Éléments de statistiques», Université de Bruxelles, Ellipses, Le livre de Gilbert Saporta, professeur au CNAM à Paris «Probabilités, Analyse de données et Statistique», Éditions Technip, 2006.

3 Sommaire 1 Introduction

4 Il est souvent plus réaliste et plus intéressant de fournir un renseignement du type plutôt que d écrire sèchement a < θ < b θ = c. Fournir un tel intervalle ]a, b[ s appelle donner une estimation par intervalle de confiance de θ ou une estimation ensembliste de θ.

5 Sommaire 1 Introduction

6 La méthode des intervalles de confiance est la suivante : Soit θ n un estimateur de θ dont nous connaîssons la loi de probabilité pour chaque valeur de θ. Étant donné une valeur θ 0 de θ, nous déterminons un intervalle de probabilité de niveau 1 α pour θ n, c est-à-dire deux bornes θ 1 et θ 2 telles que P [θ 1 < θ ] n < θ 2 θ = θ 0 = 1 α.

7 Remarque Ces bornes dépendent évidemment de θ 0. Remarque Nous choisissons dans la plupart des cas un intervalle à risque symétrique α/2 et α/2.

8 Nous adoptons la règle de décision suivante. Soit θ n (x 1,..., x n ) = θ n (obs) la valeur observée de θ n : si θ n (obs) ]θ 1, θ 2 [, nous conservons θ 0 comme valeur possible du paramètre θ ; si θ n (obs) ]θ 1, θ 2 [, nous éliminons θ 0. Nous répétons cette opération pour toutes les valeurs de θ. ]a, b[ est qualifié d un intervalle de confiance de niveau (1 α) (coefficient de confiance). Remarque ]a, b[ est un intervalle aléatoire car il dépend de θ n (obs).

9 ]a, b[ s obtient par : { Remarque a = θ 1 2 ( θ n (obs)) b = θ 1 1 ( θ n (obs)). Si nous augmentons 1 α, nous augmentons la longueur de l intervalle de probabilité. Remarque Si n augmente, comme θ ] n est supposé convergent, Var [ θn diminue donc ]θ 1, θ 2 [ diminue.

10 Sommaire La variance σ 2 de la population U est connue La variance σ 2 de la population U est inconnue 1 Introduction

11 La variance σ 2 de la population U est connue La variance σ 2 de la population U est inconnue µ n est le meilleur estimateur de µ et µ n suit une loi N L intervalle de probabilité de µ n à 1 α est : µ u 1 α/2 σ n < µ n < µ + u 1 α/2 σ n, ) (µ, σ2. n où u p est le quantile d ordre p pour la loi gaussienne centrée et réduite.

12 La variance σ 2 de la population U est connue La variance σ 2 de la population U est inconnue L intervalle de confiance de µ n à 1 α est : µ n (x 1,..., x n ) u 1 α/2 σ n < µ < µ n (x 1,..., x n ) + u 1 α/2 σ n, où u 1 α/2 = 1, 96 si 1 α = 0, 95.

13 La variance σ 2 de la population U est connue La variance σ 2 de la population U est inconnue Nous utilisons le fait que T n 1 = n 1 µ n µ Student à (n 1) degrés de liberté. S n suit une loi de L intervalle de probabilité pour T n 1 à 1 α est : t n 1;1 α/2 < n 1 µ n µ S n < t n 1;1 α/2, où t n 1;1 α/2 est le quantile d ordre 1 α/2 pour la loi de Student à (n 1) degrés de liberté.

14 La variance σ 2 de la population U est connue La variance σ 2 de la population U est inconnue L intervalle de confiance pour µ à 1 α est : µ n (obs) t n 1;1 α/2 S n (obs) n 1 < µ < µ n (obs)+t n 1;1 α/2 S n (obs) n 1, ou bien µ n (obs) t n 1;1 α/2 S n,c (obs) n < µ < µ n (obs)+t n 1;1 α/2 S n,c (obs) n Le théorème de la limite centrée a pour conséquence que les intervalles précédents sont valables pour estimer µ d une loi quelconque lorsque la taille n de l échantillon est assez grande.

15 Sommaire La moyenne de la population est connue La moyenne µ de la population U est inconnue 1 Introduction

16 La moyenne de la population est connue La moyenne µ de la population U est inconnue Nous utilisons le fait que 1 Sn 2 = 1 n (X i µ) 2 est le meilleur estimateur de la n i=1 variance σ 2 lorsque la moyenne µ est connue, 2 nsn 2 σ 2 suit une loi du khi-deux à n degrés de liberté comme la somme de n carrés de loi N (0, 1) indépendantes.

17 La moyenne de la population est connue La moyenne µ de la population U est inconnue k 1 et k 2 sont les bornes de l intervalle de probabilité d une loi χ 2 (n) si : P [k 1 < n ] S 2 n σ 2 < k 2 = 1 α. L intervalle de confiance pour σ 2 à 1 α est : n Sn 2 (x 1,..., x n ) < σ 2 < n S 2 n (x 1,..., x n ) k 2 k 1

18 La moyenne de la population est connue La moyenne µ de la population U est inconnue Nous utilisons le fait que 1 Sn 2 = 1 n (X i µ n ) 2, n i=1 2 nsn 2 σ 2 suit une loi du khi-deux à (n 1) degrés de liberté comme la somme de (n 1) carrés de loi N (0, 1) indépendantes.

19 La moyenne de la population est connue La moyenne µ de la population U est inconnue l 1 et l 2 sont les bornes de l intervalle de probabilité d un χ 2 (n 1) si : [ ] P l 1 < ns2 n σ 2 < l 2 = 1 α. L intervalle de confiance pour σ 2 est alors : ns 2 n(x 1,..., x n ) l 2 < σ 2 < ns2 n(x 1,..., x n ) l 1

20 Sommaire 1 Introduction

21 Étant donné une population INFINIE (ou finie si le tirage s effectue avec remise) où une proportion π A des individus possède un certain caractère A, il s agit de trouver un intervalle de confiance pour π A à partir de π n,a, proportion trouvée dans un échantillon de taille n. Nous savons que n π n,a suit une loi binomiale B(n, π A ). Deux cas alors se présentent : 1 Si n est petit nous utiliserons les tables de la loi binomiale. 2 Si n est grand nous savons que π n,a suit une loi gaussienne de paramètres π A et π A(1 π A ) n

22 L intervalle de probabilité symétrique «approché» est : π A u 1 α/2 πa (1 π A ) n πa (1 π A ) < π n,a < π A + u 1 α/2 n L intervalle de confiance «approché» est alors : π n,a (obs) u 1 α/2 πn,a (obs)(1 π n,a (obs)) n < π A πn,a (obs)(1 π n,a (obs)) < π n,a (obs) + u 1 α/2. n

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