BREVET BLANC Epreuve de Mathématiques Durée : heures

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1 Collège Albert Camus Le Mans BREVET BLANC Epreuve de Mathématiques Durée : heures Mai 2016 Ce sujet comporte 4 pages. Dès qu il vous est remis, assurez-vous qu il est complet. L utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n du 16 Novembre 1999). L usage du dictionnaire n est pas autorisé. Indication portant sur l ensemble du sujet Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Maîtrise de la langue : 4 points. Exercice 1 (5 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des cinq questions, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre A, B ou C correspondant à la réponse choisie. A B C ) est égal à ) La mesure arrondie au degré prés de l angle DAC est A 11 cm D 10 cm C 3) Sur le cercle de centre O, les points A, B, C et D sont tels que : AOB = 68 et BDC = 30 Donc ADC mesure. A 68 O 30 B C D 4) Pour x = - 2, 3x² + 5x 1 = ) Une expression factorisée de l expression 25x ² 16 est (5x + 4)(5x 4) (5x 8)² (5x 4)² ) = 5 = =. Réponse B DC 2) Sin DAC = = 10 donc ACD = Arcsin donc Réponse B AC ) ADB est un angle inscrit qui intercepte le même arc AB que l angle au centre AOB donc ADB = ½ AOB = 34. ADC = ADB + DBC = = 64 donc Réponse B. 4) Pour x = - 2, 3x² + 5x 1 = 3 (-2)² + 5 (-2) 1 = = 1 donc Réponse A. 5) Une expression factorisée de l expression 25x ² 16 = (5x)² - 4 ² = (5x + 4)(5x 4) donc Réponse A.

2 Exercice 2 ( 5 points) Un train est constitué, à l aller, de deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes du même modèle et ce train mesure alors 152 m de long. Après avoir vidé le contenu de tous les wagons-citernes, on décroche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernes vides. Après ces changements, le train ainsi constitué mesure 160 m de long. On cherche la longueur x d une locomotive et la longueur y d un wagon-citerne. 1) Écrire un système de deux équations à deux inconnues représentant la situation. 2) Résoudre le système x + 5y = 76. x + 12y = 160 3) En déduire la longueur en mètre d une locomotive et celle d un wagon-citerne. 1) Soit x la longueur d une locomotive et y la longueur d un wagon-citerne. Deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes mesurent 152 m de long donc 2 x + 10y = 152 On décroche une locomotive donc il en reste une et on ajoute deux wagons-citernes, on a donc 12 wagons. le train ainsi constitué mesure 160 m de long donc : x + 12 y = 160 La situation est donc représentée par le système: x + 5y = 76 eq1 2) x + 12y = 160 eq2 On exprime x en fonction de y dans l'équation 1 : x = 5 y + 76 (eq 1bis) On remplace x dans l'équation 2 : 5 y y = y = y = 84 donc y = 84/7=12 On remplace y par sa valeur dans l'équation 1bis : x = = = 16 La solution du système est (16;12). 3) 2 x + 10y = 152 Si on divise chaque membre de cette égalité par 2 on obtient x + 5 y = 76 x + 5y = 76 donc les solutions du problème sont les solutions du système x + 12y = 160 Donc la longueur d une locomotive est 16m et celle d un wagon-citerne 12m. Exercice 3 (5 points)

3 Document 2 : Calcul de la vitesse retenue pour la contravention : Vitesse moyenne calculée inférieure à 100 km/h Supérieure à 100 km/h par l ordinateur Vitesse retenue On enlève 5 km/h à la vitesse On diminue la vitesse enregistrée. enregistrée de 5% Exemples Vitesse enregistrée : 97 km/h Vitesse enregistrée : 125 km/h. Vitesse retenue : 92 km/h Vitesse retenue : 118,75 km/h Document 3 : Le radar tronçon du pont d Oléron Le pont d Oléron est équipé d un radar tronçon sur une distance de 3,2 km. Sur le pont, la vitesse est limitée à 90 Km/h a) Les deux personnes suivantes ont reçu une contravention après avoir emprunté le pont d Oléron. Cas 1 : Mme Surget a été enregistrée à une vitesse moyenne de 107 km/h. Quelle est la vitesse retenue? Cas 2 : M. Lagarde a mis 2 min pour parcourir la distance entre les deux points d enregistrement. Quelle est la vitesse retenue? b) La plaque d immatriculation de M. Durand a été enregistrée à 13 h 46 min 54 s puis à 13 h 48 min 41 s. A-t-il eu une contravention? a) Cas 1 : Diminuer de 5 % revient à multiplier par 0,95 donc 107 0,95 = 101,65. La vitesse retenue est 101,65 km/h. Cas 2 : 2 min 30 = 60 min = 1 h et 3,2 30 = 96 km/h. La vitesse de M. Lagarde est de 96 km/h donc la vitesse retenue sera 91 km/ h car 96 5 = 91. b) 13 h 48 min 41 s - 13 h 46 min 54 s = 1 min 47 s = 107 s 3,2 km x ,2 x = 107, 66 km/h. 107 s s 107 La vitesse moyenne de M. Durand sur le tronçon était de 107,66 km/h donc il a eu une contravention.

