CONFIGURATIONS PLANES. REPERAGE

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1 CONFIGURATIONS PLANES. REPERAGE Figures planes. Repérage- B.O.

2 GEOMETRIE EUCLIDIENNE Un peu d histoire Les objets de base de la géométrie euclidienne Le point : Objet sans dimension, le point est, à la manière des atomes composants tous les objets physiques, la brique élémentaire de tous les objets géométriques. Le segment de droite : La droite : Pour aller d un point A à un point B, il existe une infinité de chemins plus ou moins longs. Le plus court s appelle segment de droite, noté Un segment est composé d une infinité de points. A et B en sont les extrémités. Pour le tracer, on utilise une règle! On peut prolonger indéfiniment un segment de droite [AB] de chaque côté. On obtient alors une droite, notée. On définit aussi les demi-droites [AB), [BA) Le cercle : On appelle cercle de centre I et de rayon R l'ensemble constitué de tous les points dont la distance à I est égale à R. Les axiomes d Euclide En voici un : «Par un point, il passe une et une seule parallèle à une droite» Question : quelle est la différence entre un axiome et un théorème? Figures planes. Repérage- Introduction (1/)

3 Petites questions! 1/Si on vous dit : BM = BA + AM : où placerez-vous M? /Pourquoi un triangle rectangle ne peut-il avoir plus d'un angle droit? 3/ La somme des angles d'un triangle vaut 180. En vous aidant de la figure ci-contre où (d) est parallèle à (BC), sauriez-vous le démontrer? 4/ Droites remarquables du triangle : Elles vont par 3! Les droites «remarquables» du triangle vont toujours trois par trois et elles ont ceci de remarquable que ces «trios» sont toujours concourants. Compléter : Les quatre familles : Les trois hauteurs concourent à. Les trois.concourent au centre du cercle circonscrit. Les trois bissectrices concourent au.. Les trois concourent au centre de gravité du triangle. Figures planes. repérage- Introduction (/)

4 CONFIGURATIONS PLANES. REPERAGE -I- Repères et coordonnées 1- Sur une droite Soient O et I deux points distincts O et I (c est-à-dire O I) d une droite (d). Dire que la droite (d) est munie du repère (O,I) signifie que : (1) O est l origine du repère () OI est l unité de longueur (3) la droite (d) est orientée de O vers I. Tout point peut alors être repéré par un nombre. Ces nombres sont appelés les nombres réels. - Dans le plan a. Trois points O, I, J non alignés définissent un repère du plan, noté (O, I, J). Cela signifie que : (1) la droite (OI) est l axe des abscisses et sur cet axe, l unité est OI. () la droite (OJ) est l axe des ordonnées et sur cet axe, l unité est OJ. Tout point M du plan est alors repéré par un couple (x ; y) de nombres réels ; ce sont ses coordonnées. abscisse de M ordonnée de M Dans le repère (O,I,J), on a : O(0 ; 0) I(1 ; 0) J(0 ; 1) Figures planes. Repérage- Cours(/6)

5 c. Vocabulaire Lorsque le triangle OIJ est rectangle en O, le repère est orthogonal. Lorsque le triangle OIJ est rectangle et isocèle en O, le repère est orthonormé. d. Propriété fondamentale : Deux points ayant les mêmes coordonnées sont confondus. -II- Milieu 1. Définition (Rappel) I est le milieu de [AB] lorsque : (1) I [AB] (A, B, I alignés) () IA = IB La seule condition IA = IB, ne suffit pas pour affirmer que I est le milieu de [AB]! Elle permet seulement d affirmer que I appartient à la médiatrice de [AB]!. Propriété (admise) Soient A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points du plan. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : x I = x A + x B et y I = y A + y B «demi-somme des abscisses ; demi-somme des ordonnées» 3. Applications Figures planes. Repérage- Cours(1/6)

