Vecteurs Séance de TD - Corrigés des exercices -

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1 Mathématiques AL Vecteurs Vecteurs Séance de TD - Corrigés des exercices - 1 QCM GI FA 015 TEST CALCUL VECTORIEL 3 GI FC TEST CALCUL VECTORIEL, APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES 3 4 GI FC TEST CALCUL VECTORIEL, APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES 4 5 GI FC18/6 015 TEST APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES 5 6 GI FA 014 TEST APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES 5 7 GI FC TEST APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES 7 8 GRADIENT ET DIFFÉRENTIELLE 8 9 GI FC18/6 013 TEST CALCUL VECTORIEL, DIVERGENT 9 Page 1 sur 9

2 1 QCM 3 1) La norme du vecteur 4 5 Mathématiques AL Vecteurs vaut : ) Les vecteurs 1 6 u = et v = 5 sont : 3 4 colinéaires orthogonaux coplanaires aucun des trois 3) Un produit vectoriel est forcément nul si les deux vecteurs sont : de même norme orthogonaux colinéaires coplanaires 4) Si deux vecteurs non nuls ont un produit vectoriel nul, alors ils sont : orthogonaux non coplanaires scalaires colinéaires 5) Deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire [1] et un produit vectoriel [] : [ 1 ] nul [ ] nul = 6) ( u ) ( v ) u v [ 1 ] maximal [ ] nul ( u v ) [ 1 ] nul [ ] de norme maximale v u ( v ) ( u ) [ 1 ] maximal [ ] de norme maximale 7) u et v sont deux vecteurs non colinéaires et w est orthogonal au plan ( u, v ) u v w =0 u v =0 w = k ( u v ) 8) Deux vecteurs u et v tels que u v = 0 et u v = 1 sont : de norme 1 orthogonaux colinéaires et de même sens 9) Appliqué à une fonction f, l opérateur gradient permet de déterminer : Donc : ( u, v, w) est directe colinéaires et de sens contraires la direction de plus la réciproque du les points où f les valeurs forte variation de f divergent de f s annule extrêmes de f 10) L opérateur divergent transforme un champ [1] en un champ [] 1 scalaire scalaire 1 scalaire vectoriel 1 vectoriel scalaire 1 vectoriel vectoriel GI FA 015 Test Calcul vectoriel Dans l espace usuel à trois dimensions muni d un repère (,,, ) B(1, 1, -1) et C(0, 1, 1) 1) Justifier, grâce à l outil vectoriel, que A, B et C ne sont pas alignés O i j k, on considère les trois points A(-1, 0, 1), Page sur 9

3 Mathématiques AL Vecteurs 1 AB AC = 1 1 = ) Calculer le produit vectoriel ( ) 3 AB = 1 = ) Justifier que ce dernier est dans le plan ABC * première façon de le montrer : le produit mixte des vecteurs AB, AC Page 3 sur 9 doit être nul et ( ) 3 Vérifions : ( ) ( ( ) AB) = 6 = = * deuxième façon : est orthogonal à, il est dans le est orthogonal au plan ABC, et comme plan (la direction planaire) ABC 4) Cette fois-ci, les coordonnées du point C sont variables : C(x, y, z) soit colinéaire à AC? a À quelle relation doivent obéir x, y, et z pour que x + 1 y + z 1 5x y + 4z + 1 ( ) AB = 1 y 1 = x z 1 = x + 8y + z 4 z 1 x + y 1 4x + y + 5z 1 Pour que ce vecteur soit colinéaire à AC, il faudrait remplir trois conditions impliquant les trois variables, ce qui serait long à simplifier est orthogonal à AB, il faudrait que AC soit orthogonal à AB, soit : Mais, comme y + z 4 AB AC = 0 ( x + 1) + y ( z 1) = 0 x = = 0, 5y + z b Que vaudrait alors ( ) AC Ce serait le vecteur nul, puisque ( )? AB AC serait colinéaire à AC 3 GI FC Test Calcul vectoriel, applications géométriques Dans l espace physique à trois dimensions, on donne les coordonnées de trois points (en mètres) : A(6, -1, 5) ; B(, 8, -4) ; C(-7, 3, 1) 1) A l aide d un produit vectoriel, calculer l aire du triangle ABC, à 0,01 m² près On sait que cette aire vaut 1 (ou AB = 9, AC = 4 et BC = BA BC, ou encore 1 CA CB )

