Correction page 1 / 4. E(p) + - U(p) F(p)

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1 Correction page 1 / 4 Correction 1. Introduction. Soit un système bouclé défini par le schéma bloc ci-dessous : Si on désire améliorer ses caractéristiques de stabilité, précision, et de rapidité, de dépassement, sans modifier F(p) il est nécessaire d introduire dans la boucle de commande un correcteur. E(p) + - F(p) S(p) E(p) + - ε(p) C(p) U(p) F(p) S(p) Les correcteurs doivent permettre de réaliser le meilleur compromis entre stabilité, précision, dépassement et rapidité du système étudié. 2. Corrections élémentaires. 2.1 Correction proportionnelle. Principe physique. L entrée de F(p), U(p), est proportionnelle à ε(p). Si K est trop élevé, la correction est trop «brutale». C(p) = K p Si K est trop faible, la correction est un peu «molle». Technologie : réalisable à l aide AOP. Dépense de l énergie. Influence sur la stabilité. Si K p augment les marges de stabilité diminues. Influence sur la rapidité. Dans le cas général, une augmentation de K p augmente la rapidité. Influence sur les dépassements. Influence sur la précision. Pour les systèmes pour lesquels l écart n est ni nul (parfait) ni infini (instable), l augmentation de K p améliore la précision. Pour les systèmes dont la FTBO est un second ordre, la FTBF l est aussi. Dans ce cas, on montre que : z BF = z 1 + K si K augmente, z BF diminue, les dépassements augmentent. Correction proportionnelle Marge de stabilité Précision Rapidité Dépassement Si K P & ( & & & ou apparaissent Correction.doc

2 Correction page 2 / Correction intégration pure. Principe physique. C(p) =K P. 1 p L idée est commander F(p) en fonction de l erreur totale depuis la mise en marche : la commande est fonction de l accumulation des ε(p), d où «l intégration». Technologie : ce type de correcteur n est pas aisément réalisable, mais une approximation peut être obtenu par un montage AOP. Influence sur la stabilité. La phase d un intégrateur est constante : ϕ = -90 : elle peut provoquer une instabilité. Il faut que F(p) ait, à l origine, un déphasage supérieur à 45 (pour avoir la marge phase = 45 ). Ou alors, il faut diminuer grandement le gain ; avec tout ce que cela implique sur les autres qualité. Influence sur la précision. L intégrateur augmente la classe de la FTBO, donc la précision. Conclusion : Sans diminuer manière importante K p, ce type de correcteur n est pas envisageable. 2.3 Correction proportionnelle intégrale (P.I.). Principe. C(p) = K p τ i.p = K p. 1 + τ i.p τ i.p Tenter de cumuler les avantages des deux correcteurs précédents. Diagramme de Bode. Réglage : on place de correcteur de telle sorte que le déphasage soit effectif avant la pulsation de résonance du système non corrigé de manière à ne pas rendre le système instable. Correction.doc

3 Correction page 3 / 4 Exemple. F(p) = F(p) 1 3.p p + 1 ω n = 0.5 rad/s La FTBF est stable (FTBO du 2 ordre), mais peu précis (50% d erreur). Appliquons lui deux correcteurs C 1 (p) = C 1 (p) 1 0,1.p et C 1 2(p) = p C 1 (p) FTBO(p) 2. C 2 (p) Le système corrigé devient instable. FTBO(p) Ce système est stable. Et la précision est améliorée : 0.01% Influence sur la stabilité : pour K p = 1, si le correcteur est bien réglé, l influence est faible. Influence sur la précision : bonne influence grâce à l intégrateur. Influence sur la rapidité : le temps de réponse augmente. Correction proportionnelle Marge de stabilité Précision Rapidité Dépassement Intégral P.I. ( faible & ( Peu d effets Correction.doc

4 Correction page 4 / 4 3. Autres corrections. 3.1 Correction proportionnelle dérivée (P.D.). τ d.p C(p) = K p. 1 +τ d.p Elle permet principalement de stabiliser le système 3.2 Correction par avance de phase. C(p) = K p. 1 + a.τ.p 1 +τ.p Elle permet principalement de stabiliser le système sans changer les autres caractéristiques. 3.3 Correction proportionnelle intégrale dérivée (P.I.D.). C est la composition des trois actions : proportion, intégration et dérivation. C est une construction avantageuse car elle existe sous forme de carte de commande paramétrable. Il n existe pas de méthode analytique pour le réglages du correcteur mais des méthodes empiriques. Correction.doc

