Année: Mathématiques n et p sont des entiers naturels non nuls et K = R ou C. 3. A = sh x ch x 4. A = u n u n 1 + u n

Transcription

1 n et p sont des entiers naturels non nuls et K = R ou C Exercice 1: PourA M n (R, on note σ(a la somme des termes de Aon considère la matrice J carrée d ordre n dont tous les coefficients valent 1 1 CalculerJ k, k N 2 Montrer que JAJ = σ(aj Exercice 2: Calculer A n dans chacun des cas suivants A = ( cos(θ sin(θ 2 A = sin(θ cos(θ ( ch x sh x 3 A = sh x ch x a b b b 4 A = b (M p(r b b a a et b deux réels non nuls Exercice 3: On considére la matrice suivante : A = Démontrer qu il existe une suite (u n n N telle que : n N, A n = 2u n 1 2u n 2u n u n u n 1 + u n 2 Calculer u n en fonction de n puis expliciter A n Exercice 4: Soit A = Calculer A 2 2 Exprimer A 2 en fonction de A et I 3 3 Montrer que A est inversible et calculer A ( Exercice 5: Soit A = et P = Calculer P 1 2 Calculer D = P 1 AP 3 Calculer n N, D n 4 En déduire n N A n Exercice 6: pour tout t R on pose 1 + t2 t2 t 2 2 A(t = t 2 1 t2 t 2 2 t t MSAHROURDI

2 1 Montrer que t, s R : M(t + s = M(tM(s 2 Calculer (M(t I 3 3 Exercice 7: Soit n N, n 2 on pose :ω = e ( 2iπ n et A = (a ij M n (C avec (i, j {1,, n} 2, a ij = ω (i 1(j 1 Calculer AA puis en déduire que A est inversible et donner son inverse Exercice 8: Soit A = 0 et f l endomorphisme de R n dont la matrice relativement à la base canonique B = (e 1,, e n est A 1 Pour tout (i, k {1,, n} 2 : Calculer f k (e i 2 En déduire f n et A n Exercice 9: Pour i, j, k et l [1, n], on note E i,j et E k,l les matrices élémentaires d indice (i, jet (k, l on pose pour λ K et i j : C i,j = I n +λe i,j, D i,i = I n +λe i,i E i,i et P i,j = I n E i,i E j,j + E i,j + E j,i et A = (a i,j 1 i n M n (R 1 Montrer que E i,j E k,l = δ j,k E i,l 2 Quelle matrice obtient-on lorsqu on multiplie chacune des matrices C i,j,d i,i et P i,j par A( à gauche puis à droite 3 En déduire que les matrices C,D et E sont inversible et donner l inverse de chacune d elles Exercice 10: soit A = (a ij 1 i n M n (K Montrer que B M n (K, AB = BA α K : A = αi n Exercice 11: Soit n N, n 2,pour σ S n, S n est l ensemble des bijection de [1, n] dans [1, n],on considère la matrice de permutation associée à σ :A σ = (δ iσ(j (1 i,j n 1 Montrer que (σ, σ S 2 n : A σoσ = A σ A σ 2 Montre que{a σ M n (R/σ S n } est un sous groupe de GL n (R isomorphe à S n 3 vérifie que t (A σ = A σ 1 Exercice 12: On considére les sous- espaces vectoriels supplémentaires de R 3, F = {(x, y, z R 3 /x + y z = 0}, D = vect((1, 1, 0 On note B = (i, j, k la base canonique de R 3 On note p la projection vectorielle sur F parallèlement à D, q celle sur D parallèlement à P, s la symétrie vectorielle par rapport à F et parallèlement à D

3 1 Donner la matrice de p dans la base B 2 En déduire les matrices, dans B, de q et de s Exercice13: Soit A =, et l endomorphisme f de R3 canoniquement associé à A Calculer A 2, en déduire la nature géométrique de f 2 Calculer le rang de A et décrire les éléments caractéristiques de f Exercice 14: Soit A = et l endomorphisme f de R 3 canoniquement associé à A Pour quelle valeurs de λ R, A λi 3 GL 3 (R? 2 Montrer que Ker(f id est de dimension 2 et Ker(f + 3id est de dimension 1 3 Soit (e 1, e 2 une base de Ker(f id et (e 3 une base de Ker(f + 3id (a Montrer que B = (e 1, e 2, e 3 est une base de R 3 (b Donner la matrice de f dans la base B (c En déduire n N, A n Exercice 15: Soit f L(R 3 de matrice canoniquement associée A = Montrer que f est une symétrie dont on précisera les éléments caractéristiques Exercice 16: Soit u, un endomorphisme de R 3 tel que u 3 = 0 et rg(u = 2 1 Montrer qu il existe x R 3 tel que u 2 (x 0 2 Montrer que B = (x, u(x, u 2 (x est une base de R 3 3 Donner la matrice M de u dans cette base Exercice 17: Soit E un K ev de dimension paire n = 2p,et f L(E, telles que 1 Montrer que : Ker(f = Im(f f 2 = 0 et rg(f = n 2 = p 2 Montrer qu il existe une base de E de la forme B = (e 1, e 2,, e p, f(e 1, f(e 2,, f(e p 3 Donner la matrice M = Mat B (f Exercice 18: Soit E un MK-ev de dimension n, et u L(E tel qu il existe x 0 E vérifiant : u n 1 (x 0 0 et u n (x 0 = 0 1 Montrer que F = (x 0, u(x 0, u 2 (x 0,, u n 1 (x 0 est une base de E 2 Donner la matrice de u relativement à cette base