4 Mathématiques AL Vecteurs AB AC = 101, donc aire(abc) = 71, 4 m² ( BA BC = 101, CA CB = 101 ) ) Calculer, à 0,01 degré près, l angle entre les vecteurs AB et AC On sait que AB AC = AB AC cos ( AB, AC ) Cela donne ici : 14 = 13, ,1774 cos ( AB, AC ), soit cos ( AB, AC ) = 0,65556 AB, AC = 49,04 3) Déterminer les coordonnées d un vecteur unitaire (c est à dire de norme 1) orthogonal au plan défini par le triangle ABC On sait que est un vecteur orthogonal à ce plan Il suffit donc de diviser ce vecteur par sa propre norme 0 Le vecteur V cherché est : V = AB AC = 101 = ou son opposé GI FC Test Calcul vectoriel, applications géométriques 1 On donne les trois vecteurs suivants : u =, v =, w = 1 Ces coordonnées sont définies dans 1 un repère spatial muni de trois axes formant des angles droits et dont les unités de longueurs sont identiques 1) Calculer les normes de u, v et w u = = 3, v = = 3, w = = 3 ) Déterminer les coordonnées du vecteur u v Comparer ce dernier à w et en déduire l orientation relative u, v du vecteur w par rapport au plan u v = = 4 1 = 3 = 3w Le produit vectoriel étant orthogonal au plan de ces deux vecteurs, w l est aussi 3) Déterminer la valeur de l angle ( u, v ) trois arêtes d un cube dont vous donnerez le volume En déduire que les vecteurs u, v et w peuvent être positionnés sur Page 4 sur 9

5 Mathématiques AL Vecteurs 1 u v = = 4 + = 0 Par définition, ces deux vecteurs sont orthogonaux 1 Ces trois vecteurs sont donc orthogonaux deux à deux, et leur norme est identique : 3 Ils peuvent donc être représentés sur trois arêtes issues d un même sommet d un cube de côté 3, dont le volume vaut 3 3 = 7 5 GI FC18/6 015 Test Applications géométriques Dans l espace usuel de dimension 3 muni d un repère (,,, ) O i j k, on définit les points A(-, -6, ), B(4,, -), C(, 8, 7) et D(, 4, 15) Répondre aux questions suivantes par des méthodes vectorielles 1) Calculer l aire du triangle ABC AB AC = 8 14 = 46 aire( ABC) = AB AC = , ) Ce triangle est-il rectangle? 6 AB BC = 8 6 = 0 Ce triangle est rectangle en B 4 9 3) Calculer le volume du tétraèdre ABCD V = AD = = 600 = GI FA 014 Test Applications géométriques Dans l'espace muni d'un repère ( O, i, j, k ), d axes perpendiculaires sur lesquels l unité est commune : 1 cm, on considère les points : A(3,1,3), B(,3,), C(3,3,1), D(4,,1) et S(6,5,5) La figure ci-contre illustre schématiquement les positions relatives de ces points, en perspective, S étant situé au-dessus de A, B, C et D On utilisera exclusivement l outil vectoriel pour traiter cet exercice 1) a Montrer que les segments [AC] et [BD] sont orthogonaux 0 AC BD = 1 = + = 0 1 b Montrer que le triangle ABD est isocèle en A AB = = 6 ; AD = = 6 c Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires ( ) AD = 1 = 1 = + 4 = 0 1 Page 5 sur 9

6 Mathématiques AL Vecteurs ) a Calculer l aire du quadrilatère convexe ABCD (en le découpant en deux triangles) * Découpons-le en les triangles ABC et ACD : 1 1 AB AC = Aire de ABC : AB AC = = AC AD = 1 = = AB AC Aire de ACD = aire de ABC = 3 L'aire du quadrilatère ABCD est donc 3 cm² * On peut aussi considérer le quadrilatère comme partitionné en les triangles ABD et CBD : AB AD = 1 = 3 Aire de ABD : AB AD = = CB CD = 0 1 = 1 Aire de CBD : CB CD = = L'aire du quadrilatère ABCD est donc 3 cm² b Calculer le volume du tétraèdre ABCS On prendra ici, par exemple, trois vecteurs issus du point A Volume du tétraèdre ABCS : ( AB AC) AS = 4 = 4 = = 3 cm c Calculer le volume de la pyramide ABCDS * le plus direct est d additionner les volumes des tétraèdres ABCS et ACDS On a pu remarquer (question a) que les triangles ABC et ACD ont la même aire ; de plus, ils sont situés dans un même plan Donc les volumes des tétraèdres sont égaux Ainsi, le volume de la pyramide ABCDS est le double de celui du tétraèdre ABCS, soit 6 cm 3 * toujours en souhaitant additionner les volumes des tétraèdres ABCS et ACDS : Pour ACDS : ( AC AD) AS = 1 4 = 4 = = 3 cm Le volume de la pyramide ABCDS est donc 3 cm cm 3 = 6 cm 3 * On peut aussi additionner les volumes des tétraèdres ABDS et CBDS : Volume du tétraèdre ABDS : ( AB AD) AS = 3 4 = 3 4 = = 4 5 cm Volume du tétraèdre CBDS : ( CB CD) CS = 1 = 1 4 = = 1 5 cm Le volume de la pyramide ABCDS est donc 6 cm 3 3 Page 6 sur 9