5 Asservissements : introduction page 1 / 1 1. Objectif. Asservissements : introduction Il s agit de mettre en place des critères et méthodes permettant d étudier les caractéristiques suivantes : Stabilité : sous quelles conditions un système asservi est-il stable ou instable? Précision : quelle est la précision d un système asservi? Rapidité : temps de réponse à 5% de la valeur finale (influence d un bouclage) Il est aussi de déterminer des moyen d améliorer un système asservi : Correction : quel correcteur faut-il introduire dans la boucle pour améliorer les performances d un système asservi? 2. Données. Dans la suite nous étudierons le problème de la stabilité à partir d un système modélisé par le schéma blocs ci-dessous. E(p) S(p) + T(p) - G(p) On note : Fonction de Transfert en Boucle Ouverte : FTBO = T(p).G(p) Fonction de Transfert en Boucle Fermée : FTBF = H(p) = T(p) 1 + T(p).G(p) Ou alors, nous étudions les systèmes asservi dont la FTBO peut se mettre sous la forme : FTBO = F(p) = K.N(p) p α.d(p) Avec N(p) et D(p) deux polynômes en p tels que N(0) = 1 et D(0) = 1. On note la classe du système α tel que α 0 K est le gain statique. Ce qui peut revenir au schéma bloc ci-dessous. E(p) + - F(p) S(p) Relation entre les deux modèles : F(p) = T(p) 1 + T(p).[ G(p) - 1] (ne pas apprendre par cœur) Introduction.doc

6 Précision d'un système asservi page 1 / 1 1. Introduction. Pr écis ion d'un s ys tème asservi 1.1 Définition de la précision et de l écart. La précision d un système asservi est défini par l erreur : L erreur statique : c est l erreur en régime permanent entre la sortie et la loi d entrée. Pour déterminer cette erreur on soumet le système à des entrées canoniques du type échelon ou rampe. L erreur dynamique : c est l écart instantané entre la sortie et l entrée lors de la phase transitoire (hors programme). 1.2 Données. Nous allons étudier les systèmes asservis à retour unitaire. On peut facilement montrer que tout système asservi peut être représenté par un système à retour unitaire tel que : FTBO = F(p) = K.N(p) p α.d(p) 2. Détermination de l écart et de la précision. Classe 0 Classe 1 Classe 2 L erreur instantanée : L erreur statique (une fois le système stabilisé) : Alors on montre que : Estat = lim p 0 p. Avec E(p) = E 0 p β ε stat = Estat E 0 Er(t) = e(t) s(t) K.N(p) p α.d(p).e(p) Estat = lim t Er(t). on appelle ε stat, l erreur relative = lim p 0 p β K = lim p 0 p β-α-1. p α + K p α Entrée Echelon Rampe Parabole Classe du système β = 1 β = 2 β = 3 α = 0 Pas d intégration α = 1 Une intégration α 2 2 ou plus E(p) K 0 1 K K Remarque : il ne faut pas conclure trop hâtivement qu il suffit de rajouter une intégration pour que le système soit précis, en effet chaque intégration ajoute aussi un déphasage de 90 ; le système risque donc de devenir instable. + - F(p) Avec N(p) et D(p) deux polynômes en p tels que N(0) = 1 et D(0) = 1. On note la classe du système α tel que α 0 (représente l intégration) K est le gain statique. S(p) Précision.doc

7 Stabilité d'un système asservi page 1 / 5 S tabilité d'un s ys tème as s ervi 1. Notion de stabilité et définition. Définition n 1 : on dit que le système est stable si pour une entrée bornée, la sortie reste bornée quelles que soient les perturbations. Système stable entrée sortie temps sortie entrée Système instable Définition n 2 : un système est stable si la réponse libre du système tend vers zéro quand t tend vers l infini. Remarque : ces deux définitions sont équivalentes dans le cas de systèmes linéaires. Quelle définition choisir? Un système réel instable oscille jusqu à la destruction. Ces oscillations peuvent, dans le cas général, être limitées par les différentes saturations (limites des ampli-op, butées physiques) et laisser croire que la sortie du système est bornée, mais le système ne peut plus être considéré comme linéaire. La première définition ne peut pas être utilisée. Etudier la réponse libre d un système revient à écarter le système de sa position d équilibre et à analyser sa réponse. Un système stable a tendance à revenir dans sa position d équilibre. Un système instable à tendance à s en écarter. temps Un système qui ne revient pas dans sa position d équilibre mais qui ne s en écarte pas est dit juste instable. Stabilité des systèmes asservis.doc

