Chapitre I : Intensité - Loi d Ohm - Effet joule. Soit un faisceau cylindrique de particules de charge q.

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1 Université Claude Bernard Lyon-I Audioprothèse Electricité Chapitre I : Intensité - Loi d Ohm - Effet joule 1 Intensité - vecteur densité de courant j 1.1 Intensité d un faisceau de particules Soit un faisceau cylindrique de particules de charge q. S R v ex x Hypothèses : Distribution des charges homogène: Densité particulaire n Faisceau monocinétique v = v e x 1

2 Sur l intervalle de temps [t, t + dt] le nombre de particules qui traversent la section S est : N = vdt S n Ce qui permet de déduire la quantité de charge : Q = q N = qnsvdt Définition : L intensité du faisceau est : I = Q t = qnsv quantité de charge traversant la section S pendant l unité de temps. 1.2 Vecteur densité de courant j Définition : j = nq v avec le module j = j = n q v d où I = j S e x Par convention le sens du courant est le sens de déplacement des charges positives. 2

3 q > 0 I > 0 j et v de même sens [I] = A (Ampère) q < 0 I < 0 j et v de sens opposé [j] = Am 2 2 Modèle microscopique de la conduction électrique dans les métaux 2.1 Trois hypothèses : Les porteurs de charges sont les e libres de densité particulaire n En présence de E, champ électrique créé par la ddp appliquée aux bornes du conducteur, ces e sont animés d une vitesse moyenne v(t) = Le conducteur est le siège d un courant caractérisé par le vecteur densité de courant j(t) = nev(t). e 1, C Les collisions subies par les e de conduction en traversant le conducteur à une force 3

4 de frottement appliquée à chacun des e. f(t) = kv(t) k > Equations différentielles du mouvement d un électron dans le conducteur Remarque: m e = 9, kg soit P = mg = N F = q E soit F = qe = 1, N ( E trouvé avec 220 V sur qq 10cm) P = négligeable par rapport à F. S e F v E ex x Relation Fondamentale de la Dynamique : ma(t) = ee kv(t) a(t) + m k v(t) = e m E 4

5 Equation différentielle du mouvement d un e. a(t) e x + k v(t) e x = e m m E = dv x(t) + k dt m v x(t) = e m E (1) a(t) e y + k v(t) e y = 0 = dv y(t) + k m dt m v y(t) = 0 (2) a(t) e z + k v(t) e z = 0 = dv z(t) + k m dt m v z(t) = 0 (3) = 3 équations différentielles à résoudre : (2) & (3) évident: v y = A y exp( k m t) v z = A z exp( k m t) Remarque: Avant t=o (date d application de E) toutes les directions de vitesses sont équiprobables. = v y = v z = 0. En effet il n y a pas d e qui sort d un conducteur non soumis à une ddp. 5

6 = A y = A z = 0. Résolution de (1): Solution générale : v x = ee k + A xexp( k m t) Solution particulière : à t=0 v x = v y = v z = 0 A x = e E k Solution complète : v x (t) = e E k [exp( m k t) 1]. On pose τ = m k = v = e [ t 1 exp( k τ )] E (ee/k) (-ee/k)*(1-e t/τ ) Ε (t/τ) exp( t τ ) << 1 et exp( 7) = pour t > 7τ. Il y a donc établissement d une vitesse con- 6

7 stante uniforme v 0, cad d un régime permanent. Les e ont un mvt rectiligne uniforme à l intérieur du conducteur selon la direction du champ appliqué. On peut alors définir une nouvelle quantité : la mobilité de l électron dans le conducteur µ e. v 0 = e k E = µ e E tel que µ e < 0 et [µ e ] = m 2 s 1 V Loi d Ohm locale - Conductivité - Résistivité j s écrit alors = j = n e v 0 = ne2 k E est toujours dirigé selon E. C est la loi d Ohm locale : j = γ E avec γ = ne2 k tel que γ > 0 et [γ] = Ω 1 m 1. γ est appelée conductivité du conducteur. On définit ρ la résistivité du conducteur par ρ = 1 γ 7

8 ρ = k ne2 = est proportionnelle à k, cad à la résistance au mvt des e dans le conducteur exercée par le milieu extérieur. 2.4 Loi d Ohm macroscopique L A B x U AB R E U AB = V A V B E = U L e x U = 1 γ L S I = RI I = J S e x = γ S L U avec R = L en Ω γs résistance du conducteur exprimée 8

9 2.5 Loi de Joule Puissance Joule Lorsque le régime permanent est établi alors : f = k v 0 = k e E k = ee Le travail de f pendant [t, t + dt] est : W ( f) = f v 0 t = ee ( e) E t e 2 E 2 = k k t W ( f) = e2 U 2 kl 2 t Pour l ensemble des e, l énergie dissipée par frottement est : W = ( e2 U 2 kl 2 t) nsl = ( n e2 k SU2 L Or γ = ne2 k et R = ρl S = γ 1 L S = Rγ = L S = W = γu 2 Rγ t avec U = RI = W = RI 2 t ) t ce qui conduit à l expression de la puissance dissipée : 9

10 P = W t = RI 2 Puissance Joule Coexistence de plusieurs types de charge Plusieurs type de charges positives ou négatives sont susceptibles d être mobiles. Elles sont caractérisées par : n i : densité des particules i v i : vitesse des particules i en régime permanent q i : charge des particules i Soit E = E e x le champ uniforme qui règne à l intérieur du conducteur. µ i > 0 si charge q i > 0 v i = µ i E µ i < 0 si charge q i < 0 Le vecteur densité de courant total est alors : 10

11 j = n 1 q 1 v 1 + n 2 q 2 v n i q i v i +... j = [n 1 q 1 µ 1 + n 2 q 2 µ ] E j = ( N i=1 n iq i µ i ) E La conductivité totale du milieu est j = γ E= γ = N i=1 n i q i µ i Remarque: q i µ i > 0 toujours vrai car q i et µ i de même signe = γ est toujours POSITIF. 11