Le plan est orienté dans le sens direct.
|
|
- Marie Beauséjour
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Le plan est orienté dans le sens direct. Définition : Soit I un point et k un réel non nul. On appelle homothétie de centre I et de rapport k l application du plan dans lui-même qui à tout point M associe le point M tel que IM ' = k IM. Conséquence : Une homothétie de rapport 1 est l identité du plan. Une homothétie est une bijection du plan dans lui-même. La réciproque de l homothétie h de centre I et de rapport k est l homothétie h -1 de centre I et de rapport 1 k. Activité 1: k un réel non nul et différent de 1. f une application du plan. 1) Montrer que si f est une homothétie de rapport k alors pour tous points M et N d mages M et N par f ; M ' N ' = k MN. 2) Soit A un point, A =f(a) et I le barycentre des points pondérés (A,-k) et (A,1). Montrer que si pour tous points M et N d mages M et N par f ; M ' N ' = k MN alors f est une homothétie de rapport k. k un réel non nul et différent de 1.. Une application f est une homothétie de rapport k si et seulement si, pour tous points M et N d mages M et N par f ; M ' N ' = k MN. Application 1: ABCD un trapèze, (AD) et (BC) se coupent en O. h l homothétie de centre O qui envoie A en D.Montrer que h(b)=c. Activité 2 : Soit h une homothétie de rapport k, A, B et C trois points deux à deux distincts et A, B et C leurs images par h. 1
2 Montrer que ( ) ( A' B ', A' C ' AB, AC)[ 2π ]. Toute homothétie conserve les mesures des angles orientés. Activité 3: h et h deux homothéties de centres distincts et de rapports k et k. M et N deux points du plan d images M et N par hoh. Exprimer M ' N ' en fonction de MN ; en déduire la nature de hoh. La composée de deux homothéties de centres distincts et de rapports k et k est : Une homothétie de rapport kk si kk 1. Une translation si kk =1. Activité 4: Soit t une translation de vecteur u et h une homothétie de rapport k 1. Déterminer la nature de hot et toh. La composée d une translation et d une homothétie de rapport k 1 est une homothétie de rapport k. Activité 5: Soit f une application du plan dans lui-même qui à tout point M d affixe z associe le point M d affixe z.montrer que f est une homothétie de centre A et de rapport k 1 si et seulement si z =kz+b ou b=z A (1-k). Soit f une application du plan dans lui-même qui à tout point M d affixe z associe le point M d affixe z. f est une homothétie de centre A et de rapport k 1 si et seulement si z =kz+b ou b=z A (1-k). 2
3 Activité 6: Dans le plan orienté, on considère l application S de P dans lui même qui à tout point M(z) associe le point M (z ) tel que : z = (1 + i )z i. 1) Soient M et N deux points du plan d images respectives M et N par S. Exprimer M N en fonction de MN. 2) On désigne par h l homothétie de centre I et de rapport 2 et par R la rotation de centre I et d angle 4 π. Montrer que : S = h o R = R o h. Définition : Soit k un réel strictement positive. f une application du plan dans lui-même. f est une similitude de rapport k, si et seulement si, pour touts points M et N d images M et N par f, M N =kmn. Exemple : Une isométrie est une similitude de rapport. Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport Activité 7: f et g deux similitudes de rapports k et k. Montrer que fog est une similitude dont on précisera le rapport. La composée de deux similitudes de rapports k et k est une similitude de rapport kk. Activité 8: 1) Soient h une homothétie de rapport k ( k 0 ) et ϕ une isométrie. On pose f = hoϕ ; montrer que f est une similitude dont on précisera le rapport. 2) Soit f une similitude de rapport k ( k > 0 ) et h une homothétie de rapport k et ϕ = h 1 of. Montrer que ϕ est une isométrie et en déduire que f est la composée d une homothétie et d une isométrie. Une application du plan dans lui-même est une similitude de rapport k, si et seulement si, elle est la composée d une homothétie de rapport k et d une isométrie. Propriétés : Les propriétés suivantes découlent des propriétés des homothéties et des isométries : Une similitude de rapprt k est une bijection et sa réciproque.. f et g deux similitudes ; (fog) -1 = f, g et h trois similitudes ; hof=hog si et seulement si.. 3
