Seconde : Géométrie plane page 1. Géométrie plane. Pour reprendre contact n o p 239

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1 Seconde : Géométrie plane page 1 Géométrie plane Pour reprendre contact n o p 239 I. Droites et points remarquables du triangle (A) Hauteurs Définition 1 Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Le point d intersection d une hauteur et d un côté s appelle le pied de la hauteur. Propriété 1 Les 3 hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé l orthocentre du triangle. (B) Médianes Définition 2 Une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Propriété 2 Les 3 médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité du triangle qui est situé au tiers de chaque médiane. G A = 2G A G A = 1 3 AA Exercice n o 121 p 264 1

2 Seconde : Géométrie plane page 2 (C) Médiatrices des côtés Définition 3 Une médiatrice d un segment est la droite passant par le milieu et perpendicuaire au segment. Propriété 3 La médiatrice est l axe de symétrie du segment. Théorème 1 Si un point M appartient à la médiatrice de [AB] alors M A = MB. Si M A = MB alors M appartient à la médiatrice de [AB]. Propriété 4 Les 3 médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle circonscrit au triangle. (D) Bissectrices des angles Définition 4 La bissectrice d un angle xoy est l axe de symétrie de l angle xoy. Propriété 5 La bissectrice de l angle xoy partage cet angle en deux angles de même mesure. Tout point de la bissectrice de xoy est équidistant des côtés [Ox) et [Oy). Propriété 6 Les bissectrices des trois angles d un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle inscrit dans le triangle. II. Triangle rectangle (A) Théorème de Pythagore Théorème de Pythagore Si le triangle ABC est rectangle en A alors on a BC 2 = AB 2 + AC 2. Théorème de Pythagore (réciproque) Si BC 2 = AB 2 + AC 2 alors ABC est un triangle rectangle en A. Activité n o 2 p 241 2

3 Seconde : Géométrie plane page 3 (B) Cercle circonscrit Propriété 7 Si le triangle ABC est rectangle en A alors le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu du segment [BC]. On a également CK = 1 2 AB. Propriété 8 (réciproque) Si le triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC] alors ABC est rectangle en A. (C) Trigonométrie Propriété 9 Si le triangle ABC est rectangle en A alors côté adjacent cos B = hypothénuse = BC côté opposé sin B = AB hypothénuse = AC AB tan B = côté opposé côté adjacent = AC BC III. Théorème de Thalès (A) Enoncé Théorème de Thalès Soit ABC un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC) distints de A. Si (BC) et (M N) sont parallèles alors AM N et ABC ont leurs côtés proportionnels. (B) Réciproque AM AB = AN AC = M N BC Théorème de Thalès (réciproque) Soit ABC un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC) distints de A. Si AM AB = AN et si les points A,B, M et les points A,C, N sont alignés dans le même ordre alors (BC) AC et (M N) sont parallèles. 3

4 Seconde : Géométrie plane page 4 (C) Théorème des milieux Théorème 6 Dans un triangle ABC, si I et J sont les milieux de [AB] et [AC] alors (I J) (BC) et I J = 1 2 BC. Théorème 7 Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB], alors la parallèle à (BC) passant par I coupe [AC] en son milieu. Exercices n o p 253 à 255 Exercice n o 122 p 264 IV. Angles (A) Angles de même mesure Propriété 10 Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180. Propriété 11 Soient deux droites d et d sécantes en A. Deux angles au sommet ont la même mesure. Propriété 12 Soit deux droites d et d parallèles et (AB) une droite sécante aux droites d et d. Les angles alternes-internes ainsi déterminés ont la même mesure. 4

5 Seconde : Géométrie plane page 5 (B) Angles et cercles Propriété 13 Soit O le centre du cercle passant par A et B et M un point de ce cercle. Dans le cercle, l angle au centre mesure le double de chaque angle inscrit qui intercepte le même arc. Propriété 14 Soient M et N deux points d un cercle passant par A et B. Dans le cercle, les angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. V. Repérage (A) Repère - Coordonnées d un point Activité n o 1 p 240 Définition 5 Définir un repère du plan, c est choisir 3 points non alignés dans un ordre précis : O, I, J. On note ce repère (O, I, J) et le point O est l origine du repère la droite (OI ) est l axe des abscisses et le point I donne l unité sur cet axe la droite (OJ) est l axe des ordonnées et le point J donne l unité sur cet axe. 5

6 Seconde : Géométrie plane page 6 Remarques L axe des abscisses est souvent horizontal mais ce n est pas une obligation. Si le triangle OI J est rectangle en O, le repère (O, I, J) est dit orthogonal. Les axes du repère sont perpendiculaires. Si le triangle OI J est rectangle et isocèle en O, le repère (O, I, J) est dit orthonormé. Les axes du repère sont perpendiculaires et l unité est la même sur les deux axes. Définition 6 On considère un repère (O, I, J) du plan et un point quelconque M. En traçant la parallèle à (OJ) passant par M, on obtient sur l axe (OI ) l abscisse x M du point M. En traçant la parallèle à (OI ) passant par M, on obtient sur l axe (OJ) l ordonnée y M du point M. Le couple de réels (x M ; y M ) est le couple de coordonnées du point M dans le repère (O, I, J). Exercices n o p 256 (B) Coordonnées d un milieu Activité n o 3 p 241 Propriété 15 (admise) Soit A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points dans un repère du plan. Le milieu K de [AB] a pour coordonnées x K = x A + x B et 2 y K = y A + y B 2. Remarque Le milieu de [AB] est le «point moyen»de A et B. Son abscisse est la moyenne ou la demi-somme des abscisses de A et de B, et son ordonnée est la demi-somme des ordonnées de A et de B. Exercices n o p (C) Distance en repère orthonormé Propriété 16 Soit A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points dans un repère du plan orthonormé. La distance AB est égale à AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 Démonstration Voir activité 4 p 241 Exercices n o p Exercices n o p 259 6