4 Exercice 4 (10 points) Un professeur de SVT demande aux 29 élèves d une classe de faire germer des graines de blé chez eux. Le professeur donne un protocole expérimental à suivre : - mettre en culture sur un coton dans une boîte placée dans une pièce éclairée, de température entre 20 et 25 C. - arroser une fois par jour. - il est possible de couvrir les graines avec un film transparent pour éviter l évaporation de l eau. Le tableau ci-dessous donne les tailles des plantules (petites plantes) des 29 élèves à 10 jours après la mise en germination : Taille en cm Effectif ) Combien de plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm? 2) Donner l étendue de cette série. 3) Calculer la moyenne de cette série. Arrondir au dixième près. 4) Déterminer la médiane de cette série et interpréter le résultat. 5) On considère qu un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 10 jours est supérieure ou égale à 14 cm. Quel pourcentage des élèves de la classe a bien respecté le protocole? 6) = 5 donc 5 plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm. 7) 22-0 = 22 Donc l étendue de cette série est 22 cm. 8) La moyenne de cette série est 16,6 cm au dixième près. 9) 29 = 14,5 donc la médiane de cette série est la 15ème valeur soit 18 cm. Cela signifie que la moitié des plantules mesurent plus de 18 cm et la moitié mesure moins de 18 cm. 10) Environ 83% des élèves ont bien respecté le protocole.

5 Exercice 5 ( 11 points) Dans cet exercice on considère le rectangle ABCD ci-contre tel que son périmètre soit égal à 31 cm. A B 1) a. Si un tel rectangle a pour longueur 10 cm, quelle est sa largeur? b. Proposer une autre longueur et trouver la largeur correspondante. c. On appelle la longueur AB. En utilisant le fait que le périmètre de ABCD est 31 cm, exprimer la longueur BC en fonction de d. En déduire l'aire du rectangle ABCD en fonction de 2) On considère la fonction définie par. a. Calculer b. Vérifier qu'un antécédent de 52,5 est 5. 3) Sur le graphique ci-dessous, on a représenté l'aire du rectangle ABCD en fonction de D C Aire de ABCD valeurs de A l'aide de ce graphique, répondre aux questions suivantes en donnant des valeurs approchées. a. Quelle est l'aire du rectangle ABCD lorsque vaut 3 cm? b. Pour quelles valeurs de obtient-on une aire de 40 cm²? c. Quelle est l'aire maximale de ce rectangle? Pour quelle valeur de est-elle obtenue? 1) a = 11 et 11 2 = 5,5 Donc la largeur du rectangle est 5,5 cm. b. Si la longueur est 12 cm alors = 7 et 7 2 = 3,5. La largeur dans ce cas est 3,5 cm c. On appelle la longueur AB : AB + BC = 31 2 = 15,5 donc BC = 15,5 AB donc BC = 15,5 x. d. L'aire de ABCD en fonction de est donc Aire = AB BC Donc Aire(ABCD) = x (15,5 x). 2) On considère la fonction définie par. a. Calculer f(4) = 4 (15,5 4) = 4 11,5 donc f(4) = 46. b. f(5) = 5 (15,5 5) = 5 10,5 donc f(5) = 52,5. Le nombre 5 est bien un antécédent de 52,5. 3) a. Lorsque vaut 3 cm, l'aire du rectangle ABCD est environ 38 cm ². b. On obtient-on une aire de 40 cm ², lorsque x = 3,3 cm ou lorsque x = 12,2 cm. c. l aire maximale de ce rectangle est environ 60 cm ² lorsque = 7,75 cm.

6 Exercice 6 (6 points en Bonus) Les questions sont indépendantes. Une échelle de 5 m est appuyée sur un mur perpendiculaire au sol. Le sommet N de l échelle se trouve juste au sommet du mur. La hauteur du mur est de 4 m (voir figure 1). 1. Calculer la distance MP entre le pied du mur et le pied de l échelle. 2. Afin que l échelle ne glisse pas, on tend une corde entre un anneau A situé à 1 m de hauteur sur le mur et un barreau B de l échelle placé à 1,25 m du bas de l échelle. (voir figure 2). La corde est-elle parallèle au sol? 3. Calculer la longueur de la corde. 1) On applique la propriété de Pythagore dans le triangle MNP rectangle en M : NP ² = MN ² + MP ² 5 ² = 4 ² + MP ² donc MP ² = = 9 donc MP = 9 donc MP = 3 m. 2) NA = MN AM = 4 1 = 3 m et NB = NP BP = 5 1,25 = 3,75 m. NA 3 NB 3,75 D une part : = = 0, 75, d autre part = = 0, 75. NM 4 NP 5 Comme les points les points N, A et M sont alignés dans le même ordre que les points N, B et P et comme NA NB = alors d après la réciproque de Thalès, les droites (AB) et (MP) sont parallèles. NM NP NA NB AB 3 AB 3) Comme (AB) // (MP) on applique la propriété de Thalès : = = donc = NM NP MP Donc AB = = 2, 25. La corde mesure 2,25 m 4