4 Une similitude conserve :.. L image d un segment par une similitude f est... L image d une droite par une similitude est L image d un cercle de centre O et de rayon r par une similitude f est. A, B, C, D, E et F des points du plan d images A, B, C, D, E et F par une similitude f de rapport k. AB. CD =.... Si AB = xcd + yef alors A' B ' =.... Activité 9: Soit f et g deux similitudes qui coïncident sur trois points non alignés A, B et C. On pose h=f -1 og ; identifier h et en déduire que f=g. Deux similitudes qui coïncident sur trois points non alignés coïncident sur tout le plan. Activité 10: Soit f une similitude de rapport k. On décompose f sous les formes : f = h o ϕ et f = h oϕ où h et h sont deux homothéties ; ϕ et ϕ deux isométries. En exprimant ϕ en fonction de h, h et ϕ déduire les résultats suivants : a) ϕ est un déplacement si et seulement si ϕ est un déplacement. b) ϕ est un antidéplacement si et seulement si ϕ est un antidéplacement. Définition : Soit f une similitude et f=hog une décomposition de f en la composée d une homothétie et d une isométrie. f est une similitude directe si et seulement si g est un déplacement. f est une similitude indirecte si et seulement si g est un antidéplacement. Conséquences : Toute similitude directe. Les mesures des angles orientés. Toute similitude indirecte. Les mesures des angles orientés. La composée de deux similitudes directes. La composée de deux similitudes indirectes La composée d une similitude directe et d une similitude indirecte 4
5 La réciproque d une similitude directe.. La réciproque d une similitude indirecte Activité 11: Soit A, B, C et D quatre points tel que A B et C D. B 1 un point de [CD) tel que AB=CB 1 ; h l homothétie de centre C qui envoie B 1 en D. 1) a) montrer qu il existe un unique déplacement φ qui envoie A en C et B en B 1. b) soit f=hoφ ; préciser la nature de f et déterminer f(a)= et f(b). 2) f et g deux similitudes de même nature qui coïncident en A et B. soit k=fog -1 caractériser k et en déduire que f=g. Soit A, B, C et D quatre points tel que A B et C D. Il existe une unique similitude directe qui envoie A en C et B en D. Il existe une unique similitude indirecte qui envoie A en C et B en D. Activité 12: Soit f une similitude directe. A, B, C et D quatre points tels que AB 0 et CD 0. A, B, C et D les images respectives de A, B, C et D par f. Montrer que AB, A' B ' CD, C ' D ' 2π ( ) ( )[ ] Soit f une similitude directe. A, B, C et D quatre points tels que AB 0 et CD 0. A, B, C et D les images respectives de A, B, C et D par f alors ( ) ( AB, A' B ' CD, C ' D ')[ 2π ] AB, A' B ', on dit que f est une similitude directe d angle θ. Si θ une mesure de l angle ( ) Activité 13: f et g deux similitudes directes d angles respectifs θ et θ ; déterminer l angle de fog et de f -1. f et g deux similitudes directes d angles respectifs θ et θ. La similitude directe fog est d angle θ+θ. La similitude directe f -1 est d angle -θ. Application 2: OAB est un triangle rectangle en O tel que (OA, OB) [ 2π] On note encore s la similitude directe telle que s(o) = A e s(b) = O. Justifier le fait que l angle de s est égal à 2 π π 2 5
6 Activité 14: A et B deux points distincts du plan déterminer et construire : 1) L ensemble Γ des points M tels que MB=2MA. π 2) L ensemble Γ des points M tels que ( MA, MB) [ 2π ] 3 3) Soit f la similitude directe de rapport 2, d angle 3 π et tel que f(a)=b. déterminer les points invariants par f. Centre d une similitude directe : Soit f une similitude directe de rapport k et d angle θ. Remarquons que si k =1 alors f est un déplacement et par suite c est une translation ou une rotation ( cas déjà étudiés dans le chapitre précédent ) On suppose dans la suite que k 1 f est une similitude de rapport k 1 donc f est différente de l identité et par suite il existe au moins un point A du plan tel que f(a) = A A. On se propose de déterminer l ensemble des points invariants par f. S il existe un point M du plan invariant par f alors M A et on peut écrire :. f(m) = M ( ) MA' = kma 1 (MA, MA') θ 2π 2 [ ] ( ) Désignons par Γ = { M P tel que : MA' k MA = } et par Γ ={ M P tel que : (MA, MA') θ[ 2π] } Ω On rappelle que : Puisque k 1, alors Γ est le cercle de diamètre [IJ] où I est le barycentre du système { (A,1), (A,k)} et J est le barycentre du système {(A,1), (A,-k)} Γ est : soit un arc de cercle d extrémités A et A ( si θ kπ ), soit le segment [AA ] privé des points A et A, soit (AA ) [AA ]. Il résulte que dans tous les cas les ensembles Γ et Γ se coupent en un unique point Ω et par suite f admet un unique point invariant Ω appelé centre de f. 6