6 (1) Savoir démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme. Enoncé : Dans le plan muni d un repère (O,I,J), on donne A(-3 ; -1), B(5 ; -) C(7 ; 3) et D(-1 ; 4). Démontrer que ABCD est un parallélogramme. Solution : Soient K le milieu de [AC] et L le milieu de [BD]. A(-3 ; -1) B(5 ; -) C(7 ; 3) D(-1 ; 4) Donc x K = x A + x C et y K = y A + y C = -3+7 = x L= x B + x D = = 1 y L = y B + y D Donc K( ; 1) et L( ; 1). K et L ont les mêmes coordonnées donc K = l. = 5 + (-1) = Les diagonales [AC] et [BD] ont donc le même milieu. Donc ABCD est un parallélogramme. = = 1 () Savoir déterminer les coordonnées du symétrique d un point. Enoncé : Soient A(-5 ; ) et B( -3 ; 5). Déterminer les coordonnées du point C symétrique de A par rapport à B. Solution : Dire que C est le symétrique de A par rapport à B équivaut à dire que B est le milieu de [AC], c'est-à-dire : x B = x A + x C et y B = y A + y C x B = x A + x C et y B = y A + y C x C = x B - x A et y C = y B - y A x C = (-3) (-5) et y C = 5 Figures planes. Repérage- Cours(4/6)

7 x C = -1 et y C = 8 Donc C a pour coordonnées (-1 ; 8) -III- Distance dans un repère orthonormé 1. Propriété Dans le plan muni d un repère orthonormé : Si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) alors AB² = (x B - x A )² + ( y B - y A )² AB = ( x B x A )² + ( y B y A )² Démonstration faite au tableau recopier la démo. du livre p.46 Exemple : Enoncé : Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan. On donne A(1 ; -) et B(4 ; ). Calculer la distance AB. Solution : Comme le repère est orthonormé, AB² = (x B - x A )² + ( y B - y A )² AB² = (4 1)² + ( (-))² AB² = 3² + 4² AB² = 5 AB = 5. Applications : on suppose que le plan est muni d un repère orthonormé. (1) Savoir déterminer la nature d un triangle Enoncé : Figures planes. Repérage- Cours(5/6)

8 On donne G(-1 ; 5), H(-4 ; -1) et K(5 ; ). a) Faire une figure et conjecturer la nature du triangle GHK. b) Démontrer la conjecture établie. Solution a) Il semble que le triangle GHK soit isocèle rectangle en G. b) Démontrons-le : GH² = (x H- x G )² + ( y H - y G )² GH² = (-4 (-1))² + (-1 5)² GH² = (-3)² + (-6)² GH² = 45 GK² = (x K- x G )² + ( y K - y G )² GK² = (5 (-1))² + ( 5)² GK² = 6² + (-3)² GK² = 45 HK² = (x K- x H )² + ( y K - y H )² HK² = (5 (-4))² + ( (-1))² HK² = 9² + 3² HK² = 90 Il en résulte que GH² = GK² or GH et Gk étant des longueurs, ce sont tous les deux des nombres positifs. Donc GH = GK et le triangle GHK est isocèle en G. On a aussi GH² + GK² = HK². D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle GHK est rectangle en G. () Savoir calculer des longueurs en utilisant différentes unités Figures planes. Repérage- Cours(4/6)

9 Enoncé : ABCD est un carré de côté 4 cm. 1) Calculer la longueur BD en cm. ) On se place dans le repère (A, B, D). a) Pourquoi ce repère est-il orthonormé? b) Calculer alors la longueur BD. 3) Les résultats 1) et ) sont-ils contradictoires? Solution : 1) Comme ABCD est un carré, le triangle ABD est rectangle isocèle en B et AB = BD = 4 (cm) D après le théorème de Pythagore, BD²= AB² + BD² BD² = 4² + 4² BD² = 3 BD = 3 (cm) ou BD = 4 (cm) ) a) Comme ABCD est un carré, les droites (AB) et (BD) sont perpendiculaires donc le repère (A, B, D) est orthogonal. De plus, comme ABCD est un carré, AB = BD. Le repère est donc orthonormé. b) Dans le repère (A,B,D) orthonormé, on a A(0 ; 0), B(1 ; 0) et D(0 ; 1) Donc BD² = (x D - x B )² + ( y D - y B )² BD² = (0 1)² + (1 0)² BD² = donc BD = 3) Les résultats 1) et ) ne sont pas contradictoires car dans la question ) l unité (u) est AB. On trouve donc BD = u. Or u = 4cm donc BD = 4 = 4 (cm), ce qui est conforme au résultat 1 Figures planes. Repérage- Cours(5/6)

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