8 Stabilité d'un système asservi page 2 / 5 2. Condition fondamentale de stabilité d un système asservi. Etudions la stabilité du système en considérant la deuxième définition : ce qui revient à considérer que le système est soumis à l instant t = 0 à une impulsion. S(p) = H(p) car E(p) = 1 Avec FTBF = H(p) = Condition nécessaire et suffisante de stabilité : T(p) 1 + G(p).T(p) Un système linéaire invariant est stable si est seulement si tous ses pôles ont une partie réelle négative. Position des pôles de H(p) dans le repère complexe (ou des zéros de FTBO + 1). Pôles complexes conjuguées à partie réelle négative stable instable Pôles complexes conjuguées à partie réelle positive Im Pôles nuls Re Pôles réelles négatives Pôles imaginaires pures Pôles réelles positives Il suffit donc d avoir une méthode pour déterminer le signe des parties réelles des pôles de la fonction de transfert du système Stabilité des systèmes asservis.doc

9 Stabilité d'un système asservi page 3 / 5 3. Critères de stabilité. 3.1 Critère algébrique : Routh. Le critère de Routh est un critère permettant de déterminer à partir du polynômes dénominateur de la fonction de transfert le signe des racines de ce polynôme sans avoir à résoudre l équation qui peut se mettre aussi sous la forme : Présentation du critère de Routh : Créons un tableau : 1 + G(p).T(p) = 0 b 0 + b 1.p + b 2.p² + + b n.p n = 0 avec b n > 0 p n b n b n 2 b n 4 p n - 1 b n 1 b n - 3 b n 5 Ces deux lignes regroupent tous les coefficients du polynôme dénominateur de la FTBF Créons les lignes suivantes jusqu à p 0 : Avec : p n-2 c 1 c 2 c 3 p n - 3 d 1 d 2 d 3 p 0 c 1 = -1 b n - 1. b n b n - 2 b c 2 = -1 n - 1 b b. n - 1 n - 3 b n b n - 4 b n - 1 b n - 5 d 1 = -1 c 1. b n - 1 b n - 3 c d 2 = -1 1 c c. 1 b n - 1 b n c 1 c 3 La première colonne de coefficient (noire) est appelées la colonne des pivots. Enoncé du critère de Routh : Le système est stable si tous les termes de la colonne des pivots sont du même signe que b n. Il y a autant de racines à partie réelles positives que de changement de signe. Une ligne de zéro indique l existence de racines imaginaires pures. Conclusion : Le critère de Routh est un critère de stabilité absolue. Il ne permet pas de préciser les marges de stabilité du système. Sachant qu une fonction de transfert est toujours le modèle d un système réel (qui vieilli), et que ce modèle est toujours obtenu à partir d approximations ou d hypothèses plus ou moins fortes ( linéarisation etc. ), montrer la stabilité du modèle ne prouve pas toujours celle du système : en effet, l instabilité peut être très proche, et une erreur sur un coefficient de la FTBF peut tout faire changer. Les critères graphiques permettent de déterminer une marge de stabilité. Stabilité des systèmes asservis.doc

10 Stabilité d'un système asservi page 4 / Critères graphiques. Les critères graphiques permettent d étudier la stabilité d un système en boucle fermée (FTBF) à partir de l analyse fréquentielle de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO). Remarque : bien que l analyse se fasse dans le domaine fréquentielle, le résultat est valables pour tous les signaux d entrée (voir séries de Fourier). Règle du revers (non démontrée) : Exploitable dans les deux graphiques Bode et Black de la FTBO : (attention on trace les diagrammes de la FTBO pour étudier la stabilité de la FTBF) Stabilité dans Black : un système asservi linéaire est stable si en décrivant le lieu de transfert en boucle ouverte dans le sens des pulsations ω croissantes, on laisse le point critique (-180,0 db) à droite. Dans le cas contraire, il est instable. Utilisé en entreprise. Stabilité dans Bode : Remarques : on voit bien qu un gain trop important peut rendre le système instable On montre alors que les systèmes qui ont une FTBO du 1 ordre et du second ordre sont toujours stables en FTBF (diagramme de Black) Stabilité des systèmes asservis.doc