7 Toute similitude directe de rapport différent de 1 admet un unique point fixe appelé centre de la similitude. Récapitulation Une similitude directe f de rapport k 1, est caractérisée par : son rapport k, son angle θ et son centre I On note : f = S (I,k,θ). I, k et θ sont appelés éléments caractéristiques de la similitude directe. Conséquences Si f = S (Ω,k,θ) alors pour tout M Ω on a : f(m) = M si et seulement si.. S -1 (Ω,k,θ)=. S (Ω,k,θ) o S (Ω,k,θ ) =. Application 3: 1) On considère un carré ABCD de sens direct et de centre I. Donner les éléments caractéristiques de la similitude directe f dans chacun des cas suivants : a) f est de centre C et transforme A en B. b) f est de centre A et transforme B en C. c) f transforme B en I et C en D. 2) On considère un triangle ABC équilatéral de sens direct. On désigne par I le milieu de [BC]. Donner les éléments caractéristiques de la similitude directe f dans chacun des cas suivants : a) f de centre C est transforme I en A. b) f de centre I et transforme C en A. Application 4: ABCD est un carré de sens direct. Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le milieu du segment [CD].On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J. 1) Déterminer le rapport et l angle de la similitude s. 2) On désigne par Ω le centre de cette similitude. Γ 1 est le cercle de diamètre [AI], Γ 2 est le cercle de diamètre [BJ]. Démontrer que Ω est l un des points d intersection de Γ 1 et Γ 2. Placer Ω sur la figure. 3) Donner l image par s de la droite (BC). En déduire le point image par s du point C, puis le point K image par s du point I. 7
8 4) On pose h = sos. a) Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caractéristiques). b) Trouver l image du point A par h. En déduire que les points A, Ω et K sont alignés. Activité 15 : Soit f une similitude directe de centre I, de rapport k 1 et d angle θ. On pose h = h (I,k) et R = R (I,θ). Montrer que f = h or = Roh. Toute similitude directe de centre I, de rapport k 1 et d angle θ se décompose sous la forme f=hor=roh ou h est l homothétie de centre I et de rapport k et r la rotation de centre I et d angle θ. Cette décomposition s appelle la forme réduite de f. Cas particuliers : S (I,k,π) =.. S (I,k,0) =.. Activité 16: f une application du plan ; M un point d affixe z et M son image par f. on désigne par z et z les affixes respectives de M et M. montrer que f est une similitude directe de centre I, de rapport k 1 et d angle θ, si et seulement si z =az+b avec a=ke i θ et b=z I (1-a). Soit f une application du plan dans lui-même qui à tou point M d affixe z associe le point M d affixe z. l application f est une similitude directe de centre I, de rapport k 1 et d angle θ, si et seulement si z =az+b avec a=ke i θ et b=z I (1-a). Application 5: 1) Déterminer la transformation complexe associée à f = S(A, 2, 4 π ) avec A( 1 + i ). 2) g est la similitude directe transformant A(1 i ) en C( 5 + i) et B( 2i ) en D( -1 i). Déduire alors les éléments caractéristiques de g. Activité 17 : Soit g une similitude indirecte de rapport k 1. On pose f = gog 1) Montrer que f admet un unique point invariant Ω. 2) On pose Ω = g(ω). Etablir l égalité : ΩΩ = kωω et en déduire que Ω = Ω. 3) On suppose qu il existe un point I invariant par g ; montrer que I =Ω. 8
