Mouvement dans un champ uniforme

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1 Mouvement dans un champ uniforme I. Référentiels En physique, un référentiel est un système de coordonnées de l espace ET du temps. Les 4 référentiels usuels au lycée sont : Référentiel de Copernic Référentiel Héliocentrique Axes : Pointent vers 3 étoiles fixes Centre : centre du système solaire Référentiel géocentrique Axes : Translation de Copernic Centre : du Soleil Référentiel terrestre Axes : Translation de copernic Centre : de la Terre Axes : Deux vecteurs forment un plan tangent à la Terre. Le troisième est normal au plan précédent Centre :Un point de la surface de la Terre Plus généralement on peut parler d un référentiel planétocentrique. A une échelle de temps différente, chaque référentiel peut être considéré comme Galiléen. Référentiel Galiléen : Référentiel dans lequel le principe d inertie s applique. Application : Attribuer une référentiel Galiléen à chaque situation expérimentale : Mouvement de la Lune autour de la Terre Lâcher de stylo sur le bureau Mouvement de Jupiter autour du Soleil Mouvement d un satellite de Saturne Héliocentrique Planétocentrique (saturnocentrique) Géocentrique Terrestre

2 II. Description d un mouvement dans un repère A. Définitions La trajectoire est l ensemble des positions successivement occupées par le point M dont on étudie le mouvement Pour décrire la nature d un mouvement il faut décrire 2 choses : La trajectoire, pour laquelle on peut utiliser les adjectifs suivants : rectiligne, circulaire, curviligne La vitesse, pour laquelle on peut utiliser : uniforme, accéléré, ralentie B. Vecteur position Dans un référentiel de centre 0, la position du point M est parfaitement décrite par le vecteur OM Dans une système de coordonnée cartésienne (O, i, j, k ), on peut écrire le vecteur position de la manière suivante : OM = xi + yj + zk Où x, y et z sont des réels décrivant les coordonnées du vecteur C. Vecteur vitesse La vitesse instantanée du point M est donnée par : En cours de maths vous auriez écrit OM (t) = v v(m) = dom Dans la base cartésienne, on peut écrire le vecteur vitesse de la manière suivante : v(m) = dom = d(xi + yj + zk ) = dx v(m) = x i + y j + z k On peut justifier cette formule de plusieurs manières : Dans le cas d un mouvement rectiligne uniforme : dy dz i + j + k 1200 Distance parcourue en fonction du temps lapommedisaac.wordpress.com 2

3 Par une analyse dimensionnelle : v(m) = dom [L]. [T] 1 = [L] [T] D. Vecteur accélération L accélération est une donnée qui traduit la variation de la vitesse en fonction du temps. Elle est nulle lorsque la vitesse est constante, positive quand la vitesse est croissante et négative lorsque la vitesse diminue. Naturellement, on pense alors à la dérivée pour la définir : a(m) = dv(m) Une analyse dimensionnelle permet de déterminer l unité de cette grandeur : L accélération s exprime donc en m.s -2 Vectoriellement, on obtient : [L]. [T] 1 = [L]. [T] [T] 2 a(m) = dv(m) = dx i + y j + z k = x i + y j + z k III. Lois de Newton A. Principe d inertie 1. Quantité de mouvement Selon la théorie de Newton, deux grandeurs physiques permettent de décrire tout système mécanique : la position et la quantité de mouvement. Pour un solide de masse m concentré en G, la quantité de mouvement s écrit : 2. Enoncé du principe p = mv(g) Dans un référentiel Galiléen, un système soumis à des forces qui se compensent possède une quantité de mouvement constante. dp = 0 Comme la masse d un point est invariable, on peut écrire la relation suivante qui conduit à l expression du principe d inertie comme vu en seconde : dp = dmv = m dv car la masse est constante, on peut donc écrire que : dp = 0 dv = 0. lapommedisaac.wordpress.com 3

