Étude de la propagation d une onde dans une tige métallique

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1 Étude de la propagation d une onde dans une tige métallique hétérogène Véronique Duwig (veronique.duwig@edf.fr) Les réponses aux questions seront mises sous la forme d un rapport illustré par des résultats numériques. Les programmes seront mis en annexe. Présentation du problème On considère une tige métallique élastique homogène de masse volumique ρ de longueur L et de section constante σ. On suppose qu elle est au repos et on s intéresse aux vibrations longitudinales de la tige lorsqu elle est traversée par une onde. On note u(x, t) le déplacement longitudinal à l instant t du point M situé en x lorsque la barre est au repos (configuration de référence) et T(x, t) la tension interne exercée en x et à l instant t. Pour simplifier, toute l étude de fait en dimension. La démarche est la même en dimension supérieure et la méthode de couplage proposée gagne en intérêt en dimension 2 et 3. 2 Le problème continu On note Ω =]0, L[ la configuration de référence de la barre. 2. Les équations sous forme forte Le principe fondamental de la dynamique nous donne ρσ 2 u t 2 = T dans Ω. () La loi de comportement (loi de Hooke) s écrit T = Eσ u dans Ω, (2) où E est le module d Young de la tige métallique. E, σ et ρ sont des fonctions continues par morceaux, bornées et strictement positives (attention, elles dépendent de x). On définit la E grandeur c = ρ. Question Montrer que c est homogène à une vitesse. Question 2 En utilisant les équations () et (2) et en supposant, pour cette question uniquement, que E, σ et ρ sont des fonctions constantes, écrire une unique équation ne faisant intervenir que l inconnu u. On obtient l équation des ondes en dimension. On suppose que la barre est encastrée à ces deux extrémités, ie u(0) = u(l) = 0. (3)

2 On munit notre système d équations d une condition initiale u(., t = 0) = u 0, u t (., t = 0) = u. (4) Les équations () et (2) complétées par la condition aux limites (3) et la condition initiale (4) constituent notre problème noté P. On peut montrer que pour u 0 H0 (Ω) et u H0(Ω), notre problème admet une unique solution (u, T) (C 0 (0, T; H 0 (Ω)) C (0, T; L 2 (Ω))) C 0 (0, T; L 2 (Ω)). 2.2 Les équations sous forme faible Question 3 Montrer que le couple (u, T) solution de P vérifie la formulation variationnelle d dt 2 ρσuv + T v Ω Ω = 0 v H 0 (Ω) Eσ Tτ u τ = 0 τ L2 (Ω). (5) Ω Ω En déduire que la formulation variationnelle possède au moins une solution. Question 4 Montrer que si le couple (u, T) est solution de (5) et vérifie la condition initiale (4) alors il est solution de P. En déduire que la formulation variationnelle (5) admet une unique solution. 3 Discrétisation en espace 3. Choix des espaces On maille la tige par N segments de longueur h (L = N h). L espace H0 (Ω) est approché par un espace de dimension fini noté U h constitué des fonctions P -continues et appartenant à H0 (Ω). L espace L2 0 (Ω) est approché par un espace de dimension fini noté T h constitué des fonctions P 0 -discontinues. On note {φ u i } i=,..,nu les fonctions de base de U h et {φ T i } i=,..,n T les fonctions de base de T h. Question 5 Que valent N u et N T? Expliciter les {φ i u } i=,..,nu et {φ T i } i=,..,n T. 3.2 Le système matriciel Question 6 Récrire la formulation variationnelle (5) en travaillant dans ces espaces approchés. Montrer qu elle équivaut à la résolution d un système matriciel d 2 U M U dt 2 + KT = 0 M T T K T U = 0, (6) où U(t = 0) et du dt (t = 0) correspondent à des discrétisations de u 0 et u. Expliciter les matrices M U, M T et K en fonction des φ u i et φ T i. 2