4 Exercice 19: Soit A = (a ij M n (R : on suppose que A est à diagonale dominante stricte ie : pour tout i {1,, n}, a ii > a ij j i Montrer que A est inversible Exercice 20: On considère trois suites (x n, (y n, (z n définies par leurs premiers termes x 0, y 0, z 0 et les relations suivantes : 2x n+1 = x n 3y n + 6z n 2y n+1 = 3x n + 5y n 6z n 2z n+1 = 3x n + 3y n 4z n 1 Montrer que ce système peut s écrire sous la forme X n+1 = AX n où A M 3 (R, et X n, X n+1 sont des matrices colonnes de M 3,1 (R 2 Chercher E 1 = {X M 3,1 (R AX = X} et E 2 = {X M 3,1 (R AX = 2X} 3 Montrer que E 1 et E 2 sont des sev de M 3,1 (R, et donner des bases de E 1 et E 2 4 Montrer que l endomorphisme f : M 3,1 (R M 3,1 (R X AX a pour matrice A dans la base canonique de M 3,1 (R 5 En déduire qu il existe une matrice P GL 3 (R à determiner telle que P 1 AP = En déduire A n pour tout entier naturel n, puis donner l expression de X n en fonction de n et X 0 Exercice 21: Soit A = (a ij 1 i n M n (K une matrice carrée On rappelle que trace de la matrice A la somme de ses éléments diagonaux : autrement dit, n Tr(A = a ii i=1 1 Montrer que l application Tr est une forme linéaire sur M n (K 2 Montrer que : A M n (K, Tr( t A =Tr(A 3 Montrer que, en général, Tr(AB Tr(ATr(B ( exhiber un contre-exemple avec n = 2 4 Montrer que : A M n (K, B M n (K, Tr(AB =Tr(BA 5 Montrer qu il n est pas possible de trouver deux matrices A et B dans M n (K telles que AB BA = I n 6 Montrer que : A M n (R, Tr( t AA 0 7 Montrer que deux matrices semblables ont la même trace 8 Soit u, un endomorphisme d un K-ev E de dimension n Montrer que la trace de sa matrice relativement à une base B est indépendante de la base B choisie On peut donc ainsi définir la trace d un endomorphisme de E 9 Soit p, un projecteur de E : montrer l égalité Tr(p = rg(p

5 Exercice 22: M = α α α 0 0 Soit f l endomorphisme de R 4 canoniquement associé à la matrice 1 Déterminer le rang de f en fonction du paramètre réel α 2 Déterminer des bases de Ker(f et Im(f suivant les valeurs de α Exercice 23: Calculer le rang des matrices suivantes A = λ 1 2λ λ 3 en fonction de λ 1 1 λ + 2 Exercice 24: Calculer l inverse des matrices suivantes 3 4 A = ( i j Calculer A 2 Montrer que ker A Im A = M n,1 1 i n (K 5 (i + j 1 i n 6 (ij 1 i n 1 a A = 0 a Exercice 25: Soit A = ( , et φ : 1 Vérifier que φ est un endomorphisme de M 2 (R, n n n 2 2 B = n M 2 (R M 2 (R M φ(m = AM MA 2 Donner la matrice de φ relativement à la base canonique B de M 2 (R 3 Calculer rg(φ 4 Soit C(A, l ensemble des matrices qui commutent avec A, justifier que C(A est un sev de M 2 (R, et en déduire sa dimension grâce à ce qui précède Exercice 26: Soit A = (a i 1 i n M n,1 (K, B = (b i 1 i n M n,1 (K et C = (a i + b j 1 i,j n M n (K 1 Calculer t AA et A t A 2 Calculer le rang de (A t A 1 a 1 ( b1 b 3 Montrer que C = n a n et Calculer le rang de C