9 Toute similitude indirecte de rapport k 1, admet un unique point invariant appelé centre de la similitude. Activité 18: Soit f une similitude indirecte de centre I et de rapport k 1 ; h l homothétie de centre I et de rapport k. 1) Montrer que h -1 of est une symétrie orthogonale d axe une droite D passant par I. 2) Soit M un point distinct de I et M son image par f. montrer que M appartient à D si et seulement si IM ' = kim. 3) Soit φ=(s D oh) -1 o(hos D ) caractériser φ et en déduire que S D oh=hos D. Soit f une similitude indirecte de centre I et de rapport k 1 ; h l homothétie de centre I et de rapport k et D l ensemble des points M tels que IM ' = kim ou M =f(m). f se décompose de manière unique sous la forme f= S D oh=hos D. Cette décomposition est appelé forme réduite de f. La droite D est appelée axe de f. Conséquences : Une similitude indirecte de rapport différent de 1 est parfaitement déterminée par son centre, son rapport et son axe, qui sont appelés éléments caractéristiques de la similitude. L axe D d une similitude indirecte de centre I et la perpendiculaire à D en I sont globalement invariants. Si f est une similitude de centre I et de rapport k alors fof est une homothétie de centre I et de rapport k². La droite D porte la bissectrice interieur de MIM '. Application 6: On considère dans le plan orienté un triangle isocèle ABC de sommet principal A tel que 2π (AB, AC ) [ 2π] 3 On désigne par I le milieu de [BC] et par J le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). Soit f la similitude indirecte de centre C qui transforme A en B. 9
10 1) a) Montrer que le rapport de f est 3. b) Préciser l'axe de f. 2) Soit B' = f(b). a) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de fof. b) En déduire que CB' = 3CA. Construire le point B'. c) Montrer que BB' = BC. d) En déduire que f(i) = J. 3) Soit S = f o S (BC). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de S. Activité 19: Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct (O, u, v ). 1) Caractériser l application S de P dans lui-même qui à tout point M(z) associe le point M (z ) tel que z = z. 2) a et b étant deux nombres complexes tel que a 1 ; caractériser l application f de P dans lui-même qui à tout point M(z) associe le point M (z ) tel que z =az + b. 3) On pose g = fos. a) Préciser la nature de g. b) Déterminer la forme complexe associée à g. c) Montrer que g admet un unique point invariant Ω d affixe z 0 = ab + b. 1 a ² Une application f du plan P dans P qui à tout point M(z) associe le point M (z ) est une similitude indirecte de centre I(z 0 ) et de rapport k 1 si et seulement si il existe deux nombres complexes a et b tel que z = a z+b. Dans ce cas k = a et z 0 = ab + b. 1 a ² 10
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailLes droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites
I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détail5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
Plus en détailLa géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailSéquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Plus en détailDeux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Plus en détailGéométrie dans l espace
Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en
Plus en détailChapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879-
Chapitre 9 REVOIR > les notions de points, droites, segments ; > le milieu d un segment ; > l utilisation du compas. DÉCOUVRIR > la notion de demi-droite ; > de nouvelles notations ; > le codage d une
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailNombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation
1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis
Plus en détailExercices de géométrie
Exercices de géométrie Stage olympique de Bois-le-Roi, avril 2006 Igor Kortchemski Exercices vus en cours Exercice 1. (IMO 2000) Soient Ω 1 et Ω 2 deux cercles qui se coupent en M et en N. Soit la tangente
Plus en détailDevoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :
LM323 Envoi 2 2009-2010 Contenu de cet envoi Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigé du devoir 1. Un exercice de révision sur le chapître 1. Exercices sur l inversion. Corrigés
Plus en détailCONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailLe seul ami de Batman
Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailLivret de liaison Seconde - Première S
Livret de liaison Seconde - Première S I.R.E.M. de Clermont-Ferrand Groupe Aurillac - Lycée Juin 2014 Ont collaboré à cet ouvrage : Emmanuelle BOYER, Lycée Émile Duclaux, Aurillac. Patrick DE GIOVANNI,
Plus en détailExercice numéro 1 - L'escalier
Exercice numéro 1 - L'escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1. De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche?