3 4 Discrétisation en temps On discrétise en temps le système matriciel (6) par différences finies. On note t le pas de temps et on obtient Question 7 Que prendre pour U 0 et U? M U U n+ 2U n + U n t 2 + KT n = 0 M T T n K T U n = 0. (7) Question 8 On considère U n et U n connus. Donner un algorithme permettant de calculer U n+. Quels types d opérations sont nécessaires à la résolution? Question 9 Déterminer de manière exacte les coefficients des matrices M U, M T et K en utilisant la valeur des {φ i u } i=,..,nu et {φ T i } i=,..,n T. Quelles sont les propriétés des matrices (caractère creux, inversibilité...)? Quelle est la particularité de M T? Expliquer pourquoi le schéma (7) est dit implicite? 5 Condensation de masse On utilise dorénavent une méthode de condensation de masse pour calculer les coefficients des matrices M U, M T et K. Cette méthode consiste à approximer les intégrales par une formule de quadrature (i+)h ih g(ih) + g((i + )h) g(x)dx h. 2 Question 0 A l aide de la formule de quadrature précédente, calculer les termes des matrices M U, M T et K. Quelles sont les propriétés des matrices (caractère creux, inversibilité...)? Quelle est la particularité de M U et de M T? Expliquer pourquoi le schéma (7), avec cette approximation, est dit explicite? Ecrire un algorithme de résolution utilisant le caractère explicite du schéma (on exprimera u n+ i un schéma en déplacement uniquement. et T n i ). Eliminer la variable T et construire 6 Etude de la stabilité par technique énergétique On travaille sur le système matriciel (7). 6. Construction d une énergie On pose E n+ 2 = (MT T n+, T n U ) + (M n+ U n U, Un+ U n ). t t Question Montrer que sous la condition (condition CFL) M U t2 KMT 4 KT définie positive, la quantité E n+ 2 est positive. La dénomination énergie est justifiée. Pour traiter le terme (M T T n+, T n )), on utilisera l identité où (.,.) désigne un produit scalaire. (u, v) = ((u + v, u + v) (u v, u v)) 4 3

4 6.2 Conservation de l énergie Question 2 Montrer que l énergie se conserve au cours du temps, ie E n+ 2 = E n 2 = E 2. Indication : prendre la première équation de (7) au rang n et la multiplier par U n+ U n, multiplier la différence entre la deuxième équation de (7) au rang n + et n par T n. 6.3 Stabilité du schéma Question 3 En déduire que sous la condition les suites U n et T n sont bornées. M U t2 KMT 4 KT définie positive, 7 Etude d un milieu homogène Dans toute cette section on considère une tige homogène, ie que le module d Young E et la masse volumique ρ sont des constantes. 7. Détermination d une condition CFL Question 4 En utilisant les propriétés des matrices montrer que la condition est vérifiée si M U t2 KMT 4 KT c t h <. définie positive, Indication : on pourra montrer que la matrice KK T + λi avec λ > 4 est à diagonale strictement dominante (donc inversible) et donc que la valeur propre max de K K T est inférieure à 4. Question 5 Récrire le schéma en déplacement construit à la question 0 en utilisant le fait que le milieu est homogène. Montrer que, sous la condition c t =, ce schéma est h exacte pour l équation des ondes en dimension (on montrera que l erreur de troncature est nulle). On admettra que sous la condition c t h homogène on prendra donc t = h c numérique). 7.2 Implémentation et application numérique =, le schéma est stable. Pour un milieu et notre schéma est donc exact (pas de dispersion Question 6 Coder, dans votre language préféré (scilab, matlab, fortran, C...), le schéma en déplacement construit à la question 5. Question 7 (Application numérique) On prendra les valeurs numériques suivantes: N = 000; σ = m 2 ; h = 0.00 m; 4

5 ρ = 7700 kg/m 3 ; E = E 0 = N/m; u 0 (ih) = u (ih) = { ) exp ( (i 500) si 0 i sinon Tracer le déplacement pour différents temps n t (par exemple n = 00, n = ). Décrire la solution et la comparer à la condition initiale u 0. Estimer la vitesse de propagation de l onde. Y a-t-il une atténuation? Prendre un pas de temps deux fois plus petit. Qu observez-vous (c est ce qu on appelle dispersion numérique ). Prendre un pas de temps deux fois plus grand que celui donné par la CFL. Qu observezvous (c est ce qu on appelle un phénomène d instabilité ). 8 Etude d un milieu hétérogène constitué de deux milieux homogènes On considère à présent une barre constituée de deux milieux homogènes Ω =]0, L [ et Ω 2 =]L, L 2 [ de caractéristiques respectives (ρ, E ) et (ρ 2, E 2 ). La barre est de section σ constante. 8. Coefficients de réflexion et de transmission On s intéresse au comportement de l onde au voisinage de l interface, située en x = L, entre les deux milieux. On se propose de déterminer les coefficients de réflexion et de transmission. Pour cela on considère une tige infinie de section constante σ constituée de deux milieux homogènes de caractéristiques respectives (ρ, E ) et (ρ 2, E 2 ). L interface entre les deux milieux est située en x = 0. On note c = respectives dans les deux milieux. Les équations considérées sont les suivantes E ρ et c 2 = E 2 ρ 2 les vitesses des ondes 2 u t 2 2 u c2 2 = 0 pour x < 0 2 u t 2 2 u c2 2 2 = 0 pour x > 0 [u] = 0 pour x = 0 [ Eσ u ] = 0 pour x = 0. (8) Question 8 Interpréter les deux dernières équations du système (8). On travaille en régime harmonique et on cherche le déplacement u sous la forme u(x, t) = Re(φ(x)e iωt ). (9) Le calcul des modes propres revient à chercher, pour tout ω R, les solutions φ bornées en espace. Question 9 Remplacer u(x, t) par son expression donnée par (9) dans le système (8). En déduire un système d équations vérifiées par φ.. 5

