Chapitre 5 - Fonctions affines

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1 Chapitre 5 - Fonctions affines TP - Bienvenue dans l hyperespace 1. Créer un curseur a variant de 10 à Tracer la représentation graphique de la fonction f a x ax+2. Pour cela entrer dans le champ Saisie en bas de votre écran la formule a*x+2 puis valider. 3. Faire varier a à l aide du curseur. Les droitesd a ont-elles toutes un point commun? Si oui, lequel? Pourquoi? Remarque : on peut activer la trace de la représentation graphique en cliquant droit sur celle-ci. 4. Que peut-on dire du sens de variation de f a suivant les valeurs de a? 5. Créer un curseur b variant de 10 à 10 puis tracer la représentation graphique de la fonction f b x 2x+b. 6. Faire varier b (a) b semble-t-il avoir une influence sur le sens de variation de f b? (b) Comment lire graphiquement b? Peut-on toujours lire b avec précision? -1-

2 Fonctions affines Définition 1 Une fonction affine est une fonction f définie sur R par f x ax+b, où a et b sont deux nombres réels fixés. Cas particuliers Si b=0, la fonction f est dite linéaire. Ainsi f x 3x est une fonction linéaire. Si a=0, la fonction f est dite constante. Ainsi f x 5 est une fonction constante. Théorème 1 La représentation graphique d une fonction affine f x ax+b, est une droite. Remarque Pour tracer une droite on a besoin de deux points. On a vu dans le TP d introduction que la droite représentative d une fonction affine passe par le point B(0; b). Si a=0, la droite est parallèle à l axe des abscisses. Exercice : Tracer, dans un même repère orthonormé d unité 1 cm, les représentations graphiques des fonctions suivantes : f x 3x 4 ; g x 2x+3 ; h x 1 Théorème 2 Sens de variation f est la fonction affine définie par f x ax+b, avec a 0. Si, f est strictement croissante sur R. Si a<0, f est strictement décroissante sur R. Démonstration Cas. x<x a(> 0) Cas a<0. x<x a(< 0) ax<ax +b ax+b<ax + b f(x)<f(x ) ax... ax +b ax+b... ax + b f(x)... f(x ) -2-

3 Déterminer le signe de ax+b suivant les valeurs de x Valeurs de Signe de f(x) a<0 Valeurs de Signe de f(x) TD : On se propose d étudier le coût et la recette sur une journée pour un restaurateur. le coût, en euro, est donné par la fonction C x 8x+300, où x représente le nombre de repas servis ; le montant de la recette est de 18e par repas en moyenne. 1. Calculer le coût et la recette pour 10 repas, 25 repas et 50 repas. Dire dans chacun des cas si le restaurateur réalise ou non un bénéfice. 2. Exprimer, en fonction du nombre de repas x, le montant de la recette R(x) réalisé par le restaurateur. 3. Le bénéfice réalisé par le restaurateur est la différence entre la recette et le coût. l est donné par la fonction B(x)=R(x) C(x). Exprimer B(x) en fonction de x. 4. Tracer la représentation graphique(d B ) de la fonction B(x) pour x [0; 50] Unités : sur l axe des abscisses, 1 cm correspond à 5 repas ; sur l axe des ordonnées, 1 cm correspond à 50e. 5. Déterminer graphiquement à partir de combien de repas servis le restaurateur réalise un bénéfice. 6. (a) Compléter la 2ème ligne du tableau ci-dessous. (b) Résoudre l équation B(x) = 0. (c) Placer dans le tableau la valeur de x solution de l équation. (d) Déduire des questions précédentes le signe de B(x) en fonction des valeurs de x. Résumer les résultats dans la 3ème ligne du tableau. Valeurs de Variations de B Signe de B(x) 7. Conclure par rapport au résultat de la question 5. Généralisation : Soit la fonction affine f x ax+b avec a (a) Résoudre l équation ax+b=0. (b) Placer dans chacun des tableaux ci-dessous la valeur x solution de l équation. (c) Compléter la ligne variations de f. (d) Déduire des questions précédentes le signe de f(x) en fonction des valeurs de x. -3-

4 Applications : Étudier le signe de l expression A(x) selon les valeurs de x. 1. A(x)=3x 1 2. A(x)= 2x 5 3. A(x)= 1 3 x+2 V Synthèse 1. Ensemble de définition :D f =R. Fonction affine f x ax+b, a 0 2. Signe x b a + x b a + Signe de f(x) 0 + Signe de f(x) Sens de variation 4. Courbe représentative : b a b J O b J O b a -4-

5 V Résoudre des inéquations produits TD : On cherche à résoudre l inéquation(x+3)( x+5) Quels doivent être les signes de(x+3) et de( x+5) pour que leur produit soit positif? 2. En déduire les solutions de l inéquation(x+3)( x+5) Compléter le tableau de signe suivant. 4. Retrouver le résultat de la question 2. x Signe de x+3 Signe de x+5 Signe de(x+3)( x+5) 5. Déterminer l ensemble solution de l inéquation(x+3)( x+5) 0. Exercice : Étudier l ensemble des solutions à l aide d un tableau de signes. 1. Résoudre l inéquation(2x 1)( x+4) Résoudre l inéquation(3x 2)( 5x+ 1) Résoudre l inéquation( x )(2x+1)>0. 4. (a) Utiliser l identité remarquable a 2 b 2 =(a b)(a+b) pour factoriser l expression(x 3) Déterminer le signe de(x 3) 2 25 suivant les valeurs de x. (b) En déduire la résolution de l inéquation(x 3) 2 25<0. -5-