11 Stabilité d'un système asservi page 5 / 5 4. Marges de stabilité. La force des méthodes graphiques est dans la possibilité de définir des réserves de stabilité sous forme de distances entre le lieu de la FTBO et le point critique. On définit la marge de Gain et la marge de Phase. 1. Marge de gain (en db) : c est la différence entre 0 db et la valeur du gain pour lequel la phase est égale à Marge de phase (en degré) : c est la différence entre la valeur de la phase pour laquelle le gain est égal à 0 db et 180. Les valeurs usuelles de marge de gain et de phase sont : Marge de gain : 10 à 12 db Marge de phase : 45 à 50 Ces marges sont nécessaires pour prendre des «distances de sécurité» par rapport aux résultats des calculs afin de se prémunir d une modélisation approximative, de l évolution des systèmes (usures, dégradations, jeux mécaniques), et des utilisations imprévues. Les figures ci-contre montrent comment on peut mesurer les marges de gain et de phase dans les plans Black et Bode. Facteur de résonance. Il est possible d ajouter aux critères de marges une limite à la résonance : La valeur usuelles de réglage est : Q db = 2.3 db Le diagramme de Black permet de déterminer l amplitude de la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) à partir du lieu de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO). Le réglage du système asservi sera correct si le contour de la FTBO est tangent au contour à 2.3 db. Le point de tangence de la FTBO avec un contour d amplitude est le point de résonance du système. Stabilité des systèmes asservis.doc

12 Rapidité page 1 / 2 R apidité Elle se mesure dans le cas d une réponse à un échelon. Le plus souvent cette réponse tend asymptotiquement vers sa valeur finale, aussi on définit le temps de réponse du système à ±5%. 1. Système du premier ordre. 1.1 Temps de réponse d un système du premier ordre ouvert. Soit un système bouclé à retour unitaire tel que la FTBO = F(p) = On sait déjà que le temps de réponse de la FTBO est T 5% = 3.τ 1.2 Temps de réponse du système bouclé. K 1 + τ.p On montre que la FBTF est aussi un système du premier ordre : H(p) = Avec K BF = K 1 + K et τ BF = K BF 1 + τ BF.p τ 1 + K On peut donc noter que le système bouclé (quand la FTBO est du premier ordre) est plus rapide. En particulier si le Gain Statique de la FTBO augmente, le temps de réponse diminue. 2. Système du second ordre. 2.1 Temps de réponse d un second ordre ouvert. K Soit un système bouclé à retour unitaire tel que la FTBO = F(p) = 1 2.z.p² +.p + 1 ω n ² ω n z < 0.7 : système peu amorti qui met du temps à se stabiliser entre +5% et 5% de la valeur finale. z = 0.7 : temps de réponse optimal : T 5% = 3 ω n z > 0.7 : système très amorti, qui met du temps à réagir. z > 1.0 : T 5% 3 ω n.(z + z² - 1 ) 2.2 Calcul du temps de réponse du système bouclé. On montre que la FBTF est aussi un système du second ordre : H(p) = Avec K BF = K 1 + K ω nbf = ω n. 1 + K z BF = K BF 1 ω nbf ².p² + 2.z BF ω nbf.p + 1 z 1 + K On peut constater que z BF est inférieur à z. En particulier si le Gain Statique de la FTBO augmente, z BF sera d autant plus inférieur à z : Si z est grand (supérieur à 0.7), le temps de réponse du système bouclé sera plus court. Si z est déjà petit (inférieur à 0.7) : le temps de réponse va augmenter. Rapidité.doc

13 Rapidité page 2 / 2 3. Généralisation. Il n est pas aisé de généraliser le temps de réponse à un échelon. Il faudrait procéder à une étude temporelle à chaque fois. Mais, globalement, on peut considérer que pour améliorer la rapidité d un système, il faut augmenter le gain statique de la FTBO : les deux exemples ci-dessus ont montré que c est généralement le cas. Le gain correspondant à l amplitude de la réaction du système en fonction de l erreur à la sortie du comparateur, il paraît cohérent de considérer qu un système est d autant plus rapide que le gain est élevé. Mais attention aux risques d instabilité. 4. Courbe donnant le temps de réponse pour un second ordre. Temps de réponse à 5% réduit : ω n.t 5% Facteur d amortissement : z 3 Rapidité.doc