6 Question 20 Résoudre le système établi à la question 9. Montrer que φ est de la forme φ(x) = A e ikx + A + eikx pour x < 0 φ(x) = A 2 e ik2x + A + 2 eik2x pour x > 0. (0) Que valent k et k 2? Montrer que les deux relations suivantes doivent être vérifiées A + A+ = A 2 + A+ 2 E ( k A + k A + ) = E 2( k 2 A 2 + k 2A + 2 ). () On pose γ = k 2E 2 k E. Question 2 Exprimer γ en fonction des masses volumiques et des vitesses des ondes. Les équations () constituent un système de 2 équations à 4 inconnus. On fixe 2 inconnus et on résout le système 2 2 ainsi obtenu. On choisit de poser A + = et A 2 = 0. Question 22 Déterminer le coefficient de réflexion R = A A + et le coefficient de transmission T = A+ 2 A + en fonction de γ. Question 23 Que se passe-t-il pour γ =? 8.2 Un schéma global On travaille avec le schéma obtenu à la question Construction du schéma Question 24 Récrire ce schéma dans le cas particulier de la tige constituée des deux matériaux homogènes (on suppose que la frontière entre les 2 zones correspond à un point du maillage). Question 25 En utilisant les résultats obtenus en termes de stabilité et de dispersion numérique dans le cas d une tige homogène, proposer un choix pour le pas de temps t. Remarquons qu on préfèrera un schéma dispersif plutôt qu un schéma instable Implémentation et application numérique Question 26 Coder le schéma en déplacement construit à la question 24. Valider le schéma dans le cas particulier d un milieu homogène, ie ρ = ρ 2 et E = E 2. Question 27 (Application numérique) On prendra les valeurs numériques suivantes: N = 000; σ = m 2 ; h = 0.00 m; L = 700 h m; ρ = 7700 kg/m 3 ; c = 5900 m/s; ρ 2 = 7700 kg/m 3 ; c 2 = 2950 m/s; { ) exp ( (i 500)2 u 0 (ih) = u (ih) = 2 2 si 0 i sinon Tracer le déplacement pour différents temps n t (par exemple n = 00, n = ). Décrire la solution. Que se passe-t-il à l interface? 6

7 8.3 Un couplage de schéma Pour éviter les phénomènes de dispersion numérique et d instabilité, nous imposons la condition c t = dans les 2 domaines. Pour cela, on choisit des pas d espace différents h (h et h 2 ) et le même pas de temps t. On résout séparemment les équations dans les deux milieux et on raccorde ces derniers en imposant des conditions de transmission Les équations sous forme forte On considère les équations suivantes ρ σ 2 u t 2 = T ρ 2 σ 2 u 2 t 2 = T 2 T = E σ u T 2 = E 2 σ u 2 Les conditions de transmission à l interface sont dans Ω, dans Ω 2, u 2 (L ) = u (L ). dans Ω, dans Ω 2. (2) (3) T 2 (L ) = T (L ). (4) On pose λ = T 2 (L ) = T (L ). λ joue le rôle d un multiplicateur de Lagrange. Les conditions aux limites sont des conditions d encastrement u (0) = u 2 (L) = 0. (5) On munit enfin notre système d équations d une condition initiale On introduit les espaces suivants u (., t = 0) = u 0 dans Ω, u 2 (., t = 0) = 0 dans Ω 2, u t (., t = 0) = 0 dans Ω, u 2 t (., t = 0) = 0 dans Ω 2. (6) X = { v H (Ω )/ v (0) = 0 } X 2 = { v 2 H (Ω 2 )/ v 2 (L) = 0 }. Les équations (2) complétées par les conditions de transmission (4), la condition aux limites (5) et la condition initiale (6) constituent notre problème noté P c. On peut montrer que pour u 0 X, notre problème admet une unique solution (u, u 2, T, T 2 ) (C 0 (0, T; L 2 (Ω ) L 2 (Ω 2 )) C (0, T; X X 2 )) C 0 (0, T; L 2 (Ω ) L 2 (Ω 2 )). 7

