Systèmes du second ordre Plan de phase

Transcription

1 Systèmes du second ordre Plan de phase Analyse et Commande des Systèmes Non Linéaires Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 1 / 25

2 Leçon 2 1 Plan de phase pour les système du second ordre 2 Techniques de représentation du plan de phase 3 Systèmes linéaires du second ordre 4 Système masse ressort 5 Graphe des pentes Elimination du temps explicitement Elimination du temps implicitement Méthode des isoclines Exemple : oscillateur de Van der Pol 6 Cycle limite Classification des cycles limites 7 Index topologique Théorème de l index 8 Théorème de Bendixson 9 Impossibilité du chaos planaire Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 2 / 25

3 Plan de phase pour les système du second ordre Plan de phase pour les systèmes du second ordre Variables de phase q et q ; équation différentielle : q = c(q, q), (1) Définition des variables d état x 1 = q x 2 = q Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 3 / 25

4 Plan de phase pour les système du second ordre Plan de phase pour les systèmes du second ordre Solution, variables q, q q = Q q (t) q = Q q (t) dq q dt = f(q q, Q q ) Solution, variables x 1, x 2 x 1 = X 1 (t) x 2 = X 2 (t) d dt X 2 = f(x 1, X 2 ) Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 4 / 25

5 Techniques de représentation du plan de phase Techniques de représentation du plan de phase 1 Méthodes informatiques Solutions numériques pour diverses conditions initiales Graphe des pentes 2 Méthodes papier crayon Solution explicite des équations 1 en éliminant le temps explicitement 2 en éliminant le temps implicitement 3 Méthodes mixtes Méthode des isoclines Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 5 / 25

6 Systèmes linéaires du second ordre Systèmes linéaires du second ordre ẋ 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 ẋ 2 = a 12 x 2 + a 22 x 2 ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 Caractéristique des valeurs propres 1 Les valeurs propres sont toutes les deux réelles et de même signe. C est un noeud. 2 Elles sont réelles mais de signe opposé. C est un point selle. 3 Elles sont purement imaginaires. C est un centre. 4 Elles sont complexes conjuguées. C est un foyer. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 6 / 25

7 Système masse ressort Système masse ressort Mécanique analytique de Lagrange E c = 1 2 q2 = 1 2 x2 2 E p = 1 2 kq2 = 1 2 kx2 1 L = E c E p ( ) d L L = 0 dt q q d q + kq = 0 dt Equations ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = kx 1 Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 7 / 25

8 Graphe des pentes Graphe des pentes x = ( x 1 x 2 ) T f(x) = ( ) f1 (x 1,x 2 ) f 2 (x 1,x 2 ) FIG.: Graphique des éléments de pente pour le système masse-ressort. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 8 / 25

9 Graphe des pentes Elimination du temps explicitement Elimination du temps explicitement x(t) = x 0 cos t + ẋ 0 sint ẋ(t) = x 0 sin t + ẋ 0 cos t cos 2 t + sin 2 t = 1 x 2 + ẋ 2 = x ẋ 2 0, cercle centré en (0,0) de rayon x ẋ2 0 Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 9 / 25

10 Graphe des pentes Elimination du temps implicitement Elimination du temps implicitement ẋ 1 = x 2 = dx 1 dt ẋ 2 = x 1 = dx 2 dt dx 1 x 2 = dx 2 x 1 = dt x 2 dx 2 = x 1 dx 1 x x 2 2 = c = x x 2 20 La relation avec le paramétrage temporel est perdue Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 10 / 25

11 Graphe des pentes Méthode des isoclines Méthode des isoclines En variant la pente, il est alors possible d obtenir un ensemble de lieux. Ainsi, en partant de l équation l équation différentielle ẋ 1 = f 1 (x 1,x 2 ) et ẋ 2 = f 2 (x 1,x 2 ), et en éliminant la différentielle du temps dt : dx 2 = α = f 2(x 1,x 2 ) dx 1 f 1 (x 1,x 2 ) Pour le système masse ressort : α = x 1 x 2 x 2 = 1 α x 1. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 11 / 25

12 Graphe des pentes Méthode des isoclines Méthode des isoclines FIG.: Lorsque la méthode des isoclines est utilisée pour représenter les éléments de pentes identiques, ces derniers sont tracés en respectant la symétrie du cercle et donne un aspect plus naturel que lorsqu une grille uniformément espacée est utilisée. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 12 / 25