4 Lorsque le vecteur vitesse est invariant (sa dérivée est nulle), deux cas de figure peuvent se présenter : L objet est immobile, L objet a un mouvement rectiligne ET uniforme. B. Seconde loi de Newton Appelé aussi principe fondamental de la dynamique, la seconde loi de Newton permet de faire le lien entre la résultante des forces et l accélération. Dans un référentiel Galiléen, un solide soumis à des forces extérieures qui ne se compensent pas possède une quantité de mouvement p qui varie selon la relation : Fext = dp On utilise plus couramment la relation avec l accélération : C. Applications Fext = ma Une chute libre est une chute dans un référentiel Galiléen sur laquelle la seule force qui s exerce est le poids 1. Chute libre sans vitesse initiale On considère une bille métallique de masse m, lâchée sans vitesse initiale à l instant t=0 à une hauteur h. On étudie le mouvement dans le référentiel terrestre supposé Galiléen. L axe des z aura pour origine l altitude du sol et sera dirigé vers le haut. Le système étudié est la {bille métallique} Le bilan des forces extérieures donne : o o o Le poids P = mg Le frottement f, vertical dirigé vers le haut La poussée d Archimède π = ρvg Ici, on considèrera (comme la plupart du temps dans les exercices de niveau terminale) que les frottements et la poussée d Archimède sont négligeables face au poids. On applique la seconde loi de Newton qui donne : Fext = ma C est-à-dire, comme la seule force qui s applique est le poids : P = ma Avec, on en déduit que ma = mg, et enfin : a = g Ne pas confondre P = mg le poids et p = mv la quantité de mouvement! lapommedisaac.wordpress.com 4

5 C est l équation vectorielle du mouvement. Par projection sur l axe (Oz), on obtient : a z (t) = g On sait que l accélération et la vitesse sont liées par la relation : a(m) = dv(m) On peut donc écrire la vitesse en intégrant la composante de l accélération : v z (t) = gt + cste Et la constante d intégration peut être déterminée par l utilisation de la condition initiale sur la vitesse (v(t=0)=0) : v z (t) = gt On sait que la vitesse et la position sont liées par la relation : v(m) = dom On peut donc écrire la position en intégrant la composante de la vitesse : z(t) = 1 2 gt2 + cste Et la constante d intégration peut être déterminée par l utilisation de la condition initiale sur la position (z(t=0)=h) : z(t) = 1 2 gt2 + h L équation ainsi obtenue est appelée équation horaire car la variable est le temps. Une fois cette équation obtenue, on peut approfondir les caractéristiques du mouvement. Par exemple on peut déterminer la vitesse de la bille lors de l impact au sol. Application : Donner l expression littérale de la vitesse de l impact. Faire l application numérique avec h=12m Lors de l impact on a : z(t) = 0, c est-à-dire : 1 2 gt2 + h = 0 On peut résoudre cette équation pour trouver le temps au bout duquel se produit l impact : 1 2 gt2 + h = 0 d où : 1 2 gt2 = h et donc t 2 = 2h g L impact se produit au temps t = 2h g. A cet instant la vitesse de la bille est v ( 2h g ) = g 2h g = 2gh Application numérique :v = = 15m/s On obtient un résultat négatif, ce qui est cohérent avec le fait que le vecteur vitesse est orienté vers le bas alors que l axe (Oz) est orienté vers le haut. lapommedisaac.wordpress.com 5

6 2. Chute libre avec vitesse initiale On considère une balle de tennis frappée avec un angle α par rapport à l horizontale, à une hauteur h du sol et de manière à lui donner une vitesse initiale V 0 On étudie le mouvement dans le référentiel terrestre supposé Galiléen. Le repère associé est défini sur le schéma ci-dessous : Le système étudié est la {balle de tennis} Le bilan des forces extérieures donne : o Le poids P = mg Car les frottements et la poussée d Archimède sont négligeables face au poids. On applique la seconde loi de Newton qui donne (par le même raisonnement que précédemment) : a = g C est l équation vectorielle du mouvement. Par projection sur les axes (Ox) et (Oz), on obtient : { a x = 0 a z = g On sait que l accélération et la vitesse sont liées par la relation : a(m) = dv(m) On peut donc écrire la vitesse en intégrant les composantes de l accélération : v { x = cste v z = gt + cste Et les constantes d intégrations peuvent être déterminées par l utilisation de la condition initiale sur la vitesse (v(t=0)= V 0) : cos α = V 0x V 0 sin α = V 0z V 0 D où :V0x = V0 cos α et Voz = V0 sin α lapommedisaac.wordpress.com 6