8 8.3.2 Les équations sous forme faible Question 28 Etablir la formulation variationnelle suivante: Trouver (u, u 2, T, T 2, λ) tel que (C 0 (0, T; L 2 (Ω ) L 2 (Ω 2 )) C (0, T; X X 2 )) C 0 (0, T; L 2 (Ω ) L 2 (Ω 2 ) R) d v dt 2 ρ σu v + T Ω Ω λv (L ) = 0 v X d v 2 dt 2 ρ 2 σu 2 v 2 + T 2 Ω 2 Ω 2 + λv 2(L ) = 0 v 2 X 2 Ω E σ T u τ Ω τ = 0 τ L 2 (Ω ) Ω 2 E 2 σ T u 2 2τ 2 Ω 2 τ 2 = 0 τ 2 L 2 (Ω 2 ) (u (L ) u 2 (L ))µ = 0 µ R. (7) On admet que la formulation variationnelle précédente admet une solution et une seule Discrétisation en espace et en temps Question 29 Discrétiser en espace et en temps la formulation variationnelle précédente en suivant la même démarche que pour le schéma global. Remarquons qu il faut utiliser des demi-fonctions de base pour la discrétisation des espaces X et X 2 au niveau de l interface x = L. Montrer qu on obtient le schéma suivant U n+ 2U n + U n M U t 2 + K T n C Λ n = 0 U2 n+ 2U2 n M + Un 2 U2 t 2 + K 2 T2 n + C 2Λ n = 0 M T T n KT Un = 0 M T2 T n 2 K T 2 U n 2 = 0 C T Un CT 2 Un 2 = 0. (8) Question 30 Déterminer les coefficients des matrices M U, M U2, M T, M T2, K et K 2 et des vecteurs C et C 2 en utilisant la condensation de masse Résolution Question 3 Montrer que Λ n est donné par Λ n = (C T M U C + C T 2 M U2 C 2) (C T M U K T C T 2 M U2 K 2T 2 ). Donner une expression simple 2 de Λ n en utilisant l expression des coefficients des matrices. Question 32 On suppose U n, U n, Un 2 et U2 n U n+ et U2 n+. connus. Donner les étapes pour déterminer Question 33 Ecrire les schémas en déplacements vérifiés par U n et Un 2 (on élimine T et T 2 ). On exprimera (U n+ ) i en fonction de Λ n, de (U n ) i, (U n ) i+ et (U n ) i. On procèdera de même pour (U2 n+ ) i.. les pas d espace h et h 2 sont différents 2. au sens peu coûteux en calcul 8

9 8.3.5 Implémentation et résultats numériques Question 34 Implémenter la résolution du schéma construit à la question 33 et valider les résultats avec le cas homogène en travaillant avec deux matériaux identiques. Question 35 On s intéresse à trois configurations différentes. Les données communes à ces trois configurations sont: L = m; L = 0.7 m; h = 0.00 m; ρ = 7700 kg/m 3 ; c = 5900 m/s; t = h /c : { ) exp ( (i 500)2 u 0 (ih ) = u (ih ) = 2 2 si 0 i sinon Les trois configurations sont:. ρ 2 = ρ, c 2 = c /2. On choisit alors h 2 = h /2; 2. ρ 2 = ρ, c 2 = 2 c. On choisit alors h 2 = 2 h ; 3. ρ 2 = 2 ρ, c 2 = c /2. On choisit alors h 2 = h /2. Tracer le déplacement pour différents temps n t (par exemple n = 00, n = ). On prendra en compte que les pas d espace sont différents. Mesurer les coefficients de réflexion et de transmission et les comparer avec les coefficients de réflexion et de transmission théoriques. 9