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailSéquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Plus en détailLa médiatrice d un segment
EXTRT DE CURS DE THS DE 4E 1 La médiatrice d un segment, la bissectrice d un angle La médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d un segment est l ae de smétrie de ce segment ; c'est-à-dire que
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailChapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
Plus en détailBrevet 2007 L intégrale d avril 2007 à mars 2008
Brevet 2007 L intégrale d avril 2007 à mars 2008 Pondichéry avril 2007................................................. 3 Amérique du Nord juin 2007......................................... 7 Antilles
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailSommaire de la séquence 10
Sommaire de la séquence 10 Séance 1........................................................................................................ J étudie un problème concret................................................................................
Plus en détailEXAMEN : CAP ADAL SESSION 2011 N du sujet : 02.11 SPECIALITE : CEB - GEPER SUJET SECTEUR : FOLIO : 1/6 EPREUVE : EG2 (MATH-SCIENCES)
EXAMEN : CAP ADAL SESSION 20 N du sujet : 02. FOLIO : /6 Rédiger les réponses sur ce document qui sera intégralement remis à la fin de l épreuve. L usage de la calculatrice est autorisé. Exercice : (7
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailVecteurs. I Translation. 1. Définition :
Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailDiviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000
Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000. 23 1 et 2 Pauline collectionne les cartes «Tokéron» depuis plusieurs mois. Elle en possède 364 et veut les
Plus en détailEté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES
Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une
Plus en détailTrois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur
29=30 Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur leur amène une addition de 30 francs. Les trois personnes décident de partager la facture en trois, soit 10 francs chacun. Le serveur rapporte
Plus en détail«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.
«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.» Léonard de Vinci MATHEMATIQUES Les mathématiques revêtaient un caractère particulier
Plus en détailDémontrer qu'un point est le milieu d'un segment
émntrer qu'un pint est le milieu d'un segment P 1 Si un pint est sur un segment et à égale distance de ses etrémités alrs ce pint est le milieu du segment. P 2 Si un quadrilatère est un alrs ses diagnales
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailDu Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Plus en détailCOMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Plus en détailTriangles isométriques Triangles semblables
Triangles isométriques Triangles semblables Les transformations du plan ont permis de dégager des propriétés de figures superposables. Le théorème de Thalès a permis de s initier aux notions de réduction
Plus en détailPriorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Plus en détail6 ème. Rallye mathématique de la Sarthe 2013/2014. 1 ère épreuve de qualification : Problèmes Jeudi 21 novembre 2013
Retrouver tous les sujets, les corrigés, les annales, les finales sur le site du rallye : http://sarthe.cijm.org I Stéphane, Eric et Christophe sont 3 garçons avec des chevelures différentes. Stéphane
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailCh.G3 : Distances et tangentes
4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 1 sur 14 1 DISTC D U PIT À U DRIT Ch.G3 : Distances et tangentes 1.1 Définition ex 1 DÉFIITI 1 : Soit une droite et un point n'appartenant pas
Plus en détailLe contexte. Le questionnement du P.E.R. :
Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailEXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2
EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailUN TOURNOI A GAGNER ENSEMBLE