7 7 GI FC Test Applications géométriques Soit, dans un repère orthonormé ( O i, j, k ) Mathématiques AL Vecteurs ;, les points A( ; -1 ; 0), B(1 ; 4 ; -1) et C(-3 ; 0 ; 4) 1) Placer les points A, B, C dans la figure ci-dessous, puis compléter cette figure au fil de l exercice C S u H A B ) Calculer l aire du triangle ABC A(ABC) = AB AC AB AC = = ) a Donner un vecteur orthogonal au plan ABC 1 AB AC = 9 est orthogonal au plan ABC 4 1 A(ABC) = ,57 cm² 7 b Vérifier que le vecteur u = u = 3 =, CQFD 3 8 est orthogonal au plan ABC 4) a Vérifier que le point H(0 ; 1 ; 1) appartient au plan ABC Page 7 sur 9

8 Vérifions, par exemple, que le produit mixte ( ) Mathématiques AL Vecteurs AB AC AH est nul : 1 AH = 9 = = 0 Les points A, B, C et H sont coplanaires 4 1 b Soit le point S tel que OS = OH + u Calculer le volume du tétraèdre ABCS AB AC AS = 9 5 = 366 = 61 cm V (ABCS) = c D après ce qu on a défini au-dessus, le segment [HS] est une hauteur du tétraèdre ABCS, en prenant pour base le triangle ABC Vérifier le volume de ce tétraèdre par la formule = 1 V 3 base hauteur V = 1 base hauteur = 1 A(ABC) u = = = = 366 = Gradient et différentielle Soit une fonction f qui, à tout point M de l espace, repéré par ses cordonnées x, y et z, associe le nombre réel f (x, y, z) dx Un point M étant donné, considérons un déplacement infinitésimal dv = y d de ce point dz grad f dv? 1) Que représente le produit scalaire f x dx f f f grad ( f ) dv = f y dy = dx + dy + dz x y z f z z d = dv On reconnaît la différentielle de la fonction f des trois variables x, y et z df grad ( f ) grad? ) Que peut-on dire de la variation de f (M) au voisinage de M dans le plan orthogonal à ( f ) grad Cela signifie que l on a dv ( f ) Or, le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul : dv grad f grad f dv = 0 Donc, lorsque le déplacement élémentaire dv Ainsi, au voisinage de M, dans le plan orthogonal à grad ( f ) d équipotentielle utilisée en électrostatique s effectue dans le plan orthogonal à ( f ) grad on a : df = 0, la fonction f est constante C est la notion Page 8 sur 9

9 9 GI FC18/6 013 Test calcul vectoriel, divergent 1 xy Soit le vecteur fixé U = et le vecteur variable V = 1 yx 1) Etudier les possibilités, pour x et y, qui rendent le produit scalaire U V nul U V = 0 xy + yx = 0 xy x + y = 0 Il y a donc trois possibilités : x = 0, ou y = 0, ou y = - x Mathématiques AL Vecteurs x ) L opérateur nabla est = et le divergent d un vecteur V est div V = V y En reprenant le vecteur V défini en début d exercice, déterminer l ensemble des points (x, y) du plan tels que divv = 1 ( xy ) ( yx ) divv = V = + = y + x x y div V = 1 x + y = 1 le point (x, y) parcourt le cercle de centre O et de rayon 1 3) Quels sont donc des points (x, y) du plan tels que divv = 1 et U V = 0? Sachant que x + y = 1 est une condition nécessaire : * Le cas x = 0 conduit à y = ± 1, tandis que cas y = 0 conduit à x = ± 1 * le cas y = - x donne, en substituant, deux possibilités : [ x = 1 et donc y = 1 ] ou [ x = 1 et donc y = 1 ] Page 9 sur 9