7 Ainsi on peut écrire : v { x = V 0 cos α v z = gt + V 0 sin α On sait que la vitesse et la position sont liées par la relation : v(m) = dom On peut donc écrire la position en intégrant les composantes de la vitesse : x(t) = (V 0 cos α) t + cste { z(t) = 1 2 gt² + (V 0 sin α) t + cste Et les constantes d intégrations peuvent être déterminées par l utilisation de la condition initiale sur la position (z(t=0)=h) : x(t) = (V 0 cos α) t { z(t) = 1 2 gt² + (V 0 sin α) t + h On obtient ainsi un couple d équations, appelées équations horaires qui définissent parfaitement la position de la balle en fonction du temps. Pour représenter la trajectoire il faut établir l expression de z(x), appelée équation de trajectoire : En utilisant l expression de x(t) on peut en déduire que t = x V 0 cos α expression de t dans z(t), nous permettant ainsi d accéder à z(x). z(x) = 1 2 g( x V 0 cos α )² + (V x 0 sin α) V 0 cos α + h. On peut ensuite réinjecter cette En réduisant et en utilisant tan α = sin α cos α, on obtient : g z(x) = 2 cos 2V 2 α x2 + (tan α)x + h 0 Application : Trouver les coordonnées du sommet de la trajectoire 1. Méthode 1 : Utiliser le trinôme du second degré avec a = g 2V 0 2 cos 2 α, b = tan α et c = h. Le sommet d une parabole (l extremum d une fonction trinôme du second degré) a pour abscisse b et pour ordonnée f( b 2a ). 2a 2. Méthode 2 : Pour trouver le sommet de la trajectoire, on cherche un extremum à z(x). Il suffit donc de résoudre l équation dz dx = 0, c est-à-dire z (x) = 0 lapommedisaac.wordpress.com 7

8 IV. Conservation de p dans un système isolé A. Modification des grandeurs lors d une collision On considère un solide A de masse m 1 se déplaçant à la vitesse v 1 vers un second solide B immobile de masse m 2. Après le choc, le solide A continue son déplacement mais avec une vitesse v 1 plus faible que v 1. Le solide B se déplace désormais dans le même sens que le solide A à la vitesse v 2. B. Propriété de la quantité de mouvement Application : Au rugby : Il y a conservation de la quantité de mouvement dans un système isolé. Il y a «plaquage» lorsqu un joueur porteur du ballon, sur ses pieds dans le champ de jeu, est simultanément tenu par un ou plusieurs adversaires, qu il est mis au sol et/ou que le ballon touche le sol. Ce joueur est appelé «joueur plaqué». Un joueur A de masse m A = 115 kg et animé d une vitesse v A = 5,0 m.s 1 est plaqué par un joueur B de masse m B = 110 kg et de vitesse négligeable. 1. Dans quel référentiel les vitesses sont-elles définies? Les deux vitesses sont définies dans un référentiel lié au sol On suppose que l ensemble des deux joueurs est un système isolé. 2. Exprimer, en justifiant le raisonnement, la vitesse v des deux joueurs liés après l impact puis calculer sa valeur. Comme le système est isolé, on peut dire qu il y a conservation de la quantité de mouvement au cours du choc. Les vitesses sont toutes dans le même sens et dans la même direction, on peut donc directement écrire : Or p avant = m a v a + m b v b = m a v a Et p après = (m a + m b ) v p avant = p après On peut donc écrire : m a v a = (m a + m b ) v, et finalement : v = m a v a (m a +m b ) L application numérique indique une vitesse v=2,6m/s pour l ensemble des deux joueurs après l impact. lapommedisaac.wordpress.com 8