13 Graphe des pentes Exemple : oscillateur de Van der Pol Exemple : oscillateur de Van der Pol ẍ + ǫ(x 2 1)ẋ + x = 0, 2 ẋ x -2 FIG.: x 1 (0) = 1 et x 2 (0) = 1 ; ǫ = 0.5. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 13 / 25

14 Graphe des pentes Exemple : oscillateur de Van der Pol Exemple : oscillateur de Van der Pol Graphe des pentes avantageux lors d un grand nombre de conditions initiales x 0 = ẋ 0 = Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 14 / 25

15 Graphe des pentes Exemple : oscillateur de Van der Pol Exemple : oscillateur de Van der Pol Méthode des isoclines α = ẍ ẋ = ǫ(x2 1) ẋ x Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 15 / 25

16 Cycle limite Cycles limites Definition Un système ẋ = f(x) possèdent un cycle limite C s il existe un interval de temps [t 0 ;t 0 + T[ et un point de départ x 0 C, tel que en désignant par X(x 0,t) la solution de système avec pour condition initiale x(t 0 ) = x 0 = X(x 0,t 0 ) on ait : X(x 0,t) C X(x 0,T) = x 0. t [t 0 ;t 0 + T[, Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 16 / 25

17 Cycle limite Classification des cycles limites Classification des cycles limites Definition Un cycle limite C est dit : 1 stable : si toutes les trajectoires dans un voisinage du cycle C. 2 instable : si toutes les trajectoires divergent de C. 3 semi-stable : si certaines trajectoires convergent vers C. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 17 / 25

18 Index topologique Index topologique Index en un point du plan de phase 1 Une courbe autour du point auquel l index est évalué. 2 Une paramétrisation de la courbe dans le sens trig Une suite arbitraire de points de la courbe, (x i, i = 1,...,n), avec x n = x 1. 4 On calcule la suite (f(x 1 ), f(x 2 ),...,f(x n )). 5 On représente ces vecteurs avec une origine commune. Definition L index mesure alors l angle modulo 2π que l extrémité des vecteurs f i parcourent dans le sens trigonométrique positif. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 18 / 25

19 Index topologique Index ; exemple 1 Index θ = 2kπ,k = +1 Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 19 / 25

20 Index topologique Index ; exemple 2 Index θ = 2kπ,k = 1 Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 20 / 25

21 Index topologique Index ; exemple 3 Index θ = 0 8 Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 21 / 25

22 Index topologique Théorème de l index Théorème de l index Theorem (Th. de l index de Poincaré) Soit N le nombre de noeuds, centres et de foyers et S le nombre de points selles. Si un cycle limite existe, les points singuliers (points x tels que f( x) = 0) que le cycle encercle sont tels que N = S + 1. Theorem (Sommation des index) Soit une courbe particulière donnée. L index de cette courbe est la somme des index de tous les points d équilibre compris à l intérieur de cette courbe. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 22 / 25

23 Théorème de Bendixson Théorème de Bendixson ẋ 1 = f 1 (x 1,x 2 ) ẋ 2 = f 2 (x 1,x 2 ) Theorem Pour un tel système, aucun cycle limite ne peut exister dans une région Ω du plan de phase dans laquelle f 1 x 1 + f 2 x 2 ne s annule pas ni ne change de signe. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 23 / 25

24 Théorème de Bendixson 1 L intégrant, Cours SM II () s il est non Enseignant: nul, puisse Dr. Ph. Müllhaupt changer de signe à l intérieur 24 de/ 25 Théorème de Bendixson (Démonstration) C est une conséquence du théorème de Stokes. dx 1 dt = f 1 et dx 2 dt = f 2, 0 = dt = f 1 = f 2 dx 1 dx 2 ω = f 1 dx 2 + f 2 dx 1 s annule le long du cycle. ω = dω f 1 dx 2 + f 2 dx 1 = f 1 x 1 dx 1 dx 2 f 1 x 2 dx 2 dx 2 + f 2 dx 1 dx 1 + f 2 dx 2 dx 1 x 1 x ( 2 f1 = + f ) 2 dx 1 dx 2 x 1 x 2

25 Impossibilité du chaos planaire Impossibilité du chaos planaire Theorem Si une trajectoire demeure dans une région finie Ω alors une des trois propositions suivantes est vraie : 1 La trajectoire va vers un équilibre. 2 La trajectoire tend asymptotiquement vers un cycle limite. 3 La trajectoire est elle même un cycle limite. Cours SM II () Enseignant: Dr. Ph. Müllhaupt 25 / 25