UN TOURNOI A GAGNER ENSEMBLE Ce tournoi réunit 3 classes de CM1, CM2 et 6, chaque équipe essaye de réussir le plus grand nombre possible des 82 exercices proposés. Objectifs généraux : Pour les 6, accueillir
Plus en détailConstructions au compas seul, complément
Constructions au compas seul, complément Jean-Pierre Escofier et Jean-Michel Le Laouénan Nous ajoutons une ramification au chapitre V du livre Théorie de Galois, Jean-Pierre Escofier, Dunod, 2004 : quelques
Plus en détailcent mille NOMBRES RELATIFS ET REPÉRAGEȘ 1 Chapitre 3 Notion de nombre relatif Comparaison Repérage sur une droite et dans le plan Calcul littéral
Chapitre 3 cent NOMBRS 5 T RPÉRAGȘ RLATIFS Notion de nombre relatif 3 Comparaison 9 mille Repérage sur une droite et dans le plan Calcul littéral ACTIVITÉS USAG DS NOMBRS RLATIFS ACTIVITÉ Dans la vie quotidienne
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailConstruction de la bissectrice d un angle
onstruction de la bissectrice d un angle 1. Trace un angle. 1. 2. Trace un angle cercle. de centre (le sommet de l angle) et de rayon quelconque. 1. 2. 3. Trace Le cercle un angle cercle coupe. de la demi-droite
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailCHAPITRE 2 SYSTEMES D INEQUATIONS A DEUX INCONNUES
CHAPITRE 2 SYSTEMES D INEQUATIONS A DEUX INCONNUES Exercice 1 Dans un repère orthonormé on donne les points A( 1;2 ), ( 5; 6) et les droites a 3x + 2y = 5 et b 4x 3y + 10 = 0. B, 1 C 5; 2, 1 D 7; 2 1)
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailpoint On obtient ainsi le ou les points d inter- entre deux objets».
Déplacer un objet Cliquer sur le bouton «Déplacer». On peut ainsi rendre la figure dynamique. Attraper l objet à déplacer avec la souris. Ici, on veut déplacer le point A du triangle point ABC. A du triangle
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détail4G2. Triangles et parallèles
4G2 Triangles et parallèles ST- QU TU T SOUVINS? 1) On te donne une droite (d) et un point n'appartenant pas à cette droite. vec une équerre et une règle non graduée, sais-tu construire la parallèle à
Plus en détailClasse de troisième. Exercices de Mathématiques
lasse de troisième Exercices de Mathématiques 2 hapitre I : Révision d algèbre 1 alculer : = 21 7 + 2 4 21 = 7 2 1 5 2 = 84 17 4 27 5 2 D = 4 9 2 + 25 9 10 E = 7 12 (1 9 + 18 7 ) F = 12 7 2 5 + 8 5 2 Soit
Plus en détailExercice 6 Associer chaque expression de gauche à sa forme réduite (à droite) :
Eercice a Développer les epressions suivantes : A-(-) - + B-0(3 ²+3-0) -0 3²+-0 3+00 B -30²-30+00 C-3(-) -3 + 3-3²+6 D-(-) + ² Eerciceb Parmi les epressions suivantes, lesquelles sont sous forme réduite?
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailINFORMATIONS DIVERSES
Nom de l'adhérent : N d'adhérent :.. INFORMATIONS DIVERSES Rubrique Nom de la personne à contacter AD Date de début exercice N BA Date de fin exercice N BB Date d'arrêté provisoire BC DECLARATION RECTIFICATIVE
Plus en détailDévelopper, factoriser pour résoudre
Développer, factoriser pour résoudre Avec le vocabulaire Associer à chaque epression un terme A B A différence produit A+ B A B inverse quotient A B A opposé somme Écrire la somme de et du carré de + Écrire
Plus en détailThème 17: Optimisation
OPTIMISATION 45 Thème 17: Optimisation Introduction : Dans la plupart des applications, les grandeurs physiques ou géométriques sont exprimées à l aide d une formule contenant une fonction. Il peut s agir
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailSéquence 8. Fonctions numériques Convexité. Sommaire
Séquence 8 Fonctions numériques Conveité Objectifs de la séquence Introduire graphiquement les notions de fonctions convees et de fonctions concaves. Établir le lien entre le sens de variation d une fonction
Plus en détailPARTIE NUMERIQUE (18 points)
4 ème DEVOIR COMMUN N 1 DE MATHÉMATIQUES 14/12/09 L'échange de matériel entre élèves et l'usage de la calculatrice sont interdits. Il sera tenu compte du soin et de la présentation ( 4 points ). Le barème
Plus en détail